（概率论与数理统计专业论文）几类带利率的离散风险模型的破产概率.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 签挪量 日期：三翌l 业月丛日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：雄导师签名圭l 壅至日期：三竺1 年卫月笪日 摘要 风险理论，作为保险或精算数学的一个重要部分，研究对象主要 是保险业务中随机模型的破产问题离散时间风险理论是其中的一个 分支 本文主要对保费随机化后的离散风险模型进行推广，运用鞅方法 和递推方法对三类带利率的离散风险模型进行研究首先对保费与理 赔均为一阶自回归相依结构，利率为马氏链的离散风险模型，给出了 破产概率的积分等式和不同情形下的调节系数及破产概率上界表达 式，并讨论了在保费和理赔为随机变量的特殊情形下的相关破产量 然后讨论了一类具有相依索赔和随机保费的离散风险模型，得到了不 带利率情形下，破产概率所满足的迭代方程及最终破产概率所满足的 积分方程，以及利率为马氏链时破产概率所满足的迭代方程，最终破 产概率所满足的积分方程及最终破产概率的一个l u n d b e r g 型上界该 模型是对文 3 1 的推广最后针对利率波动较小，相关性增强的情况 建立了一个具有二阶自回归相依利率结构的离散时间风险模型，并应 用鞅方法和更新递推技巧对该模型所描述破产严重性的相关破产量 进行了研究 关键词鞅，离散时间风险模型，破产概率，马尔可夫链，l u n d b e r g 不等式 a bs t r a c t r i s kt h e o r y , a sap a r to fi n s u r a n c eo ra c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ，m a i n l y s t u d yt h er u i np r o b l e m so fs t o c h a s t i c m o d e l si ni n s u r a n c eb u s i n e s s d i s c r e t er i s km o d e l sa r eo n ek i n do fs u c hs t o c h a s t i cm o d e l s t h i st h e s i s w i l ls t u d yt h r e ed i s c r e t et i m er i s km o d e l sw i t hr a n d o mp r e m i u mb y a p p l y i n gm a r t i n g a l ea n dr e c u r s i v ea p p r o a c h e s f i r s t l y , w ed i s c u s st h ed i s c r e t et i m er i s k m o d e lw i t hm a r k o vc h a i n i n t e r e s t r a t e s ，a s s u m i n g i t s p r e m i u mi n c o m e a n dc l a i m s p o s s e s s a u t o r e g r e s s i v es t r u c t u r e s t h ei n t e g r a le q u a t i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t y , t h ea d j u s t m e n tc o e m c i e n tu n d e rv a r i o u sc o n d i t i o n sa n dt h eu p p e rb o u n d o fr u i np r o b a b i l i t ya l eo b t a i n e d i np a r t i c u l a r , w h e nb o t ht h ep r e m i u m i n c o m ea n dc l a i m sa r er a n d o mv a r i a b l e s ，t h er e l a t e dr u i nq u a n t i t i e sa r e p r e s e n t e d s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ed i s c r e t et i m em o d e lw i t hr a n d o mp r e m i u m a n dc o r r e l a t e dc l a i m s t h ei n t e g r a le q u a t i o nf o r t h er u i np r o b a b i l i t yi nt h e c a s eo fz e r oi n t e r e s tr a t e s ，a n dt h el u n d b e r gu p p e rb o u n df o ru l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t yi nt h ec a s eo fm a r k o vc h a i ni n t e r e s tr a t e sa r ed e r i v e d t h i sm o d e lc a nb es e e na sag e n e r a l i z a t i o no ft h em o d e l i n 31 】 a n df i n a l l y , w ec o n s t r u c tad i s c r e t et i m er i s km o d e lf o rt h es i t u a t i o n t h a tt h ef l u c t u a t i o no fi n t e r e s tr a t e si sr e l a t i v e l ym i l da n dt h ed e p e n d e n c y o fi n t e r e s tr a t e si sr e l a t i v e l ys t r o n g ，o rm o r ep r e c i s e l y , t h ei n t e r e s tr a t e s p o s s e s sas e c o n do r d e ra u t o r e g r e s s i v ed e p e n d e n ts t r u c t u r e s o m er e l a t e d r u i nq u a n t i t i e s ，w h i c hd e s c r i b et h er u i ng r a v i t yo ft h em o d e la leo b t a i n e d b yu s i n gm a r t i n g a l ea p p r o a c ha n dt h e r e n e w a lr e c u r r e n c et e c h n i q u e k e yw o r d s m a r t i n g a l e ，d i s c r e t et i m er i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y , m a r k o vc h a i n ，l u n d b e r gi n e q u a l i t y 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论l 1 1 破产理论的研究背景l 1 2l u n d b e r g - c r a m e r 经典风险模型1 1 2 1 完全离散的经典风险模型4 1 3 模型的推广4 1 4 本文主要内容和结构5 第二章预备知识6 2 1 鞅6 2 2 数学期望、方差6 2 3 离散时间马氏链7 2 4 破产理论研究中主要的研究方法7 第三章带马氏链利率的相依风险模型1 0 3 1 模型的描述1 0 3 2 破产概率的积分等式1 l 3 3 破产概率上界1 2 3 3 1 关于调节系数1 2 3 3 2 主要结论及其证明1 4 3 4 模型的特殊情形1 7 第四章一类相依索赔离散风险模型的破产问题2 0 4 1 模型的引入2 0 4 2 利率为零时破产概率所满足的积分方程2 l 4 3 带利率模型下最终破产概率所满足的积分方程及l u n d b e r g 界2 3 第五章二阶自回归相依利率结构的离散风险模型2 6 5 1 模型的描述2 6 5 2 模型的主要结果2 7 5 2 1 破产前盈余大于给定水平石的概率2 7 5 2 2 破产前最大盈余的分布2 8 5 2 3 破产持续时间3 0 5 2 4 盈余首次低于给定的水平x 的时刻3 2 5 2 5 破产概率上界的估计3 3 参考文献3 7 致谢4 l 攻读学位期间主要研究成果4 2 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 现实世界中，人们不免遭遇诸如疾病、财产损失、伤残、自然灾害等难以预 测的风险这些风险的发生，往往会扰乱人们正常的生活秩序，甚至使人陷入困 境而保险正是在现代经济社会中人们对风险作出的一种经济制度安排 1 1 破产理论的研究背景 风险理论是对风险定量分析和预测的一种理论在保险数学的范畴中，破产 理论是风险理论的核心内容保险公司正是经营风险的企业，在经营过程中面临 许多由自然状态的不确定性或经营管理不善等引起的风险，这些风险都会影响保 险公司最终的偿还能力，而且随着现代保险业的蓬勃发展，行内竞争不断加剧， 如何能够度量风险、控制风险、管理风险和规避风险，得以持续盈利，永久生存 是保险公司的重要课题由此对破产理论的研究日益受到人们的重视 破产理论主要考虑保险公司的盈余u ( t ) 随着时间的积累问题所谓盈余是指 初始资金加上收取保费超过理赔的那一部分由于不断挣得保费，盈余u ( t ) 会随 着时间连续增加，但是又由于索赔的发生，盈余过程会逐段有下跳当盈余为负 时，我们就认为破产发生了破产概率用于描述破产发生的可能性大小，是保险 公司稳健性的一个指标 破产理论的研究起源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论 文，至今已有百余年历史破产理论的研究既有其重要的实际意义，也促进了概率 论的发展事实上，一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 在这篇 论文中提出的不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准它的严格化是 以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠定在 坚实的数学基础之上，与此同时，他还发展了严格的随机过程理论l u n d b e r g 和 c r a m e r 的工作被认为是经典破产理论的基础 1 2l u n d b e r g c r a m e r 经典风险模型 保险公司在t 时刻的盈余由下式给出： | ( f ) 【，( f ) = u + c t - - 五，t o ， 其中“为初始资本，c 为保险公司单位时间内收取的保费，鼍( 七1 ) 表示保险公 司第k 次的理赔额，n ( t ) 表示到时n t 为止发生的理赔次数 硕士学位论文 第一章绪论 上述模型有三个基本假定： 假定1 ( 独立性假定) 假定 以；后1 ) 是恒正的、独立同分布的随机变量序列， ( f ) ；f 0 ) 是服从 参数为旯( 名 o ) 的p o i s s o n 过程，且与 五；后1 ) 相互独立 记 ，( x ) = p ( 五x ) ，v x 0 ， 司五】= f t l f ( x ) 】出 盈余过程 u ( f ) ；f o ) 的一条样本轨道示于图1 - 1 中 jl 川 u j i i i 霉7 图1 1 以下恒记 s ( f ) = 五， k = l 它表示到时刻t 为止发生的理赔总额由模型的独立性假定知 e s o ) 】= e o ) e 五】= 丑珊 为确保保险公司稳定经营，通常要求 甜一研s ( f ) 】= ( c - 五：弦 0 ，t 0 ， 即c 舡或c = ( 1 + p ) 舡，秒 0 故需要下述安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 秒= 一1 0 掣 口称为相对安全负载 记个体索赔额的矩母函数为： 虬驴- - e e r x 】- e r x 扭( 功= 1 + ，j c o e 1 - f ( x ) d x ( 1 - 1 ) 在l u n d b e r g 和c r a m e r 的研究中要求膨膏( ，) 至少在包含原点的某个邻域内存在， 2 硕士学位论文 第一章绪论 并且，要求下述方程 肘x ( ，) = l + ， ( 1 - 2 ) 具有正解 由于m ( ，) 在【o ，o o ) 内是严格意义下的递增凸函数，故方程( 1 - 2 ) 若有正根， 必是唯一的，以下恒记为r ( 见图1 - 2 ) ，并称其为调节系数因此还需要如下的 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) m x ( ，) = 1 + 三，具有唯一正根尺 j ， 厶一 j r 图1 - 2 由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 两式知，调节系数r 满足下述等式： 量f e 般t 一f ( x ) d x = 1 ( 1 - 3 ) 注意到 鲁肛f ( x ) d x = 芸= 南 o 不是一个概率密度函数，但若令 ( 功= e 触兰【l 一，( 功】，v x _ o ， f l j ( 1 3 ) 式知( x ) 为一概率密度函数，这便解释了调节系数r 命名的由来 定理1 1 ( l u n d b e r g c r a m e r ) 若假定1 、2 、3 成立，则有下列结论： ( 1 ) v ( o ) 5 而1 ；( 1 - 4 ) ( 2 ) l u n d b e r g 不等式：甲 ) e - r uv u 0 ；( 1 - 5 ) ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m e r 逼近：存在正常数c ，使得甲0 ) 一c e - r uu 专，即 嫩罢：1(1-6)cu 嘲e 一代” 注初始盈余为0 时，破产概率甲( o ) 仅依赖于相对安全负载0 ，而和个体索赔额 气 硕士学位论文第一章绪论 的分布的具体形式无关 1 2 1 完全离散的经典风险模型 经典风险模型大部分的研究是关于连续时间的，有一些作者对完全离散的经 典风险模型展开了研究 4 】- 6 】、 1 l 】、【4 0 、 3 7 设盈余过程由下式给出 业) u ( n ) = u + n 一五，l 0 ， i = i 其中初始盈余“为非负整数，保险公司在每单位时间区间的始端征收1 个货币单 位的保险费个体索赔额鼍是仅取正整数值的随机变量，假定 z ；腮1 ) 是相互 独立同分布的随机变量序列0 ) 表示前咒个时段所发生的索赔次数，假定 ( ，1 ) ；，l 1 ) 是以p ( o p 1 ) 为参数的二项序列，且与 以；以1 ) 相互独立 另外，假定 p l u l6 u = 研以】) ， 这相当于连续时间模型中的相对安全负载假定 1 3 模型的推广 对离散时间经典风险模型的推广主要有如下几个方面： ( 1 ) 引入利率和投资因素改变盈余情况如果保险公司把盈余资金存入银行 就会产生利息，显然对盈余过程及破产概率有影响如果把盈余资金用于投资也 是如此，只是投资有一定的风险，不能保证收益为正如文【2 】在连续时间经典风 险模型下研究了常利率对破产概率的影响，得到了l u n d b e r g 型不等式；文 2 2 】 在离散时间经典风险模型中加入了随机利率，研究了随机利率对破产概率的影 响，得到了l u n d b e r g 型不等式；文 2 3 】在经典的离散时间风险模型下加入了相依 利率，假设利率具有一阶自回归结构，并考虑了保费收取时间对盈余情况的影响， 得到了破产概率的上界；文【3 8 】、【3 9 、【5 4 、 2 7 研究了带固定利率的离散风险 模型，得到了描述破产严重程度的破产前盈余分布、破产持续时间及最大赤字分 布等文 2 0 】在经典的离散时间风险模型下引入随机利率，将累积索赔额e 与累积 保费收入石。合为累积净损失z 。，研究了利率为m a r k o v 链时破产概率的上界以 及z 属于重尾分布族时破产概率的渐进形式 ( 2 ) 索赔额的推广经典风险模型中单个索赔额序列 e ，刀= 1 ，2 ，j 是独立同 分布的，而实际中由于各种因素的作用，如大的自然灾害发生时，索赔额往往是 不独立的，因此可以把索赔额序列 e ，以= 1 ，2 ， 推广为各种相依情形如文 3 4 】 中研究了在离散时间风险模型下假设单个索赔额序列 e ，以= 1 ，2 ，l 为一阶自回 归模型时破产概率的上界文 4 7 】和1 4 9 考虑了一种相依索赔风险模型，即主索赔 和它引起的副索赔，并且副索赔可能推迟发生利用l a p l a c e 变换方法，得到了破 硕士学位论文第一章绪论 产概率的计算公式及索赔额为指数分布情形下破产概率的精确表达式 ( 3 ) 保费率的推广经典风险模型中的保费率为常数保费率c ，这就隐含着保 险公司有稳定的顾客群，而实际上顾客群的大小会随着公司的发展态势而不断变 化，因此保费率一般不是常数而是随机变量如文 3 2 】在经典风险模型基础上，在 保单到达非均匀的前提下，把保单到达过程推广为更新过程，得到有限时间t 盈 余的瞬时分布和时刻t 的生存概率文【4 2 】讨论了保费收取次数为p o i s s o n 过程的 情形文【1 7 】讨论了保费收取为随机过程且带利率的破产模型 目前，更多的研究是前三者的不同组合有把累积索赔额和累积保费综合为 累积净损失的，如文 2 0 】( 前面已有介绍) ；有在此基础上考虑净损失为相关的， 如文【2 5 】考虑了累积净损失为一阶自回归结构，得到了有限时间破产概率和最终 破产概率的上界；也有同时考虑三者的推广的，如文 1 6 】在离散时间风险模型下 加入常利率，考虑索赔过程和保费过程都是一阶自回归模型时，得到了最终破产 概率的指数型和非指数型上界 1 4 本文主要内容和结构 由于利率是重要的经济杠杆之一，几乎所有的金融现象都与利率有着或多 或少的联系，所以在保险公司的日常经营中，利率自然成为一个不可忽略的因素， 必定影响到公司的经营状况本文对保费随机化后的经典离散风险模型进行推 广，建立了三类带利率离散时间风险模型，从不同视角对它们作深入探讨具体 内容如下： 第三章讨论保费收入和理赔支出均为一阶自回归结构的带马氏链利率的离 散风险模型，得到了两种情况下的调节系数和破产概率的上界，并对模型的特殊 情形，即保费收入和理赔支出均为独立同分布随机变量的情况进行了讨论 第四章研究保费随机收取，索赔额相依的离散风险模型该模型中主索赔和 副索赔同时发生对不带利率的情形，得到了破产概率所满足的迭代方程及破产 持续时间对利率为马氏链的情形，得到了破产概率所满足的积分方程及最终破 产概率的一个l u n d b e r g 型上界 第五章考虑保费和理赔均为独立同分布的随机变量，利率具有二阶自回归 相依结构的离散时间风险模型得到了破产前最大盈余分布，破产持续时间，盈 余首次低于给定的水平工的时刻分布等，并用鞅方法得出了破产概率的上界表达 式具有一阶自回归相依利率结构的风险模型可视为该模型的特例 5 硕士学位论文 第二章预备知识 第二章预备知识 本章主要介绍了本文所用到的一些基础知识 2 1 鞅 定义2 1 1 实值过程m = m o ) ，t 0 ) 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的t 0 ，m ( f ) 为z 一可测； ( 2 ) 对于任意的t 0 ，e l m ( t ) l c o ； ( 3 ) 对于任意的0 s t ，e 【m ( f ) i e 】= m ( s ) ，p 一口j 定义2 1 2f 一鞅m = m ( f ) ，f 0 ) 称为是右连续的，如果满足： ( 1 ) g ( t ) 的轨道是右连续的； ( 2 ) 子仃一代数流f 是右连续的，即对任意的t o ，互= n c 定义2 1 3r 是q 一【o ，叫上的随机变量，如果对于任意时2 o ，都有 丁t z ， 则称丁是，一停时 定理2 1 4 ( d o o b 停时定理) 设m = m ( f ) ，t o ) 为一右连续的f 一鞅，s ，r 为两 个停时，则有e 【m ( 丁) l b 】= m 仃 s ) ，p a s 引理2 1 5 若m ( ，) ，0 t s t 是一个平方可积鞅，那么存在一个可料过程日( f ) 满 足：e r 日2 0 ) d s o o ，膨( f ) = m ( o ) + f h o ) d s 引理2 1 。6 若日( f ) 为一个可料过程，满足e 日2 ( s ) a s ，则 y ( n ：ef 日2 ( s ) c 国( s ) ，0 t t y ( f ) = l ：日2 ( s ) c 国( s ) ， 是一个平方可积鞅 引理2 1 7 若m ( f ) 为一个鞅，则 ( 1 ) 若f k o o 是一个有界停时，则e m ( r ) = e m ( o ) ( 2 ) 若m ( f ) 是一致可积的，则对于任意的停时f ，有e m ( r ) = e m ( o ) 引理2 1 8 若膨( f ) 为一致可积鞅，并且吃 ( 2 1 ) = 研x ( r ) l t t p ( t 八f ) + 研x ( f ) i t t p ( r f ) 。 注意到，当t t 时，u ( t ) 0 ，从而x ( f ) = e 咄即1 这样，在( 2 1 ) 式两端令 t 一，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理，即得 e 咄“= e x ( 丁) l 丁 】p ( 丁 o o ) + e x ( o o ) i t = 】尸( r = ) 又因l i m u ( t ) = - b o o ，a b 故知x ( o o ) = o ，口j 从而有e - 黜= e ( 丁) l r 】p ( 丁 c o ) ，由 此知 h d = 币蒜可面 再注意到u ( t ) 1 ，由上式即知甲 ) e 一，v u 0 从而l u n d b e r g 不 等式式得证 ( 2 ) 更新方程法 设 巾( “) = 1 一w ( u ) = p ( u ( t ) o ；t ou ( o ) = u ) ， 它表示初始盈余为u 时，保险公司永不破产的概率，也称为生存概率 首先，根据首次索赔发生的时刻五和首次索赔额五的大小，对生存概率运 用全概率公式，可得 ( “) = 研o ( “+ c 石一五) 】= 【五矿m 【( p ( u + c t z ) d f ( z ) d t f ， i 十c i 令x = u + c t ，上式变为 卿) = 鲁p 7f 7r 吣_ z ) 扭( z ) a x ， 这表明 ) 是可微的在上式两端对“求导，可得 叭炉昙( 矿尝f 一z 矽( z ) cc _ u 上式两端从0 到f 积分，可得 8 硕士学位论文 第二章预备知识 ( f ) 一( o ) 2 詈f 协+ 詈fr 巾 一z 矽( 1 一f 。) ) 幽， 化简整理得 ( f ) = ( o ) + 兰r o ( t z ) 【1 一，( z ) 】出0 ，0 一 因。l i m ( “) = 1 ，则在f 专佃，即得 l - 叩) + 詈j c o 【1 - 砟) 尬旬( 0 ) + 詈 于是有 甲( o ) = 1 一( o ) = 詈= r b 从而( 1 - 4 ) 式得证进而 邮) = 1 - 詈j c o 1 _ 心) 尬+ 昙f 唧_ 1 - 砟) 忱 = l 一鲁f t l f ( z ) 】出一兰 1 - o ( t z ) 1 1 一f ( z ) 】如 ， ， 椰 一 从而得 甲( f ) = 1 一( f ) 2 詈f 1 一f 。) 】出+ 昙f 甲。一z ) 【1 一，( z ) 出( 2 - 2 ) 由于 害j c o 卜肫眦= 害= 南 6 时，我们记兀- 1 ，= o f 口f = 4 我们假设： ( a ) 咒，刀= l ，2 ，) 是一列非负随机变量序列，且具有一阶自回归结构，即以 满足： 以= 万以1 + 。，刀= l ，2 ， 其中o 万 1 ，x o = 而o 是常数， 。，n - - 1 ，2 ，) 是一列独立同分布的非负随机 变量序列 ( b ) 艺，刀= l ，2 ， 是一列非负随机变量序列，且具有一阶自回归结构，即艺满 足： e = r y 一l + 圪，刀= 1 ，2 ， 其中o 厂 1 ，k = y o 0 是常数， k ，n = 1 ，2 ，) 是一列独立同分布的非负随机 变量序列 ( c ) 厶，刀= o ，l ，2 ，) 是齐次马尔可夫链，其状态空间为i = 编，知) ，且 1 0 硕士学位论文 第三章带马氏链利率的相依风险模型 它的转移概率记为 p ( l + = il = ) = ，s ，t = o ，l ，n 其中对s = o ，l ，n ，= 1 t = 0 ( d ) 圪，刀= 1 ，2 ，) 和 。，n = l ，2 ，) 相互独立，且分别具有相同的分布函数： ，( 功= 以，功，g ( y ) = 只k y ) 并记g ( y ) = l g ( y ) 现在我们定义风险模型的有限时间和最终时间破产概率当初始资本为“，初 始利率为厶= 时，有 虬( “，x o ，) = p u ( o ) i 厶= ) 月t i ， k 、 = p u 【“兀( 1 + ) + i ( 一( 1 + ) 一艺) 兀( 1 + ) l ol o = 】) k = l i = lj=lt=j+l ( “，y 。) = p u ( 矾 o ) 1 i o = ) =尸u【“兀(1+)+l(1+l)一)n(1+t)iol,ok k k = 】) ，、 k = lt = ly=lt=j+l 这样，就有 垆r i ( u ，x o ，y o ) 弘，2 ( “，t ，x o ，y o ) ( “，x o ，y o ) ， 且l i m 虬( “，x o ，y o ) = y ( “，而，y o ) 破产时刻定义为r ( “) = i n f n ， () ( 1 + ) 一y ，p i ( 玑 。= x ，k = j ，= | i ，= = j 当o y ( u + 8 x o + 功( 1 + ) 一y 时， 尸一n + l k = l 慨 。) i 1 k = y ，厶= ) 尸 i ( 以 o ) i 。= x ，k = y ，= ，厶= 一j = v ( ( u + 8 x o + 功( 1 + ) 一( r y o + y ) ，】l ，万而+ x ，7 y o + j ，) 则 虬+ l 似，而，y o ) = 姜j c oj c o p t f g n + l ( 以 。) | 。= 五k = y ，厶= ，厶= 卜( y ) 卵( 工) = 姜 j c o 讯“+ 氓州1 一7 y o ) d f ( x ) + ff q 卜伽虬( + 万而+ x ) ( 1 + 】i ) 一( r y o + y ) ，】i ，8 x o + x ，7 3 o + y ) d g ( y ) d f ( x ) 在( 3 3 ) 式两边令n 专o o ，可得最终破产概率的积分等式( 3 - 5 ) 3 3 破产概率上界 3 3 1 关于调节系数 本章中的z 。= e 一置( 1 + l ) ，为了保证保险公司的正常运行，必须附；o n - 定的风险负荷，对v n l ，要求 0 令扛。m 郅i ：n l , ，由于 e z = 研】：一以( 1 + l ) 】研】：一鼍( 1 + f ) 】 1 2 硕士学位论文第三章带马氏链利率的相依风险模型 叫+ 普1e 州如+ 蔷1 驰】一， 一d 纠+ 害e 巧- 8 * x 0 1一蔷( 1 删驰一， l d 所以，当广一万”而o 且享号e k 一等等( 1 + f ) 鼢。 o 时，对v 刀l ，都有 e z o ( 1 ) o 7 8 _ oj f l y o o ，则当0 7 万 1 时有。 y ”y o 一万4 x o r ( r ”_ 1 y o - 8 4 - 1 x o ) 7 ”一( 7 y o 一万) ， r y o 一氓0 ( 表示初始时保证至少持有原有盈余“，这是合理的) ，则 ，”y o 一万”x o 0 因此当0 7 万 1 时，可以假设： y y o 一万而0 且研k 一i 】 0 ， 这样就能保证对v n 1 ，都有e z 0 满足： e e r o 嵋一a i 】= 1 ( 3 - 6 ) 若8 = y = o ，l 暑0 ，则r 就是经典风险模型中的调节系数尺 事实上，倘若( 3 6 ) 成立且这样的正值r 存在，它一定是唯一的这是因为 若令厂( f ) = e e 吒以t 】_ 1 ，则 厂7 0 ) = 研巧一a l 】e h 嵋一6 1 1 ，f 。( f ) = 研k - a l 】2 e t 嵋一1 1 o ， 说明厂( f ) 是一个凸函数，并且显然( o ) = o ，f ( 0 ) = 研k 一。】 0 存在，那么r 唯一，并且对任何0 f 1 ，反之亦成立 ( 2 ) 0 万7 1 时， 一方面，容易得到： 哥即蔷( 1 + 她篝卟蔷( 1 + 她 羔( e k 一( 1 7 ) ( 1 + f ) e - )( 1 7 ) ( 1 一万) 、 ” 1 3 里壁羔笙型坚生一 笙三皇堂墨垦壁型奎箜塑堡垦堕堡型 一 ：= ：l 二 t j l hi n ，阻l 天芏 可见若研巧一( 1 一 ( 1 + f ) i 】 。，就能保证坚l - ye k 一享等( 1 + f ) e 。 0 ，若= 0 ( 表示初始没有索赔，这是合理的) ，则 矿y o 一6 “x os 0 因此当o 艿， 1 时，可以假设： y o = o 且研k o - r ) o + i ) a l 】 0 ， 如此就能保证对v 刀1 ，都有呸 0 满足： 屁恐嘶一( 1 一，) ( 1 + 吣】：1 若万2 7 。0 ，厶兰0 ，则是= r = r 同上理，这样的正值是若存在，那么足唯一，并且对任何0 f l ，反之亦成立并且有 心是，事实上屁巧一1 一，x 川 e e 凡嘶响1 = l = 眈也嘶一( i 一，j ( ) a l j ，由( 1 ) 知：r 足 3 3 2 主要结论及其证明 定理3 3 1 设o 7 万 1 ，胃- y y o j x o o ，研巧一l 】 o ，令：r ( 1 7 ) ， 则当o y ，对v 刀1 有 l 十l ( “，：c o ，y o ) 0 ，所以p 咖关于y 单调递增，因此 瓣铬蝣磐乩 即属1 ，从而，对坛0 ，有： 石。，= i f e 岛y d g ( y ) - e 一髓r p 瞄y 粥t 少， c 3 成e - 届j f e 嗣y d g ( y ) f l o 矿硌眈焉h 下面将用数学归纳法证明( 3 7 ) ： ( 1 ) 当后= l 时，7 一8 x o - o ，所以 + 艿而+ 功( 1 + ) 一y y o 0 ， 1 4 硕士学位论文 第三章带马氏链利率的相依风险模型 由( 3 - 4 ) 知， 奶似，而，y o ) = 芝以fj c o 尸 u o l a = x ，k = y ，= ，1 0 = 掷( y ) 卵( 功 = n j c o 否( ( “+ 氓+ x ) ( i + i t ) - y y o ) d f ( x ) n 见，j c o 属e 一焉+ 朋q 卜m 1 e e 瞄嵋d f ( x ) n j c o 属e 堪域m 官骗o + o e r y o e e 职d f ( x ) n f p o e - p 喀 u + x x l + i t ) e - r o ( 1 - r ) s x o ( 1 + i ) e r a r y o e e 凡嵋d f ( x ) n f f l o e - 喀( u + x 1 , ) e - 峨p s o r y o e e 巧d f ( x ) = f l o e e 一扁“+ a 1 x 1 + ，1 1 1 0 = 】e 凡7 如筇峋e e 屹 因为上式中厂s ，所以( 1 + d ( 1 一力1 i + z ( 2 ) 当k = 咒时，假设： 虬( “，x o ，y o )a e e 一对o + 岛x + ，1 l 厶= p 嘞伽一砜e e 局巧， ( 3 ) 当k = n + l 时，验证+ 。( “，x o ，y o ) 也满i f _ ( 3 - 7 ) 式即可，首先1 ：t = 1 ( 3 9 ) 知， g ( ( “+ 8 x o + 功( 1 + ) 一r y o ) 属e - 瞄 ( u + s x o + x x l ) - r y o e 粕+ 堋+ ) 一胁e 瞄，d g ( j ，) - p o e 一焉。m p 一凡1 - ，州。e 瞄m t 砜+ 堋一me 咖d g ( y ) 属e 坷“”一挑一粕卜+ + 堋圳m g 助d g ( y ) 再者，由假设可得： ( ( “+ s x o + x ) o + ) 一( r y o + y ) ，f f ，8 x o + x ，7 y o + y ) _ f l o e e 一瞄+ 砘+ 。x i + f ，卜胁+ ，卜a 1 x 1 + l i o = k r o r ( m + y 卜艿圳1 e b 丑以 p o e 一瞄【( ”+ + 。1 + 卜m + y 1 研毋巧一籼p 舢m + y = 屁e 一焉+ x x l + e 桃+ ，p 耵挑+ y p o e 一瞄“+ 。x 1 + p 一瞄1 + 7 期+ ， f l o e r ；( u + x x l + e 一置o o - r ) g 岛m + ， p o e 一畸卅x 1 + 毋挑一e 舢 由( 3 1 0 ) 、( 3 1 1 ) 得： ( 3 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) 硕士学位论文第三章带马氏链利率的相依风险模型 虬+ i 【“，x o ，y o ) = 芝儿 j c o 百( ( “+ 氓+ x ) ( 1 + ) 一r y o ) d f ( x ) + j c of 砌+ 卜协虬( + 万而+ x ) ( 1 + ) 一( r y o + j ，) ，】i ，6 x o + z ，7 y o + y ) d g ( y ) d f ( x ) ) 善n 以 f 风万球时“u p 剐m 一。l 堋m 卜m p 舢搬( y 妒( 曲 + j c of ”+ 卜风p 一焉堋+ ) e 凡( 协一) e