（计算数学专业论文）基于phtspline的双三次曲面间过渡曲面的构造.pdf

摘要 在现代c a d 曲面造型中，通过多片曲面的拼接来生成复杂模型是一种简单 有效地方法。这也就促使如何构造曲面间的过渡曲面成为了c a d 研究中的一个 热点问题。即对于任意给定的两片或多片曲面及其上的边界线，如何构造一个低 次的过渡曲面，使得该过渡曲面与原曲面在边界线处无缝拼接，并且有尽可能高 的连续性。许多研究者对于这问题提出了很多的方法，如滚球法，偏微分方程 方法，线性组合法等等，但是这些方法都存在着的一些不足之处：如滚球法不能 随意指定边界线且对过渡曲面类型和过渡曲而区域都有限制，偏微分方程方法求 解计算复杂，而线性组合法需要根据边界线的位置对原曲面重新做参数化等等。 为了克服以上方法中存在的不足，本文中提出了一种构造双三次曲面间过渡 曲面的新方法。该方法是基于层次t 网格上的样条函数( p h t s p l i n e ) 来构造的。层 次丁网格上的样条函数空间是由邓建松在2 0 0 5 年提出的。在文f 8 】，f 9 】中，作者详细 的讨论了该空间s ( m ，n ，a ，卢，7 - ) 在m 2 a + l ，n 2 届+ l 情况下的维数，并且构造 了该空间的一组具有正性，单位剖分性及局部支集性的基函数。 本文正是通过层次t 网格上的样条函数空1 法7 s ( 3 ，3 ，l ，l ，丁) 中一片或多片曲面 来构造两片或多片双三次曲面间的过渡曲面。首先我们在原曲面上任意选取过 渡边界线，之后利用伽折线对过渡边界线作任意误差范围之内的逼近，将生成 的“秒折线作为新的边界线，这样就不需要对原曲面重新进行参数化且降低了边 界线的次数，接着使得过渡曲面插值于伽边界线上的几何信息，并通过优化曲面 的某些物理能量来生成最终的过渡曲面。由此构造而成的过渡曲面在新边界线 ( u v 折线) 上与原曲面是无缝拼接的，及具有g 1 的整体连续性，并且还可以通过 调节薄膜能量与薄板能量加权和的权系数来控制过渡曲面的形状。此外，利用层 次t 网格上的样条函数来构造多片双三次曲面问的过渡曲面的时候，过渡曲面的 次数不会随着原曲面数目的增加而升高，整体都是保持3 次的。 本文中基于上述方法详细的讨论了利用一片p h t s p l i n e 曲面构造两片双三次 曲面片间过渡曲面的方法，利用三片p h t s p l i n e 曲面构造三片相交的双三次曲面 问过渡曲面的方法，利用六片p h t s p l i n e 曲面构造三片不相交的双三次曲面间过 渡曲面的方法。对于通过三片或六片p h t s p l i n e 地面来拼接得到的过渡曲面，文中 给出了一种简单的方法处理了g 1 连续拼接的限制条件，并且同时给出了保证3 度 和6 度奇异点处有g 1 连续的处理方法。 关键词：过渡曲面，伽边界线，层次丁网格上的样条函数，g 1 连续，奇异点。 a b s t r a c t i nt h ef i e l do fg e o m e t r i cm o d e l i n go fc a d ，c o m b i n i n gs e v e r a ls u r f a c e si sas i m p l e e a , de f f i c i e n tm e t h o do fc o n s t r u c t i n gc o m p l i c a t e dm o d c l s s ot h a th o wt oc o n s t r u c ta b l e n d i n gs u r f a c ea m o n gs e v e r a ls u r f a c e si sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi nt h ec a d t h a t i s ，f o rg i v e nt w oo rs e v e r a ls u r f a c e sa n dt h o s eb l e n d i n gb o r d e r s ，h o wt oc o n s t r u c ta l o wd e g r e eb l e n d i n gs u r f a c ew h i c hc o n t a c t so r i g i n a ls u r f a c e sa sh i g ho r d e rc o n t i n u i t y a sp o s s i b l e f o rt h i sp r o b l e m ，m a n yr e s e a r c h e sp r e s e n tal o to fm e t h o d s ，l i k em e t h o d o fr o l l i n gb a l l ，m e t h o do fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，m e t h o do fl i n e a rc o m b i n a t i o n a n d8 0o n b u tt h e r ea r es o m ed i s a d v a n t a g e si nt h e s em e t h o d ：l i k em e t h o do fr o l l i n g b a l lc a n tc h o o s ea na r b i t r a r yb l e n d i n gb o r d e r ，m e t h o do fp d ec o m p u t ec o m p l i c a t e d ， m e t h o do f l i n e a rc o m b i n a t i o nh a st op a r a m e t r i z eo r i g i n a ls u r f a c e sa c c o r d i n gt ot h e b l e n d i n gb o r d e r s i no r d e rt oo v e r c o m et h ea b o v e - m e n t i o n e dd i s a d v a n t a g e s ，t h i sp a p e rp r e s e n t sa n e wm e t h o do fc o n s t r u c t i n gb l e n d i n gs u r f a c ea m o n gb i c u b i cs u r f a c e s t h em e t h o d u s e sp o l y n o m i a l so v e rh i e r a r c h i c a lt - m e s h e s ( p h t s p l i n e ) t oc o n s t r u c tb l e n d i n gs u r f a c e p o l y n o m i a l so v e rh i e r a r c h i c a lt - m e s h e si sp r e s e n t e df i r s t l yb yj s d e n gi n2 0 0 5 i n d e n g sp a p e r 8 9 ，h ed i s c u s s e dt h ed i m e n s i o no fp o l y n o m i a l ss p a c eo v e rh i e r a r c h i c a l t - m e s h e ss ( m ，n ，q ，p ，丁) w h e nm 2 a + l ，佗2 p + 1 a n di nt h i ss p l i n es p a c e ，d e n g b u i l tas e to fb a s i sf u n c t i o n sw h i c ha r ea l lp o s i t i v ea n dh a v ep r o p e r t i e so fp a r t i t i o no f u n i ta n dl o c a ls u p p o r t e ds e t t h i sp a p e ru s e so n eo rs e v e r a ls u r f a c e si nt h ep o l y n o m i a l ss p a c eo v e rh i e r a r c h i c a l t - m e s h e ss ( 3 ，3 ，1 ，l ，力t oc o n s t r u c tb l e n d i n gs u r f a c ea m o n gt w oo rs e v e r a lb i c u b i c s u r f a c e s f i r s t l y , w ec h o o s ea r b i t r a r yb l e n d i n gb o r d e r so no r i g i n a ls u r f a c e sr e s p e c t i v e l y , t h e na p p r o a c hb l e n d i n gb o r d e r sw i t hu 口p o l y g o n a ll i n e so no r i g i n a ls u r f a c e si na n yg i v e n t o l e r a n c e a n dt a k et h eu up o l y g o n a ll i n e sa sn e w b l e n d i n gb o r d e r s i nt h i sw a y , n o to n l y o r i g i n a ls u r f a c e sn e e d n tr e 。p a r k m e t e r i z ea c c o r d i n gt ob l e n d i n gb o r d e r s ，b u ta l s ot h e b l e n d i n gb o r d e r s d e g r e ei sr e d f i c e st o3 s e c o n d l y , w el e tb l e n d i n gs u r f a c ei n t e r p o l a t e t h eg e o m e t r i ci n f o r m a t i o no i lu p o l y g o n a ll i n e sa n do p t i m i z es o m ep h y s i c a le n e r g yt o c o n s t r u c tt h ef i n a lb l e n d i n gs u r f a c e t h eb l e n d i n gs u r f a c ec o n s t r u c t e db yt h i sm e t h o d c o n t a c t so r i g i n a ls u r f a c e sw i t hn og a pa n dg 1c o n t i n u i t ya tu up o l y g o n a ll i n e s a n d t h es h a p eo ft h eb l e n d i n gs u r f a c ec a nb ec h a n g e de a s i l yb yc h o o s i n gd i f f e r e n te n e r g y w e i g h t w h a t sm o r e ，t h ed e g r e eo fb l e n d i n gs u r f a c e ，c o n s t r u c t e db yp o l y n o m i a l so v e r h i e r a r c h i c a lt - m e s h e s ，i sa l w a y s3w h i l et h en u m b e ro fo r i g i n a ls u r f a c e si n c r e a s e s 中国科堂堡查奎堂堡圭望些堡壅 一。一 i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s si nd e t a i lh o w t oc o n s t r u c tab l e n d i n gs u r f a c eb e t w e e n t w o b i c u b i cs u r f a c e sb yo i l ep a t c ho fp h t s p l i n es u r f a c e ，h o wt o c o n s t r u c ta b l e n d m gs u r f a c e a m o n gt h r e eb i c u b i cs u r f a c e sw i t hi n t e r s e c t i o n sb yt h r e ep a t c h e so fp h t s p l i n e s u r f a c e s ， h o wt oc o n s t r u c tab l e n d i n gs u r f a c ea m o n g t h r e eb i c u b i cs u r f a c e sw i t h o u ti n t e r s e c t i o n s b vs i xp a t c h e so fp h t s p l i n es u r f a c e s i nt h ee a s eo fc o n s t r u c t i n gb l e n d i n g s u r t a c ew l t n t h r e ed a t e h e sa n ds i xp a t c h e so fp h t s p l i n es u r f a c e s ，w ep r e s e n tas i m p l ew a y t om a k e s u r et h eb l e n d i n gs u r f a c eh a sg lc o n t i n u i t ya l o n gt h ec o n t a c t l i n e sa m o n gt h e 乞h r e eo r s j xp a t c h e so fp h t s p l i n es u r f a c e s ，a n da l s od i s c u s sh o w t od e a lw i t hr e s t r i c t i o no fg l c o n t i n u i t ya tt h es i n g u l a rp o i n tw i t hd e g r e et h r e ea n d s i x k e y w 。r d s ：b 1 e n d i a gs u r f a c e ，b i e n d i n gb o r d e rl i n e , 删p o l y g 。h a ll i n e s ，p h t s p l i n e ，g lc o n t u i n i t y ，s i n g u l a rp o i n t l v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名： 签字日期： 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 ， 虹忪开 作者签名： 签字日期： 口保密( 年) 导师签名：西丝鱼 签字日期：盟丛 致谢 作者自2 0 0 7 年开始研究生阶段学习以来，在导师邓建松教授的指导下，开展 计算机辅助几何设计方面的研究。本论文的工作是在邓建松教授的悉心指导下 完成的，他不但把渊博的知识无私的传授给了我，而且通过他的言传身教，用他 严谨治学、实事求是的研究作风潜移默化的影响了我，他的高尚的学术风格、博 大的处世胸怀、平易近人的工作作风将对我今后的科研工作产生深远的影响。此 外，邓老师在传授我最新的专业知识的同时，也教我如何进行学术研究。邓老师 有着坚实的理论基础和丰富的研究经验，本文的工作都是在和他讨论之下完成 的。 科大多年的生活，数学系的许多老师和同学都给予了我许多的关怀和帮助。 特别要感谢黄稚新老师，本文的完成和她的关怀是分不开的。另外还要特别感 谢c a g d 研究小组的其他老师和同学，包括杨周旺老师，李新，王军，史晓冉，王 平等等，与他们的讨论使我受益匪浅，也同时谢谢他们对我的支持、鼓励和帮助。 此外，感谢同班多年的同学这些年在我学习生活中给予的帮助和支持。 最后，我要感谢我的父母，感谢他们这么多年来的全力支持，使我能够安心 学习并顺利完成学业。 第一章绪论弟一早殖比 在工程设计和几何建模过程中，如何构造曲线或曲面间的具有一定连续性的 过渡曲面一直是一个重要的问题。即： 给定两片或多片曲面，以及其上的大致边界线的位置，如何构造一个过渡 曲面，使得其与原曲面之间在边界线处无缝拼接，并且具有一定的连续性，如图 ( j j ) 。 下面我们分别就曲面的不同表示形式( 隐式表示和参数表示) ，简要的回顾 一下已有的一些构造过渡曲面的方法。 1 1 参数曲面 滚球过渡是两片参数曲面间构造过渡曲面的经典方法，这样所生成的过渡曲 面和原曲面问是g l 连续的。滚球法( 如图1 2 ) 根据滚球半径是否变化可以分为两 类：一类是常半径滚球过渡方法( 可参考c h o i ) f b j u 2 1 ) ；另一类是变半径滚球过渡 方法( 可参考c h u a n g $ f l h w a n g 7 1 ) 。在某些简单的情况下，a l l e n 幂d d u t t a 1 1 引入超 二次曲面代替变半径滚球法来构造过渡曲面这些方法构造过渡曲面简单易行， 但有如下不足之处：滚球过渡方法生成的过渡曲面都为圆弧面，这样就限制了过 渡面的生成区域，而且对过渡区域和边界线都有限制，也就无法任意规定边界线 的位置，失去了灵活性；此外滚球法也无法做到同时对几片曲面构造过渡曲面。 偏微分方程方法也是一种构造参数曲面间过渡曲面的重要方法，该方法通 过求解一个给定边界限制条件的偏微分方程即可得到要求的曲面。b l o o r 1 7 首先 利用一个给定边界值和其上方向导数的四阶偏微分方程，构造出了一个过渡曲 面。之后为了求解这个四阶偏微分方程，发展了很多的数值方法，如用有限元方 法求解f 1 4 l ，用有限差分方法求解【2 4 l 或是用配置法求解( c o l l o c a t i o nm e t h o d ) 3 等 等。z h a n g 和y o u 2 5 在b l o o r 定义的四阶p d e 中引入了更多的控制变量，使得求解 出来的过渡曲面能更加有效进行形状控制。另外所有的由四阶p d e 求解出的过渡 图1 1 构造过渡曲面 l 中国科学技术大学硕士毕业论文 图1 2 滚球方法 曲面都是g 1 连续的。 近年来，一个用于表示液体薄膜形状的六阶p d e 及其加上适当的边界条件之 后，被用作求解曲面问的过渡曲面。这样得到的过渡曲面和原曲面间有g 2 连续。 为了求解该p d e ，发展了不同的数值方法，如b l o o r l 5 1 的f o u r i e r 方法，b l o o r 4 的伪 特征值法，l h y o u 2 3 的特征函数法等等。 由于p d e 方程抽象于物理模型，所以用p d e 方程构造的过渡曲面会比较近似 于实际模型需要。但是求解p d e 方程的复杂计算是p d e 用来构造过渡曲面的一大 阻碍。此外用p d e 方法来构造过渡曲面还有一个不足是，由于边界的方向导数不 易确定，从而导致过渡曲面的形状不易控制。 通过两片参数基曲面的线性组合来构造过渡曲面也是一种常用的方法。最初 的组合函数是线性函数，得到的曲面只有c o 连续。之后e r i c hh a r t m a n n 1 1 构造 出了新的组合函数，使得得到的曲面具有c n 连续。m e e k 和w a l t o n 1 5 更新了组合 函数，得到的曲面具有g n 连续，并且使得曲面更具可调性。虽然这些方法可以使 得原曲面和过渡曲面问达到g n 连续，但是有一个不足；即在线性组合之前需要对 原曲面根据边界线的位置重新参数化，使得两边曲面有一致的参数表示，这样才 能通过线性组合出所需的过渡曲面。此外，通过线性组合的方法也无法同时构造 多片曲面间的过渡曲面。 2 中国科学技术大学硕士毕业论文 1 2 隐式曲面 相比于参数曲面，隐式曲面在表示复杂形状的几何形体中具有很大的优越 性。所以研究如何构造隐式曲面间的过渡曲面也是几何造型中的一个重要问题。 r o s s i g n a c 和r e q u i c h a 1 9 提出了用滚球法构造两片隐式曲面间的过渡曲面。但 是用这种方法得到的过渡曲面次数很高，表达式复杂，而且若球半径选择过大时， 过渡曲面会出现自交现象。之后m i d d l e d i t h c h f f l s e a r 1 6 过利用l i m i n g 技巧来构 造过渡曲面，r o c k w o o d 和o w e n 【1 8 】提出了基于所谓的替代法来构造过渡曲面，然 而他们的方法所得到的过渡曲面次数高的问题还是没有被克服。 c h e n 6 ：乖l j 用分片代数曲面给出了二次代数曲而间的过渡曲面，该方法降低 了过渡曲面的次数，但是边界线必须为一平面和该二次曲面的交线，无法任意指 定。另外i i o 胁a n n 和h o p c r o f t f l 2 1 基于理想理论提出了个两片隐式曲面问过渡曲 面构造新方法，甚 j p o t e n t i a l 方法。w a r r e n 2 0 提出了一个隐式曲面间几何连续的新 概念，耳 j r e s c a l i n g 连续，并且他讨论了过渡曲面的代数结构。w u _ j f l l w a n g 2 2 通过 利用特征集合方法讨论了几片二次曲面间的过渡曲面构造方法，但是该方法需要 通过复杂的符号计算来求得特征集合，w u 幂1 z h o u 2 1 通过g r o b n e r 基构造出的几 片二次代数曲面间的具有g 1 连续的过渡曲面，避免了这种复杂的符号计算，但是 边界线选取比较单一，无法构造随意的边界线。 以上这些方法虽然得到了相对次数较低的过渡曲面，但遗憾的是，由这些方 法构造出来的过渡曲面都缺乏可调节的参数来控制曲面形状。 1 3 本文目标 对于上面描述的几种关于构造过渡曲面的方法，都或多或少的存在着一些不 足之处，如：隐式过渡曲面次数高：滚球法对边界线和过渡曲面区域的限制；偏 微分方程求解过渡曲面的复杂：线性组合法需要对边界线重新参数化等等。 为了克服以上的不足之处，在本文中我们提出一种在双三次曲面间的构造过 渡曲面的新方法。因为考虑到层次t 网格的局部加细的性质，我们构造过渡曲面 的方法是基于定义在层次t 网格上的样条函数。同时为了避免对边界线做复杂的 重新参数化和有效地降低过渡曲面的次数，我们采用曲面上的札u 折线段来作为新 的边界线( 因为札线或u 线都只是三次的) ，其中“u 折线是对原边界线的在任意允 许误差之内的逼近。这可以由层次丁网格的局部加细性质保证。由此生成的过渡 曲面有如下优势： ( 1 ) 不需要对过渡曲面边界线重新参数化； 3 中国科学技术大学硕士毕业论文 图1 3 用曲面上的乱u 折线来逼近边界点或边界线 ( 2 ) 可以在任意误差之内逼近任意的过渡曲面的边界线； ( 3 ) 可以同时对几片双三次曲面构造过渡曲面； ( 4 ) 生成的过渡曲面也是双三次的； ( 5 ) 具有可调节曲面形状的参数。 具体想法如下：假设原曲面为鼠( 乱，”) ，在其上任意取定边界点( 碍) 篓，或是任意的 边界线& ( 吼( ) ，玩( ) ) ，我们利用曲面上的u 可折线来对边界点或边界线做逼近，并将 近似而成的伽折线作为我们构造过渡曲面新的边界线( 如图1 3 ) ，这样一来边界 线就用不着重新参数了。此外，由于层次丁网格的局部可细分的好处，可以使得我 们在边界点或边界线处尽量加细，使得逼近到任意给定误差允许范围之内，而不 影响到层次t 网格内部基点的个数，从而使得构造的效率大大提高。利用伽折线 作为边界线还有一个好处：因为曲面的u 镌毙段都是三次曲线，这样我们就可以用 一个三次曲面对其做无缝拼接；否则因为一般双三次曲面上的曲线至少是六次的 ( 除了删线) ，很难用一个低次的曲面做到无缝拼接。在构造过渡p h t s p l i n e 蜘面 时，对于边界上基点对应的控制系数插值于曲面上对应点的几何信息，这样可以 使得过渡曲面和原曲而间有g 1 的连续性。对于层次t 网格内部的基点，则通过曲 面的薄膜能量和薄板能量的加权和来求解。同时可以通过改变加权系数来调节过 渡曲面的形状。在同时构造多片剃三次曲面间的过渡曲面的时候，我们也用了多 片p h t s p l i n e 曲面来拼接成过渡曲面。在处理过渡曲面片与片的拼接处的g 1 连续 性限制条件时，我们可以根据p h t s p l i n e 曲面的性质，简化到对应基点处的控制 系数间的简单关系，从而使得处理限制条件变得极其方便。同时我们也利用g 1 连 续性条件方程给出了3 度奇异点和6 度奇异点处的处理方法。 本文内容安排如下，在第二章中具体介绍层次丁网格上的样条函数的构造及 其性质；第三章中介绍利用p h t s p l i n e 构造两片双三次曲面间的具有g 1 连续的过 4 中国科学技术大学硕士毕业论文 渡曲面；第四章中将会介绍利用p h t s p l i n e 来构造三片双三次n l i 面问的具有g 1 连 续的过渡曲面，分为两类情况来讨论，一是三片曲面相交( 两两之间有公共交 点) ，二是三片曲面不相交( 两两之间无公共交点) ：第五章中是结论。 5 第二章基础知巾l y , 弗一早銎们函大 t 网格上的样条函数空间首先由邓建松在2 0 0 5 年1 8 】提出，并且作者详细讨论 了该样条空l n s ( m ，n ，卢，丁) 在m 2 a + 1 ，n 2 z + l i t v 于的维数。为了更好地应用 这类样条，作者在一类特殊的t 网格( 层次t 网格) 上构造了一组具有非负性，单 位分解，局部支集等性质的基函数( 见【9 】) 。 2 1 t 网格上的样条函数空间 在本节中，我们先给出t 网格的定义及其上的一些概念，然后介绍t 网格上 的样条函数空间。 2 1 1t 网格 所谓丁网格是指一般矩形网格中允许t 点的存在。如图2 1 就是一个引稠格。 t 网格边界上的点称为边界点，否则称为内部点。如图2 1 中b i ，i = 1 ，1 0 为 边界点，仇，i = 1 ，5 ) 9 内部点。内部点有两种类型：十字点和t 点，如图2 1 中v 2 为 十字点，其余为内部点为t 点。 t 网格上连接两个点之间的线段称为边。边分为边界边和内部边两类，如 图2 1 中b 1 5 , 2 ，b 7 b 8 为边界边，b g v 3 ，v 2 v 5 为内部边。所谓组合边( 简称c 一边) 是一条 有一些内部边组成的线段，要求这条线段尽可能的长，但是这条线段包含的点 ( 除了端点之外) 必须都是丁点。如图2 1 d p b g b 5 ，b x o v 2 ，b 7 u 4 都是c 一边，b 2 v 5 ，b o k 则不 是c 一边。c 一边是证明t 网格上样条空间维数的一个重要概念。 有了t 网格的定义，下面我们来研究其上的样条函数空间。 2 1 2 t 网格上的样条空间 给定一个t 网格丁，记厂为t 网格中所有的胞腔，q 为丁定义的区域。定义丁网 格上的样条函数空间： s ( m ，n ，o z ，p ，力：= s ( z ，y ) c a ( q ) ，s ( z ，兰，) i 咖p m nf o ra n y 厂) i ， 其中n 是z ，y 次数分别为m ，几的二次多项式空间，c 。，卢( q ) 是定义在区域q 上，并 且在x ，可方向上分别q ，卢阶连续可微的函数空间。由定义可知，层次丁网格上的样 条函数空i e s ( r n ，n ，q ，卢，力是一个线性空间。对于该空间上的维数，有如下定理： 6 中国科学技术大学硕士毕业论文 图2 1t 网格 定理1 给定一个正则的t 网格和其上相应的样条函数空f - l s ( m ，n ，口，p ，丁) ，并且 有m 2 a + 1 ，n 2 z + 1 ，则有 d i m s ( m ，n ，q ，p ，7 0 = r ( m + 1 ) ( n + 1 ) 一e h ( m + 1 ) ( p + 1 ) 一玩( a + 1 ) ( n + 1 ) + y ( q + 1 ) 0 + 1 ) ， 其中f 为t 同格中的胞腔数，e h ) g t z 格中水平内边的条数，鼠为t 同格中竖直内 边的条数，y 为t 网格中内部点个数。 特别地， s ( 3 ，3 ，l ，1 ，7 - ) = 4 ( v 6 + v + )( 2 ：1 ) 其中护，y + 分别表示丁网格上的边界点数和内部十字点数。 考虑到本文是样条函数空间8 ( 3 ，3 ，1 ，1 ，7 0 的应用，其中丁是层次t 网格。下面 我们着重来介绍一下层次t 网格及其上的样条基函数的构造。 2 2层次t 网格及其上的样条基函数的构造 这一节，我们将介绍丁为层次t 肛- 格时，样条空间s ( 3 ，3 ，1 ，1 ，丁) 的基函数的构 造方法。根据等式2 1 ，我们知道样条空间s ( 3 ，3 ，1 ，1 ，7 - ) 维数是基点( 边界点，十 字点) 个数的四倍，因此可以在每一个基点上定义四个基函数。在此之前，我们 先来定义层次t 网格。 2 2 1 层次t 网格 层次丁网格是一种很特殊的丁网格，它具有很自然的层次结构，它是一个张 量积网格在局部逐渐加细后得到的网格。下面就以图2 2 作为一个例子来定义层 7 中国科学技术大学硕上毕业论文 8 第u 层 ii ll + b 第l 层c 第2 层 图2 2 层次丁网格 次t 网格。给定一个标准的的张量积网格，比如图2 2 a ，它称之为第0 层网格，而 它的任何一个胞腔称为第0 层胞腔。 假设从第0 层中根据某种规则选择某些胞腔，并通过连接相对的两条水平边 和竖直边的中点将它们分成四个子胞腔，这样就得到第1 层网格，那些新加的胞 腔称之为第l 层胞腔，如图2 2 b 。继而重复上面的步骤，如图2 2 c ，从b 中选择了3 个 第1 层的胞腔，并加入了1 2 个第二层的新胞腔。这一个过程可以持续有限步，由此 生成的网格称为层次丁网格。而网格的层次就是它的胞腔的最大层次。 2 2 2 基函数的构造 首先介绍一下构造过程中基函数的表示方法。在这里基函数表示成每一个胞 腔中的一个双三次多项式，这个多项式可以是用这个胞腔中的b d z i e r 纵标来表示。 所谓一个胞腔的b z i e r 纵标就是在这个胞腔的( i 3 ，j 3 ) ，i = 0 ，3 歹= 0 ，3 t & 给定一个实数，从而每一个胞腔就对应了1 6 个b d z i e r 纵标，如图2 3 所示。一个胞 腔的1 6 个b d z i e r 纵标就对应一个3 x 3 次多项式，比如在图2 3 ( a ) 中的纵标就对应多 项式i ( s ，t ) = 1 砩( s ) 明( ) + 磅( s ) 磁( ) ，其中霹( s ) 是三次的b e r n s t e i n 多项式。 下面我们来仔细说明基函数的构造方法。总的来说，基函数是按照t 网格的层 次一层一层的构造的。假设给定一个层次t 网格7 一，它的第0 层网格是一个标准的 张量积网格，假设它的水平节点为“8 u o u ：，竖直节点为诣 v o 0 0 1 ，j = 0 ，2 ) ) d y = m i n ( m i n p ! ，( p i + 1 一只) ：砌( 一p i + 1 一p i ) 0 0 1 ，i = 0 ，1 ) m i n p ( q j + 1 一殇) ：助( 岛+ 1 一岛) 0 0 1 ，j = 0 ，n d ) 几( z ，! ，) ：= z 和西( z ，y ) ：= 耖分别为z 方向和方向上的投影函数。 其映射可表示为： 妒：q 3 _ ( 茁，y ) h q ； ，0 2 0 2 、 【瓦馏历纠 第五步：为了剖分的均匀性和增加一些过渡曲面的自由度，考虑在q ；中增加适当 的剖分线。 如果存在i ，使得f z 件1 一池 0 5 ，则在z = 堡学处插入新的剖分线；同样如果 存在j ，使得f 协毒l l y i 0 5 ，则在y = 纽每地处插入新的剖分线。如此循环检测 增加之后得到的剖分线集合记为 z = i x i o 懈， y = z ；) 。 这样，由剖分线 z = 域) 孑i ， y = z 矽；) 孑i 生成的张量积网格就作为了我们层次丁网 格的初始层( 第。层) 网格。 这样，我们就构造出来了一个初始张量积网格，图3 2 是由边界拟合点只，忍，马， q 1 ，q 2 ，q 3 根据上面的步骤生成的初始的张量积网格。 1 6 中国科学技术大学硕士毕业论文 i b ( 碍、 i 立t 茹 l p ： l g ( 西 j b i“ i b i 片) f l , 西 i 8 暇 i 么 初始的张蕴祝网格乙 图3 2 初始张量积网格及其边界点。 3 1 2 层次t 网格的加细 为了描述的方便，我们记b l e n d i n g 的拟合边界点在初始的张量积网格上的位 置为： 露】- 分，s w r s j * ，i o n ；，对应到原始曲面上为： 耳 ， q ) 。不妨设其映射为： x l ( 耳) = 譬， x 2 ( 研) = q ， i = 0 ，孵； j = 0 ，婀； 下面我们先利用曲面上的u u 线来生成初始近似的b l e n d i n g 边界线。 定义1 定义映射： 、 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 口jp f 是定义在点集点集到点集上的映射，即p f 0 ，q ) = ( 如( p ) ，如( 口) ) j 其中a g 是二维平面上的点。 这样在t 网格上的初始的b l e n d i n g 边界线为： 连接点集 昂，p f ( p 一笞，p ? l ) ，日，p f ( p 硒_ 1 ，嘞) ，昂；) 折线段。 由这些折线段对应到曲面岛( u ，) 上，就生成了曲面& ( u ，”) 上由一些u 线段组成 的b l e n d i n g 边界线，如图3 3 。 同样对于曲面函( u ，t ，) ，对应t 网格上的初始的b l e n d i n g 边界线为： 连接点集 玩，p f ( 国；，国；) ，亩；，p f ( 国赫二1 ，亩沁) ，翰) 折线段。 由这些折线段对应到曲面岛( u ，u ) 上，就生成了曲面( u ，u ) 上的由一些缸u 线段组 成 拘b l e n d i n g 边界线，如图3 3 。 1 7 中国科学技术大学硕士毕业论文 啦 镞滤 一一l 一肌一 图3 3 初始张量积阿格( 阴影面为边界面 其次：有了这两条初始的b k n d m g 边界线，接下来我们就可根据细分准则来加 细b l e n d i n g 边界线。 在此之前，为了下面描述的方面，我们定义几个概念： 定义2 边界面和误差函数： f j j 层次r 同格上的边界面：同时包含两个或两个以上的拟台点( 耳) ，f 珥) 铲的 面- 并且记：碍为同时包含耳，耳 l 的边界面：砰寿同时包含礴，珥+ l 的边界 面。 r 印边界州上的误盖畦为：x i ( p f ( 露，置1 ) ) 到点加( 覃) 和自- x a ( 曩1 ) 问测地线 段的剥地距离： 边界面碍上的误差为：( p f ( 田，田+ 1 ) ) 虬董x 2 ( 田) 和点x 2 【嘭+ 1 ) 问测地线 段的测地距离： 下面我们来介绍细分算法 算法1 ( 细分算法) 算法如下： r u 遍历每个边界面对( 碍) 计算它上的误差司( 田) j 如果 t d ( 呼 。f ) 则对 边界面矸( 碍) 在其中心点进行细分，并把其中心点加八到拟合点集合中，作 由斯的拟台点：否则算法停止。 俐如果矸( 碍) 上下左右四十相邻面中没有被细分的话我们也时其做中心点细 分。这是为了在接下来构造计线的时候使得每个折点都是基点( 十字点) 。 例更新边界面，井返回f 纠- 巾国科学技术大学硕士毕业论文 老i 卜- i ： j _ 生 牛 警 圭 + i 卜 手+ i _l壬 工 一 l 十丰千 +士 且= 图3 , 4 细分一次之后的层敬r 两格及其边界点( 阴影面为更新后的边界面 注：关于边界面群( 霹) 的误差趔( 碍) 在实际计算中，为了提高计算效率，我们可 以用以下的距离来代替： ( 1 ) 边界面辟上的误差田等于n ( p f ( 露，露) ) 到线段x l ( 曰) x d 龟1 ) 的直线距离； ( 2 ) 边界面呼上的误差d 等于x 2 ( p f ( 奶，嘭+ 。) ) 到点线段船( 曰) x ：( 审知- ) 的直线 距离。 3 2 过渡曲面的构造 在率小节中，我们将利用上节中构造完成的层次r 同格r 来构造定义在该网 格上的双三扶样条曲面a ( ”) 和岛( n ，”) 问的过渡曲面。不妨记定义在丁上的过渡 曲面为： p l i t ( u , v ) = 时g ( ”) ( 35 ) ，= 0 下面要做的事是求解p h t s p l i n e m l 面上的未知系数：钟，= 0 ，3 ，j = 0 ，1 ，。 首先先来确定b i e n d i n e 边界拟台点上的未知系数。 32 1 插值b l e n d i l l g 边最边上的点 为了使得过渡曲面p h t ( u ，”】和原来的职三次样条曲面s 】( 虬。) ，岛( u ， ) 在边 界线处能够做i q 无缝拼接，井且有g t 的连续，根据层次r 网格上样条函数的性 质，只需过渡曲面p 日丁( ，”】插值于曲面岛( u ，”) 在点x i ( 耳) ，x d p f ( 覃，电1 ) ) 处 的几何信息，以及曲面岛( n ) 在点x 2 ( 奶) ，x 2 ( 尸f ( 曰，田+ 1 ) ) 处的几何信息 先计算点集( x 。( 露) ) ， x l 【尸月( 卑，丘h ) ) ) 1 和点集协( 讲) ) 铲 x 2 ( p b ( 嚼珏。) ) ) - 1 上的几何信息。 1 9 中国科学技术大学硕士毕业论文 为了方便描述，记g 。是从点集到几何信息集合的映射，即 g t ( p ) = ( & ( 让，u ) ，最( u ，u ) u ，& ( t ，u ) t ，s i ( u ，u ) 伽) i x 。( p ) ，i = 1 ，2 其中p 是层次t 网格丁上的点。 有了这些点处的几何信息，下面我们就可以确定过渡曲面p h t ( u ，口) ( 公式3 5 ) 的 层次t 网格丁中b l e n d i n g 边界拟合点对应的的控制系数了。根据定理2 和公式2 3 得 到： 基点露处的对应的四个控制系数为 ( e l ，四，凹，四) = ( s l ( u ，u ) ，s l ( u ，u ) u ，s a ( u ，口) 口，s l ( u ，u ) u 口) 曰) ( 鼠) ； 基点p f ( 露，p h 1 ) 处的对应的四个控制系数为 ( 四，讲，谚，四) = ( 魏( u ，u ) ，s l ( u , v ) u ，s l ( u ，口) t ，s l ( u , v ) u t ，) 胛( 露，曩，) ) ( 鼠) ； 基点留处的对应的四个控制系数为 ( 四，四，喏，四) = ( 岛( 乱，u ) ，s 2 ( u ，u ) u ，岛( u ，u ) ，s 2 ( 乱，u ) u 口) q ；) ( 岛) ； 基点p f ( ( 霹，嘭+ ，) 处的对应的四个控制系数为 ( 四，喏，四，四) = ( ( u ，u ) ，岛( u ，u ) u ，( u ，t ，) u ，岛( u ，u ) u u ) i x 2 ( 尸f ( q ，嘭+ 。) ) ( 马) 由上可以确定过渡曲面j p h t ( u ，u ) 在边界拟合点所对应的控制系数，即： 33 p h t ( u , v ) = g 詹够( u ，t ，) + 喏够( u ，口) ( 3 6 ) j 6 b k = oj m k = 0 其中b + 为层次丁网格丁上b l e n