概率论：二维随机变量的函数的分布.ppt

二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,四、小结,一、问题的引入,第五节两个随机变量的函数的分布,为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为,解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：,X+Y,X-Y,XY,Y/X,-2-10112,0-12132,10-10-20,10-10-1/20,故得,-2-1012,-10123,结论,例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为,求随机变量Z=X+Y的分布律.,设XB(n1,p),YB(n2,p),且独立，,具有可加性的两个离散分布,设XP(1),YP(2),且独立，,则X+YB(n1+n2,p),则X+YP(1+2),证明过程见73页例3.21,问题已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，,求Z=g(X,Y)的密度函数.,方法从求Z的分布函数出发,将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件,三、连续型随机变量函数的分布,连续型随机变量函数的分布主要形式,这里X,Y相互独立。,设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。,为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数,1.和分布：Z=X+Y的分布,求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用(X,Y)表示的事件g(X,Y)z=(X,Y),其中。,x+y=z,设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为,由此可得概率密度函数为,由于X与Y对称,当X,Y独立时,卷积公式,称之为函数fX与fY的卷积,例3设随机变量X,Y相互独立,且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率分布.,所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为,解因为X,Y独立且其概率密度分别为,1、考虑被积函数的非零区域;2、z在(-,+)上取值;3、x在(-,+)上积分;4、在xoz系中综合上述各点确定z的分段情形.,所以ZN(0,2).,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,正态随机变量的结论（定理3.1）,若X,Y相互独立,则,则,推广,例4设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：,解因为X,Y独立,所以和分布概率密度可由卷积公式计算:,求Z=X+Y概率密度。,计算积分思路:1.被积函数非零区域;2.z取任意实数;3.x在(-,+)上积分;4.综合上述就z分段.,由边缘概率密度确定的表达式,特别是其非零区域:,由题目条件得:,故得:,2019/12/12,23,可编辑,计算卷积:,函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确定后,x由-积分至+(只需在非零区域内一段上积分).,因为,所以,综上可得:,参照D就z在(-,+)上进行分段;,对上述各分段中取定的z值,就x从-积分至+,实际只需在非零区域D上一段积分.,卷积计算思路,在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;,注意：上述也是一般参量积分的计算方法。,练习若X和Y独立,具有共同的概率密度,求Z=X+Y的概率密度.,解由卷积公式,暂时固定,故,当或时,当时,当时,于是,推广,例,解,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,小结,1.离散型随机变量函数的分布律,2.连续型随机变量函数的分布,这里X,Y相互独立。,例题设随机向量(X,Y)服从区域D=(x,y)|1x3,1y3上的均匀分布,求U=|X-Y|的概率密度函数.,解(X,Y)的联合概率密度为,13,31,(1)u0时,F(u)=0,y-x=u,y-x=-u,y-x=-2,由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点.,G,f(u)=0,(2)0u2时,(3)u2时,F(u)=1,f(u)=1-u/2,f(u)=0,所以,13,