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太原理工大学硕士研究生学位论文 曲面立体不完整画隐线图的标记和补线 摘要 线图是指在二维投影平面上描述三维物体的线框图。线图作为一种重 要媒介一直对人与人以及人与计算机三维景物信息的交换发挥着重要作 用。理解某个三维景物对应的平面投影线图对人类来说非常简单，但对计 算机而言却异常困难。由于人类的相关经验比较丰富，在人类大脑中关于 一些垂直、平行、长度和角度等约束的判定识别的经验已经相对较完善。 如果由计算机来理解分析投影图，只提供这些相关点和线的信息是远远不 够的。所以，必须研究制定一些规则及相应的推导方法，能让计算机理解 并分析线图，进而得出与该线图对应的空间景物。 计算机理解和分析线图的研究成果可被使用于计算机视觉系统、逆向 工程及互联网、c a d 系统中的人机通讯接口中，可大大减少所输入图形的 时间，从而使“人”的负担得到缓解。 线图标记作为一种有效的辅助手段，在立体线图的解释中发挥着重要 作用。对线图进行一致性标记后可排除一些不可能存在的景物结构，并可 对立体线图所描述的真实物体进行预测，从而减少了对立体线图进行定量 分析的工作量。因此，对不完整立体线图分析和处理特别重要。 本文以线图标记所依据的基本假设及线图标记的相关理论和规则为基 础，介绍了平面立体投影线图中存在的2 4 种合法节点形式，以此为基础， 太原理工大学硕士研究生学位论文 提出平面立体不完整画隐线图的标记及补线的方法。 最后进一步论述了曲面立体不完整画隐线图中节点之间的对应关系， 以此为理论基础，对曲面立体不完整画隐线图的标记与补线技术进行了研 究，最终得到了准确的曲面立体完整画隐线图。 关键字：节点类型，曲面立体，标记，补线，不完整线图 太原理工大学硕士研究生学位论文 l a b e l i n ga n da d d i n gi m p e r f e c tl i n e d ra gw i t hh i d d e n p a 王 r _ d ra wf o r c u r v e ds u r f a c eo b j e c t s a bs t r a c t al i n e d r a w i n g i st h et w o - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o fa t h r e e d i m e n s i o n a lo b j e c t l i n ed r a w i n gp l a y sa ni m p o r t a n tr o l eo ne x c h a n g i n g i n f o r m a t i o nb e t w e e nm a na n dm a no rm a na n dc o m p u t e r t h a ti se f f o r t l e s sf o r h u m a nt ou n d e r s t a n dt h ep r o j e c t i o n so ft h r e e d i m e n s i o n a lo b j e c t sa n ds c e n e ，b u t n o tf o rc o m p u t e r i n v e s t i g a t i n gi t sr e a s o n ，n o t h i n gb u to n ei sh u m a nh a v ew i d e e x p e r i e n c ei nd i s t i n g u i s h i n ga n dj u d g m e n to fc o n s t r a i n tl i k ep a r a l l e l ，v e r t i c a l ， i n t e r s e c t i o n ，a n g l e ，l e n g t ha n ds oo n i ti si m p o s s i b l ef o rc o m p u t e rt ou n d e r s t a n d t h ep r o j e c t i o n sw i t hs ol i t t l ei n f o r m a t i o na b o u tp o i n ta n dl i n e t h e r e f o r e ，i no r d e r t om a k ec o m p u t e ru n d e r s t a n dt h e p r o j e c t i o n s a n dt h e n r e a s o no u tt h e c o r r e s p o n d i n g t h r e e - d i m e n s i o n a l o b j e c t s ，s o m er e g u l a t i o n s a n dr e a s o n i n g m e c h a n i s m sm u s tb el a i dd o w n i ti sav e r yi m p o r t a n ti s s u ef o rc o m p u t e rt o i n t e r p r e t st h ep r o j e c t i o n sa u t o m a t i c a l l yi n t h ef i e l do fc o m p u t e rv i s i o na n d c o m p u t e ra i d e dd e s i g n t h er e s e a r c ha c h i e v e m e n to fc o m p u t e ri n t e r p r e t st h el i n ed r a w i n gc a nb e u s e di nc o m p u t e rv i s i o ns y s t e m ，r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，t h ei n t e r n e ta n dp e o p l e m a c h i n ec o m m u n i c a t i o ni n t e r f a c eo ft h ec a ds y s t e m ，s h o r t e ng r a p hi n p u tt i m e i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 a n da l l e v i a t ep e o p l e sw o r k l o a di np e o p l e m a c h i n ec o m m u n i c a t i o n l i n ed r a w i n gl a b e l i n gp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h et h r e e - d i m e n s i o n a ll i n e d r a w i n gi n t e r p r e t a t i o na sa ne f f e c t i v ea s s i s t a n tm e t h o d l i n ed r a w i n gl a b e l i n g c a ne l i m i n a t es o m e i m p o s s i b l eo b j e c ts 帆c t u r e ，a n d f o r e c a s tt h er e a l t h r e e d i m e n s i o n a lo b j e c t , t h u sr e d u c e dt h ew o r kl o a da b o u tt h r e e d i m e n s i o n a l o b j e c t sq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s t h e l i n ed r a w i n g sw h i c ht h ed e s i g n e rd r a w s p o s s i b l ya r ei n a c c u r a t eo rh a sm i s t a k e s ，a n d a sar e s u l to fm a n yk i n d so fr e a s o n s j u s tl i k et e x t u r e ，n o i s ea n dl i g h te t c ，t h e l i n ed r a w i n gg e n e r a l l yc a n n o tb e e x t r a c t e da c c u r a t e l yf r o mt h ei m a g e s oc a r r y i n go nt h ea n a l y s i sa n dp r o c e s s i n g o ft h el i n ed r a w i n gi so fg r e a ti m p o r t a n c e b a s e do nl i n e d r a w i n gl a b e l i n gt h e o r y a n dr u l e sa n dr e l e v a n tb a s i c a s s u m p t i o n s ，2 4k i n d so f j u n c t i o n si nl i n ed r a w i n ga r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e r , t h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n sb e t w e e n3 6k i n d so flj u n c t i o n sa n d8k i n d so f d a n g l i n gl i n e sw i t h2 4k i n d so fl e g i t i m a t ew a n d y j u n c t i o n sw e r eg i v e n a n dt h e l a b e l i n ga n da d d i n gm e t h o da b o u ti m p e r f e c tl i n ed r a w i n gw i t hh i d d e n - p a r t - d r a w i si n t r o d u c e d f u r t h e rr e s e a r c ha b o u ti m p e r f e c tl i n ed r a w i n gw i t hh i d d e n - p a r t d r a wi s g i v e na tl a s t t h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n sb e t w e e nlj u n c t i o n sa n dd a n g l i n gl i n e s w i t hl e g i t i m a t eya n dw j u n c t i o n sw e r eg i v e n b a s e do nt h i st h e o r y , t h em e t h o d s a b o u th o wt om a n a g et h ei m p e r f e c tl i n ed r a w i n gw i t hh i d d e n - p a r t - d r a wa r e l i s t e di nt h i sp a p e r ad e t a i l e dd i s c u s s i o no nt h ep r o c e s so fl i n ed r a w i n gl a b e l i n g a n da d d i n gi s g i v e nw i t he x a m p l e s f i n a l l y , t h ei m p e r f e c tl i n ed r a w i n gi s t r a n s f o r m e di n t oap r o p e rl i n ed r a w i n g k e yw o r d s ：j u n c t i o nt y p e ，c u r v e ds u r f a c eo b j e c t s ，l a b e l i n g ，a d d i n gl i n e ， i m p e r f e c tl i n ed r a w i n g i v 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 随着科技的快速发展，人们越来越重视用图形图像进行人与计算机之间的通讯，在 某些场合其重要性更加明显。为了能让计算机“读”懂物体的投影线图，我们必需讨 论关于计算机解释投影线图的机理。 1 1 计算机解释二维线图的研究意义 线图解释即以场景或物体的一幅或多幅投影线图为依据来理解三维空间中的场景 或物体。对人类视觉而言，理解三维空问中的景物是很简单的事情，但是，若要用计算 机来模拟实现此过程，却是一项极为艰难的工作【1 】口 线图是忽略物体表面材质等某些细节后物理成像的结果。b a r r o w 2 指出推导三维物 体形态最根本的依据是边缘信息，线图解释属于典型的人工智能问题，需要很多理论和 假设等信息。虽然景物的投影线图只是由平面上的一些线段构成，但是这些线段表达了 三维物体的许多结构信息，人们可以轻易的理解线图所描述的内容。 线图一直被当成一种重要媒介，作为人与计算机之间以及人与人之间交换三维物体 或场景信息的工具。很多时候，线图被用来描述对应物体的三维形状。它主要包括以下 的功能【3 】： 设计物体所对应的几何与拓扑形式。 充当设计者们思想交流的实用便利的工具。 作为易用的分析工具。 作为一个模拟设计工具。 充当检验工具。 便于设计者的短期记忆。 目前功能强大的c a d 系统虽然可以对设计的详细过程给与较大的帮助，可是它对 草图的处理能力相对薄弱，因此不方便将其应用于在概念设计阶段。随着科技的快速发 展，人们越来越重视用图形在人与计算机之间进行通信交流，在某些场合更显示出它的 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 重要性。为了能让计算机“读”懂物体与之对应的投影线图，需要我们研究计算机理解、 分析和处理线图的机理【4 j 。 计算机解释投影线图的研究成果可用于逆向工程、互联网、c a d 系统及计算机视 觉系统等诸多方面，如此便可以减少图形输入的时间，从而进一步使人与计算机通讯中 “人”的工作量得以减轻。 1 2 计算机解释二维线图的研究现状及存在问题 对于计算机视觉，由图像恢复成空间场景信息的一个主要方法是：首先将三维场景 对应的线图从图像中抽取出来，再以该线图为根据来理解、分析和处理三维景物信息。 对人类而言，理解场景的线图特别容易，但对计算机而言却尤为困难。 计算机理解、分析和处理线图主要分为以下5 个阶段： 把草图或图像转变成相应的线图。 标记线图，得到线图对应的拓扑结构。 在线图中分辨物体所对应的面，进而获得该物体的拓扑结构。 基于一定的理论，判断出线图中线段和平面分别对应的空间线段和空间平面的相 互垂直或平行关系。 恢复形成三维物体。 图像处理的主要研究问题之一便是以上第一个阶段将图像或草图转换成线图，已经 有相当多的系统与方法【5 7 】可以把图像或草图转换为线图。 一般情况规定在线图中：由实线描述可见的线段，虚线描述不可见的线段。在画法 几何中，对于三维物体线图的研究已久，主要即实现物体的三维结构在二维平面上如何 描述，该类研究已经具有了比较成熟的理论方法。但对于如何由线图恢复重构出对应的 三维空间物体的结构，即前者的逆问题，引起人们的关注是在计算机实现可以处理图像 数据以后。 由于某些原因，比如从图像中抽取的线图( 由于光照、纹理、噪声等影响) 一般不 准确、设计者画的线图有错误或可能不准确，导致从图像抽取的线图或输入计算机的线 图往往存在少线或多线的现象，为了使线图尽可能成为三维物体的真实投影图，以便于 后续计算机理解、分析和处理线图，顺利重构三维物体结构，需要对线图进行分析与处 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 理，调整位置不准确的线，补画缺少的线，删除多余的线等。 1 2 1 对线图解释的定性研究分析 1 关于线图标记 线图标记法用于解释三维景物是一种特别有效的辅助方法，尤其对平面立体和曲面 立体节点和引入线的标记是很有效的。目前很多线图标记的方法已经被提出来。 r o b e r t 【8 】作为最早研究线图解释的学者，提出了匹配理解和建立模型的方法。该方 法要求成像物体必须全部分离，可以完全把线图提取出来，而且存放有限的目标，因此 假设性较强。 h u m l l a n 钧和c 1 0 w e s 【删针对由三面顶点所构成的平面立体，用“+ ”、“一 、 “一”和“一来对不同直线进行标记，例如物体中的凸棱用“+ ”标记；物体中的凹 棱用“一”标记：物体中的遮挡棱用“一”和“一”标记。 w a l t z i n 对h u f f m a n 和c l o w e s 的研究进行了扩充，第一，他将4 种线段标记( + 、 一、_ 、卜) 扩展至包含可分离的凹边、阴影以及裂缝；第二，他将简单的穷举用一个 巧妙的滤波算法代替来搜索标记一致的线段，该算法检查图形中的临近结合点，并且丢 弃不相容的候选标记。 g u z m a n t l 2 1 的s e e 程序首次提出了启发性的知识，同时首次将数字匹配过程用符号 处理代替。该程序可以分析处理大部分复杂线图，缺点在于它很难分析、预报物体的性 能，而且不能用来识别有孔洞的物体。 t r y t i e n l l 3 1 介绍的算法由四部分组成：边缘的检测、区域的分割、曲线的分组以及线 段的标记。系统的完成是一个综合框架为系统的鲁棒性来源，其他模块具有的约束可以 被用来诊断并修正某个模块具有的误差。 s h a p i r a t l 4 1 介绍了一些新的方法来标记转向轮廓线，并使用一个物体的多幅线图提供 其他一些附加信息。 薛 1 5 1 介绍了关于“流形”曲面立体的完整画隐线图标记理论及方法。在标记完曲面 立体完整画隐线图后，可以判断该线图是否可能为某曲面立体的真实投影，进而区分画 隐线图正确与否。该方法同样可用于平面立体画隐线图的标记。 由线图识别物体上的面是关于立体线图解释的关键问题之一【l6 1 。 d u t t o nf 1 和h a n r a h a n 1 印使用纯拓扑方法搜索线图中的面，但该算法只能用于亏格为 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 零的线图，且线图是三点连接的( 有三个割点) ，但三点连接的图并不多见，只有很少 的一部分。 c a i 1 明提出的算法可以识别画隐线图中的面，且该画隐线图符合人们的画图习惯， 即在画隐线图中，用实线表示可见棱线，用虚线表示不可见棱线。 2 不完整线图的分析 图1 - 1f a i k 所提出的不冗整线图 f i g 1 1t h ei m p e r f e c tl i n ed r a w i n g sp r o p o s e db yf a l l f a l k 2 0 1 首先开始研究不完整线图，他的研究放宽输入条件，允许几类特定的不完整 输入，例如图l l 所示，提出了一套初始的模型并规定了该套模型精确的尺寸和形状。 d i n 9 1 2 1 1 以s u g i h a r a 的线图标记技术为基础，对线图中l 型节点的特点进行了细致的 分析，并且给出了一种不完整线图补线问题的解决方法，该方法涉及物体三维信息、二 维投影信息及线图标记，而且建立了一个新的系统，该系统实现了由不完整线图数据的 输入过渡到三维物体形态的完全输入。 1 2 2 对线图解释的定量研究分析 人们在观察某投影线图时，可以非常容易地把该投影线图所对应三维物体的空间位 置、大小和方向估计出来，这可以说是因为人们看图之前已形成了一些假设，即一定的 约束关系在人的大脑中已形成了，如垂直性、平行性、夹角定长性和线段定长性等。 k a n a t a n i 2 2 彩】以对投影线图的三维正交变换为基础，建立了角度和长度之间的约束关系。 耐2 4 】研究提出了较为统一的角度和长度约束公式，并将其应用于解释三角形、两直角角 点及正交角点，该方法基本采用代数运算的形式，直观易懂。 k a n a d e l 2 5 2 6 吲入了把两个平面交线投影的约束和斜约束联系起来的方法，场景中平 面的方向由这两种约束足以确定，且结果符合人类观察物体的习惯，但该方法的局限性 是只能在有斜对称的图像中应用。利用人们看图时易于接受定长和直角的规律，b a n a r d 提出解释透视投影图形可利用“正交性假设”的算法，并推导出了约束关系式，这种算 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 法的弊端是需用到的推导关系式是非线性的，因此必须进行迭代求解。 二次曲面被经常使用在一些工程上，目前已经有关于从单幅线图重建二次曲面的算 法。h o r a u d 2 7 研究的算法可由单一投影轮廓重建曲面三维形状，该算法首先假设将物体 当成一般的圆柱面，把不连续轮廓线的面积与周长的比值的约束条件和视线方向矢量应 该与最外轮廓线的法矢相垂直的约束条件相结合，进而恢复最外的轮廓线和不连续轮廓 线所属面的法矢。 b a r r o w t 2 s 】的研究提出优先依照光滑度为标准选择二维曲线对应的三维曲线族中挠 率和曲率综合最小的一条。这种方法的不足之处是不能利用图像中已知的结构信息，而 且对噪声敏感。b r a d y t 2 9 】的优化标准是用图像的紧密度，选取面积与周长的比值作为紧 密度，对于平面曲线，小噪声不影响测量结果，该方法的缺点是计算结果经常不符合人 们的视觉习惯。n a i t o 3 0 l 发现在自然界中许多自然的和人造的物体经常会存在一条脊骨， 利用这一事实，围绕这条脊骨所具有的许多固定长度以及与脊骨成定角的枝条等，建立 了一种新的线图解释方法。p e n t l a n d 提出线图中光滑的曲线与曲面可以用简单的曲线与 曲面代替的方法来解释线图。m u r a s e 提出了自学习物体模型问题用于姿态估计和识别， 引入匹配外表而非匹配形状的新思想。s h i m s h o n i 3 1 】提出了在模型特征和图像特征之间 匹配假设校正，并以此为基础计算识别处理的概率，即随机三维物体识别方法。c h e n i 3 2 】 依据轮廓和内部棱线来对一定数量( 2 0 ) 的自由曲面物体进行分类。 1 2 3 计算机解释二维线图存在的问题 计算机解释二维线图的研究目前还存在以下问题【3 3 】： ( 1 ) 研究结果只能应用于“流形”物体的投影线图。w a l t z ，v a r l e y 等学者允许在 非常小的子集内存在非三面顶点物体的现象。 ( 2 ) 当线图中有节点遗漏时，虽然现有方法可以将遗漏的节点补出，但所补节点 的确切位置往往是不正确的，而三维重建的结果又与节点位置的正确与否关系密切，所 以，如何有效校正错误位置的节点仍然需要进一步深入细致的研究。 ( 3 ) 在以往该领域的研究中，往往要求线图是三维物体真实的投影，即输入的线 图没有遗漏或多余的线和节点。但由于多方面的影响，如受到光照、纹理、噪声等的干 扰，以及设计人员的疏忽，导致所生成的线图是不完整的，往往会有遗漏或多余的线段。 而目前对这方面的研究不足，成果尚少，对一般物体的投影线图的很多问题尚须开展深 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 入研究。特别地，如何正确有效的判断不完整线图中遗漏了哪些节点和线段，而哪些节 点和线段是多余的，这是比较困难的问题。 ( 4 ) 已有的线图解释方法对线图的真实性要求大多过于严格。如果某个线图是随 手勾画而来的，因为人们画图时往往不会严格基于投影原理进行绘制，所以该线图一般 不会是某个三维物体的真实投影图。目前提出的一些方法已经可以对有误差线图进行校 正和解释，但效果很差。目前的研究成果只能应用于物体的真实投影线图，不过现实中 得到的线图却往往不满足这一要求，例如在抽取的线图上几条线段不严格交于一个节 点，而理论上它们应该交于一点等。所以需要研究一定的标记和完整技术，使之能应用 于有误差的画隐线图。 ( 5 ) 如何更好的综合利用点、线、面之间的关系来解释线图尚须进一步研究。线 性系统会随着线图复杂性的增加而变得愈加庞大，不过每一个线性不等式或线性方程仅 含有较少量的未知数，该问题怎样有效解决需要深入研究。 ( 6 ) 由于预先无法明确画隐线图中哪些线段和节点有误差，所以以线性系统为基 础的迭代方法从画隐线图重构平面立体三维结构尚存在很大困难。效果更好的递归方法 需要建立在预先明确画隐线图中哪些线段和节点有误差的基础上。所以如何提前确定画 隐线图中哪些是存在误差的线段和节点尚须进一步研究。 1 3 论文的主要内容 论文主要研究内容是“流形”的平面立体与曲面立体的完整画隐线图的标记以及 “流形”的平面立体与曲面立体的不完整画隐线图的标记和补线。 计算机自动解释平面线图一般的流程可见图1 2 所示。 图1 2 计算机自动解释线图一般的流程 f i g 1 - 2t h ep r o c e s so fc o m p u t e ri n t e r p r e t st h ep r o j e c t i o n sa u t o m a t i c a l l y 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 论文分为6 章，各章主要内容如下： 第l 章：绪论。首先介绍关于计算机视觉的相关问题以及计算机解释二维线图的研 究意义，然后从两个方面，即二维线图定性分析和定量分析，细致说明计算机解释二维 线图的研究现状，最后阐明目前计算机解释线图尚且存在的问题。 第2 章：平面与空间直线表示的原则和方法。介绍平面和空间直线的表示原则，然 后举例几种常用的二维和三维直线的表示方法，分别指出各自的优点和缺点，其中需要 注意的是法线式表示法表示二维直线具有唯一性、均匀性和有界性。随后介绍在透视投 影以及斜- 狈, t l 投影下表示空间直线的另一种方法，该方法建立在用法线式表示二维投影 直线的基础上，三维空间直线由两个垂直相交的空问平面来表示。 第3 章：画隐线图的标记理论。介绍适用于“流形 平面立体投影线图的标记理论 及方法。介绍线图标记所依据的基本假设及线图标记的相关理论和规则；对节点和棱线 进行了分类；介绍“流形”平面立体投影线图中存在的2 4 种合法节点形式以及与人们 画图习惯相符的线图标记方法。 第4 章：平面立体不完整画隐线图的完整。以平面立体完整画隐线图的标记理论与 方法为基础，详细探讨平面立体不完整画隐线图的标记和补线。将平面立体完整自然线 图看作不完整画隐线图。一般情况下，平面立体不完整画隐线图会遗漏一些棱线和节点， 由此y 型和w 型节点退化成“一”字型或l 型节点。以2 4 种完整画隐线图的合法节点 形式为基础，提出平面立体不完整画隐线图的标记及补线的方法。 第5 章：曲面立体不完整线图的完整。介绍曲面立体不完整画隐线图的标记与补线。 可以将完整自然线图看作是一种不完整画隐线图的特殊类型。 不完整画隐线图中遗漏了一些线段及节点。将曲面立体不完整画隐线图中的l 型节 点可以看作是y 型、w 型或a 型节点的退化形式：“一”字型节点可以看作是y 型、 w 型、s 型、a 型或v 型节点的退化形式；另有两种v 型节点可看作是a 型或s 型节 点的退化形式。以此理论为基础，对曲面立体不完整画隐线图的处理方法进行介绍，并 对不完整画隐线图的标记以及补线的详细过程进行论述，进而得到正确的曲面立体完整 画隐线图。 第6 章：结论与展望。总结全文主要内容，指出本课题仍须改进之处，展望下一步 的工作方向。 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章平面与空间直线表示的原则与方法 本章首先介绍平面和空间直线的表示原则，对直线的各种表示方法进行分析，并以 此为基础选择最适宜于线图解释的方法。线图解释系统中的线图既可以是由图像提取得 到的线图，也可以是用c a d 软件绘制出来的线图。点和线段是线图中的基本几何元素， 线图解释需要以二维线段参数的提取为基础。 2 1 表示直线的原则 当使用直线时首先会出现直线的描述问题，主要包括用何种方式表示平面和空间直 线。确定平面和空间直线所需的表示方法需要考虑5 个方面【3 禾3 6 】： ( 1 ) 首先应方便计算。 ( 2 ) 需要直线所表示参数的最小化。 ( 3 ) 坐标须具有独立性。 ( 4 ) 表示方法需要具有唯一性。 ( 5 ) 要有继承性。 上述几个原则在实际研究中往往会相互矛盾，所以选择平面和空间直线的表示方法 时往往需要采取折中的方法。 2 2 平面直线表示方法 表示平面( 二维) 直线的方法有很多，如两点式、点斜式、截距式、斜截式和一般 式等。下面简要分析常用的几种表示方法。 ( 1 ) 两点式：任意选取直线上的两点，用它们的坐标来表示平面直线即为两点式， 需要有4 个参数。该方法的缺陷是没有唯一性。 ( 2 ) 点斜式：点斜式用直线的斜率k 和其上一个点n ( x o ，y o ) 来表示平面直线， 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 共需3 个参数。这种方法同样不具有唯一性，而且不能表示直线与y 轴平行的情况。 ( 3 ) 截距式：用直线在x 轴和在y 轴上的两个截距来表示平面直线即为截距式。 该方法不能表示当直线与两坐标轴平行时的情况以及过原点的直线。 ( 4 ) 斜截式：斜截式用直线的截距b 和斜率k 表示平面直线。该方法的优点是具 有唯一性，但缺点在于不能表示直线与y 轴平行的情况。 ( 5 ) 一般式：一般式表示的平面直线的一般方程为 a x + b y + c = 0 ( a ，b ，c 为常数而且a 和b 不同时为零) ( 2 1 ) 该方法缺点是其不具有唯一性，且a ，b ，c 所表示的几何意义不够清楚。 ( 6 ) 极坐标式：从极点引到直线的垂线与极轴之间的夹角a 以及极点与直线之间 的距离p 表示平面直线即为极坐标式。这种表示法优点是这两个参数的几何意义清晰明 确而且具有唯一性，所以可以用该方法表示平面直线。 ( 7 ) 法线式：储口刀给出了法线式表示法，该方法是一种适用于线图解释的平面直 线表示法。法线式与极坐标式的实质是一样的，只是这两种方式对直线方程采用了不同 的写法。如图2 。l 所示，现有平面内任意一条直线l ，法线长p 即原点o 到直线的垂线 长，e 为x 轴与过原点且垂直于直线l 的直线的夹角。直线的法线式表示方程： xcos0+ysino-p=0(2-2) 参数( p ，e ) 构成了平面直线的坐标。该方法的优点明朗：不仅具有唯一性，而且 可以表示平面内所有的直线，同时又具有均匀性和有界性【3 引。因此我们采取该方法来表 示平面直线。 图2 - 1 平面直线的法线式表示 f i g 2 1n o r m a lf o r mo fs t r a i g h tl i n ei nt w o - d i m e n s i o n a lp l a n e 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 3 三维空间直线表示法 对于三维场景的恢复需要用到的空间直线表示方法，不仅要符合平面直线的表示原 则，而且还应符合空间直线与对应的平面投影直线之间的约束关系。同样，上述要求往 往是有矛盾的，所以选择空间直线的表示方法时往往也需要折中。 a y a c h e l s t 3 9 】指出，最少需要4 个参数才能唯一的确定一条空间直线。但是，这4 维 参数空间不是四维欧几里德空间，仅仅是一个四维流形。一些学者针对该情况提出了若 干解决方案，可是在实际应用中每种方案都存在各自的一些问题。 2 3 16 参数表示法 三维空间直线的表示最简便易用的方法是确定直线上的任意一个点以及该直线的 方向。该方法所表示的空间直线的方程为： f 工= 讲+ p y = b t + q ( 2 - 3 ) 【z ：c f + r 该方法表示一条空间直线所需参数为6 个。一条空间直线可以被这6 个参数唯一地 确定下来，但是一条空间直线在此6 维参数空间中的表示方法有无穷多种，这与直线表 示的唯一性要求相悖。 另一种重要的三维空间直线表示法是p l i i c k e r 提出的坐标表示法，它同样是一种6 参数表示法。它是由两个三维向量( d ) 所构成的，向量口代表直线的方向向量。向 量d 定义如下： d = 口j ( 2 - 4 ) 其中，x 是指向量叉积，朋位于直线上。向量d 为矩向量，其方向是由原点向直线 做垂线后垂线的方向。直线p l i i c k e r 坐标的6 个参数相互之间不是独立的，因为口垂直 于d ，故有比- d = 0 。 设( x 1 ，y l ，z 1 ) ，( x 2 ，y 2 ，z 2 ) 两点位于空间直线，上，( p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 ，p s ，p 6 ) 为空间直线 ，的p r i c k e r 坐标，则直线z 的p l i i c k e r 坐标可通过下式求解得出： 太原理工大学硕士研究生学位论文 p l2 而y 2 一x 2 y l p 22 x l z 2 一x 2 z i 岛2x l x 2 ( 2 5 ) p 42 y i z 2 y 2 z i p 52y l y 2 p 62z l z 2 其中，直线的方向向量以为( p 3 ，p 5 ，p 6 ) ，直线的矩向量d 为( p 4 ，p l ，一p 2 ) 。此外， 空间直线，的p l i i c k e r 坐标( p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 tp 5 ，p 6 ) 有- f y l j 恒等式成立： p l p 6 - p 2 p s + 岛成= 0 ( 2 6 ) 一条空间直线可以被6 个参数唯一地确定，但是一条空间直线在此6 维参数空间中 的表示方法却会有无穷多种，这同样与直线表示的唯一性要求相悖。 2 3 24 参数加1 整数标记表示法 4 参数加l 整数标记表示法就是令式( 2 3 ) 中6 个参数中的两个保持不变。比如， 现在令参数c = l ，r = o ，那么空间直线的方程转变为： j x 2 舷+ p( 2 7 ) 【y = b z + q 但是方程( 2 7 ) 不能表示与z 轴相垂直的三维直线。事实上，想要表示所有情况， 尚需另外两个类似的方程。令参数b = l ，q = o ，那么空间直线的方程变为： j 舻a y + p( 2 8 ) p 2 c y + r 同样，方程( 2 8 ) 不能表示与y 轴垂直的空间直线。再次令参数a = l ，p = o ，那么空 间直线的方程为： j y = b x + g ( 2 - 9 ) 【z2 “十， 同理，式( 2 9 ) 不可表示与x 轴相垂直的三维直线。 这种表示法需要首先已知选取上述3 个方程中的哪个来表示空间直线，但事实上往 往不能预先知道三维模型，比如由二维投影线图来重构三维物体的结构，此时三维模型 就不能预知，这时该方法就会增加计算量和工作的复杂性。 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 3 3 垂直相交两平面表示法 c h a n g 4 0 1 通过研究给出了用垂直相交两平面表示法对空间直线进行描述。该方法优 点明显：首先具有唯一性，其次在空间直线及其平面投影直线之间具有简单的对应关系。 但c h a n g 的研究用斜截式表示平面投影直线，所以，必然会有斜截式表示平面直线的缺 陷。针对该情况，储【3 9 1 在对常用空间直线表示法进行详细分析的基础上，提出一种更加 合理的三维直线表示方法。该方法改用法线式来描述平面投影直线，从而避免了上述缺 陷的出现。 1 透视投影下空间直线表示法 s x 图2 - 2 空间直线在透视投影下的表示 f i g 2 2p e r s p e c t i v ep r o j e c t i o no f t h r e e - d i m e n s i o n a ll i n e s 图2 - 3 ( 2 1 3 ) 式所不能表示的空间直线 f i g 2 - 3a t h r e e - d i m e n s i o n a ll i n et h a tt h ef o r m u l a ( 2 13 ) c a n n o te x p r e s s 如图2 - 2 ，s x y z 代表三维空间坐标系，s 是投射中心( 也是坐标原点) ，o x y 为平 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 面坐标系，x ，y 轴分别与x ，y 轴平行，z 轴穿过0 点垂直于图像平面，s o = f 3 0 摄 像机焦距。 在图2 2 中，两空间平面p i 与p 2 垂直相交于空间直线，平面p i 称为反透视平面， 其包含了投影中心s 和空间直线的投影l 。设平面p 2 与p l 所形成直线的方程如下： 口l x + 6 l y + c l z + d j20(2-10) u ， 【口2 工+ b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 因为平面p 1 穿过坐标原点s ，因此可知d l = o 。但平面p 2 必然不过原点s ，因为如 果它也穿过原点s ，那么这两个平面的交线也肯定会穿过原点，且该交线投影后会成为 一个点，不符合第3 章中的基本假设5 ，所以d 2 o 。 直线l 的方程为x c o s 8 + y s i n 8 - p = 0 ，规定0 0 q 兀，窿0 ，反透视平面p 1 必然 包含直线l 对应的空间直线，。点m ( x ，y z ) 位于三维空间直线1 上，m ( x ，y ) 是该 点在投影面上的投影，因为m ( x ，y ) 必然在三维空间直线z 的投影l 上，所以它满足 投影直线l 的方程。点的透视投影方程为： x ：，三，y ：f y ( 2 1 1 ) 把上式( 2 1 1 ) 代入到图像平面直线l 的方程中可得平面p l 的方程为： 乒c 0 5 口+ 痧s i n 8 - 胆= 0 ( 2 1 2 ) 即q = f e o s o , b , = f s i ne , c i = - p 。由于平面p 1 垂直于平面p 2 ，可得： a l 疗2 + b i b 2 + c l c 22 0 如此，三维空间直线，便可以做如下表示： 腮? 场旒肛。：+ ：像1,ob2y c o s o + bs i n o ) z p0 3 ) 【膨2 j + + ，忙22 += 。 如果投影平面内二维直线l 恰好经过原点o ，p = o ，那么式( 2 1 3 ) 转化为； 岛芦枷划 上式只能表示三维直线与平面o x y 平行。但与投影平面不平行的三维直线，不能 由式( 2 1 3 ) 表示，如图2 3 所示。所以这时平面n 的方程并不是式( 2 1 3 ) 的某种特 殊情况，故与投影坐标系原点0 、视点s 共面的空间直线不能由式( 2 1 3 ) 表示。除此 以外，满足第3 章中基本假设5 的所有空间直线均能由式( 2 1 3 ) 表示。用式( 2 1 3 ) 表示三维空间直线是一种建立在图像基础上的三维直线表示法，在发现图像中有某直线 太原理工大学硕士研究生学位论文 经过原点o 时，可以把所有图像进行整体平移，以便让图像中任何直线都没有穿过原点。 对图像进行整体平移后，这种方法就具有了唯一性，所以可以将三维空间直线的坐 标定义为不全为零的4 个数c p ，岛口：，6 2 ) 。 所以，这种表示法可用来描述透视投影下的三维直线。 2 斜二测投影下空间直线表示法 图2 - 4 空间直线在斜二测投影下的表示 f i g 2 - 4a x o n o m e t r i ep r o j e c t i o no ft h r e e - d i m e n s i o n a ll i n e 图2 5 ( 2 1 5 ) 式所不能表示的空间直线 f i g 2 5a 也r e e d i m e n s i o n a ll i n et h a tt h ef o r m u l ar 2 15 ) c a n n o te x p r e s s 在斜- - n 投影下，空间任意一条直线i 同样可用方程组( 2 1 0 ) 表示，平面p l 用第 1 个方程表示，平面p l 与投影方向s 平行且包含空间直线z 的平面斜二测投影l ：平面 n 用第2 个方程表示，两平面垂直相交于，见图2 4 所示。 因p 2 平面不能与投影方向s 平行，所以此处设c 2 = 1 。 15 太原理工大学硕士研究生学位论文 点m ( x ，y z ) 位于空间直线，上，其投影为m ( x ，y ) ，点的斜二测投影方程如下： j 肛x ( 2 - 1 4 ) 【y = y 所以由此可写出空间直线对应的方程： j 工c o s 秒+ y s n 口一p 2 0 ( 2 - 1 5 ) ， l 一如石s 证口+ 6 2 ) ，c o s 矽+ z c o s o + 攻c o s 0 = 0 当投影平面内直线l 与x 轴相互平行时，有c o s o = 0 ，那么式( 2 1 5 ) 便转化为： f y p = 0 1 ；- - o 上式表示的三维直线与o x y 平面( 投影平面) 相垂直。但式( 2 1 5 ) 不可以表示 与o x y 平面不相垂直的空间直线，如图2 5 所示，所以这种情况下平面p 2 的方程并 不是式( 2 1 5 ) 的某种特殊情况。 此外，可以通过整体旋转图像的方法避免图像中可能出现与x 轴平行的直线的情 况，确保图像中任意直线与x 轴都不平行，所以该方法就具备了唯一性要求。 本文使用该方法进行描述斜- - n 投影下的三维空间直线。 空间直线的垂直相交两平面表示法的优点较多，比如具有简洁性和唯一性，所需的 参数最少等。不仅如此，基于该方法的三维空间直线同其对应的二维投影直线之间有十 分简单的约束关系。 2 4 本章小结 本