（机械设计及理论专业论文）外啮合余弦齿轮泵的特性研究.pdf

湖南科技大学硕士学位论文 摘要 齿轮泵具有结构简单、体积小、重量轻、自吸性能强、工作可靠、制造维护方便、 价格便宜等优点。随着齿轮泵在高温、高压、大排量、低流量脉动、低噪音等方面发展 及应用，对齿轮泵的特性研究及提高齿轮泵的安全和效率已成为各国深入研究的课题。 本文运用理论分析和数值仿真，探讨了外啮合余弦齿轮泵的主要特性，为齿轮泵理论技 术的发展和推广应用奠定了基础。 首先利用“扫过面积法 推导了外啮合余弦齿轮泵的瞬时流量表达式，重点研究了 余弦齿轮泵的排量、平均流量、流量不均匀系数及流量脉动频率等基本特性，运用余弦 齿轮泵困油容积的计算式，分析了困油对流量特性的影响。随后讨论了外啮合余弦齿轮 泵的沿齿轮圆周液体压力方向和沿齿轮啮合方向所产生的径向力的受力情况，在此基础 上分析了径向力的合成，探讨了减小齿轮泵径向力的几种措施。最后利用两平行圆盘( 或 平板) 间隙流动理论以及牛顿摩擦定律，得出了余弦齿轮泵的几种主要的泄漏及粘性摩 擦损失的表达式，确定了齿轮泵损失功率最小时的最佳间隙。 运用p r o e 和m a t l a b 软件，重点对余弦齿轮泵的流量及其脉动情况、困油容积的 变化等进行了数值仿真。结果表明，与同参数的渐开线齿轮泵相比，余弦齿轮泵的流量 脉动要明显优于渐开线齿轮泵，而且具有流量大、困油容积小及困油时间短等特点。 通过线切割加工方法，研制出了余弦齿轮泵，并进行了空载压力下初步的跑合、泄 漏和吸油试验，为完善余弦齿轮泵的设计和推广应用奠定了良好基础。 关键词：余弦齿轮泵：流量脉动；困油；径向力：效率 湖南科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t g e a rp u m ph a sa l la d v a n t a g eo fs i n g l es t l l l c 臼l r e ，s m a l lv o l u m e ，n g h tw e i g h t ，s t r o n g a d s o r b i n g ，r e l i a b l ew o r kc o n d i t i o n s , c o n v e n i e n tm a n u f a c t u r i n ga n dr e p a i ra n df a v o u r a b l e p r i c ea n ds oo n w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fg e a rp u m pi nh i 曲t e m p e r a t u r e ，h i 曲 p r e s s u r e ，l a r g ed i s p l a c e m e n t ，l o wf l o wp u l s a t i o na n dl o wy a w p i ti sn e c e s s a r yf o ru st os t u d y t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n di m p r o v es a f e t ya n de f f i c i e n c yo fg e a rp u m p b a s e do nt h et h e o r ya n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n , t h ec h a r a c t e r i s t i c so fan o v e le x t e r n a lc o s i n eg e a rp u m pa r ed i s c u s s e d i ti sv e r yi m p o r t a n tt od e v e l o pt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no f g e a rp u m p f i r s t , t h em o m e n t a r yf l o wr a t eo fe x t e r n a lc o s i n eg e a rp u m pi sd e d u c e db y “w a y so f s w e e p i n ga r e a a n dt h ed i s p l a c e m e n t ，a v e r a g ef l o wr a t e ，c o e f f i c i e n to ff l o wr a t e ，f r e q u e n c yo f f l o wp u l s a t i o na l em a i n l ya n a l y z e df o rc o s i n eg e a rp u m p b a s e do nt h et r a p p i n gt h e o r yo f e x t e r n a li n v o l u t eg e a rp u m p ，e x p r e s s i o no ft r a p p i n gv o l u m ei sd e d u c e da n dt h ei n f l u e n c eo f t r a p p i n go nf l o wr a t ei sa l s oa n a l y z e d s e n o n d l y , t h er a d i a lf o r c ea l o n gg e a rc i r c l ea n dg e a r m e s h i n gi sd i s c u s s e d o nt h i sc o n d i t i o n ，t h ec o m p o u n do ft h er a d i a lf o r c ea n dt h em e a s u r e so f m i n i s h i n gr a d i a lf o r c ea r ea n a l y z e d a tl a s t ，b a s e do nt h e o r yo ff l o wi nc l e a r a n c eb e t w e e nt w o p a r a l l e lf l a ta n dn e w t o nf r i c t i o nl a w , v o l u m e t r i cl e a k a g ea n dm e c h a n i s ml o s so fg e a rp u m p a r ed e d u c e d t h er a n g eo f o p t i n m c l e a r a n c ei sc o n f i r m e d c o m p a r e dw i t hi n v o l u t eg e a rp u m po ft h es a l l ep a r a m e t e r s ，t h eb a s i cc h a r a c t e r i s t i co f c o s i n eg e a rp u m pi ss i m u l a t e dw i t hp r o ea n dm a t l a bs o f t w a r ea n ds o m ev a l u a b l e c o n c l u s i o n sw h oi sac h a r a c t e r i s t i co fs m a l lf l o wp u l s a t i o n ，b i gf l o wr a t e ，s m a l lt r a p p i n g v o l u m ea n ds h o r tt r a p p i n gt i m ea r eg i v e n t h ec o s i n eg e a rp u m pa r ep r o c e s s e db yw i r ec u t t i n g a tl a s t ，at e s tf o rr u n n i n g ，l e a k a g e ， a n ds u c k i n go i li sd o n ea n da n a l y z e df o rc o s i n eg e a rp u m p i ti sv e r yi m p o r t a n tt op e r f e c tt h e d e s i g na n da p p l i c a t i o no fc o s i n eg e a rp u m p k e y w o r d s ：c o s i n eg e a rp u m p ：f l o wp u l s a t i o n ；t r a p p i n g ；r a d i a lf o r c e ；e f f i c i e n c y 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律后果由本人承担。 储张灼灸 啡抄3 年6 月2 牟日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权湖南科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名： 导师签名： 日期：抄8 年 日期：础 5 月2 4 日 厂月力日 p 畏讽 卑豸 妣雾 湖南科技大学硕士学位论文 1 1研究背景及意义 第一章绪论 齿轮泵是在工业应用中运用极其广泛的重要装置之一，尤其是在液压传动与控制技 术中占有很大的比重，它具有结构简单、体积小、重量轻、自吸性能好、耐污染、使用 可靠、寿命较长、制造容易、维修方便、价格便宜等特点“。但同时齿轮泵也还存在一 些不足，如困油现象比较严重、流量和压力脉动较大、径向力不平衡、泄漏大、噪声高 及易产生气穴等缺点，这些特性和缺点都直接影响着齿轮泵的质量。随着齿轮泵在高温、 高压、大排量、低流量脉动、低噪音等方面发展及应用，对齿轮泵的特性研究及提高齿 轮泵的安全和效率已成为国内外深入研究的课题。 受国家自然科学基金“重载齿轮弹性啮合过程的物理动态仿真理论与试验研究 ( 5 0 5 7 5 0 7 1 ) 刀、湖南省杰出青年基金“新型余弦齿轮的形成原理、创成方法及应用研究 ( 0 6 j j l o 0 0 8 ) 刀和教育部新世纪优秀人才支持计划等项目的资助，本论文在余弦齿轮传 动h j ，的基础上，针对一种新型的齿轮泵外啮合余弦齿轮泵的流量特性、困油特性、 径向力及效率等方面展开了理论分析及数值仿真研究，从而为余弦齿轮泵的设计与制造 提供理论依据。 1 2国内外研究现状 齿轮泵哺。，作为齿轮在工业中应用的一种重要装置，在液压传动与控制技术中占有 很大的比重，其主要特点是结构简单，体积小，重量轻，自吸性能好，耐污染，使用可 靠，寿命较长，制造容易，维修方便，价格便宜，概括起来讲是好造、好用、好修、经 济。外观上，2 0 0 3 年，由美国哥伦比亚大学学者s u r e s hb a b uk a s a r a g a d d a 盯，在研究一种 结构相同而啮合齿轮齿数不等的外啮合齿轮泵流量脉动的情况下，通过数学手段分析， 当增加泵的自然谐波时，能设计出一种主动齿轮齿数多、从动齿轮齿数少的齿轮泵，该 齿轮泵的排量及流量脉动振幅没减少但在结构设计方面与传统齿轮泵相比具有外形简 单，体积更小的特点。不过，齿轮泵也有不少缺点，主要是流量和困油引起的压力脉动 1 第一章绪论 较大，噪声较大，排量不可变，高温效率较低。这些缺点在某些结构经过改进的齿轮泵 上，已得到很大的改善。江苏工业学院祝海林教授等1 9 人针对现有高粘度齿轮泵结构单 一、径向力不平衡、轴承受力大造成磨损严重、流量及压力脉动大等问题，综合行星传 动及齿轮泵原理，提出了将外啮合与内啮合两种结构相结合构成高粘度复合齿轮泵的设 想，阐述了新型齿轮泵的结构及性能特点，得出了理论排量的计算公式。研究表明：新 型齿轮泵的高低压腔对称、齿轮与轴受力平衡。它具有内泄漏小、轴承及泵的寿命长、 输出排量成倍增加而流量脉动小等显著优点，具有良好的产业化前景。近年来，齿轮泵 的工作压力也有了很大提高，额定压力达到2 5 m p a ，最高压力达到了3 1 5 m p a 。在国内 外，变量齿轮泵的研究也在进行。1 9 9 8 年，河北机电学院丁万荣等“州人设计出一种结构 简单、成本低廉的b c b _ - b 型变量齿轮泵，与定量泵相比，可节省动力6 0 以上，因此在 中等功率，特别是大功率系统中得到了广泛应用，具有良好的技术经济价值和开发前景； 还有在产品结构上的改进，特别是三联、四联齿轮泵的问世，也部分地弥补了齿轮泵不 能变量的缺点。在排量方面，2 0 0 4 年由日本学者kn a g a m u r a 和ki k e j o 等n “提出的渐 开线摆线齿轮泵，经理论和实践证明，其排量比传统渐开线齿轮泵的排量要大2 0 ， 解决了以往齿轮泵的排量单纯只靠改变模数和齿数来调节齿轮泵排量的缺点。此外，齿 轮泵的使用领域也在不断扩大，许多过去用柱塞泵的液压设备也已改用齿轮泵，如工程 应用起重机等。 齿轮泵可分为内啮合和外啮合两大类，在国内外某些工业发达国家，内啮合齿轮泵 的产量占很大比例，有些国家内啮合与外啮合泵的产量比接近1 ：l 。齿轮泵是我国最早 生产的液压元件之一，压力从0 5 m p a 至2 5 m p a ( 最高压力达到3 1 5 m p a ) ，流量从3 l l m i n 至4 0 0i m i n 的齿轮泵均有生产；我国的内啮合齿轮泵产量不大，特别是渐开线 齿形的内啮合齿轮泵，尚处在初级阶段m “”。目前，我国的齿轮泵产品性能方面还比较 低，与国外同类产品性能相比，还有不小的差距。由于齿轮泵用途十分广泛，又可分为 普通齿轮泵、特种齿轮泵以及高参数的聚合物输送用齿轮泵。普通齿轮泵大都用于输送 油类液体或用于液压系统，因此又称为油泵或液压泵，据不完全统计，我国生产的齿轮 泵型号有c b 、c b b 、c b f 、c b g 、c b n 、c b p 、c b q 、c b z 等二十余种，还不 包括军工部门生产的产品。特种齿轮泵可以用来输送高粘度液体，工作压力通常不超过 1 5 m p a ，广泛应用于石化、轻纺、食品、涂料等行业。聚合物输送用齿轮泵则用来输送 2 湖南科技大学硕士学位论文 化工流程中的高温、高压、粘态聚合物。2 0 0 1 年由北京化工大学江波、李云玲等“钉结合 聚合物熔体齿轮泵的开发研制，并以同向平行双螺杆挤出机为实验平台，研究了聚合物 熔体齿轮泵的输送特性和主要性能参数。测试数据表明，该类泵具有显著稳压效果和线 性输送的特性。应用它可以增加挤出机产量，提高制品的精度，降低能耗和节约原材料。 从普通齿轮泵再到聚合物输送用齿轮泵，可见它们的设计制造难度是随着工作条件的苛 刻程度而不断升级的。 目前，国内外学者关于齿轮泵的研究主要集中在以下几个方面“删： ( 1 ) 齿轮参数及泵体结构的优化设计； ( 2 ) 齿轮泵间隙优化及补偿技术； ( 3 ) 困油冲击及卸荷措施。齿轮泵的困油现象对齿轮泵乃至整个液压系统都产生 了很大的危害，困油冲击与齿轮啮合的重叠系数及卸荷是否完全等有很大关系( 包括卸 荷槽的位置、形状及面积等) 。文献 4 6 4 7 】对此进行了研究。 ( 4 ) 齿轮泵流量品质研究旧，： ( 5 ) 齿轮泵的噪声控制技术； ( 6 ) 轮齿表面涂覆技术及其特点； ( 7 ) 齿轮泵的变量方法研究； ( 8 ) 齿轮泵的寿命及其影响因素。2 0 0 3 年，澳大利亚r h f r i t h 和w s c o 仕f 刎分析了 在水压系统中外啮合齿轮泵的失效问题，他们证实，齿轮泵失效的是在齿轮啮合区、轮 齿与泵壳等封闭区，而以往一些失效原理的分析还不是十分令人信服，他们提出最可取 的方法是通过一简单模型做实验来得出结论；2 0 0 5 年土耳其学者t e z c a ns e k e m i o g l u m l 研究了在粉未冶金中聚合物注射泵的失效问题，结果表明，齿轮的失效最初是从尖角等 应力集中处开始的，它与齿轮的硬度等因素有关。 ( 9 ) 齿轮泵液压力分析及其高压化的途径。2 0 0 1 年由安徽理工大学栾振辉旧，在行 星传动理论与齿轮泵工作原理相结合的基础上提出了一种新型液压元件平衡复合 齿轮泵，它不仅保留了普通齿轮泵的优点，而且解决了普通齿轮泵存在的径向液压力不 平衡问题，它所具有的径向液压力平衡、排量大、流量均匀性好等一系列优点，进而为 平衡式复合齿轮泵的高压化创造了条件。 ( 1 0 ) 水介质齿轮泵基础理论研究。 3 - 第一章绪论 ( 1 1 ) 轮齿弯曲应力及接触疲劳强度的计算。齿轮泵的轮齿弯曲应力及接触疲劳强 度的计算与一般齿轮传动的轮齿弯曲应力及接触疲劳强度计算是有区别的，文献 5 1 - - - 5 3 对此作了研究。 液压传动系统正向着快响应、小体积、低噪声的方向发展。为了适应这种要求，齿 轮泵除积极采取措施保持其在中低压定量系统、润滑系统等的霸主地位外，尚需向以下 几个方面发展。 ( 1 ) 高压化：高压化是系统所要求的，也是齿轮泵与柱塞泵、叶片泵竞争所必须 解决的问题。齿轮泵的高压化工作已取得较大进展，但因受其本身结构的限制，要想进 一步提高工作压力是很困难的，必须研制出新结构的齿轮泵，这方面，多个齿轮组成的 齿轮泵将有很大优势，尤其是平衡式复合齿轮泵嘲1 。 ( 2 ) 低流量脉动：流量脉动将引起压力脉动。从而导致系统产生振动的噪声，这 是与现代液压系统的要求不符的。降低齿轮泵流量脉动的办法，除了前面所介绍的措施 外，采用内啮合齿轮泵及复合齿轮泵将是一种趋势。 ( 3 ) 低噪声：国外早就有“安静的液压泵之说。随着人们环保意识的增强，对 齿轮泵的噪声要求也越来越严格。齿轮泵的噪声主要由两部分组成，一部分是齿轮啮合 过程中所产生的机械噪声，另一部分是困油冲击所产生的液压噪声。前者与齿轮的加工 和安装精度有关，后者则取决于泵的卸荷是否彻底。对于外啮合齿轮泵，要实现完全卸 荷是很困难的，因此进一步降低泵的噪声受到一定的限制。在这方面，内啮合齿轮泵因 具有运转平稳、无困油现象、噪声低等特点，因此今后将会有较大发展。 ( 4 ) 大排量：对于一些要求快速运行的系统来说，大排量是必需的。但普通齿轮 泵排量的提高受到很多困难因素的限制。在这方面，平衡式复合齿轮泵具有显著优势， 如一台三惰轮复合齿轮泵的排量相当于6 台单泵的排量。 ( 5 ) 变排量：齿轮泵的排量不可调节，限制了其使用范围。为了改变齿轮泵的排 量，国内外学者进行了大量的研究工作并取得了大量研究成果。有关齿轮泵变排量方 面的专利已有很多，但真正能转化为齿轮泵的还很少。文献r 5 5 介绍了一种通过改变齿 轮啮合长度来改变齿轮泵排量的办法，比较接近实用。平衡式复合齿轮泵可通过调节内 齿轮的转速来改变泵的排量，但具体方法和结构尚待进一步研究。但不管怎样，齿轮泵 的变排量将是一个发展方向。 4 湖南科技大学硕士学位论文 1 3 主要研究内容 论文主要研究内容如下： 1 余弦齿轮传动的形成原理及特性分析 研究余弦齿廓的形成原理、齿廓方程、重合度、滑动系数等。 2 余弦齿轮泵的流量及其脉动特性研究 运用数学方法推导出余弦齿轮泵的瞬时流量、排量、流量脉动率等表达式，并分析 其影响因素。 3 余弦齿轮泵的困油特性研究 ( 1 ) 基于渐开线外啮合直齿齿轮泵困油的原理，推算出困油容积的计算式； ( 2 ) 结合p r o e 软件，分析困油过程中困油腔容积的变化规律及困油现象对流量特 性的影响。 4 余弦齿轮泵的径向力分析 ( 1 ) 通过分析液压力和齿轮啮合对轴承产生的径向力，确定径向力的合成； ( 2 ) 减小径向力采取的措施。 ，。 5 余弦齿轮泵的效率研究 利用摩擦学原理的相关理论，导出余弦齿轮泵中容积损失和机械损失的相关泄漏及 粘性摩擦损失的表达式，并与相对应、同参数的渐开线齿轮泵相比较。 6 余弦齿轮泵的数值仿真及研制 ： ：( 1 ) 运用p r o e 和m a t l a b 软件对余弦齿轮泵的流量及其脉动、困油容积的变化等进 i 行数值仿真，并绘出相应的仿真曲线图； ( 2 ) 通过线切割加工方法，研制出余弦齿轮泵，并进行空载压力下初步的跑合、泄 漏和吸油等试验。 5 第二章余弦齿轮传动的数学模型及特性 第二章余弦齿轮传动的数学模型及特性 在齿轮传动中，决定其动态性能优劣的最基本要素就是齿轮的齿形。为了满足不同 的使用场合，人们在实践中发展了诸多不同的齿形，如摆线、渐开线、圆弧、变长线等。 由于渐开线齿形具有诸多优点，所以渐开线齿形今天已占据了绝对的优势。但随着生产 和科学技术的发展，渐开线齿形逐渐暴露出一些缺点。为了弥补渐开线齿形的不足和满 足不同的使用场合，相继出现了一些其他形式的齿形，如双渐开线齿形、微线段齿形等， 余弦齿形就是在这种情况下产生的。本章拟从余弦齿轮的构造过程入手，运用齿轮啮合 理论，建立余弦齿廓方程、共轭齿廓方程及啮合线方程等数学模型，从而为余弦齿轮传 动在齿轮泵领域方面的应用提供理论依据。 2 1 余弦齿轮传动的数学模型 2 1 1 余弦齿轮的形成原理及齿廓方程 现以余弦曲线的零位线作为齿轮的节线，以曲线的一个周期作为齿轮的一个齿距， 以曲线的幅值a 作为齿轮的齿顶高( 暂不考虑齿顶高系数) 来构建余弦齿轮，即该齿轮 的齿廓曲线是一条以其节圆为基线而展开的余弦曲线，如图2 - 1 ( a ) 所示。其中，坐标 系。( x 。，0 。，y 。) 为直角坐标系；( ) ( o ，o o ，y o ) 为自然坐标系。图中正为余弦齿轮 的分度圆半径，目为点相对于坐标系。的转角。 如图2 - 1 ( b ) 所示，设余弦曲线幅值为彳，周期为2 r d b ，则该曲线的直角坐标方程为 y = 彳c o s ( b x ) 则余弦齿廓上任意一点k 的极坐标方程为 p = + a c o s ) ( 2 1 ) 将沪，_ l 口代入式( 2 1 ) 可得 p = ，i + a c o s ( b r l 功( 2 2 ) 余弦齿轮一个齿距对应的角度为曲线的一个周期，即t = 2 n z l ，由上式可知，曲线 的周期也可以表示为t = 2 r d ( b * r 1 ) ，因此，6 l 习l ，代入式( 2 。2 ) 可知余弦齿廓上任意 点k 的极坐标方程为 6 湖南科技大学硕士学位论文 p = + a e o s ( z 1 0 ) ( 2 3 ) 弋丫“均 j d 兀2 b 2 n b 一 【口) f i g 2 1e s t a b l i s h i n gt h e o r yo f c o s i n eg e a r 图2 1余弦齿轮形成原理 将r l = ( m * z o 2 和a = h 代入上式，可得直角坐标方程为 x z2 ， m z l ，、2 + h c o s ( 硼2 ( 2 4 ) h = 【2 + h c o s ( z i o ) c o s ( a ) “ 其中，z l 为齿轮i 的齿数，m 为模数，h 为齿顶( 根) 高。 2 1 2 几何关系 如图2 2 所示，齿轮1 的分度圆半径为r l ，尸为节点，已知的齿形c - c 与坐标系l ( x l ，o l ，y 1 ) 固连在一起。 ：在图示的起始位置，若c c 上k 点的法线正好通过p 点，则它就是此时的一个接触 点。设齿形上另一点局的法线与节圆的交点为尸l ，为了使局成为接触点，必须使齿轮 1 和齿形c - c 一起转过角度妒i 到达虚线处，而p l 到达节点p 处，此时接触点位置就在 k l 。设齿形c - c 上任意一点k l ( x i ，y 1 ) 处的切线与焉轴的夹角为夕，则 ：a t a n d y _ _ a k ( 2 5 ) 奶 将式( 2 4 ) 代入式( 2 5 ) 可得， ：龇咖垫一! 垒! ! 坚刍旦! ! 塑皇二丝! ! ! 丛圣皇! ”( 2 6 ) 。 【m z l 2 + h c o s ( z , o ) - h z lt a n o s i n ( z i 曰) 7 第二章余弦齿轮传动的数学模型及特性 f i g 2 - 2c a l c u l a t i n gp a r a m e t e ro f t h ec o n j u g a t eg e a rp r o f i l e 图2 - 2 共轭齿廓的计算参数 又由0 l 作硒p l 的垂线，并设它与d l p l 的夹角为矽，则由图可知： jc，：=8ccos!l!掣：(27) i 7 眦2 ：( ) i仍= 詈一一 将式( 2 4 ) 和式( 2 6 ) 代入式( 2 7 ) ，得 研：a r c s i n ( m z l 2 + h c o s ( z l o ) s i n ( 8 + f 1 ) ) 一( 2 8 )“ 7 2 2 2 1 - 3 共轭齿廓方程 凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓，在图2 3 中，设坐标系( x ， 0 ，y ) 为静坐标系，坐标系1 ( x l ，o l ，y 1 ) 与齿廓c l 相固连，坐标系e 2 ( x z ，0 2 ，y z ) 与 齿廓c 2 相固连，o l 和d 2 分别为t ( x z ，o l ，y 1 ) 和e 2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 的原点。当一对齿廓 相啮合时，共轭齿廓c 2 可视为c l 在坐标系2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 中形成的曲线族包络。 在坐标系1 ( x l ，0 l ，y 1 ) 中，齿廓c 1 上啮合运动方程为 k = 五( 力i i + 咒( 秒) j l ( 2 9 ) 为了推导齿廓c 2 的参数方程，将啮合点在坐标系l ( x l ，o l ，y 1 ) 中的径矢r l k 由坐 标系l ( xz ，o l ，y 1 ) 直接变换到坐标系e 2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 下 r 2 k = m 2 l 吒k + 吒l ( 2 1 0 ) 式中，i k 、厂2 k 必点在i ( x l ，o l ，y 1 ) 和2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 中矢径r l k 、r 2 k 的列矩阵； 8 - 湖南科技大学硕士学位论文 您l i ( x i ，o l ，y 1 ) 的原点o j 在e 2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 中的矢径r 2 1 的列矩阵； 必l 由i ( x l ，o l ，y 1 ) 到e2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 的坐标旋转矩阵； 且蚝= ( 黧：乏； 又知 - s i n ( 1 p l + 矽2 ) 、 c o s ( c p l + 伊2 ) y 。 j f 咒 2 k 。 拶淋x ： 已，芒 蒜叔o1 溅 f i g 2 3 r e f e r e n c ef r a m eo ft h em e s h i n gg e a r 图2 - 3 齿轮啮合坐标系 r 2 l = 气1 + 吃o ( 2 1 1 ) 式中，o l l ( x l ，o i ，y 1 ) 的原点o l 在( 】( ，0 ，y ) 中的矢径r o l 的列矩阵； ，2 0 r 一( ko ，y ) 的原点p 在2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 中的矢径r 2 0 的列矩阵； 尬厂由( ko ，y ) 到e 2 ( x 2 ，0 2 ，y 2 ) 的坐标旋转矩阵； 妒，= ( 器) ，蚝= 陋：鬻) 即 铲嗽嚣心+ ( 将式( 2 1 2 ) 代入式( 2 1 0 ) 得 = ( 皂蒜。n s p 圹2 _ ( a s 哪i n 够仍2 ) “2 ”c o s ( ( o l + c p ：；- 州s i n ( 仍伊1 嚣心+ ( 竺廿吨 即 9 一、，仍仍 1 s 0 s c 眨眨 第二章余弦齿轮传动的数学模型及特性 j 工22 _ c o s ( 仍+ 仍) 一ms i n ( 识+ 仍) + 口s i n 仍( 2 1 4 ) 【y 2 = x 1s i n ( ( a + 仍) + y tc o s ( 伊t + 仍) 一a c o s 够2 将式( 2 4 ) 代入式( 2 1 4 ) ，得齿廓c 2 的直角坐标方程 而：【刀场2 + 1 7 c 。s ( 毛秒) 】s i n 【p 一( 1 + s 仍】+ 口s i l l ( 孕) z 1 ( 2 1 5 ) 儿：【，2 + 厅c o s ( 毛d 】c o s 【p 一( 1 + ) 仍卜口c o s ( 罢b li 式中，妒l 、9 2 为齿轮l 和齿轮2 的旋转角度，f 为齿轮传动比，口=1 + f ) 。 2 1 4 啮合线方程 一对轮齿啮合点的轨迹称为啮合线。根据齿轮啮合基本定律呻1 ，将啮合点在l ( x l ， o l ，y 1 ) 中的径矢r l k 由l ( x i ，o l ，y 1 ) 变换到( x ，o ，y ) 中，就是共轭齿廓c l 和c 2 的 啮合线方程，即 ，k = m 0 1 k + r o l ( 2 1 6 ) 其中，l 广k 点在( x ，o ，y ) 中的矢径r k 的列矩阵； l 由l ( x l o l ，y t ) 到( k0 ，y ) 的坐标旋转矩阵； 且眠= ( ：薹罢晋) 。 即 气= 暖= 船 因此，啮合线的直角坐标方程为 j 弘 m z l 2 + h c o s ( z l o ) s i n ( o 一刚 ( 2 1 7 ) 【y = 【肥l 2 + h e o s ( z l o ) c o s ( o 一仍) 一m z i 2 2 2 余弦齿轮传动的重合度 在齿轮设计过程中，为了保证齿轮的连续传动，必须使重合度e 1 。齿轮副的重合 度是指某一时刻平均有多少对轮齿处于啮合状态。因此，将齿轮副的重合度定义为：一 对轮齿从开始啮合到终止啮合过程中某一轮齿所转过的角度与同一齿轮单个齿距圆心 1 0 湖南科技大学硕士学位论文 角的比值。如图2 - 4 所示，坐标系。( x 。，0 。，y 。) 与余弦齿轮即齿轮l 相固连，坐标 系：( x ：，0 ：，y ：) 与其共轭齿轮即齿轮2 相固连( 未画出) ，曲线比为齿轮啮合线，口 点是啮合线与齿轮l 齿顶圆的交点，礁是啮合线与齿轮2 齿顶圆的交点。两齿轮在脯开 始进入啮合，随着传动的进行，两齿廓的啮合点将沿着主动轮的齿廓，由齿根逐渐移向 齿顶，沿着从动轮的齿廓由齿顶逐渐移向齿根，当啮合进行到哺时，两轮齿即将脱离 啮合，齿轮从开始啮合到终止啮合过程中的转角称为齿轮作用角。余弦齿轮的重合度为 s ：掣( 2 1 8 ) 二兀 乙 其中，仇和纯分别为当x = x b 和x = x o 时对应的仍n ；k d , 。 f i g 2 - 4c a l c u l a t i n gm o d e lo f c o n t a c tr a t i o 图2 4 齿轮副重合度计算模型 ，设啮合线上腻和陈在坐标系- ( x - ，o - ，y t ) 中的坐标分别为( 气，y b ) 和( ， 儿) ，任意给定余弦齿轮的齿数、模数、压力角，由啮合线方程( 2 1 7 ) 得 石( p ) = p c o s ( o 一仍) ( 1 一仍) 一7 z z is i n ( o - f a l ) s i n ( z , o ) y ( 口) = p s i n ( 9 一仍) ( 1 一鲲) h z ic o s ( o - q ，1 ) s i n ( z 1 0 ) 。( 2 1 9 ) 由式( 2 1 9 ) 可得参数方程的一阶导数为 砂 宰：五=y(02(220)d出r x 旧) 。 d o 由式( 2 2 0 ) 可得参数方程的二阶导数为 第二章余弦齿轮传动的数学模型及特性 d 2 1 ， 。二= = 出2 羔：! 翌2 兰：! 翌! = z ：! 旦2 兰：( 里2 ( 2 2 1 ) x 门( p ) 由拐点公式y 。= 0 的点就是曲线的拐点，即令 垂：羔：( 堕型李幽塑2 ：0 ( 2 2 2 ) d x 一3 ( 9 ) 利用m a t l a b 编程，根据式( 2 2 2 ) ，可求得啮合线的拐点即脯和销的坐标，进而 求得纸和饩的大小，即当x = 和x - - t 时对应的仍的大小。将仇和纯代入式( 2 1 8 ) 可求得余弦齿轮重合度的大小。 又渐开线齿轮的重合度公式汹，为 s = z , ( t a n a o l - t a n 口) + z 2 ( t a n a 0 2 - t a n e t ) 】( 2 冗) ( 2 2 3 ) 其中，刃为齿轮1 的齿数，z 2 齿轮2 的齿数，口为齿轮啮合角，。和：分别为齿轮1 和2 的齿顶圆压力角。 根据式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ，利用m a t l a b 软件计算出的余弦齿轮传动的重合度如表 2 1 所示。 表2 - 1 余弦齿轮传动的重合度 t a b 2 - 1c o n t a c tr a t i oo f c o s i n eg e a rd r i v e 由表2 1 可知，余弦齿轮传动的重合度大约在1 2 1 3 之间，较相同参数的渐开线齿轮 传动小2 0 左右。由文献 1 2 ，5 9 1 n - - - j 失l l ，齿轮泵中齿轮副的重合度一般在1 1 - 1 3 之间，因此， 余弦齿轮传动可望在齿轮泵领域得到推广应用。 2 3 余弦齿轮传动的滑动系数 在齿轮传动中，由于两齿廓在啮合点处的线速度的大小和方向不同( 节点除外) ，使 得两齿轮齿廓在啮合点处沿公切线方向的分速度大小不同，所以齿廓间必将产生相对滑 动，衡量滑动的大小用滑动系数来表示。滑动系数是衡量齿轮啮合过程中相对滑动大 小的物理量，滑动系数越小，摩擦就越小，其传动效率就越高。在平面啮合中，两齿廓 1 2 湖南科技大学硕士学位论文 在啮合点处的滑动系数是啮合齿廓间的滑动弧对齿廓相应弧长之比的极限。由文献【5 6 】 可知，两齿轮的滑动系数u 和可表示为 v , = l - ( 鬻) 如。 v ：- - - 1 - ( 州r t + l 厂t i 其中，l = 一p h ，：三：垒，点为啮合线在啮合点的法线与连心线的交点，如图2 8 2 l1 所示。 f i g 2 。5 r e l a t i v es l i d eo fc o s i n eg e a rd r i v e 图2 - 5 余弦齿轮传动的相对滑动 由啮合线方程( 2 1 7 ) ，直线k h 的斜率k 为 b 宴：巨二竺趔型竺竺兰塑竺兰型竺吨2 5 ， 膏= 一一2 号 ，_ 一”【z z h ) 妙l 等低o s ( 毛口) l ( 1 _ 仍) s i t l ( 矽一仍) + 慨c o s ( 护一仍) s i n ( 毛口) 其中，仍和卢7 分别为仍和卢对口的导数，其值为 ， 吼= 1 3 一8 。 第二章余弦齿轮传动的数学模型及特性 8 = 一 孚m 刮s e c 2 心2 咖2 “口s e c 28 + h 2 z 。3 咖町s n 2 “? ? _ ? 螋 + 胆m 吨目) 卜j n ( 卅 2 h z 。2 l f m 2 9 t + 慨“口) 忙“咿t a n 2 觚( 酬 等毗计蛳鲥n ( z l 护) 2 因此，点在坐标系( x ，p ，y ) 中的纵坐标，即为 l = 一勋c 0 + - ( 2 2 6 ) 其中( 而，y o ) 为啮合点k 在坐标系( x ，p ，y ) 中的坐标，因为啮合点在啮合线上， 将啮合线方程( 2 1 7 ) 和式( 2 2 5 ) 代入式( 2 2 6 ) ，得 扭 兰二竺坐二兰塑：竺竺二竺兰竺巫竺二竺型竺 l 等+ 胁( 毛曰) l ( 1 - 鲲) s i n ( 口一仍) + 慨c o s ( 口一仍) s i n ( z l p ) + l 三，z 2 ：。+ h c o s ( z ，秒) i c 。s ( 2 ，i ) - 三1 ，l j 乙。：。- ( 2 2 7 ) 任意给定齿轮1 的啮合半径r k l ，由气l = r o t i1 2 + h c o s ( z 1 0 ) 和乜, - = 4 t 2 k l + 口22 r k l a c o s o 可 求得对应的馅和0 值，再根据式( 2 2 4 ) 式( 2 2 7 ) ，即可得余弦齿轮和共轭齿轮滑 动系数的大小。设余弦齿轮传动的模数m = 3 m m ，齿数z l = 3 5 ，传动比i = 2 ，压力角口 - 2 2 0 。 利用m a t l a b 软件即可求得余弦齿轮传动的滑动系数，其结果如图2 - 6 所示。为便于比 较，图2 - 6 同时也列出了相同参数的渐开线齿轮传动的滑动系数抽”。由图2 - 6 可知，余 弦齿轮传动的滑动系数小于渐开线齿轮传动。 ( a ) 湖南科技大学硕士学位论文 2 4 本章小结 0 l 5 0 4 0 3 o 2 0 1 = s0 0 以1 0 口 0 b 0 憎 o 5 1 0 2l 1 0 41 0 51 0 61 0 7l t o ( b ) f i g 2 - 6 s l i d ec o e f f i c i e n to f c o s i n eg e a rd r i v e 图2 - 6 余弦齿轮传动的滑动系数 本章利用余弦曲线和微分几何，构造了余弦齿廓方程，在此基础上，利用齿轮啮合 原理，建立了共轭齿廓方程、啮合线方程等一系列方程式，从而建立了完整的余弦传动 的数学模型。可得到如下结论： ( 1 ) 余弦齿轮是以余弦曲线的零位线为节线、以余弦曲线的一个周期为齿距、以余 弦曲线的幅值为齿顶高构建而成； ( 2 ) 余弦齿轮传动的重合度大约在1 2 1 3 之间，较相同参数的渐开线齿轮传动d 、2 0 左右。因此，余弦齿轮传动可望在齿轮泵领域得到推广应用； ( 3 ) 将齿廓上任意一点的滑动系数的大小与相同参数的渐开线齿轮作对比，不管是 余弦齿轮还是其共轭齿轮，其滑动系数都小于渐开线齿轮。该结果有利于减少齿轮的磨 损，提高齿轮的啮合性能，延长齿轮的使用寿命。 1 5 第三章外啮合余弦齿轮泵的流量及特性 第三章外啮合余弦齿轮泵的流量及特性 当齿轮泵工作时，一对齿轮互相啮合，在齿轮泵的吸入侧，相互啮合的齿随齿轮的 旋转逐渐退出啮合，形成局部真空，油液在吸入侧的压力作用下进入吸入腔。在齿轮泵 的压出腔，随着齿轮的旋转不断进入啮合，从而把齿间的油液挤出来，从出口强迫流出。 由于齿轮转动时，啮合点的位置不断变化，压出腔的体积也相应变化，使得从压出腔压 出的油液的瞬时流量随啮合点的位置而产生变化，形成周期性的流量脉动。齿轮泵的流 量脉动不但直接影响所带负载的工作精度，而且还引起系统的结构振动和噪声，因此对 余弦齿轮泵的流量特性进行深入研究是提高齿轮泵性能的重要方面。 3 1 瞬时流量公式推导 液压系统工作质量的好坏与泵的瞬时流量有直接关系。如果泵的瞬时流量脉动大， 不仅会使液压缸的平稳性、液压马达回转的均匀性变差，而且会引起压力脉动，进而使 管道、阀门乃至整个系统振动( 特别是在共振时) ，并发出很强的噪声，这对轴和轴承 的强度，对管接头和密封都有破坏性影响。为此必须对泵的瞬时流量进行分析，找出影 响流量脉动的因素，作为设计时选取有关参数的依据。 此处用“扫过面积法佃沙来推导余弦齿轮泵的瞬时流量公式。首先证明一下将要用 到的一个几何关系：任意曲线a b e ( 图3 1 ) 绕点0