（模式识别与智能系统专业论文）基于小波变换的彩色图像混合编码.pdf

中文摘要 随着多媒体应用的普及、数字视频技术的发展及网络上图像传输的增多( 如 可视电话、图像的远程浏览与检索、全球多用户虚拟环境共享等) ，对图像处理 技术的研究变得越来越重要。对于图像采集、存储和传输过程来说，迫切需要快 速发展图像压缩技术。 小波分析由于良好的时频局部性成为图像压缩编码的主要技术。矢量量化 技术涉及多种学科领域的理论和技术，如信息论、编码理论、通信原理、保密技 术、信号处理、优化理论、模糊集合论、矩阵分析、神经网络、小波变换、视觉 模型、拓扑学、随机概率理论、预测技术和模式识别等等。算术编码已经被许多 编码标准所采用，它的一个最大的优点就是可以在编码过程中调整信号的概率模 型，是一类高效、普适的无失真编码。 本文“基于小波变换的彩色图像混合编码”在详细阐述图像编码基本理论的 基础上，对小波分析和变换，算术编码，矢量量化编码这三大编码技术进行了研 究和论述。在此基础上，将小波变换，算术编码，矢量量化编码这三大编码技术 结合，提出新的静态彩色图像编码方法，对低频小波系数采用自适应算术编码， 对高频小波系数采用矢量量化编码。在矢量量化编码中改进了分层矢量量化码书 的设计，从而优化了最终码书，降低了计算复杂度。在研究过程中，用c 语言 实现了彩色图像混合编码系统，实验结果p s n r 值表明重建彩色图像的质量得 到了提高，在相同压缩率下优于j p e g 。 关键词： 小波变换算术编码矢量量化编码彩色图像 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm u l t i m e d i aa p p l i c a t i o n s ，d i s t a lv i d e ot e c h n i q u e sa n d t r a n s m i s s i o ni m a g e si nh e t e r o g e n e o u sn e t w o r k s ( s u c h 醯s m a r tc e l lp h o n e ， l o n g d i s t a n c eb r o w s i n g a n ds e a r c h i n gf o r i m a g e s ，g l o b a im u l t i - u s e r v r t u a i e n v i r o n m e n ts h a r i 妇喀，a n ds oo n ) ，i m a g ep r o c e s s i n ga n dc o d i n gt e c h n i q u e sb e c o m e i n c r e a s i n gm o r ei m p o r t a n t e s p e c i a l l yf o ri m a g ea c q u i s i t i o ns y s t e m ，i m a g es t o r a g e a n di m a g et r a n s m i s s i o np r o c e s s ，i m a g ep r o c e s s i n ga n di m a g ec o d i n gt e c h n o l o g yh a s b e e nw i d e l ye m p l o y e d ， w a v e l e ta n a l y s i si sb e c o m i n go n eo ft h ei m p o r t a n tt e c h n i q u e su s e di ni m a g e c o d i n gd u et oi t sg o o dp e r f o r m a n c ei nt i m ed o m a i n v e c t o rq u a n t i z a t i o nr e l a t e st o d i f f e r e n tr e s e a r c ha r e a s ，s u c ha si n f o r m a t i o nt h e o r y , c o d i n gt h e o r y , c o m m u n i c a t i o n t h e o r y ；s e c u r i t yt e c h n o l o g y , s i g n a lp r o c e s s i n g ，o p t i m i z a t i o nt h e o r y , f u z z yt h e o r y , m a t r i x a n a l y s i s ，n e u r a ln e t w o r k ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，v i s i o nm o d e l ，t o p o l o g y , s t o c h a s t i cp r o c e s s ，p r e d i c t i o nt e c h n i q u e ，p a u e mr e c o g n i t i o n ，a n ds oo i l a r i t h m e t i c c o d i n gi sa d o p t e db ym a n yc o d i n gs t a n d a r d s o n eo fi t sm a i na d v a n t a g e si st h a tt h e m o d e lo ft h ei n p u ts y m b o l si sa d a p t i v e t h ea r i t h m e t i cc o d i n gi sa ne f f i c i e n tl o s s l e s s c o d i n g t h i st h e s i sd r i e d c o l o rs t i l li m a g ec o m b i n e dc o d i n gb a s e do nw a v e l e t t r a n s f o r m ”f i r s ti l l u s t r a t e ss o m er e l a t e di m a g ec o d i n gt h e o r y , a n dt h e nf o c u s e so nt h e d i s c u s s i o na b o u tt h r e eu s e f u lc o d i n gt e c h n i q u e s ；t h e ya r ew a v e l e ta n a l y s i sa n d t r a n s f o r m ，a r i t h m e t i cc o d i n g ，a n dv e c t o rq u a n t i z a t i o nr e s p e c t i v e l y b a s e do nt h e d i s c u s s i o n ，w ej o i n t l yu s e dw a v e l e tt r a n s f o r m ，a r i t h m e t i cc o d i n g ，v e c t o rq u a n t i z a t i o n a n dt h en e wc o d i n gs c h e m ep r o p o s e di nt h ec o l o ri m a g ep r o c e s s i n g ，i nt h i ss c h e m e l o w - f r e q u e n c y c o e f f i c i e n t s a r ee n c o d e d b ya d a p t i v ea r i t h m e t i cc o d i n g a n d l l i 鲈f r e q u e n c yc o e f f i c i e n t s a lee n c o d e db yv e c t o rq u a n t i z a t i o n d u r i n gt h ev e c t o r q u a n t i z a t i o np r o c e s s ，w ei m p r o v et h e c o d e b o o kd e s i g na l g o r i t h mf o rh i e r a c h i c a l v e c t o rq u a n t i z a t i o nc o d e b o o ka n df i n a l l yo p t i m i z et h ec o d e b o o k i nt h i sw a y , t h e c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yi sg r e a t l yr e d u c e dw i t i l ab e t t e rr e c o n s t r u c t e di m a g e q u a l i t y t h ep r o p o s e ds y s t e mh a sb e e ni m p l e m e n t e db ycl a n g u a g e t h ee x p e r i m e n t r e s u l t ss h o wt h a to u rp r o p o s e da l g o r i t h mh a sam u c hb e t t e rp e r f o r m a n c et h a nj p e g c o d i n gs t a n d a r d ，w i t ht h es a m ec o m p r e s s i o nr a t e ，o t l rp r o p o s e da l g o r i t h mc a no b t a i na b e t t e rp s n rv a l u et h a nj p e g k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m , a r i t h m e t i cc o d i n g ，v e c t o rq u a n t i z a t i o n ，c o l o ri m a g e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期： 劢d 7 年f 月嗲同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤望盘堂 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 歌象及 导师签名： 签字日期：b 币 1 月1 严日签字r 期：一孑年，月2 孕同 天津大学硕士学位论文基于小波变换的彩色图像混合编码 1 1 图像分类 第一章绪论 ( 1 ) 根据图像色调的不同，把图像分为单色( 黑白、灰度) 图像和彩色图像。 灰度图像从数学上说就是一个二维数组，也称之为单分量：彩色图像则包含了多 个彩色分量，在国际标准中也称为多分量。每个分量都是一个二维数组。对多分 量图像进行编码实际上就是分别对每个分量进行编码，但为了获得最佳的压缩效 率，通常在编码之前使用合适的变换去除分量之间的相关性。 ( 2 ) 根据每个分量象素的幅度层次不同，把图像分为连续色调图像和二值图 像。当图像的分量只有两种幅度等级时，则为二值图像；当为两种以上幅度时， 则称为连续色调图像。 ( 3 ) 根据图像内容，即景物随时间变化性质的不同，将图像分为静态图像和活 动图像。静态图像只需要一幅图像就足以代表所考虑的时间段，因为图像的内容 保持不变；而活动的图像由一系列按时间顺序排列的给定时间段内的二维图像序 列，即序列图像。 本文研究的为彩色静态图像编码。 1 2 编码概述 图像是客观世界能量或状态以可视化形式在二维平面上的投影。为了实现图 像的存贮和传输，图像的压缩编码成为技术的关键【2 】。图像的压缩编码最直接的 目的就是尽量降低一幅图像的数据量，同时：( 1 ) 或者保持图像的内容不变；( 2 ) 或者使内容的差别在定的控制范围内；( 3 ) 或者保证一定观察效果的主观质量。 第一种情况被称为无失真或无损编码，后两种情况被称为有限失真或有损编码。 1 2 1 压缩与编码 图像编码主要分为信源编码和信道编码。信源编码主要任务是解决有效性 问题，也就是说在编码过程中尽量提高编码效率，力求用最少的数码传输最大的 信息量，这实际上是压缩频带的问题。信道编码的任务是解决可靠性的问题，也 就是说尽量使处理过的信号在传输过程中不出错或少出错，即使出了错也要有能 第一章绪论 力尽量纠正错误。图像编码技术主要是利用图像信号的统计特性以及视觉对图像 对生理学和心理学特性，对图像进行信源编码。图像压缩技术是图像编码技术的 一部分，就是要研究高效编码的问题。 1 2 2 压缩的可能性 图像压缩之所以可能( 3 1 实现首先是因为原始信源数据( 图像信号) 存在着很大 的冗余度。其次是因为在实际的应用中，人是主要的接受者，眼睛是图像信息的 接受端，这样就有可能利用人的视觉对于边缘的急剧变化的不敏感( 视觉掩盖效 应) 和眼睛对于图像的亮度信息敏感，对颜色分辨率弱的特点来实现高压缩比， 而且恢复的图像仍有满意的主观质量。主管和客观两方面的特征使图像压缩技术 可能实现。 1 2 3 图像编码研究现状及发展趋势 图像编码的发展起源于2 0 世纪4 0 年代末脉冲编码调制技术p c m 。经典的 图像编码方法基于s h a n n o n 信息论，其中最基本的h u f f m a n 编码( 熵编码) 、预测 编码和变换编码理论就产生、发展于2 0 世纪的五六十年代。并且影响至今，在 目前已知的图像压缩编码的国际标准中，仍然被普遍使用。之后，人们在探索一 些新的高效的编码方法方面不断取得进展。例如，算术编码已经被许多编码标准 所采用，它的一个最大的优点就是可以在编码过程中调整信号的概率模型。是一 类高效、普适的无失真编码；其他一些编码方法，不考虑其出现的时间顺序，包 括矢量量化、方块截断编码、比特面编码、子带编码和小波变换编码等。此外， 由于人们对视觉特性的认识更加深人，出现了许多结合人的视觉系统特性和多种 编码算法的综合算法，编码效率被不断改善。2 0 世纪9 0 年代以来，k t m t 等人提 出了所谓第二代编码的概念。有代表性的方法包括分形编码、模型基编码、轮廓 编码等。在一定的实验条件下，这些编码方法可以取得非常出色的编码性能。但 如果考虑实用化，它们还受到许多限制，其中最主要的一点就是处理的复杂度， 而且在对般的自然图像进行处理时，所获得的编码增益也没有理论上预期的 好。与此相反，一类仍属”经典 的编码方法一小波变换编码自9 0 年代 以来日益受到人们的重视，特别是出现了嵌入式零树小波变换编码e z w t 4 3 】算法 和所谓分等级树的集分割s p i h t t “j 算法，由此确立了小波变换在新的图像编码标 准中的重要地位。 基于小波变换如何和人眼视觉特性相结合，如何处理高、低频图像数据，如 何和其它编码方法结合优化量化和编码效率是值得进步研究的方向。 天津大学硕士学位论文 基于小波变换的彩色图像混合编码 1 3 压缩技术的三个重要指标 1 3 1 压缩比c ， e = 压缩前数据比特数e , 缩后数据比特数( 卜1 ) 1 3 2 重建图像质量 ( 1 ) 残差图像统计特性分析嘲 将恢复图像与原图数据相减，得到残差图像，统计残差图像的直方图，计算 残差图像的均值和方差。均值和方差越小，则恢复图像的质量就越高。 ( 2 ) 峰值信噪比p s n r t s 计算峰值信噪比( p s n r ) 的方法是评价图像压缩前后质量变化的一种客观评 价方法。其定义式如下： p s a p ：1 0i o g i o ( = - 垄! 兰堕 ) ( 1 2 ) 三一y ( j 一j ) 2 mx _ “l j 其中m 和分别是图像的宽度和高度，j ，和z i ，。分别是源图和解压缩图像 在( f ，j ) 处象素的灰度值。i - 0 , - - , m ；j = 0 ，n 。 ( 3 ) 人的视觉主观评价方法 由于图像常通过人的观察而被应用，因此，视觉主观评价是种图像质量的 评价方法。人的视觉特征有如下一些特点， i ) 人眼对不同的空间频率敏感程度不同，频率越低越敏感，频率越高越不敏 感。这一点从标准j p e g 的量化表的量化步长变化也可以看出来。 2 ) 人眼难以判别亮度的决断值，但能判别比较两个亮度的差值。也就是说， 人眼对图像上的灰度突变比较敏感，或者说图像中的纹理信息是主观目视判读最 主要的信息。 3 ) 由于视觉非线性效应的影响，在一个小子区中相同的灰度( 或亮度) 差会因 所在子区背景的不同而产生不同的视觉效果。 根据以上三点结论来压缩图像，可以力保恢复图像视觉无失真，它们是基于 视觉保持压缩方法的理论基础。 1 3 3 压缩算法计算复杂性 计算复杂性是指计算是否简单，实现是否有实时性。 第一章绪论 1 4 本文的研究背景和主要工作 随着多媒体应用的普及、数字视频技术的发展及网络上图像传输的增多( 如 可视电话、图像的远程浏览与检索、全球多用户虚拟环境共享等) ，对图像处理 技术的研究变得越来越重要。对于图像采集、存储和传输过程来说，迫切需要快 速发展图像压缩技术。例如，一幅具有中等分辨率彩色( 2 4 b i t 象素) 数字图像的数 据量约为几m ，庞大的数据量给图像的存储和传输带来了很大的困难，以压缩 方式存储和传输信息是解决这一向题的唯一途径。 本课题就是在这种背景下确立的，这一课题要求对图像压缩编码理论有一个 清晰的了解，并对涉及到图像压缩编码最新技术和算法有较深的研究。主要工作 如下： ( 1 ) 在阐述了图像压缩编码相关基本理论的基础上，对小波分析与变换，无 损编码中的算术编码，有损编码中的矢量量化编码这三大主题分别进行了研究。 其中小波分析与变换主要研究了小波变换显著特性一多分辨率分析，详细阐述亍 子带编码的方法和小波经典算法m a l l a t 算法并对小波基的选取，小波变换级数， 边界问题进行了讨论。算术编码部分详细阐述了算术编码的原理，二进制算术编 码的编码和译码过程。矢量量化编码部分首先论述了矢量量化的基本原理，然后 对矢量量化关键技术中的码书设计，码字搜索具体过程和相关算法进行了研究。 ( 2 ) 提出了新的基于小波变换的彩色图象混合编码方法。具体做法：将彩色 图像进行颜色模型转换，之后三级小波变换，变换后对低频系数弘进行自适应 算术编码，对高频系数进行矢量量化编码。 ( 3 ) 改进了分层矢量量化码书设计，从而很大程度上减小了码书的大小，并 且提高了码书的质量，不仅提高了矢量量化编码效率和编码的准确度，还降低了 计算复杂度。 ( 4 ) 在研究过程中，用c 语言实现了新的编码方案。实验结果为压缩率较高， 重建的彩色图像质量比较理想，p s n r 值超过了相同压缩率的j p e g 。 4 天津大学硕士学位论文基于小波变换的彩色图像混合编码 第二章图像编码方法和颜色模型 图像能够迸行压缩主要是因为图像数据往往存在各种信息的冗余，例如空间 冗余、信息量冗余、视觉冗余和结构冗余等。另外还有大量的不相干的信息。图 像压缩就是去掉各种冗余和不相干的信息，保留有用的信息，将一个大的数据文 件转化成较小的文件。图像压缩的过程叫做编码，图像恢复的过程日q 做解码。 编码压缩方法有许多种，从不同的角度出发有不同的分类方法，比如从信息 论角度出发可分为两大类： ( 1 ) 冗余度压缩方法，也称无损压缩，信息保持编码或熵编码。具体讲就是解 码图像和压缩编码前的图像严格相同，没有失真，从数学上讲是种可逆运算。 ( 2 ) 信息量压缩方法，也称有损压缩，失真度编码或熵压缩编码。也就是解码 图像和原始图像是有差别的，允许有一定的失真。 2 1 无损编码 无损编码1 4 是指使用编码后的数据进行解码，解码后的数据与原来的数据完 全相同，无损编码的算法去除的仅仅是冗余的信息。无损编码用于要求重构的信 号与原始信号完全一致的场合。根据目前的技术水平，无损编码算法一般可以把 数据压缩到原来的1 2 1 4 。常见的无损编码主要有h u f f m a n 编码，行程编码和 算术编码。 2 1 1h u f f m a n 编码 ( 1 ) h u f f m a n 编码原理 在变字长码中，完全根据信息符号出现的概率，对于出现概率大的信息符号 分配短字长的码，对于出现概率小的信息符号分配长字长的码。对统计独立信源 达到最小平均码长的编码方法，具有唯一可译性。如果码字长度严格按照符号概 率大小的相反顺序排列，则平均码字长度一定小于按任何其他符号顺序排列方式 得到的码字长度。 ( 2 ) h u f f m a n 编码算法 1 ) 概率统计，得到1 1 个不同概率的信号； 2 ) 将n 个信源信息符号的n 个概率，按概率大小排序； 第二章图像编码方法和颜色模型 3 ) 将最后两个小概率相加，概率个数减为n 1 ： 4 ) 将n - 1 个概率重新排序； 5 ) 再将最后两个小概率相加，概率个数减为n - 2 ； 6 ) 如此反复n - 2 次，得到只剩两个概率序列； 7 ) 以二进制码元( o ，1 ) 赋值，构成h u f f l n a n 码字。 2 1 。2 行程编码 行程编码的基本原理是利用相邻行或列间的统计相关性对图像数据进行压 缩和编码。行程编码的计算方法是将原始串行信号的数据转换成串行的非零数据 前零数据的个数与非零数据对序列。 2 1 3 算术编码 将在第三章中重点研究。 2 2 有损编码 图像有损编码【l 】是指使用编码后的数据进行解码，解码后的数据与原来的数 据有所不同，把不相干的信息也删除了，但不影响人对原始数据表达信息的理解。 因此在解码的对候不能精确复原原始数据，只能对原始数据进行近似的重构。有 损编码主要有预测编码，变换编码，量化编码。 2 2 1 预测编码 预测编码是非常经典的基于信号内部的相关性进行数据压缩的一类基本方 法。图像的预测编码是利用图像信号的相关性，用当前象素周围的象素进行预测， 从而得到预测值与真实值的差值一预测误差，然后对预测误差进行熵编码，或者 先根据压缩要求对预测误差进行均匀量化再进行熵编码。预测器预测得越准确， 去相关性能越好，压缩效果越好。目前在视频序列编码中，进行时间轴冗余度压 缩的主要手段是运动补偿帧间预测。 ( 1 ) 预测编码基本原理 从相邻象素之间有很强的相关性特点出发，利用已出现象素值对当前象素值 进行预测估计，得到一个预测估计值，将预测值和实际值求差，对这个差值信号 进行编码、传送，这种编码方法称为预测编码方法。 预测编码方法分线性预测编码方法( d p c m ) 和非线性预测编码方法两种。 6 天津大学硕士学位论文基于小波变换的彩色图像混合编码 ( 2 ) d p ( ：m g ( 疗) = 厂0 ) 一厂( 刀) ( 2 - 1 ) 如果预测误差被量化后再编码，这种预测编码方式叫d p c m 。d p c m 就是 通过去除相邻象素间的相关性和减少对差值的量化层数来实现码率压缩的。在 d p c m 系统中，预测器是关键。常用的一种预测器优化设计准则叫做最小均方误 差( m m s e ) 准则，要求所选的一组预测系数能使图像中预测误差的均方值最小。 2 2 2 变换编码 变换编码不是直接对空域图像信号编码，而是首先把原始图像信号分成许多 矩形块，利用图像内相邻象素之间的相关性，将空域图像信号映射变换成另一个 正交矢量空间，产生一批变换系数，使变换域中各信号分量之间相关性很小或者 互不相关。变换系数经滤波、量化、编码后输出，从而达到数据压缩的目的。 在现已存在的各种正交变换中，k l 变换是一种均方误差准则下的最佳变换， 变换后各系数之间是不相关的。但是，由于它的变换矩阵与图像的统计特性有关， 而且在一般场合没有可行的快速算法。所以实用中很不方便，多数场合是将它作 为一个评价各类变换编码性能的参考标准。 在目前的其他正交变换中，离散余弦变换( d c t 变换) 被认为是一种次最佳变 换。一方面，其性能与k l 变换相近，另一方面，其变换矩阵与图像内容无关， 而且由于它构造对称的数据序列，避免了在图像边界处的跳跃及所引起的g i b b s 效应，并也有快速算法，由此在静止图像压缩编码标难j p e g 、视频压缩编码标 准h 2 6 1 ，i - i 2 6 3 ，m p e g - 1 2 3 4 等都使用d c t 变换。但是利用d c t 变换进 行压缩编码时，需要考虑的一个实际问题是实现的复杂性。 2 2 2 1 最佳正交变换一k l 变换 k l 变换是将在空间域表示的图像信号，变换到k l 正交矢量空间域描述，使 变换域中各信号分量之间相关性很小或者互不相关，从而达到数据压缩的目的。 假设有m 幅图像f ( x ，y ) ，大小为。每幅图像表示成向量： x ：= z ( o ，0 ) z ( o ，1 ) z ( 一1 ，n - 1 ) 彳向量的协方差矩阵定义为：c ，= e 妇一历酝一历) 。 ，其中：历，：e 往 ， 令谚和五，i = 1 , 2 ，2 是e 的特征向量和对应的特征值。特征值按减序排列， 矗 五 气：，变换矩阵的行为e 的特征向量，则变换矩阵为： 第二章图像编码方法和颜色模型 a = 织：1 峻，：l 刊 丸对应第f 个特征向量的第，个分量。k l 变换定义为：】，= 么伍一m ，) ( 2 2 ) 变换后，有：= e v = e 4 x 一聊，) ) - 彳e 仁) 一么班，= o ( 2 3 ) c j = e ! a x a m ，x 左誓一a m ，) r ) = 么c ，么( 2 - 4 ) 五 q = i 0 九q k l 变换的计算步骤： ( 1 ) 求协方差矩阵c 。5 ( 2 ) 求协方差矩阵的特征值 7 ( 3 ) 求相应的特征向量痧； ( 4 ) 用特征向量破构成变换矩阵么，求y = 么一嫩。) 。 k l 变换的特点：变换矩阵是变化的，与图像样本有关。 2 2 2 2 次最佳正交变换一- d c t 变换 ( 2 - 5 ) ( 1 ) 离散余弦变换( d c t ) d c t 变换是将在空间域表示的图像信号，变换到d c t 正交矢量空间域描述， 使变换域中各信号分量之间相关性很小或者互不相关，从而达到数据压缩的目 的。 设离散序列厂b ) ，x = 0 , 1 ，n 一1 ，为一离散序列，根据下式延拓成偶对称序 y , j f , ( x ) ： z 0 + 三) = 删且z 阱z 。川) 其中石= 一n ，o ，n 一1 。z 0 ) 是关于z = i 1 为中心的偶对称序列。 v l x = x - 丢代入并在x 一+ 圭，一訇范围内作2 点的傅立叶变换： 天津大学硕士学位论文 基于小波变换的彩色图像混合编码 刖古争蛔2 吲= 击弘+ 2 万铡协6 ， = 击 兰+ 篓 e x p 一j 掣 j 荆= 面i 缶n - i 删e 坤 ，驾裂 + 击篓饰一掣 。= 丽2 刍n - ! 胁s l 2 n1 ) = 庶胁划l2 n 余弦变换的变换溉酬= 序c o s i x u ( 2 2 x + 1 ) 】 表示成矩阵形式为：( 其中各列模为1 ) c 。s 伽蔓i 咖出 g _ 蜘j 肛虬s 蛊啷墨：咖盏选 余弦变换( d c t ) 和逆变换定义为：i f ( “) g 厂( 与 ( 2 ) 偶余弦变换( e d c t ) 和逆变换 定义偶余弦变换( e d c t ) 和逆变换为： f e ( 0 ) 2 赤萎m ) = 、丙 2 缶n - i 脚s 岸 刷= 后荆+ 信篓荆c o s l z r u ( 2 x r + 1 ) 巩v ) 砧2n-i己n-1瓜小。s(掣zutzx+uco,i掣zvtzy+1)x=o v = o) c 0 ，v ) = 育乙己厂g ，) ，) c o s l 矿了；f i 二维余弦变换具有可分离性： 砒咖、f 万- 丁刍, 1 时其模型就是有记忆量化器( 矢量量化) ；当k = 1 时，即为无记忆量化器( 标量量化) 。无记忆量化器是有记忆量化器的特例。 2 2 3 2 标量量化 也叫无记忆量化，所谓无记亿量化化是指每次只量化一个模拟样本值，故又 叫做零记忆量化或标量量化，或叫做一维量化。它是由单个分量组成的量化系数 标量进行的量化。如均匀量化、非均匀量化、自适应量化等。 2 2 3 3 矢量量化 由k 维分量组成的量化系数矢量进行的量化称为矢量量化。设计一个良好 的码本c ( 具有n 个k 维矢量的集合) ，码本c = y ；) ，式中y ，为码字， i = 1 ，2 ，n 。该方法要求编解码两端都有码本，只需传送i 。具体内容详见第四 第二章图像编码方法和颜色模型 章。 2 3 颜色模型 色彩感知是人类视觉的一个重要特性，彩色模型 4 刀可用于表示色彩之间的相 互关系。彩色模型有多种，其中r g b 彩色模型多用于计算机图形技术，y u v 模 型多用于图像通信，h i s 模型多用于机器视觉的各种应用，而印刷业常用的是 c 觚彩色模型。 2 3 1r g b 模型 根据三基色原理，用基色光单位来表示光的量，则在r g b 色彩模型中，任 意色光f 都可以用r ， g ， b 三基色按不同的比例相加混合而成。当三基色分 量都为0 ( 最弱) 时混合为黑色光；当三基色分量都为k ( 最强) 时混合为白色光。然 而这一体制并不适应人的视觉特点。因而，产生了其它不同的色彩模型表示法。 2 3 2h s i 模型 在h s i 模型中，i 表示强度或亮度，即肉眼感受到光的明暗程度，光波能量 增大，亮度就增加；反之能量减弱，亮度则变暗。实际上它是r ，g ，b 三个灰 度值的平均值。强度将直接确定象素的整体亮度。色调h 是指光的不同颜色， 如红、橙、黄、绿、青、蓝、紫分别表示不同的色调。不同的波长呈现不同的颜 色，就是指不同的色调。发光物体的色调取决于它产生的辐射光谱的分布。饱和 度s 是彩色的深浅程度。饱和度的深浅与色光中自光成分的多少有关。_ 种纯彩 色光中加入的白光成分越少，则该彩色的饱和度越高；反之，白光成分越多，饱 和度就越低。因而饱和度反映了某种色光被白光冲淡的程度。 2 3 3 模型 人眼视觉系统( h v s ) 对亮度的敏感超过了色彩的敏感，在r g b 颜色模型中， 三基色同等重要所以要用相同的分辨率存储，但是更有效的方式是用更高的分辨 率存储彩色图像的亮度信息。在y u v 彩色模型中，y 分量是亮度、提供图像的 亮度表示，u ，v 这两个分量与色相和饱和度有关，提供彩色图像转换为灰度图 像时的额外色彩信息。采用y u v 色彩模型的重要性是它的亮度信号y 和色度信 号u ，v 是分离的。如果只有y 信号分量而没有u ，v 分量，那么这样表示的图 就是灰度图。 1 2 天津大学硕士学位论文 基于小波变换的彩色图像混合编码 第三章小波变换与算术编码 3 1 小波分析与子带编码 3 1 1 小波分析 小波分析 6 1 忉是一个窗口大小可变的分析工具，在高频时，选一个窄时间窗 提高时间分辨率，而在低频时选取一个宽时间窗来更充分地分析信号的低频特 性。 3 1 1 1 小波变换定义 函数l f ，( f ) 叠( r ) 的傅立叶变换为( 缈) ，当多 ) 满足完全重构条件( 或者恒 分辨条件) c ；f 一丝；牛d 0 。 c 4 ) 自相似性：对应不同尺度参数口和不同平移参数b 的连续小波变换之间是 自相似的。 3 1 1 3 离散小波变换 口= 筇7 ，b = 协芋吉乎z ，0 a o - i i a 厂( 工) 一厂( 功0 因此彳7 算子是矢量空间的正交投影。 正交投影也是希尔伯特空间的重要特征性质。y 是希尔伯特空间日的一个 列闭予空间，其正交补空间 矿= 形h l ( w d = o ，v v v 则对任意“h 有唯一的分解：1 1 = v + ww ei t ，1 ，矿。 3 ) 因果性或单调性 在分辨率2 川上对厂( x ) 的分析包含所有在分辨率2 ，上对原有函数的分析信 息，即对所有的歹z ：tc 卅。 4 ) 伸缩不变性 被分析函数，( 功在分辨率2 上的分析和被分析函数f ( 2 x ) 在分辨率2 ”上 的分析是完全相同的；或者说被分析函数的空间，可以从另个对分辨率值进行 尺度变化的被分析函数的空间推导出来。f 是分辨率2 7 的列闭子空间，对所有 的歹z ：( x ) 巧f ( 2 x ) 巧一。或者说，闭子空间 巧) 序列由其中的任一个 空间完全决定，即巧： f ( 2 x ) l f ( x ) 圪 。 5 ) 平移不变性 信号f ( x ) 的多分辨率分析彳f ( x ) 可用单位长度内2 个抽样值来表征。当 f ( x ) 平移正比于2 的长度，则么7 f ( x ) 也同样平移相同的数量，即可用平移后相 同数量的抽样值来表征。对所有的歹z ：f ( x ) 营f ( x - 2 7 尼) 形。 6 ) 逼近性 所有子空间n - - 3 以组成r ( r ) 函数空间，即u 匕= r ( r ) u 巧= 【o j = - - o 随着分辨率的提高，函数的近似表达式将收敛于原函数，l i r a 吃= r ( 尺) ； 随着分辨率的降低，被近似表示的函数所包含的信息就越来越少l i m 圪= 0 。 7 ) r e i s z 基 存在着g k ，使得 g ( x 一七) lk z ) ( 即g ( x ) 的整数平移系) 构成k 的r e i s z 蓦，即v 矽圪，存在着惟一的序列 q ) r ( z ) 使得矽( z ) = c ( k ) g ( x 一后) 。 v o 中的一个函数是由r ( z ) 中的惟一序列通过中的g ( x ) 的整数平移系组 成的滤波器组成；反之任意序列 q 2 ( z ) 确定一函数圪，且存在着正常数 彳，e a b ，使得彳4 硎2 j qj 2s b 捌1 2 对所有成立。 满足上述性质的任何矢量空间集一，j z 称为口( r ) 的多分辨率分析( 逼 天津大学硕士学位论文基于小波变换的彩色图像混合编码 近) ，与之相关联的彳j 算子给出任一r ( r ) 的在分辨率2 ，上的分析( 逼近) 。 3 1 2 子带编码 子带编码嘲 9 1 系统中要解决的问题可以归纳为：产生的子带信号经过插入零 值和综合滤波器滤波叠加后能否恢复原信号，也即各个子带信号能否完全重构原 信号；各不同频带的滤波器之间在频域上没有重叠，即各子带信号不会产生混叠 现象，也即寻求各分析滤波器或综合滤波器之间的关系。 3 1 2 1 双通道滤波器组完全重构条件 双通道子带编码只须用h o ( n ) 和a ( 刀) 对x ( n ) 进行滤波，再间隔抽样每个输 出。它产生两个半长度的子带信号：岛( 刀) = x ( i ) h o ( - i + 2 n ) ( 3 - 1 0 ) 和g l ( 拧) = z ( f ) 啊( 一i + 2 n ) ( 3 1 1 ) f 重建则通过对两个通道的滤波器的输出进行增频采样，分别用2 h o ( n ) 和 2 h i ( n ) 内插它们，再将它们相加起来而实现，这可由下式给出： x ( n ) = 2 z ( g o ( k ) h o ( 一玎+ 2 j j ) + 蜀( 七) 红( 一胛+ 2 尼) ) ( 3 1 2 ) 这里办。 ) 、h i ( 七) 称为分析滤波器。其中，h o ) 为低通滤波器，h i ) 为高 通滤波器，它们分别对应于尺度函数的低通性和小波函数的带通性。g o ) 、g l ) 称为综合滤波器。 3 1 2 2 快速小波变换算法( m a l l a t 算法) m a l l a t 算法【l i 】【1 2 】的基本思想是将被分析的函数分解成不同尺度下的“模糊 的像”和对该“像”的细节补充。 ( 1 ) 一维快速小波变换 设 l ，是一给定的多分辨率分析，和y 分别为相应的尺度函数和小波函 数，快速小波算法用于计算一有限分辨率下测量信号的正交小波系数，它不断的 将每一逼近k ，f 分解成较粗糙的逼近h 厂与小波系数k 之和。 哆，( f ) ) 和 y 枷( f ) ，一z 分别是圪和形的规范正交基，函数在这两个空间的投影可刻 划为勺( 胛) - - ( i ，唬，。) 和c 6 ( n ) - - ( i ，y 加) 小波分解： 勺( 尼) = h ( n - 2 k ) c - ，+ j ( 刀) + ，h ( 2 k ) ”： ( 3 - 1 3 ) 一 嘭( 露) = g ( n - 2 k ) c ，+ j ( 力) + 。g ( 2 k ) 小波重构： 第三章小波变换与算术编码 c j + 1 ( 七) = h ( k 一2 n ) c ( n ) + g ( k 一2 n ) a j ( n ) ( 3 - 1 4 ) j l 暑b - 其中，c ，和d ，是c 分别和h ，g 做卷积然后每隔一项做采样而得到的，低 通滤波器h 将内积序列c 的高频去掉，而高通滤波器g 收集剩余留下的高频。 对于数字信号，这一分解是完全离散的，数据存储量比传统的l a p l a c e 塔形算法 减小一半。重构公式3 1 4 是一个插值，插入零扩充c ，和d ，并将这些信号滤波。 ( 2 ) - - 维快速小波算法 一维快速小波算法可推广n - - - 维情况，在所有尺度2 ，上，对任意刀= ( n a ，n 2 1 ， c s ( n ) = ( 厂，矽纛) 和霉( 行) = ( 厂，v z j k , 。) ，h 和g 是与小波y 相关联的共轭镜像滤波 器，记乘积滤波器垤( 强) = 联强) g ( ) ，h ( m ) = h ( - m ) 。尺度2 7 上的小波系数可以 使用二维可分离卷积及子采样从c 算出。将一维快速小波变换算法应用于可分 离二维小波及其尺度函数，得到二维分解算法： h h ( 2 n ) h g ( 2 n ) 一 ( 3 1 5 ) g h ( 2 n ) 、。 g g ( 2 n ) 重构算法：c s , l ( 忍) = 乃h h ( n ) + 2 j 堙( 托) + z g h ( 疗) + z g g ( n ) ( 3 1 6 ) 3 1 3 需要考虑的问题 3 1 3 1 小波基的选取 经小波分解后图像的大部分能量集中在低频和图像的边缘部分，也即是说这 部分小波系数比较大，其余部分小波系数很小，接近于零。在图像压缩中影响压 缩性能的因素主要有下面几个方面：使用哪一种小波滤波器；如何将一维推广到 二维；多级分解时采用的模式；边界延拓；量化与编码。而其中选择合适的小波 基将直接影响到最终的压缩效果，因此如何选择合适的小波基成为了关键问题。 如何选择最优的小波基【1 3 】d 4 1 【5 0 】是图像编码的一个很重要的问题。主要有平滑 性、逼近程度、支撑大小等性能指标。下面将从小波的正交性、支撑性、对称性、 正则性和消失矩阵特性方面对小波基的选取进行分析。 ( 1 ) 正交性 小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算，由于1 9 8 9 年d a u b e c h i e s 基于离散滤波器迭代的方法和m a l l a t 算法的提出，使得小波变换 中小波基的选择转换为正交镜像滤波器( q m f ) 的选择。从目前的情况来看，q m f 大致有两类：正交与双正交。 + + q + 啄o 、-、，、一、， 勺彬彬茚 天津大学硕士学位论文基于小波变换的彩色图像混合编码 正交滤波器是指低通分析滤波器和高通分析滤波器正交；低通重建滤波器 h ( n ) 和高通重建滤波器g ( n ) 正交。 c m ( 尼) = h ( n 一2 k ) c + 。( ，1 ) ( 3 - 1 7 ) e z 屯( 七) = g ( n 一2 k ) c + l ( 刀) ( 3 - 1 8 ) 开暑z 重建公式为： e r e 。( 刀) = 办伽一2 ，) ( j ) + g ( 力一2 ，) 以( j ) ，玎z ( 3 1 9 ) j e zj e z 大部分正交小波基是无限支集的，这在计算上是不可行的。非对称滤波器的 非线形相位在图像编码时所产生的误差易导致边缘错位，形成巨大的感观误差。 因此希望滤波器是有限支集的而且是对称或反对称的。对称的滤波器结构有运算 简单，便于边界处理的特点。但遗憾的是，紧支集的小波一般不具有对称性，除 h a a r 系外，一切具有紧支集的规范正交小波基以及与之相关的尺度函数都不可 能以实轴上的任何点为对称轴或反对称轴。 研究表明，不存在具有完美的重建质量的正交的现行滤波器。对于唯一的正 交对称滤波器是h a a r 基，它的局部化性能很差。为了解决两者间的矛盾，把双 正交小波引进了信号处理，即它有2 个小波，沙和它的对偶小波痧。双正交小 波分解过程