（应用数学专业论文）机动车辆保险的bms研究.pdf

摘要 b m s 即奖惩系统( b o n u s m a l u ss y s t e m ) ，在我国机动车辆保险中将它称作无 赔款优待系统，它是机动车辆保险中普遍采用的这样一种体系：在续保时，对有 索赔记录的投保人在保费上给予一定的惩罚；而对无索赔记录的投保人给予一定 的奖励。保险实践证明，在机动车辆保险中引入b m s 非常必要，且意义重大。 本文首先给出了选题背景和研究意义，对b m s 研究的必要性、研究现状，以 及本文将要做的工作做了比较详细的阐述。第二章主要针对一些常见的索赔次数 的分布模型，选取其中拟和效果比较好的模型：负二项模型和三元分布模型，进 行叠加拟和，得出一个更加贴近实际的拟和模型，其尾部数据更加贴近实际值， 这样，为保险公司制定更加合理的保险定价提供更好的素材。第三章主要是针对 两个基本信息差不多的索赔人，如果一个司机在第五年出现了一次索赔，另一司 机在第十年出现了一次索赔，两个司机在其它年份均没有索赔的现象，那么他们 保费支出的差额就比较大了的情况，提出了将时间序列法应用到索赔次数的研究 中，这样，对上述两位先验信息基本一致的投保人，他们所需缴纳的保费也不会 相差太大，这样的b m s 也更能让大家接受。第四章先给出了目前世界上唯一考虑 索赔大小的一个保险公司韩国s f m i 公司的b m s ，并对该b m s 进行改进，使 该b m s 更具市场竞争力。 关键词：汽车保险最优奖惩系统索赔次数索赔大小时间序列 a b s t r a c t t h eb m s ( b o n u s m a l u ss y s t e m ) i sap r i z ea n dp u n i s h m e n ts y s t e m ，i nm o t o r v e h i c l ei n s u r a n c ei ti sc a l l e dt ob en o c l a i mb o n u ss y s t e ma n dw i d e l ya d o p t e ds y s t e mi n t h em o t o rv e h i c l ei n s u r a n c e ：i nt h en e x ti n s u r a n c ey e a r , t h ep o l i c y h o l d e r sw h oh a v e s o m ec l a i mr e c o r d sw i l lb ep u n i s h e df o rp r e m i u mf r o mt h ei n s u r a n c ec o m p a n y , w h i l e t h o s ew h oh a v en oc l a i mr e c o r dw i l lb er e w a r d e d i t ss h o w nt h a tt h eb m si sv e r y n e c e s s a r ya n dm e a n sm u c hi ni n s u r a n c ep r a c t i c e a st ot h en e c e s s i t y ：t h er i s kl e v e l s d i f f e ra m o n gd i f f e r e n tp o l i c y h o l d e r s ，t h a ti st os a y , d u r i n gt h es a n l et e r mo fi n s u r a n c e ， i t si m p o s s i b l ef o rt h en u m b e r so fc l a i m st ob ee q u a lf o rd i f f e r e n tp o l i c y h o l d e r s ，w h i c h a r ec a l l e dr i s kh e t e r o g e n e i t y a tt h es a m et i m e ，i n s u r a n c ec o m p a n i e st a k ed i s t i n g u i s h i n g p r e m i u m sf r o mp o l i c y h o l d e r sw i t l ld i f f e r e n tr i s kl e v e l s i nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h es i g n i f i c a n c eo ft h i ss t u d y , t h en e c e s s i 够a n dt h ec u r r e n ts t a t u so fs t u d i e so nb m sa n df o c u si no u rw o r ki sa l s o s t a t e di n d e t a i l s i nc h a p t e ro n e i nc h a p t e rt w o ，w ec h o o s et w ob e a e rm o d e l s ， n e g a t i v e b i n o m i a id i s t r i b u t i o nm o d e la n dt h et e r u a r yd i s t r i b u t i o nm o d e lf r o ms o m e u s u a ld i s t r i b u t i o nm o d e l so ft h ec l a i m sn u m b e r , t h r o u g hs u p e r i m p o s i n g ，b e t t e rf i t t i n g m o d e lw h i c hi sm o r ea p p r o x i m a t et ot h er e a ld a t ai so b t a i n e d t h i sn e wm o d e lw i l l p r o v i d em o r eu s e f u li n f o r m a t i o nf o ri n s u r a n c ec o m p a n i e st od e v e l o pm o r er e a s o n a b l e p r i c i n gd i p l o m a c h a p t e rt h r e ed i s c u s s e sas p e c i a lc l a i mc a s ea b o u tt h et w od r i v e r sw i t h a l m o s tt h es a m eb a s i ci n f o r m a t i o n i fo n ed r i v e rc l a i m so n c ei nt h ef i f t hy e a rw h i l et h e o t h e rd r i v e rc l a i m so n c ei nt h et e n t hy e a ra n db o t hd r i v e r sh a sr i oc l a i m si no t h e ry e a r s t h e i ri n s u r a n c ec o s t sw i l lb eo fg r e a td i f f e r e n c e s t od e a lw i t ht h i sc a s e ，w ep r o p o s et o a p p l yt i m es e r i e sm e t h o dt ot h es t u d yo ft h ec l a i m sn u m b e r t h e r e f o r e ，b m si sm o r e p o p u l a rw i t l lt h et w oa s s u r e d sw h os h a r es i m i l a ri n f o r m a t i o nb e c a u s et h ep r e m i u mf o r t h e mi sa l m o s tt h es a m e i nc h a p t e rf o u r , t h eb m si si n t r o d u c e dak o r e ac o m p a n y c a l l e ds f m lw h i c hi st h eo n l yi n s u r a n c ec o m p a n yw h oc o n s i d e r st h es i z eo fa l l i n s u r a n c ec l a i mi nt h ew o r l d w ei m p r o v e dt h e i rb m st om a k ei tm o r ec o m p e t i t i v ei n t h em a r k e t k e y w o r d ：a u t o m o b i l ei n s u r a n c e b o n u s - m a i n ss y s t e m c l a i mn u m b e rc l a i ms i z et i m es e r i e 3 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人躲蟛 日期翘：厶 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名：赵l 鲤竺日期塑! ! ! 生f 第一章绪论 1 1 1 汽车行业发展现状 第一章绪论 1 1 选题背景 改革开放以后，中国经济开始迈入合理的发展轨道，人们的生活水平日益提 高，汽车工业迅猛发展，特别是进入九十年代后期以后，购买汽车已成为生活的 一个热点消费。据统计，从1 9 9 0 年到2 0 0 0 年的十年里，我国民用汽车的拥有量 由5 5 1 3 6 万辆增加到1 6 0 8 9 1 万辆，平均每年增长1 1 3 。其中私人汽车拥有量由 1 9 9 0 年的8 1 6 2 万辆增加到2 0 0 0 年的6 2 5 7 3 万辆，平均每年增长2 2 6 。私人汽 车拥有量占民用汽车拥有量的比重从1 9 9 0 年的1 4 8 ，上升到2 0 0 0 年的3 8 9 ， 平均每年上升2 4 个百分点【l l 。在二十一世纪的头两年，无论是汽车的生产还是销 售，都呈现出可喜的增长速度。2 0 0 1 年全国汽车市场需求保持较快速度增长，全 年汽车产量和销量分别为2 3 3 4 万辆和2 3 6 4 万辆，同比增长1 2 8 1 和1 3 2 9 1 2 】。 而在2 0 0 2 年，我国生产汽车3 2 5 1 2 万辆，同比增长3 8 4 ，销售汽车3 2 4 8 1 万辆， 同比增长3 6 6 5 ，其中轿车产量为1 0 9 0 8 万辆，同比增长5 5 0 5 ，销售1 1 2 6 0 万辆，同比增长5 6 0 8 ，汽车增长速度突破历史性纪录，中国汽车行业提前3 年 实现了“十五”规划目标【3 1 。截至2 0 0 5 年年底，我国民用汽车拥有量己达3 0 0 0 万 辆，虽然“十五”期间我国汽车拥有量增加了近一倍，千人拥有汽车大约为2 4 辆。 但还是远低于全世界平均于人1 2 0 辆汽车的水平。根据上面的这些数据，我们不 难推测：在未来的几十年内，中国将继续保持汽车产销两旺的局面。 1 1 2 机动车保险发展现状 汽车的增加，无疑给人们的工作与生活带来了极大的方便，但是随之而来的 是不可预估的安全隐患，因此，机动车辆保险的出现成为一种必然。中国的机动 车辆保险虽然起步较晚，但发展速度极其迅速，到目前为止，机动车辆保险在非 寿险中的份额已经超过了6 0 ，而且这个数值还在继续攀升。面对这个巨大的有 利可图市场，众多投资者都十分看好。进入本世纪以后，国内从事机动车辆保险 的保险公司越来越多。目前，我国经营车辆保险业务的中资保险公司有l o 多家， 他们为争夺市场份额展开了激烈的竞争。2 0 0 1 年，人保、太保、平安占据了机动 车辆保险的主要份额，分别为7 4 7 9 、1 2 4 5 、9 2 2 。一些新成立的保险公司 为开拓市场，扩大业务范围，也通过各种手段展丌了强大的攻势。并且，随着中 机动车辆保险的b m s 研究 国“入世”后开放程度的逐步深入，中国保险业已经成为对外开放的前沿阵地。 外资保险公司将大量涌入中国市场，势必给中国的保险业带来巨大的冲击，而占 据财产保险巨大份额的机动车辆保险，将首当其冲成为竞争的焦点。 长期以来，中国机动车辆保险一直采用政府统一制定的费率制度，投保人不 管在哪家保险公司投保，只要条件相同，价格也基本相同。但是，自2 0 0 2 年下半 年以来，一向比较陌生的保险迎来了革命性的改观。一是2 0 0 2 年1 0 月2 8 日，第 九届全国人大常委会第三十次会议通过了修改后的保险法，维护被保险人利益、 加强保险监管作为一项贯穿始终的指导思想；二是中国保监会不久就透露，自2 0 0 3 年1 月1 日始，沿用多年的全国机动车辆统一保险条款费率将不复存在，汽车保 险费率将全面市场化。保监会之所以这样做，是由于修改后的保险法规定，保险 公司可以自定保险条款费率。2 0 0 2 年1 0 月，广东省就开始实行车险费率改革试点。 随后，大部分保险公司向保监会报备并推出了新的车险条款和费率。但也有个别 公司或个别地区由于时间、公司管理系统、培训及其他方面的原因，保监会同意 其报备过去的统颁条款和费率，作为过渡性条款暂时使用。 1 1 3 机动车辆保险竞争现状 保险费率的市场化，伴随着的一定是条款的细化，费率的降低。为了赢得市 场，保险公司与代理商千方百计优化他们的产品，这对于消费者来说应该是福音。 但是随着车险费率的调整，车险的利润率将逐渐下降，如果保险公司再将其中相 当一部分利润返给代理商，那么，公司实得的保费能否支撑其服务体系则是问题。 以2 0 0 2 年北京地区保险公司的赔付率为例，华泰公司的公务用车赔付率达到4 0 ， 私家车赔付率达到7 0 ，太平洋公司的赔付率为5 5 ，人保公司的赔付率达到5 8 ， 其他保险公司的赔付率也都接近6 0 。如此高的赔付率，加上保险公司维持正常 运转的开支，保险公司还要给中介机构2 0 甚至更高的回扣，在车改之前有些地 区甚至达到了4 0 、5 0 1 4 1 。可以想象，国内保险公司正面临何种尴尬境地。 另外，由于制度放宽和全球化的进展，行业之间和国家之间的障碍逐步减少， 争夺顾客的竞争更加激烈，保险市场日益从保险公司主导下的卖方市场转向顾客 主导下的买方市场。顾客的需求逐步走向多样化，对保险商品及服务的期望也发 生变化，对商品多家比较的客户群增加。据统计，在汽车保险中，初次投保时只 有约1 0 的投保人对保险公司的产品和服务进行比较，而续保时约有6 0 的投保 人在对产品和服务进行比较后选择保险公司。由此，公司问的竞争发展到了如何 适应顾客需求的竞争。 因此，完全可以这么说，牟辆保险费率的全面放开，导致在中国境内经营车 险的保险公司正面临一场市场化洗礼。要想在这场刀光剑影的博杀中获得胜利， 第一章绪论 3 各保险公司必须推出对消费者最具诱惑力的产品。一方面保险公司要加强管理， 提高服务质量；另一方面产品价格要具有竞争优势。目前中国保险消费者普遍不 算富裕，因此，在这两个方面中，合理的价格尤为重要。而在整个机动车辆保险 费率体系中，b m s 占据了相当重要的位置，因为它是制定续保保费的关键。公平 合理的续保保费不仅受初次投保人的关注，而且直接影响续约投保人的数目，因 此有关b m s 的研究对保险公司来说意义非常重大。然而，当前中国机动车辆保险 中的b m s 无论是在理论上还是在应用上都还相当粗浅，因此，在我国加快研究和 完善b m s 已成为燃眉之急的课题。 1 2 b m s 研究的意义 b m s 即奖惩系统( b o n u s m a l u ss y s t e m ) ，在我国机动车辆保险中将它称作无 赔款优待系统，它是机动车辆保险中普遍采用的这样一种体系：在续保时，对有 索赔记录的投保人在保费上给予一定的惩罚；而对无索赔记录的投保人给予一定 的奖励。保险实践证明，在机动车辆保险中引入b m s 非常必要，同时意义重大。 1 2 1 必要性 不同投保人的风险水平是不同的，表现为在相同的投保时间内，不同投保人 的出险次数不尽相同，我们称之为风险的非同质性。对不同风险水平的投保人， 保险公司收取的保费也是不同的。在保费确定时，保险公司的主要依据是驾驶员 的年龄、性别、职业、居住地区以及车辆的种类、用途等，这些变量被称作先验 变量。保险公司之所以采用这些先验变量，是为了使分组以后的投保人在各组中 具有风险同质性。 然而，即使我们选用了这样一些变量分组，各组中的投保人仍然会存在一定 的风险非同质性。其主要原因为：第一，一些影响驾驶风险或出险次数的因素是 不可度量的。例如，驾驶员的驾驶熟练程度、驾驶时注意力的集中程度、在紧张 情况下做出反应的速度以及判断的准确性等；第二，由于分类变量有限，可度量 的因素也不可能全部包含在这些变量中；第三，由于道德风险的存在，对投保人 的分组很难肯定是正确的。如有的国家的机动车保险中要求投保人告知他们的年 行驶里程数，在这种情况下，保险公司很难采取措施避免投保人的故意低估。 如何克服这些不足，使保费体系能够比较准确地反映投保人的风险水平呢? 机动车辆保险中的b m s 保费体系正是用来达到这一日的的，而且它是一个行之有 效的方法。它是在变量分组的基础上，进一步通过每个投保人的索赔记录来对其 保费水平进行调整。这在实际中是容易理解的，因为每个投保人的索赔情况正是 机动车辆保险的b m s 研究 他们不同的风险水平所决定的，这样，在影响风险水平的诸多因素难以被考虑的 情况下，索赔记录无疑是对这些因素的一个较好的综合。 1 2 2 重大意义 加拿大机动车辆保险业于1 9 5 0 年最早采用b m s s 1 ，以后在北美、欧洲等地的 国家普遍采用，而我国机动车辆保险中无赔款优待即是一种b m s 保费系统。b m s 在实际应用中被证明具有以下的作用：第一，它使每个投保人缴纳的保费更能真 实地接近于个体风险，即每个投保人的保费更真实地反映其自身的风险水平；第 二，它在一定程度上减少了由于道德风险给保险人带来的损失，因为投保人最初 对其自身风险水平地低估将会通过他的索赔记录得到调整；第三，它可以鼓励司 机安全驾驶，为了避免保费上的惩罚，司机们会尽量减少事故的发生；第四，它 可以降低小额赔付的发生，因为有的投保人为了避免保费上的惩罚，对于一些小 额损失，不再去索赔，这样可以降低保险人索赔成本和管理费用。 正是这些优点，使得b m s 保费体系受到投保人和保险人的青睐，而在各国的 机动车辆保险中被广泛应用。 1 3 财险费率厘定的一般原则和方法 保险定价【7 j 过程可分为两个方面：建立充分费率和设定实际价格。充分费率是 满足保险公司长期利润目标的费率，而保险公司设定的实际产品价格则还需要考 虑公司的市场分额目标与竞争环境等多方面的因素。保险产品的价格是建立在充 分费率基础上的，但并不一定等于充分费率，公司可以根据其自身的行销目标来 设定保费费率或高或低或与其相等的价格。 为区别起见，以下将建立充分费率的过程称为费率厘定1 6 1 ，将设定实际价格的 过程称为保险定价。 一般说来，在保险经营过程中应遵循以下的几条原则： 1 可保风险应在保险费和保险条款下不会引起逆选择。 2 理赔严谨、公平。 3 各保单持有人之间的保费分担合理平等。 体现在费率厘定上，保险人制定的充分费率应在各保单持有人之间充分、合 理、平等的分配。 充分费率与索赔金额、合理的营业费用以及适当的利润有关。索赔的期望损 失金额也称为纯保费。它是期望索赔频率和平均索赔额的乘积。合理的营业费用 则取决于保险人经营管理的效率和行销手段的性质特征。利润还需要考虑投资收 第一章绪论 5 益的冲减，以及未来的不确定性和用于抵消这种不确定性的资金数量。这三方面 的加总，就得到了理论上可行的充分费率。 保险定价是结合市场环境在充分费率基础上设定的一个实际的保险产品价 格。保险定价一般要综合考虑以下几个目标：达到一定的资金回报率，实现利润 最大化，保持或扩展市场分额。要实现上述三方面的定价目标，可从市场性质( 如 供求状况、竞争状况等) ，保险产品的需求价格弹性，营销发行体系( 如直接发行 与通过代理人、经纪人发行) ，风险选择，边际成本，规模经济等多方面入手，结 合公司的发展战略，制定出合理有效的保险价格。 本节着重考察财险产品的费率厘定问题，并介绍费率厘定的一般原则和方法。 ( 一) 纯保引8 l 理论上讲，保险公司收取的保险费由纯保费和附加保费两部分组成；附加保 费又包括安全附加和费用附加。即： 保险费= 纯保费+ 安全附加+ 费用附加 纯保费是保险公司为了支付保单在保险期间的期望赔付成本而收取的保险 费。用公式表示如下： p = e f l x 耳x 】 其中研，】是期望索赔频率，e x 】是平均每次索赔的期望赔付额。 ( 二) 安全附加 由风险理论可知，如果保险公司仅仅收取纯保费而没有任何安全附加，那么 从长期来看，保险公司的破产将是不可避免的。这是因为，第一，未来的实际赔 付支出可能高于期望赔付成本；第二，利用历史数据对期望赔付成本进行估计得 到的估计值可能比真实值要小。因此保险公司必须在纯保费的基础上收取一定的 安全附加。 安全附加的确定应当满足一定的准则。理论上讲，在纯保费基础上加上安全 附加后得到的风险保费应具备以下的五条性质： 1 无欺性 风险保费不能超过保险公司对随机风险的最大可能赔付额。若令s 代表随机 风险，日( s ) 是保险公司按某种原则确定的风险保费，m a x ( s ) 表示最大可能赔付额， 则应有h ( s ) m a x ( s ) 。 2 超均值性 风险保费不能小于随机风险的期望损失，即h ( s ) e ( s ) 。 3 可加性 6 机动乍辆保险的b m s 研究 对于相互独立的随机变量，它们一起投保的风险保费应等于它们各自投保时 的风险保费之和。若s 和最是相互独立的随机风险，则应有 日( s + 是) = h ( s ) + h ( & ) 。 4 平移不变性 如果随机风险增加一个固定的损失c ，那么相应的风险保费也应该增加一个 常数c ，即h ( s + c ) = 月( s ) + c 。 5 齐次性 当风险按某一比例增加或减少时，风险保费也应做同一比例的增减变化，即 对于正实数c ，有h ( c s ) = c h ( s ) 。 ( 三) 风险保费计算原理【9 】 1 期望值原理 h ( s ) = ( 1 + r ) e ( s ) 用期望值原理计算的风险保费满足无欺性、超均值性、可加性和齐次性，不 满足平移不变性。 2 方差原理 日( s ) = e ) + f l v a r ( s ) 用方差原理计算的风险保费满足无欺性、超均值性、可加性和平移不变性， 不满足齐次性。 3 标准差原理 日( s ) = e ( s ) + f 1 4 v a r ( s ) 用标准差原理计算的风险保费满足无欺性、超均值性、齐次性和平移不变性， 不满足可加性。 4 零效用原理 假设保险公司的效用函数为u ( x ) ，甜( 工) 0 ，“”( 力 。 此伽玛分布均值2 口f l ，方差为c ：= a f 1 2 ，矩母函数为m ( f ) = ( i 一旁t ”o 0 在零效用保费原理下的第t + 1 年的保费为： 眦打瑚曲，警| l o g ( 卜等) | , c o 协 则随机个体保单的索赔次数服从泊松- 逆高斯分布。该分布的概率足可如下递推计 算： 矗= o x p 鲁i 一( z + 厅) l ”】 只= 鳓( 2 + ) 。1 ” ( 2 1 6 ) ( 1 + 2 h ) k ( k - 1 ) p k = h ( k - o ( 2 k 一3 ) 最一1 + 9 2 最一2k = 2 ，3 ， 泊松一逆高斯分布的均值和方差分别为p = g 和盯2 = g ( 1 + h ) 。 因为泊松一逆高斯分布的方差也大于其均值，所以在选用损失模型时，这也是 一个很好的依据。 机动车辆保险的b m s 研究 上面提到的三个模型，泊松一逆高斯与负二项分布都具有大于均值的方差，那 么这两个分布有什么联系和区别呢? 如果我们来观察他们的均值与方差，不难发 现：这两个模型的极限都是泊松分布，也就是说，泊松分布是他们的一个特例。 而在均值与方差相同时，泊松一逆高斯分布的尾部要比负二项分布的尾部厚，这 一性质使得泊松一逆高斯分布在某些场合有特殊的用途。由对负二项分布的解释， 我们同样认为，泊松逆高斯分布适合拟合非同质性保单的索赔次数。 2 2 4 二元风险模型1 8 】 假设给定个体保单的索赔次数x 服从参数为a 的泊松分布，而保单组合由两种 类型的风险构成，其中高风险的保单( 泊松参数为入) 占q ，低风险的保单( 泊 松参数为九) 占珥，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分布为： 见= q 可e - 、) k + 啦簪k = 0 , 1 , 2 , - - 协 其中q ，a 2 ， ，九 0 ，q + 呸= l 。均值i n = a a + a 2 a 2 ，方差仃2 = d e m 2 ，而 d ：= q 2 + q 入+ 口2 九2 + a 2 x z 。 上述分布模型可由以下方程来求得其矩估计值： 以= q ( 矸+ 3 2 + ) + 啦( 如3 + 3 五2 + 五) 其中破表示3 阶原点距。 2 2 5 三元风险模型 假设保单组合由三种类型的风险构成，其中高风险的保单( 泊松参数为入) 占q ，中等风险的保单( 泊松参数为九) 占啦，低风险的保单( 泊松参数为九) 占吩，且q + 口2 + 鸭z l ，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分 布为： 仇= q 学+ 啦可e - ：x 2 k + 口3 - p - 呐t 譬y - l ，2 ，( 2 1 8 ) 可由如下方程组求得其矩估计值： 第二章关于索赔次数的精算模犁 q + 口2 + a 3 = l q + 呸九+ q = 而 口l ( 坪+ ) + 吒( 鬈+ 凡) + 吩( 碍+ 凡) = 吐 q ( 耳+ 3 碍+ 入) = 吃 t = l 3 q ( 耳+ 6 9 + 7 砰+ ) = 吐 1 2 i 3 q ( k + l o g + 2 5 譬+ 1 5 v + ) = 以 其中碣，攻，以，d 4 ，d s 为各级样本原点距。 下面给出一组来自参考文献1 2 8 的索赔次数的原始数据。 表2 1 索赔次数的原始数据 索赔次数k 保单数体 08 6 6 5 5 15 8 1 6 2 1 8 4 7 37 1 4 43 1 5 5 1 3 0 65 7 72 9 8 1 9 97 1 0 4 1 1 7 1 2l 三1 3 0 合计 9 5 6 0 1 利用i j 面提到的5 个常用的索赔次数分布模型来拟合表2 1 的数据。可以算出表 2 1 的数据的均值m = 0 1 5 1 2 ，方差0 2 = o 3 3 8 7 。泊松估计的参数估计值为 a = o 1 5 1 2 ；负二项分布的参数估计值为：a = 0 1 2 1 8 2 ，7 - = o 8 0 5 9 ，泊松一逆高 2 4 机动车辆保险的b m s 研究 斯分布的参数的估计值为：g = 0 1 5 1 2 ，h = 1 2 4 0 8 ；二元风险模型参数的估计值 为：q = 0 9 7 2 8 1 ，a 2 = 0 0 2 7 1 9 ， = 0 0 7 8 7 5 5 ，凡= 2 7 4 1 6 6 ；三元风险模型参 数的估计值为：q = 0 0 7 9 1 5 5 ，呸= 0 0 0 3 1 3 4 ，a 3 = 0 9 1 7 7 1 l ， = 1 2 8 4 8 3 ， 五= 5 0 0 4 7 5 ，乃= 0 0 3 6 8 0 。 2 3 索赔次数的拟和 假定一个属性变量具有几种可能的数值或分类，其概率分布自然地由概率函 数确定。我们的目的是查明一组样本与某一确定分布的拟合程度，即研究一组样 本是否与确定的分布之间存在差异。推断这个差异是否由随机现象所引起，抑或 是在实质上就存在着这种差异。因此需要用卡方拟合检验n 9 1 方法进行检验。 卡方检验，是根据用户给出的观察样本数及其理论频次数，检验理论总体x 的分布函数，( 力。若五，恐，矗为其样本观察值，为了检 f ( x ) 是否与预先给定 的分布函数f o ( x ) 相同，即检验假设1 4 0 ：f ( x ) = f o ( x ) ，1 t , ：，( 工) v 0 ( x ) 。下面给 出卡方检验的基本原理与步骤： 步骤1 根据样本的频次分布情况分成s 个区间即( - o o ，q 】，【a l ，a 2 】， 【a s - o o 】，用巧表示样本落在这些区间的频数，一般希望k 5 ( f = 1 ，2 ，s ) ，若满 足不了这个条件，可将相邻的区间适当合并( 有时可放松至” 2 ) 。 步骤2 若分布函数磊( 工) 中有m 个未知参数( o m s ) ，则用样本估计它们， 再用估计值代入分布函数之中。 步骤3 在风下计算理论概率只= p ( q 一。 1 30o01 90 o io 4 合计 9 5 6 0 l9 5 6 0 1 19 5 5 9 9 89 5 5 9 7 59 5 6 0 0 7 59 5 6 0 0 9 检验值0 1 5 1 0 21 6 1 0 2 81 6 6 4 4 21 3 9 0 5 82 1 9 9 d f 1887 6 卡方查表值3 8 4 1 1 5 5 0 71 5 5 0 7 1 4 0 6 71 2 5 9 2 查表可以看出，负二项分布和三元风险模型分布的拟合效果是比较好的。下面 采用一种新的叠加分布模型来拟合上述两个较好结果的模型： 假设负二项分布和三元风险模型的分布分别为：石( 功和左( 功，q + 吒= l ， 下面要寻找最优的a j 、a ，使得这个叠加分布的效果最佳。叠加分布函数的密度函 数为：f ( x ) = a , f ( x ) + a j 2 ( x ) 。若z ) 和l ( x ) 的均值分别为：石( x ) 和l ( x ) ，则 叠加分布的均值为：q z ( x ) + 吒五( x ) 。 表2 3 叠加拟合值 机动车辆保险的b m s 研究 o8 6 6 5 5 8 6 6 5 4 2 l5 8 1 65 8 3 4 2 21 8 4 71 8 1 3 9 37 1 47 3 5 43 1 5 3 0 1 6 51 3 01 3 1 4 65 76 3 2 72 93 2 7 8 1 9 1 7 2 978 9 1 044 5 l l72 2 1 2 l1 兰1 30o 合计 9 5 6 0 19 5 6 0 0 检验值1 4 1 4 从表中可以看出该方法对叠加拟合值【2 0 】的影响还是比较大的，卡方检验值有 不小的减小，使之更接近原始数据，最关键的是尾部数据更加贴近，这样实际效 果也就好很多。 2 4 1 负二项分布的理论 2 4 最优b m s 对于在n 年中发生k 次索赔的投保人，其平均索赔频率的估计值为：坐。设 t + ” 初始保费为1 0 。，那么：n k + l m 篆筹等 2 4 2 三元分布模型理论 t 当随机个体保单在t 年内的索赔次数记录为毛，屯，t 时( 令厶= 毛) ，由 第二章关丁| 索赔次数的精算模型 b a y e s 理论可知，此保单属于高风险组的概率为： 口。( 毛，如，毛) = p 【高l 岛，七2 ，丘】 l 属于中等风险组的概率为： 哆( 毛，屯，电) = p 【中i 毛，岛，t 】 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 如果假设平均每次的索赔额为一个货币单位，则在期望值原理下，在t 年内发 生厶= 毛次索赔的保单的续期风险保费应为： 隔 ，以卜：z ：蒎? 1 2 乏( 十譬：! ：麓；幔( 2 - 2 1 )+ 【1 一q ( 毛，如，七| ) 一啦( 毛，屯，电) 】五) 根据上面的计算公式，对于初始保费为1 0 0 ，可以求出发生k 次索赔之后的下 一年度需要缴纳的保费，见表2 4 。 表2 4 叠加拟合的最优b m s k nol234 01 0 0 l4 4 64 1 1 07 7 7 31 1 4 3 61 5 0 9 9 22 8 72 6 4 55 0 0 37 3 6 09 7 1 8 32 1 21 9 5 03 6 8 85 4 2 67 1 6 5 41 6 81 5 4 42 9 2 14 3 0 05 6 7 4 51 3 91 2 7 92 4 1 8 3 5 5 7 4 6 9 7 可以看出该b m s 系统的奖惩力度是非常大的，是比较理想的一种模型，但应用 到实际当中还是有不小的困难。该b m s 系统对于无索赔或者索赔次数极少的投保 人来说，是极其有利的；而对于其他索赔次数相对较多的投保人来说，则需要付 出巨大的保单额。虽然所有的b m s 都是鼓励无索赔的保单，该保单更是体现了这 一点。 一种好的奖惩系统可以起到以下两个方面的作用：1 对投保人的逆选择问题起 机动车辆保险的b m s 研究 到预测和抑制作用；2 客观真是地评价每位投保人的风险，并将风险大小通过保费 体现出来。而上述提到的仅仅把索赔次数作为唯一的奖惩因素还不能很好地体现 对每个投保人的公平，尤其是那些有着小金额赔付的或者应付较小责任的驾驶员。 为此，第四章将提出把索赔大小加入到b m s 研究中来，给出了一些理论模型及韩 国s f m i 公司b m s 的改进。 第三章用时间序列法研究b m s 第三章用时间序列法研究b m s 3 1 基本概念 对上一章的索赔次数的研究，我们可以给出一个比较好的b m s 系统，但是我 们试想一下，如果有这么两个司机，他们的年龄、性格、驾驶经验等等各个方面 都很相仿，对他们来说他们俩的保费应当差不多才对。而如果一个司机在第五年 出现了一次索赔，另一司机在第十年出现了一次索赔，两个司机在其它年份均没 有索赔的现象，那么他们保费支出的差额就比较大了，这种情况显然对第一位司 机来说是不太公平的。 针对上述问题，我们可以采用一个新的研究方法时间序列法1 2 1 h 2 刀来研究 b m s 问题。 时间序列分析的主要任务就是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计 模型。合理的模型会对所关心的时问序列的预测、控制、和诊断提供帮助。大量 时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性，或者只表现出三者中的 其一或其二。这样，可以认为每个时间序列，或经过适当的函数变换的时间序列， 都可以分解成三个部分的叠加 置= z + s + r ，t = 1 ，2 ， 其中 巧 是趋势项， s 是季节项， 墨 是随机项。时间序列 置) 是这三项的叠加。 定义3 1 设 是一个平稳序列。如果对任何s ，f n ， e 8 t = g , 毗力= = 住- ， 就称 q 是一个白噪声，记作删( ，盯2 ) 。 定义3 2 如果 w n ( 0 ，盯2 ) ，实数q ，玎2 ，口p ( 郇o ) 使得多项式4 ( z ) 的零点都在单位圆外： 爿( z ) = l - 2 a ，z 7 o ，i z i 1 ( 3 - 2 ) 就称p 阶差分方程 置= q 置一，+ q ，t z ( 3 3 ) 是一个p 阶自回归模型，简称为a r ( p ) 模型。满足a r ( p ) 模型( 3 3 ) 的平稳时间 机动车辆保险的b m s 研究 序列 置) 称为平稳解或4 胄( p ) 序列，称口= ( q ，啦，) 7 是彳r ( p ) 模型的自回归系 数。称条件( 3 - 2 ) 为稳定性条件或最小相位条件。 定义3 3 设 q w n ( o ，o r 2 ) ，如果实数岛，6 2 ，( o ) 使得 曰( z ) ：1 + 妻q 一o , i z i 1 ( 3 - 4 ) 置：q + 羔q q 一，f z ( 3 5 ) 是q 阶滑动平均模型，简称为m a ( q ) 模型，而称由( 3 5 ) 决定的平稳序列 墨 是 滑动平均系列，简称为m a ( q ) 序列，如果进一步要求多项式b ( z ) 在单位圆上也没 有零点：口( z ) o 当l z l - m ， 五= 盯z + 艺q z 一i k ，艺，z 。 j = l 于是再利用 厶= 妒 k ，k ，k ) = 印 彬，) = m n ，n = 1 ，2 ， 得到 厶= 妒 五，五，以) = 妒 k ，k ， 2 妒 ，) 其中嵋= x ，彬= r - l ( y ，i y , , 一。) 是 i ) 的样本信息。用儿表示 置) 的自协方差函数， 取= 1 ；6 ，= 0 ，当_ ， q 时，可计算出 e ( r r ) = 盯- 2 以一， 1 s s f s 所， 盯- 2 y t _ - - 妻乃以w 】1 s f s m ， 定义 置) 的逐步预测误差 互= 置一三( 五i z 一。) ，z 1 = 五 贝u 对1 f m ， 彬= 五盯一三( 五盯1 x , 1 ) = 盯一i x , - l ( x , l x , 一1 ) 】； ( 3 1 5 ) 对于，m + l ， w t = c rn 盼萎q 以，也一羔川a x , 一，i x , - 1 ) 】 ( 3 - 1 6 ) = 盯。 z 一三( 墨i 置。) 】 所以 置 和 r 的预测误差之间总有以下的关系 z f 一盯彬，e z ? = 盯2 e 彬2 ，t = 1 ，2 ， 第三章用时间序列法研究b m s 3 3 以下我们仍用q l 表示彬2 ，就有e 彳= 盯2 q l 。对于l 玎 m = m a x