（计算数学专业论文）一类四边形剖分下的对称有限体格式及其应用.pdf

摘要 本文首先对自共轭椭圆问题，在四边形剖分下，通过选取“v e r t e x 一 ( ：e n t e r e d ”类型的控制体，并利用有限体积元方法对平衡方程进行离 散，首次建立了四边形剖分下的三种保对称的有限体格式。进一步， 我们对它们进行了理论分析，从理论上严格推导，它们均达到了饱 和阶大量的数值实验，验证了我们的理论结果。同时与目前广泛 使用的九点差分格式( 文【1 ) 作了对比实验，发现新建的三种对称有 限体格式在对非正交网格的适应性、收敛精度以及相应离散化系统 的快速求解等方面具有明显的优势。同时，我们还将这三种格式分 别与三种不同的线性化处理方法( 固结系数法、“变分”牛顿迭代方 法和“代数”牛顿迭代方法) 相结合推广到非线性抛物问题，数值实 验表明：均具有与线性椭圆问题相同的收敛阶。最后，我们将非线 性抛物问题的格式应用到来自二维三温辐射流体问题( i c f 问题) 中 的辐射热传导方程组，均得到了理想的数值结果。 关键词：四边形网格剖分对称有限体格式误差估计向 后e u l e r 格式线性化方法自适应算法 2 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，a i m i n ga tak i n do f e l l i p t i cp r o b l e m ，t h r e et y p e so fp r e s e r v i n g - s 3 m m e t r yf i n i t ev o l u m es c h e m e su n d e rq u a d r a n g l ep a r t i t i o ng r i d sa r ef i r s t l y e s t a b l i s h e d d u r i n g t h ec o u r s eo ft h ee s t a b l i s h i n g t h e ”v e r t e x c e n t e r e d ”c o n t t o lv o l u m ea r es e l e c t e da n dt h eb a l a n c e e q u a t i o ni sd i s c r e t i z e db yu t i l i z i n g th ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d f u r t h e r m o r e ) t h ea n a l y s i so ft h ee o n v e r g e n ( ：e f r o mt h et h e o r e t i c a lv i e w p o i n ti s d i s p l a y e d ，s oi s t i l er e s u l tt h a tt h e c o n e r g e n to r d e ro ft h ee r r o ri ss a t u r a t e d an u m b e ro fn u m e r i c a le x a m p l e s 、e r i f i e dt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s s i m u l t a n e o u s l y , c o m p a r e dw i t ht h en i n e p o i n t d i f f e r e n c es c h e m ew h i c ha r ew i d e l ya p p l i e d ，o u rn e ws c h e m e sh a v em o r ea d 一 、7 a n t a g e o u s o nn o n o r t h o g o n a lg r i d s ，f o re x a m p l e ，t h ec o n v e r g e n t a c c u r a c y ， t h ef a s t s o l v i n go ft h ed i s c r e t es y s t e ma n d8 0o n a tt h es a m et i m e lt h et h r e e t 3 p e so fs c h e m e sa r ee x e n d e dt ot h en o n l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m ，c o m b i n i n g 、i t l lt h r e e t y p e so fl i n e a r i z a t i o nm e t h o d ( t h e ”f i x e d ”c o e f f i c i e n t sm e t h o d t i l e ”f o r m u l a t i o n ”n e w t o ni t e r a t i v em e t h o da n dt h e ”a l g e b r a i c ”n e w t o n i t e r a t i v em e t h o d ) t h es a m e c o n v e r g e n to r d e ro f t h ee r r o ri ss h o w n b yt h e n u m e r i c a lr e s u l t s f i n a l l y , t h es c h e m e sf o rt h en o n l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e ma r e a p p l i e dt ot h et w o - d i m e n s i o nt h r e e t e m p e r a t u r eh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n s ， s o m eg o o dn u m e r i a e lr e s u l t sa r ea c h i e v e d k e y w o r d s ：t h eq u a d r a n g l ep a r t i t i o ng r i d s t h es y m m e t r i c a lf i n i t e v o l u m es c h e m et h ee r r o re s t i m a t et h eb a c k w a r de u l e rs c h e m e t h e l i n e a r i z a t i o nm e t h o d a d a p t i v ea l g o r i t h m 3 引言 有限体积方法起源于上世纪5 0 年代( 2 9 ) ，7 0 年代以后，经过国 内外的一批学者的努力，该方法得到了长足发展( f 8 1 f 9 1 1 5 ，f 2 7 j ， 3 0 】) ， 该方法逐步发展成为一种系统的数值方法有限体积方法是介于有 限元方法和有限差分方法的一种重要的数值方法，由于该方法能局 部保持某些物理量( 如质量、动量、能量等) 的守恒性，因而被广泛 应用于计算物理、计算流体力学等众多应用领域，近年来越来越多 地受到人们的重视。 有限体积方法主要包含两大要素其一是控制体积( 简称为控 制体) ，即对求解域作某种剖分( 例如三角形剖分、四边形剖分) ， 并在该剖分基础上作对偶剖分，对偶剖分的每个对偶单元b 正也就 是控制体( c o n t r o lv o l u m e ，f i n i t ev o l u m e ) 关于控制体的选择一般有 两种方法：1 “c e l l c e n t e r e d ”2 “v e t e x - c e n t e r e d ”例如，图1 ( a ) 和图2 ( a ) 所示的b 置分别为四边形剖分下某个剖分节点置对应的 “c e l l - c e n t e r e d ”型和“v e r t e x - c e n t e r e d ”型控制体其二是对平衡方 程离散，所谓平衡方程是指在任意控制体上对微分方程积分，利用 g r e e n 公式得到的积分方程关于平衡方程离散化方法，通常有： 1 利用求积公式和有限差分公式来逼近( f 1 】，3 0 】) 2 有限体积元法 ( 卧 6 1 1 【7 【1 5 ) 3 广义差分方法( 【2 7 】) 通常的有限体方法离散偏微分方程( p d e ) ，一般不能保对称性 ( 即p d e 对称，但得到的离散系统不对称) ，由于该格式不对称，因 而许多有效的数值求解方法( 如p c g 等) 不能被使用这正是通常 的有限体方法的一个不足之处近年周爱辉、马秀玲等人在经典有 限体积法的基础上，在三角形网格剖分下，提出了一类保对称的有 限体方法( 【5 ，6 ，7 】) ，从本质上部分克服了上述的缺陷 但在四边形剖分下，如何建立一类保对称的有限体格式，是一个 值得讨论和研究的问题，目前这方面的工作还很少我们在对有限 体方法作了深入研究的基础上，发现了该方法的一些特性，例如，在 四边形剖分下，通过选取特定的控制体和控制体元，来建立对称有 限体积格式时，有限体解与有限元解存在一定的内在联系本文对 5 自共轭椭圆问题，通过选取第二种类型的控制体，并利用有限体积 元法对平衡方程进行离散，建立了三种对称有限体格式进一步， 我们对它们进行了理论分析，从理论上严格推导，它们均达到了饱 和阶同时，我们还将这三种格式推广到非线性抛物问题和来自二 维三温辐射流体问题中的辐射热传导方程组，均得到了理想的数值 结果 本文的内容安排如下： 第一章，预备知识 第二章，我们对自共轭椭圆型问题，在四边形剖分下，建立了 三种对称有限体格式，给出了对应的日1 模和l 2 模误差估计，数值 实验验证了理论结果，另外和文( 1 1 中的格式作了比较实验 第三章，我们将第二章中的三种格式推广至非线性抛物问题， 关于线性化，我们采用的是目前流行的三种方法：1 固结系数法。 2 “变分”牛顿法3 “经典”牛顿法数值实验表明：均达到了饱 和阶。 第四章，我们将上述结果应用到多介质的i c f 问题上，得到了 理想的数值结果 6 第一章预备知识 1 模型问题 首先，我们给出本文中讨论的两种模型问题。 ( 1 ) 自共轭椭圆模型问题 一v ( 。( 2 ) v u ) + 6 ( z ) “= ，。q ，( 1 1 ) 【“20 ， z 0 1 2 其中q r 2 是一凸多边形区域，舰表示其边界，c ；n ( z ) c 2 ，c 2 为两个正实数，b ( z ) 泸( q ) 且存在6 0 0 使得b ( z ) b o 0 ， f ( x ) l 2 ( q ) 为给定的函数，使得问题( 1 1 ) 适定，且解充分光滑 ( 2 ) 非线性抛物模型问题 f ”。1 丽o w v ( w 。2 v 叫) = p ，( z ，t ) = ( 3 c 1 ，x 2 ，t ) q ( 0 ，t ， ( z l ，t 2 ，o ) 2 w o ( x l ，z 2 ) ，( z l ，z 2 ) q ， ( 1 2 1 1w ( x l ，0 ，t ) = 9 ( z l ，t ) ，( z l ，x 2 ) a q i ，t ( 0 ，t j ， i 篇= 0 ， ( 巩x 2 ) a q 2 ，t 【0 ，卅， 其中q 是一凸多边形区域，0 9 t = 0 9 t 。+ a q 2 表示其边界，存在c 0 ，c l 为正常数，使得c o a ( x ) c t ，p ( z ，t ) ，9 ( x ，t ) l 2 ( q ) 是一给定的实 值函数，w ( x l ，z t ，0 ) l 2 ( q ) 为给定的初值函数，这些条件使得问题 ( 1 2 ) 适定，且解充分光滑另外o 。为非负整数，是非线性次数 2 一些基本概念和主要记号 记w “伊( q ) 为具有以下范数的s o b o l e v 空间： f i v l l 。p = ( l f d 。口i f l - f n ) ) ；，1sp 0 0 ， i i 口f | m ，0 0 。i m 。i 。a 。xi i d 。v f l l * ( n ) ，p 2 0 0 ， 其中多重指标o = ( o - ，a l i ，o 。) ，川= 量啦，1s is 几是非 负整数 7 且m 一( q ) 的半范数定义为 v l 。，p = ( l i d 。v i i l ，( n ) ) ；，1 p o 。 l o l = m ”i 。o 。= 恕a xi l d o i l p ( ，p = o 。， 1 n l = m 特别地，当p = 2 时，w m 2 ( n ) 简记为空间日“( q ) ，相应的范数 和半范数分别为：b ，即，本文中将它们分别记为k t 而础( q ) 则表示具有零d i r i c h l e t 边界条件的日1 ( n ) 空间 另外，1 记号asb 表示a c b ，a 乏b 表示a c b ，其中e 为一正常数2 记号张为次数不超过k 的多项式集合，r 、为双 线性多项式集合3 文，表示k r o n e c k e r 符号 3 经典有限体方法 为了和本文讨论的内容相一致，我们仅考虑四边形剖分网格情 形下面，我们以问题( 1 1 ) 为例，简单回顾一下文1 中格式f 的 建立 首先，设q n 为求解域q 的任意四边形剖分，其对应的控制体 ( 如图1 ( a ) 所示) 为”c e l l c e n t e r e d 类型我们在介绍该格式的建立 卜 n 勿州 穆嗡 警 习为 平一 ：彩- 轧 _ p ；。 图1 ：( a ) 中心点p o 的对偶单元b p o ( b ) 相邻的九个单元 时，为简单起见，采用局部编号对任意给定的四边形剖分单元( 如 图1 ( b ) 所示的) ，设五，1 f 4 为该单元的四个顶点，p o ，s 分别为 该单元的中心和面积，只，1 ts8 分别为与之相邻的四边形单元 的中心 8 接着，将( 1 1 ) 的方程在对偶单元b p 0 上积分，并利用g r e e n 公 式，有： f o b p 。a ( z ) 裂如+ 厶怕6 ( z ) “( z ) 出= 一舌4 厶而。r 出= 厶尸0 ，出，( 1 渤 其中x 5 = x ， f n = o ( z ) 爵为流( f l u x ) 函数。 再考虑平衡方程( 1 3 ) 的离散，即考虑一吾4 & 蕊。- f i n d s 和矗凡，出 的数值积分公式文【1 】中，对后者作如下近似 厶p 0f d x 圭f ( p o ) s , ( 1 4 ) 其中，( p 0 ) 表示函数f ( x ) 在p 0 点的值，对前者，则利用中矩形公式 近似为 一蚤凡蕊。r d s 圭一舌1 蜀x + 1 1 f 三，1s l 茎4 ， ( 1 5 ) 这里m + ，l ，群分别为线段x 墨+ t 的长度和r ( z ) 在其中点的值 因此，如何得到疋，1 f 墨4 的值成为该离散格式的关键问题下 面，以f = 1 为例说明文【l 】中计算曩的方法 由流( f l u x ) 函数的定义有： 上l 一卫虬 n ( z ) 一。讨 将( 1 6 ) 两边在如图1 ( b ) 所示的a 。区域上积分，即 厶。螽d x = 厶，蔫d x 对( 1 7 ) 的左端，采用如下近似方法： ( 1 6 ) ( 1 7 ) 厶。晶如亡碟( 几。：志出+ 厶。幽巳南出) 圭曩( 焉+ 稿) ( 1 8 ) 其中a ( p o ) ，n ( 岛) 分别表示函数a ( z ) 在r ，p 2 点的值，s o ，s i 分别表 示a x 。x 。凡，a x 。x 。岛的面积对( 1 7 ) 的右端，有 厶。器如= 厶。山p o 器如+ 厶，m 户。爨d z ( 1 9 ) 9 若记线段瓦宠，面宠，再定，夏趸，石驾，巧定的单位外法向量和中点 的有限体解值分别为( p ，u ，) ，u ? ，1s r ns6 ，则对( 1 9 ) 右端的第一 项，利用g r e e n 公式和中矩形公式，可得 厶。( 磬舞+ 差筹) 如 = ；x 。( 扣 ) 2 + ( 呓) 2 ) d s + u ，再商( u i + ” ；) d s ( 11 0 ) + u 坛。( u - 1 u 3 + o o d s 对( 1 9 ) 右端的第二项，类似可得 厶h 呐( 舞舞+ 差等) 出 = “ ，蕊，( u u + u j t ) d s + u i & 。p 2 、“1 “5 + 3 u i ) d s + u 2 ( 埘+ 咖1 ) d s 当有限体解函数在q “上连续时，从而有“ = u ，利用( 1 1 0 ) 和 ( i 1 1 ) ，并注意到( ” ，。1 ) = 一( ”：，。! ) ，则( 1 9 ) 可近似为 ，a ：。o u d x = “：i 硫( ；”；+ ”；u ；) d s + “；嚣。( ” ” + ” ”；) d s + “i 上百、2 ( ” u + 掣j u i ) d s + 札 止嚣：( ”i 十u i 2 ) d s 利用( 1 7 ) 、( 1 8 ) 和( 1 1 2 ) ，即可得到r 的近似值完全类似地可 得到昭，m = 2 ，3 ，4 的近似值。 最后，综合昭，1 m 4 的近似值、( 1 3 ) 、( 1 ，4 ) 和( 1 5 ) ，则 可得到p 0 点对应的离散格式： 一i 。f i ：。l x z x f + - i 函陋岛。一u ，。一扣托+ 。一“扎) d f l = f ( p o ) ( 1 1 3 ) 其中， d f = 硪嚣龋，d l 为向量p o p ，, 与向量x f x 的内积， “= “( p 2 1 ) ，u p o = “( p 0 ) ，“* = 让( 置) ，u 置+ 。= u ( x l + 1 ) 格式( 1 1 3 ) 中的“蛳1sc 4 ，文【1 j 取为四个邻近单元中心点 的值的 平均，如u x 。= ( u 尸o + up i + 让r + u p 8 ) ( 见图1 ( b ) ) ，作了这 种近似的格式( 1 1 3 ) ，即为所谓的格式f 经过简单分析，可知： 格式f 对不均匀网格不满足相容性( 见文【4 ，1 4 】) ，且不能保持微分 方程的对称性( 即离散系统中的系数矩阵不对称) ，因而在应用中具 有局限性本文将设计四边形剖分下其它更好的对称有限体格式 1 0 第二章四边形剖分下的自共轭椭圆问题的对称有限体 格式 本章将讨论自共轭椭圆模型问题( 11 ) 的对称有限体格式建立及 其误差分析对任意给定的四边形剖分，通过引入适当的对偶剖分 和各剖分单元上的子控制体( 如图2 ( a ) 和( b ) 所示) ，以及不同的有 限元空间，我们建立了三种对称有限体格式 图2 ：( a ) x 。的对偶单元b x ，( b ) 单元黾的子控制体d f ，1 r 玉4 第一节对称有限体格式6 建立 首先引入相关的一些记号：区域n 的四边形剖分记为渺= e 。，1 墨 ，茎 州见图9 ( a ) 和( b ) ) ，其中m 为总单元数；x = 置= ( z j ，z ；) ，1 i n ) 为剖分q “的节点集合，其中为总节点数对任意剖分节 点，对应的对偶单元6 _ 如图2 ( a ) 所示( 也称为控制体) ；所有的 对偶单元 h 。，1 i n ) 构成的集合称为剖分n “的对偶剖分，记 为n ：另外，对模型问题( 1 1 ) ，我们作如下说明；在我们的讨论 中主要考虑了6 ( 。) = 0 的情形，当6 ( z ) 0 时，我们分别在注1 、 注2 、注3 中，给予了说明 1 对称有限体格式i 对问题( 1 1 ) ，下面我们将讨论四边形剖分下的第一种对称有限 体格式的建立为了引入适当的有限元空间，首先对任意四边形单 元e k q “( 见图3 ( a ) ) ，连接相对的两个节点，作两个辅助三角形单 元，即e k = t l + 霹对单元玩，我们引入如下两片线性有限元空 间 p 爱= p ( z ) ：p ( z ) p 。，z ，2 ：1 、2 。( z ) e ( 瓦) ) ， 利用_ p 掣可以定义n “上的有限元空间： z 1 = 。( z ) ： ( z ) p 崔，z 最，e k 啦口( z ) c ( 豆) ， 对任给节点_ 、- 。x ，引入如下插值基函数： 落氮 眨， l ( 玛) = 6 i j 1 i ，j 图3 ：( a ) e k 的两个辅助三角形单元雄和砰( b ) e k 的子控制体构成 为了建立有限体格式，对任给的四边形单元e k q “( 如图3 ( b ) 所示) ，我们引入如下记号： ( 1 ) 记【( z ) ，1s f5 4 为其四个节点上的插值基函数诣，1 f 4 在单元最上的限制，并称之为单元鼠的形状函数 ( 2 ) 记 五，l f 5 依次为线段x 七l 瓤。，1s l 4 和线段x “x k 。 的中点，这里n 。= 氟， ( 3 ) 记d ”d ：”= d 2 1 一广一2 2 ，d 5 1 ) ，d 5 1 = d j + 哦，依次为节点x b1 ? s 4 的控制体落在单元毋的子控制体区域，其中0 0 b 分别为 辅助三角形单元露和露的某一内点 ( 4 ) 记s f ”，1 fs4 为d 1 的面积，d ：，1s ：4 为连接x k , x n 。 的边的长度，u 为连接虬* 。的边的长度 下面我们讨论在这种有限元元空间l 下的对称有限体格式的 构造由有限体的基本知识知：有限体方程组可通过对每个单元b 的有限体单元刚度矩阵和有限体单元载荷向量进行组装而获得， 因而关键是讨论有限体单元刚度矩阵和有限体单元载荷向量的生 成。对任意四边形单元b ，分别记a f “( 1 ) = ( o 盛“u ) 捌和，既( ，) = ( 产“( 1 ) 。，为该单元的有限体单元刚度矩阵和单元载荷向量。 设“k 1 ( z ) 为有限体解函数，即它满足： 一如h 。n ( t ) 垫亭笋d s = 。f d z ，vb x q ：， ( 2 2 ) 其中骨为控制体的边界的单位外法向量。 注意到：对vz e k 有， u ( z ) = ：妻u ：j 1 咖! ：( z ) = 壹“：；1 州1 ( z ) ，z e 女 ( 2 3 ) = li = 1 其中u f = “k 1 ( z h ) 由( 2 2 ) 的左端和( 2 3 ) 知，四边形单元圾的有限体单元刚度矩 阵的一般元素可表示为： n 黔= 一矗，西地n ( z ) 警d s ， 篙三：2 豢三嚣眠 暇t ， n 缈= 一缸蠢m ：。( z ) 塑骞笋d s ， ” n 4 m = 一凡拟。丽o k e m aa ( z ) 帮d s 其中1 m 4 由( 2 2 ) 的右端知，四边形单元反的有限体单元载荷向量的一 般元素可表示为： 庐”= ，d ( ，) f d z ，1 f 4 ，( 2 5 ) 通常的有限体积方法，对( 2 4 ) 的右端的两个积分项利用中矩形 公式进行近似，从而获得有限体单元刚度矩阵。器n ，1sl ，m 曼4 但是由这种方法得到的单元刚度矩阵一般是不对称的，从而导致所 1 3 得到的离散系统不能保持原微分方程的对称性，这也导致我们不便 于采用目前求解对称线性系统的高效算法( 如p c g 方法) 进行快速 求解。 下面，我们将在四边形剖分下构造一种新的有限体格式，以克 服上述的缺陷受文 5 , 6 ，7 的启发，对( 24 ) ，我们采用如下近似方 法：首先，对任意单元既，将变系数n ( z ) 近似取为分片常数： 从而( 24 ) 变为 a ( x ) 圭a ( o k ，)z 1 = l ，2 “1 m “1 = 一n ( 。t ，) l n o k t 地弩泸d s e,itl-a(ok劲s黧c：-a(ok,)e “鼬- 帮如( 2 6 ) 嗾kq = 一d ( o 。) 瓦m 哮如 。1 n 4 肿m ) _ 一n ( o t 。) ，。菇地帮d s - a ( o t 。) l 如o k 2 慨帮d s 其中l m 曼4 。 接着，我们希望将( 2 6 ) 转换为变分形式的计算。我们仅考虑o e 。k , ( 1 ) 和n 魏1 的情形，其余类似 ( i ) n 器( 1 的转换 在子控制体d i ”中，我们考虑积分项一k 。一o k i 堡沪d s 的转 换注意到删( z ) = 0 ，z d - ，1 墨m14 ，并利用g r e e n 公式， 可得： 一f , t , l l 荭k l 胁警d s = 一如。：帮d s + 蕊，紫d s + 凡和。帮d s = 一如。硼( z ) d s + 梳。紫d s + 婶。紫d s = 梳。帮d s + 如。紫d s ( 2 7 ) 经简单计算后，有： 厶o ，f 1 ( z ) d s = j i u , 4 t ( 1 ，凡o 。，f 1 ( z ) d s = d i l 1 4 并注意到：筹沪k 。，驴k 。为常量，从而有： 慧攀羞呈攀裟兰篙主池s ，凡o “帮d s = j x o b 筹沪) d s ，1 sm 曼4 一 牡，l = l l j ( 28 ) 和 ”( z ) l x k 2 札。= 0 ，并利用g r e e n 公式，则( 2 7 ) 可变为： 一f m l地訾出= & 。瓦警：1 ( z ) d 阱& o 。紫) d s = 局2 f 1 ) ( z ) d s = 衄v 硼( z ) v v f l ) ( z ) 妇 同时，注意到胁v 硼( z ) v f ”( z ) d z = 0 。 若令 戡( “，u ) = n ( o 女) 啦v 札( t ) v ( z ) 妇+ a ( o k = ) 胁v u ( x ) v v ( z ) d x ， ( 2 i o ) 则( 2 9 ) 可等价地写为如下变分形式： 一 ，。一o h f 4 紫d s = o ) t n o ， u ) ，l m 4 ( 2 i i ) 由( 2 6 ) 和( 21 1 ) 有： n 瓮( 1 ) = 血饼( 螂) ，f 1 ) ，1 曼m 茎4 ( i i ) a 2 e m 。 1 的转换 在子控制体d 1 1 1 = 哦+ d ；中，我们考虑如下两个积分项一k 瓦帆掣沪d s 和一矗如瓦m 紫d s 的转换。 首先注意到： 嚣扛) = 0 ，z d i ，1 ms 4 ， 嚣) 0 ) = 0 ，z d ；，1 m 4 ， 1 2 。 f 2 ) 我们首先考虑第一项，利用g r e e n 公式和( 2 1 2 ) 有： 一：葡如紫d s = 一f o o l 警d s + 概。帮d s + 厶蕊紫d s = 一如嘏( 枷，十慨。紫如+ 妇。紫幽 = 慨。紫d s + 墙帮凼 1 5 经简单计算后，有： 氏3 。1 ( z ) d s = ；d ”凡o b 1 ( z ) 如= ；d ” 并注意到：旦芎妒k 。虬。，鱼甓笋k 。“，为常量，从而有： 鼍攀羞要攀糍烈曩4 j 凡o ，。帮d s = 厶$ 。帮艇1 ( z ) 如， 1sm 一- k 2 弩妒j ( z ) d s + 凡o h 帮1 ( z ) d s = 衄紫1 ( 。) d s = 垭v 删( z ) v 1 ( z ) d x ( 2 1 5 ) 类似地，我们可得： ， ，。画盯。业骞笋出= 啦v n 2 ) ( z ) v 1 ( z ) 如 ( 2 1 6 ) 结合( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 和( 2 6 ) 的第二式，我们有： o 暴”= 。( 仇) 向v 譬( z ) v ”( z ) 如+ a ( o 女：) 也v 嚼( z ) v 1 1 ( x ) d x = 。a e ( u 。、t 嗍) ，1 ) ，1 m 4 ( 2 1 7 ) 类似于情形( i ) 和( i i ) ，对于f _ 3 ，4 ，我们可得n 魏1 和。飘，1 m 4 的变分形式这样，对任意四边形单元取，1 k m ，我们 就得到了相应的有限体单元刚度矩阵和单元载荷向量： 由( 2 1 8 ) 知，上述有限体单元刚度矩阵是对称的 1 6 埯 一 m v i t l 一 一 研， 哪肚 h - 二 m，蠼如 = = ” ” 础 注1 ： ( i ) 当6 ( z ) 0 时，对厶( i ) b ( x ) u ( x ) d x ，1 l 4 采用如下数值积分 公式： 厶；- ，b ( x ) u ( x ) d x 圭b ( x k ，) 札( ，) 科”，1 兰fs 4 并将它们分别贡献至单元刚度矩阵中的相应的对角元素位置，易知 这样处理后，并不影响格式的对称性 ( i i ) 实际计算中，对，d f - ) f d x ，1s fs 4 采用如下数值积分公式： l ! - ) ，d z 圭f ( x k 。) s f ，1s ls4 对任意的节点x 。x ，记该节点基函数的支集为：= s u p p 武”， 并引入如下指标记号： ( 1 ) 。= j ：x j x 且玛砭u ， ( 2 ) = 玩：玩- - 峨0 ) ) 对所有单元的单元刚度矩阵和单元载荷向量进行组装，并经d i r i c h l e t 边界处理，可得到如下有限体离散格式： 。黜h = 1 si ， ( 2 1 9 ) 其中n g = 。en 盘n ，”= 俨，而元素口篇n 的下标? ，m 。 凤鲰凤e 满足： x k l = x i ，x k 。= 玛，1si ，m 4 并记( 2 1 9 ) 的矩阵表示式为： a “，( 1 ) 珏“= ，“1 ( 1 ) t ( 2 2 0 ) 我们称a “1 为有限体总刚度矩阵由有限体单元刚度矩阵的对称 性和( 2 1 8 ) ( 单元刚度矩阵对总刚度矩阵是对称贡献的) ，可知有限体 方程组( 2 2 0 ) 的总刚度矩阵小，( t ) 是对称的，从而有如下结论： 命题2 1 离散格式( 2 2 0 ) 是一种对称有限体格式 这样，我们得到了问题( 1 1 ) 的一种对称有限体格式，并称之为 格式i 1 7 2 对称有限体格式i i 下面我们将对问题( 1 1 ) ，讨论四边形剖分下的另一种对称有限 体格式的建立。对给定的四边形剖分q “，记o k ，1 ksm 为四边 形剖分单元风的某一内点，借助于任意给定一组o 。= ( z ，茁 ) ，1 ks ，我们将引入适当的有限元空间设e k 渺，1 k sm 为任 意四边形剖分单元，连接o t 与取的四个顶点x 1 f 4 ，作四 个辅助三角形单元，即e t = 妻砭( 见图4 ) ，并引入如下四片线性元 l = l 空间： p 兽= p ( z ) ：p ( 。) _ p ，z 砭，1sl 4 ，p ( z ) c r ( 瓦) ) 图4 ：e k 豹四个辅助三角形单元 对任意o k e k ，1 k m ，我们引入插值基函数饥( z ) p 罂，引；e k ，它满足如下的插值条件： j 饥( o k ) = 1 ， 【饥( 虬。) = 0 ，1 f 4 ， 对任意剖分节点x i ，1 i 玉n ，我们引入插值基函数也( z ) ， 它满足： ( 1 ) 西；( z ) p 尝，z e k ，1 k 墨m ，且曲；( z ) e ( q ) ， ( 2 ) 欢( x j ) = 如，1 j n ， ( 3 ) 咖( 仇) = 0 ，1s ksm 1 8 利用 a ( 。) ) 墨。和 仇( z ) 丝；，在四边形剖分q n 下，对任意剖分 节点五，1 i n ，可定义如下节点插值基函数： 咖：2 ( z ) 锄( 圹糕姒乩z 取，1 曼七1 ( 2 2 1 ) 其中 n 壤( “， ) = a ( o k 。) 矗! v u ( z ) v ( z ) d z ( 2 2 2 ) 由( 22 1 ) 易知西宁1 ( z ) ，1 茎i n 满足如下性质： ( 1 ) ( z ) p 兽，z e k ，且( z ) g ( n ) ， ( 2 ) 咖：纠( 码) = 6 0 ，1 墨j 茎n ， ( 3 ) 咖：2 1 【o t ) = 一；曼芝等，1 sk 曼a f 对任意剖分节点x ：，1 i n ，记q 。= s u p pd ”，i “1 f 4 为与x 相邻的四边形单元的编号( 如图5 所示) 得 图5 ：碰2 的支集q 在币1 2 的支集q ；内，有如下正交关系： 弓疆墅2 1 。蔑( 咖l 孙，妒；。) = 0 ，z 晟。，1 f 4 ，1 is ( 2 2 3 ) 证明：将( 2 2 1 ) 直接代入n 最( 咖5 2 ) 砒。) ，1 fs4 ，1 t ，可 n 鼠( 毋l ，妒“) = 。鼠( 咖t 一；黼班。，讥。、 = n 竣c 也，妒“) 一i 多 妾等。甚( 妒小蛾。) = 0 1 9 利用 咖1 2 ) ( z ) ) 墨。，对任意四边形剖分q “，引入如下有限元空间 略2 = s p a n & ：”，1si 茎v ) 引理2 2p ，略扪。 ( 22 4 ) 证明：要证( 2 2 5 ) 成立，只须证：对任意四边形单元e e ，1s ks ，( 如图4 所示) ，有： p l 璀”， 其中 ，0 2 = s p a n 毋譬( 。) ，咖兽( z ) ，咖器( z ) ， k 2 4 ( z ) ) 。 由有限元基本知识知： p l 垦k ， ( 2 2 5 ) 其中k = s p a n 饥，譬( 。) ，曲器( z ) ，曲兽( 茁) ，曲管( z ) ) 由( 22 1 ) 知，v k 可在内积n 风( 。) 下进行如下正交分解 k = 2 1 0 帆， ( 2 2 6 ) 其中i = s p a n 妒k ) 。 由( 22 3 ) 和( 2 2 4 ) 知，要证p l 碟引，只须证 即 n 缨( 1 ，呶( z ) ) = 0 ，。锑扛t ，仇扛) ) = 0 ，。嚣( 。z ，讥扛) ) = 0 ( 2 2 8 ) 下面，我们证明( 2 , 2 8 ) 由。锑( 。) 的定义( 2 2 2 ) ，显然有：n 锑( 1 ，机( z ) ) = 0 对任意给定的k ，x h = ( 茁：，z 扎lsf 4 ，0 l = ( 茁 ，z 1 ) ，在 仇( 。) 的支集u 女内( 如图4 所示) ，对，1sf 4 ，我们有： 讥( z 。，z 。) = i 乏可( ( z z 挈”一z ：z ：2 + 1 ) + ( z ：一z ：。+ 1 ) 。t + ( z ：。”一z ：) z z ) 其中l z i 为列的面积经简单计算，我们有t 。爱( 钆饥( “z ：) ) = 轰见替出如z = 轰( z 争一。p ) = o 类似地，我们可得到：o 瞿( 仇( x 2 ) ) = 0 综合( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) ，可得： p l i 叠，v e k q “，1 七m 从而，对任意四边形剖分q n ，有：p 。以” _ 为了建立有限体格式，对任给的四边形单元e k n 一( 如图6 所 示) ，我们引入如下记号： ( 1 ) f ( z ) ，1sf 5 分别为其四个节点上的插值基函数氏，1 冬 f 4 和仇( z ) 在单元臣上的限制 ( 2 ) 记l 【都( z ) ，i 墨fs4 为其四个节点上的插值基函数币2 ，l f 曼4 在单元既上的限制，即单元鼠的形状函数 ( 3 ) 3 记蛆，1s ? s4 依次为线段x 乜x n 。，1 z 4 的中点，这里 虬；= ：，并记五，1 f 4 依次为线段x k ，o 女，1 fs4 的中点 ( 4 ) 记d 2 ) = d + d fl f 4 依次为节点虬，的控制体落在单 元e * 的子控制体区域，其中o 骱1 fs4 分别四个辅助三角形单 元n ，的一内点 ( 5 ) 记研孙，1sf 5 分别为d 2 = 研+ 研，d 5 的面积，d ；，1 f s4 分别为连接x h 托。的边的长度，d f ，1 ls4 分别为线段 x h o k 的长度 图6 ：四边形单元段的子控制体的构成 下面我们讨论在这种有限元元空间以2 下的对称有限体格式的 构造首先讨论有限体单元刚度矩阵：a e k ，。) ；( 口盘船) 州和有限体 单元载荷向量：i e , ，( 2 ) = ( 铲t ( 2 ) 4 x l 的生成 2 1 设u 岫( z ) 略2 为有限体解函数，即它满足； 一。( z ) 等笋出= k 。，如，vb x n ：， ( 2 2 9 ) 其中讨为控制体的边界的单位外法向量 注意到：对vz e k 有， “ ( z ) = ：l 圭= lu 脚跏) = 舌4 “t h f 2 州2 协z e k ( 2 3 0 ) 其中：j 2 = u h , 2 ( z 乜) 由( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 知，四边形单元& 的有限体单元刚度矩阵和 单元载荷向是的一般元素可表示为： n h e t , 2 ) _ 一( 梳a 。a ( z ) 墅荔笋d s + l 胁一t - 1m i 。n ( z ) 塑餐笋d s ) 矿删= 坛。，f d z ，1s l 茎4 这里m o = 尬，0 b = o k 。 1 2 m 4 ( 2 3 1 ) ( 23 2 ) 对( 2 3 1 ) 的右端，我们采用如下近似方法，首先，对任意单元 e * ，将变系数o ( z ) 近似取为分片常数： 从而( 2 3 1 ) 变为 a ( x ) 圭a ( o k 。)z ，1 fs 4 口焉e k 2 ) _ 一n ( 。向) 慨z l 紫d s - a ( o 址。) 屹仉蕊一。警d s ，1 2 ，m s4 ( 2 3 3 ) 接着，我们希望将一西磊紫如和一厶。c 一。紫d s 转换为 变分形式 下面仅以2 = 1 的情形为例推导该转换过程，其余类似 首先，我们在子控制体d 中考虑积分项一k 磊g 。紫如注 意到： 磐) 扛) = 0 ，z d ，1 m 4 ， 并利用g r e e n 公式，可得 梳。紫d s _ 一厶d 帮d s + 如蕊。帮蚺卸。紫d s ：一，d 2 帐( z ) d s + 梳，紫d s + 厶蕊紫如 2 梳，訾d s + 厶飘紫d s ( 嬲4 ) 经简单计算后，有 梳，n x ( z ) d s = 拶，厶$ b n l ( z ) d s 2 料j _ 并注意到：! 紫i 。，旦砦笋k 。为常量，从而有： 毓。帮d s = 梳。紫v t ( z ) d s ，1 sms t f 2 3 5 ) 氏石n 紫d s = & o 。紫( z ) d s ， 1sms4 结合( 2 3 5 ) 和n 。( 。) k ：。= 0 ，并利用g r e e n 公式，贝l j ( 2 - 3 4 ) 可变为： 一，瓦。雩驴d z = l 。癣。：哮笋l ( z ) 如+ 蜘。帮l ( ) d s = 蛔帮l ( z ) d s 2 魄v 聊( z ) v 州妇 ( 2 - 3 6 ) 类似地，在子控制体d ；中，有： 一厶。瓤紫d s = 抚v 嘏扛) v n l ( z ) 如 ( 2 w ) 结合( 2 3 6 ) 、( 2 z t ) 和( 2 3 3 ) 有： 一n ) o 。瓦。帮d s 一。( o h ) l 。讪紫d s = n ( o 。) 向v n 2 ) ( z ) w v t ( z ) 出+ 。( o h ) 趣v 嘴v n i ( z ) 如 ( 2 3 8 ) = 量4 。( ) 啦v 糍1 ( 。) v 1 ( z ) d z 这里利用了如v n 鬻) ( x ) v n l ( z ) d x = 0 和垃v 嘏( x ) v n l ( x ) d x = o 从而( 2 3 8 ) 可等价地写为如下变分形式： 一n ( o * ，) 。石i 。，型骞笋d s - a ( o t 。) 易，讯型骞笋d s = 。蔑( 麟) ，。) ，1 曼m 4 ( 2 3 9 ) 其中。魂( ) 由(