（应用数学专业论文）椭圆问题离散及其高效解法.pdf

摘要 摘要 本文以椭圆型偏微分方程的离散格式及其高效解法为研究对象，主要讨论 以下几个方面的内容： 首先，基于最近提出的p 1 非协调四边形有限元，构造了一种新的四边形有 限体积离散格式用以求解两阶椭圆边值问题。在网格剖分不满足近似平行四边 形条件，即当两格尺度h 趋向于零时，所有四边形单元k 的两条对角线中点的 距离如不要求是o ( h 2 ) 阶小量的情况下，证明了该格式在离散日1 范数和p 范 数意义下具有最优的收敛阶。 其次，改进了两阶椭圆问题的c e l l 边界元方法在三角形网格剖分情况下收 敛性的理论分析结果，证明了该方法在日1 范数意义下具有最优的收敛阶。 再次，对非协调局部并行两重网格算法进行了研究，给出了一种网格转移 算子的构造方法，并证明了当采用p l 非协调三角形有限元和p 1 非协调三角形有 限体离散格式时，该算法得到的数值解与真解之间的能量模范数误差是最优的； 此外，将单位分解技巧与两重网格算法相结合，提出了一种带单位分解技巧的局 部并行两重网格算法，理论分析和数值试验均表明该算法能有效地将收敛精度 提高o ( h ”) 阶。 最后，分别讨论了两阶椭圆问题的马非协调四边形有限元和p l 非协调 四边形有限体积方法离散所得代数方程组的瀑布型多重网格解法，提出了 一种新的网格加细方案以及相应的网格转移算子，并证明了在使用共轭梯 度、j a c o b i 、g a u s s s e i d e l 等迭代方法作为光滑算子时，该方法可以在能量模范数 意义下达到最优的收敛精度，并具有最优的计算复杂度。 关键词：椭圆型偏微分方程，数值离散格式，高教解法 a b s t r a c t a b s t r a c t t h e o b j e e t o f t h i s t h e s i s i s t o d i s c u s s t h e c o n s t r u c t i o n a n d t h e c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o ft h ed i s c r c t i z a t i o no fe l l i p t i cp r o b l e m sa n di t se f f e c t i v es o l v e r s ，w h i c hi n c l u d e st h e f o l l o w i n gf o l l ra s p e c t s f i r s t l y , nn e wf i n i t ev o l u m em e t h o db a s e d o np 1n o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a lf i n i t ee l e m e n tf o rs e c o n do r d e re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si sp r e s e n t e da n da l i a o l y z e d t h eo p t i m a lb r o k e nh 1a n d 工2e l t o re s t i m a t e s a r ep r o v e dw i t h o u tt h ee o n d i d o n o nt h ep a r t i t i o nw h i c hr e q u i r e st h a tt h ed i s t a n td kb e t w e e nt h em i d p o i n t so ft h et w o d i a g o n a l si so fo r d e ro ( h 2 1f o ra l lq u a d r i l a t e r a le l e m e n tk a sh g o e st oz e r o s e c o n d l 弘t h e a p r i o r e f f o r e s t i m a t eo f c e l l b o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d i s i m p r o v e d i nt h ec a s co ft r i a n g u l a rp a r t i t i o n ，w h i c hi sp r o v e dt ob eo p t i m a li nh 1n o r ms e n s e t h i r d l y , t h el o c a la n dp a r a l l e lt w o g r i da l g o r i t h m sf o rs o m en o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n ta n df i n i t ev o l u m ed i s c r e t i z a t i o na r ed i s c u s s e d ak i u do ff e n s i b l ew a y t oc o n s t r u c t t h e i n t e r g r i d t r a n s f e r o p e r a t o r i s p m p e s e d i t i s p r o v e n t h a t t h ec o n v e r g e n c er a t e s a r eo p t i m a li nb r o k e n 日1n o r ms e l x 鸵f o r 尸ln o n c o n f o r m i n gt r i a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t a n dbn o n c o n f o r m i n gt r i a n g u l a rf i n i t ev o l u m em c t h o d s ，f u r t h e r m o r e ，b yc o m b i n i n g t i f f sa l g o r i t h mw i t hp a r t i t i o n - o f - u n i t yt e c h n i q u e ，a ni m p r o v e dl o c a la n dp a r a l l e lt w o - 面da l g o r i t h mi sp r o p o s e d ，c o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t s i n d i c a t e t h a tt h ea l g o r i t h mc a ns u c c e s s f u l l yi m p r o v et h ea c c u r a c yb yo ( h 1 ，2 ) o r d e r f i n a l l y , t h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d sf o rp 1n o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a lf i n i t e e l e m e n ta n d 只n o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a lf i n i t ev o l u m es c h e m e sa r ep r e s e n t e da n d a n a l y z e d an e wg f i dr e f i n e m e n ta n dan e wg a d t r a n s f e ro p e r a t o ra t ec o n s t r u c t e d i ti s s h o w nt h a tt h e s ea l g o r i t h m sp o s s e s st h eo p t i m a l c u r a e ya n dc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yw i t hc o n j u g a t eg r a d i e n t ，j a c o b ia n dg a u s s s e i d e ls m o o t h e r s k e yw o r d s ：e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，d i s c i t i z a l i o ns c h e m e , e f f e c t i v es o l v e r 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：历呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名： 年月日 第t 章引言 第1 章引言 1 1 概述 微分方程是十八世纪诞生的一个重要的数学分支，它是构建科学、工程学 和其他领域的数学模型的主要手段。为了获得微分方程的解或者是了解其解的 某些性态，通常都需要将这些模型与计算机技术相结合，并使用数值计算的方法 来解决实际问题。常见的离散方法有：有限差分方法、有限元方法、有限体积方 法和谱方法等。 多数情况下，来自自然科学与工程领域中的微分方程在数学上表现为守恒 形式，或者说是自然界中的守恒定律在数学上的直接反映。例如对流体力学方 程组而言，它们就是质量、动量和能量守恒得到的方程。考虑到模型问题的守恒 性质，在对此类由守恒定律导出的微分方程进行离散求近似解时，如何构造具 有( 局部) 守恒性质的的离散格式是一个十分有意义的课题。常见的两种具有局 部守恒性质的离散格式是间断有限元方法和有限体积方法。这两种方法都在实 际工程应用中，特别是计算流体力学和电磁学等领域，取得了比较理想的效果。 间断有限元方法是1 9 7 3 年由r e e d 和h i l l i s 为求解中子运输方程而首先提 出的。在加世纪8 0 年代后期和9 0 年代，c o c k b u m 和s h u ( 4 3 4 q 等结合高阶t v d r u n g e k u t t a 时闻离散方法 g o l 和间断解问题数值流通量等思想，进一步发展了 间断有限元法，将其推广到非线性一维守恒律方程和方程组、高维守恒律方程和 方程组，并给出了部分收敛性理论证明。随后该方法开始逐渐应用到气象学、海 洋学、气动力学、湍流、粒子流、石油勘探、磁动力学、电磁学等许多实际领域。 对于两阶椭圆问题，a r n o l d eo 】等在一个统一的框架下对多种问断有限元格式给出 了的收敛性分析，并进行了比较分类。e 堍e l m j 等研究了四阶椭圆河题的c 。问 断有限元方法。对于由文【5 2 中提出的方法所得的近似解，b r e n n e r 在文【2 9 】中 提出了一种后处理技术可燎其解映刳到传统的g 1 有限元空间上。关于问断有限 元方法的综述和应用的文章可参考会议论文集 4 2 】。 有限体积法，亦称为广义差分法，它的基本思想就是把检验函数空间取得 尽可能灵活简单( 通常用分片常数函数空间或分片线性函数空间) ，以减少工作 第1 章引言 量而又保持试探函数空问的逼近阶，以求兼有差分法的简单性和有限元法的精 确性。详细见李荣华和陈仲英的专著f 7 0 及专著中的参考文献。与此同时，许多 学者如b a n k ，r o s e 。l i a c k b u s c h ，c a i ，m a n d e l ，m c c o r m i c k 等在有限元空间中实 施有限体积法，参见【3 2 - 3 4 ，5 9 ，7 0 】。这些学者以给定的三角形或四边形网格剖分 为基础，构造了对偶剖分，对偶单元与原剖分网格的顶点是一一对应的，然后使 用连续分片线性或双线形有限元空间进行离散求解，得到了日- 范数的误差估 计。由于有限体积法不是从原始问题的变分形式出发构造的，这给它们的收敛性 分析带来了一定的困难。c h o u ，k w a k 和v a s s i l e v s k i 等提出了一种通过引入“对 偶”有限元问题，并分析有限体积方法和“对偶”有限元方法的解之间的差异的 方法来克服这一困难，详见文1 3 8 4 0 】。对于四边形( 非矩形) 网格剖分情况下 的有限体积法，l i 在其博士论文【7 1 】里给出了等参双一次有限体积方法的误差 估计；m a n 7 4 给出了p 1 非协调四边形有限体积方法的构造及其收敛性汪明。注 意，上述两篇关于四边形网格有限体积方法的文章都是在假定网格剖分是近似 平行四边形的条件下给出最优阶的收敛性分析的。本文在第二章中提出一种新 的四边形有限体积离散格式，该格式以只非协调四边形有限元空间为试探函数 空间，以分片常函数空间为检验函数空间，并给出了最优的日1 范数和离散驴范 数误差估计。与文【7 4 不同的是，本文所提格式通过选取合适的对偶剖分，成功 地去除了近似平行四边形阿格限制( 见文 7 4 】中假设3 i ) 。据作者所知这是到 目前为止唯一一个理论证明了的不需要此类条件的四边形有限体积方法。 c e l l 边界元方法 6 7 - - 6 9 3 是新近提出来的一种具有局部守恒性质的离散方 法。该方法是由在单元上的具有连续边界条件的局部问题推导出来的，因 此可视为是将区域分裂方法嘞应用在单元层次上而得到的一种离散格式。 在文 6 8 ，6 9 】中，j e o n ，p a r k 和s h e e n 给出了该方法的误差估计，证明了：( 1 ) 当真解h 1 竹( n ) ni 坨( q ，) 时，该方法具有最优的收敛性；( 2 ) 当“e 日1 十1 ( q ) d 尸( q f ) 时，即真解具有较弱的正则性时，该方法在日t 范数意义下仅 具有拟最优的收敛性，即o ( h 0 4 ) 对任意j 0 。本文在第三章中证明了即使在 这样的较弱的正则性条件下，当网格是正则和拟一致的三角形剖分时。该方法仍 具有最优的收敛性。其关键技术是引入了c e l l 边界元方法的一个等价形式，这 一形式表明该方法与p l 协调有限元方法具有一定的相似性。 另一方面，由有限元方法或有限体积方法等离散后得到的线性代数方程通 2 第l 章引言 常是大规模的稀疏矩阵，并且条件数较差。因此当使用迭代法进行求解时，需要 使用各种各样的预处理技术来进行处理以达到较快的收敛速度。近三、四十年 迅速发展起来的多重网格方法是一种最常用的，也是最有效的预处理技术之一。 该方法通过在耜网格上消除误差的低频分量，并在细网格上控制误差的高频分 量的方法，极大的提高了计算效率。本文主要讨论两种类型的多重网格方法：局 部并行两重网格方法和瀑布型多重髑格方法。 局部并行两重网格算法是一种基于离散格式局部超收敛性的并行算法。该 算法具有两个优点：( 1 ) 由于该算法只需要交换数据一次，因此可在很大程度上 减少系统中并行算法的通讯量和计算时间，是一种高并行性的算法；( 2 ) 另外 由于可控制各个子区域中的自由度的太小，因此能很好的解决并行算法中荷载 平衡问题。两重网格算法最开始由x u 【蜉s 6 提出用以求解非对称和( 或) 非线性椭 圆问题，后又被其他学者进一步研究，如文 6 ，1 i ，铝，4 9 ，7 5 等。基于有限元内估 计技巧 2 , 3 2 6 3 2 , 7 3 7 6 1 ，x u 在文t 9 7 】中将两重嗣格算法推广到两阶椭圆问题，提出 了协调有限元的局部并行两重网格算法。该算法的主要思想就是：首先在粗网 格上求得微分方程的近似解，然后将高频残量在各个局部子区域并行的进行修 正。随后，这一方法被应用到n a v i v r - s t o k e s 等问题上【5 7 ，5 8 1 。到目前为止，两重 网格算法均是基于协调有限元( 有限体) 离散的。然而，非协调元在实际问题中 有大量的应用，比如薄板弯曲问题，s t o k e s 问题和平面弹性问题等一方面，非 协调元逼近能在保证收敛性的情况下，降低离散方程的规模；另一方面，可使用 非协调元克服闭镄现象。因此，本文在第四章以两酚椭圆问题为模型问题，对非 协调的局部并行两重网格算法的构造和收敛性分析做了一些研究当采用r 非 协调三角形有限元和p 1 非协调三角形有限体离散格式时，给出了一种网格转移 算于的构造方法，并证明了该算法得到的数值解与真解之间的能量模范数误差 是最优的。此外。结合单位分解技巧【7 ，9 , 6 5 ，6 6 】，在第五章提出了一种带单位分 解技巧的局部并行两重两格算法，理论分析和数值算例表明该方法能有效地提 高o ( h 1 2 ) 阶收敛精度。 瀑布型多重网格方法是近年来发展起来的一种特殊的多重网格方法，它可 以被视为一种校正次数为零的多重网格方法，即所谓单向多重网格方法。其主要 特点是在保持精度的前提下，以粗网格上较多的迭代次数为代价，来避免细网格 上的校正，并减少细网格上的迭代次数。s h a i d u r o v 在文【8 4 中对瀑布型多重网 3 第1 章引言 格方法的进行了收敛性分析。1 9 9 6 年，b o r n c m a n n 和d e u f l i h a r d i 6 1 证明，对p l 协 调元，当瀑布型多重网格方法用于两阶椭圆问题时，对二维问题，用共扼梯度法 作为光滑迭代算子能够达到最优；对三维问题，所有光滑迭代算子都能够达到 最优。s h i 和x u 将瀑布型多重网格方法推广到两阶问题的多种有限元( 8 7 】，并 证明了对两阶问题用共扼梯度法作为光滑迭代算子能够达到最优，而对四阶 板弯曲问题【8 6 】，共扼梯度法能够达到拟最优，其它传统光滑迭代算子都不能 用。b r a e s s u 7 j 还将瀑布型多重网格方法应用于s t o k e s 问题，并证明此方法是撮优 的。s t e v e o n 9 1 】利用非协调元空间( 如非协调p i 元、m o r l e y 元等) 与某些协调元 空间的关系。证明了对正则性较低的两阶间题，用非协调元空间、协调元空问的 瀑布型重网格方法同样具有最优收敛性，并且对四阶问题的m o r l e y 元方法作适 当修改后用瀑布型多重网格方法也可以达到最优。本文在第六章中分别讨论两 阶椭圆问题尸l 非协调四边形有限元和p i 非协调四边形有限体积方法离散所得 代数方程组的瀑布性多重网格解法，证明了在使用共轭梯度以及其它传统光滑 迭代算子时，该瀑布型重网格方法可达到最优。所提出的网格加缅方案以及相 应的网格转移算子，能够保证该结论在一般四边形网格也成立，即不要求剖分满 足近似平行形条件。 最后，第七章总结了本文所做的工作，并对进一步的研究方向进行了简要的 讨论。 1 2 函数空间 本节我们给出一些函数空间的定义。 假设q 为平面r ”上一有界凸多边形区域。对p 1 ，我们用妒) 表示n 上 的p 次可积的可测函数全体。( q ) 中的范数m - f 式定义： | i ，= ( 加地) ”，- 锕o 。 对p = o o 。l 。( 0 ) 表示q 上除去一个零测度集外是有界的可测函数全体，其范 数为 i t l - ( j = e s u pf 儿 4 第1 章引言 设a 是一重指数，m 是一非负整数。函数，的广义导数记为d o ，。 则s o b o l e v 空间w ( q ) 定义为“p ( q ) 且“的直到m 阶广义导数也属 于p ( q ) 的局部可积函数全体，并装备以范数 、l 扫 i l f l l 哪= l 渺川o 。) ，1 p o 。， s m i i 1 1 m ，c 。, f l 2i m 剌d 。f l l 。* 另外， ，、1 p 棚= l o 伊州i ， 1 p o o ， 1 n 仁m 为空间w ( q ) 上的半范。 对p = 2 ，我们简记f p m ) = w 哥( q ) ，其上范数和半范也分别记为”i i 。皿= ”0 。j 2 n 和f i 。舯= i i 。名n 。定义月护( q ) 为e 笤。) 关于范数 j i 。皿的闭包。 由p o i n c a r 6 不等式知，在 留( n ) 中，半范 l 。，n 也是范数且与”。，n 等价。 本文中，我们用c 或e 表示与网格剖分等参数无关的常数，而且在不同的位 置可能取不同的数值。 5 第2 章e 非协调四边形有限体积方法 第2 章b 非协调四边形有限体积方法 本章提出一种基于尸i 非协调四边形有限元的有限体积离散格式，证明了 该格式在铲范数和离散日1 范数意义下具有最优阶的收敛性。与文 7 4 1 中所 构造r 非协调四边形有限体积法相比，该新格式通过采用一种新的对偶剖分 的方法，去除了文 7 4 j 中为获得虽优工2 误差估计而对网格剖分提出的所有四 边形单元k 的两条对角线中点的距离妇是o ( h 2 ) 阶小量的限制( 见文1 7 4 中假 设3 1 ) 。 2 1 模型问题 假设q 是平面r 2 一有界凸多边形区域，8 q 为其边界。考虑如下模型问题 一v ( a v u ) = f在q 内，( 2 1 ) 2 = 0在o f l 上， 此处，铲( n ) ，a = ( a , d ) 2 。2 ( w l ( n ) ) 4 是实对称矩阵函数且满足一致椭圆 性条件，即 0 c 蚓2 p 出c 旰 1 h a c w 乏c n ) ) 4 ，则如下估计式成立 0 q 一峨n g 0 ，1 a n ( 2 4 6 ) 1 5 甜 伫 畦岫一引 慨旷+ 6 k + “ n 也 陋吼 一 i 成立 i i ，一c k ( 川b c h , d l i l h p ， ( 2 5 4 ) 再由引理2 7 和施瓦茨不等式可得 岛l i = ( ，i l h 妒一凰n 妒k 5 。赢) 正( ，一c k c f ) ) ( 聊一矾蚺 c h 2 1 1 f l h 口皿ij 妒1 1 2 ，n ( 2 5 5 ) 正拈v ( a v u ；= z 。t 。a v + n 如+ f o 。a v 疃n d s ，( z 岗) 再将上式两边同时乘以! 乒并关于所有内部顶点求和可得 募，上v 怛硐砜蛐2 雾掣k 惭n 如 + 。蒜，厶a v 壤m 取m 州8 注意到对任意稀( n ) ，成立 。磊。，z 。胛拈0 h 矗【n ) 1 f ( , o h 一凰) 如= 0 ， 其中e 是矗( q ) 的任意一条边。 是故，可将丘z 分解为如下三部分。 j 2 2 = ，v ( a v u d ( n 吵一风n 咖) 如 耳e c n ) 1 7 ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) j 塑皇卫j e 堕塑婴垫垩查墼堡塑查堕 + k 东，( 一厶胛u 和( i i 一妒一玩毗汹+ 厶a v u , n h 一似) 5 。磊m 上玑似可峨) ( 酬一r j l 妒) d x + k 纛丘胛一豹( 棚吨酗 = 止v ( a v 搬 妒一r h i i h 妒) d z ( a 一- e ) 审。一u ；) n ( n 。妒一吼巩妒) 幽 k e t h ( f 1 ) e 6 0 k 。 + 五v 。棚。币幽 眉毫靠( n ) e a 耳。 = 如l + 如鼢+ 厶珏， ( 2 6 0 ) 其中瓦= a ( 弛) 。 令再_ 两表示v a 在耳上的平均。由引理2 6 和( 2 4 9 ) ，可得 嘲5 i ，( v a 一万丽) v t 觚妒r h l l 妒) 叫 耳e 矗( n ) 。 g 2 j 柚胁腿疗( 2 6 0 由引理2 6 ，定理2 ，1 和施瓦茨不等式可知 l k l c h 2 1 l u l h ，a l l 妒l h , n ( 2 6 2 ) 由引理2 3 ，引理2 ，5 和施瓦茨不等式可知 j b j - 瓦( v u n r q ) ( 。妒一纠幽 抒矗印” c h 2 i l u u 2 , 1 l 妒1 1 2 舯 佗6 3 ) 至此，我们得到 如c h 2 i i 1 1 1 , , 1 1 1 妒1 1 2 , o f 2 6 4 ) 综合不等式( 2 4 8 ) ，( 2 5 0 ) - ( 2 5 2 ) ( 2 6 4 ) 即完成了本定理的证明。 口 1 8 第2 章p l 非协调四边形有限体积方法 2 5 数值算例 考虑矩形区域n = ( o ，1 ) ( o ，0 2 5 ) 上的问题( 2 1 ) ，其中0 1 t = 0 0 0 1 + 5 y ，n = 啦l = 0 ，口2 2 = 0 , 0 0 1 + 5 x 。取真解为u = ( 1 一z ) 。( o 2 5 一“) g ，右端项由计算可 得。四边形网格靠( n ) 由如下节点构成 玑d = h ，x i d = j $ h + 日$ hl = 1 ，3 ，5 ，j = 1 ，- ，4 n ， y l , j = i h ，z ；j = j h 一口 hi = 2 ，4 ，6 ，j = 1 ，- - ，4 n 其中h = 1 加，口【0 ，1 ) 为待定常数。注意，当指标日接近零时，四边形单元的形 状接近矩形，此时前文所述的对偶单元的顶点0 1 3 ( 0 2 4 ) 与矩形的对角线中点以 及对角线的交点的坐标非常接近；反之当指标口接近l 时，则这些点的坐标相差 较大。 广 图2 5 不同指标口下的单元形状示意图 对上述数值算例，使用前文所述离散格式进行计算，其结果见表2 1 - 2 4 。从 表中的数据可以看出，该算例的收敛阶与理论分析相一致。 表2 5 2 8 是使用文 7 4 】中所提出的有限体积离散格式计算所得结果。比较 表2 1 - 2 4 和表2 5 - 2 8 ，可以发现该算例中本章所提的格式具有更高的计算精 度。 1 9 ：、焱一 一 l 塑! 皇鱼韭堡塑婴望受查堕整堡互鲨 袭2 1 计算结果i ( 0 = 0 2 5 】 u n k n o w n s 一u l l a r a t e i i u 羔一“0 0 皿 r a t e 8 3 21 ，2 4 8 6 2 e 一0 0 34 3 9 3 l o e - 0 0 5 1 6 6 46 2 9 1 6 l e - 0 0 41 ，9 8 1 ，0 9 4 3 0 e - 0 0 54 0 1 3 2 1 2 8 3 1 7 5 8 7 e 0 0 41 9 82 7 3 7 9 2 e 一0 0 64 0 0 6 4 2 5 6 l6 0 6 6 3 e - 0 0 4l9 86 ，8 7 0 1 1 e 0 0 73 ，9 9 表2 2 计算结果1 ( 口= 0 5 ) u o k r l o w 1 $ 1 1 吨一u 1 1 1 f a 忙 l i u 乞一似0 0 m r a t e 8 3 21 3 6 9 9 9 e 0 0 34 8 4 8 6 2 e - 0 0 5 1 6 6 46 9 8 4 0 3 e 一0 0 4 1 9 61 2 1 3 1 9 e 0 0 54 0 0 3 2 1 2 83 ，5 7 1 4 5 e - 0 0 419 63 0 5 1 5 0 e 0 0 63 ，9 8 6 4 2 5 6 1 8 3 8 1 2 e ，0 0 41 9 4 7 7 1 7 8 5 e _ 0 0 7 3 9 5 表2 , 3 计算结果i 棚= 0 7 5 ) u n k n o w n $ 1 1 吒一v 0 1 r a t e * 吒一“o 皿 t a 皓 8 3 21 5 3 0 9 9 p 0 0 3 5 4 9 3 7 7 c - 0 0 5 1 6 6 47 ，9 1 0 4 6 e - 0 0 4 1 9 41 3 9 2 0 9 e 一0 0 53 9 5 3 2 1 2 84 1 0 0 7 4 e _ 0 0 4l9 33 5 3 3 1 7 e 0 0 63 ，9 4 6 4 2 5 62 1 4 2 1 2 e 0 0 41 9 l9 0 0 8 7 l 0 0 7 3 9 2 表2 4 计算结果i 佃= o 9 0 ) l j 舶k n o w n s i i 吒一训l r a t e l i 吒一u l i o 且 r a t e 8 3 2 1 6 4 5 7 1 e 0 0 35 9 7 31 4 e - 0 0 5 1 6 6 48 5 7 6 0 4 e 0 0 41 9 21 5 2 9 6 3 e 一0 0 53 ，9 0 3 2 1 2 8 4 4 7 9 3 9 e 0 0 41 9 13 9 0 7 4 7 e - 0 0 63 9 1 6 4 2 5 6 2 3 5 5 6 l e 0 0 41 9 01 0 0 0 3 9 e 一0 0 63 9 l 2 0 蕉! 雯鱼韭堡塑婴望受要墼堡堡查垦 表2 5 计算结果 = 0 2 5 u n k n o w n s 1 1 “2 一训l ， r a t e 0 吨一u l l o ，n r a t e 8x3 21 4 1 “3 棚34 7 1 7 8 3 e 0 0 5 1 6 6 473 7 2 2 9 e - 0 0 41 9 21 2 0 0 9 9 e 0 0 53 9 3 3 2 1 2 83 7 9 7 4 ( k 0 0 41 9 43 0 4 5 9 5 e 0 0 63 9 4 6 4 2 5 61 ，9 4 6 3 0 e - 0 0 41 9 57 ，7 1 2 5 6 e - 7主9 5 表2 6 计算结果 p = 0 5 0 ) u n k n o w n s l l u 一u 忆 r a t e i 盹一u l l o , n r a t e 8 x3 21 6 9 8 8 4 e 0 0 35 5 3 3 4 8 e 一0 0 5 1 6 6 48 9 3 2 1 l e ( x m 1 9 0 1 4 2 1 4 8 e - 0 0 53 8 9 3 2 1 2 84 ，6 2 7 3 6 e 一0 0 41 9 33 6 2 1 4 9 e 0 0 63 9 3 6 4x2 5 62 3 9 8 6 5 e 0 0 4l9 392 3 5 5 8 e 0 0 73 9 2 表2 7 计算结果1 i ( 0 = 0 7 5 ) u n k n o w n s 2 一“柏1 r a t e i i 吒一u l l o n r a t e 8 3 21 9 0 2 2 7 e - 0 0 36 2 9 3 0 8 棚5 1 6 6 41 0 0 9 4 4 0 - o d 3 1 8 81 ，6 3 8 0 2 棚5 3 8 4 - 3 2 1 2 85 2 8 1 2 l e - o l wl j 9 l42 0 8 8 l e - 0 0 63 8 9 6 4 2 5 62 7 6 6 5 8 e - 0 0 41 9 11 0 8 0 4 2 e 0 0 63 9 0 表2 8 计算结果1 1 ( 口= o 9 0 ) u n k i l o w n $ 8 “毛一“乳 n 赴 肛一- i i o 丑 r a t e 8x3 22 | 0 1 5 1 2 e - 0 0 36 7 7 7 5 8 e 0 0 5 1 6 6 4 1 0 7 6 3 3 e 0 0 31 8 7】7 8j 3 8 e - 9 0 53 8 0 3 2 1 2 85 6 6 5 8 3 e 一0 0 41 9 04 6 0 4 7 8 e 0 0 63 8 7 6 4 2 5 62 9 8 3 4 4 e 0 0 4 1 9 01 1 8 5 9 葩躺 3 8 8 2 1 第3 章c e l l 边界元方法 本章考虑如下两阶椭圆边值问题： 一v - ( a v u ) = ， 在q 内，( 3 1 ) “= 0在抛上 此处，n 是平面r 2 中一有界多边形区域，其边界为2 。假设n 由j 个互不覆盖 的子区域q i ，q ，组成，系数a 是一分片常函数，即a ( x ) 在每个子区域n f 中 为常数，且满足0 csa ( 霉) sc 0 。本章的目的就是证明即使在这样较弱的正则性条件下，当网格氕是 正则、拟一致三角形剖分时，该方法仍具有最优的收敛性。其关键技术是引入 了c e l l 边界元方法的一个等价形式，这一形式表明该方法与只协调有限元方法 具有一定的相似性。 3 1c e l l 边界元离散 对于剖分瓦，分鄹令暑h ，磁和靠为其所有节点所有内部节点，所有边组 成的集合，并定义框架和局部框架如下 = u i ， b = u - e “e e f h ( p ) 第3 章c e l l 边界元方法 其中靠如) 是由所有以节点p 为顶点的边组成的集合。定义 o ) = u z 部w 佃) 0 对任意p j h ，令p 表示与顶点p 相邻顶点的个数。 空问日1 ( n ) 和明( o ) 在框架航上的迹空间定义如下 a ( 咒 ) ：= i k 。：，日1 ( q ) ，a o ( 咒h ) ：= ，l h ：，硪( q ) ) 对每个节点p ，令绋为秭上的连续分片线性函数且满足屯( p ) = 1 和如( 劬= 0 当g 不同于p 。由此，我们定义如下有限维空间 ( ) ：= s p a n p ：p z d ，g ( c ) ：= s 1 ( 咒h ) na 0 ( ) 基于剖分无，令s 1 ( 氕) 和砩( 兀) 为标准p l 协调有限元空间，其中瑶( 矗) 满 足零边界条件。空问伊( i c ) 和伊( 瓦) 在每个单元t 兀上的限制将被表示 为s 1 ( a t ) 和伊( t ) ，其中a r 表示三角形单元t 的边界。 给定函数口a ) ，令日0 ) 目1 ( q ) 为函数。在q 上的分片调和延拓，即 对每个单元t 氕，h v ( v ) ：= 日( u ) l t 满足 一 b ( 口) = 0在t 内，( 3 2 ) 胁( 口) = p 在o t 上 此外，定义日( a ( h ) ) 和h ( s 1 ( 咒 ) ) 分别表示由空问 ( 尼h ) 和s 1 ( k h ) 中的函数 经分片调和延拓得到的函数集合。 类似地可分片定义算子，即令n l r ：= t 对所有的t 五。而算 子r ：日垅( a t ) 打一1 ，2 ( a t ) 表示局部s t c k o l v - p o i n c a r c 算子，即满足 a ( 口) 2 兹坼( 口) 在o r 上 ( 3 3 ) 此处及本章后文，表示单元? 的单位外法线方向。 令g ( 动= 一( 1 斯) l o g 蚓为泊松算子的基本解。定义函数f 为 f ( 。) i r ：= b ( 。) 2 去上g 扛一y ) f ( y ) d y ， z t ( 3 4 ) 显然，一a f t = ，。 第3 章c c l i 边界元方法 对任意e 0 q ，存在两个三角形单元乃和正以e 为公共边。对任 意 h 1 ( 再) ，定义 孔1 一a 。舰j 【剥。2 萄+ 磋 在e = 蠲n 蠲上 现在，c e l l 边界兀方法可描述为：寻找“ 品( k ) ，使满足 。磊，加叫加。三，fl a c n 一未，f 】。幽，坳呱，e 就 “c 岛。6l j 8 注3 i 限于篇幅，这里忽略了格式( 3 5 ) 的推导及其实现的部分，具体内容参 见 6 7 - - - 6 9 中相关章节。 注意到c e l l 边界元方法的解只给出了真解u 在框架上的逼近。事实上， 通过积分表示公式( 3 7 ) ，可将解从_ i i = h 延拓至整个区域q 。为此，首先定义单 元t 的法向通量为 鼽m ) ：= t 讹一t f t + 豢在卯上， ( 3 6 ) 则真解“的整体逼近定义为 巩( z ) _ 碍忙) + 厶 g 一g ) 鼽( u n ) 一筹。) ( ) ) d 毛v z z ( 3 7 ) 需要指出的是，文【6 9 】中证明了u 具有如下性： 一a 玩= - a a u = ，在t 内，( 3 8 ) u 锄，鬻叫) 在卯上 ( 3 9 ) 这表明逼近解巩具有局部守恒性。 3 2 收敛性分析 本节将给出c e i l 边界元方法的一个p e l r o v - - g a l e r k i n 等价形式，并从这个等价 形式出发证明其具有最优的h 1 误差估计。 首先，问题( 3 5 ) 可改写成：寻找i l h s o ( h ) ，使满足 。嘉，z 【a m 也虿_ d s = 。磊，z ( 一未) 叫。；_ d s ，即磊t 。1 0 )e h p ) 。8t 。l j 。 筮i 皇q ! 望墨垂直鎏 此处，i 表不由函数口在每条边ech 上取平均而得到的定义在框架上的分f l - 常函数。 由极大值定理，容易验证下面的引理成立。这个引理表明分片调和延拓算 子且是从空间s 1 ( _ 靠) ( 或锑( 咒 ) ) 到空间s 1 ( 兀) ( 或懿( 兀) ) 的一一映射。 引理3 1 对任意口s 1 ( 矗) ，成立 = 日( 口) ：= 日( 口k ) 。此外，对任意口 s 1 ( 咒 ) ( 或u 岛( k ) ) ，存在唯一的矿s 1 ( 而) ( 或矿础( 瓦) ) ，使得矿= 日扣) 。 引理3 2 对任意p 磊，成立 上帆刈酗2 磊z 删( 时v 嘲胁 证明由于在边界e c c a l c ( p ) 上瓦= 0 ，故 a i i u 如d s = 0 ( 3 1 2 ) j m ( p ) 再由格林公式可得 ， 徊“】_幽+厶删仰锄酗2乏crn-avhca(p) j ( 融 j j 妇) f 赢卯 2 嘉厶”胛叫缈 。磊上胛叫) w ( 3 1 3 ) 口 引理3 3 1 卿对任意p z ，成立 l 卜别硒2 磊加嘲执 柳 综合引理3 1 ，引理3 2 ，引理3 3 和( 3 1 0 ) ，可得如下定理 定理3 1 问题( 3 5 ) 等价于寻找“ 翻( 如) 使得 f a v h 础2 蒹胁蚓- ) 如i 讹嘲耐 第3 章c a l l 边界元方法 由上述定理所建立的等价格式( 3 1 5 ) 可以看出c e l l 边界元方法和p l 协调有限元 方法具有相似的双线性范函，只是右端项有所不同。 下面，我们将从等价形式( 3 1 5 ) 出发，给出c e l l 边界元方法收敛性分析。首 先给出几个引理。 引理3 4 对任意口s 1 ( t ) ，成立 c l t l i ，t 兰。) 一v 扫。) ) 2 c l w 陆 3 1 6 ) 其中“= p 4 ，p 2 ，热为三角形丁的三个顶点。 证明由s c a l i n g 技巧可得。 口 引理3 , 5 对任意f 口) ，成立 l i 骄( 可一静) l o ，曼g _ f ；t 枷1 1 声， ( 3 r ) 其中 t 表示t 的外接圆直径。 证明使用伸缩变换量= $ b 将t 变换至于，并定义v ( i ) ：f b ( - 一u ) ( b ) 。 显然，v ( ) 在于中调和。 注意到丑，：p ( d 于) 一+ h 1 2 ( 于) 是有界的【l ，定理7 4 1 ，所以由引理3 4 可得 上i f b ( _ 一叫2 出= 碡z l y ( 圳2 出 c ( 于) 碍i y ( o ) 1 2 d = e 学) bl1 爷一1 2 d 8 。 c 碍i i b ( 3 1 8 ) 此即完成了本引理的证明。 口 下面给出解日0 ) 在日1 范数意义下的误差估计。 定理3 , 2