（机械设计及理论专业论文）平面二次包络环面蜗杆传动的运动分析与模糊优化研究.pdf

昆明 理工大学硕士论 文 v 5 6 6 3 工 8 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下 ( 或我个 人) 进行研究工作所取得的成果。 除文中己 经注明引用的内 容外， 本 论文不 含任何其他个人或 集体己 经发表或 撰写 过的 研究成果。 对本文的 研 究做出重要贡献的个人和集体，均己 在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。本声明的法律结果由 本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : t 勺 i 门 ( 日 期 : 殉; 年7月tq,日 昆明 理工大学 硕士 论文 摘要 本文以平面二次包络环面蜗杆传动为主要研究对象， 建立了平面二次包 络环面蜗杆传动的运动学分析模型，分析了 平面二次包络环面蜗杆传动啮 合点的运动状态、啮合点各方向的速度、各方向上啮合力的分力。并应用 ma t l a b语言编制了 对啮合点的运动轨迹程序，啮合点各分力和运动速度的 变化规律曲 线程序。 应用s o l i d e g e 三维实体造型 软件， 进行平面二次包络环 面蜗杆传动的运动状态的动态仿真， 模拟了 平面二次包络环面蜗杆传动的 运动状态，再现了 蜗杆啮合的运动状态的仿真。 应用模糊数学理论和方法，结合机械优化设计方法，建立了机械结构 模糊优化设 计的 数学 模型。 采用v i s u a l b as i c ( 6 .0 ) 语言， 编制了以 传动效率 最高、空间结构尺寸最小的单目 标模糊优化、以 及上述两个目 标的加权综 合多目 标的模糊优化;约束条件综合考虑蜗杆的接触强度、弯曲强度以及 刚度，空间结构尺寸等，并采用斜线法对约束条件进行了 模糊处理的模糊 优化设计程序。 该 优化设计程序不 仅适应 于 平面二次 包络环面蜗杆 传动的 模糊优化，而且可以改变模糊因子的大小， 控制约束条件的 模糊程度，甚 至变换为常规的优化设计程序，程序的适用范围较广。以 某橡胶厂轮胎硫 让 沟弧 面 蜗 杆减 速 器为 例， 验证了 该 模 糊 优 化设 计 程 序， 结 果 表明 该 程序 运算准确可靠，优化结果可行。 论文对平面二次包络环面蜗杆传动中的运动问 题和模糊优化设计问题 进行了 有益的探索，取得了一定的结论，但限于其他原因，研究的结果与 工程应用还有一定的距离。 关键词:平面包络环面蜗杆传动运动方程模糊优化 计算机仿真 昆明理工大学 硕士论文 a b s t r a c t i n t h is p a p e r , t h e p la n e d o u b le e n v e lo p i n g w o r m ( p d e w) h a s b e e n r e s e a r c h e d . t h e m o t io n e q u a t i o n s h a v e b e e n b u ilt o f it . t h e s t a t e s o f m o t io n s a n d v i c t o r ie s a n d f o r c e s o f t h e w o r m e n g a g in g p o in t w e r e b e e n a n a ly s is . t h e m o t io n s a n d f o r c e s o f t h e w o r m e n g a g i n g p o i n t h a v e b e e n in it ia t e b y t h e p r o g r a m w it h m a t la b . t h e 3 d m o t io n s o f p la n e d o u b le e n v e lo p i n g w o r m h a s b e e n e m u la t e d w it h s o l id e g e a n d f la s h t h e m o d e l o f f u z z y o p t im iz a t io n d e s ig n o f p la n e d o u b le e n v e lo p in g w o r m h a s b e e n b u ilt b y f u z z y t h e o r y a n d t h e m e t h o d s o f m e c h a n ic a l d e s ig n . i t s p r o g r a m h a s b e e n c o m p le t e d w it h v is u a l b a s ic ( 6 . 0 ) . t h e o b j e c t f u n c t io n s o f f u z z y o p t im iz a t io n d e s ig n w e r e t h e m a x im u m s t r a n s m is s io n e f f ic ie n c y a n d t h e m in im u m v o lu m e o f it s c o n s t r u c t io n a n d t h e ir w e ig h t e d o b j e c t f u n c t io n o f t h e m . t h e k e e p w it h b o u n d s w e r e in c lu d e d t h e c o n t a c t in g s t r e n g t h a n d w in d in g s t r e n g t h a n d d e f o r m in g s t r e n g t h a n d t h e s iz e s o f c o n s t r u c t io n s o f p d e w. t h e k e e p w it h b o u n d s w e r e b e f u z z y b y t h e m e t h o d o f o b l ig e lin e . t h is p ro g r a m n o t o n ly h a s b e e n u s e d t o o p t im iz a t io n t h e p d e w b u t a ls o c o u ld u s e d t o c o n t r o l t h e f u z z y f a c t o r t h a t c o u ld c h a n g e t h e s t r e n g t h o f f u z z y . wh e n t h e f u z z y f a c t o r e q u a l t o o n e , t h e f u z z y o p t i m iz a t io n p ro g r a m c o u ld c h a n g e t o a g e n e r a l o p t i m iz a t io n p r o g r a m . t h is p ro g r a m h a s b e e n t e s t e d a n d v e r if ie d b y a n e x a m p le . t h e r e s u lt in d ic a t e s t h a t t h is p r o g r a m is s a f e a n d r e l ia b le f o r p d e w f u z z y o p t im iz a t io n t h e r e s e a r c h in g i n t h is p a p e r h a s b e e n o b t a i n e d s o m e w o rt h in f u z z y o p t im iz a t io n d e s ig n a n d m o t io n s o f p d e w. k e y w o r d s : p la n e d o u b le e n v e lo p in g w o r m ( p d e w) / m o t io n e q u a t io n / f u z z y o p t im iz a t io n d e s ig n / c o m p u t e r e m u la t e 绪论 蜗杆传动是机械传动的一种重要形式， 它具有传动比 大， 可以 变换传动方向， 实现 大功率传递和传动比 精确的 特点， 传动效率低是其致命的 弱点。 蜗杆传动用于传递交错 轴之间的回转运动和转矩。大多数情况下， 两轴在空间是互相垂直的，轴交角为9 0 0 a 最大 传 动功 率7 5 0 k w， 通 常 用 在5 0 k w以 下， 最高 滑 动 速 度可 达3 5 耐， 。 蜗杆传动的 特点是结构紧凑、 工作平稳、 无噪声、 冲击振动小， 并能得到很大的单 级传动比， 在一定的条件下具有自 锁性能。 其缺点是在制造精度和传动比相同的条件下， 蜗 杆的 传动 效 率比 齿 轮 传 动 低， 同 时 蜗 轮 轮 毅 一 般 需 要 贵 重 的 减 摩 材 料 制 造 川 。 一、论文选题的意义 包络环面蜗杆近年来发展十分迅速， 尤其是平面一次包络环面蜗杆传动和对平面二 次包络环面蜗杆传动最为突出。 平面二次 包络环面蜗杆传动具有承载能力大， 传动效率 高， 蜗杆可以 磨削等优点。 被广泛应用于冶金机械、 造船、 采矿、 建筑、 起重运输机械、 化工机械中。 平面一次包络环面蜗杆传动多 用于精密分度装置和单件生产的动力装置; 平面二次包络环面蜗杆传动则多用于重载的动力装置。 对于单包络环面蜗杆传动， 加工蜗轮的刀具大为简化， 且刀具的 通用性好， 实用于 单件小批量生 产， 其承载能力可达到双包络环面蜗杆传动的8 0 %。 此外这种蜗杆传动还 很适宜作精密传动。 如平面单包络蜗杆传动，由 于其蜗轮齿面为平面， 蜗轮、 蜗杆均可 以用平面砂轮磨削， 而且蜗轮齿面还可以 做静态分 度的单齿加工， 故可得到很高的精度。 所以 在精密分度方面，单包络蜗杆很有发展前途. 对于双包络环面蜗轮蜗杆传动来说， 其蜗轮齿面又是由 蜗杆的齿面包络形成的 故又 称为双包络。 双包络蜗杆传动， 在正确设计和制造时， 可实 现多齿啮合， 双接触线接触， 接触线和相对滑动速度方向 之间的夹角可达到6 0 度. - 8 0 度， 而且齿面间的 诱导曲 率半 径大，因而能 够大幅度的提高 承载能力。 实践证明， 各种齿 形的双包 络环面蜗杆传动的 承载能力均较大， 在动力蜗杆传动中， 是承载能力最高的一种蜗杆传动，一般比 渐开线 圆柱蜗杆传动提高2 - 3 倍。 所以 这种 蜗杆传动在国内得到 广泛的采用。 但是在国内 外大 批量生产的、 占 主导的还是直线弧面蜗杆。 因 而在双包络弧 面蜗轮蜗杆的开发研究上还 需要进一步深入，还具有比 较大的开发潜力和前景。 平面蜗轮副同时啮合的 齿数较多， 对临近的各个齿的误差都有良 好的平均效果， 使 昆 明 9 工 i 生兰主 i t _,x一一一一一一一一 实际的 精确度有所提高。 甚至个别齿过量加工也不损整体的 精度。由于是平面齿， 对蜗 轮的 轴向 安装位置不敏感.由 于蜗杆顶尖的限制， 直齿平面蜗轮一般传动比 大于 i 6 0 的场合，i应用三位实体建模技术， 构建平面二次包络环面蜗杆传动的三位啮合运动的计 算机仿真运动，实现复杂运动状态的计算机模拟. 3 对模糊优化设计的数学理论和方法进行适当的归纳。 4 蜗杆传动的常规优化设计研究取得了 一定的 进展， 但与实际情况的符合程度较 差， 本文以 模糊优化理论为指导，以 平面二次包络环面 蜗杆传动的体积最小、 接触面传 动效率最大为目 标函 数， 建立平面二次 包络环面蜗杆传动的单目 标或多目 标的 模糊优化 设计模型， 并以v is u a l b a s ic 语言开发平面二次包络环面蜗杆传动的 模糊优化设计软件， 完成对平面二次包络环面蜗杆传动的结构的优化设计， 并与传统优化设计的结果相比 较。 昆 明 理工大学 硕士论文 第， 章 平面二次包络环面蜗杆传动的啮合分析 本章对平面二次包络环面蜗杆传动的啮合原理进行了 分析， 建立了啮合轨迹的 运动 学方程 运动学模型) ，分析了 啮合点的 运动状态、啮合点的 速度关系， 进而建立它们 的 控制方程，为计算机模拟平面二次包络环面蜗杆传动的运动状态奠定了 基础。 1 . 1平面二次包络蜗杆的 形成及其分类 平面二次包络蜗杆传动其蜗杆外形是由一段凹圆弧母线绕蜗杆轴线回转而形成 的。 它的 齿面是以 直线或曲 线为母线的轨迹面， 或以 平面或曲面作为母线形成的包络面。图 1 . 1 是以直线作为母线形成弧面蜗杆的原理图。 图 1 . 1 图 中 平 面p 通过 轴线。 1 。 ， ， 并 绕。 1 。 : 以 等角 速 度w , 回 转。 与 此同 时 在图1 . 2 平 面p 上， 有 一 直 线u - u ， 它 切 于以r ， 为 半 径 的 圆， 并 绕。 : 以 等 角 速 度co t 回 转。 这 样 ， 在平面p 上的直母线u - u 就在空间形成一轨迹曲 面， 即 直廓环面蜗杆的螺旋齿面， 它是 一个不可展的直纹曲 面。 如果用一 个平面代替直母线， 如图1 . 2 所示， 当其按上述的规 律回转时， 就可以 包络出 蜗杆齿面， 这样的 蜗杆叫平面包络蜗杆。 它是平面族的包络曲 面， 是一可展直纹曲面。 此外， 如果用一个渐开线螺旋面去代替直母线， 就可得到渐开 线包络蜗杆， 它的齿面是渐开线螺旋面族的包络面。 故环面蜗杆传动按形成蜗杆齿面的 母 线 或母面 可 分为: 直廓 环 面 蜗 杆 传 动， 平面 包 络环 面 蜗 杆传动 和 渐 开线 包 络 环面 蜗 杆 传动等. 环面蜗杆传动按蜗杆、 蜗轮的外型及其相互关系， 又可分为双包络蜗杆传动和单包 络蜗杆传动两种。 如果蜗杆的 弧面包围蜗轮、 蜗轮的 弧面包围住蜗杆， 这就是双包络蜗 昆明 理 工大 学硕士论文 杆传动。 蜗轮实质上为一圆 柱齿轮， 只 有蜗杆的弧面包围 着蜗轮， 这就是单包络蜗杆传 动。 若按蜗杆、 蜗轮齿面形成的原理， 又可将其分成单包络环面蜗杆传动与双包络环面 蜗杆传动。 单包络环面 蜗杆传动的蜗轮为一圆柱齿轮。 如平面圆柱齿轮、 渐开线圆柱齿 轮等， 而蜗杆的齿面就是这圆柱齿轮齿面的包络面。当蜗轮齿面为平面时，即得平面单 包络环面蜗杆传动;当蜗轮齿面为渐开线螺旋面时，即为渐开线单包络环面蜗杆传动。 对直廓环面蜗杆来说， 它的齿面为轨迹面。 根据其形成原理知， 它的蜗轮在理论上是一 个齿宽为零的直线齿廓齿轮， 所以 无法传递动力。 但是， 近年来利用其原理制成了一种 体积小、 效率高的新型的旋转式空压机一 - 单 蜗杆式空压机。 单包络环面蜗杆传动， 加工蜗轮的刀具大为简化， 且刀具的通用性好， 适用于单件 小批生产，其承载能力是双包络环面蜗杆传动的8 0 4 6 。此外，这种蜗杆传动还很适宜作 精密传动。 如平面单包络环面蜗杆传动，由 于其蜗轮齿面为 平面， 蜗轮、 蜗杆均可用平 面砂轮磨削， 而且蜗轮齿面可作静态分度的单齿加工，故 可得到很高的 精度。 所以 在精 密分度方面，单包络环面蜗杆传动是很有发展前途的. 对于双包络环面蜗杆传动来说， 其蜗轮的齿面又是由 蜗杆的齿面包络形成的， 故称 双包络。 双包络环面蜗杆传动， 在正 确设计和制造时， 可实 现多齿啮合， 双接触线接触， 接 触线和相对滑动速度方向之间的夹角一般可达6 0 0 - 9 0 0 ， 而且齿面间的诱导曲 率半径 大， 因而能够大幅度地提高蜗杆传动的 承载能力。 实践证明， 各种齿形的双包络环面蜗 杆传动， 其承载能力均较大， 在动力蜗杆传动中， 是承载能力最大的一种蜗杆传动， 一 般比 渐开 线圆 柱 蜗杆传动提高2 - 3 倍。 所以 这种蜗 杆传 动 在国内 外均获 得广o ; -7用。 1 . 2平面二次包络蜗杆传动的啮合分析 平面二次包络环面蜗杆传动有“ 原始型” 和“ 修正型” 两类。 加工蜗轮时第一次 包 络与第二次包络具有相同的运动参数 ( 中心距、 传动比 和安装角) ， 亦即完全相同的相 对运动， 这样获得的平面二次 包络环面 蜗杆称“ 原始型” 传动。 由于加工中常常存在误 差， 难于保证两次包络运动绝对一致， 或为了 改善齿面间 的啮合状态， 故意使两次包络 的 相对运动参数取不同值， 这样的平面二次包络环面蜗杆称为“ 修正型” 传动。 1 . 2 . 1 平面二次包络环面蜗杆的一次包络 1 )坐标系及坐标变换矩阵:由 图1 . 2 所示平面包络环面蜗杆， 建立如图1 . 3 所示 的坐标系: s , t 0 , 不 另 云 ) 为 与 蜗 杆 齿 面 z o ) 相 固 连 的 动 坐 标 系 ; 昆明 理工大学硕士论文 s , ( 0 , 几 元 毛 ) 为 与 刀 具 齿 面 创 3 ) 相 固 连 的 动 坐 标 系 : s ( 0 , i 了 k ) 为固 定 坐 标 系， 当(o , = 0 时， 为动坐标系s . 的 起始 位置 s , ( 0 , 乙 元凡 ) 为 辅 助 固 定 坐 标 系 ， 当 q 3 _ 0 时，为动坐标系s ; 的 起始 位置。 蜗杆的 角 速 度矢量澎 沿k 轴， 刀具的 角 速度矢 量 q 7 (3 ) f , 孔 轴 。 k 轴 和 k , 轴 之 间 的 相 错 角 为 y . 在 垂 布 铸 直 于 了 轴 的 平 面 内 ， 从 夕 轴 到 凡 轴 之 间 的 有 向 角 为 y o ， 则图1 . 3 y 二 9 0 0 + y o 则各坐标系之间的变换关系如下。 由 坐 标 系s 变 换 到 坐 标 系s ， 的 系 数 矩 阵 为 0 0 c o s y s i 了 一s i n 厂 c o s ,v 0 司.二八钊nn 尸.1lleees月 一- p m 由 坐 标 系s ， 变 换 到 坐 标 系s 的 系 数 矩 阵 为 川00 0 0 ，1八日八目0 r.厅eses.eese 工- m 由 坐 标系: ， 变 换 到 坐标 系s 的 系 数 矩 阵为: nu卜11 c o s 妈 s i n v , 八no r.，月.we - m 由 坐 标 系8 变 换 到 坐 标 系: : 的 系 数 矩阵 为 昆明 理工大学硕士论文 ，.月.1卫.十 点u八曰01胜 八曰0，.10 c o s 必 i 一s i n叭 s i n rq , c o s 夕 0 4 门n曰 尸les.卫蕊tllesesesll - m 由 坐 标 系s ， 变 换 到 坐 标 系 s ， 的 系 数 矩 阵 为 s i n v 4 c o s 9 a 4 0 八钊n，10 一一 p m 为简化计算 取 re , = l r a d s ， 则 、 ， = 上， i3,= co , ， 不 失 问 题 的 普 遍 性 。 妈 2)刀 具 齿面 及其 法 矢: 刀 具 齿 面全 ” 与 动坐 标系s 3 固 连， 与半 径为 的 基圆 相切 ( 图1 . 4 ) ， 与 元 轴 相 交 于 切 点t ， 与 凡 轴 平 行 或 相 交。 当 其 与k , 轴 平 行 时 ， 形 成 直 齿 平 面 包 络 蜗 杆; 与 k 3 轴 相 交 时 ， 则 形 成 斜 齿 平 面 包 络 蜗 杆 。 刀 具 齿 面 e m 与 k , 轴 的 交 角。 称为齿斜角。图 1 . 4 在 动 坐 标 系s ， 中 ， 刀 具 齿 面 艺 (3 ) 上 任 意 点p 的 径 矢 为 : 洲二 x , 13 十y 3 h+ 43 ( 1 . 1 ) 对 于 斜齿 面 在图1 . 4 不 难 得 到p 点 在s ， 中 的 坐 标为: x 3 = u 乃= v s i n 尹 一 r 6 么 3 = v c o s f 3 ( 1 . 2 ) 其中， 、v 为 齿 面 参 数， 它 表 示 刀 齿 平 面 上 任 意点p 的 坐 标。 对 于 直齿， p 点 在s 3 中 的 坐标为 工 3 =材 乃 =- r b z ,=v ( 1 . 3 ) 昆明 理工大 学硕士论文 由于刀具齿面为平面， 故其上任意点的法矢彼此平行。由图1 . 1 及式 ( 2 . 2 7 ) 很容 易 确定 其 单 位 法 矢元 ， 为 、 _: 一13 j3 k3ax3 a.y3 az3一 。，、+。，、 +。:、 lj au ou asa 3 ,3 az3a v av a v一 - - ( 1 . 4 ) 式中: i( a v , a z , 、 ，( a x , a v , a v , a x , 、 ， u =刁1 一 一一一- 一+ 一. 一一一 一1 十 ， 二. 一二 二 一 二 . - - 二 1 v 戈 a u a v a u on) 又 a u a v a u a v 少 又 a u 加a u a v 少 对 斜齿 情况， 由 式 ( 1 . 4 ) 得 到凡 在 三 个 坐 标 轴上的 分 量为: n . = 0 n y , = 一 c o s 8 n _ = s i n 夕 ( 1 . 5 ) 显然，对直齿情况 ( 当6 = 0 时) 为: =0 =- 1 二0 ( 1 . 6 ) 勺力.月 n刀n 3 ) 相 对 运 动 速 度 : 在 坐 标 系 s p 中 ， 刀 具 齿 面 和 蜗 杆 齿 面 在 接 触 点m 处 的 相 对 运 动 速 度 凡 (3 1)t, p可 用 下 式 计 算 气 (31)= r j， (3 1) x p (3) +p p 气 (，) x 。 。( 1 . 7 ) 式 中 : y (3p )一 刀 具 齿 面 上 m 点 在 坐 标 系 s p 中 的 径 矢 : 。 。 一 角 速 度 向 量 砂的 作 用 点 o , 在 坐 标 系 s p 中 的 径 矢 。 副 ，) ， 副 ” ， 60 (3 q a 。 在 坐 标 系 凡 中 的 表 示 为 : = - s in 夙+ c o s 凡 = i 3 1 k 一 。 ， ， 一 二 ， ， 一 s in g , + (13 ， 一 c o s ) )k l ( 1 . 8 ) 砂砂砂 a o z , )一 m p 3铲)( 1 . 9 ) -和 一ao一 昆 明理 工大学硕士论文 式中: 将式 m , 。 为 由 坐 标 凡 变 换 到 s ， 的 系 数 矩 阵 ， 其 表 示 为 : .- ，11一 2、了、 c o s 仇 s i n 9 7 3 1 0 ) ncu，ic划 nucu lee m 1 0 )代入工 ( 4 . =x , c o s p ， 一 y 3 9 )得: s i n 切 3 c o s 尹 3 1 1 ) l称外 z p ( 1 . x 3 s i n p 3 + y 3 艺 3 8 ) 代 入 式( 1 . 7 ) 中 ， 即 可 得 到 刁 31)在 坐 标 系 凡 中 的 分 量 表 示 式 : v (31v ) 一 z p s in y 一 ， 1 0 ,， 一 c o s y v 3 1rv ， 一 x p (ia， 一 c o s y ) + a o c o s y 心 。 ，) = - x p s in y + a . s in y ( 1 . 1 2 ) 为了 得 到 相 对 运 动 速 度 在 坐 标系s 3 中 的 表 示 式， 可 进 行 如 下 的 变 换: 1 3 ) .一.1 11矛ij 了吸、 v 3(3 i) 二 j _ ， v (3i)- p p : 3 ， 为 从s p 变 换 到s 3 的 系 数 矩 阵 。 由 m 3 ， 可 得 其 表 示 式 为: 式中 将式 c o s 朽 一s i n v 3 1 4 ) 了.1.iee、 p 1j l 将 式( 1 . 1 4 ) , ( 1 . 1 2 ) , ( 1 . 1 1 ) 代 入 式( 1 . 1 3 ) , 得 到 相 对 速 度 护 (3 1) 在 坐 标 系 凡 中 的分量表示式: - y 3 (3 , - c o s y ) + z 3 s in y c o s v 3 + 。 。c o s ys m v 3 x 3 0 3 , - c o s y ) 一 z 3 s in y s in v 3 + a . c o s y c o s 97 3 s i n y s i n 9 ) 3 + a , s i n y ( 1 . 1 5 ) -一-1 = 一 毛s i n y cos v 3 + y 3 臼0臼 吹吃r月 将式 ( 1 . 2 ) 代入式 ( 1 . 1 5 ) ，可以得到: 、沪 6 .上 . 一.工 了、 、!月.、illlee钾 v , (3 1) 一 -( v s in q 一 。 a : 一 c o s y ) + v c o s 6 s in y c o s ap 3 + a s c o s y sin v 3 v (31n) 一 - 0 3 ， 一 。 o s y ) 一 v c o s q s in y s in 9 73 + a o c o s y c o s rp 3 v , (，) = - u s in y c o s v 3 + (y s in ,q 一 、 ) s in y s in v 3 + a , sin y 1 s 昆 明 理 工 大 学 硕 士 论 文 当 y = 9 0 时， 得到 p r (3 )3 ) 二 一 ,(v sin /3 一 rb ) + v c o s f 3 c o s tp , y , (31ya ) 一 。 l3。 一 v c o s f s in rp 3 y ， (3 ) 一 。 c o s rp 3 + (v s in ,6 一 、 ) s in (p 3 + a , 当 f 3 = 0 时， 有 ( 1 . 1 7 ) v (3 1)x ,- v (3 1)y ,= 吃 (3 1) - v s i n y c o s (o 3 + ( i3 。 一 c o s y e a + a s cos y s i n v 3 11 0 3 ， 一 c o s y ) 一 ， s in y s i n rpp 3 + a o c o s y c o s rp 3 - u s i n y c o s !p 3 一r . s i n y s i n op 3 +a . s i n y ( 1 . 1 8 ) 1 . 2 . 2 平面二次包络环面蜗杆的二次包络 坐标系及坐标变换矩阵: 建立如图1 . 5 的坐标系， 其中: 凡( 0 , 不 又 夙 ) 仍 为 与 蜗 杆 齿 面到 1 相 固 连 的 动 坐 标系; s 2 ( 0 2 i2 元 k 2 ) 为 与 蜗 轮 齿 面 z (2 ) 相 固 连 的 动 坐 标系; s( 。 . 了 了 万 ) 为 固 定 坐 标 系 ， 当 q, ; = 0 时 ， 为 动 坐 标 系s , 的 起 始 位 置 ;图1 . 5 s p ( 0 2 zf 刀 k p ) 为 辅 助 固 定 坐 标 系 ， 当 rp 2 = 0 时 ， 为 动 坐 标 系 s 2 的 起 始 位 置 。 蜗 杆 或 蜗 轮 滚 刀 的 角 速 度 矢 量 v (，2)n= ,2x, + z , s in 4p , v . (12) 一 x , c o s 91 卜 y , s in q); + a ( 1 . 2 4 ) 1 . 3 斜齿平面包络环面蜗杆传动分析 1 . 3 . 1斜齿平面包络环面蜗杆的一次包络 这种情况是磨削蜗杆时砂轮与蜗杆的啮合，也是单包络传动型式蜗轮与蜗杆的啮 1 )啮合方程、接触线和蜗杆齿面方程:由前面可知，共辘齿面在啮合点处应满足 如下的啮合方程 n 3 x y 3(3p = o ( 1 . 2 5 ) 昆 明 理工大学硕士论文 其啮合函数中为 cp = n 3 x 1, 3 (3 1) 将式 ( 1 . 5 ) , ( 1 . 1 7 )代入式 ( 1 . 2 5 )得: 一 u ( i3 , c o s ,6 + s in ,8 c o s rp j + v s in p , + ( a , + r , s in rp , ) s in q = 0 ( 1 . 2 6 ) ( 1 . 2 7 ) 或u = v s i n 9 3 + ( a o 一 r , s i n (p 3 ) s in ,6 i 3 , c o s ,6+ s i n ,8 c o s (p , ( 1 . 2 8 ) ， 二 ( 731 c o s fl + s in ,6 c o s 9 3 ) 一 ( a o - r, s in q 业 s in ,6 s i n 俩s i n 妈 ( 1 . 2 9 ) 设 :a ， 二 i3 , cos 6 - i - s in iq c o s ia 3 二 一 s in p 3 c , = 一( a 。 一r , s i n g , )s in ,8 则式 ( 1 . 2 7 )化为 a , u +八v +c , = 0 ( 1 . 3 0 ) 由 上式 知， 在刀 具 齿面 上 的 瞬时 接 触 线为 一 族直 线。 当 (0 , = 0时的 瞬时 接 触 线 垂 直 于u 轴，其表示式为: 二 -一 丘. 一 二 。 o s t 1 + ! 3 , c 4 9 16 ( 1 . 3 1 ) 瞬时 接 触 线 在s 3 中 的 方 程为: u ( i 3 , c o s ,6 + s in ,0 0 0 s p 3 ) 一 v s in (p ， 一 ( a 。 一 、 s in 4p 3 ) s in x 3 = u , y 3 = v s in ,b 一 r b . 2 3 = v c o s ,q ( 1 . 3 2 ) 将瞬 时 接 触 线 转 换 到s ， 中， 即 可 得 到 蜗 杆齿 面的 方 程 如 下 u (i3 , c o s j6 + s in ,8 c o s 9 3 ) 一 ， s in v ， 一 (a . 一 re s in rp 3 ) s in /s = 0 ( y 二 9 0 0 ) : 、，了 勺j nj . .卫 r、 、ltwe，lee声 x , =u c o s 97 , c o s ip , + v (c o s ,6 s in p ， 一 s in ,8 c o s q7 , s in p , ) + ( r 6 s in p ， 一 。 u ) - 0 = 一 。 s in ,8 rp , c o s ip , + v (s in 6 s in r9 , s i n g , + c o s ,b c o s v , ) 琳 s in 4 7, 一 - . ) - i n v , z , = - u s i n rp ， 一 v s i n 声 c o s p , + r . c o s p 3 2 ) 二类界限曲 线: 二类界限曲 线这里指的是刀具齿面上接触线的包络线， 齿面上的接触区的分界线。 它是刀具 二类界限曲 线的条件式为: 中 两= 0( 1 . 3 4 ) 昆明 理工大 学硕士论文 二 类 界 限 函 数 。 。 为 啮 合 函 数 。 对 p 3 的 偏 导 数 。 将 式( 1 . 2 7 ) 对 p 3 取 偏 导 有 。 ， = - u s in 刀 s in g ， 一 ， c o s p 3 + s i n 刀 c o s 9 3 ( 1 . 3 5 ) 令(d = 0 , 并 与 式( 1 . 2 7 ) 联 立 有 ( v 一 s in f ) s in p 3 一 u s in ,6 c o s op , = - a o s in ,6 + u i 3 , c o s 二 s i n 8 s i n rp 3 十 ( y 一 r , s i n ,6 ) c o s p 3 = 。 ( 1 . 3 6 ) 解之得 c o s p ， = u s i n 刀 a . s in 刀 一 ， 13 , c o s )6 ( 1 . 3 7 ) s i n 沪 ， 二一 ( v 一 r d s in 川 或解得u = a , s i n ,6 一 u 3 , c o s p a o s i n ,8 c o s p 3 s mn + i 3 1 c o s ,6 c o s p 3 ( 1 . 3 8 ) 当,6 # 0 , c o s p 3。 时 ， 则 1 c o s 仇 + 3 1 c lg fl ( 1 . 3 9 ) u = sin 成 。 - a . s i n 9 3 1 十 与 c t g , 3 c o s p 3 上式和式 ( 1 . 2 ) 联立，即二类界限曲 线的坐标方程。 二 类 界 线曲 线 为 二 次曲 线 ， 由 式( 1 . 3 7 ) 及s in 9 , + c o s p = 1 可以 推 得 (a i s in l3 c o s fl丫 l u * 二 2 - 万 一 . . 4 一 一 2 . , i s i n - p一 1 3 1 c o s - p a o s m p 和 一 r . s in 8 ) (sin 2 ， 一 、 .， c o s fl ) a o 2 s jn a fl s in , q 一 t 2 c o s , ) 3 ( 1 . 4 0 ) 当 tg ,8 i ,， 时 ， 是 椭 圆 方 程 ; 当 tg ,8 i ，一所 以 最 常 遇 到 的 二 类 界 限 曲 线 是 椭 圆 曲 线 。 研 究 它 对 于 合理地选取蜗杆传动的参数有重要意义。图 ( 1 . 6 a ) 所示为斜齿平面包络蜗杆传动刀具 齿面上的接触线及二类界限曲线。 3 )一类界限曲 线:一类界限曲 线这里指的是蜗杆齿面上接触线的 包络线。 其条件 式为 甲=0 ( 1 . 4 2 ) v/ 为一类界限函 数。由 式 ( 2 . 1 2 0 ) 有 1 一 。 ， + 6u (3 1),f p (3 1) + 1j (31)2 k , 。， (31)3 3 3 3 - t3 ( 1 . 4 3 ) 式 中 k r 户 ， (3 1)v1是 刀 具 齿 面 上 沿 相 对 运 动 速 度 方 向 的 法 曲 率 。 由 于 刀 具 齿 面 是 平 面 ， 故 盆 心 、i 以 伯 b 2 = c o s 碑3 1 c o s l o o s 97 3 ) + s in fl c o s 2 v 3 一 13 12 s in ,8 ; ( 1 . 4 6 ) 昆明 理工大学硕士论文 c 2= 联解式 ,b s in rp 3 (r, sin 。 一 a , ) + r, i3 ,2 1 a . 3 0 ) , ( 1 . 4 6 ) 得: 阮 c : 一 b , c , a , b 2 一 a l b , ， = a 2丘- a ,c 2 a , b 2 一 a l b , ( 1 . 4 7 ) 上式和式 ( 1 . 3 3 )的后三式联立即一类界限曲线的坐标方程. 4 )相对速度方向和接触线切线方向之间的夹角:蜗轮和蜗杆齿面在啮合点处的相 对速度方向 和接触线切线方向 之间的夹角， 直接影响到齿面间动压油膜的形成。 该角越 大，则形成动压油膜的条件越好。下面来推导有关计算公式。 用万 表示在齿面公切面内 垂直于接触线的法线方向，由 式 ( 2 . 1 0 0 ) 得万 的 表示式 为 b = 3 1 c o s 刀 + s in 刀 c o s v 3 气= 一 s i n 刀 s i n p 3 b , = 一 c o s 刀 s in p3 ( 1 . 5 0 ) 设 。 (31)和 。 之 间 的 夹 角 为 。 ， 则 洲和 ; 之 间 的 夹 角 就 是 阵 一 。 ) ， l 2 i 若b 以锐角计， . b v (3 ) h= a r e s i n l ,-7 x 在; ; ; t i ilb l iv il ( 1 . 5 1 ) 式中: 式中: b 卜 v 0 3 , c o s ,6 + sin f c o s lp 3 )2 + s in 2 ， ， ; iv(31)卜 1 r3 , (v s in ,q 一 ) + v c o s 6 c o s p 3 2 + (u i3 ， 一 v c o s n s in (p 3 ) 2 + u c o s q 3 + ( v s in fl 一 r , ) s in (p 3 + a j 5 ) 诱导法曲 率: 共扼曲 面在啮合点处各方向的诱导法曲 率可根据欧拉公式计算 凡 (3 1) = k o (3 1) c o s t op , ( 1 . 5 2 ) k ,(3 ) 一 接 触 线 法 线 万 方 向 上 的 诱 导 法 曲 率 ; 4p e 任 意 方 向 刀 和 接 触 法 线 方 向 石 之 间 的 夹 角。 由 前知，两齿面在啮合点处沿任意切线方向a ( a 为单位矢) 的诱导法曲率可按下 式计算 k ( ) = 4 - a 甲 ( 1 . 5 3 ) 在 求 沿 b 方 向 的 诱 导 法 曲 率 k 1) 时 ， 应 令 a 沿 6 方 向 ， 这 时 有 昆明理工大学硕士论文 ( 1 . 5 4 ) 叮一甲 k 将式( 1 . 4 6 ) 、( 1 k a (3 1) . 5 0 ) 代入上式， 得 i c o s ,6 + s in q c o s 9p , ) +s i n p , a , u + b , v + c , ( 1 . 5 5 ) 对于直齿 平面包络 蜗 杆传动， 在上 述分析中 只需 令q = 。 即 可。 这时二 类界限曲 线 退化为一点原点，瞬时接触线族是一组辐射线， 如图1 . 6 b ) 1 . 3 . 2 斜齿平面包络环面蜗杆的二次包络 根据已 得出的平面包络蜗杆去求与之共扼的蜗轮齿面，即包络蜗轮 ( 二次包络) 。 这是用滚刀切削蜗轮或蜗杆与蜗轮啮合传动的情况。 1 )啮合方程、接触线和蜗轮齿面方程 啮合方程为 n , ， (， ) = 0 ( 1 . 5 6 ) 将式 ( 1 . 2 3 ) , ( 1 . 2 4 ) 、 代入上式，经过整理后得: du +b v +c =0 式 中 :a = c o s ,8 c o s 佩一 q) ) - s in q s in rp 3 s i n ( ,p j - (o ) + ,2 s i n f c o s 0p 3 ; ( 1 . 5 7 ) b = 一 c o s rp , s in k , 一 q, i) 一 f s in v) 3 : c = r 6 s in f 3 c o s 4p 3 s in k , 一 p ) + ,3 s in ,6 (r , s in 4p 3 一 a . ) 一 a . c o s ,6 c o s rp , c o s ( q ;i 一 ,p ) + a c o s ,o c o s v , u 和v 还应满足第一次包络时的啮合方程，故联解式 ( 1 . 3 0 ) , ( 1 . 5 7 ) 可得 。 = b c , - b ,c a b , 一 a , b v = a ,(全 .d c , a b , 一 a ,b ( 1 . 5 8 ) 上式与式( 1 . 3 3 ) 后 三式 联 立， 就是蜗 杆蜗轮啮 合时的 接 触线 的坐标方 程。 再 将其 转换到 坐 标系s ， 中， 就 可 得 蜗 轮 齿 面的 坐 标 方 程。 下面对“ 原始型”的 情况进行讨论。 将式 ( 1 . 2 9 ) 代入式 ( 1 . 5 7 ) 理得: 中，经过化简整 ucos,bcosk ; -9,，一 j3 -sin(g3一 s in /i 十 上 s i n 尹 3 1 1 3 。、 一 11 一 sin 8ctg g)3 sin(p;一 ， )一 ， 一 ， 3一 ( 1 . 5 9 ) nu -一 、!、!j i 产、口. u p i 一rp+- c o s p c o s p 3 a , 对于“ 原始型” 传动， a s = a , i13 = t 12 r d = 心 ， 这 时 上