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摘要 摘要 题目：时滞不确定系统的鲁棒无源控制 作者：李彩娜 导师：崔宝同 专业：检测技术与自动化装置 在各类工业系统中，时滞现象极其普遍。时滞的存在使得系统的分析和综合变得十 分复杂和困难。同时时滞的存在往往也是系统不稳定和系统性能变差的根源。另外，在 工业控制中，为了进行有效的控制系统设计，一个复杂的动态系统必须用一个相对简单 的模型来描述。实际系统和简化模型之间的差距称为不确定性。本文采用无源性理论研 究系统的稳定性。无源性是系统耗散性的一个特例。耗散性的实质内容就是存在一个非 负的能量函数，使得系统能量损耗总是小于能量的供给率。无源性正是供给率为输入输 出信号之乘积形式的特例。对于给定系统，构造李雅普诺夫函数的过程就是无源化的过 程。本文研究了一类不确定时滞系统的无源性，给出了其静态状态反馈控制或动态状态 反馈控制存在的充分条件。 本文基于l y a p u n o v 稳定性理论，在时域内以不确定时滞系统为研究对象，主要做了 以下几方面的研究工作： ( 1 ) 研究了一类不确定线性变时滞系统的鲁棒无源控制问题。利用矩阵变换方法给出 动态控制器和静态控制器的关系。采用黎卡提不等式的方法设计状态反馈控制器，使得 闭环系统是鲁棒稳定和无源的。 ( 2 ) 研究了一类含非线性扰动的线性系统的时滞依赖无源控制问题。利用线性矩阵不 等式方法，设计了保证系统闭环稳定的状态反馈控制器，给出了依赖于时滞导数最大值 和最小值的控制器存在的充分条件。 ( 3 ) 研究了一类不确定中立型常时滞系统的鲁棒无源控制问题。给出了系统稳定和严 格无源的充分条件。利用线性矩阵不等式方法，得到了系统状态反馈控制器使得闭环系 统鲁棒稳定和严格无源。 ( 4 ) 分析了基于观测器的不确定中立型时滞系统的鲁棒无源控制问题。设计了一个线 性状态观测器，使得对于所有可容许的参数不确定和时间滞后，观测过程是鲁棒稳定和 无源的。利用线性矩阵不等式方法，给出了观测器存在的充分条件。 ( 5 ) 研究了一类时滞广义线性系统的鲁棒无源控制问题。利用线性矩阵不等式方法， 给出了静态状态反馈无源控制器和动态状态反馈无源控制器存在的充分条件，并构造了 相应控制器。 t 江南大学硕士学位论文 最后，总结了全文并提出了未来的工作方向。 关键词：稳定性；中立型系统；广义系统；时滞系统；观测器；无源控制；线性矩阵不 等式；李亚普诺夫函数 a b s t r a e t t 1 1 e m e ： a u t h o r ： s u p e r v i s o r ： s p e c i a l t y ： a b s t r a c t r o b u s tp a s s i v ec o n t r o lo f u n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s l i c a i n a c u ib a o t o n g c h e c k i n gt e c h n o l o g ya n da u t o m a t i o nd e v i c e i nm a n yk i n d so fi n d u s t r i a l ss y s t e m s t h ep h e n o m e n o no fd e l a yi sv e r yp r e v a l e n t t h e a n a l y s e sa n ds y n t h e s i so fs y s t e mb e c o m e sm o r ec o m p l i c a t e da n dd i f f e r e n tb e c a u s eo ft h e e x i s t e n c eo fd e l a y a tt h es a m et i m e ，t h ed e l a yi sa l s o t h er e s o u r c eo fi n s t a b i l i t ya n d d e t e r i o r a t i o no fs y s t e mp e r f o r m a n c e o t h e r w i s e ，i no r d e rt om a k ee f f i c i e n tc o n t r o l ，ac o m p l e x d y n a m i cs y s t e mm u s tb ed e s c r i b e db yr e l a t i v e l ys i m p l em o d e li np r a c t i c a li n d u s t r i a lc o n t r 0 1 t h e d i s t a n c eb e t w e e np r a c t i c a ls y s t e ma n ds i m p l i f i c a t i o nm o d e li sc a l l e du n c e r t a i n t y b a s e do n p a s s i v et h e o r y , t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo fs t a b i l i t yo fs y s t e m t h ep a s s i v i t yi sas p e c i a l e x a m p l eo fd i s s i p a t i v es y s t e m s t h ee s s e n t i a lc o n t e n to fd i s s i p a t i v es y s t e mi se x i s t i n ga n o n n e g a t i v ee n e r g yf u n c t i o n ，w h i c hm a k e st h ee n e r g yc o n s u m p t i o no f t h es y s t e mi sl e s st h a nt h e e n e r g yp r o v i s i o n p a s s i v i t yi sj u s tas p e c i a le x a m p l ew h i c h t h es u p p l yr a t ei sr e p r e s e n t e db yt h e p r o d u c to fs y s t e mi n p u ta n do u t p u t f o rg i v e ns y s t e m , t h ep r o c e s so fg i v i n gl y a p u n o vf u n c t i o n i sa l s ot h ep r o c e s so f p a s s i v i t y t h i sp a p e rf o c u s e so nt h ep a s s i v i t yo f ac l a s so f u n c e r t a i ns y s t e m w i mt i m e - d e l a ya n dg i v e st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h i c hg u a r a n t e e st h ee x i s t e n c eo fs t a t i cs t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ro rd y n a m i cs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , f o rt h eu n c e r t a i nt i m e - d e l a y s y s t e m s ，t h em a j o r c o n t r i b u t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ep a s s i v ec o n t r o lo fu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e mw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a yi ns t a t e si s c o n s i d e r e d n er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd y n a m i cc o n t r o l l e ra n ds t a t i cc o n t r o l l e ri sg i v e nb ym a t r i x t r a n s l a t i o n u s i n gr i c c a t ii n e q u a l i t y , d e s i g n i n gas t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rw h i c hg u a r a n t e e st h e c l o s e dl o o ps y s t e mi sr o b u s ts t a b l ea n dp a s s i v e ( 2 ) d e l a y d e p e n d e n tp a s s i v ec o n t r o lo fl i n e a rs y s t e m sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n i s c o n s i d e r e d d e s i g n i n gas t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rw h i c hg u a r a n t e e st h ec l o s e dl o o ps y s t e mi s r o b u s ts t a b l eb yu s i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u l i t y 1 1 1 es u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r e s e n t e df o rt h e e x i s t e n c eo fc o n t r o l l e rw h i c hd e p e n d so nt h em a x i m u ma n dm i n i m u mv a l u eo fd e r i v a t i o no f t i m e d e l a y ( 3 ) r o b u s tp a s s i v ec o n t r o lo f u n c e r t a i nl i n e a rn e u t r a ls y s t e mw i t ht i m e d e l a yi sc o n s i d e r e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fs y s t e ms t a b i l i t ya n dp a s s i v i t ya r ep r e s e n t e d i nt e r mo fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) ，t h ep a s s i v es t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e r i v e d ，w h i c hg u a r a n t e e st h ec l o s e d l o o ps y s t e mi sr o b u s ts t a b l ea n ds t r i c tp a s s i v i t y ( 4 ) o b s e r v e r - b a s e dp a s s i v ec o n t r o lo fu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m s 谢t ht i m e - d e l a yi s c o n s i d e r e d d e s i g n i n gal i n e a rs t a t eo b s e r v e rf o ra l la d m i s s i b l ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sa n dt i m e d e l a y , t h eo b s e r v a t i o np r o c e s sr e m a i n sr o b u s t l ys t a b l ea n dp a s s i v e t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ee x i s t e n c eo f o b s e r v e ri sd e r i v e db ym e a n so f l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( 5 ) o u t p u tf e e d b a c kp a s s i v ec o n t r o lo fl i n e a rs i n g u l a rs y s t e mw i t ht i m e d e l a yi ns t a t e si s i i i 江南大学硕士学位论文 c o n s i d e r e d i nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ee x i s t e n c eo fs t a t i c s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dd y n a m i cs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra r ep r e s e n t e d a tt h es a m et i m e ， t h ee x p l i c i te x p r e s s i o no f c o n t r o l l e ri sd e r i v e d f i n a l l y , s u n u n e d s et h ew h o l ep a p e r a n dp o i n to u tt h ef u r t h e rw o r k k e y w o r d s ：s t a b i l i t y ；n e u t r a ls y s t e m s ；s i n g u l a rs y s t e m s ；t i m e - d e l a ys y s t e m s ；o b s e r v e r ；p a s s i v e c o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ；l y a p u n o vf u n c t i o n 1 v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：垄壁血 日期：劲年弓月倜 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：塑鱼生导师签名： 日期：7 7 年3 月j ；日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题的研究背景及意义 耗散性理论 9 1 在2 0 世纪7 0 年代提出。h o o 控制和无源控制都是耗散性控制的特例。 当选择丫2 l l c o l l i l z l l 为供给率时，就是矿控制。它是一种干扰抑制的思想，在保证系统稳定 的前提下，使得干扰对系统输出的影响抑制到所要求的最小程度。当取供给率为输入输出 的乘积时，就成为无源控制问题，体现了系统在有界输入条件下能量的衰减特性。无源 性理论在许多工程问题中，如电力系统和热动力系统等，都得到了广泛的应用。 耗散性理论在系统稳定性研究中起着重要的作用。其本质含义是存在一个非负的能 量函数( 即存储函数) ，使得系统的能量损耗总小于能量的供给率i l ”。无源性则是耗散性 的一个重要方面，它将系统输入输出的乘积作为能量的供给率，体现了系统在有界输入 条件下能量的衰减特性。事实上，基于l y a p u n o v 函数的稳定性理论，也可以从无源性的 角度加以解释。可以说，无源性是稳定性的一种更高层次的抽象。工程中常用的另一个 特例是供给率由输入到输出信号的范数之差给出的情况，如果系统对于这类供给率是耗 散的，那么该系统由输入到输出就满足l 2 增益约束条件。因此，许多与l 2 增益约束有关的 控制问题，如k 综合问题、h o o 控制以及干扰近似解耦或l 2 干扰抑制等，都可以归结为使 系统成为耗散系统的问题。这类设计问题都需要解适当的h a m i l t o nj a c o b ii s s a e s ( h j i ) 偏微 分不等式，而该不等式目前尚无有效的解析求解方法。如果我们将上述构造存储函数的 方法加以推广，使其满足所对应的耗散不等式，就有可能不必通过求解偏微分不等式得 到鲁棒l 2 增益控制器。 1 1 1 不确定问题 在工业控制中，为了进行有效的控制系统设计，一个复杂的动态系统必须用一个相 对简单的模型束描述。然后根据系统的性能要求，通过对被控对象的数学模型进行分析 来设计系统的控制律，进而将所得到的控制律应用于被控对象来保证闭环系统具有所期 望的性能。但在实际工业控制中，各种工业生产过程、生产设备以及其它众多的被控对 象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述【3 9 】。有时即使能获得被控对象的精 确数学模型，但由于过于复杂，使得难以对其进行有效的控制性能分析和综合，因此必 须进行适当的简化。这样简化模型和实际对象之间的差距称为模型不确定性【。 除了在模型简化中可能带来的不确定性外，对系统某些特性或环节缺乏足够的了解 ( 即难以建模的部分) ，由于系统环境的变化、元器件的老化、某些物理参数的漂移或随 时间的未知变化等因素所带来的系统行为的变化也可能导致模型不确定性的产生。模型 不确定性主要有两类： 夺动态不确定性：在线性模型中忽略的动态特性，由于慢时间特性的忽略、输入中 的非线性等因素导致的动态行为的变化； 1 江南大学硕士学位论文 夺参数不确定性：一些难于精确刻画的物理参数，或者在运行过程中发生变化但难 以刻画其变化规律的参数。例如，机械系统中的阻尼系数和弹性系数、飞行装置 中的空气动力学系数、电路中电容和电感等。 另外，外部不确定因素例如外部扰动、测量噪声等因素也可导致不确定性的产生。 1 1 2 时滞问题 在各类工业系统中，时滞现象及其普遍，如长管道进料或皮带传递、机缓慢的过程 或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象。一般地，一个系统中原料或信息的传输也往往 导致时滞现象的产生。因此，通信系统、传输系统、化工过程系统、冶金过程系统、环 境系统、电力系统等都是典型的时滞系统 6 1 。时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加 复杂和困难，同时时滞的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。 在现有的时滞系统稳定性分析中，根据是否依赖系统中时滞的大小，可以将稳定性 条件分为时滞独立和时滞依赖两类【i 】。 夺时滞独立的稳定性条件：在该条件下，对所有的时滞d 0 ，系统是渐近稳定 的。由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此，适合于处理具有不确 定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题。 时滞依赖的稳定性条件：在该条件下，对滞后时间d 的某些值，系统是稳定的； 对滞后时间d 的另外一些值，系统则是不稳定的。因此，系统的稳定性依赖于滞 后时间。 一般来说，时滞独立的稳定性条件是比较保守的9 1 。因为，若系统满足时滞独立的 稳定性条件，则对任意大的滞后时间，系统都是稳定的。显然，这样的要求是很强的， 特别是对小时滞系统，这样的条件是很保守的。但是，时滞独立的稳定性条件也有其优 点：首先，这样的条件往往更为简单；其次，它可以允许系统的时滞是不确定或未知 的，从而无须知道系统时滞的精确信息。 把不确定性与时滞结合在一起，研究不确定时滞系统的各种问题是当今研究的热 点，因为不确定时滞系统更能真实的描述系统的特性。利用无源性理论分析和综合不确 定线性时滞已得到众多学者的研究。图1 一l 给出了系统无源性的分析对整个闭环系统稳 定性分析的作用。 其中g 表示时滞线性系统，f 表示环中的不确定性。如果对系统g ，能够设计反馈 控制律甜( ，) = 厂( x ( f ) ) ，使得相应的闭环系统内部稳定且具有严格无源性，则整个反馈环是 稳定的。由此可以看出，当系统是一个具有复杂不确定性的时滞系统，其不确定部分若 是无源的，它的稳定性分析可以转化为设计线性时滞系统的无源化控制问题，这样便大 大简化了原复杂系统的稳定性分析和设计。 第l 章绪论 图1 - 1 无源反馈控制环的描述 1 2 无源性理论研究现状 耗散性理论【2 8 捌由w i l l e m s 于1 9 7 2 年提出，其后成为电路系统及控制理论中十分重 要的概念。h 。控制和无源控制都是耗散性控制的特例。当我们选择，2 m - i i z i l 2 ( w 为干 扰输入，z 为控制输出) 为供给率时，就是h o o 控制。它是一种干扰抑制的思想，在保证 系统稳定的前提下，使干扰对系统输出的影响抑制到所要求的最小程度2 2 埘2 6 ，4 1 4 3 , 4 4 1 。当 选择输入和输出的乘积为供给率时，就是无源控制【3 0 】。无源性理论在许多工程问题中， 如电路系统和热动力系统等，都有广泛的应用。事实上，耗散系统理论是无源理论、卡 尔曼一雅柯鲍维奇引理( k a l m a n y a c u b o v i t c h p o p o v ) 以及圆判据定理的广义化。 1 2 1 不确定线性时滞系统的无源控制研究现状 线性时滞系统无源控制研究引起许多学者的关注【4 击，9 ，1 9 1 ，3 礅 3 5 ，3 6 】则分析了不确定线 性系统的无源分析和综合问题，得到很多主要研究成果。文献 3 2 ，3 7 研究了不确定线性时 滞系统的正则控制。不确定线性时滞系统的时滞无源控制的综合问题也引起许多学者的 兴趣| 3 4 , 3 9 。m a h m o u d & z r i b i 【4 0 1 ( 2 0 0 2 ) 采用线性矩阵不等式的方法研究了一类不确定多时 滞线性系统 4 量o ) = 以x ( f ) + ：易z ( f r ) + 日 ( f ) 一l z ( f ) = q x ( f ) + d 0 ，( f ) 的无源控制合成问题。给出了系统严格无源的充分条件。依据线性矩阵不等式和动态反 馈设计方法，设计了系统静态和动态输出反馈控制器。为了克服传统处理不确定项的缺 点，提出了p a r a m e t e r i z e d 的方法，通过求解和原系统关联的不含不确定项的系统的稳 定性问题，间接证明不确定系统的稳定性问题。得出通过口p a r a m e t e r i z e d 方法设计的控 制器，只要能保证不含不确定项系统稳定和严格无源( s p ) ，就能保证原系统稳定和无源， 大大降低了直接求解含不确定项的线性多时滞问题的无源控制合成问题。 江南大学硕士学位论文 m a h m o u d & i s m a i l1 4 2 1 ( 2 0 0 4 ) 研究了一类线性时滞系统 膏( f ) = a o x ( t ) + a a x ( t - r ) + b o u ( t ) + r w ( t ) ， x ( s ) = 七( s ) ，s 【一f ，o 】， j ，( r ) = c o x ( t ) + e o x ( t f ) + o o u ( t ) ， z o ) = g o x ( t ) + g d x ( t r ) + f k w ( t ) 的无源性分析和无源合成问题。提出了一种新的状态转换方法来分析时滞依赖系统。通 过研究表明时滞依赖系统的无源性条件可以映射为线性矩阵不等式形式，并且对于状态 反馈无源控制器，与一般的实时或滞后状态反馈不同。文献还给出了时滞依赖输出反馈 控制器。 1 2 2 非线性系统的无源控制研究现状 非线性系统的无源控制，一直是一个很有挑战性的课题，虽然许多文献 5 0 5 8 1 已给 出很多研究成果，但远不能认为已圆满解决。冯纯伯 2 3 1 提出了符号跟随系统( s f s ) 的概 念，在一定场合下，s f s 是实现严格无源化的一种有效方法。s f s 控制方案适用于相当宽 的一类不确定系统，且对系统的先验条件要求有限。 关新平、华长春【7 1 ( 2 0 0 1 ) 等在已有结果基础上研究一类带有不确定性和干扰的非线性 系统 量= ，( x ) + ，( x ) + g 。( x ) w + g ：( x ) ( g ：( x ) + “) ， j ，= 厅( x ) + | | ( x ) w 的鲁棒无源化控制问题，分别在h j i 不等式和一定的匹配条件下，构造了状态反馈控制 器，使得闭环系统内部渐近稳定且外部无源。 1 2 3 离散系统的无源控制研究现状 离散系统的鲁棒无源性控制也得到了较大的发展。关新平8 l 考虑了一类时变不确定离 散系统的鲁棒无源控制问题，提出了可将时滞不确定系统的无源控制问题转化为分析一 类非时滞离散确定系统的正实性，基于l m i 研究了采用静态状态反馈和动态输出反馈情 形下的鲁棒无源问题。刘飞【2 川等研究了时变未知但范数有界不确定离散时滞系统的鲁棒 无源控制问题。基于l y a p u n o v 稳定性理论，用s - 方法( s - p r o c e d u r e ) 给出鲁棒无记忆状态反 馈控制器的存在条件，引入无源化的损耗( d i s s i p a t i o n ) 指标，提出相应的具有指定损耗指 标的无源控制器设计方法，使得对于所有容许的不确定性闭环系统内部稳定且严格无源。 c u i & h u a 6 1 1 ( 2 0 0 6 ) 依据线性矩阵不等式进一步研究了不确定时变滞后离散系统 x ( k + 1 ) = 出( i ) + 以x ( | i 一d ( | i ) ) + d l w ( 七) + b “( 七) ， y ( k ) = c j x ( 七) + c l d x ( k d ( 七) ) + d 2 w ( 七) ， z ( 七) = c e x ( k ) + c 2 d x ( k d ( | ) ) + 三b w ( _ i ) ， x ( 七) = 妒( 七) ，k = 一d 0 ，一谚+ l ，0 的无源控制问题，设计了一个状态反馈控制器和一个动态反馈控制器使得闭环系统对所 ，4 第1 章绪论 有可容许的不确定性是无源的，以线性矩阵不等式的形式给出了解决这个问题的充分条 件，且控制器依赖于时滞大小。通过一定的矩阵变换，将设计问题转化为线性矩阵不等 式的可解性问题，给出了状态反馈控制器和输出反馈控制器的确切表达形式。 1 2 4 基于观测器的线性系统的无源控制研究现状 c u i & h u a 6 2 1 ( 2 0 0 7 ) 研究一类带有状态时滞和不确定性的线性系统的鲁棒无源观测器 设计问题。 量o ) = ( 一+ 4 ) 工( ，) + ( 以+ a a a ) x ( t - d ) + d j w ( t ) ， y ( t ) = ( c l + c 1 ) x ( t ) + d 2 w ( t ) ， z ( r ) = ( c 2 + c 2 ) z ( f ) + d 3 以，) ， z o ) = t p ( t ) ，v t i - d ，o i 设计了一个独立时滞的线性状态观测器，使得对于可容许的不确定性观测过程是鲁棒稳 定和无源的。采用了一种新的、简单的代数参数化方法，得出了一类不确定时滞系统观 测器存在的条件和期望的以自由参数形式给出的鲁棒无源观测器。且通过两个r i c c a t 矩 阵方程的形式给出了不确定时滞系统稳定的充分条件。利用两个二次矩阵不等式给出系 统观测器存在的充分条件，并构造出具体的观测器。 1 2 5 线性中立系统的无源控制研究现状 中立系统在理论上和实践中都有重要性，许多国内外学者致力于中立型系统的稳定性 研究口5 2 7 , 6 3 - 7 4 】。f r i d m a n 和s h a k e d 3 1 1 ( 2 0 0 2 ) 研究了一类连续线性时变中立系统的无源问 题。利用等价模型转换方法，降低了系统保守性界限。 量o ) 一晟( f g ) = 互o ) + 五x o 一栩) + 互x ( f 一吃) + 旦w o ) + 岛“( f ) ， z o ) = i ：x ( f ) + d 1 2 ”( ，) + d w ( t ) 利用模型转换和l y a p u n o v k r a s v a k i i 函数方法给出了时滞依赖稳定性条件。依据线性矩阵 不等式的解构造了具体的时滞依赖静态状态反馈控制器。 目前关于不确定时滞中立型系统的无源控制研究很少，本文在第四章、第五章利用 无源性理论分析了中立性系统。 1 2 6 不确定线性时滞广义系统的无源控制研究现状 许多学者也把无源性应用到广义系统中去 1 0 。1 8 ，4 7 1 ，董心壮、张庆灵【切( 2 0 0 4 ) 利用线 性矩阵不等式方法，研究了除e 外其余系数矩阵均含有范数有界时变不确定性的广义系 统的鲁棒无源控制器设计问题。广义系统模型如下 e ( f ) = ( 4 + 4 ( f ) ) x ( ，) + ( 骂+ a b l ( t ) ) w ( t ) + ( b 2 + b ( f ) ) “( f ) ， z o ) = ( c l + c j ( f ) ) x o ) + ( d l + a d l o ) ) w ( f ) + ( d 2 + d 2 ( f ) ) “o ) ， y o ) = ( c ：+ c 2 ( r ) ) x o ) 江南大学硕士学位论文 运用线性矩阵不等式方法，先给出自治系统广义二次稳定和无源的充分条件，然后 给出状态反馈鲁棒无源控制器的存在条件并构造了相应的控制器，接着又得到系统动态 输出反馈鲁棒无源控制器存在的充分条件，并构造动态控制器。 此外，董心壮等还利用无源性理论分析了线性广义系统的输出反馈无源控制，滞后 广义系统的无源控制，不确定离散广义系统的无源控制，非线性广义系统的无源控制 等。 1 3 本文所做工作 本文的研究主题是不确定时滞线性系统的鲁棒无源控制。基于无源性理论和 l y a p u n o v 稳定性理论，采用l m i 和矩阵分解、变换等方法，依据目前的研究成果和资 料，对某些方面做了相应的推广。并进一步把无源性应用到中立系统和广义系统中去， 分析了一类不确定中立型时滞系统无源性问题，并且设计了系统的无源控制器。并且还 分析了一类时滞广义系统的无源性，设计系统的静态和动态无源反馈控制器。 全文共分6 章，论文的内容安排如下： 第一章介绍了耗散系统、不确定时滞问题、正实系统和无源系统的起源，无源性的 主要研究领域，研究进展和所用的研究方法。 第二章分析了一类不确定线性变时滞系统的鲁棒无源控制问题。利用矩阵变换方法 给出动态控制器和静态控制器的关系。采用黎卡提不等式的方法设计状态反馈控制器， 使得闭环系统鲁棒稳定和严格无源。 第三章分析了一类含非线性扰动的线性系统的时滞依赖无源控制问题。利用线性矩 阵不等式方法，设计了保证系统闭环稳定的状态反馈控制器，给出了依赖于时滞导数最 大值和最小值的控制器存在的充分条件。 第四章分析了一类不确定中立型常时滞系统的鲁棒无源控制问题。给出了系统稳定 和严格无源的充分条件。利用线性矩阵不等式方法，得到了系统状态反馈控制器使得闭 环系统鲁棒稳定和严格无源。 第五章分析了基于观测器的不确定中立型时滞系统的鲁棒无源控制问题。设计了一 个线性状态观测器，使得对于所有可容许的参数不确定和时间滞后，观测过程是鲁棒稳 定和无源的。利用线性矩阵不等式，给出了观测器存在的充分条件。 第六章分析了一类时滞广义线性系统的鲁棒无源控制问题。利用线性矩阵不等式方 法，给出了静态状态反馈控制器和动态状态反馈控制器存在的充分条件，并构造了相应 控制器。 最后，在对全文的研究工作进行了概括和总结的基础上，提出了有待进一步研究和 解决的一些问题。 第2 章不确定时滞线性系统的鲁棒无源控制 第2 章不确定时滞线性系统的鲁棒无源控制 2 1 引言 在过去几十年中，线性系统的无源控制得到了广泛的关注【4 5 3 7 4 1 翊，其中相关的就是 一类参数不确定线性系统的无源性分析和综合6 j 8 1 。运用经典的无源性和正则性定义，文 献 3 2 ，4 5 研究了一类不确定线性时变滞后系统的无源控制问题。文献 4 0 研究了一类 不确定多时滞状态滞后的无源控制问题。这些结果表明基于无源性的方法在解决一类时 滞系统的鲁棒无源控制器问题时是非常有效的。因此，无源性的概念在鲁棒控制中起了 非常重要的作用。然而，同时带有变时滞和参数不确定的反馈无源控制问题的研究并不 多。 本章分析带有时变滞后和参数不确定线性系统的鲁棒无源控制问题。设计一个线性 状态反馈控制器，使得对所有时间滞后和可容许的参数不确定系统保持鲁棒稳定和无 源。在本章中，时间滞后是变量，不确定参数是范数有界的。利用改进的代数黎卡提方 程和有效的矩阵不等式方法，得到系统的状态反馈控制器。最后，给出数字例子说明本 章方法的有效行和有用性。 2 2 问题描述 考虑如下形式的不确定动态时滞系统。 ( o )s o ( t ) = ( a + a a ) x ( t ) + a l x ( t f o ) ) + ( b + a b ) u ( t ) + b l t o ( t ) ， z ( f ) = c t x ( t ) + d l l c o ( t ) + d 1 2 “( f ) ， y ( f ) = c 2 x ( t ) + d 2 。( f ) ， 算( f ) ：o , t 0 ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中x ( t ) r ”是状态变量；“( f ) r ”是控制输入，当t o 时，“( r ) = o ；z ( f ) 孵9 是 被控输出；国( f ) 孵7 是扰动输入，满足平方可积；) ，( r ) m a 测量输出； 4 ，4 ，b ，蜀，c l ，c 2 ，d l 。，d l ：，d 2 。是已知具有适当维数的常实数矩阵。f ( r ) 是可微函 数，满足 0 r ( t ) o 那么s ，+ s ：硝 0 当且仅当 ( 2 5 ) 阵，并且 醴s l l 孙s 1 2 。，陋- s z 辨 引理2 。= j ，：，是给定具有适当维数矩阵，( r ) 是未知不确定矩阵，且 对任意t 有a r ( 0 a ( 0 - i ，则，+ ，( f ) ：+ ；( f ) ； 0 ，下式成立 1 + - 1 3 ；+ ；2 0 ，且在对称正定矩阵 0 p = p 7 吼”。”和0 o = q 7 倪满足线性下面线性矩阵不等式 p a 。+ 鬈| p + q 鹧一矸 群pq ( 1 一m ) 0 l o 且在对称正定矩阵 0 p = p 7 锨“”和0 q = 暇“”满足代数黎卡提不等式( a r i ) + p + q + i 魁q 。4 p + c 一群p ) 7 ( 睇+ d l ) ( c 一群p ) o ， 式中以= a + a a ，则称系统( 。) 是严格无源的。 证明：对系统( 1 ) 选择l y a p u n o v i 甬数如下 矿( x ( f ) ) = x t ( f ) a ( r ) + 【训，( s ) ( s ) 西 g 寸l y a p u n o v 函数y ( x ( r ) ) 求导并减去2 2 7 ( f ) ( ，) 可得 i ? ( x ( t ) ) - 2 z r ( f ) 国( f ) = 矿( f ) ( ，) + ，( f ) 戥( f ) + ，( f ) 缈( f ) 第2 章不确定时滞线性系统的鲁棒无源控制 如果 一x t ( f f ( ，) ) ( ，一r ( f ) ) 一2 2 7 ( t ) r o ( t ) = ，( f ) 彳 ( f ) + x 7 ( f f ( f ) ) 4 既( f ) + 矿( t ) b i p x ( t ) + ，( r ) p 缸( f ) + ，( t ) p a t x ( t - z ( t ) ) + x 7 ( f ) 鹪国( f ) + ，( ，) 勿( r ) 一x t ( r ) 口国( ，) 一，o r ( ，) ) ( f - r ( ，) ) ( 1 - f ( ，) ) 一脚7 0 ) c i x o ) 一7 ( f ) ( d j + d i ) 国( f ) x 7 ( ，) ( p + p 凡+ q ) x ( ，) + 工7 0 ) p 雹x ( f r ( ，) ) + ，( f ) ( 明一矸) 口( f ) + ，( f r ( f ) ) 4 r 段( f ) 一( i - m ) x 7 ( f r ( f ) ) ( ，- r ( f ) ) + d ) t ( f ) ( 群p c 1 ) x ( r ) 一矿( f ) ( 珥+ d l ，) 国( f ) 懈m 7 餮乞融篡， p a & + 题p + qp ap b l c j 管pq ( 1 - m ) 0 矸p c 1 0 一( 睇+ d l ，) 0 ，q = q 0 p ( a + 嬲) + ( 彳+ z - l e 0 7 p + q + 击p a , q a , r p + ( g 一群p ) 2 ( d l 。+ 球) 。1 ( g 一 r p ) 0 把式2 1 2 带入式2 1 3 ，可得 p a + a 7 p + q + 击蹦q - 1 群尸+ ( c l 一耳p ) 1 ml 一 、 7 x ( d l 。+ 环) 。( c l 一群p ) + 1 e i e + 占p h h 7 p 0 和f ，其中，满足f 7 f ，有 p h f , e i + 琏霹h r p 0 和( 睨+ d l 。) 0 使得 s ( y ) = j j 厂+ 讶7 + y q y + 圭互g - 1 刁 l m + ( 磊一疗) ( 珥+ d 1 ) 。( 蜃一庀7 ) 7 0 ( 2 2 5 ) 定义 k 隧斟 2 s ， 则我们很容易得到s ( y ) 的( 1 ，1 ) 项，形式如下 ( 4 。+ 玩b ) 巧，+ 8 。g r d + ，( 以+ 玩见) 7 + 圪a t 气t + 墨，鲻，+ i ：鳄+ = 4 q 。1 群 l 一，竹 + 且一x 。( c 1 + d 1 ：包) t 一誓：口瑗1 ( 诺+ d l 。) _ l 蜀一墨。( q + d l ：b ) tx ：磋 7 u 令k = 级+ g 墨t ：- 。1 上面不等式可变为 ( 以+ 吼髟) k ，+ e 。( 以十玩k ) 7 + e 。q k 。+ k ：9 z ； + 焉14