（检测技术与自动化装置专业论文）随机系统具有极点配置约束的滤波与控制问题.pdf

山东轻工业学院顾十学位论文 摘要 随机系统可稳性问题的研究是解决许多随机问题的前提需要，一些学者对随 机系统稳定性及可稳性进行了研究，其中包括l y a p u n o v 函数法和谱算子分析法。 本文基于线性矩阵不等式和随机谱理论，研究了离散系统具有区域极点配置的 h ：h 。滤波问题、随机系统谱算子的带状区域( _ ，一口) 极点配置问题( 类似于确 定性系统的极点配置概念) 、具有谱约束的随机系统h 。滤波问题以及具有带状谱 区域约束的日，日。控制问题。本学位论文共分以下几部分： 本文首先阐述了随机系统稳定性和谱理论的研究现状与研究意义，介绍了本 学位论文的研究的思想方法与和整体结构。为了论文内容的完整性，简单给出了 线性矩阵不等式、随机渐进均方稳定性、h 。滤波和混合h ，玑滤波以及谱算子 理论等若干概念。 其次，针对离散系统，通过日：范数和日。范数考虑日，和日。性能指标约束， 并结合区域极点配置要求，应用线性矩阵不等式凸优化方法将多目标h ，h 。滤波 问题转化为单一目标的优化问题。不仅解决了离散系统具有区域约束的滤波问题， 而且区域的极点配置范围得到改善。 然后，重新定义了随机系统谱算子，找到了随机系统既满足口域稳定，又满 足日。性能指标的充分条件，并且给出了带有独立噪声的随机系统滤波器的设计 方法。 本文最后研究了在满足一定外部扰动抑制水平的情况下，随机系统在谱的带 状区域随机均方稳定的充分必要条件。 稳定 关键词：区域极点配置；谱约束算子；随机能稳性；h ：h 。滤波；口域 i i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h es t u d yo fs t o c h a s t i cs t a b i l i t yh a sb e c o m ep r e m i s en e e do fm a n yb a s i cs t o c h a s t i c p r o b l e m s m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e ds t o c h a s t i cs t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a b i l i t y t h eo n eo f t h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c h e si ss t o c h a s t i cs p e c t r u mt h e o r y ，w h i c hw a sd e v e l o p e di n 7 】b a s e do nl m ia n ds t o c h a s t i cs p e c t r u mt h e o r y ，w es t u d yt h ed i s c r e t e 凰h 。 f i l t e r i n gp r o b l e mw i t hr e g i o n a lp o l ea s s i g n m e n t ，p o l ea s s i g n m e n tp r o b l e m sw i t hs t r i p r e g i o nf r o m pt o ao fs t o c h a s t i cs y s t e ms p e c t r u mo p e r a t o ra n ds t o c h a s t i cs y s t e m h 。f i l t e r i n gp r o b l e m sw i t hs p e c t r u mc o n s t r a i n ta sw e l la sh ! h mc o n t r 0 1 1 e r d e s i g nw i t hs t r i pr e g i o ns p e c t r u mc o n s t r a i n t t h i sa r t i c a li sd i v i d e da sf o l l o w i n gs e v e r a l p a r t s ： i nc h a p t e ro n e ，w ep r e s e n ts i t u a t i o na n dr e s e a r c hs i g n i f i c a n c eo fs t o c h a s t i cs y s t e m s t a b i l i t y ，t h es p e c t r u mt h e o r ya n di n t r o d u c et h eg l o b a la r c h i t e c t u r ea n dr e s e a r c hm e t h o d i no r d e rt oi n t e g r i t yt h ep a p e rc o n t e n t ，w eg i v eo u ts o m ed e f i n i t i o n ss u c ha sl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ，s t o c h a s t i ca s y m p t o t i cs q u a r es t a b i l i t yh 。f i l t e r i n g ，m i x e dh 2 | h 。f i l t e r i n g a n ds p e c t r u mo p e r a t e rt h e o r y c h a p t e r st h r e et of i v e a r em a i np a r t so fo u rp a p e r t h ec o n s t r a i n to fh 、a n d h 。i n d e xo fd i s c r e t es y s t e m si sc o m b i n e dw i t hr e g i o n a lp o l ea s s i g n m e n t ，w ec o n v e r t m u l t i p l eo b j e c tf i l t e r i n gp r o b l e m st os o l eg o a lo p t i m i z e dq u e s t i o nb ym e a n so f l m i s w es o l v et h ef i l t e r i n gp r o b l e m so fd i s c r e t es y s t e m sw i t hr e g i o n a lc o n s t r a i n ta n d t h ep o l ea s s i g n m e n ts c o p ei si m p r o v e d c h a p t e rf o u rr e d e f i n e ss p e c t r u mo p e r a t e ra n d f i n d st h ef u l le s s e n t i a lc o n d i t i o nw h i c hs a t i s f i e s 0 c r e g i o ns t a b l ea n dh 。p e r f o r m a n e ei n d e x w ea l s og i v eo u tt h ef i l t e r sd e s i g n i n gm e t h o do fs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t h d e p e n d e n tn o i s e i nc h a p t e rf i v e ，w er e s e a r c ht h ef u l le s s e n t i a lc o n d i t i o no fs t o c h a s t i c s q u a r es t a b i l i t yu n d e rs p e c t r u m ss t r i pr e g i o na n dc e r t a i ne x t e r n a lc o n s t r a i n tl e v e l s c h a p t e rs i xh a sm a d eac o n c l u s i o na n df o r e c a s tt ot h ew h o l ea r t i c l e w ec o n c l u d e t h em a i nc o n t r i b u t i o n ，a n ds o m ep r o b l e m sh a v eb e e ns t a t e df o rf u r t h e r s t u d y k e y w o r d s ：r e g i o n a lp o l ea s s i g n m e n t ；s p e c t r u mo p e r a t o r ；s t o c h a s t i cs t a b i l i t y ； h 2 h 。f i l t e r ；口一s t a b i l i t y i v 符号约定与缩略号 符号约定与缩略号 么r 表示矩阵或向量彳的转置； l 。表示刀刀单位阵； r 疗表示n 维e u c l i d e a n 空间； k ( 彳) 和k 协( 彳) 表示矩阵么的最大和最小的特征根； 0 忆表示线性赋范空间( h a r d ys p a c e ) 中的h p 范数； t r a c e ( m ) 表示矩阵m 的迹； 彳表示矩阵彳的共轭转置矩阵； 圆表示k r o n e c k e r 积( 直积或张量积) a 0 鳓0 表示正定或半正定矩阵； r ”表示n 维欧几里德空间： c ”表示所有厅n 维复对称矩阵的集合； c 一表示左半复平面。 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系在导师指导下本人独立完成的研究成果。文 中引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或 成果，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属山东轻工 业学院。山东轻工业学院享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请 专利等权利，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 署名单位仍然为山东轻工业学院。 论文作者虢扭圭动 导师签名：鏊丝整 日期：邂年上月丝日 日期：卫堑年月挚 山东轻工业学院硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 长期以来，控制界对系统研究的对象多设定为确定性系统模型。确定性系统 模型是实际系统的简化模型，在不影响所研究问题的着重点的结果或者系统分析 研究结果不至于超出允许的误差范围时，就用确定性模型描述系统。这种模型忽 略许多不确定因素和随机因素，从而简化了研究系统而具有诸多优点。由于系统 模型相对简单，便于综合与分析，决定了其研究所需要的工具也是比较简单的。 事实证明，确定性系统模型无论在理论研究还是实际应用当中都做出了突出贡献。 然而，由于计算机技术和其他高科技技术发展需要，原来这种简化了的确定性系 统模型已经无法满足实际工程技术对系统的精确度要求。我们有必要寻找一种确 保更高精度的机制。因此许多研究者丌始从一种全新的角度来审视系统的建模问 题。显然，过去一直被忽略的不确定因素、随机因素以及系统信息传递过程中所 出现的时滞现象等，均应该加入到系统建模中来。此外，由于系统模型的变化， 相应的过去那些确定系统的研究工具和研究方法也不再适用，需要找到一种全新 的系统综合分析方法。 对于任何实际系统，随机因素总是客观存在于实际过程中。比较典型的随机 过程实例是电子直流放大器输出的零点漂移问题。放大器在零输入时，也就是当 “( ，) = 0 时，要求放大器的输出y ( ，) 也为零。实际中由于放大器存在各种内部噪声 的作用，并且受到外部电磁波等各种干扰的影响，其输出y ( f ) 并不为零，这就是所 谓零点漂移。而且越大的放大倍数，产生的零点漂移现象越严重，以至放大器最 后严重失真，影响放大器的正常工作。因此，如果总是忽略这些客观因素，一味 运用确定性系统方法描述系统，必然导致系统某些特性的丢失。这时用确定性控 制理论控制的实际系统往往严重背离所期望的效果。所以在系统中考虑随机因素 的描述是非常有必要的。通常随机因素包括：系统控制输入输出随机干扰、外部 环境方面的随机干扰、状态测量的随机误差以及系统内部结构参数的引起的随机 扰动等1 2 引。 早在二十世纪初，人们就开始关注随机因素在随机微分理论中的作用。1 9 0 0 年，法国数学家b a c h e l i a r h 3 给出了用过程运动来刻画股票价格变化的随机系统模 型。1 9 0 2 年，g i b b s 晦1 讨论了统计力学问题，研究了保守力学系统h a m i l t o n - - j a c o b i 微分系统的积分问题，设定其初始状态就是随机的。这是最早提出的随机微分方 程问题。1 9 0 8 年，法国著名学者l a n g e v i n 系统研究了b r o w n 运动，从而得到了 如下的l a n g e v i n 微分方程 第1 章绪论 i d x m ：一“i x + y o ) 式( 1 1 ) = 一 + y i fj武1 1 1 ， d t 。“ 。 其中x 表示液体微粒在某一方向的运动速度；一肛表示介质对微粒的作用项； j ，( f ) 表示介质中分子运动对微粒的碰撞构成的随机作用力。然而l a n g e v i n 微分方 程只是粗略的带有随机项的微分方程。对随机系统确切而又严格的数学描述，直 到1 9 5 1 年肺发表了著名的肋型随机微分方程的论文t j , , o ns t o c h a s t i cd i f f e r e m t i a l e q u a t i o n s ”之后才建立，该论文奠定了随机微分方程的理论基础。此后的半个世纪 中，随机微分系统与随机泛函微分系统的研究和应用得到了充分的重视和快速发 展，并且很快渗透到很多研究领域之中。 在随机系统的分析与综合问题中，稳定性是一个重要的动态特性，是工程设 计的主要目标之一。由于随机系统的分类，以及所考虑的稳定性概念的不同，随 机系统的稳定性也就有许多种类不同的讨论方法。在确定性系统中，为了保证系 统的稳定性，普遍采用极点配置约束的方法。这一技术已经得到了深入的研究。 但是在随机系统中，系统的极点无法确知，极点配置的方法也就无从谈起，因此 用这一方法无法研究随机稳定性。随机系统的稳定性问题一直是个亟待突破的难 题。近几年出现了随机谱算子技术口1 并且得到了一定发展，人们开始尝试采用谱约 束的方法来研究随机系统的极点配置问题，以求系统随机稳定，并且取得了一定 的成果旧一1 。本文拟讨论带有状态独立干扰噪声的随机系统在均方值意义下渐进均 方稳定的极点配置问题。除要应用到随机微分方程的基本理论以外，还要涉及到 微分积分不等式理论，随机控制理论，最优控制理论等多学科、多分支的内容。 因此，随机系统的稳定性研究是显而易见具备了复杂程度高，难度大的特点。是 一个具有多学科综合交叉性和边缘性的研究领域。 1 2 随机系统稳定性研究概况 稳定性作为一个重要的动态特性，在随机系统的分析和综合中占据重要的地 位。是设计工程时的主要设计目标之一。因此成为众多研究者们关注的重要研究 课题。以下是对随机系统的稳定性分析的研究进展情况做的一些概述h ，。 随机系统的稳定性问题较确定性系统要复杂的多。目前非常成熟完善的方法 还没有建立起来。国内外有关于随机系统的稳定性的专著众多。下面简单列举一 些这方面的论著。国内有关专著有刘永清、冯昭枢著“大型动力系统的理论与应用： 随机稳定与控制( 卷4 ) ”，刘永清、邓飞其著“大型动力系统的理论与应用，卷 10 ：随机系统的变结构控制”砼1 ，郭尚来编著“随机控制”n0 ，钱学森、宋健著“工程 控制理论”h ，韩崇昭、王月娟、万百五编著“随机系统理论”n2 l ，蔡尚峰编著“随机 控制理论”n3 1 ，李树英、许茂增编著的“随机系统的滤波与控制”n4 1 ，盛昭翰编著的“随 2 山东轻工业学院硕士学位论文 机系统分析引论”n5 j ，张炳根、赵玉芝编著的“科学与工程中的随机微分方程”n 引， 高钟毓编著的“工程系统中的随机过程一随机系统分析与最优控制”n 刀等。 国外这方面比较经典的著作有：h a s m i n s k i ir z 著的“s t o c h a s t i cs t a b i l i t yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”n 引m a ox 著的“e x p o n e n t t i a ls t a b i l i t yo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i - a le q u a t i o n s ”n9 1 k r s t i cm 和d e n gh 著的“s t a b i l i z a t i o no fn o n l i n e a ru n c e r t a i n s y s t e m s ，m a r i t o nm 著的“j u m pl i n e a rs y s t e m si na u t o m a t i cc o n t r o l 乜，k u s h n e r 著的“s t o c h a s t i cs t a b i l i t ya n d c o n t r o l ”口2 1 ，l a d d e 著的“r a n d o md i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s , , t 2 a 1 , k o l m a n o v s k k i i 和n o s o v 著的“s t a b i l i t yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 4 1 等。 文 1 ，2 】中详细地综述了对随机稳定性所做的较早期工作。近些年来，科研工作 者们做了大量工作研究随机系统的稳定性问题。引进了一些新的研究方法，也取 得了许多新成果新发展。w i l l e m sj l 乜5 1 在研究具有白色噪声和彩色噪声的线性随 机系统的矩稳定问题时，引入了l i e 代数的方法。得到系统的矩稳定取决于某一 l y a p u n o v 型矩阵方程的正定解的存在性的结果，遗憾的是判定l y a p u n o v 矩阵方程 正定解存在的判据未能得到。，y a oh z ，d e n gf q ? s j 和d e n gf q ，c h e nj t ，l i u y q 瞳阳同样在讨论了具有彩色噪声的线性随机系统 j 厂m1 等= i 么+ 反仇o ) j x ， 式( 1 2 ) 以及具有白色噪声的线性随机系统 d x = 彳砌+ o k b k x d w 女， 式( 1 3 ) k = l 时，利用了l i e 代数的方法解决了这一问题。并在文 2 5 】给出了其指数矩稳定的代 数判据。其中 仇o ) ，k = 1 , 2 ，m 是期望值为零的平稳g a u s s 过程，自相关矩阵 凡。( f h = e 切o 切7 1 0 一彳) ，k = 1 , 2 ，m 是非负的噪声强度系数。w 是聊维的 w i e n e r 过程，并且满足 e w 。o ) ) = 0 ，e w 。o 少。g ) = m i n t ，s ，式( 1 4 ) 众所周知，能够在随机系统的稳定性分析中得到充分必要条件是非常困难的。 而文 2 5 】在得到了随机系统( 1 2 ) 为矿阶矩指数稳定的充分必要条件，并且得到随机 系统( 1 3 ) 的矿阶矩指数稳定的充分条件。与此同时在文献心7 ，鹦别中，分别讨论了线 性时变和时不变肺型随机微分系统的随机稳定性问题。解决相应稳定型问题普遍 采用的是建立相关等价的确定性系统的思路，利用张量和与张量积等数学工具， 得到了等价的稳定性确定性系统。再由确定性系统的稳定性来判定相应的随机系 统的稳定性，在确定和随机系统间架起了等价稳定关系的桥梁。张维海、袁富宇、 第l 章绪论 危启才和华玉爱等在文 3 0 ，3 1 中均利用了量积来讨论线性随机系统的均方稳定 性问题。通过考虑l y a p u n o v 型方程的正定解的存在性，得出了若干均方稳定性的 充要条件。 此外，s e oy b e ta l 2 3 另辟新径，提出了采用s 一特征值方法讨论线性随机系 统的稳定性问题。这是首次提出复平面上的随机特征值。也就是所谓的l t i 随机 系统的稳定性问题。 1 3 随机系统谱极点配置研究概况 一般认为，奈奎斯特( h n y q u i s t ) 在2 0 世纪3 0 年代初对反馈放大器稳定性 的研究，是系统控制作为一门学科发展的开端。控制科学主要研究如何通过反馈 环节修正动力学系统的行为以实现预定控制目标，即如何利用控制器，通过信息 变量的变换和反馈作用，使系统稳定并且满足一定的性能指标要求，可见反馈对系 统的控制和稳定起着决定性的作用。 控制理论的发展经历了“经典控制理论”和“现代控制理论”两个阶段。经典控制 理论的主要研究对象是单输入单输出时不变系统，主要的数学基础是傅立叶变换 和拉普拉斯变换。描述系统的基本数学模型是传递函数和频率响应。分析和综合 控制系统的主要方法是频率响应法和根轨迹法。其主要性能指标一般以系统状态x 或输出z 的响应时间、超调量、衰减度等表示。经典控制理论的应用在第二次世界 大战期间取得了巨大成功。第二次世界大战后的2 0 世纪5 0 年代蓬勃兴起的航天 技术推动了现代控制理论的发展。6 0 年代丌始了从经典控制向现代控制理论的过 渡。反映这种过渡的重要标志性成果是，卡尔曼( r e k a l m a n ) 把在分析力学中 广为采用的状态空间描述引入到控制理论中来，采用微分方程模型描述系统。并 且引入了对研究系统结构和控制具有基本意义的能控性和能观测性的概念。形成 了状态空间分析和综合的状态空间法。通常情况，在经典线性控制理论中，对于 控制器的综合或设计是立足于满足一定性能指标的；而在现代控制理论则要追求 最优性能指标，优化问题在控制中起着关键的作用。采用微分方程模型描述的系 统可直接在时问域中求解，实现对线性二次型等性能指标的最优控制。 在现代控制理论中，控制器的基本形式为反馈控制包括输出反馈和状态反馈。 决定系统是否满足稳定这一基本要求的关键因素是控制器是否具有足够快收敛速 度。众所周知，在确定性系统情况下，传递函数矩阵的极点结构特性决定着系统 的稳定特性和运动行为。也就是说线性系统的暂态响应与其传递函数极点的位置 密切相关，而在工程实际中确定极点的精确位置是没有必要的，只要保证极点分 布在左半复平面上的一定区域即可。因此相应的控制器综合问题称为确定系统的 极点配置问题。到目前为止，实现这种极点配置的主要理论方法是l m i ( 线性矩 4 山东轻丁业学院硕。l ：学位论文 阵不等式) 方法。与控制理论相关的线性矩阵不等式( l m i ) 问题的研究己有相当长 的历史，1 9 9 4 年，n e s t r o v 口3 1 提出了可以直接用于求解线性矩阵不等式凸优化问题 的内点法，使得利用线性矩阵不等式求解控制问题变得实用有效，线性矩阵不等 式再一次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域。许多控制问题 可以转化为一个线性矩阵不等式的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式 约束的凸优化问题。1 9 9 5 年m a t l a b 推出了基于内点法的求解线性矩阵不等式 问题的l m i 工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地处理、求解线性矩阵不 等式问题，这进一步推动了线性矩阵不等式在系统和控制领域中的应用。1 9 9 6 年 法国c h i l a l i 和g a h i n e t 提出将极点配置到复平面上某个用线性矩阵不等式表示的 区域，此后各种基于l m i 的稳定区域的极点配置研究成果层出不穷昭4 3 5 ，眠3 7 3 8 1 。 然而，上面凸优化方法并不适用于随机系统。而均方意义下的随机稳定性是 解决许多问题的基本前提，具有非常重要的意义。因此有必要找到一种全新的方 法来解决随机稳定系统的稳定性与可稳性问题。由此谱方法应运而生。文 7 ，3 9 提 出了谱方法来描述线性随机系统的均方稳定性，涉及了一些谱配置问题的讨论， 类似于确定系统的极点配置方法。事实证明，利用谱方法可以有效地描述随机能 观测性和可检测性。而且利用谱配置方法可以的较为理想的收敛率。具有非常重 要的实际价值和工程意义。谱意义的极点配置已经完美的配置到左半复平面。然 而，如何把谱配置到一个带状区域( 一历一口) 还没有得到最终解决。为攻克这一难 题还需要数学方面理论的进一步发展。 1 4 选题的目的和意义 由于稳定性在系统的正常运行中起到至关重要的作用，人们一直在致力于这 方面的研究。然而，正女h - f i ；j 面引言所述，所有的研究几乎都是在忽略掉随机因素， 把系统简化成确定性模型再进行研究的。通过对闭环系统的传递函数进行极点配 置，使系统的特征值保持在满足系统稳定性的区域内，以此来保证系统的稳定性 的方法在确定性系统中已经成为很普遍的方法，确定性系统的极点配置方法研究 已经相当成熟。然而，在一些对随机干扰比较敏感的精确系统中，不再允许忽略 这些随机因素，因此把动态系统如实地当作随机系统来研究是十分必要的。此时 如果没有相应的措施调整系统，那么随机系统的稳定性将无从谈起。 现代控制理论中，能稳性和能观测性是非常重要的两个概念。尤其在随机系 统的综合与分析中，均方意义下的随机能稳性扮演着举足轻重的角色。满足随机 能稳性是很多问题的一个重要前提。例如，无限时间随机最优控制问题m t 引3 ，又比 如鲁棒随机h 。问题h 2 3 州1 。为叙述方便，给定如下的随机系统： 5 第l 章绪论 f 寥? ( 出+ 曰扰枷+ 慨+ d “胁， x ( 0 l _ r - v - ”，式(15)j w 【y ：d l x ： 其中( 彳，b ，c ，d ，d 1 ) r “”r “”r “”r “”r 投”是实常矩阵，x ( t ) r ”是 系统的状态，u ( t ) r ”是系统的控制输入，y ( r ) r 7 是系统的量测输出量， v ( k ) r p 是能量有限的不确定外部干扰信号，即w ( ) 是定义在f i l t e r e d 概率空间 ( q ，f ，尸，e ) 的一维标准维纳过程，并且w ( o ) = 0 。系统初始状态初值为0 ，即 x ( o ) = 0 。随机系统( 1 5 ) 的稳定性描述有多种方法。张维海教授在台湾做博士后研 究时也深入的研究了随机系统的能稳性和精确能观问题，其2 0 0 4 年在a u t o m a t i c a 发表的“o ns t a b i l i z a b i l i t ya n de x a c to b s e r v a b i l i t yo fs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t ht h e i r a p p l i c a t i o n s ”一文中订1 ，开创性的提出了随机系统精确能观测性的概念，另辟蹊径， 提出了称为“谱技术”s p e c t r u mt e c h n o l o g y ) 的方法，类似于确定性系统传递函数 的极点配置，引入了谱配置( s p e c t n m aa s s i g n m e n t ) 理论。这种方法不仅可以帮助 我们了解系统随机稳定性和能稳性的程度，而且使得我们定性一些其它的基本概 念，诸如精确能观测性等。随着基础性研究的进一步发展，谱技术有望使得解决 随机系统稳定性问题得到彻底解决。这一问题的解决将对进一步深入的研究随机 系统有着非常重大的理论意义和应用价值。随机系统将得到更有效的控制，随机 系统的滤波，平滑以及预报问题等一系列工作也将有望得到较好的解决。 1 5 论文研究内容与章节安排 本文利用线性矩阵不等式( l m i ) 方法，基于凸优化的理论和随机系统极点配 置的已有成果，研究了离散系统的区域极点配置和随机系统均方稳定意义下的谱 配置问题，在此基础上进行离散以玩和随机日。滤波器的设计和具有带状谱区 域约束的，h 。控制器的设计问题。全文的内容安排如下： 第1 章为全文的绪论部分。第1 节引言概述了控制科学的发展；第2 节介绍 了随机系统稳定性的发展概况；第3 节简述了随机系统谱极点配置的发展情况和 未来趋势；第4 小节则明确了本文的研究目的和现实意义。最后一节概括了论文 研究的主要工作和章节安排。 第2 章是研究所需要的一些准备知识。第1 节为简单介绍了线性矩阵不等式 ( l m i ) ，给出了一些后面章节用到的公式；在第2 节中，详细介绍了随机系统的 渐进军方稳定性的概念及证明定理；第3 节介绍的是伴随随机系统稳定性发展起 来的谱理论；最后一节对日。滤波和混合且巩滤波问题作了简要介绍。 第3 章不仅解决了离散系统具有区域约束的滤波问题，而且区域的极点配置 范围得到改善。第1 节为本章引言部分；在第2 节给出了h ，范数和h 。范数等的 6 山东轻工业学院硕十学位论文 定义，并提出了问题；第3 小节给出了应用线性矩阵不等式凸优化将多目标h ，h 。 滤波问题转化为单一目标的优化方法。最后小节作出本章总结。 第4 章研究了随机系统既满足o f , 域稳定，又满足日。性能指标的充分条件。并 且给出了带有独立噪声的随机系统滤波器的设计方法。第l 节为本章引言部分； 在第2 节重新给出谱算子的定义形式，并且介绍了随机渐进均方稳定和口域稳定 的概念以及用谱的形式给出的渐进均方稳定的定理。第3 节主要给出了带有谱约 束的随机h 。滤波器设计方法。最后小节作出本章总结。 第5 章研究了在满足一定外部扰动抑制水平的情况下，随机系统在谱的带状 区域随机均方稳定的充分必要条件。第l 节为引言部分；第2 节介绍了随机系统 稳定和可稳的概念，并给出了问题描述：第3 节给出了主要定理，并有基于所给 定理得到两个推论；最后一节是本章总结。 最后，第6 章在总结全文的基础上，提出了有待进一步研究和探索的一些问 题。 7 第2 章预备知识 2 1 线性矩阵不等式 2 1 1l m i 发展背景 第2 章预备知识 关于线性矩阵不等式l m i 的研究历史由来已久。早在1 8 9 0 年，l y a p u n o v 在 其被称为l y a p u n o v 理论的著作中，提出了一个微分方程的稳定条件，即对于微分 方程 出o ) = 放o ) 衍，式( 2 1 ) 当且仅当存在对称正定矩阵p = p r 0 ，使得下面的不等式成立 a r p + p a o ， 式( 2 3 ) 其中x r ”是一个其元素为x t ( f = 1 , 2 ，m ) 的未知向量，只= e r r 删是给定的对称 矩阵。具有形如( 2 3 ) 的线性矩阵不等式称为严格l m i 。当 f g ) o 式( 2 4 ) 时，称为非严格l m i 。 在许多系统与控制问题中，可以将问题转化成具有( 2 3 ) 形式的一个线性矩阵不 等式。例如式a7 1 p + p a 0 成立。由于，& ) 0 ，向量x 的集合是凸的，这样具有这类约束和凸指 标的控制问题都可以简化为一个凸优化问题。凸优化问题的特点是其最优解为全 局的，而且存在有效的算法。由于本文后面章节要用到一些有关线性矩阵不等式 的基本变换公式，在此一并进行介绍。 l m i 问题的标准形式有以下几种h 9 1 ：可行性问题、凸优化问题、特征值问题等， 后面章节将出现这类问题。 ( 1 ) 定义2 1 可行性问题( f e a s i b i l i t yp r o b l e m ) ：对给定的线性矩阵不等式 9 第2 章预备知识 f ( x ) 0 ，检验是否存在满足该线性矩阵不等式的x 的问题称为线性矩阵不等式的 可行性问题。 ( 2 ) 凸优化问题( c o n v e xp r o b l e m ) ：也就是具有线性矩阵不等式约束的一个线 性目标函数的最小化问题 m i n i m i z ect x s u b j e c t t o ，g ) 0 其中，f 0 ) 是对称矩阵。 ( 3 ) 广义特征值问题( g e n e r a l i z e de i g e n v a l u ep r o b l e m ) ：就是具有线性矩阵不 等式约束的最大广义特征值的最小化问题 m i n i m i z e 五 s u b j e c tt o 彳协j 0 ，c 恤j o ， 【q - s r q s r 0 ， 或者 fq 0 ， ir s7 q 。1 s 0 例2 1 设a ，b ，q = q r ，r = r7 0 是适当维数的常数矩阵， c o m p l e m e n t 引理，可以把关于对称矩阵变量p 的二次矩阵不等式 a 丁p + 以+ p b r 一1 b r p + q 0 ， 使得下列线性矩阵不等式( l m i ) 彳r x + x a + c r x c i 第2 章预备知识 设x r 6 ”，s = d7 1 d r 4 娟为对称阵，并且其它参数为合适维数，那么此 系统用命令l m i v a r 和l i m i t e r m 给出上述3 个线性矩阵不等式系统的内部描述如下： s e t l m i s ( ) x = l m i v a r ( 1 ，【6 ，1 ) s = l m i v a r ( 1 ，【20 ；21 】) 1 s tl m i l m i t e r m ( 1l1 x 】，l ，a ，“s ) n ，n l m i t e r m ( 1l 1s 】，l ，乙) l m i t e r m ( 11 2x 】，1 ，b ) l m i t e r m ( 122i s ，一1 ，1 ) 2 n dl m i l m i t e r m ( - 21 1x 】，1 ，1 ) 3 r dl m i l m i t e r m ( - 31 1s 】，1 ，1 ) l m i t e r m ( 31 10 】，1 ) l m i s y s = g e t l m i s 其中，函数l m i v a r 定义了两个矩阵变量x 和s ，l m i t e r m 则描述了每一个线性矩阵 不等式中的各项的内容。g e t l i m s 回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示 l m i s y s ，l m i s y s 也称为是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称。以下将介 绍这几个函数的功能和用法。 ( 1 ) s e t l i m s 和g e t l i m s 一个线性矩阵不等式系统的描述以s e t l i m s 开始，以g e t l i m s 结束。当要确定一 个新的系统时，输入：s e t l i m s ( 口) 。 如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为l m i s o 的现有的线性矩阵不 等式系统中，则输入：s e t l i m s ( 1 m i s o 】) 。 当线性矩阵不等式被完全确定好后，输入：l m i s y s = g e t l m i s 该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示l m i s y s 1 m i v a r 函数l m i v a r 用来描述出现在线性矩阵不等式系统只能干的矩阵变量，每一次 只能描述一个矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般 表达式是： x = l m i v a r ( t y p e ，s t r u c t ) 这一函数定义了一个新的矩阵变量x 。函数中的第一个输入量t y p e 确定了矩 阵变量x 的类型，第二个输入量s t u c t 进一步根据变量x 的类型给出该变量的结构。 变量的类型分成三类： t y p e = l ：对称块对角结构。这种结构对应于具有以下形式的矩阵变量： 1 6 山东轻工业学院硕士学位论文 d l 0 0 d 2 oo 0 0 ： d ， 其中对角线上的每一个矩阵块d ，是方阵，它可以是零矩阵、对称矩阵或数量矩阵。 这种结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵( 分别相当于只有一块) 。此时， s t r u c t 是一个，2 维的矩阵。如果该矩阵的第i 行是( m ，n ) ，则其中的m 表示对称 矩阵块d ，阶数，而n 只能取1 、0 或1 。其中n = l 表示d ，是一个满的对称矩阵( 或 无结构的对称矩阵) ；n - 0 表示d ，是一个数量矩阵；其中n _ 1 表示d f 是一个零矩阵。 t y p e = 2 ：长方型结构。这种结构对应于任意的长方矩阵。此时，s t r u c t = ( m ，n ) 表示矩阵的维数。 t y p e = 3 其他结构。这种结构用来描述更加复杂的矩阵，也可以用于描述矩 阵变量之间的一些关联。x 的每一个元或者是0 ，或者是x 。，其中x 。是第n 个决 策变量。相应地，s t r u c t 是一个和变量x 有相同维数的矩阵，其中的每一个元取值 如下： f 0如果x ( i ，j ) = 0 聆女口果x ( i ，j ) = x 。 i n 如果x ( i ，j ) = 一x 。 ( 2 ) l m i t e r m 在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各项的内容。 线性矩阵不等式的项指构成这个现行矩阵不等式的块矩阵中的求和项。这些项可 以分为三类： 常数项； 变量项，即包含了矩阵变量的项，例如( 2 1 9 ) 式中的a r x 和c r s c 。一 般的变量项具有形式p x q ，其中x 是一个变量，尸和q 是给定的矩阵，分别称为 该变量项的左系数和右系数； 外因子。 在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时，l m i 工具箱提供了这样的功能， 即只需要确定对角线上方的项的内容，或者只描述对角线上和对角线下方的内容， 其他部分项的内容可以根据线性矩阵不等式的对称性得到。 用命令l m i t e r m 每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容。例如，对线性 矩阵不等式 p n 竺+ c r 跖船l i 被描述成 l m i t e r m ( - 31 1s 】，1 ，1 ) l m i t e r m ( 31 10 ，1 ) 为了便于阅读，也可以用线性矩阵不等式和矩阵变量的名称来表示对应的线性 矩阵不等式和矩阵变量。矩阵变量的变量名可以用l m i v a r 来赋值，线性矩阵不等 式名称可以用函数n e w l m i 来确定。这些标识符可以用在命令l m i t e r m 中以表示相 应的线性矩阵不等式或矩阵变量。 对例子的线性矩阵不等式系统，采用名称的相应描述如下： s e t l m i s ( ) x = l m i v a r ( 1 ， 6 ，1 ) s = l m i v a r ( 1 ， 2o ；21 】) b ri ，= n e w l m i 1 8 山东轻工业学院硕上学位论文 l m i t e r m ( n e w l m ill x ，1 ，a ，s ) l m i t e r m ( n e w l m i1 1s 】，c ，c ) l m i t e r m ( n e w l m i1 2x 】，1 ，b ) l m i t e r m ( n e w l m il221 s ，- 1 ，1 ) x p o s = n e w l m i l m i t e r m ( 一x p o s1 1x ，1 ，1 ) s l m i - - n e w l m i l m i t e r m ( 一s l m il 1s 】，l ，1 ) l m i t e r m ( s l m il 10 ，1 ) l m i s y s = g e t l m i s 其中：x 和s 分别表示变量x 和s ，而b r l 、x p o s 和s l m i 则分表示第1 、第 2 和第3 个线性矩阵不等式。一x p o s 指的是第2 个线性矩阵不等式的右边，x 表示 变量x 的转置。 1 9 第3 章离散系统具有区域极点约束的混合h 2 h 。滤波 第3 章离散系统具有区域极点约束的混合日2 也滤波 本文主要讨论了具有域极点约束的离散时不变系统的混合皿风滤波问题。 首先