弹性力学-03.ppt

第三章平面问题的直角坐标解答,要点,用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。,3-1逆解法与半逆解法多项式解答,3-2矩形梁的纯弯曲,3-3位移分量的求出,3-楔形体受重力和液体压力,3-简支梁受均布载荷,主要内容,应力函数求解方法,（1）,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y)的形式；,（2）,主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。,(2-27),或者：由相容方程（2-27），直接解出(x,y)的形式；,3-1逆解法和半逆解法多项式解答,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量的某种函数形式；,（2）,根据与应力函数(x,y)的关系及，求出(x,y)的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,(2-27),适用性：,由一些直线边界构成的弹性体。,目的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的力学问题。,逆解法,其中：a、b、c为待定系数。,检验(x,y)是否满足双调和方程：,显然(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。,（1）,1.一次多项式,（2）,（3）,对应的应力分量：,若体力：X=Y=0，则有：,结论1：,（1）,（2）,一次多项式对应于无体力和无应力状态；,在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,2.二次多项式,（1）,其中：a、b、c为待定系数。,(假定：X=Y=0;a0,b0,c0),检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,2c,2c,2a,2a,结论2：,二次多项式对应于均匀应力分布。,试求图示板的应力函数。,例：,3.三次多项式,（1）,其中:a、b、c、d为待定系数。,检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数),(假定：X=Y=0),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,结论3：,三次多项式对应于线性应力分布。,4.四次多项式,（1）,检验(x,y)是否满足双调和方程,（2）,代入：,得,可见，对于函数：,其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：,总结：,（多项式应力函数的性质）,（1）,多项式次数nb。试确定其应力分量。,解：,1确定应力函数,2确定应力分量,3由边界条件确定待定常数,代入得：,上端：,满足,左右侧：,满足,下端：,（3）,（4）,满足,（2）半逆解法：,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,半逆解法思路：,位移分量求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。,讨论：,可算得：,图示梁对应的边界条件：,可见：,对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。,常数d与弯矩M的关系：,(1),由梁端部的边界条件：,(2),可见：此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,3-2矩形梁的纯弯曲,说明：,(1),组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。,(2),若按其它形式分布，如：,则此结果不精确，有误差；,但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。,(3),当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。,3-3位移分量的求出,以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？,1.形变分量与位移分量,由前节可知，其应力分量为：,平面应力情况下的物理方程：,（1）形变分量,(a),将式（a）代入得：,(b),（2）位移分量,将式（b）代入几何方程得：,(c),将式（c）前两式积分，得：,(d),将式(d)代入(c)中第三式，得：,整理得：,（仅为x的函数）,（仅为y的函数）,要使上式成立，须有,(e),式中：为常数。,积分上式，得,将上式代入式（d），得,(f),（1）,(f),讨论：,式中：u0、v0、由位移边界条件确定。,当x=x0=常数,u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。,说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面,材力中“平面保持平面”的假设成立。,（2）,说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即,材料力学中挠曲线微分方程,2.位移边界条件的利用,（1）两端简支,其边界条件：,将其代入(f)式，有,将其代回(f)式，有,(3-3),梁的挠曲线方程：,与材力中结果相同,（2）悬臂梁,边界条件,由式（f）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,代入式（f），有,可求得：,(3-4),挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,说明：,（1）,求位移的过程：,（a）将应力分量代入物理方程,（b）再将应变分量代入几何方程,（c）再利用位移边界条件，确定常数。,（2）,若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。,（3）,若取固定端边界条件为：,（中点不动）,得到：,求得：,此结果与前面情形相同。,（为什么？）,应力函数法求解平面问题的基本步骤,（常体力情形）,前面内容要点回顾：,（1）逆解法：,多项式解答,多项式应力函数的性质：,（1）,多项式次数n4时，则系数可以任意选取，总可满足。,多项式次数n4时，则系数须满足一定条件，才能满足。,多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。,（2）,一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。,（3）,（4）,用多项式构造应力函数(x,y)的方法逆解法。,只能解决简单直线应力边界问题,应力函数的求解方法：,（1）逆解法；,（2）半逆解法。,位移分量求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。,（2）半逆解法：,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,半逆解法思路：,3-4简支梁受均布载荷,1.应力函数的确定(半逆解法),(e),3.对称条件与边界条件的应用,4.与材料力学结果比较,材力中几个参数：,截面宽：b=1,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式(p)，有,（3-6）,比较，得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当h/lb。试确定其应力和位移分量。,解：,分析截面内力：,积分得：,代入相容方程，有：,要使对任意的x、y成立，有,积分，得：,1确定应力函数,（1）,2计算应力分量,（1）,（2）,3由边界条件确定常数,左右边界：,（3）,上边界：,（3）,（4）,代入式（1）和（4），有：,（8）,（9）,下边界：,满足。,4求位移,由物理方程，得：,积分前2式，得：,代入式（10）中第3式，得：,为常数。,对上式积分，得：,代入式（11），得：,常数、u0、v0由位移边界条件确定。,（10）,（11）,（12）,位移边界条件：,求得：,代入位移表达式，有：,按应力求解平面问题的基本步骤,（常体力情形）,应力函数的求解方法：,（1）逆解法；,（2）半逆解法。,前面内容要点回顾：,两类问题应力函数(x，y)的求解方法,(1)梁、长板类弹性体应力函数(x，y)方法,确定应力函数的具体形式。,多项式解答,逆解法,半逆解法,(2)楔形体应力函数(x，y)方法,因次分析法（量纲分析法）：,分析思路：,应力函数可假设为：,弹性力学平面问题的基本理论小结,一、两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿z向不变化。,z方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）,z方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）,二、平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（2-2）,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（2）几何方程,（2-9）,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（3）物理方程,(2-15),（平面应力）,(2-16),（平面应变）,（假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）,三、平面问题的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出u、v，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-20）,位移表示的平衡方程,（2-21）,（2-17）,位移表示的应力边界条件,位移边界条件,（2）按应力求解,思路：,以应力为基本未知量，将基本方程用只有的3个方程，从中求出，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-2）,平衡方程,（2-23）,相容方程,基本控制方程,（平面应力情形）,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,边值条件,（3）两类平面问题物理方程的互相转换：,平面应力问题,平面应变问题,平面应变问题,平面应力问题,（4）边界条件,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,（5）按应力求解的应力函数法基本方程：,(2-27),(2-26),（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,（对常体力情形）,说明：,（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。,四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）,（2-22）,（2-23）,（2-24）,(平面应力情形),(平面应变情形),（2-25）,(2-27),形变表示的相容方程,应力表示的相容方程,应力函数表示的相容方程,(基本形式),(常体力情形),适用情形：,小变形、任意弹塑性材料。,(常体力情形),五、边界条件与圣维南原理,位移边界条件,应力边界条件,圣维南原理的要点：,（1）小部分边界（次要边界）；,（2）静力等效；,（3）结果影响范围：,近处有影响，远处影响不大。,圣维南原理的应用：,（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；,（2）位移边界（次要边界）；,六、其它,（1）常体力情况下简化,将体力转化为等效的面力：,（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。,（3）任意方向的正应变计算。,（1）,（2）,1.试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）,课堂练习：,2.试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸