（应用数学专业论文）超平面构形二重自由性的机器判别.pdf

魏京毡。二卷芏螭土啦嚣警学位论文 f o ri = l ：u i ! l + k ：i ； e ( i ) = x l 。r ( i j j 耋x 2 f ( i ：i ! e 目5 誊i ；! ! | ! i i l j 羹8 i i 2 l i i ；萋 e n d e n d e n d e n d 耋一一t 一一u - 一一u - - - 毒滢嗡 麓 f u n c t i o nr = z s h b ( n ：! 圈 鋈n 穆戮基爵萋图鞫二蓦澄气毒薹墓匿 麓n 商崭鞲氆熙孽霾z 霉缸“鬻渊j 。i i l i 淫毪甚筚由苻如 s = d x s j ；i 一；i 雾u ( n + k - 3 ；g 一；： e = d x s j 羲i 1 1 ；u ( n + k i i ；i = | t = s i z c ( s ) ； k = t ( 1 i i i ! r = z e r o s ( k ：n ! 二l ! 北京化工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 在第一章和第二章中，我们主要介绍一个计算二重超平面构形导子基的算 法，然后用得到的算法计算平面上一些线构形的二重自由性所以，在介绍这个 算法之前知道一些超平面构形的概念和习惯术语是必要的 1 1 课题来源与相关历史 超平面构形【l l 作为一个新兴的，独立的学科，它的起源却很简单最初， 在1 9 4 3 年在美国数学月刊上由j l w o o d b d d g c 提出了“证明切h 刀后的奶 酪最多有垒丛氅二旦盟块”的问题这个问题用数学归纳法可以证明有趣的是 n 点可以将一条直线分为”+ 1 部分，n 条直线最多可以将一个平面分为1 + n + g ) 部分，n 个平面最多可以将一个空间分为，+ n + e ) + g ) 部分l s c h a n i 得到了 一般分隔m 一维奶酪后所得最多块数的公式： 1 + n + ( ：) + ( ；) + ，+ ( ：) 为了使分得的块数最大，问题中的平面的构形必须在般位置”这就是说 任何两个平面有一条公共直线 任何三个平面有一个公共点如果不要求平面的 构形在般位置”，将使计数问题变得困难得多 1 9 7 5 年，t z a s l a v s k y 作过一个有意义的推进他的a m s 学术年会上做了以 “面向构形：超平面分空间所得块数的计算公式”为题的报告他引入了删除一 限制方法，得到了计数问题的循环运算公式相似的结果也被m i a sv e r g n a s 独 立的得到彳的元的交集彳) 也是被t z a s l a v s k y 定义的他还用反包含定义 了工彳) 上的偏序关系他使用了的m i s b i u s 函数定义了l 彳) 的特征多项 式他证明了构形的三元组之间的庞加莱多项式的关系，得出了余集块数的漂亮 结果： 北京纯：走学硕士研究鸯学谴论文 可以通过锥化的方法化为中心的锥化是通过升高超平耐的维数，而使得非中心 弱擒形交为串心构形下露是锥像酌定义： 定义1 2 2 设是一个z 一构形，q ( “) 是定义多项式， q ( 名) 鲢【蕞，蕞】， 设( a ) e k x o - 。，葺】是q ( 彳) 的齐次他，称以q7 c 彳) 为定义多项式的构 形为彳上的锥，记为c “，l c 彳l o l 爿l + l ，* k c 峨) 称为附加超平蕊 倒若构形彳的定义多项式为q 0 ) = x y 0 + y 一1 ) ，q ，( 一。x 2 y + 叫2 一印， 锥化之后构形的方程为q ( c 彳) - c q 彳) 一叫z 0 + y z ) 嚣软除特薤声明辨，文孛搀戮熬超平嚣掏形垮为矿孛窍# 夸超警磊蘸串心擒 形对于中心构形，总假定其超平面都过原点 1 3 宣幽超平面梅形 1 。3 。1 麓肇鑫由毒每彩 自由超平面构形是超平面构形中特殊的，也是非常蘸硬的一类简单自由构 形只考虑中心构形下面我们介绍有关自由构形的基本概念 设霆为一个交换环，材尧一个r 一接，强暴存在模糊擒妒：一掰瓣称掰 是自由模r 的任一组基在妒下的象叫做吖的一个自由撼比如，若e a ，岛是副 嚣一缀基，裂气x ，妊) 裁是榭的垂由基。 定义1 3 1 设s 一k ，以】是k 上的多项式环，聪上线性映射0 ， 8 ：s s ，满足# 8 ( 露) 一f o ( g ) + g o ( f ) ，g s ， p 就叫做s 在瓞上的导子，所有的导子的集合记为d e r a ) ，假定s 是交换的， 露么d e r 爷) 藏是一个s 一摸 若彳的定义多项式为q 柳一，则“的导子模定义为： o ( 名) = 落e d e r ( s ) l 亭眩) 毒( i ) ，f 一毛，砖 定义1 3 2 构形彳被称作楚自由的，知聚_ d 删) 是自由s 一模 就豪化工夫学硕士研巍生学位论文 1 藩s = k ，西】，剜任何导子 撕 j ，如果 ( 1 ) f 。j 。； ( 2 ) i 。一矗，t ，磊； ( 3 ) 如一，。，i ，* ，+ 。 。( o s f n ) 例如，”一2 ，女一3 时，我们褥魏& 中l o 个元素，它 f 】顺序如下： 0 0 0 ) ( 2 1 0 ) ( 2 0 1 ) ，( 1 2 0 冷( 1 1 1 ) ，( 1 0 2 ) ，( 0 3 0 ) ，( 0 2 1 ) ，( 0 1 2 ) ( 0 0 3 ) 从现在越，我们认为瓯中元素的集合以上述方式排序 我们考虑同态浚射；是一。 对每个多项式，一“) ，我们定义线性映射盯，：r s 。如下：对每个 北京化工大学硕士研究生学位论文 一f 皇是p d e g ( ) 一k 的齐次导子，即莓e s 。，则 d ( 彳) 当且仅当 爿a x , j 锻最_ 2 使得 ( q ) 。鲰因q5 n x 。，故又等价于 岛一砰识，l t ，p ， ( 2 1 ) 这是一个以，幌为未知量的方程组，我们的目标是解这个方程组 因为s * k “，& ：k “4 设臣，是s 的单项式基，岛，。为墨： 的单项式基，那么( ，= 1 ，n ) 和锻可以由这些基表示出来设系数矩阵分别为 b p 。) 和c = ( 吒) 对上面等式的两边考虑线性映射，则可以表示为 和n ) 口_ ( c j t c j 。) ( ：| ；( 薯z 4 ) x ”) ，t = l ，p ( 2 2 ) 设彳是自由构形，则存在皇，基d 口) ，使得m 馐，量) - 盯问题是如 何找这些# 由上面的讨论得，毒d 0 ) 当且仅当毒的分量满足( 2 2 ) 式 以得到有限个齐次导子( 其多项式次数为p d e g ( 鼻) ) 最多只考虑p 个( 彳中超平 面的个数) 这样的方程组最后为找到d 口) 的齐次基，只需要从一个有限集中 选取n 个线性无关的满足多重s a i t o 准则的元即可，这就把问题转化成求有限个 ( 1 ) x f f 2 s k p 列出关于丑和c 的方程组( 1 _ 2 ) ，记为； ( 2 ) 求e 。的基础解( 它们实际上是一些矩阵) ： n 删m ( 3 ) 对每个 竺 矿，用马作为系数矩阵，通过的单项式基可得导子醋记 一楷i f = 1 ； ( 4 ) 彳是自由的当且仅当存在身，鼻0 群，使得 北京纯= i = 太学硕士研究童学位论文 2 3 算法实现 d e t m ( 袅，毫) = c ，c s 用伪代码1 5 i 来写求扮形一静静子基静算法，伪代码中符号“”表示将右边 的量赋值给左边的变爨，符号“，”后的文字表示添加的注释，关键字( 黑体) 瓣含义霹见文字表述，它与讲述葵法的耪辩麓法姻羼，若艏是一个矮簿，戳l i f 熬 第研 第j 列元素表示为l f 8 ，j ) ，m 的第i 行麓素表示为m ( f ，：) ，可视为行向量 如果口是个向量，则8 的第个元素表示为n “) 求掏形簿基础解系主要分为懿下凡步： 1 ) 构造瞬标求解矩降m 矩阵肼的前n x i 。个未知慑按标号序列分为n 行 每簿谚。瑗，褥疆静踅薄就是次导子凌女次齐次攀矮式基下瓣矩阵表示。 2 ) 将矩阵埘化为阶梯型，求解齐次线性方稳组，得到t 次齐次导子豹基础解系 辩遍历慕础解系中所有导子，从基础解中选取无关的鳃若e 选出满足s a i t o 准刚豹导子构成尊子模，刘构形是自由的 算法l ：构造鞋标裴耨矩阵掰 输入：输入构形彳的系数矩阵a - 位口) 和( 1 2 ) 式右边炬阵c 输出；系数矩阵肼 p r 嘲目竹一“国疗次导子 1 m ：一( m 鸩) ；，构造目标求解矩阵m ，分为左右两块予阵 掰。l = 莲；秘，女，_ 氇：努；黟镌逢蠢法觅子舞法l 2 f 打f 2 船p d o p 为超平面的个数，即构形彳的p 个超平面 3 b e 垂n 4 麒，眠；嚣1 ，辑，爿辑) ；删“生左箭块矩阵掰1 5 e n d 左分块矩阵构造完毕 6 。 裾：，m s x “，p x e 篡，) 构造全零矩阵p x c 皇。霉， p x c 暑4 l 7 - 如r 掰l 船野d o 北京化工大学硕士研究生学位论文 ( 2 ) ( 对3 条直线) 【3 1 】，【23 ( 3 ) ( 对4 条直线) 【4 1 ，【23 3 1 】，【26 】 ( 4 ) ( 对5 条直线) 5 1 】，【2 4 4 1 1 ，【2 4 32 1 ，【2 3 1 】， 2 ” ， ( 5 ) ( 对6 条直线) 6 1 】， 2 5 5 1 】， 23 3 4 ，f 26 3 1 4 1 】，【2 6 33 ， 2 9 4 1 1 “2 9 32 1 【2 ”3 1 1 ， 【2 “1 ( 6 ) ( 对7 条直线) 7 1 】，【2 6 6 1 1 ，【2 3 36 ，【2 8 3 1 5 1 1 ， 2 6 33 4 1 】，【29 42 】， 2 9 32 4 1 】， 【2 “5 1 1 ，【2 9 34 1 ，【2 ”3 1 4 1 1 ，【2 6 35 1 ，【2 ”33 1 ， 2 ”4 1 1 ，【2 ”32 1 ，【2 ”3 1 1 ， 22 1 1 ( 7 x 对8 条直线) 【8 1 1 ，【2 77 1 1 ，【2 4 36 4 1 1 【2 ”3 1 6 1 1 ，【2 7 3 3 4 2 】， 29 33 5 1 1 ，【2 7 35 4 1 1 ， 【2 1 2 4 5 】，矿6 1 1 ，【2 31 ，【2 1 0 32 42 】， 【2 1 2 3 2 5 1 ， 2 ”34 4 1 1 ， 2 1 0 3 6 ，【2 ”3 1 42 1 ，旷3 51 “2 ”33 4 1 1 ，矿35 1 ，【2 1 6 4 2 1 ： 旷32 4 1 1 ，【2 1 5 5 1 】，【2 “3 1 ，矿3 1 4 1 】，旷3 3 1 ， 2 2 2 4 1 1 ， 2 4 3 2 ，【22 5 3 1 】 r 2 ”1 3 2 几个简单的例子 本文给出的算法已经在计算机上用m a t l a b 进行t 实现。并计算7 一些有意思 的例子下面我们给出几个简单的例子 ( a ) 若构形彳的定义多项式为： q 0 ) - 砰薯瓴一z ：) 2 计算得到 洲一j 1 + 屯增去毛彘妾， 岛一茸恐三+ ( 酰一毛) 霹三 a t , “， 彳的指数e 砷( 彳) = 州昭值) ，p d 堙( 岛) = 3 ，3 1 ，该多重构形的导子满足多重 s a i t o 准则，所以j 是自由的 若构形彳的定义多项式为： q 国) 一“一而) 2 瓴+ 屯一屯) 2 北京化工大学硕士研究生学位论文 计算得到 毛= ( 一一戤z 。+ 现矿x z 2 + 2 x 2 x s 一豸) 去， 昱七葺+ # 劫去+ 1 ；去+ ( 专# 一如+ 珥一j 璃+ 毡屯一) 去， 岛= 如素+ ( 婶：一霉) 素+ ( 一壤+ 嘲邯z 2 + 弛蝻+ 描一h i + 彘+ 屯一霹) 去- 彳的指数e x p ( 彳) = p 咖暖) ，p d e g ( s e 2 ) ，p d e g ( 3 ) = 2 ，3 ，3 ，该多重构形的 导子满早名萤s a i m 准则所以彳是自由的 3 3 线构形的自由性 下面给出了r 2 平面上不多于五条线的线构形的自由情况( 表1 ) 两条线 构形方程 自由性 指数 【2 1 】x 1 2 x 2 2 一e e 2 ，2 三条线构形方程自由性指数 【3 1 】x 1 2 x 2 2 “+ 屯) 2 f r e e 3 ，3 四条线构形方程自由性指数 4 1 彳“一屯) 2 “+ 2 x 2 ) 2 f r e e 4 ，4 五条线构形方程 自由性指数 5 1 x 1 2 x 2 2 “一吒) 2 “+ j 2 ) 2 ( 强一x 2 ) 2 f r e e 5 ，5 ) 表1r 2 平面上不多于五条线的线构形的自由情况 下面给出了r 2 中的不多于五条线的非中心构形经过锥化后在礤中的自由 情况( 表2 ) 1 8 北京化工大学颤士研究生学位论文 两条线 。构形方程自由性指数 2 3 】而、2 “+ 屯一屯) 2 一p 8 2 ，2 ，2 四条线构形方程自由性 指数 【2 3 3 1 # “一z ：) 2 “+ 屯一屯) 2 和e e 2 ，3 ，3 【2 6 】一k 2 2 瓴+ x 2 一屯) 2 “一x 2 2 屯) 2 n o f 序b 8 2 五条线构形方程自由性指数 【2 4 4 1 】而、2 “一屯) 2 “+ z ：) 2 “一2 也一2 x 3 ) 2 一 2 ，4 ，4 【2 4 3 2 】一、2 瓴一屯一而) 2 “+ 屯一毛) 2 ( 札+ 屯+ 屯) 2 tf r e e 2 2 7 3 1 气x 2 “一z 2 一而) 2 “+ 一氇) 2 “+ z 2 + 屯) 2 n d fj 沁e 2 【2 1 0 】气、2 “一屯一屯) 2 ( 弛+ x ：+ 弛) 2 如一如一巩) 2 n o tf r e e 2 表2 艘中构形的自由情况 下面给出部分自由构形的导子基： 2 1 ： 岛= # ，磊= d lm 3 1 ： 最= 峨+ 彘) 毒+ 稍素， 岛= 四+ 彘) 素+ 蝌均毒 4 】 ： 岛| ( - # 一；如+ 档) 素+ ( - j 谢+ ；稍) 素， 岛- ( _ ；一；如+ 档) 毒+ ( _ 等群一；塥+ 硝) 毒 【2 3 3 1 i ： 蜀= ( 一# 一碱z ：+ h 一x ；+ h ：毛一) 三， “， 岛- ( - 扣+ 彘) 砉+ 哇塥) 妾 北京纯工走学硕研究生学位论文 + _ 挈一硌：+ 碲，一i 蠕+ 婶杰一v ；) 去， 岛= 婚z ) 毒+ ( 姊：一霹) 毒 + ( 一谁：+ # 而一塥+ 毡辆+ 蠕一数；+ 魂+ 域一) “， 5 i ： 专a 哇霉一；苏一；程+ 夺妾+ ( _ i 一萼磊+ ；栈+ 揣) 素， 岛小；糕一烈+ ；璃法+ ( _ 詈穰+ 碡；+ 警纠一霹) 圭 托京纯l = 走学硕士研究生学位论文 参考文献 o r l i kp ，t e r a oh a r r a n g e m e n t so fh y p e r p l a n t s m b e r l i n ，h e i d e l b e r g ：s p r i n g e r - v e d a g ， 1 9 9 2 z i n g i e rgm m u l 6 a r r a n g e r n e n t so fh y p c r p l a n e sa n dt h e i rf r e e n e s s m 。a m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 8 9 r e t a n h m u l t i d e r i v a t i o n s o f c o x e t e r a r r a n g e m e n t s j i n v e n t i o n m a t h e m a t i c s 2 0 0 2 1 4 8 ： 6 5 9 - 6 7 4 y o s h i n a g am ( 2 t a r a e l e r i z a t i o no fap r e ea r r a n g e m e n ta n dg 。咖e t u r eo fe d e l m a na n d r e i n e ni n v e n t ，m a t h 2 0 0 4 t 5 7 ( 2 ) ：4 4 9 - 4 5 4 r i c h a r dj 离散数学i m l j 第五版北京：人民邮电出版社，2 0 0 3 李庶扬。关治数值计算原理c m 】北京：清华大学出版社，2 0 0 0 g a r b e rg ，t e i c h e rm p l - c l a s s f i c a t i o no fr e a la r r a n g e m e n t sw i 也雄t oe i g h tl i n e s , t o p o l o g y ，2 0 0 3 4 2 ( d ：2 6 5 - 2 8 9 s t a n l e ypa ni n ”o d u c f i o nt oh y p a r p l a n ea r r a n g e m e n t sm 】i a s p a r kc i t ym a t l l e m a t i c a s e r i e s ，2 0 0 4 m u s t s mm ，s c h e n c kh t h em o d u l eo fl o g a r i t h m i cp - f o r m so fal o c a l l yf r e e a r r a n g e m e n t j 1 a l g e b r a , 2 0 0 1 2 4 1 ( 2 ) ：6 9 9 - 7 1 9 o d i kp ，s o l o m o nlc o m b i n a t o r i c sa n dt o p o l o g yo fc o m p l e m e n t so fh y p e r p l a n e s j i n v e n t m a t h 1 9 8 0 5 6 ：1 6 7 - 1 8 9 姜广蜂+ 垂由构形幂零基斡一个算法f j l 。中群莘； 学( a 辑) ，第2 8 卷，第4 袈，1 9 9 8 o r i i k 致s o l o m o nlu n i t a r yr e f l e c t i o ng r o u p sa n dc o h o m o l o g y j + i n v e n lm a t h ，1 9 8 0 5 9 ：7 7 - 9 4 z i n g i e r g m s o m e a l m o s t e x c e p t i o n a l a r r a n g e m e n t s ，a d v m a t h ，1 9 9 3 1 0 1 ：5 0 - 5 8 r a n d e l lr 。t h ef u n d a m e n t a lg r o u po f 曩 ec o m p l e m e r do fau n i o no fac o m p l e x h y p e r p l a n e s j i n v e n t m a t h ，1 9 8 2 ，6 9 ：1 0 3 - 1 0 8 s o l o m o nkt e r a oh ，af o r m u l af o rt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo fa na r r a n g e m a n t j 】 a d v a n c e si nm a t h ，1 9 8 7 6 4 ：3 0 5 - 3 2 5 s a i m1 , 5t h e o r yo fl _ o g a r i t , i cl x f f e r e n t i a lf o r r a sa n dl o g a r i t h m i cv e c t o rf i e l d s j 量 f a c s c i ，u n i v t o k y os e e i a m a t h ，1 9 8 0 2 7 ：2 6 5 - 2 9 1 t e r a oh g e n e r a l i z e d e x p o n e n t so faf r e ea n a n g e m e n to fh y p e r p l a n e sa n d h e p h e r d - t o d d - b r i e s k o mf o r m u l a j i n v e n t m a t h ，1 9 8 1 6 3 ：1 5 7 - 1 5 9 t e r a o 珏。a m a g e o fh y p e r p l a n e sa n dt h e i r 秘e 毋】_ | j f a c s c i ，u n i v t o k y o s e c t i am a t h 2 7 , n o 2 1 9 8 0 ：2 9 2 - 3 1 2 t c m oh f r e ea r r g e m e n t so fh y p e r p l a n e sa n du n i t i a r yr e f l e c t i o ng r o u p s j p m e ， j a p a n a c o d ，s e r a 5 6 , 1 9 8 0 ：3 8 9 - 3 9 2 z a s l a v s k ytf a c i n gu pt oa r r a n g e m e n t s ：f a c e - c o u n tf o r m u l a sf o rp a r d f i o n so fs p a c eb y h y p e r p l a n e s j m e m o i r s a m e r m a t h s o c 1 5 4 ，1 9 8 3 z i n g i e rgm m a h - o i dr e p r e s e n t a t i o n sa n df r e ea r r a n g e m e n t s i t r a n s a m e r , m a t h s o e ， 3 2 0 , 1 9 9 0 ：5 2 5 - 5 4 1 吲 降 陋 睁陋f 降 p 唯 m 阻 隧 m 澄 泌 阻 北京纯王尢学硕士研究鸯学证论空 【2 2 1 e d e l m a nph ，r e i n e rv f r e eh y p e r p l a n ea 嗽n g e m e n t sb e m e e n 凡1a n d 风m a 【hz 1 9 9 4 _ 2 1 5 ：3 4 7 _ 3 6 5 【2 3 j 。z e 矗a kt ，s 8 9 a n b e b a s i c m r “o n s f o r s u b a m n g e m t so f g o x e 蛔。a “t n g e m e n 毽【j 】 j a l g ，c o m b 1 9 9 3 2 ：2 9 1 - 3 加 2 4 】 a t h a n a s i a d i sca o nr t ed e 如n n a l i o so fm eb r a i da r r a n g e m e n t f j 】e u r o p j c o 搦b 蛔a 船 嚣，1 9 9 8 1 9 ：7 - 1 8 靶京纯工大学硕士研究熏学位论文 附最部分添程疼 劈鲤含数诗算 f l l n c t i o nm = u ( n ，m ) m _ j c h ( n ) o c h ( m ) c h ( n - m ) ) ； 一。一 f i l n c t i o nw _ j c h ( n ) 阶乘计算 t = 1 ： 妇i - l ：n t = i 4 t ： e n d w = t ： 单项式基指数算法 鬼b 式i 。na 司x s j 0 a 秘 p 是次数，n 是来躲塞个数，m 擎壤式基静个数 a = z e r o s ( m ，n ) ； a ( 1 ，1 ) = p ； f k 或：n ，封； e n d f o r i _ 2 ：m i f * l ，1 ) - 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1 + k k ) ) ； 堡垡王丝型翌嫩型塑i 一 f o ri = i m ( n - l + 咄 f o r j = l ：n b l l ( i ，( i 一1 ) 4 n 十j ) = a o ) ； e n d e n d 一。 f u n c t i o nb i = b 1 ( n ，k p a ) 产生左上角静分凌矩痒( 乎糯的系数鞠畿矩阵) b i = b i i ( n ，k ，a o ，：) ) ； f o ri = 2 ：p m - - b l ；m l ( n , k a ( i ，1 ) ) k e n d 一 f u n c t i o nc l = c l ( n , k , p , a ) 产生右上角的分块矩阵 r l = u ( n 1 + k 鼬；r 2 = u ( n l + k - 2 ，k - 2 ) ； c l = z e r o s ( p r l ，p f 2 ) t b = z s h b ( n ，k ，a ) ； f o rm = l ：p 如ri = l ：r 2 f o r j = l ：r l c l ( r 】( m - 1 ) + j ，p + ( i 一1 ) + m ) = b ( i 0 ，m ) ； e n d e n d e n d 一一 f u n c t i o nc 2 = c 2 ( n ，k p ) 产生右下角的分块矩阵 c 2 = z e r o s ( u ( n - l k - z k - 2 ) , p 4 u ( n q + k 4 , k - 2 ) ) ； f o ri = l ：u ( n - l + k 一2 ，k - 2 ) f o r j = l ：p e 簿轰o l p p 扣l ； e n d e n d 托京他王大学硕士姘艽生学位论文 f u n c t i o nb = j i e ( n ，k ，p ，a ) 产生方程组的系数矩阵 b 2 = z e r o s ( u ( n l + k - 2 ，k - 2 ) , u ( n - t + l q k ) + n ) ； b c = i b i ( n ，k ，p ，a ) , - c l ( n ，毡釉嘲； r = r a n k ( b c ) ； b = b c ： 一一一 f u n c t i o n j = j j j ( n ，k ，p ，a ) 把系数矩阵化为阶梯形 a a = j i e ( n ，k ，p ，a ) ； f o ri = l ：s i z e ( a a 1 ) - 1 t = a a ( i ，i ) ； f o r j = i + l ：s i z e ( a a , 1 ) i f ( a b s ( o = a b s ( a a ( j ，i ) ) ) e l s et = a a ( j ，i ) ； l = a t ：) ； a a ( i ，：) = a a ( i ，：k a a ( j ，：) = t l ； e n d e n d f o rk = i + l ：s i z e ( a a , 1 ) f o r k l = l ：s i z e ( a a , 2 i f ( a a 0 ，j ) = = 0 ) e l s e a a ( k , k 1 ) = a a ( k , k 1 ) ，a a o t ，i a a ( i ，k 1 ) a a ( i , i ) ； e n d e n d e n d e n d j = a a ； 9 。 f u n c t i o n 【z j i = z j j ( n ，k p ，a ) 得出方程组的基础解系( 每行为一个解) 北京化工大学硕士研究生学位论文 e l s e i fn = = 3 x = x l ；x 2 ；x 3 ； f o ri = l ：s i z e ( a 1 ，1 ) f = f * ( a l ( i ，：) x ) ； e n d f o r p l = l ：n l ； f o rp 2 = p l ：n l f o rp 3 = p 2 ：n l i f w z ( p 1 ) + w z ( p 2 ) + w z ( p 3 ) = = s i z e ( a 1 ，1 ) d d = i x j ( ：，p 1 ) ，( ： p 2 ) ，( ：，p 3 ) 】； d n = m a p l e ( d e t ，d d ) ； i f d n = 0 d i s p ( i sf r e ew i t hn i l b a s i s ) b a s i s = d d p d e g = w z ( p 1 ) , w z ( p 2 ) ，w z ( p 3 ) 】 d e t m = m a p l e ( f a c t o r ，d n ) c = m a p l e ( s i m p l i f y l ，d e t m f ) e n d d m = d m ；d n ； e n d e n d e n d e n d e l s e i f n = - - 4 x = x l ；x 2 ；x 3 ；x 4 ； f o ri = l ：s i z e ( a 1 ，1 ) f _ p ( a 1 ( i ，：) + x ) ； e n d f o rp l = l ：n l ； f o rp 2 = p l ：n l f o rp 3 = p 2 ：n l f o rp 4 = p 3 ：n l i f w z ( p 1 ) + w z ( p 2 ) + w z ( p 3 ) + w z ( p 4 ) = = s i z e ( a 1 ，1 ) d d = 【( ：，p 1 ) ，( ：，p 2 ) ，( ：，p 3 ) ，( ：，p 4 ) 】； 北京化工大学硕士研究生学位论文 d n = m a p l e ( d e t 7 ，d d ) ； i f d n - = 0 d i s “i sf l e ew i t hn i l b