（应用数学专业论文）粘性流体的动力学性态和正则准则研究.pdf

vi i i 摘 要 则 对 任 何 一 个 满 足下 面 能 量 不 等 式 的 扰 动系 统 的 弱 解b (x , t ) .“():， + 2 厂 ii n 2 b(r)iilzdr : iie (s)iil, + ， 厂 t(f + f , b)d r 其中0 三s 0 ( t -+ 00 ) 、.几、.少 0，f，g. 第二章我们 研究如下一类 微极流体的渐 近性态和正则准则 . v v= a t 。 一( 。 + ) : 一2 tc v x ，+v 7 r +。 v v = a t w一 y a w一( a +p ) v v w+4 k w一2 n v x 。 + 。 o w = 首 先在第二章第二 节我们 讨论了 二维微 极流体解的高阶导数的 上下界估计. 利 用线性 微极流的 衰减估 计和广义的g r o n w a l l 不等式 型分析， 我们 得到了如下的 最优 上下界估计 定理0 . 0 . 3饭设u ( t ) 二( v , w ) 是二维微 极流体的 一 个解 ， 其中( f , 9 ) = 0 y 及初值 满 足。 。 h m ( r 2 ) n l 2 ( r 2 ) ( 二_ 0 ) 和 ，() 二 ,2nj 0 .、。(“).“ 一 + (,2y-2) ， 。 一 0, 这里l y 。 为 相 对 应 的 半 群 使 得 s ( t ) u o = u ( t ) , 。 =( : ， 二 ) ， u o = ( v o , w o )那么系 统在下面的 意义t 存在一个4 l 整 体吸引子: a在 ? l 中紧 ， s ( t ) a = . a且 l i m s u p i n f j i s ( t ) u n 一。 11 t .- = 0 汁加u . e b , 召 c 火“ 只 摘 要 进一步 地， 如果fe w ， 则a是一个 v整 体吸引 子: a在 v中紧 ， s ( t ) a=a a n dl i m s u p i n f 一囚 别 c 任 乃 , u c h u c n i i s ( t ) v 。 一。 ii h i =0 在第二章 第四节我们 考虑三维微极流 体弱解正则 性的 一些充 分条件. 我们 将表 明 定理0 . 0 . 5 假设 ( 。 ， 司 为三维微 极流体的 弱解 ， 如果下面 三个条 件之一成立: (i ) 。 ly t ( 0 ， t , l 9 ( r 3 ) ) , (i i ) 。 e c (o , t ; l 3 (r 3 ) ) ; (i ii ) v v l p 2 ( 0 , t ; l - ( r 3 ) ) , f o r 34 i三d o ; 2 3 f o r一 十一 2 , p 2 9 2 3 二 3 ) 的时间 衰减性. 由于 此时经典的f o u r i e r 分解 方法不再 适用， 利用s t o k e s 流的l p - l q 估 计和 s t o k e s 算子的谱分 解方法， 我们 得到了下面的 最优衰减率. 定理 0 . 0 . 8低设 可 x , 幼是上 述非 牛顿流体的一 个弱解， 则有 ( i) li m tl oo iiu (t ) iil 2 = 0 ， 当 初 速 度。 o e l 2 ( r + ) , ( 11 ) 11u(t)11l2 1 ， 当 初 速 度u o e l z (衅) n l ( 磷) ( 1 r 2 ) . 定理0 . 0 . 7假设u ( x , t ) 是上述非牛顿 流体的一 个弱解 ， 则有， iiu ( t) iil 2 1 , 扣果初速度满足 一 l z(r +) n l (r + ) “ ， 和 五 : 一 x) idx 1 ( 1 ) iiu ( t ) 一 u (t ) ii l = 。 t 一 晋 一 ic t 8 4 , ( ii ) lim e ,t 2 (* - 2 ) iiu ( t ) 一 。 (0 11l : 二 0 ， 当 初 速 度。 o e l ( 班) ( 1 r 2 ) . 定 理0 .0 .9设 初 速 度 满 足。 。 护( r + ) n 厂 ( 班) ( 1 : 1 , r 二 2 ) , l i m t a ( + - z ) + 全 i i- (t ) 一 u ( t ) iil 2 = 0 ( 1 。 ，a s t - o o 关键词: 准地转流体 微极流体 非牛顿流体 大时间性态 渐近稳定 性 整体吸 引子正则准则 ab s t r a c t p a r t i a l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e d e v e l o p me n t o f t h e fl u i d d y n a m i c s , w h i c h g o e s b a c k t o t h e t i m e o f e u l e r . d u e t o t h e l a b o r a t o r y e x p e r i - m e n t s o n t u r b u l e n c e d e r i v e d勿 r e y n o ld s i n 1 8 8 3 a n d t h e c e l e b r a t e d m a t h e ma t i c a l r e s u l t s s h o w i n g t h e e x i s t e n c e o f w e a k s o l u t i o n s o f v i s c o u s i n c o m p r e s s i b l e fl u i d fl o w s g i v e n b y l e r a y i n 1 9 3 0 s , fl u i d d y n a m i c s h a s g a i n e d m o r e a n d m o r e a t t e n t i o n i n t h e fi e ld s o f p a r t i a l d iff e r e n t ia l e q u a t io n s a n d n o n lin e a r s c ie n c e s 1 - 1 0 4 . t h e p r e s e n t t h e s i s d e a l s w i t h t h e n o n l i n e a r p a r t i a l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s y s t e m s r e l a t i n g t o t h e f o l l o w i n g t h r e e n o n l i n e a r v i s c o u s fl u i d fl o w s m o d e l s : q u a s i - g e o s t r o p h i c fl o w s , m i - c r o p o l a r fl o w s a n d n o n - n e w t o n i a n fl o w s . o u r r e s e a r c h w o r k ma i n l y f o c u s e s o n t h e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y , l a r g e t i me b e h a v io r , g l o b a l a t t r a c t o r a n d r e g u l a r i t y c r i t e r i o n o f s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n s m o d e l l i n g t h e a b o v e t h r e e s o r t s o f fl u i d mo t i o n s . i n c h a p t e r 1 , w e i n v e s t i g a t e t h e r e g u l a r i t y c r i t e r i o n a n d a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f t h e t w o- d i m e n s i o n a l q u a s i - g e o s t r o p h i c fl u i d mo t i o n s i n g e o p h y s i c a l fl u i d d y n a m i c s . t h e d i s s i p a t i v e q u a s i - g e o s t r o p h i c e q u a t i o n i s d e s c r i b e d a s 8 ea t + u - v o 十 t, a 0 b二五 0 ( x 0 ) = b u . i n s e c t i o n 1 . 2 , w e d i s c u s s r e g u l a r i t y c r i t e r i o n o f s o l u t i o n s t o t h e t w o-d i m e n s i o n a l c r i t i c a l ( 。=1 ) a n d s u p e r c r i t i c a l ( 0 a0 a n d a e ( 0 , 1 . a s s u m e t h a t 0 i s a s o l u t i o n o f t h e q u a s i - g e o s t r o p h i c e q u a t i o n i n 0 , t ) i n t h e f o l l o w i n g c l a s s - pa - 0 o . 口 一一 a一r 十 ，-p 0 1 o e l (0 , t ; 嗽_ ( r 2 ) ) w it h 4 i i abstract t h e n t h e s o l u t i o n b ( x , t ) i s r e g u l a r o n ( 0 , 刘. s e c t i o n 1 . 3 i s d e v o t e d t o t h e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y f o r t h e w e a k s o l u t i o n o f t h e d is - s ip a t iv e q u a s i -g e o s t r o p h ic e q u a t io n in th e s e r r in - ty p e c la s s v 1 o l r (0 , o o ; l p (r ? ) ) u n d e r t h e l a r g e i n i t i a l d a t a a n d e x t e r n a l f u n c t i o n s . f o r t h e p e r t u r b e d s y s t e m 雳 + 。 v b + k a 0 b b ( x , 0 ) 了 十f , 先+a ( x ) , w i t h t h e a i d o f s o me t e c h n i c a l e s t i m a t e s a n d a s u i t a b l e c h o i c e o f t e s t f u n c t i o n s , i t i s s h o w n t h a t e v e r y w e a k p e r t u r b e d s o l u t i o n 0 h a s t h e s a m e a s y m p t o t i c b e h a v i o r a s t h a t o f 0 . t h a t i s , t h e o r e m 0 .0 .2 . l e t 0 a 1 , 0 , 。 l 2 ( r 2 ) , 。 l 2 ( r 2 ) , f e l (0 , o o ; l 2 ( r 2 ) , f l l ( 0 , t ; l 2 ( r 2 ) ) f o r a n y p o s i tiv e n u m b e r t a n d b ( x , t ) b e a w e a k s o lu t io n o f q u a s i - g e o s t r o p h i c e q u a t i o n s a t i s f y i n g a-r 十 ，曰一刀 v l e l t ( 0 , o o ; l p (树) ) w ith 2 = a , -a p 0 ( t -+ 00 ) h o l d s t r u e f o r e v e r y w e a k s o l u t i o n b ( x , t ) o f p e r t u r b e d s y s t e m s a t i s f y i n g t h e e n e r g y - t y p e i n e q u a l i 勿 iib (t)1ll2 + ， 关 iia ze(t)iilxd : jjb(s)ill2 + 2 厂 (， + f, b)dr w i t h 0st 0 ) s a tis f y in g s o l u t i o n o f t h e t w o - d i me n s i o n a l 0 a n d i n i t i a l v e c t o r 万 e l d u o p(r) 三 i ,2nj 0 lu o ( r e ) id o 二 ， 2 7 - 2 + 。 w-y - 2 ) a s r叶 0 , f o r a c o n s t a n t 1 o b e t h e s e m i g r o u p a n y 扣 n c ti o n 0 e 川( s2 ) . l e t f= a s s o c i a t e d t o t h e t w o - d i me n s i o n a l e q u a t i o n s s u c h t h a t s ( t ) u 。 二。 ( t ) w i t h 。=( v , w ) a n d 二 。 =( v o , w o ) e x i s t s a n 4 l g l o b a l a t t r a c t o r 滩 i n t h e f o l l o w i n g s e n s e : (f , 9 ) v i m i c r o p o l a r t h e n t h e r e a i s c o m p a c t i n 4 t , s ( t ) a=a a n dl i m s u p i n f l 叶即u o e 口“ 月i i s ( t ) u 。 一 。 i i l z =0 i v f o r a n y b o u n d e d s u b s e t c i o f 7 l . absi ract mo r e o v e r , i f f3 , t h e n a i s t h e v g l o b a l a t t r a c t o r i n t h e f o l l o w i n g s e n s e : a i s c o m p a c t i n v , s ( t) a 一 a a n d 溉s u p m.ed u e a n f1 1 s ( t ) u 。 一二 。 : =0 f o r a n y b o u n d e d s u b s e t b o f 7 i n s e c t i o n 2 . 4 , w e c o n s i d e r s o me s u ffi c i e n t s o l u t i o n s t o t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l m i c r o p o l a r f o l l o w s c o n d i t i o n s o n t h e r e g u l a r i t y o f w e a k fl u i d e q u a t i o n s , o u r r e s u l t s r e a d a s t h e o r e m 0 . 0 . 5 . a s s u m e t h a t ( v , w ) i s a w e a k s o l u t i o n o f t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l m i c r o p o l a r 伽i d e q u a t i o n s w i t h t h e i n i t i a l d a t a ( v o , w o ) v , if o n e o f t h e f o l l o w i n g t h r e e c o n d i t i o n s h o l d s : ( i ) 。 e l p ( 0 , t ; l e (r 3 ) ) , ( “ ) 。 c ( o , t ; l 3 (r 3 ) ) ; ( ii i ) v v 1a(0， t . l a x ( r 3 ) ), f o r51 , 3 q t sd o ; 3-ql + 2一pi f o r 2 3 一+ 一 5 2 ， p 2 q 2 3 万咖 三0 o , l t h e n t h e s o l u t i o n ( 。 ， 。 ) i s r e g u l a r o n 0 , 刘 i n c h a p t e r 3 , w e c o n s i d e r t h e l a r g e t i m e b e h a v i o r t h e v i s c o u s m o m e n t u m i n c o m p r e s s i b l e n o n - n e w t o n i a n fl u i d m o t i o n a n d c o n t i n u i t y e q u a t i o n s a n d a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f g o v e r n e d饰 t h e f o l l o w i n g “ 一 ” + (。 ， ) 。 一 v ( je (u ) ly - z e (u ) ) + v 7f= f , v u = 0 , u ( x , 0 )= 。 。 o u r i n t e r e s t i n s e c t i o n 3 . 2 f o c u s e s o n t h e t i me d e c a y p r o b l e m w i t h r e s p e c t t o t h e n o n - n e w t o n i a n fl o w s i n h a l f s p a c e s r + . s i n c e t h e c l a s s i c f o u r i e r s p l i t t i n g m e t h o d is n o t a p p l i c a b l e , 勿 u s i n g t h e护 一l q e s t i m a t e s o f t h e s t o k e s fl o w a n d t h e s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n m e t h o d o f t h e s t o k e s o p e r a t o r i n r + , t h e o p t i m a l t i m e d e c a y r a t e s a r e o b t a i n e d . abstract t h e o r e m 0 . 0 . 6 . s u p p o s e t h a t “i s a w e a k s o l u t i o n o f n o n - n e w t o n i a n f l o w s . t h e n ( i) lim t o o iiu (t ) i卜 0 , w h e n e v e r 。 。 l 2 ( r + ) , ( ii ) 11u ( t ) ii 1 , w h e n e v e r 。 。 l 2 (r + ) f l l ( r + ) ( 1 ， 2 ) t h e o r e m 0 .0 .7 . s u p p o s e th a t 。 is 。 w e a k s o lu tio n , 、 。 e l 2 ( 班) n l ( r + ) f o r 1 r 三2 a n d s a t i 示e s ix n u o ( x ) i r d 2 0 0 . liu ( t ) il 1 . t o u n d e r s t a n d t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e n o n - n e w t o n i a n fl o w u ( t ) a n d t h e n e w t o n i a n fl o w u ( t ) ( o r t h e n a v i e r - s t o k e s fl o w w i t h p=2 ) , w e s h o w t h a t t h e o p t i m a l a l g e b r a i c d e c a y e s t i m a t e s w i t h u ( t ) r e p l a c e d 妙 u ( t ) 一i ii ( t ) r e ma i n t r u e . th a t i s : t h e o r e m 0 . 0 . 8 . l e t 。 。 e l 2 ( 理 )t h e n ( 1) h u (t ) 一 u ( t) ii l - 1 , ( i i ) l im t, . t 2 (: 一 i l jju (t ) 一 。 ( t ) ii l = = 0 , w h e n e v e r 二 。 。 l (r + ) ( 1 ， 2 ) . t h e o r e m 0 . 0 . 9 . l e t 。 。 l 2 (r + ) f l l r (r + ) f o r 1 r 2 a n d f : ixnuo(x )ir + “ 一 th e n iiu (t ) 一 ” ( 0 11v 1 , : = 2 ) l imt- ro o t 1 0 7 - 7 1+ 2 11u ( t ) 一 u ( t) iil 2 二0 (i r 3 , a n d 。i s a w e a k s o l u t i o n o f t w o - d i m e n s i o n a l n o n - n e w t o n i a n f l u i d mo t i o n e q u a t i o n s . t h e n f o r e a c h la r g e p e r tu r b a ti o n a l 2 ( r 2 ) n w i ,2 (r 2 ) , t h e r e e x is t s a u n iq u e w ea k s o l u t i o n 。o f t h e p e r t u r b e d s y s t e m c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n i t i a l v e l o c i t y u o t a a n d t h e e x t e r n a l f o r c e f . i n p a r t i c u l a r , t h e s o l u t i o n v c o n v e r g e s a s y m p t o t i c a l l y t o “i n t h e f o l l o w i n g s e n s e . 11v (t ) 一 。 (t ) iiv -+。 ， 。 ， t 一0 o . ke y w o r d s : q u a s i - g e o s t r o p h i c fl o w s mi c r o p o l a r fl o w s r e g u l a r i t y c r i t e r i o n asy mp t o t i c s t a b i l i t y g l o b a l a t t r a c t o r n o n - ne wt o n i a n fl o ws t i me b e h a v i o r 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电 子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 “ : 童 柏 青 z 月 1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内 部 5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密*1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己 经注明引用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发 表或者没有公开发表的 作品的内 容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的 法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 牲 名 : 童 柏 青 z i p (r 2 ) ) w it h p t h i s r e s u l t i s b a s e d o n t h e s y m m e t r y o f ( 1 . 1 . 1 ) a, 2 a 0 . w i t h t h e u s e o f t h e b i li n e a r c o m m u - t a t i o n e s t i ma t e s a n d t h e c r i t i c a l l o g a r i t h mi c s o b o l e v i n e q u a l i t y , w e w i l l e x t e n d t h e r e g u l a r i t y c r i t e r i o n s o f s o l u t i o n s t o t h e t w o- d i m e n s i o n a l c r i t i c a l a n d s u p e r c r i t i c a l q u a s i - g e o s t r o p h i c fl o w s o n t h e l e b e s g u e s p a c e s t o t h e l a r g e s t c r i t i c a l h o m o g e n e o u s b e s o v s p a c e s ( s e e t h e i r d e fi n i t i o n s i n s e c t i o n 1 . 2 ) . s e c t i o n 1 . 3 i s d e v o t e d t o t h e a s y mp t o t i c s t a b i l i t y f o r t h e w e a k s o l u t i o n o f t h e c r i t i c a l a n d s u p e r c r i t i c a l d i s s i p a t i v e q u a s i g e o s t r o p h i c e q u a t i o n i n s e r r i n t y p e c l a s s 0 1 8 e l ( 0 , o o ; l p (r 2 ) ) . t h is e q u a t io n is p e r t u r b e d b y la r g e i n it ia l d a t a a n d e x t e r n a l fu n c t io n s . i t i s s h o w n t h a t e v e ry w e a k p e r t u r b e d s o lu t io n b h a s t h e s a m e a s y m p t o t ic b e h a v io r a s t h a t o f 8 . m o r e p r e c is e ly , t h e d iff e r e n c e b ( t ) 一 8 (t ) d e c a y s in t h e n o r m o f l z ( r z ) . t h e a r g u m e n t s a r e m a i n ly b a s e d o n s o m e t e c h n i c a l e s t i m a t e s a n d a s u i t a bl e c h o i c e o f t e s t f u nc t i o ns . 1 . 2 re g u l a r i t y c r i t e r i o n i n b e s o v s p a c e s i n t h i s s e c t i o n w e w i l l i n v e s t i g a t e t h e r e g u l a r i t y c r i t e r i o n s o f s o l u t i o n s t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l c r i t i c a l a n d s u p e r c r i t i c a l d i s s i p a t i v e q u a s i - g e o s t r o p h i c e q u a t i o n o n c h a p t e r 1 qu a s i - g e o s t r o p h i c f l u i d s t h e l a r g e s t c r i t i c a l h o mo g e n e o u s b e s o v s p a c e s . we a s s u me , f o r s i mp l i c i t y , t h a t t h e e x t e r n a l f o r c e s f=0 i n ( 1 . 1 . 1 ) , a l t h o u g h i t i s e a s y t o s e e t h e m a i n t h e o r e m s t i l l h o l d s f o r a n y f l 1 ( 0 , o o ; l 2 ( r 2 ) ) . t h e r e s u l t n o w r e a d s : t h e o r e m 1 . 2 . 1 . l e t t0 a n d a ( 0 , 1 丁 . a s s u m e t h a t 0 i s a s o l u t i o n o f t h e q u a s i g e o s t r o p h i c e q u a t i o n ( 1 . 1 . 1 ) 。 0 , t ) i n t h e f o l l o w i n g c l a s s 0 1 0 e l (0 , t ; 帐二 (r 2 ) ) w ith 2。 一 + 一 4 -a - p 00 ， ( 1 . 2 . 1 ) t h e n t h e s o l u t i o n 0 ( x , t ) i s r e g u l a r o n ( 0 , t i t i s r e a d i l y s e e n t h a t ( 1 . 1 .3 ) a n d ( 1 . 1 . 4 ) a r e e x t e n d e d 饰 ( 1 . 2 . 1 ) i n t h e e x t r e m a l c a s e p=o o a n d t h e r e g u l a r i t y c l a s s i n t h e l e b e s g u e s p a c e l p ( r 2 ) i s e x t e n d e d t o t h a t o f th e b e s o v s p a c e b p0 . (r 2 ) . i n p a r t ic u la r , w e n o t e t h a t l - ( r 2 ) 、b m o ( r 2 ) *比，二 (r 2 ) w h e r e b mo ( r 2 ) i s t h e s p a c e o f t h e b o u n d e d m e a n o s c i l l a t i o n s d e fi n e d b y b m o (r 2) = ， 。 l i. (r 2); supx,r 俞.l ,(二，i f (y ) - #b,(.) i dy 0 . i n o r d e r t o d e fi n e t h e b e s o v s p a c e , w e fi r s t r e c a l l t h e l i t t l e w o o d - p a l e y d e c o mp o s i t i o n (s e e 9 5 ) . l e t s (r 2 ) b e th e s c h w a rt z c la s s o f r a p id ly d e c r e a s in g f u n c t io n s . f o r f e s ( r z ) , it s f o u r ie r t r a n s fo r m a t io n f is d e fi n e d b y f (。 一 f z e y# f (x) dx .r 2 1 .2 . regu l ari ty c ri t e ri on i n b e s ov s p ace s c h o o s e a n o n n e g a t i v e r a d i a l f u n c t i o n 0 e s ( r) s u c h t h a t 0 k ) 1, k ，一 1 , i f 1 1 1 , 0 , i f 引全2 . a nd l e t ,0 ( x ) = ( x ) 一 2 - 2 o ( x / 2 ) , y j (x ) 二 2 2 0 ( 2 x ) , yj (x ) 二 2 2 7p (2 x ) , f o r j z . t h e l i t t l e w o o d - p a l e y p r o j e c t i o n o p e r a t o r ， is d e fi n e d b y 勺f 二 呜* f - l e t ， : r , ， ， 。 。 1 , o o , t h e h o m o g e n e o u s b e s o v s p a c e 弓 , ( r 2 ) i s d e fi n e d b y t h e f u l l - d y a d ic d e c o m p o s i t i o n s u c h a s b p , (r 2 ) 二 f e y ( r 2 ) / p ( w ) : 11f i i b n .a 0 0 wh e r e m 3 2 q11o j f l p) 9 s u p j e s 2 j y 11 0 i f 1 1 l n , p = 1 丛p0 0 , 0 0 , r.，、. -一 习 哪 户了 s ( r ) i s t h e s p a c e o f a l l t e m p e r e d d is t r i b u t i o n s o n r 2 a n d p ( r 2 ) i s t h e s e t o f a l l s c a l a r p o ly n o m i a l s d e fi n e d o n r 2 . i t i s o f i n t e r e s t t o n o t e t h a t t h e h o m o g e n e o u s b e s o v s p a c e b 2,2 ( r 2 ) i s e q u iv a le n t t o th e h o m o g e n e o u s s o b o le v s p a c e 分 ( 树) a n d t h e r ie s z t r a n s fo r m r 1 = v ( 一 ) 一 2 is b o u n d e d i n t h e s p a c e b d ,q ( r ) (s e e 9 5 ) . f o r m o r e d e t a i l p r o p e r t i e s o f t h e b e s o v s p a c e s , n o w w e r e c a l l s o me o f th e o r e m 1 . 2 . 1 . th e a n d p o n c e 5 5 . l e m ma 1 . 2 . 2 . ( k a t o f , 9 w ,p ( r 2 ) . t h e r e i mp o r t a n t i n e q u a l i t i e s o n e m a y r e f e r t o 9 9 . w h i c h w i l l b e e mp l o y e d i n t h e f o l l o w i n g b i l i n e a r c o m mu t a t i o n e s t i ma t e s a r e d u e t o p r o o f ka