（概率论与数理统计专业论文）代数几何在试验设计中的若干应用.pdf

ab s t r a c t c u r r e n t l y a n i m p o r t a n t re s e a r c h p ro g r a m i n e x p e r im e n t a l d e s i g n i s t o s t u d y d e s i gns b y u s i n g a l g e b r a i c g e o m e t r i c m e t h o d . p i s t o n e , wy n n ( 1 9 9 6 ) i n t r o d u c e d t h e m e t h o d s o f a l g e b r a i c g e o m e t ry i n to e x p e r im e n t a l d e s i g n a n d g o t s o m e g o o d r e s u lt s . b a s e d o n t h e i r w o r k , i n t h i s p a p e r w e a n a l y z e s o m e e x i s t i n g d e s i g n s a n d fi n d t h e re l a t i o n s h i p s b e t w e e n re d u c e d g - b a s i s a n d d e f i n i t i o n re l a t i o n s o f t w o - l e v e l r e g u l a r d e s i gns u n d e r o r d e r o f l e x . b y u s i n g t h i s r e s u l t w e a n a l y z e s o m e p - b d e s i gns a n d re g u l a r d e s i gns a n d g e t s o m e r e s u l t s , w h i c h a re c o n s i s t e n t w i t h w h a t w e h a v e g o t , a n d fi n d t h e re l a t i o n s h i p s b e tw e e n s o m e p - b d e s i g n s a n d re g u l a r fr a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n s . a l s o , w e a n a l y z e t h e re l a t i o n s h i p s b e t w e e n o r d e r s o f m o n o m i a l a n d b a s ic a s s u m p t i o n s o f d e s i g n s a s w e l l a s m o d e l s , a n d f i n d t h a t t h e o r d e r s r e v d e g l e x a n d d e g l e x a r e a g r e e a b l e w i t h t h e h i e r a r c h ic a l o r d e r in g p r i n c i p l e i n e x p e r i m e n t a l d e s igns , t h e n w e g i v e s o m e s u g g e s t i o n s o n h o w t o u s e t h e o r d e r s o f m o n o m i a l i n p r a c t i c e . a t t h e s a m e t i m e , w e d i s c u s s s o m e p ro b l e m s a b o u t f a n s o f d e s i g n s . b y u s i n g t h e re s u l t s w e g o t , w e a n a l y z e s o m e c o m m o n d e s i gns , a n d t a b u l a t e t h e r e s u lt s i n t a b l e a p p e n d e d . f i n a l l y , w e i n t r o d u c e s o m e re s u lt s b y c a b o a r a a n d r o b i b i a n o ( 1 9 9 7 ) a n d g iv e a f e w e x a m p le s t o i l l u s t r a t e h o w t o u s e t h e i r t h e o ry a n d m e t h o d s . k e y w o r d s : i d e a l q u o t ie n t r i n g r e g u l a r d e s i g n s t a n d a r d s e t g - b a s is c o m p l e t e m o d e l 钾 . -.一- 一 月 一， ， ， ， ， 一 . . 响 . . . . . . . . . . . . . 1 引言 试验设计是统计的一个重要分支，它最早可追溯到著名的统计学家 r . a . f is h e r 3 0 年代在英国一个农业试验站的工作. 经过统计学家们的努力和多 年的 发展，试验设计逐渐形成一门比较系统的学科，并且在各个行业都得到了广泛 的应用 试验设计有很多数学分析方法， 一般来说这些方法着重于设计的解释d i- a c o n is a n d s t u r m f e ls ( 1 9 9 3 ) 把代数几何思想引入到统计中，p i s t o n e a n d w y n n ( 1 9 9 6 ) 则首次把 g r o b n e r - 基与试验设计结合起来. c a b o a r a a n d r i c c o m a g n o ( 1 9 9 7 ) 和c a b o a r a a n d r o b b i a n o ( 1 9 9 7 ) 等 在 前 者的 工 作 基 础上 又 进 行了 进一 步 的研究并得到了一些较好的结果 这些研究成果使我们能够为试验设计找到新 的数学理论基础.同时这两种学科的融合必将对试验设计的发展产生一定的影 响，也为试验设计的发展开辟了新的方向 首先 简单介绍一下代数几何的基本思想( p i s t o n e a n d wy n n ( 1 9 9 6 ) ) . 考虑 实数域r中的一个简单结果:存在唯一一个关于 二 的二次多项式使得它在x , 取值为y , ( i = 1 , 2 , 3 ) 的充 要条件为 三个设计点x 1 , x 2 , x 。 是不同的. 这个结果 的一个常用的证明方法是，考虑二次回归的 x 一 矩阵 2，上q山2勺3 工了留 12自 xx劣 ，一，土1. 2.1气. 一一 x d e t x=( x 3 一 二 : ) ( x i 一 x 2 ) ( x 1 一 二 3 ) 非零当且仅当是x ， 不同的 现在考虑另一个代数几何方法的证明.多项式 d ( x ) =( x 一x 1 ) ( 二 一二 2 ) ( x 一x 3 ) 可认为含有关于这个三点设计的全部信息， 因为x 1 , x : 和x 3 是d ( 对= 0 的解 现在令p ( x ) 为任意的多项式，它除以d ( x ) 后有 p ( x ) =4 ( x ) d ( 二 ) +r ( 二 ) ， 其中: ( x ) 是阶小于2 的多项式.若我们 强制p ( x ) 插值( x i , y l ) , ( x 2 , y 2 ) 和( x 3 , 1y 3 ) ， 则r ( x ) 是唯一通过这三个点的多项式. 用 代 数 的 术 语 来 说 ，d ( 幻定 义 了 一 个 代 数 簇， 设r x = p (x ) 为 域r上 的一个多项式环， i = b ( - ) : d ( x ) =0 、q ( x ) =o 定义这个代数簇的理想， r (二 ) =r 卜 i i i 为商环.商环中的一个元素唯一 插值前面的三个点，且单项式 1 , x , 护的线性 组合中的参数由插值点集唯一决定. 对于因析设计， 通过中心化和恰当的数乘变换后可将有单位的因子水平变 换为无单位的整数值， 如0 ， 士 1 , f 2 , 这时从代数几何的角度出发， 一个处理 组合或一个设计点可看作 是高维空间中 的一个点， 一个设计作为高维空间中的 一组点集可看成是一个代数簇. 我们知道一个代数簇可以由 一组多项式生成， 并且这个代数簇可以生成一个理想.经过这种处理，我们可以建立设计与代数 几何的联系.下面用两个简单的例子来说明这种联系.首先， 考虑一个一维三 点设计( - 1 , 0 , 1 ) ， 把设计的效应看作是单项式， 我们来鉴别以 下模型 a x + b x 2 +cx3 的可识别性.显然关于这个设计的理想的商环为 ( a + c ) x + 阮 2 因为方程x 3 =二 生 成设计理想.用统计的术语来说，回归 模型y = a x + 11 x 2 + 二 “ + 。 中 只 有b 和。 + c 是 可 估的 . 可将上面这种思想扩展到多因子设计或高维空间的情形. 在高维空间中， 上面的d ( x ) , r ( x ) 和4 (x ) 一般不唯一， 这时的多项式除法还需要定义变量或单 项式的序和多项式的首项.有了单项式序才可以考虑相应的g 一 基和商环.例 如，考虑一个正规设计 2 9 - : d = a b c ， 该设计可看成是四维空间中的一个代 数簇， 设计的生成多项 式为笼 对一 1 ， i = 1 , 2 , 3 ; x ; 一 二 ， x 2 x 3 ， 生成的理想为- x 2 r x i ) 下的g 一 基， 得到商环的基 f l , x 7 , x 2 , x 3 , x t x 2 ， 二 ， x 3 , -t 2 -t 3 , x 1 x 2 x 3 ) 这个基中的元素恰好是该设计的可估效应. 这种对应关系使我们能够用代数几 何中的一些理论来分析和讨论. 关于代数几何的一些基本内容在本文的第二节 作简单叙述. 通过代数几何与试 验设计间的这种 联系， 我们 在p i s t o n e a n d w y n n ( 1 9 9 6 ) 等的工作基础之上在第三节用 g 一 基技术对部分设计，尤其是二水平设计，进 行分析和讨论.对于正规的二水平部分因析设计，我们找到了设计的定义关系 与约化 g - 基间的关系，并利用所得到的结果对二水平的 p - b设计进行分析和 讨论，同时与已有的结果进行比 较. 序有多种定义方法，不同的序将导致不同的可估模型.因此，单项式序与 试验设计的基本假设和模型之间究竟有些什么 关系，实际当中如何去理解，分 析和使用都需要进行分析和讨论.我们在第四节对这类问题进行了讨论，并就 实际中如何使用给出了相应的一些建议. 这样， 给定一个设计我们就可以用代数几何的方法找到其饱和可估模型. 那 么能否由 给定的模型来找到相应的饱和设计呢?c a b o a r a a n d r o b b ia n o ( 1 9 9 7 ) 等进行了研究，并给出了相应的理论和方法. 本文在第五节简单介绍他们的一 些结果，并且我们利用他们的方法分析了几个例子，同时也说明了如何使用这 些理论和方法. 上述研究中使用的最重要的工具是g 一 基，这方面的基础知识本文在第二 节作简单介绍. 要更多地了 解g 一 基或代数几何方面的内容， 可参看c o x , l i t t l e , a n d o s h e a ( 1 9 9 6 ) . 除非特别指明， 文中的例子均是我们用数学软件c o c o a 4 .0 分析得到的 c o c o a 4 .0 可 从网 上 直 接 下 载， 网 址:h t t p :/ 柳c o a .d im a .u n ig e .it 2 基本概念 这一节主要是引入一些代数几何的基本概念和定理，同时建立它们与试验 设计之间的 联系. 这一节中的定义和定 理均来自c o x , l i t t le , a n d o s h e a ( 1 9 9 6 ) , 若要更多的了解代数几何方面的知识，可参看此书. 2 代数簇 定义2 . 1 . 设k 为一数域，t i 为一正整数，定义。 维仿射空间为 k n =i ( a , , a 2 ， 二， a re ) : a 1 , . . _ a . k . 记f l , f 2 , i f s 为r二k x 1 , x 2 ， 二 ， x t t 中的多项式， 令 1 ( f l , f 2 ， 二 ， f 3 ) =( ( a l , a 2 , , a) e k n : f + a l , a 2 ， 二 ， , a n ) =0 . 1 - fe x y 6 ， 若 s = i h i x a ， o n ) , q =( 刀 1 ， 几) 任 r t e . 0 ， 若 。一rz n的 。 卜 ， 二 r ， 其中2 a 二 i n t 对t ， 2 . 阶梯字典序( g r a d e d l e x o r d e r ， 简称为d e g l e x ) . 称。 r d e .q l 。 二 r ， 若 la l = 艺。 : 10 1 = 又a ， 或1a 1 = 10 1, 。 卜 “ 二 le 3 . 阶梯 字典逆序( g r a d e d r e v e r s e l e x o r d e r , 简称为d e g r e v l e x ) . 若la l co l , 或回二10 1， 且。 一 q 最右 边 的 非 零元 大于 零， 则称。 - d e g r e v l 。 二 q 令 f = ( i ) f ( i i ) f e a ax 。 为k (x i , . . . , x n 中的非 零多项式，r为一个单项式序， 的阶( m u l t id e g r e e ) 为 m u l t i d e g r e e ( f ) =m a x ( az rz n : a s :a 0 的首项为 l t ( f ) = a :师e 。 ， )x 仍 “ ltid e g r e e (f )a m u ftid e g r e e j ) x m u ( i i i ) l m( f ) 例如， =t m u t t i d e g r e e ( f ) 了 =4 x 护 : + 4 x 2 一 5 x 3 +7 x 2 2 2 ， 考虑字典序il e x ， 即二 y t 。 二 。 l e x : ， 则。 u t t i d e g r e e ( f ) =( 3 , 0 , 0 ) , l t ( f ) =- 5 x 3 , l m= x 3 对于一个理想i , l t ( i ) 表示由i中所有多项式的首项所组成的集合， ( l t ( i ) ) 表示由l t ( i ) 所生成的 理想. 同 理l m( i ) 表示由i 中 所有多项式f 的 l m( f ) 所组成的集合，( l m( i ) ) 表示由l m( i ) 生成的 理想. 定义了序和首项后， 就可以引入下面的一个重要概念: g r o b n e r -基 ( 简称为 g 一 基) :固定一个项序， 称一个理想 i中的有限子集 g= 9 1 , 9 2 , - - - , 9 t 为i 的一个 g - 基 或标准基) ， 若 ( t ) 9 1 , 9 2 , - - - , 9 : 为理想 i 的基，( i i ) ( l t ( 9 i ) , . . . , l t 俪) =( l t ( i ) ) 例1 . 设有一个以a= b c d为定义 关系的正规设计2 4 - i , 现在来研究其代 数几何性质 首先把它的设计点集视为一个代数簇， 又记其生成的理想为i ( e ) ) 基本序取为2 i r2 2 -2 3 r2 4 , a b c d 弓，1.11.11人1山，土1 忿-一-一 1，1esl x- 1一 1 1 一1一1 1一1 ，1，.卫，1 - 1 1 1 1 取d e g l e x 序可得到设计理想i (d ) 的g 一 基 2 24 一 1 , x j 一 1 , x 2 一 1 , x i x ; 一 2 2 2 3 , 二 ， 2 3 一 2 2 2 4 , 2 1 2 : 一 2 3 2 4 , 2 1 一1 , 2 2 2 3 2 ; 一 2 i 取 l e x序得到 g 一 基 2 22 一 1 , 2 3 一 1 , 2 4 一 1 ， 二 : 一 2 2 2 3 2 4 那么如何寻找一个理想的g 一 基呢? 下面的定义和定理将回答这一问题 定义2 . 3 . 设f , 9 e k - i , . . . , x 为 非零多项式， 则f , g 的s多 项式定义为 s ( f , 9 ) =l t ( f )了一l t ( g ) g 其中2 为l m( f ) 与l m( g ) 的最小 公倍多项式 例如2 2 y 3 +y , 9=3 x 4 y +y 2 ， 取 d e g l e x序，则x r =x 4 y 2 s ( f , 9 ) =_ x 3 y 3 + x 3 一 ( l / 3 ) y 3 . 定理 2 . 1设i 为一个理想， 为一个 g 一 基的充要条件是: 给定一个序t , i 中的一个多项式集g= 9 i , 里整除的意义是:在给定的序 s ( s i , 9 j ) 能 被g整 除， # j ; ， ， =1 ， 二， 二 下按多项式除法被 g中的元素顺次除净) . ， ， t ( 这 如果已知一个理想的基，利用这个定理就可以找到该理想的 g - 基.一个 理想的g 一 基常常是不唯一的.但利用下面的定义和定理，则可得到该理想的 唯一的 g 一 基. 定义2 . 4 . 称一个g 一 基g为约化的g 一 基，若该g - 基满足 如下条件: 1 ) g中的每一个元素的首项的系数为1 . 2 ) 对于每一个p e g , p中的任意一个单项式均不含于( l t ( i ( g一 川) ) 中 定理 2 . 2 . 给定项序二 ， 每个理想有唯一的约化g 一 基 2 .3 理想的消除 有时我们不需要研究全部的 变量， 而只想研究其中 的几个变量，那么就可 能要用到下面的定理. 定义2 . 5 . 给定i 二(f ; ， ， f 3 ) c k x l , . . . , x n ， 则第k 个消去 理想i k 定义为 八=i n k 巨 ， ， , x n - 习 定 理2 . 3 ( 消除定理) . 设i c k x l , . . . , x n 为 一个 理想，g为i 的 一个g 一 基 取l e x 序x i x 2 - 一 - x n ， 则对任意的k , 。 - x 3 r x 4 , 取 l e x 序， 得到的 g 一 基为 x 22 一 1 , 2 3 一 2 4 一 1 , 2 1 一 二 2 2 3 2 4 令上面的多项式为零，则在这个序下得到的g - 基恰好反应了设计构造.令最 后一个多 项式为 零，则有x 1 =x 2 x 3 x 4 ， 它与设计的定义关系 是一致的.得到的 可估效应集为 1 , x 2 , x 3 , x 2 x 3 , x 4 , x 2 x 4 , x 3 x 4 , x 2 x 3 x 4 可以看到这时主效应x 1 以 及所有含x 1 的交互效应是不可估的. 取d e g l e x ， 令 g - 基中的多项式为零， 则可以看到所得的方程正好反应了设计的部分效应的混 杂关系， 其可估效应集为 1 , x l , x 2 , x 3 , x 2 x 3 , x 4 , x 2 x 4 , x 3 x 4 取d e g r e v l e x ， 可估效应集为 1 , x l , x 2 , x 3 , x 4 , x l x 4 , x 2 x 4 , x 3 x 4 - 取l e x ( x 1 - x 2 - x 3 -x 2 x 3 x 4 x 5 x s ， 且分别对应于a , b , c , d , e , f ， 即 a勒 bx5 cx4 fx3 e勿 ，ij.工jesl，1 一 1 1 -1一1 -l-l x 1- 1 一.工1月111 -一- .土劝.孟1.，1 一一 一1 1 -1 1 1 1 1一1 1 1一1 1 一1 1 1一1 一1一1 -l-l _ : 、， 取 l e x序，得到的 g 一 基为 蟾一 1 , x 5 一 1 , x 4 一 1 , x 3一x 4 x 5 x 6 , 勿 + x 5 x 6 , x 1 +t 4 x 6 上面的后三个多项式完全体现了设计的构造和定义关系.其可估模型为 1 , x 4 , x 5 , t 4 t 5 , t 6 , 翔x 6 , 跳t 6 , 翔x s x 6 这里同样出现了主效应x 1 , x 2 和x 3 以及所有含这三个变量的交互效应不可估 的情形.取d e g r e v l e x 序， 可得到g 一 基: 嵘一 1 , x 5 x 。 十 x 2 , x 4 -t 6 + x i , x z x 6 + x 5 ， 二 ， x 6 + x 4 , x 2 一 1 , x 4 x 5 一x 3 翔， x 3 x 5 + x i , x 2 t 5 +x 6 , 二 ， x 5 + x 3 , x 最 一 1 , x 3 x 4 + x 2 , 工 2 x 4 + x 3 , t l x 4 + t 6 ,烤一 1 , x 2 x 3 + t 4 , t l x 3 + x 5 , x 蛋 一1 , t i t 2 一 x 3 t fi ,蹄一 1 . 同样，上面的多项式可得到设计的部分效应的别名关系.其可估效应集为 1 , x 1 , x 2 , x 3 , t 4 , x 5 , t 6 , x 3 x 6 这时的主 效应均是可估的 再变 换一下变量之间的 序，x 1 x 2 x 3 x 4 1 .取 l e x 序巧 x ; , i =p 十1 , . . . , 积 ，=1 , . . . , p ， 则 l = f = 对- 1 , i = p + 1 , . . . , k ; 9 i = y i - n i r k x i 就 是i ( 功的 约 化g 一 基 下 面来证明这一点. 0 ) 首先， 多 项式集合l 显 然是理想i ( -d ) 的生 成多 项式集， 这是由 设计的 定 义 关系 得 到的 . 由 所 给 的 项 序 ，l t ( f i ) = 对 , l t ( 9 j ) = y j ， 也就 是 说l 中 的 多 项 式间 的 首项 是 互质 的 ， 用 类 似 于上 面的( 1 ) 的 证明 方 法， 易 知s ( f i , 妇, s ( f i , f i, ) , _一- - - - - -种， ，. ，. ，.呼. 润. . .中 s ( 9 9 9 , ) 总 能 被l 整除， 其中i , : 二 p + 1 , . 卜 . , k ， 而? , ， =i . ， . i p . ( i i ) 因为 在设计的同一列上 不可能安排两个以 上的因 子， 所以9 i 之间是没 有 共 同 项 的 ， 同 样人和9 f 之 间 ，f之 间 也 没 有 共 同 项 ， 也 就 是 说 ， 对 于l 中 的任意p 多 项 式， 均有p 中的 任意单项式不属于 l t ( i ( l 一 p ) ) ) ， 又.( : 和9 3 的 首项系数为1 ， 由约 化的g 一 基的定义易知l 是理想i ( d ) 的约化g 一 基. 再由 约 化g 一 基 的 唯 一 性和 代 数 簇与 理想 之间 的 一一 对 应 关系( c o x , l i t t le , a n d o s h e a ( 1 9 9 6 ) ) ， 易 知定义关系 与约化g 一 基之何 可 相互导出 当设计列的顺序打乱，即序最小的k 一 p 个列之间不是相互独立的时候， 则由序最小的变量开始，找到k 一 p 个独立列，用与上面同样的证明方法可以 证明命题的正确性. 有了 这个命 题， 我们可以由 设计的定义关系 导出该设计理想的约化g - 基， 也可以根据g 一 基来找到设计的定义关系. 对于给定的一个设计， 我们也可以用 这种方法来确定 它 是否 是一个正规设计. 例如， 考 虑一个1 2 个 试验安排的p - b 设计，取l e x 序，得到 g 一 基 x2 一 1 , x 2 。 一 1 , x 2s 一 1 , x a x l o x +x 8 x 1 d + x g x l l +x 8+x s x l o x l l +x s x o+x 9 x 1 1 +x 9 , x g x ， 一x g x l o 一x g x l ， 一x g 一3 / 2 x g x l 。 二 1 1 一1 / 2 x g x l o 一 1 / 2 x ， 二 ， ， 一1 / 2 x g +1 / 2 x 1 。 二 ， ， +1 / 2 x l u +1 / 2 x 1 ， 一1 / 2 , x 2g 一 1 , 二 : x l l 一二 : 一2 x g x l 。 一x g x l l 一二 。 一3 / 2 x g x l o x l ， 一1 / 2 x g x l o - 3 / 2 x g x l ， 一1 / 2 x g +1 / 2 x , o x 1 1 一1 / 2 x l o +1 / 2 x 1 1 一1 / 2 , x 7 x l o一x 7一x g x l o一x g xl l一 x g x l l一x s , x 7 鞠 +x 7 +x g x l o +x 8 +x g x l l 一x l o x l l , x 7 x g 一x 7 一x g x l o +x g x l o 一x g x l l +x l l , : 羊 一 1 , x 6 一 x 。 一3 / 4 x g x l o x l ， 一3 / 4 x g x l 。 一 3 / 4 x 。 二 ， 1 +1 / 4 x 9 + 3 / 4 x 1 () 2 1 ， 一1 / 4 x 1 。 一1 / 4 x 1 ， 一1 / 4 , x 5 一二 7 一3 / 2 2 8 x 1 。 一1 / 2 2 ， 一3 / 4 x s x l o x l 1 +3 / 4 x s x l o - 3 / 4 2 ， 二 : 1 一1 / 4 x 9 +3 / 4 x i o x 1 1 一1 / 4 x l o +3 / 4 x 1 1 一1 / 4 , x 4 +: : +3 / 2 x 8 x l o +3 / 2 x g x 1 1 +二 。 +3 / 4 x g x l o x l l +3 / 4 x s x l o + 3 / 4 x y x i i +3 / 4 x ， 一3 / 4 x l o x u一1 / 4 x i o 一1 / 4 x i i +1 / 4 , x 3 + x 7 +3 / 2 x 8 x i o + 3 / 2 x 8 x 1 1 +x $ +3 / 2 x g x i o x t t + 3 / 2 x s x 1 1 + 二 ， 一 1 / 2 x 1 1 +1 / 2 , x 2 + x 7 + 3 / 2 x 8 x l o +1 / 2 x 8 + 3 / 2 x g x 1 i +1 / 2 x g +1 / 2 x 1 。 一1 / 2 x 1 1 , x 1 一 x 7 + 3 / 4 x g x l o x l i +3 / 4 x s x l o 一 3 / 4 x o x , l +1 / 4 x g + 3 / 4 x l o x l ; 一1 / 4 x l o +1 / 4 x l t +1 / 4 . 虽然g 一 基不是约化的， 但由g 一 基中的多项式可以看到设计不是正规的， 且可 以看出因子效应之间不是完全混杂的，即该设计的别名关系是比较复杂的 这 与h a m a d a a n d w u 1 9 9 2 ) 的 分 析结果 是一致的. 取d e g r e v l e x 序，1 2 个 试验 的p - b设计在四个因子上的投影g - 基为 x 21 ， 一 1 , x 子 。 一 1 , x 若 一 1 , x 28 一 1 , 1 / 2 x 8 x g x l o +1 / 6 x 8 x 9 一1 / 6 x g x l o +1 / 3 x 8 x 1 土 +1 / 6 x g x l o 一 1 / 3 x 。 二 ， ， +1 / 3 x l o x i l 一1 / 6 x 8 +1 / 6 x 。 一1 / 6 x i o +1 / 3 x +1 / 6 , - 3 / 2 x g x l o x i l + x a x g 一 二 。 x 1 。 一 x 8 x , : 一1 / 2 x s x t o 一1 / 2 x 。 二 i i + 1 / 2 x i o x , ， 一 二 。 一1 / 2 x g +1 / 2 x i o +1 / 2 x , ， 一1 / 2 , 3 / 2 x 8 x i o x i ， 一3 / 2 x s x i o x i l +2 x s x 。 一1 / 2 x g x l 。 一1 / 2 x 8 x t 1 + 1 / 2 x s x , o +1 / 2 x s x t , +x 1 。 二 ， t 一1 / 2 x 8 +1 / 2 x g + x , o +x i 、 一1 , 1 / 2 x a x g x , ， 一1 / 2 x 。 二 土 。 x i t +1 / 2 x s x l o x , ， 一1 / 2 x 8 x g +1 / 2 x 8 x i o 一 1 / 2 x o x , 。 一1 / 2 x , t +1 / 2 . 得到可估模型 1 , x 8 , x 9 , x 8 x s , x i o , x 8 x i o , x s x l o , x , i , t 8 x j j , x s x j i , x i o x i i 取d e g l e x 序所得到的可 估模型也是一样的. 可以 看到这四个因 子的主效应以 及它们之间的交互作用均是可估的. 对于其他不同试验次数的p - b设计也可得 到类似的结果. 在关 于p - b 设计的 讨论中 有一个隐藏投影定理( c h e n g ( 1 9 9 5 ) ) : 当n不能 被8 整除时， 在四个因 子上的投影设计有如下性质: 若高阶交互作用可忽略， 四个因子的主效应和它们 之间的二因子交互作用全部是可估的. 这里的分析结 果与这个投影定理是完全一致的. 再看前面的2 6 - “ 设计， 将右边第一列与左边第二列交换， 变量安排顺序不 变，取l e x 序，x l x 2 x 3 x 4 yx 5 x 6 , g 一 基为 蜡一 1 , 嵘一1 , x 4 + x 5 x 6 , x 羞 一 i , x : 一 : 3 x 5 x 6 ， 二 ， + 2 3 x 5 . 取序 l e x 序，x l x 2 x 3 x 4 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ) , g 一 基为 x 27 一 l , x 6 一 1 , x 5 一 1 ， 二 。 + x 5 x 7 , x 3 一x ,9 x 6 x 7 , x 2 + x fi x 7 , x i + x 5 x 6 可以验证它是一个约化 g 一 基.同样令上述多项式为零，就得到这个设计的别 名关系. 我们观察这个设计的g 一 基可以发现， 令这个g 一 基中的后四个多项式 等于零， 则它们与正规的2 7 - 4 设计的定义关系是完全一样的， 这个设计的因子 列之间有明确的完全混杂关系. 我们知道这个p - b 设计是通过一个生成列或生 成行循环生成的，而不是通过定义关系得到的，并且这个设计一般是作为非正 规设计来对待的. 但是通过适当的行变换， 我们可以 发现它是与2 7 - 4 正规设计 _一 卜 ， ， ， ， ， ， 甲 网 ， ， ， ， 叫 一 ， 完全一致的设计. 这表明8 个试验安排的p 一 b设计与正规的2 7 一 4 是等价的. 这 在以前的文献中是没有发现过的.其它的p 一 b设计则没有这种特殊情形.wu and h a m ada(1 99 2 ) 曾 讨论过12个水平 组合以 上的p 一 b 设计的别名关系， 他们 的结论是因子之间的别名关系比 较复杂， 但关于8 次试验的p 一 b设计没有讨论 过因子之间有明确别名关系， 而这里用代数几何方法却得到了七个因子列之间 的明确别名关系， 这说明了8 个试验的p 一 b设计的特殊性.同时我们看到了代 数几何方法的一个优点. 命题3 . 1 中的第二个结论对于三水平设计是不成立的. 例如， 考虑一个3 4 2 设计: xix z勿 3x 4 0一111 一1001 11一11 1一100 00一10 -l-1 nlo 一 .一 1一 1一 1 七 基本序取 二 1 卜二 2 卜x 3 卜x4， 取 l 狱序，c 一 基为 x 寻 一 x ; ， x 盈 一 x 3 ， x z + 警 : ; : 羡 一 哥 x 子 x 。 一 号 二 盖 十 爵 x 3 x 写 十 登 x 3 x ; 一 矗 x : 一 哥 x 羞 + 查 x ; 十 1 二 、 一 号 二 弓 x 写 一 哥 x 篆 二 ; + 号 x 若 - 哥 。 x 羞 + 爵 x 3 x 、 + 告 x 3 十 誉 : 聋 + 盖 x ; 一 1 可以看到这个 g 一 基没有反映出设计的定义关系，因为我们已知这个设计是通 过定义关系得到的. 造成这种结果的原因是因子的水平取值( 1 ， 0一 1) ， 这种取 法对于乘法是得不到因子之间的完全别名关系的. 4 单项式序与模型、 基本假设的关系 上一节我们分析了 大量的 例子， 并得到了与现有结果一致的一些结果.但 同时我们看到， 不同的序导致的饱和可估模型是不同的. 那么其原因是什么呢? _ _-一一 我们得到的模型与试验设计的基本假设是否矛盾呢? 在实际中又如何去理解和 使用呢? 这类问题在以前的