（环境科学专业论文）河网系统的非线性特性及其分形研究.pdf

a b s t r a c t t h er i v e r - n e t w o r ki sp h y s i c a l l yc o n s i s t e do fm a n yl a r g eo rs m a l lr i v e r sw h i c ha r e a l lc u r v e d , a n de a c hl a r g eb e n dc o n t a i n ss m a l lb e n d t h e r e f o r e ，h o wt od e s c r i b ea c t u a l e x t e r n a la n dm a c r o s c o p i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h er i v e rs u c ha st h ed e n s ed i s t r i b u t i o n a n df l e x u o s i t yh a sb e e nn o t i c e db ym a n ys c h o l a r s m u c hr e s e a r c hh a sb e e nt a k e nt o t e s t i f yt h a tt h ef r a c t a li nm a n yn o n l i n e a rs c i e n c e si so n eo ft h em o s te f f e c t i v em e t h o d s i nt h ef i e l do fr i v e r - n e t w o r k f u r t h e r m o r e ，r i v e r - n e t w o r ki saf a r - f r o m e q u i l i b r i u ma n d o p e nc o m p l e xs y s t e m ，a n di n v o l v e sm a n yk i n e t i c ，g e o l o g i ca n dh y d r o m e t e o r o l o g i c a l f a c t o r s ，i n c l u d i n gt h em i c r o c o s m i ca n dd i r e c t l ym e a s u r a b l ei n n a t ec h a r a c t e r i s t i c so f t h ef i v e r , w h i c ha r ea f f e c t e db yp h y s i c a l ，c h e m i c a la n db i o l o g i cf a c t o r sa n df i n a l l y f o r mc o m p l e xa n do r d e r e dn e t w o r ks t r u c t u r f , s ot h eb i g g e s tp r o b l e ma tp r e s e n ti s h o wt oc o m b i n ee x t e r n a la n dm a c r o s c o p i c a lc h a r a c t e r i s t i c sa n dm i c r o c o s m i ci n n a t e c h a r a c t e r i s t i c so fr i v e rt ob u i l dav i v i ds y s t e m m e a n w h i l e ，b a s i ct h e o r ya n dd a t ao f r i v e r - n e t w o r kn e e d e db ys c i e n t i f i cr e s e a r c ha n df o r e c a s ti sq u i t es c a r c eu n t i ln o w f i r s t l y , b o x d i m e n s i o ni su s e di nc a l c u l a t i n gr i v e r w a yd i m e n s i o no f y e l l o w r i v e r d e l t aa n c i e n tr o u t eo ft h ep a s t15 0y e a r s ，i ti sf o u n dt h a tr i v e r w a yd i m e n s i o nc a l l r e f l e c tt h ec h a r a c t e r i s t i c so fm o d e mr i v e r w a yo fy e l l o w r i v e rd o w n s t r e a m , a n dt h e w h o l et r e n da n da s s o c i a t i o nc a nb a s i c a l l yr e f l e c tt h ed e g r e eo fu p g r o w t ha n dd y n a m i c f a c t o ri nt h ec o u r s eo ft h ee v o l u t i o no fy e l l o w r i v e ra n c i e n tr o u t e i tc o m e st oa c o n c l u s i o nt h a tr i v e ra n dw a t e rs y s t e ma r en a t u r a lf r a c t a li nt h er a n g eo fac e r t a i n t y s c a l ea n dh o l ds t a t i s t i c a ls e l f - s i m i l a r i t y t h e r e f o r e ，w ec a nu s ef r a c t a lt h e o r yi nt h e r e s e a r c ho fr i v e rs y s t e m s f r a c t a ld i m e n s i o ni sab a s i cp a r a m e t e ro fd e s c r i b i n g e s s e n t i a lf e a t u r e so fr i v e ra n dw a t e rs y s t e m , a n di ti n c l u d e sw h o l ei n f o r m a t i o na n dt h e r e s u l to ff l u v i a ld y n a m i c s t h es h o r t a g eo fb a s i cd a t ai st h eb i g g e s td i f f i c u l t yi nt h er e s e a r c ho nt h e r i v e r - n e t w o r k b e s i d e st h ec a l c u l a t i o no fd i m e n s i o n , 15 0 - y e a r sa n n u a lp r e c i p i t a t i o no f y e l l o w r i v e rv a l l e ya n d15 0 - y e a r sa n n u a l r u n o f fo fl o i nh y d r o l o g i cs t a t i o ni n y e l l o w - r i v e rd o w n s t r e a mw e r ec r e a t i v e l yf o r e c a s t e dv i aa n n u a lr u n o f fo fs a n m e n x i a i ny e l l o w r i v e rv a l l e yb yb pn e u r a l - n e t w o r k i ti sf o u n dt h a tt h ep r e d i c t e dd a t ai s m u c hr e l i a b l ea n dp r e c i s ea n dm a n u a ln e u r a l n e t w o r kc a nb er e g a r d e da sar e l i a b l e p r e d i c t i v em e t h o do fs u p p l e m e n t i n gt h ea b s e n td a t a f u r t h e r m o r e ，t h ef o r e m o s tm i s s i o ni st od e v e l o pt h eb a s i ct h e o r yo nr i v e r s y s t e m s f o u rf o r m u l a ei n c l u d i n gp o i n td i m e n s i o n , s i n g l e - w i d t h l i n ed i m e n s i o n ， d i f f e r e n t - w i d t hl i n ed i m e n s i o na n da r e ad i m e n s i o na r en o v e l l yd e v e l o p e db yd l a m o d e li nf r a c t a ld y n a i n i c s c o n s i d e r i n gt h ep o o rd i s t i n g u i s h a b i l i t yo ft h ea c t u a lv a l l e y m a p a tp r e s e n t , t h ef o u rf o r m u l a ea l ev a l i d a t e db yt h eu s eo fd r a w n s p e c i f i cp i c t u r e s ， a n dt h e nt h ee s s e n t i a ld i f f e r e n c e sb e t w e e nf o u rf o r m u l a ea n db o xd i m e n s i o na r e i d e n t i f i e d , w h i c hs h o u l db ei n v o i c e dt ot h er i v e rd y n a m i c s t h er e s u l ts h o w e dt h a t t h e s ef o r m u l a en o to n l yi n c o r p o r a t et h ec o m p u t a t i o n a lf u n c t i o no fb o xd i m e n s i o nb u t a l s or o u g h l yr e f l e c tt h eg e o m e t r i cs 咖嘁sa n dd y n a n l i c so fr i v e rs y s t e m s ，w h i c h p r o v i d ea ni m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lf r a m e w o r kt od i s c u s st h en o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c s a n dd y n a m i c so fr i v e r , a n da l s oi m p l i c a t ean e wc l u et os o l v et h eo t h e rs i m i l a r p r o b l e m s k e yw o r d s ：f r a c t a l ，n o n l i n e a ，n e u r a ln e t w o r kd i m e n s i o n , r i v e rd y n a m i c s ， y e l l o w r i v e rd e l t a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗叁鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位敝作者签名：系i 姐 签字日期： 励7 年乡刖2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤垄盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：尔蠢臣 签字醐彻7 “肌日 导师签名： 签字日期：0 7 年 天津大学硕： ：学位论文第一章绪论 1 1 分形 1 1 1 分形 第一章绪论 1 9 7 3 年，曼德勃罗( b b m a n d e l b r o t ) 在法兰西学院讲课时，首次提出了分 维和分形几何的设想。分形( f r a c t a l ) 一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具 有不规则、支离破碎等意义i 1 固，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象 的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大 自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它 不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。 同时，曼德勃罗指出，分形由三个要素组成，即形状、机遇、维数【3 4 】。这里的维 数可以是整数，也可以是分数。从特征尺度的角度可以对分形做以下的描述：自 然界的形体和人们考虑的各种图形大体可以分成两类：一类具有特征尺度，另一 类是不具有特征尺度的。 对于有特征尺度的形体，比如具体形体而言：圆和球体的特征尺度是它的直 径或半径，而正方形或长方形的特征尺度则是它们的边长；人体的特征尺度既可 以是入的身高，也可以是人的手长等等。也就是说，具有特征尺度的形体我们可 以用适当的尺度去测量。日本学者高安秀树认为具有特征尺度的形体具有以下的 特征：其一，只要保持特征尺度不变，对这些物体稍作简化，其性质不会有太大 变化。其二，在测量这些物体的过程中，可以采用不同的测量尺度，而在允许的 误差范围内，测量的结果应该是一致的搿。 同时，自然界中还存在许多的没有特征的形体。例如，当从天空向下看海岸 线会发现，虽然高度不同看到的海岸线的轮廓相似，但海岸线的曲折性和复杂性 不同。同样的道理，我们会发现海岸线长度精确测量的困难。曼德勃罗在1 9 6 7 年发表的关于海岸线的文章中，得出英国海岸线不确定的结论【6 】。 当1 9 8 2 年曼德勃罗的自然界中的分形几何一书出版之后，分形的概念 就确立了起来。从此，分形为物体组织形态的描述提供了一种极其简洁的方法【7 1 。 1 1 2 分形的意义 m a n d e l b r o t 在他的早期的论文中，定义了分形是满足h a u s d o r f f 维数严格大 天津大学硕士学位论文第一章绪论 于拓扑维数的集合。但是这个定义由于不包括一些显然该被认为是分形的集合而 不能令人满意。人们提出另外的一些定义都有类似的缺点。所以到目前为止，对 分形并没有公认的严格的定义。只是将分形集看作具有如下性质的集合【8 f9 】： ( 1 ) ，具有精细结构，即在任意小比例尺度内包含整体。 ( 2 ) 无论从局部和整体上看，是如此不规则以至于不能用传统的几何语言来 表述。 ( 3 ) 通常f 具有某些自相似性，或是统计意义下的拟自相似集，或是自仿射 集。 ( 4 ) 通常分形集f 的“分形维数”比它的拓扑维数要大。 ( 5 ) 在许多情况下，的定义是非常简单的，或许是递归的，其形体却相对复 杂。 对典型意义的分形体分析可知：分形的结构有内在的几何规律，即比例的自 相似性。大多数分形体在一定标度范围内是不变的。也就是说，在这个范围内， 无论放大整体的任何一部分，其不规则程度都是一样的，这就是比例性；按照统 计的观点，几乎所有的分形又是置换不变的，即它的每一部分移位、旋转、缩放 等统计的意义下与其它任意部分相似，即在不规则中存在规则。它同时也暗示了 自然界中一切形状及现象都能以较小或部分的细节反映出整体的不规则性。 在欧氏几何中，有些基本元素( 例如，点、线、圆等) 在某种意义上，只有 当它们结合起来才构成了复杂物体也才具有实际意义。但在分形几何中，它们的 最基本元素却不能被直接观察到，应该说分形首先是一种几何语言，它是由算法 和数学程序集而不是什么原始形态来描述的，这些算法借助于一台计算机而被转 换成一些几何形状。 所以说古典几何和微积分方法不适合于分形的研究，必须用其它方法。在这 里，分形的主要工具是它的形式众多的维数。零维的点、一维的线、二维的面、 三维的立体、乃至四维的时空、以及其它的分维数都可以用相似维数、h a u s d o r f f 维数和盒数计维数。简单的说，维数表示一个几何占有多大空间。当用很小的尺 度观察一个不规则集时所得到的是测度。 1 1 3 分维数 传统的理论认为：维数是刻画图形占领空间规模和整体复杂的量度，是图形 最基本的不变量。早在两千多年以前，欧几里德就给出图形维数的描述【1 0 1 ：“曲 面有两个量度，曲线有一个量度，点连一个量度也没有。”这里的量度即欧几里 德维数。后来就将其定义为描述空间中的一点的位置所需要的独立坐标数目或连 续参数的最小数目。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 随着拓扑学的诞生，拓扑空间的分类问题变得十分的重要。形成了用连续满 映射来分类的方法。但皮尔洛曲线的提出又一次使人们感到意外，因为人们根本 不能用上述方法求其维数。 分形维数是定量描述分形的基本参量，它是标度变换下的不变量。欧氏空间 的几何维数是整数值，而分形的维数是分数值 1 l , 1 2 】。由于分形集的复杂性，对不 同的测量对象需要不同的测量方法，因此引进不同定义的分形维数。目前尚没有 对所有分形集都适合的方法。各种意义下的分维数简称分维。 i i 3 1 相似维数 相似维数的引入受到规则形体如线段、正方形、立方体的启发。如果把线段、 正方形、立方体的边分成两等分。这时的线段是原来一半长度的二个线段；正方 形被分成四个全等的小正方形；立方体可被看成是由2 、4 、6 个与整体相似的图 形组成。2 、4 、8 这些数字可以看成2 1 、2 2 、2 3 。一般地，若把某个图形的长度 缩成1 办时得到个和原图形相似的小图形，有可口。则指数d 就具有维数的 意义，称为相似维数织，由下式计算： d s = l o g n l o g ( 1 r ) ( 1 1 ) 1 1 3 2 豪斯道夫维数 相似维数既是很重要又很简单，但是实用范围是很有限的，其原因是只有严 格自相似分形集适用。可做如下的表述：设f 是d 维欧氏空间的子集，令( 占) 表示覆盖，所需要的直径为f 的d 维球的个数，如果当f 一0 时( f ) 的增加与 s 之间的关系 f ，f ) f 田当一1 3 1 ( 1 2 ) 则说f 的豪斯道夫维数为d 。 1 1 3 3 容量维数 假设e 是d 维欧氏空间中的有界子集，n ( f ) 是覆盖，的半径为的闭球 的最少个数，则容量维d c 定义为 见= l 咖( 1 0 9 ( g ) l o g ( 1 占) ) ( 1 - 3 ) 占 u 这是因为在8 一o 时，n ( f ) 与觑成比例，所以( 1 - 3 ) 成立。而在g o 时，有 天津大学硕士学位论文第一章绪论 l o g n ( e ) 一d l 0 9 6 = 皿l o g ( 1 e ) n 3 1 ( 1 - 4 ) 此式提供了近似计算容量维的实验方法。 1 1 3 4 量规维数 设c 是一无自交点的j o r d a n 曲线，即c 是区间 口，6 在连续双射下的象。 由于 a ，明紧致，易是豪斯道夫空问，由拓扑学的一个定理可知，c 是 a ，6 的同胚象。设c d 0 ，确，x 。，五是c 上的点且满足对k = - i ，2 ，m ，x k - - x k 一。= 万。定义m ( 艿，c ) 为点x 。，的最大数目，则( 肘( 玩c ) 1 ) 万可以看成 利用两脚间距为6 的两脚规测量c 所得的长度。当下述极限存在时，其值定义 为： l i m l o g m ( 8 ，c ) = - d cl o g c ，= d cl o g ( 1 回1 叼 ( 1 - 5 ) 若极限不存在，可改用上、下极限定义上、下量规维数。 1 1 3 5 无规分形维数的测定 无规分形是相对规则分形而言的，规则分形是一种最标准、最有规则的分形， 是从一个“正常”的几何图形出发，并由数学家通过无穷变换而形成的，因此又 称为几何分形或数学分形，如谢尔宾斯基“垫片、谢尔宾斯基“地毯 、科契雪 花曲线、科契岛边界线、康托尔集合等，而前者是指自相似性只存在于无标度区 间，一旦预约了无标度区域，自相似性就不复存在了，这就是无规分形【1 5 】，如海 岸线、城市系统、河流系统的分形均属于此分形，其计算方法参见第二章。 1 2 分形动力学及其模型 随着人们对分形认识的深入，分形形态在自然界的许多无序现象中存在的事 例日益增多，自相似的图形在人们周围的世界里大量存在，促使人们开始对分形 形态的形成过程进行探讨。为此人们提出了各种生长模型，这些模型是为了反映 那些在自然界里发生的特有的生长现象的本质特征而建立的。“生长”意指一个 对象( 集团，聚集) 随时问增大【1 6 】。自然界中，生长现象比比皆是。在实验室里， 有关生物的、医学的、物理学的、化学的生长现象，也屡见不鲜。生长模型就是 用来模拟生长过程特征的模型由于生长过程非常复杂，任何生长模型都不能全面 的概括所有实际生长过程的因素，只能抓住其中某些可能是最本质的东西采用解 析法和计算机模拟相结合进行研究特别是由于许多不规则形态的图形都是在运 天津大学硕士学位论文第一章绪论 动过程中生长( 扩散) 而形成的，如自然界的凝聚生长、结晶、放电、癌细胞扩散， 雪花生成等等。通过理论分析、建立模型、实验，并进行计算机模拟。如果理论 模型、实验结果、计算机结果一致，就可以认为基本上弄清了该图形的生成机制。 生长模型的精确定义应由生长法则来规定即使最终产物在几何形状上完全 相同，但若两个生长的法则不同，也应把它们视为两个不同的生长模型生长是随 时问演化的，因此在模型中要明确地规定时间，设在t = 0 时，有一个给定的初始 位形，经时问间隔v t 以后第一次应用生长法则，然后又经过v f 时间后再次应用 生长法则，如此重复，这里把时间分成等长的间隔，这样能与计算机模拟对应起 来，同时也是定义生长模型的实际途径。然而，为了描述自然界中的实际情况， 也可考虑变化的时间间隔，最终可令v f 一0 ，而变成一个连续时问，这样，相应 的生长规则也要作相应的改进最简单的生长模型总可以想象为有一个种粒子， 然后逐步地按照一定规则增加粒子，使之逐步连接成为包含更多粒子的集团或聚 集。 考虑在一电解液中有正极的金属离子和阴极电极当随机行走的金属离子和 阴极电极或已沉积的金属的表面相遇时便由于静电吸引而停止运动( 严格的说是 连接到表面上) 。这个实验的结果是一个复杂的，树枝状且标度不变的沉积结构。 这个模型称为扩散置限聚集( d l a ) 模型。这一模型是由韦廷【1 7 】( t a w i t t e n ) 和桑戴( l m s a n d e r ) 提出的，由于它的刺激，推动了广泛一类非平衡生长和聚集 过程的研究。这个模型提供了一个理解许多其他生长过程的基础，这些过程包括， 在赫利- - n ；( h e l e s h a w ) 槽中流体一流体移动，电介击穿，电沉积过程，无规枝 蔓状生长和疏松岩石溶解等，它也可能对地球物理学( 例如，河流的形成，空洞 的形成) 以及生物结构的生长研究等产生一定的影响。扩散置限聚集模型的模拟 规则是：在晶格原点上放置一个种粒子；然后，从远离原点的地方放出第二个粒 子，使其进行无规行走，直至它抵达种粒子最近邻位置便停止运动：继而，再放 出第三个粒子，直到它因为到达前粒子占据的格点的最邻近位置才停下来。 图1 - 1o l a 生长图形 如此重复下去，就能生成大的团簇结构，它具有在扩散限制的条件下产生的 天津大学硕士学位论文第一章绪论 结构的特性。计算机模拟的结果见图1 - 1 。由图中可以看出，1 ) 图中所示物体是 一个有随机枝状的开放的结构，2 ) 有随机的自相似性，3 ) 这种特殊的几何结构可 能是屏蔽作用的结果。这里说的随机的自相似指的是：把一个大的分枝缩小并略 去细节你就会得到一个和较小的枝状外形相同的结构。由图中看出，由无规行走 ( 扩散) 抵达的新粒子绝大多数聚集在集团的尖端附近，只有较少粒子进入到沟槽 中，这样就使图形显示出各种大小尺度的沟槽和触须。产生这种结构的原因，从 图形上看，是由于当一个扩散粒子抵达一个窄道进入沟槽之前，它几乎已经碰上 了一根触须，因而无法进入沟槽内这便形成“屏蔽效应【1 8 】。 在实际的模拟过程中，模拟的规则可以改变，( 只要得到的结果和由原来的 规则得到的相同) ，这样在计算机中实现起来可以更高效例如，我们可以从半径 为r 的圆周上释放粒子。r 的值比从圆心( 种粒子) 到己聚集粒子间的最大距离稍 大一些。这个方法是合理的因为粒子从远离团簇的地方释放，会以相同的概率到 达以种粒子为圆心，r 为半径的圆周的不同点上。 自然界中的生长过程和生长机制，往往并不是单一的，经常有多种因素相互 影响，交织在一起。生长的结果也许看起来是散乱延伸的，但却是有精细结构的 分形形态。d l a 模型的重要性在于它揭示了分形与生长之间的关系。按照这一 模型，一种无序的、不可逆的生长过程可以导致一种分形形态的形成。这个模型 可以很好地解释一大类客观存在的分形形态的形成过程。在d l a 模型中，其生 长过程是这样的：粒子一次一个地从某一外部区域中释放出来，并使其作无规则 的运动，当它与生长着的凝聚体相接触时，它便永远地附在其上，也就是凝聚在 生长着的核心上。在粒子的随机游走中，其运动方式完全是随机的。所形成的凝 聚体一般称之为d l a 簇。计算机模拟的结果证明，这种d l a 簇是分形形态的， 它们具有自相似性。这种图形在统计意义上是标度不变的，其维数在1 4 6 1 7 1 之间，取决于算法中所设定的生长过程。一般来说，其维数介于一维的直线和二 维的平面之间，图形愈接近填满二维平面，则其维数愈大并接近于2 0 ，d l a 凝 聚体维数的计算，可以用密度密度相关函数来定义，以原点为中心、，为半径、 粒子数为时，下式 以) = 专姜比m ) ( 1 - 6 ) 为密度相关函数。式中，p ( 一表示乃处的密度，当有粒子时，p ( r i ) = l ，否 则p ( 力= o ，存在着下面的关系； c ( r ) = 七，n f 一2 ( 1 7 ) 天津大学硕士学位论文第一章绪论 其中历为凝聚体的维数，k 为常数。 若测出不同，时的c ( r ) ，再画出l o g o ( r ) 一，o 矿图，利用所得直线的斜率即 可求出分形维数o ：od l a 模型发表之后立即引起了人们广泛的兴趣，由于这一 模型与金属从扩散离子的电解槽中得到沉积层的过程非常接近，而且在维数上， 计算机模拟的结果和实验室测的结果都是一致的，这使得一大批研究者大为振 奋，紧接着在世界上许多实验室开展了一系列研究，推进了这_ 方面工作向纵深 方面发展。 1 3 分形几何在流域地貌及水系研究中的应用及研究进展 在b b m a n d e l b o r t 的经典性著作【9 】中曾经论及许多地理问题，如地貌模型、 城市规模分布、有地理特色的长度与面积的关系。首先接受并应用分形理论的是 研究地表形态和地球结构的哥伦比亚大学教授c s c h o l z ，他指出，分形几何是描 述地表凸凹不平的有效手段。分形理论很快渗入自然地理学科的各个领域并得到 广泛应用，人们用它研究地震预测、矿藏分布、大地形态、水系结构等。人们将 分形地貌称为m a n d e l b o r tl a n d s c a p e ，并在分形思想启发下创建了分形地貌学。 地理现象的形式用分形几何来描述比用经典几何的直线和光滑曲线描述要 好。分形能更好的反映大自然的本来面目。因此，地理现象的分形模型模拟已成 为地理分析的重要途径1 3 。 1 3 1 流域地貌与分形 1 3 。1 1 流水地貌与分形 流水地貌是一种重要的地貌，这是因为地表流水是主要的地貌外力之一，在 它的流动过程中侵蚀地面，塑造各种形态的侵蚀沟谷，同时又将侵蚀的物质沿途 堆积或运输形成各种堆积地貌。因此凡是地表流水作用塑造的各种地貌，统称为 流水地貌。由于地表水形成的原因和分布的无处不在，决定了流水地貌的分布广 泛。 流水地貌分为沟谷地貌、河谷地貌、河床地貌、流域地貌等类型。它们都与 水流的性质有关。在研究流水地貌时，不仅要研究水流的特征和泥沙运动的规律， 还要注意水系的形式与发展规律。水系在平面上表现为有规律的排列，具有分形 的特征。在下述两个假设：1 1 9 ( 1 ) 曲流以大于河道宽度一至两个量级的尺度表示 ( 2 ) 曲流是一个较大标度上的不规则结构 天津大学硕士学位论文第一章绪论 之下，s n o w 于1 8 9 8 年利用理查逊方法计算1 2 条形态各异的单河道的分维。 分析结果表明在中尺度范围，河道弯曲主要表现于分形弯曲。尽管不同河流的分 维值和标度范围大不一样，但是该值的存在证明了单一河道形态的不规则性及其 结构特征都可用分形来描述。 流域地貌的一个重要特征量是主河道与流域面积的关系。1 9 5 7 年，哈克指 出，主河道长度和流域面积之问并不存在经典几何学中的周长( l ) 、面积( a ) 关系： l = c a “2 ( i - 8 ) 实测得到的公式为： l = a a 6 国= 织毋口可8 9 ) ( 1 9 ) 即哈克定律：长度l 历( o n ) 与到达此地点的流域面积a ( k m 2 ) 之间有如下 关系 l = 1 8 9 a 0 。6 ( 1 1 哈克认为1 8 与1 - 9 的差异是由于流域形状随面积的增加而变长引起的。 曼德尔布罗特( 1 9 8 2 ) 将其解释为分形现象。这里彳的指数不是0 5 而是0 6 就 说明主流为分形曲线经变换可得a 1 门o o l 册1 门。正是由于主河道长度具有分形结 构，而流域面积却是用欧氏测度量度的，从而导致了两个公式的差异。他指出， 幂指数b = 0 6 反映了主河道的分形特征，其主河流的分维满足关系b = 0 6 = d 2 即 d = i 2 他还进一步推导了流域面积和主河道长度之间的分形关系： l ( e ) = c 6 1 却【4 ( 占) 驯2 】 ( 1 11 ) h j e l m f e l t ( 1 9 8 8 ) 验证了这一关系式。他选取并计算了密苏里( m i s s o u r i ) 河的八条支流的实测数据所得结果与1 - 1 1 式吻合。人们还用改变粗视化程度的 方法计算了亚马逊河其形状如图1 1 所示的分维，大约为1 8 5 ，而沙漠中的尼罗 河分维为1 4 左右。 r o b e r t 和r o y ( 1 9 9 0 ) 进一步研究了主河道长度与流域面积的关系。他们用 2 3 个小流域的数据研究了公式1 - 9 中参数a 的变化，指出口是影响b 值的一个 重要因素，a 的变化是不同比例尺地图对实地扭曲的反映。由此，他们认为指数 b 的偏高是地图扭曲影响和主河道的分形特征共同引起的。因此，公式1 - 9 不能 用来计算主河道的分维值。 一般说来对于线性干流水系可用求海岸线分维的方法即厶- l 。万h 求出干流 天津大学硕士学位论文 第一章结论 的分维d 。这里厶为豪斯道夫长度，厶为欧氏长度，d 为码尺 秽 f | 对于树枝状、放射状、环状、辐合状和网状水系可用曼德尔布罗特和费德 ( jf e d e r ) 给出的公式l = c a d z 计算分维，式中上为流域长度a 为流域面积。 曼德尔布罗特证明对许多水系c o = i4 ，d = i 2 。哈克曾用朗拜思测定的数据 验证过此数量关系。迄今，在各类专业书刊上报道了许多水系的分维雌瑚。霍顿 ( i l eh o r t o n ) 定律一直是流域地貌学中一个公认的经典定律。研究水系的分形 特征与霍顿定律的关系是地貌学家们极为感兴趣的一个课题。根据啥克在霍顿理 论基础上建立的水系模型，可把水系的发展分成不同级别。设级别为i 的河道的 平均长度为厶，仅次一级的河道的平均长度为上则长度比为r l = l j l m 如 果级别为i 的河道数为m 仅高一级的河道数为m + 则分支比为r b = n , n i 小 设水系的虽高级别为5 ，最低级别为i ：1 ，则由霍顿定律可得水系分维为 皿= 2 l o g 置l o g r ，1 1 ，1 这是费德于1 9 8 8 年导出的主河道的分维公式。该公式的导出依籁于三个假 设：( 1 ) 所有的霍顿比都为常数，即水系具有自相似性：( 2 ) 所有河流的宽度包 括汇流区都相等：( 3 ) 流域中任一级别的所有河流的长度都相等。于是，由霍顿 数、流域面积和公式1 一1 2 可以导出：河网密度是一个不随面积和水系级数变化 而变化的常数。这与真实水系的发育过程不符。为了讨论水系与分维的关系，李 后强、艾南山4 1 从哈克模型出发，导出了一个分维与水系级别关系的公式 皿2 2 ( s f ) k 酏，厶) ，f l o g m ，f 0 f 1 1 3 、 黼 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 式中厶为最小河道的平均长度。由于i 、s 是水系的级别，代表河流发育程 度，与河网密度有关，因此由n 可讨论水系的发育情况。在水系形成的初期， 河网密度很小，地面切割深度不大，这时支流短小并且数量很少，水系级别s 低， 分维小；随着水系的下蚀和溯源侵蚀，谷道伸长，流域扩大，继续产生许多新的 支流与小支流，河网密度增大，地面切割深度也不断增大，逐渐发展为水系的繁 盛时期，此时水系级别s 增大，分维历也大。 1 3 1 2 流域地貌与分形 前面从静态角度讨论了水系网络的分形特征和分维与水系级别的关系，下面 我们讨论流域地貌发育的分形模型。众所周知，任何一条河流，每时每刻都处在 水流与河床的相互作用之下，河床经常发生冲淤变化，使河岸崩塌、航道淤塞。 因此，研究流域地貌的发育对生产建设有重要的意义。 流域发育具有阶段性是由流域发育的规律性所决定的。流域在不同的发育阶 段具有不同的产沙特性及地貌形态。流域的发育主要与水流侵蚀有关。我们从被 侵蚀掉物质的量的角度来研究地貌发育过程。首先需要引入一个渗流模型。该模 型是布罗得本特( s r b r o a d b e n t ) 和哈默斯勒( j m h a m m e r s l e y ) 在1 9 5 7 年提出 的一个随机模型，主要研究流体随机地穿过介质的行为。地表水系在河网密度较 大时可视为渗流。设在一范围为的地表被河流侵蚀的比例为尸。理论研究表明， 当尸接近于某一临界值尸c 时，就构成具有统计自相似性的分形网络，被侵蚀掉 的物质为m ) = c ，i y 。把视为流域长度，彳为流域面积，则河网密度露定义 为m ( l ) = c ，( d 。彳) d 。若全流域物质为必，则 p = m ( l ) m o = 尉夕 ( 1 1 4 ) 式中e = c ，a d m 。称为侵蚀模数。p 也称为侵蚀积分值。励强等1 曾求得黄土高 原侵蚀积分尸与河网密度旗关系为p = 0 1 9 4 d s o 唧，与渗流模型接近。 研究表明，实际计算得到的分维d 值都小于理论值，其原因可能在于河流 不甚密集，尸 ) p c 时，m ( l ) l 2 。显然由 只可划分出流域地貌的发育阶段： 当p r 时，侵蚀早期标度指数, o = o , - - , o 7 5 ，对应侵蚀积分值0 p 0 3 9 ； 当p p c 时，侵蚀中期，分维d = - o 7 5 - - , 1 8 9 对应侵蚀积分值0 3 9 _ p 0 7 0 ； 当p ) ) p c 时，侵蚀晚期，分维d = i 8 9 2 0 ，对应侵蚀积分值0 7 畦r 尸 1 0 0 ； 这样就给出了定量刻画流域发育阶段的新参数。 更有意义的是可以从理论上大致确定各种水系的临界值尸c 。研究表明， 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 p , = l ( r w l ) 或p c = d r b ( d - 1 、)( 1 - 1 5 ) 其中如是河流的分支比。假定河流在一个平面上分布( 庐2 ) ，网状、环状、 放射状水系的临界值分别为尸c 0 3 4 7 、0 4 5 、0 5 0 ，格状和树状水系的临界值分 别为只0 6 5 。分支比越大，越趋于侵蚀晚期。如果河流分布在一个立体空间中， 则p c = 0 1 2 一- - 0 3 9 ，与实测值大体相符。更深入的研究表明，尸c 值还与地质条件 有关。 用单分形的方法描述地貌的发育较之传统数学方法虽是一大进步，但仍失之 粗糙。真实的地貌，应采用多重分形来刻画。以海平面为起点，若在水平方向移 动出，地貌高度变化为d h ，则高度变化梯度g = d h d x ，实际上日是x 的函 数。大仁( s o h t a ) 和本庄( h h o n j o ) 的研究表明例，高度变化几率只与g 成 正比可设只= cio h i & ) a 研im ，c 为规一化常数。当时还原为简单的受限扩散 凝聚d l a 模型。定义几率矩= 罗芹，若考虑的地貌范围为f ，则当p o 时， 蜀( p ) f ( q 一1 ) 岛。式中功为广义维数，它描述地貌的总体形态。地貌的非 均匀性还可以用另一种系统熵 岛2 l n x q ( e ) ( 1 ( 1 一1 6 ) 来描述。用这种方法来刻画河床的侵蚀和河流阶地，都是十分有效的。 1 3 2 流路维数形成的物理机制 其实，无论是单一河道还是河流网络，分形结构都广泛地存在且是系统自发 形成的，因而是一种自组织结构。这种分形自组织结构的形成、维持和演化的物 理机制有如下几个方面【2 9 】： ( 1 ) 内外营力及其相互作用从地貌学和时空大尺度的角度来看，地球内营力 ( 造山运动) 的非均匀作用使地表起伏不平，成为分形地貌，并为河网水系的产生 提供了条件和能量。来自于太阳和水文循环的外营力产生风抄流、水沙流，它们 通过搬运、堆积等作用使地表夷平( 降低分维值) ，对分形地貌的形成和发展起抑 制作用。这种作用和反作用力的存在，决定了河网的选择作用，即河网只能选择 性地发育。 ( 2 ) 开放性开放性是系统自组织形成的必要条件。河流网络是开放系统，时 时刻刻与环境进行着物质、能量和熵的交换。事实上，河网不断地接受来自于流 域面上的水流和泥沙，又源源不断地将它们送向大海。另一方面，正是由于系统 的开放性，才能使内营力转化为能量，并使外营力起扩散作用。 ( 3 ) 非线性非线性是系统自组织的内因。水系的各个子系统具有相互关联， 天津大学硕士学位论文第一章绪论 并和各种流域因素具有相互作用。研究表明，这种相互关联和相互作用通常为非 线性，能表为线性方程的为数极少。非线性相互作用是流域、水系及其各要素相 互关联的纽带，是系统内外协同，产生宏观自组织的内部根源。 ( 4 ) 随机性随机性作用也称为涨落，是系统自组织的动力。河网的形成和发 育受流域气候、水文、地质、地貌等众多因素影响，而这些因素的涨落无时无处 不在如大气环流与降水，洪水起涨及持续时间等都具有高度的随机性。在涨落的 作用下，河网的形成和发展都具有波动的一面，这是水系形态各异的根本原因之 一o ( 5 ) 耗散性水系具有耗散结构的特征：它们具有时空结构，但其形成和维持 要靠环境提供物质和能量。河网系统的耗散性可用物理量嫡来描述。 综上所述可得到河网系统自组织产生和演化的物理图象；内营力塑造分形 地貌并为河网提供能量，相当于河网从环境中引入负熵；来自外营力的搬运和堆 积过程是一种扩散过程，伴随着熵产生。由于造山运动较缓慢，搬运和堆积作用 较迅速，所以负熵流不足以抵消熵产生。河网要向着熵减少的方向演化( 熵减少 是高度开放系统的演化方向) ，就必须通过非线性相互作用这一纽带，在涨落这 一源动力作用下对众多的子系统和环境因素进行协同，来产生一种高度有序的组 织结构( 系统的有序度越高，熵越小) 并使其能从环境中吸入更多的负熵流( 能量 或能量耗散最小) 。要在有限的空间范围内做到这一点，分形网络是系统最好的 选择。这种动态结构的形成或从一种结构向另种结构转变，往往要在控制参数达 到阈值时才能出现，因而具有临界性特征。 1 3 3 研究现状和进展 流域及水系的定量研究是水科学中的一个十分活跃的研究领域。半个世纪以 来，流域与水系几乎都是新理论、新方法在水科学中应用的突破口。近年来，随 着分形与自组织理论的产生和发展，流域、水系的分形与自组织研究也不断深入， 新成果、新方法不断涌现。在水系的自仿射性、多分形及其标度指数、流水地貌 形成与演化的自组织与临界动力学特征等方面涌现出很多新的研究成果 3 0 - 3