（应用数学专业论文）三角转子发动机零件的数学模型研究.pdf

i i 摘要 转子发动机是由德国人菲加士汪克尔( w a n k e l ) 发明，在总结前人的研究 成果的基础上，解决了一些关键技术问题，研制成功第一台转子发动机。它采用 三角转子旋转运动来控制压缩和排放，与传统的活塞往复式发动机的直线运动完 全不同。之后不久，一向对新技术情有独钟的马自达公司投巨资买下了这项技术。 经过多年不懈的努力，他们逐步克服了转子发动机的缺陷，成功地由试验性生产 过渡到商业性生产。 本文先研究了转子发动机主要零件的几何模型。转子机缸体型线在几何学上 称为双弧外次摆线，一般有两种方法形成，内切和外切创成法。转子的轮廓线是 缸体型线的内包络线，令圆r 固定，让原来的圆k 带着缸体型线在圆r 上滚动， 这样就出现一族形状相同，位置各异的缸体型线，和这族缸体型线相切的曲线便 是包络线。内缘边界称为内包络线，外缘边界称为外包络线。 然后根据缸体型线的数学模型，定义了一组类b 6 z i e r 基和类b 6 z i e r 曲线， 分析这组基的性质，讨论类b 6 z i e r 曲线的特性，并把缸体型线用类b 6 z i e r 基表 示出来 最后文章对转子发动机进行了一些改造，但并不完善。提高发动机的性能， 主要有一下范畴：提高产品的可靠性和耐用性；提高燃料经济性与发动机动力性； 减少发动机排放物对环境污染的研究；燃用多种燃料的燃烧系统的研究；增压系 统的研究。 关键词：三角转子发动机b e z i e r 曲线类b e z i e r 基偏心轴 i i i a b s t r a c t t h ew a n k e le n g i n ei sat y p eo fi n t e m a lc o m b u s t i o ne n g i n ew h i c hu s e sar o t a r y d e s i g nt oc o n v e r tp r e s s u r ei n t oar o t a t i n gm o t i o ni n s t e a do fu s i n gr e c i p r o c a t i n gp i s t o n s i t sf o u r - s t r o k ec y c l et a k e sp l a c ei nas p a c eb e t w e e nt h ei n s i d eo fa no v a l l i k e e p i t r o c h o i d s h 印e dh o u s i n ga n dar e u l e a u xt r i a n g l es h a p e dr o t o r t h ee n g i n ew a s i n v e n t e db yg e r m a ne n g i n e e rf e l i xw a n k e l h eb e g a ni t sd e v e l o p m e n ti nt h ee a r l y 19 5 0 sa tn s um o t o r e n w e r k ea g ( n s u ) b e f o r ec o m p l e t i n gaw o r k i n g , r u n n i n g p r o t o t y p ei n19 5 7 n s ut h e ns u b s e q u e n t l yl i c e n c e dt h ec o n c e p tt oo t h e rc o m p a n i e s a c r o s st h eg l o b e ，w h oh a v ec o n t i n u e dt oi m p r o v et h ed e s i g n f i r s t l y , t h i sp a p e rs t u d i e st h em a i np a r t so ft h ew a n k e le n g i n eo ft h eg e o m e t r i c m o d e l ，i ng e n e r a lt h e r ea r et w om e t h o d s r o t a t o ri st h ee n v e l o p eo ft h ec o n t o u rl i n e s ， l e tt h er o u n drf i x e d ，s ot h eo r i g i n a lc i r c l ekr o l l i n go nc i r c l er ，t h e nt h e r ew i l lb ea s h a p eo fl i n e s ，o n ei sc a l l e do u t e n v e l o p e ，t h eo t h e ri sc a l l e di n - e n v e l o p e s e c o n d l y ，w ed e f i n eag r o u po fb 6 z i e rb a s i s ，b 6 z i e rc u r v e , a n da n a l y s e st h en a t u r eo f t h i sb 6 z i e rb a s i s f i n a l l y , w em a k es o m ec h a n g eo nt h er o t a t o ro ft h ew a n k e le n g i n e ，b u t i ti s n tp e r f e c t t h e r ea r es o m ea r e a st oi m p r o v et h ep e r f o r m a n c e ：i m p r o v i n gt h er e l i a b i l i t ya n d d u r a b i l i t y ；r a i s i n gf u e le c o n o m ya n de n g i n ep o w e r ；r e s e a r c ho fr e d u c i n gt h ee n g i n e e m i s s i o n so fe n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o n ；f u e l e dw i t hav a r i e t yo ff u e lb u r n i n gs y s t e m s ； p r e s s u r i z a t i o ns y s t e m s k e y w o r d s ：w a n k e le n g i n e b 6 z i e rb a s i sb 6 z i e rc u r v ee - s h a t t l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝姿态堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 糖 签字日期：沙伊7年厂月弓1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿盘堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权逝姿盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：虢导师签名：劳i 司日2 签字日期：z 叩7 年，月弓1 日签字同期：1 矽年厂月歹e 1 致谢 时光飞逝，浙大生涯犹如白驹过隙般从指尖划过，为我的人生旅程留下了不 可磨灭的记忆。回首往事，我的成长历程遇到了很多压力和机遇，更伴随着太多 人的关心和帮助，谨此致以深深的谢意。 浙江大学攻读硕士学位期间，首先要感谢浙江大学数学系计算机辅助几何设 计与图形学课题组的各位老师给予我很多指点和帮助，感谢我的导师汪国昭教 授，感谢王国瑾教授，刘利刚副教授和杨勋年副教授，在读研期间对我的关心和 帮助。 感谢实验室的段小娟、邓少辉、史艳会、支德佳、吴晓群、何会珍、孟凡慧、 伏鹏、金亮、杜文超、周红光师兄、沈莞蔷师姐等同学，感谢寝室的何忠洁，李 小萍，任展同学，感谢你们在学习和生活中的鼓励与支持，大家互相帮助，互相 学习，度过了令人难忘的学习时光。 深深感谢我的父母和亲人对我的支持和理解，你们殷切的期望和无尽的关怀 激励着我不断前进 在这里还要特别感谢赵琳同学和李云飞同学，谢谢你们每天的提醒和鼓励， 让我觉得生活处处充满温暖和感动，谢谢你们! 谨以此文献给所有关心我、帮助我和支持我的人! 杨莹 2 0 0 9 年5 月于求是园 第一章绪论 1 1c a g d 背景 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 这 一术语是由b a m h i u 和r i e s e n f e l d1 9 7 4 年在美国犹他大学的一次国际会议上提出 的，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合， 由c o o n s ( 1 9 1 2 1 9 7 9 ) 、b 6 z i e r ( 1 9 1 0 1 9 9 9 ) 等大师于2 0 世纪6 0 年代提出并奠 定理论基础。它是随着航空、造船、机械设计和制造生产等现代工业的蓬勃发展 并借助于计算机理论技术的发展和成熟而迅速繁荣起来的一门学科，用以描绘计 算机图象系统的环境下曲线曲面和实体的表示，是计算机应用的最重要的领域之 一，指利用计算机技术完成设计过程中的信息检索、分析、计算，综合、修改及 文件编制工作。计算机辅助几何设计是先进制造技术的重要组成部分，是计算机 在工程中最有影响的应用技术之一。 工业产品的形状大致上可以分为两类：一类是仅由初等解析曲面( 例如平面、 圆柱面、圆锥面、圆环面等) 组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几 何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息；第二类是不 能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由曲线曲面 组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件。显然，后一类形状单纯用画法几何与 机械制图是不能表达清楚的，这成为工程师们首先要解决的问题。 1 9 6 3 年，美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的f e r g u s o n 首先使用幂基函数的三 次参数样条曲线来进行飞机外形的设计，构造了由四个角点的位置矢量和两个方 向切矢定义的f e r g u s o n 双三次曲面片。f e r g u s o n 采用的自由曲线曲面的参数表 示方法具有几何不变性、可处理无穷大斜率和多值曲线、易于坐标变换等优点 典型的曲面表示，2 0 世纪6 0 年代是c o o n s 技术和b 6 z i e r 技术，2 0 世纪7 0 年代 是b 样条技术，2 0 世纪8 0 年代是有理b 样条技术。现在，曲面表示和造型已经 形成了以非均匀有理b 样条( n u r b s ：n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 参数化特 征设计( p a r a m e t e r i z e da n dc h a r a c t e r i s t i cd e s i g n ) 和隐式代数曲面表示( i m p l i c i t a l g e b r a i cs u r f a c er e p r e s e n t a t i o n ) 这两类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、 拟和( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为主要方法的几何理论体系。 目前，这一新兴边缘学科已与代数几何、应用逼近论、微分几何、线性代数、 微分方程、敷值分析、分形小波拓扑学等近代鼓学分支以及计算机图形学、数 据结构、三维医学图象学、计算机动画机械加工外形检测，几何造型、人体 解剖学等学科进行交叉和渗透在地球科学领域，可用于模拟地下地层、应力分 析、油藏模拟的精确计算、大地构造运动精确模 ；c 裂缝疆测- 真三维精确波场 反演、储存预测等；在气象科学领域，可用于温度、气压、湿度精确模型的建立、 趋势分析动力系统分析等；在航空航天领域，可用于风洞模拟，应力分析等 1 2 转子发动机的发展史 转子发动机( w a n k e l e n g i n e ) 又称为米 勒循环发动机( m i l l e r c y c l e e n g i n e ) 。它采 用三角转子旋转运动柬控制压缩和排放，与 传统的活塞往复式发动机的直线运动完全 不同这种发动机由德国人菲加士汪克尔 ( f e l i xw a n k d ) 发明，总结前人的研究成 果，解决了一些关键技术问题，研制成功第 一台转子发动机，如图1 1 ，f 5 0 1 征克尔博 士通过研究和分析各种转子发动机类型的 可行性，找到了旋轮线壳体的最佳形扶。他 田l 对飞机发动机上所用的回转闽以及增压器的气密性密封机构具有深刻的了解，这 些装置在其设计中的使用，使汪克尔型转子发动机得以实用化 汪克尔于1 9 0 2 年出生在德国。1 9 2 1 年到1 9 2 6 年受雇于海德堡一家科技出 版社的销售都在1 9 2 4 年，汪克尔在海德堡建立了自己的公司，他花了大量的 时间在那里进行转子发动机的研制，在1 9 2 7 年，诸如气密性和润滑性的一系列 技术问题的攻克终于有了眉目1 9 5 1 年汪克尔与n s u 公司进行技术合作，1 9 5 7 年汪克尔试制d k m 型转子发动机，1 9 5 8 年试制k k m 型转子发动机t1 9 6 0 年1 月转子发动机在德国技术者协会进行公开运转测试6 0 年初在撼国生产出第一 辆装配了转子发动机的小跑车当时部分业内人士认为这种发动机的结构紧凄轻 巧，运转宁静畅顺，也许会取替传统的活塞式发动机 1 9 6 4 年，日内瓦的德法合资企业c o m o b i l 公司，首坎把转子发动机装在 轿车上成为正式产品。1 9 6 7 年，日本人也将转子发动机装在马自达轿车上开始 成批生产。一向对新技术情有独钟的马自达公司投巨资从汪克尔公司买下了这 项技术。由于这是一项高新技术，很少有人懂得这项技术的人，发动机坏了无人 会修，而且耗油大，汽车界有人对这种发动机的市场前景产生了怀疑。7 0 年代 石油危机爆发，各国忙于应付各方面的困难而无暇顾及发展转子发动机，唯有马 自达公司仍然深信转子发动机的潜力，独自研究和生产转子发动机，并为此付出 了相当大的代价。他们逐步克服了转子发动机的缺陷，成功地由试验性生产过渡 到商业性生产，并将安装了转子发动机的r x 一7 型跑车打入了美国市场，令人 刮目相看。 在世界环保意识日益增强，石油资源日渐短缺的今天，以氢气做动力源的研 究已成为一大课题。当年马自达坚持下来的转子发动机从结构上讲是最适合燃烧 氢气，而且最干净，因为氢燃烧完后排出的是水蒸汽，对环境没有任何污染，又 可以节约能源。为此，马自达公司改制了r x 一7 型跑车的转子发动机，使它可 以用氢做燃料。这种发动机装配在马自达r x 一7 汽车上，1 立方米的燃料箱存 储了相当4 3 立方米的压缩氢气，车速以每小时6 0 公里可行驶2 3 0 公里，引起了 各界人士的关注由于从生产装配到维护修理，转子发动机都与传统的发动机大 不一样，开发成本大，维护费用高。加上往复式活塞发动机在功率、重量、排放、 能耗等方面都比过去有了显著提高，转子发动机没有明显的优势，因此各大汽车 企业都没有强烈的积极性去开发利用，唯有马自达一家苦苦支撑。但基于转子发 动机在能源上的优势，相信转子发动机的未来还是一片光明。【5 0 】 1 3 转子发动机与冲程发动机的比较 一般发动机是往复运动式发动机，工作时活塞在气缸里做往复直线运动，为 了把活塞的直线运动转化为旋转运动，就必须使用曲柄连杆机构。转子发动机则 不同，它直接将可燃气的燃烧膨胀力转化为驱动扭矩。与往复式发动机相比，转 子发动机取消了无用的直线运动，因而同样功率的转子发动机尺寸较小，重量较 轻，而且振动和噪声较低，具有较大优势。【5 】 4 1 3 1 工作原理的比较 转子发动机与往复式发动机最根本的差别在于结构方面与燃烧组织方面的 差异。转子发动机的运动特点是：三角转子的中心绕输出轴中心公转的同时，三 角转子本身又绕其中心自转，即公转自转同时进行。转子的顶点随着发动机壳体 内圆周的椭圆形壳体而运动，同时保持与围绕在发动机壳体中心的一个偏心轨道 上的输出轴齿轮的接触。三角形转子的轨道是用一个相位齿轮机构来规定的。相 位齿轮包括安装在转子内侧的一个内齿轮和安装在偏心轴上的一个外齿轮。在三 角转子转动时，以三角转子中心为中心的内齿轮与以输出轴中心为中心的外齿轮 啮合，齿轮固定在缸体上不转动，内齿圈与齿轮的齿数之比为3 ：2 。上述运动 关系使得三角转子顶点的运动轨迹( 即汽缸壁的形状) 似“8 ”字形。三角转子 把汽缸分成三个独立空间，三个空间各自先后完成进气、压缩、做功和排气，三 角转子自转一周，公转三周，发动机点火做功三次。由于以上运动关系，输出轴 的转速是转子自转速度的3 倍，和偏心轴相比，转子有比较长的转动周期。转子 转动一圈，偏心轴转动三圈。当发动机转速为3 0 0 0 转分时，转子的速度只有 1 0 0 0 转分这与往复运动式发动机的活塞与曲轴1 ：1 的运动关系完全不同。【5 】 a 图1 2 bcda 如图1 2 ，【5 1 ，进气冲程：当三角转子的角顶c 转到进气孔右边的边缘时， b c 工作腔开始进气，在位置a ，进排气孔相通，进排气重叠。这是b c 工作腔的 4 客积最小，相当于往复式发动机的上止点位置随着转子继续转动，b c 工作腔 的容积逐渐增大，可燃混合气不断被吸入气缸。当转子自转9 0 0 ( 主轴转2 7 0 。， 转子发动机中转子与主轴转速 匕为1 ：3 ，通过相互啮合齿轮确定) 到达位置b 时，b c 工作腔的容积达到最大，相当于往复式发动机的下止点位置，进气冲程 结束 压缩冲程：随着三角转子的继续转动，角顶b 越过进气孔的左侧边缘，压 缩冲程开始，b c 工作腔的客积逐渐缩小，压力越来越大，到达位置c 时，转子 自转1 8 0 。( 主轴旋转5 4 0 。) ，b c 工作腔容积达到最小，相当于往复式发动机的 上止点位置，压缩冲程结束。 做功冲程：在压结冲程终了，火花塞跳火，高温高压的气体推动三角活塞 继续转动，b c 工作腔的客积遥淅增大，当角顶c 达到排气孔右侧边缘，在位置 d ，转子自转2 7 0 。( 主轴旋转8 1 0 。) ，b c 工作腔的客积达到最大，相当于往复 式发动机的下止点位置，做功冲程结束。 排气冲程：三角转子角顶c 转过排气孔右侧位置时，排气冲程开始，最终 三角转子回到位置a ，排气冲程结束，转手自转3 6 0 0 ( 主轴转三周) ，一个工作 循环结柬。同时，c a 工作腔a b 工作腔也分别完成一个工作循环。【5 l 】 13 2 工作客积的电较 单位工作室客积指工作室最大容积和 最小容积之问的差值；而压缩比是最大睿 积和最小容积的比值。 尽管在这两种发动机中，工作室容积 都成波浪形稳定变化，如图1 3 ，5 2 但二 者之阃存在着明显的不同。首先是每个过 程的转动角度：往复式发动机转动1 8 0 度， 而转子发动机转动2 7 0 度，是往复式发动 机的1 5 倍。换句话说，在往复式发动机 中，曲轴( 输出轴) 在四个工作过程中转 围l _ 3 两圈( 7 2 0 度) ；而在转于发动机中，偏心轴转三圈( 1 0 8 0 度) 。转子转一圈 鬯 6 这样，转子发动机就能获得较长的过程时间，而且形成较小的扭矩波动，从而使 运转平稳流畅。此外，即使在高速运转中，转子的转速也相当缓慢，从而有更宽 松的进气和排气时间，为那些能够获得较高的动力性能的系统的运行提供了便 利【4 】 1 3 3 两种发动机的优缺点 往复式发动机： 优点： 1 制造技术成熟，历史悠久，诞生已经有1 2 0 多年，各种技术不断完善，是 世界上应用最广的内燃机，生产成本小，保养维修成本低。 2 良好的气密性和功率传递可靠性。 3 良好的燃油经济性。 缺点： 1 结构复杂，体积大，重量大，不易搬运。 2 曲柄连杆装置中活塞的往复运动引起的往复惯性力和惯性力矩不能得到完 全平衡，这个惯性力大小与转速平方成正比，使发动机运转平顺性下降，不利于 发展高转速发动机 3 由于四冲程往复式活塞发动机的工作方式为四个冲程中有三个冲程完全依 靠飞轮惯性旋转，导致发动机的功率、扭矩输出非常的不均匀，尽管现代发动机 采用了多缸和v 型排列来减小这个缺点，但是仍然不可能完全消除。 转子发动机： 优点： 1 体积小、重量轻，便于降低车辆重心。由于转子发动机没有曲柄连杆装置， 所以大大减小了发动机高度，同时降低了车辆重心 2 结构简单。由于转子发动机将空燃混合气燃烧产生的膨胀压力直接转化为 三角形转子和偏心轴的转动力，所以不需要设置连杆，进气口和排气口依靠转子 本身的运动来打开和关闭；不再需要配气装置，包括正时齿带、凸轮轴、摇臂、 气门、气门弹簧等，而这在往复式发动机中是必不可少的一部分。 3 均匀的扭矩特性。转子发动机在整个速度范围内有相当均匀的扭矩曲线， 6 即使是在两转子的设计中，运行中的扭矩波动也- 9 六缸往复式发动机具有相同的 水平，三角转子发动机的布置则要小于v 型八缸往复式发动机。 4 利于开发高速发动机，由于活塞转子与主轴转速比为1 ：3 ，所以不需要很 高的活塞转速就可实现发动机的高转速。 5 运行更安静，噪音更小，对于往复式发动机来说，活塞运动本身就是一个 振动源，同时气门装置也会产生令人烦躁的机械噪音。转子发动机平稳的转动运 动产生的振动非常小，而且没有气门装置，因此能够更平稳和更安静的运行 6 可靠性和耐久性。如上所述，转子的转速是发动机转速的三分之一。因此， 在转子发动机以9 0 0 0r p m 的转速运转时，转子的转速约为该转速的三分之一。 此外，由于转子发动机没有那些高转速运动部件，如摇臂和连杆，所以在高负荷 运动中，更可靠和更耐久。在1 9 9 1 的勒芒汽车赛中的胜利就充分证明了这一点。 缺点： 1 油耗高，尾气排放难达标。因其每个气缸有三个工作腔，活塞转子每旋转 一周相当于有三个作功冲程，以3 0 0 0 r p m 和往复式活塞发动机作对比，往复式活 塞发动机喷油7 5 0 次分，转子发动机相当于转速为1 0 0 0 r p m ，但是需要喷油3 0 0 0 次分，可见转子发动机油耗明显高于往复式活塞发动机，同时转子发动机的燃 烧室形状比较不利于可燃混合气的充分燃烧，火焰传播路径长，燃油机耗油量大， 导致废气中污染物含量较高。 2 发动机的结构导致只能采取点燃式而不能采用压燃式，即只能采用汽油作 为燃料而不能采用柴油 3 由于转子发动机采用偏心轴结构，导致发动机振动较大。 4 功率输出轴( 主轴) 位置高，不利于整车布局。 5 转子发动机的加工制造技术高，生产成本比较高，维护费用大。 5 2 】 7 第二章转子发动机的零件几何模型 2 1 缸体型线 转子机缸体型线在几何学上称为双弧外次摆线，一般有两种方法形成，内切和外 切。【5 】 2 1 1 内切创成法 圆k 和圆r 分别表示内外齿轮的节圆，半径分别为r 和k ，圆心分别为o tt o , ， 如图2 1 。转子的运动相当于滚动的圆r 沿着固定圆k 作无相对滑动的滚动，此 时p 点的运动轨迹即为缸体型线。【5 】 刚开始时，a ，b 两点重合，当圆f 沿圆k 按逆时针方向滚过一段圆弧a i 后，到 达上图所示位置，此时两圆相切于i 点，主轴偏心距o r q 转过口角a o r p 转过 角，可以看出口为公转角度，为自转角度， 既认 盈：i ，0 = k 口 0 后2 口， 3 秒：三口 3 仅= e + p 口= 3 p 缸体型线 工：e c o s 口+ r c o s 竺 3 y = e s i n 口协i n 詈 ly 厂 彩 f 石乳l 1。 r妙一j 图2 1 2 1 2 外切创成法 以o k 为圆心，以k = 詈r 为半径画圆，作为定圆k ，另作一个圆心为d ，半径为 j 1 ，= 砉尺圆r ，与k 相切，作为动圆。显然两圆的中心距o k o r 等于r 。设在起始位 9 置时，两圆相切于b 点，即圆r 上的点a 与圆k 上的点b 重合；在圆r 的半径a o , 的延长线上取一点p 使p o r = 口，在起始位置时，a o r p 茗ex 轴上。动圆r 以逆 时针方向沿定圆k 无滑动地滚过一段圆弧a i 后，如图所示。此时两圆相切于i 点，连心线q o r 转过a 角，而a o , p 转过角。 如图2 3 ，所以 a i ：a i ，汐= k 口 七：三尺，：! 尺 兰r 口：! r 目，口：2 口 8 = 9 + a = 3 口 缸体型线为 x y 三冬r c ? s l n s ：p e ? s l n s 芝 l 2 口+ j 口 厂 激、 心。锣i 、一 ，一， 9 图2 3 1 0 2 2 转子形状 l x = 尺c o s 2 v + z 3 - d 代( c o s 8 v c o s 4 v ) p ( 1 2 s i n 23 v ) ；( c o s 5 v + c o s v ) 【y 墙；n 2 3 2e 嬖尺( s i n 8 v - s i n 4 v m ( - 一警s t n 23 v a s i n 5 v “n y ) 转子的轮廓线是缸体型线的内包络线，令圆r 固定，让原来的圆k 带着缸体型线 在圆r 上滚动，这样就出现一族形状相同，位置各异的缸体型线，和这族缸体型 线相切的曲线便是包络线，如图2 4 。内缘边界称为内包络线，外缘边界称为外包 络线 5 】。 口为公转角( 与坐标原点连线转过的角度) 为自转角( 圆心转过的角度) 9：口，j昙=生口：一kr k r口+ j ：a ( 1 一生) 9 =口， 口口= 一口+ j = 一= ) k = p + r， 缸体型线 工：( ，一后) c 。s 口+ r c o s 【口( 1 一生) 】 ， y ：( ，一后) s i n a + r s i n 【口( 1 一生) 】 ， 口，如图所示， 可得 盈：爸i r p = k 9 b t = 9 ，= k ( + f ) f = t r - k = ( i r 一1 ) j k ：匕小： 7 l o 图2 4 f x = p c o s + e 。c o s 口一i r 一1 ) 仞+ 尺c o s ( 1 一事皿一i r 1 ) 冈 【】r = p 。s i n , f l + e s i n 口一( 妻一1 ) 】+ 尺s i n ( 1 一吾) 口一( 石r 一1 ) 做如下变换， 悔t 9 = u - r v ，j 孚口一譬脚卜枷 代入可得： j 彳= e c o s ( u r v ) + e c o s ( u + r v ) + r c o s 2 ( r - k ) v 【】，= e 。s i n ( u r v ) + e s i n ( u + r v ) + r s i n 2 ( r - k ) v 】 j jx 一2 p c o s “c o s r v + r c o s 2 ( r 一后) v 】 当角v 改变时，连续曲线的交点便形成外次摆线的包络线。设厂( x ，y ，c ) ：o 是一 族曲线的方程，其中c 是一个参数。给c 一特定的值，便得到相应的曲线。和 f ( x ，y ，c ) = 0 相邻的一条曲线是f ( x ，y ，c + a c ) = 0 ，式中a c 是一个微增量。 根据泰勒定理： f ( x ，w + c ) = f ( x ，y ，c ) + o - 多 f ( x ，w ) + 三岳叭x ，y ，c + 陇c ) 】( c ) 2 其中0 o ，0 尼时，“搿( o ) = o ， 七 所以p ( o ) - - zp , “搿( o ) i = o 当i o ，i = 0 ，1 ，2 ，l ， u 7 ( t ) = 1 ，于是曲线是岛，届，见的凸线性组钺l i n e a rc o n v o xc o m b i n a ti o n ) ， l = o 所以位于凸包内。 6 】 3 3 9 类b 6 z i e r 曲线的升i 阶( d e g r e ee l e v a t i o n ) 栉n + i p ( f ) = z p , 坼，。( f ) = 方卅。( f ) ，n 次类b 6 z i e r 曲线可形式上看作n + 1 次类 i = oi = 0 b 6 z i e r 慨其中触 。瑚纠，一器概+ 器即 i = 0 ，1 ，2 ，刀， 6 】 3 4 缸体型线用类b 6 z i e r 曲线表示 缸体型线 u 0 , 4 ( f ) = 1 一 y = e s i n f + r s i n 用“0 4 ( f ) ，“l 。4 ( f ) ，“2 4 ( f ) ，“3 ，4 ( f ) ，“4 4 ( f ) 表 控制顶点为p o ( x o ，y o ) ，p 。( 五，咒) ，p 2 ( x 2 ，) ，见 = x o u o 4 ( f ) + 五“i 。4 ( t ) + x 2 u 2 。4 ( t ) + x 3 u 3 。4 ( t ) + x 4 u 4 ，4 ( f ) = x o u o ，4 ( t ) + x l u l ，4 ( f ) + 恐“2 ，4 ( f ) + 毛“3 ，4 ( f ) + “4 ，4 ( f ) = f 一2 j soor + fsp | i x f 一3 s 9 8 一 得 口 1 8 万 3 2 = 口 示 令 o ，一3 f 一3 f 一3 峪 琏。一8 + 一 汀 卜 f 略 ； ；一。8 一4，一4 一 f 一3 ，一3 f 一3 口 仪 吣g 碗1 8 一 3 4 一 + 一 m 卜 m 啷 m | | 卜一4。一8 “ 、jy f一； f 一3 既 尺+ ， f 、j s 乃 ：- p “ = ffj n1sr + fn1sp x y ，l 、，、j 埘 埘 e g 0 一 一 + + 一 俾 僻 r 尺 2 3 2 3 = = = = 毛 五 屯 p r 加 如 卸 娟 l i 叶 产 矿 铲 h o 1 8 9 8 加 加 = 。一8 9 8 一 抄一 划 矿 ，氓 上8己84#4矿 而 才 。矿 。一，4 3叫4。4 3 4 一 ：。 + 一 + 五 印 m 。，m ，飞 1 一4 3一，4 1 8 98一 + _ 广 - r 蕞 扩 ：矿。 v 而 2 7 o + 三咒一三儿一言乃+ 言欺= o o + 三y 。一丢y ：+ 詈此一罢y 。= 。 一吾y o + 言m + 三圪一丢乃一o 儿= p j i + i m + 百儿一百乃一o 儿2 p 一竺8 y o + 詈乃一三儿+ 三乃+ o 儿= 尺 + i 乃一百儿+ 百乃+ u 。儿2 代 y o = r - 。e y l = r e = j 2 ( r + 3 p ) 乃= ；( r + 3 e ) y 4 = 0 【y o y i + 兄一乃+ 儿= 0 ，)， p o ( o , r e ) ，p , ( - - 4 ( r 一3 p ) ，r g ) ，见( 詈( 冗一3 9 ) ，詈( r + 3 p ) ) ，乃( 尺+ e ，( r + 3 e ) ) ， j 333 p 4 ( r + e ，o ) 第四章对转子发动机的未来展望 4 1 对转子的改造 因为在实际制造中，转子顶角上的一个尖点作为密封片与缸体接触，这样，工作 时密封片会迅速磨损，丧失密封作用。所以在实际制造中，为了改善这种情况， 需将转子三个顶点的尖角改作半径为a 的圆弧，即以理论转子尖点为圆心，以a 为半径做一圆弧。 在进行设计时，主要考虑两方面因素，工作室容积和压缩比。 工作容积等于单室理论容积的最大与最小之差。 压缩比，压缩比占= 压缩前的气缸总容积压缩后的气缸容积。 占 1 口 0 ( 压缩前的气缸总容积+ a ) ( 压缩后的气缸容积+ a ) 原来的s 所以考虑做如下改进， 如图4 1 ，可以看出，改进并不理想，这样不能保证处处相切图中绿线为内外 摆线r 为大圆半径，r 为小圆半径， 外摆线， x ：( r + ，) c o s 口一，c o s ( 墨口+ 口) ， j ，：( 尺+ ，) s i n 口一，- s i n ( 墨口+ 口) ， 内摆线， z ：俾一，) c o s 口一，c o s ( 墨c r - o ：) ， j ，：( r 一，) s i n 口一，s i n ( 墨c r - a ) ， jp 彩对厂_ 、| | 赕 少 。| | 。2 只考虑内摆线的改造，如图， 图4 1 4 2 ，4 3 增大了单工作室容积， 工作容积不变，减小了压缩比，所以改造并不理想。 jl i 舷飘。 心7 图4 2 x jly 钐 一 、。 v 心乃- 图4 3 4 2 转子发动机的技术发展前景 为提高发动机的性能，主要有一下范畴：提高产品的可靠性和耐用性；提高 燃料经济性与发动机莉力性；减少发动机排放物对环境污染的研究；燃用多种燃 料的燃烧系统的研究；增压系统的研究【4 】 从耐用性方面，要求发动机有尽可能长的使用寿命与良好的可靠性。从提高 发动机性能方面，要求发动机有尽可能小的摩擦损失与热损失。因此转子发动机 对陶瓷材料的应用日渐扩大，随着陶瓷材料的发展，可望不久的将来能发展垒陶 瓷的转子发动机 采用分层燃烧系统，如图4 4 ，【5 0 ，无论是汽化器式还是直接喷射式供油系 统的转于发动机，都希望能燃烧总稀_ ；黾合气，提高压缩 匕以提高经济性但均质 的总稀混台气燃烧过程由于火焰温度低，火焰传播速度小而使燃烧持续期鞍长， 而且提高压缩比也容易 产生爆炸因此，需采用 分层燃烧，印在燃烧初 期，着火中心周围分布有 偏浓的可燃混合气，此时 的火焰传播速度大，也由 于在上止点之前燃烧室 前方的容积较小，火焰很 快就传播到整个燃烧室 的前半部分。在上止点 后，由于燃烧室后方的较 凄篙 ；$ 一1 备 g 档罄勺汶 懒鲤善炒 幽4 4 稀混合气体有较高的向前迁移速度，冲入前方火焰之中，与前方已燃烧但未燃烧 完全的浓混合气掺混起来燃烧，故稀混合器也能迅速燃烧，并且能使已燃的浓混 合气得到足够的空气助燃而燃烧完全而且由于燃烧室后方的混合气很稀，不易 爆燃，可栗用较高的压缩比。 采用螬压技术，虽然转子发动机的密封性不如往复式发动机，但在中高速时 的漏气量还是很小的，呆用增压以后满气并不明显增加而且采用增压后整个循 环的气体压力升高，相邻工作室的压力差并非正比于进气压力。采用增压后，废 莺 气能量可利用，并且热损失、机械损失、带动附件的功率消耗所占的比例则随压 力的增高而下降。 4 】 发展多种燃料转子发动机，燃烧室内的气体运动状况对燃料的汽化、混合气 的形成起着重要的作用，而转子发动机燃烧室内的气体基本上是单向流动，对混 合器分层创造了理想的条件，而且转子发动机采用点燃着火方式，因而可采用从 汽油、甲烷等高辛烷值、汽化性差的燃料。由于采用直接喷射，混合气形成的时 间极短，焰前反应的时间很短，而且可燃浓混合气集中于火源附近，而距火源较 远处为空气或很稀的混合气，故不容易造成爆燃。燃用不同类型燃料时，发动机 的经济性和动力性都非常接近。随着世界能源的短缺，发展可燃用多种燃料的转 子发动机具有非常重要的意义。 5 】 3 2 参考文献 1 】王国瑾，汪国昭，郑建民，计算机辅助几何设计，北京：高等教育施普林 格出版社，2 0 0 1 年7 月 【2 】苏步青，刘鼎元，计算几何，上海：上海科学技术出版社，1 9 8 1 3 】吴大任，微分几何讲义，北京：人民教育出版社，1 9 8 2 【4 】卢法，余乃彪等编著，三角转子发动机，北京：国防工业出版社，1 9 9 0 年6 月 【5 】辛动编著，三角转子发动机北京：科学出版社，1 9 8 1 年1 月 6 】丁敏，汪国昭，基于三角和代数多项式的t b 乾i e r 曲线，计算机学报，2 0 0 4 年8 月 【7 】z h a n gj w ，c - c u r v e s ：a ne x t e n s i o no fc u b i c c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ， 1 9 9 6 ，1 3 ( 3 ) ：1 9 9 - 2 1 7 8 】z h a n gj w ，t w od i f f e r e n tf o r m so fc - b s p l i n e s c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e