（计算数学专业论文）二维弹性有摩擦的signorini接触问题边界元变分不等式的解.pdf

摘要 摘要 摩擦接触问题是工程实际中常见的问题，在许多学科领域也有着重要 的应用。而摩擦接触问题中最难最关键的问题就是建立其变分泛函和求解 方法。近年来发展起来的变分不等式方法为接触问题的发展提供了统一的 框架和有力的工具，它将所有的边界条件和接触条件归纳到一个变分不等 式中，便于理论分析，也有了一定的研究基础。 变分不等式的数值解法。现有的方法主要是有限元法，而许多弹性摩 擦接触问题可归为边界非线性的接触问题，对于在边界上的位移和张力直 接使用边界元离散化很适合于只有边界非线性的接触问题求解。因此，使 用边界元法比有限元法更具有优越性。用边界元法处理接触问题的变分不 等式，必须将区域型变分不等式转化成边界型变分不等式。本文运用g r e e n 公式及最小位能理论，给出了二维弹性有摩擦的s i g n o r i n i 接触问题的两个 边界变分不等式，弗证明了其解是存在唯一的。 首先，对于二维摩擦接触问题给出了变分问题，并针对变分问题对未 知函数的要求，建立了s o b o l e v 空间框架，阐明了有关概念和相关理论。 其次，给出了两个弹性体二维摩擦接触问题的具体公式。介绍完有关 的弹性力学基本关系式，给出了服从c o u l o m b 定律的二维摩擦s i g n o r i n i 问题的变分不等式形式，并证明了解的存在唯一性。 最后，主要考虑弹性体与刚性支承之间的二维摩擦接触问题，给出了 与有摩擦s i g n o r i n i 接触问题等价的变分不等式，并将其化成了边界变分不 等式，证明了其解的存在唯一性。最后一章给出了前者的边界元法及误差 估计。 关键词边界元法；二维摩擦s i g n o r i n i 接触问题；边界变分不等式：s o b o l e v 空间；存在唯一性；误差估计；c o u l o m b 定律；g r e e n 公式 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec o n t a c tp r o b l e mw i t hf r i c t i o ni so f t e ne n c o u n t e r e di nt h ee n g i n e e r i n g p r a c t i c ea n dw i d e l ya p p l i e di nm a n yf i e l d s t h em o s td i 伍c u l ta n dc r u c i a li s s u e i n s o l v i n gs u c hc o n t a c tp r o b l e mw i t hf r i c t i o ni s t oe s t a b l i s hi t sv a r i a t i o n a l f u n c t i o na n dn u m e r i c a lm e t h o d ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ym e t h o d ，h a v i n gb e e n d e v e l o p e di nt h er e c e n ty e a r s ，p r o v i d e su n i t e df l a m ea n dp o w e r f u lf a c i l i t yf o r t h ep r o g r e s so nc o n t a c tp r o b l e m , i n d u c i n ga l lt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d c o n t a c tc o n d i t i o n st oo n ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dm a k i n gt h et h e o r e t i c a l a n a l y s i sv e r ye a s y t os o m ee x t e n t ，t h er e s e a r c hf o u n d a t i o nh a sb e e nf o r m e d t h ea v a i l a b l em e t h o di sm o s t l yf e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) w h i c hh a s b e e nu s e dt os o l v et h ev a r i a t i o n a l 抽e q u a m yb u tm a n yc o n t a c tp r o b l e m sw i t h f r i c t i o nc a nh ei n d u c e dt on o n l i n e a rc o n t a c tp r o b l e m so nt h eb o u n d a r y , i ti sf i t f o rt h ec o n t a c tp r o b l e mw h i c hi s o n l yn o n l i n e a ro nt h eb o u n d a r yt h a tt h e d i s f l l a c e m e n ta n dt e n s i o no nt h eb o u n d a r ya r ed i s c r e t i z e du s i n gt h eb e m ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) d i r e c t l y t h e r e f o r e ，t h eb e m i sm o r es u p e r i o rt o t h ef e m i no r d e rt od e a lw i t ht h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi nt h ec o n t a c tp r o b l e m b yt h eb e m ，w em u s tt r a n s f o r mt h ed o m a i nv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi n t ob o u n d a r y v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y i nt h i s p a p e r ，i ti sg i v e no ft w ob o u n d a r yv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yi nt h et w od i m e n s i o n a ls i g n o r i n ic o n t a c tp r o b l e mw i t hf r i c t i o nb a s e d o nt h eg r e e n sf o r m u l aa n ds m a l l e s tp o t e n t i a lt h e o r 5a n dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f s o l u t i o ni sp r o v e d f i r s t l y , i ti sg i v e no ft h ec o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a lp r o b l e mf o rt h et w o f r i c t i o n a lc o n t a c tp r o b l e m w ee s t a b l i s hs o b o l e vs p a c ea n dd e s c r i b et h er e l a t e d c o n c e p t sa n dt h e o r yb a s e do nt h ed e s i r eo ft h ev a r i a t i o n a lp r o b l e mt ot h e u n k n o w nf o n e t i o n s e c o n d l y ，i ti sp r e s e n t e do f t h ep a r t i c u l a rf o r m u l a ef o rt h ef r i c t i o n a lc o n t a c t p r o b l e mw i t ht w oe l a s t i cb o d i e s a n di ti sg i v e no ft h ef u n d a m e n t a lr e l a t i o n a l 1 1 a b s 仃a c t e x p r e s s i o no fe l a s t i cm e c h a n i c s ，t h e v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yo ft h es i g n o r i n i c o n t a c tp r o b l e mw i t hc o u l o m bf r i c t i o na n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n i nt h ee n d ，t h et w od i m e n s i o n a lc o n t a c tp r o b l e mw i t hf r i c t i o nb e t w e e na n e l a s t i cb o d ya n dap e r f e c t l yr i g i df o u n d a t i o ni ss t u d i e dm a i n l y i ti sg i v e no ft h e e q u i v a l e n tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt os i g n o r i n ic o n t a c tp r o b l e mw i t hf r i c t i o n ，a n d t r a n s f o r m e di n t ob o u n d a r yv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o ni sp r o v e d t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da n de r r o re s t i m a t i o no f t h e f o r m e ri sp r e s e n t e di nt h ef m a lc h a p t e r k e y w o r d sb o t m d a r ye l e m e n tm e t h o d ；t w od i m e n t i o n a ls i g n o r i n ic o n t a c t p r o b l e mw i t hf r i c t i o n ；b o u n d a r yv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；s o b o l e v s p a c e ；e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ；e r r o re s t i m a t i o n ；c o u l o m b sl a w ； g r e e n sf o r m u l a i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 接触问题的边界元法概述 有关接触问题的研究工作最早见于h h e r t z1 8 8 1 年在柏林大学时发表 在杂志“j f m a t h v 0 1 9 2 ”上的学术论文“o nt h ec o n t a c to f e l a s t i cs o l i d s ”， h h e r t z 首先建立了理想弹性体之间相互无摩擦接触的公式并且解答了这 类问题。m i n d l i n 研究了当一个弹性体在另一个弹性体上滑动时，在接触域 的切线方向的载荷分布情况，j j k a l k e r 从理论上分析了线性接触和滚动接 触问题，后来又给出了有关接触问题的较全面的经典公式及其变分形式【”。 从2 0 世纪下半叶以来，接触问题的研究便开始涉及接触体表面具有摩擦的 滑动和滚动接触分析，同时也涉及到非弹性体的接触应力和变形分析。 现有的分析接触问题的经典解答都是对理想模型而言，这些解答可以 应用于一些具有简单几何形状的理想弹性接触问题，但对于许多复杂工程 实际情况中遇到的接触问题，我们很难建立一个完美的数学模型来模拟真 实情况并求得精确的解析解。因此，寻求一种比较精确的满足实际问题的 数值计算方法就显得十分必要。 数值计算方法的兴起和发展与计算机技术的发展密切相关。数值解法 中的边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) ，简称b e m ，是随着结构力学的 有限元法提出、计算数学方法的逐步完善而发展起来的。 边界元法从数学物理中的边界积分方程( 或称奇异性法、格林函数法) 中推导出来，其在边界积分方程的边界离散上采用多种插值的边界单元。 虽然这些理论二十年代初就已较完备，但由于计算手段落后于理论，直到 近2 0 年计算机技术的飞速发展，才带来计算数学的革命，边界元法也就此 发展起来。 边界元法在近年发展迅速，被广泛地用于求解工程中诸如弹塑性力学、 流体力学和断裂力学、热传导、电磁学、场的问题以及与实践相关的各类 课题。它的优点在于它仅以边界变量为基本未知量，内点变量可由解出的 边界变量积分得到。这样就减少了问题的自由度，降低了维数，特别便于 1 燕山大学理学硕士学位论文 模拟复杂的几何形状。在弹性问题中，解精确满足域内偏微分方程，与有 限元法比较，在相同的精度条件下，边界元法有更高的效率。边界元法尤 其适用于解决接触这类复杂和固有的边晃非线性问题，边界元法的离散过 程主要在人们感兴趣的边界上进行，得到只含有边界节点未知量的方程组， 然后进行数值求解，这样就可以减少整个系统方程的自由度数，输入数据 变的简单，计算成本也大大降低。并且，通过计算所得的边界面力与边界 位移具有相同的精度，它的法向和切向面力可以在系统方程中直接耦合， 这是边界元法明显优于有限元法的一个特征。 1 9 6 7 年，e j r i z z o 2 1 和t a ，c r u s e 【3 1 正式提出经典弹性力学离散的边界元 方法。弹性接触问题的边界元法研究的基本思想是由t a n d e r s s o n 等人提出 来的，他于1 9 8 0 年发表了用边界元法研究弹性接触问题的第一篇论文，推 导了没有摩擦的光滑表面的二维弹性接触问题【4 】，进而又进行了带有摩擦 的二维弹性接触问题的研究【5 】。之后，他和其他研究者又做了许多研究工 作以提高计算精度和计算效率【6 ，7 】，并将其应用于裂纹接触问题、滚动接触 问题和滚动轴承接触应力分析等各种接触问题i s , g 。近1 0 年，人们又对具有 摩擦的二维及三维弹塑性接触问题、考虑冲击效应的大变形接触问题、接 触中的反问题以及有限元与边界元耦合等问题进行了一系列的研究和探讨 工作【1 0 “17 1 。 在国内，边界元法的研究起步较晚，1 9 7 8 年，杜庆华教授对此方法作 了综述和推荐，开始了国内边界元法的研究。冯康、胡海昌、何广乾等一 大批著名数学和力学家加入到边界元法的研究行列，使我国的边界元法研 究得到迅速发展。采用边界元法进行接触问题的研究始于2 0 世纪8 0 年代 中期，早期的工作是采用常数单元求解平面无摩擦接触问题【1 8 ，到1 9 8 8 年，这方面的研究工作就涉及到采用二次等参元求解平面线弹性有摩擦和 无摩擦接触问题【l 卅、不考虑摩擦的三维弹性接触问题、多体接触问题、弹 性滚柱在刚体平面上的稳态滚动接触问题等。在随后的研究工作中又给出 了采用圆弧边界元法对含有圆弧边界的接触问题( 平面及轴对称) 的处理方 法1 2 0 及针对接触问题的算法提出的一些改进措施1 2 1 , 2 2 】。陈一鸣等发展了静 弹性接触问题的边界元分离解法1 2 3 2 7 。 第l 章绪论 1 2 变分不等式的研究进展及现状 变分不等式主要来源于力学 流体力学中的宾一汉流问题。另外 分不等式模型来表述。 如弹性力学中的障碍问题、摩擦问题， 控制问题和金融学中的一些问题也用变 变分不等式发展的一个主要基础是a f i c h e r a l 2 8 】发表的一篇关于弹性 理论中s i g n o r i n i 问题解的论文。之后，g s t a m p a c c h i a 的一篇论文以及稍 后由他与j l l i o n s 2 9 1 合作的另一篇论文，奠定了我们所熟知的作为一门学 科的变分不等式的理论基础。从那以后，变分不等式在欧美各国蓬勃发展， 无论在理论的深入方面以及在应用范围的扩大方面，都有了很大的发展， 形成了一个颇具规模的体系，广泛应用于系统优化、最优化控制、数理经 济、非线性规划、微分方程和力学等学科中。 就接触问题而言，在无摩擦的情形，变分不等式提法等价于一类约束 泛函极小化问题，其有限元解的存在唯一性及解法得到了较好的解决。当 考虑摩擦和滑动时，问题变得很复杂，仅当法向接触力已知或接触区域已 知的情形，解的存在唯一性才获得证明，见参考文献 3 0 ，3 1 】。 p d p a n a g i t o p o u l o s 【3 2 j 首先导出了摩擦接触问题的变分不等式。 m a t z a f e r o p o u l o s 和p d p a n a g k o p o u l o s 口驯共同研究了非凸本构的次变分不 等式的数值解法。崔俊芝f 3 4 讨论了接触分析的变分不等式问题的定解条件 和正则化方法。a k l a r b r i n g l 3 s , s 6 】分别给出了接触区域已知和未知情况下的 变分不等式模型。为了缓和接触力处理的困难，n o d e n 和j t p i r e s i ”1 研究 了非局部、非线性摩擦定律，提出了由光滑算子构成的变分不等式。捷克 数学家j h l a v a c e k 和j h a s l i n g e r 等删以及n k i k u c h i 和j n o d e n 3 9 1 进行的 工作，从数学问题的形成到与之等价的变分问题解的存在性，以及有限元 逼近的收敛性和误差估计进行了深入研究。对于简化了的弹性接触的数学 问题( 单边问题) ，f s c a r p i n i 等【4 0 】在原问题解”h 2 ( q ) 的光滑假设下，对 线性有限元逼近，得到o ( h 和) 阶的误差估计。j h a s l i n g e r 等 4 h 在对解”的 光滑性进一步假定之下，u h 2 ( r ) ，其中r 为自由边界，对混合有限元逼 近，得到了o ( h ) 阶的误差估计。另外，f b r e z z i 等1 4 2 】对原问题解“日2 f q ) 燕山大学理学硕士学位论文 以及光滑性进一步假定甜w 1 。( 近似r ) ，并且假定由 l ，= 0 变到“i ， 0 的在1 1 上的点的个数有限，对线性有限元获得了o ( h ) 阶的误差估计。对于 弹性接触问题，j h l a v a c e k 、j h a s l i n g e r 等d s 在与 4 2 忡类似的假定下，也 得到了o ( h ) 阶的误差估计。近期，王烈衡【4 3 】去掉上述假定，而假定解在接 触边l 上具有h2 1 ( ) 的光滑性条件下，其中0 s a 2 ，得到了o ( h 。“2 ) 阶的误差估计。王烈衡等【4 4 l 还研究了弹性接触问题的混合变分公式，以及 相应的混合有限元分析。之后，又在 4 4 】中提出的混合变分形式的基础上， 再引入另一个l a g r a n g e 乘子，获得了三重组混合变分形式，可以同时求解 物体内点的应力、位移和接触边界上的位移，并且证明了其解的存在唯一 性，给出了有限元逼近的误差估计h 5 1 。孙辉h 6 1 用半反推法推导出弹性接触 问题的广义变分不等原理的泛函。胡齐芽和余德浩【4 ”对一类带s i g n o r i n i 接 触条件的非线性传输问题，提出了新的有限元一边界元耦合框架，为求解所 得到的耦合变分不等式，设计了一种区域分解型迭代算法，并对其做了完 全的收敛性分析。关于近期的边界元法和变分不等式的其它研究，可参阅 文献 4 8 5 6 。 以上所列的有关接触问题变分不等式的研究，都是在区域上作积分， 这样不可避免的要使用有限元方法。从目前查阅的有关文献看，利用边界 元方法的还很少。7 0 年代末期，p d p a n a g i t o p o u l o s 57 】首先将g r e e n 函数引 入接触问题分析，得到了边界量表示的变分不等式。近期，话北民院的王 书文t 5 8 1 和兰州大学的丁方允等建立了相应问题的边界混合变分不等式， 并证明了其解的存在性和唯一性。2 0 0 2 年燕山大学的硕士研究生郝亚娟【删 对无摩擦接触问题边界元方法及有关的误差估计进行了研究，而对于有摩 擦接触问题边界元变分不等式方法及有关的误差估计还没有查到相关文 献。 1 3 边界元法求解摩擦接触问题的现状 用边界元法求解摩擦接触问题的方法有以下几种： ( 1 ) 增量法( i n c r e m e n t a lp r o c e d u r e ) j 直过不断求解迭代，同时修正接触状 态，来获得结果，目前从大量资料看，该方法理论较成熟。】 4 第1 章绪论 西班牙学者j a g a r r i d o 、a f o c e s 和e p a r i s 于1 9 9 4 年发表的论文1 6 1 1 就是 采用增量法求解三维有摩擦接触问题的。它理论阐述严谨清晰、算例解答 合理。在所有采用增量法求解有摩擦的接触问题的论文中，该文是比较优 秀的。其后的许多研究者都用他的算例结果来验证自己方法的正确性。 ( 2 ) 数学规划法( m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ) 根据约束条件，构造一系列 的最小函数，极小化它们，以搜索到解。1 最早采用这个方法的是韩国高等科技学院学者b m k w a k 和s s l e e ，他 们于1 9 8 8 年发表的论文【6 2 i ，考虑了二维的弹性接触问题，形成补充问题方 程，运用适当的增量加载来求解，他还考虑了加载和卸载的问题。国内也 有不少学者运用数学规划法来求解考虑摩擦的接触问题。 ( 3 1 罚函数法( p e n a l t ym e t h o d ) 1 9 9 4 年，日本专家k y a m a z a k i 、j s a l a m o t o 和s w a l u m i 6 3 1 将两物体的接 触表面的滑动、粘着、分离的各接触状态运用到虚功原理，通过引入一个 惩罚系数( 没有增加任何参数1 形成系统积分方程。2 0 0 0 年，刘德义、陈一 鸣、申光宪给出了弹性接触问题的最优罚因子分离解法【2 3 】。 目前据我掌握的资料，无论是采用有限元方法还是采用边界元方法以 及其他数值方法求解有摩擦的接触问题，见到的解答只是针对简单几何体 的接触问题，还未见到考虑摩擦影响求解工程实际问题的论文发表。 1 4 课题来源及意义 本课题来源于是河北省博士基金“接触问题的变分不等式边界元解及 自适应程序”，项目号：0 5 5 4 7 0 1 0 d 2 。 弹性体的接触分析在工程实际中很常见，分析接触问题时考虑摩擦影 响将更接近实际情况。在许多情况下，为了进行机械的设计和结构的装配， 我们需要比较精确地了解这些构件接触部位上的应力、强度、接触区域的 大小和一些其他方面的力学指标。因此，研究摩擦接触问题具有十分重要 的工程实际意义。最早求解接触问题的数值方法是有限元法，但有许多不 便：需要对全域离散、数据准备量大、建模复杂、求解规模大，另外精度 也比较低。于是，人们把目光转向了一种新的数值方法边界元法。 燕山大学理学硕士学位论文 边界元法是对边界积分方程离散求解的现代数值分析方法，是求解数 学物理方程的边界型数值解法，由于其降维、解析精度高的固有特性，比 有限元法更适合于工程中尚待解决的实际问题。它只需对边界进行单元剖 分，只要求出边界节点上的解函数值，就可计算区域内任意点的解函数值。 弹性体的接触问题可化为数学物理问题( 包含微分方程、初始条件、边界条 件的定解问题) ，他们反映了自然现象和社会现象的内在规律，但这些规律 的数学描述最初并不是微分方程的定解问题，在增加了若干条件后才归结 为后者的，它们往往对解的光滑性要求较高。如果运用变分原理，不增加 对解的光滑性要求，直接求解变分问题或与之等价的变分不等式，则更加 符合事物的本来面目，也带来更大的方便。另外，小位移弹性理论是变分 法最有成效的应用领域之一。并且，在精确的接触分析中，摩擦的影响不 容忽视。因此，对弹性摩擦接触问题的变分不等式进行边界元分析，这将 是一个非常有意义的工作，不仅对接触边界元法的发展具有巨大的促进作 用，同时利用误差估计，为自适应边界元法的进一步研究也奠定了理论基 础。 1 5 本论文研究的主要内容 本文主要研究了二维弹性有摩擦的s i g n o r i n i 接触问题的变分不等式， 讨论了其边界变分不等式解的存在唯一性及误差估计。 本文共分为5 章： 第1 章主要概述了接触问题的边界元法、变分不等式的研究现状、边 界元法求解摩擦接触问题的现状及本论文研究的意义和内容。 第2 章的主要内容是理论分析，根据本文所研究的接触问题给出变分 问题，之后针对变分问题对未知函数的要求，建立相应的s o b o l e v 空间框 架。 第3 章的主要内容是给出了两个弹性体二维有摩擦的s i g n o r i n i 接触问 题的具体公式。介绍了有关弹性力学的基本关系式以及服从c o u l o m b 定律 的有摩擦的s i g n o r i n i 问题的变分不等式形式和解的存在唯一性条件。 第4 章主要考虑弹性体与刚性支承之间的二维摩擦接触问题。给出服 第1 章绪论 从c o u l o m b 定律的弹性体有摩擦的s i g n o r i n i 边值问题和与之等价的变分不 等式，然后将一般的边值问题分解成齐次边值问题和齐次方程问题。给出 齐次方程问题的变分不等式及其解的存在唯一性，之后把在区域上作积分 的区域型变分不等式化成在边界上作积分的边界型变分不等式，并证明其 解也是存在唯一的。 第5 章主要是关于第4 章的边界变分不等式的边界元方法。首先建立 边界元空间，之后给出离散形式的边界变分不等式。这一章的核心内容是 给出准确解和近似解之间的误差估计。 燕山大学理学硕士学位论文 第2 章理论基础 2 1 边值问题的变分原理 我们知道变分问题和微分方程定解问题存在着一定的关系。在这一节 着重讨论二阶椭圆型偏微分方程边值问题与相应的变分问题的关系，指出 在什么条件下二者是可以相互转化的，从而可以用变分方法求解边值问题。 2 1 1 边值问题与最小位能原理 假设q 为平面上的有界区域，其边界r 充分光滑。考虑下面的椭圆型 方程 一a u + “= f( 2 - 1 ) 这里础= 警+ - a - 挚z y - - ，州u 州幌定义在五= q + i _ 上的充 分光滑函数。边界条件为 “ o ，嘲钮“丽8 u + 酬i = 。，g 。，a q = 1 1 上 ( 2 - 2 ) 其中，n 是边界r 上的外法线方向。 先给出以下引理 引理2 1 1 ( 变分法引理) 设函数f ( x ) c ( 孬) 。给出函数集合 c ：= t 7 ( x ) c 。( 孬) ：协= o 1 兰o 。 如果对一切叩c ；，有 j n 厂( x 研( x 胁= 0 则在q 上f ( x ) = 0 。 为了把边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 化为相应的变分问题，定义一个能量泛函 m ) = 吉l ( v i + 2v ：+ v 2 2 f v ) & + 删v 陋= 第2 章理论基础 i 1n ( v ，v ) 一l 出+ g v 陋( 2 - 3 ) 其中口( ”) = 1 1 u v d x + j n i n 瓦o u 瓦o v + 丽o ui o v ) 出= d x + 廖“v 眈，v “= ( 驯& 。，o ) 。显然，a ( u ，v ) 是线性、对称、非负的( d ( “，“) o ，v u q ) 。 我们知道最小位能原理指的是：受外力作用的弹性体，在满足已知边 界约束的一切可能位移中，处于平衡状态时的位移使总位能最小。在目前 假设条件下，定义容许函数类为 m 2 v ( x ) c 1 ( q ) ，v l r 0 ) ( 2 - 4 ) 那么m 中的每一个函数都是“可能位移”，因此，如果“( x 1 表示真实位移， 它应当是以下变分问题的解：求“m ，使得 l ( u ) = m 睁工( v ) ( 2 - 5 ) 如果我们对u m 补充假设u c 2 ( q ) ，则这个变分问题的解u ( x ) 必定 是边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解。 下面证明边值问题( 2 - 1 ) 和( 2 - 2 ) 与变分问题( 2 - 3 ) ( 2 5 ) 在一定条件下是 可互相转化的，从而得知边值问题的解也是变分问题的解。 设“m 使泛函三达到极小，即满足式( 2 5 ) ，则对v v m ，t o ，l 】有 工( “) = i 1 口( “，“) 一办出+ g 工h 凼三 + f ( v 一“) ) = = 1 口( “+ r ( v 一“) ，“+ f ( v 一“) ) 一 l ， + t ( v - u ) ) 出+ g 仆+ ，( v 一“) l 凼 扣+ 罢n ( v - - u , v - - i d ( 1 , l , v - - u ) 一 上扣凼一t l n f ( v - u ) 出+ ( 1 一f ) g l h 出+ 姆l v 出 燕山大学理学硕士学位论文 整埋得 等口( v - a ，v - - a ) + t a ( u , v - u ) 一r 厂( v 一“) 出一辔i 叫一f v j 拯o 又因为t 【0 ，1 】，所以 j tn ( v - u ，v - g ) + 口( v - u ) 一i o s ( v 一“) 出一g 正删一卜i ) a , - o 令f 一0 ，则 a ( 叩一“) - 4 1 “i 西一4 1 v 陋+ n 厂( v - u ) d x ，v v m 由g r e e n 公式 a ( ”一“) = l “( v - u ) d x + 廖“v ( v - u ) d x = l “( v 一“) 凼一l “( v 一“) 出+ 正豢( v 一“) 凼= l ( _ 坝v 叫凼+ 肛“) 从而得 l ( _ 坝v 训出+ 卜“) g r l “i 凼一g 仆l a s + f a f ( v - u ) d x ( 2 - 6 ) 取v = w + “，其中w ec ：( q ) = w l w c 1 ( q ) ，w | r = o ，显然v m ，且 ( v - - u r = 叫r = 0 ，叫，= ( w + “) j ，= 叫，+ “i ，= o + 甜l ，= “| ，h i ，= l “0 ， 则 l ( 一u + u ) w d x i o y w 出 上式对于一w c ：( q ) 同样成立，即 1 0 第2 章理论基础 ( 一“+ “) ( 一w ) 出l 厂( 一w ) d x ，亦即f o ( 一u + u ) w d x o ，v v m ( 2 - 7 ) 在式( 2 - 7 ) 中取v = 地，a 0 ，于是 当0 兄 1 时有 ( ) l 白喇) 凼 0 ，v a o 由公式( 2 8 ) 与公式( 2 9 ) 得 从而 ( 静+ 梆幽o 謦俐胆。 謦+ g f “i ) d e = 。 娑“+gj“=oov f ( 蚤+ g i v i ) d e o ，v v e m _ o uv + g l v l 0 ，v v m g lm 面 ”i ，” i l ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) 燕山大学理学硕士学位论文 于是得到 f 宴。卜g i 。，即l 宴l g ，在r 上。再由。m 知，在r 上。( x ) o 。 l o nl o n i 反之，设“m ，且满足式( 2 - 1 ) 和式( 2 2 ) ，由于 阱g ，考毗忡 得 从而 得 即 g i v i 詈v 拂进而面c 3 uv + g 仆o ， 詈( v 刊+ g ( “1 ) o ，r 上，v v m ( 2 - 1 0 ) 对一“+ “= ，两端用( v 一“) 在q 上作内积，然后利用g r e e n 公式，可 l ( 一甜+ “) ( v - u ) d x = 一ia “( v - u ) d x + i o n ( v - u ) d x l v u - v ( v 一“) 出一工豢( v 一“) 凼+ l “( v 一“) 出 口( ，y - - u ) 一上詈( v 叫荪= 1 1 ，( v 一“冲 利用式( 2 - 1 0 ) 得 即 a ( u ，1 ：- - z ) 一叫出一l ，( v 一懒= o 砌，v - 沪詈( v 刊出一l 厂( v 叫出+ 工象( v 一“) 凼+ g o v 卜帅出o v v m 第2 章理论基础 又由于 故有 。( 刚一”) g 仆l a , 一g 川出+ l f ( v - u ) d x ，v v m ( 2 1 1 ) j 1a ( v ，v ) 一三a ( “，“) = j 1 日( u + v - u , u + v - a r ) 一三日( “，“) = a ( n ，v 一“) + ；口( v - u , v - u ) ( “，v 一“) ，v v m ， l a ( v ，v ) 一三1 口( “，“) 盯( u , y - - u ) g 仆t a , 一g i i v i d * + l s ( v - u ) d x 即 a ( v ，v ) 一l 声出+ g l v 陋百1 口( “，“) 一l 丘出+ g 引“陋 亦即 l ( v ) l ( u ) ，v v m 也就是l ( u ) = m i n 三( v ) 。 所以变分问题与边值问题等价。 于是得到以下的定理 定理2 1 1 若u ( x ) c 2 ( q ) r l c l ( 孬) 是边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解，则它 定使泛函( 2 3 ) 达到在m 上的极小；反之，若“是泛函( 2 3 ) 在m 上的极小， 且“c 2 ( q ) ，则甜是边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解。 定理2 1 1 也称为最小位能原理。 在推导过程中我们把式( 2 1 1 ) 作为桥梁，由此又可得到如下定理 定理2 ，1 2 若u ( x ) m 使得式( 2 。1 1 ) 成立，且“c 2 ( f 2 ) ，则u ( x ) 是边 值问题( 2 1 ) 和( 2 - 2 ) 的解，也必定使泛函( 2 3 ) 达到在m 上的极小；反之，若 “( x ) c 2 ( q ) f i 9 1 ( 孬) 是边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解，或“是泛函( 2 3 ) 在m 上 13 燕山大学理学硕士学位论文 的极小，且“c 2 ( q ) ，则u ( x ) 必满足式( 2 - 1 1 ) 。 2 1 2 边值问题、变分问题、变分不等式的关系 为方便，定义一个对变量，v 分别都是线性的双线性泛函 劬，v ，= l 毒瓦o v + 瓦o u 毒卜 和一个线性泛函 f ( v ) 2j n 触 上式中的函数，满足上文中所作的假设。再定义 g ( v ) = g l v 陋 其中，g 乞( r ) 是给定的常数，并且在r 上，g 0 。 于是，泛函( 2 3 ) 可简单的记为 l ( v ) = a ( v ，v ) 一f ( v ) + g ( v ) 定理2 1 1 和定理2 1 2 讨论了以下三个问题的关系 ( 1 ) 求函数“c 2 ( q ) n c l ( 孬) ，满足微分方程( 2 1 ) 和边界条件( 2 2 ) ( 2 ) 求“m ，使得 工( “) 。卿上( v ) 其中工( 1 0 = - - a ( v ，v ) 一f ( v ) + g ( v ) ； ( 3 ) 求“m ，使得 a ( u ，v 一“) g ( ) 一g ( v ) + f ( v 一甜) ，v v m 。 这三个问题中，( 2 ) 是求泛函极值的变分问题；( 1 ) 是变分问题( 2 ) 的e u l e r 方程的边值问题；而( 3 ) 是变分问题( 2 ) 求极值满足的必要条件时得到的，对 它应用g r e e n 公式和变分法引理就可以化为( 1 ) ，故又称( 3 ) 为问题( 1 ) 或者问 题( 2 ) 的变分不等式。 1 4 第2 章理论基础 2 2s o b o l e v 空间与广义解 在经典的意义上讨论微分方程( 或积分方程) 的解都需要对已知条件( 如 方程的系数、非齐次项或定解条件甚至区域) 加上严格的光滑性要求。例如， 对二阶微分方程，则研究有二阶( 连续) 导数的解，这就是所谓的古典解。这 些限制大大缩小了微分方程( 或积分方程) 所能表示的实际问题的范围，把本 来在物理上看来完全有解的问题当成解不存在。为了用微分方程( 通过变分 不等式) 解决实际问题，我们必须降低对解的可微性及已知条件的可微性的 要求，并在扩大了的函数类中寻求在某种适当意义下满足方程和定解条件 的解，称之为广义解。同时微分方程并不是描述自然规律的唯一形式，例 如，在上一节我们已经看到，对于同一个问题，除了可以用求解微分方程 边值问题的手段，还可以用变分法求一个泛函的极小，或者解个弱形式 的变分不等式。对后两个问题，我们只需要求未知函数u ( x ) ec 1 ( - f i ) ，并满 足一定的边界条件。但对于边值问题，则要求解u ( x ) c 2 ( q ) n c l ( - f i ) 。显 然，后两个问题由于对解u ( x 1 的光滑性要求较弱，在实用上带来很大的方 便。因为在很多数学物理问题中，方程( 2 1 ) ( 或泛函( 2 3 ) ) 中的f ( x ，x ，) 并不 “充分光滑”，或者仍然坚持要求u ( x ) c 2 ( q ) ，则会导致边值问题“无解”。 因此，有必要推广边值问题古典解的概念。 首先，用变分法求泛函的极小或求解弱形式的变分不等式已降低了对 未知函数的光滑性要求，如果我们认为这两种方法求出的解就是边值问题 的解( 不要求u ( x ) c 2 ( q ) ! ) ，那么，就开始突破了古典解的概念。 其次，如果我们把容许函数类( 2 4 ) 的范围放得更宽一些，只要使得泛 函( 2 3 ) 有意义就足够，那么，由于容许函数类的扩大，必定使得光滑性要 求降低，从而解存在的可能性就更大，我们也就求得光滑性比一次连续可 微分更低的广义解。例如，只要求m 中的函数“( x ) 满足条件 “l 2 ( q ) ，“ 三2 ( q ) ，“，三2 ( q ) ，“j ，0 仍然可以研究变分问题( 2 5 ) ，但这时已不再要求“c 1 ( q ) 了。 虽然如此，上面的要求中还是出现了“。“，在q 上平方可积”，必 燕山大学理学硕士学位论文 须要求存在导数“。和1 , t ，如果把导数的概念再进行推广，不按经典微积分 理论中的意义来理解，那么这时所求的变分问题的解u ( x ) 就更为广泛了。 我们在本节中首先把函数的概念扩充为广义函数，并把微商、收敛等 数学分析中经典的概念加以扩充，这就导致了s o b o l e v 空间的引入。然后 讨论某一类f 二次) 泛函的极小点的存在性和唯一性，也就是边值问题广义解 的存在性和唯一性。从广义解的唯一性可以看出，我们所作的推广是必要 而又有节制的，没有导致解存在而不唯一。 2 2 1 广义函数、导数 首先介绍广义函数。 经典的函数( 简称为普通函数) 是通过它在某个点的对应值来描述的，要 说明一个广义函数，我们按s c h w a r t z 建立的理论：一个记号为厂的广义函 数是通过它对某个函数类西中的函数妒的作用来定义的。当然函数p 所属 的函数空间要有所选择，除使得按照这种确定的作用关系由妒定出一个数 值，记为( ，妒) ，与之对应外，不应预先要求知道，是什么东西。事实上， 如( 厂，妒) 取为在函数空间。上定义的线性连续泛函，这样广义函数就定义为 在函数空间巾上定义的线性连续泛函，记为 f ( t p ) ；( 厂，t p ) ，v 妒m 显然，每个普通的局部可积分函数也可按上述方式来定义，因而广义 函数包括普通的局部可积分函数。 今后，我们就将定义在某个特定函数空间的线性连续泛函称为广义函 数，把e ( x ) 所属的函数空间，即广义函数所作用的函数空间称为基本函数 空间，简称基本空间。