（模式识别与智能系统专业论文）基于频谱分析方法石英晶体微天平的研究.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 摘要 摘要 q c m ( q u a r t zc r y s t a lm i c r o b a l a n c e ) 是一种新型的高灵敏度质量传感器，由 于其具有测量精度高、稳定性好、体积小和工作温度范围广等优点，在生物、医 学、化学、环境监测和航天航空等领域越来越受到关注。然而目前对q c m 的实 现方式主要是通过振荡电路的方法，此方法所能测量的信息量少( 一般只能测量 串联谐振频率) 且在大阻尼液体中常会发生停振现象，局限了q c m 的应用：同 时由于q c m 高频振动的复杂性有时会发生振动耦合，破坏q c m 振动单一性， 导致品质因素q 值降低，谐振频率偏移。针对上述问题，本文另辟蹊径，提出 了一种新型的实现q c m 频谱分析的方法，并自主实现了软硬件实验平台，不但 突破了自激振荡电路所测得信息量小的缺陷，而且还避免了在大阻尼溶液中停振 现象的发生；同时基于能陷理论和有限元分析对q c m 结构进行了优化设计，为 有效抑制振动耦合、减小非电极区振动能量的损耗提供了一条有益的思路。 作为国家创新基金项目“石英晶体微天平”( 立项代码：0 6 c 2 6 2 2 2 2 0 0 1 2 9 ) 的重要组成部分，本文的主要内容包括： 1 、系统地回顾了q c m 的历史背景、研究现状和发展趋势，并着重论述 了q c m 的理论基础、工作原理和实现方法，进而分析了q c m 频谱 分析方法的独特优点。 2 、 系统地总结了q c m 的振动理论，分析了q c m 不同振动模式间耦合 产生的具体原因，并给出了本文抑制耦合的具体措施。 3 、基于能陷理论与有限元分析，研究了电极厚度、半径等尺寸对q c m 振动位移分布的影响趋势，从而对电极结构进行了优化设计，并提 出了一种在晶片表面筑有平台的设计方法，弥补了金电极不能过厚 而导致能陷效应不佳的缺陷。 4 、 基于q c m 的等效电路，推导了六种重要的谐振频率公式，并结合 m a t l a b 仿真，分析了等效元件对频谱曲线的影响，指出了其变化 规律；通过对待测物质的机械阻抗的分析，给出了负载为刚性薄层 和牛顿液体时的等效电路，为电路设计提供了理论依据。 5 、 当q c m 理论精度达n g 级时，q c m 等效动态电感的变化只有n h 级 左右，其有用微弱信号便会淹没在高频输出信号中，因而设计一个 高效合理的软硬件平台就显得格外重要。在本文中，新颖的电路设 中国科学技术大学博：i ：学位论文摘要 计、规范的电极加工、独特的夹具结构以及底层d s p 软件和上层p c 机软件的合理设计，共同为q c m 稳定工作及信号的正确获取奠定了 良好的基础。其中，基于相关性原理q c m 信号采集电路的设计，是 硬件电路设计的重点，并申报了两项专利，现已正式获得实用新型 专利( 实用新型专利号：z l 2 0 0 3 2 0 1 2 4 2 3 0 6 ；发明专利受理号： 2 0 0 3 1 0 1 1 2 8 4 7 o ) 。 6 、 实验部分是对设计的q c m 系统正确性的具体检验。通过验证实验， 证实了整体设计、夹具设计和电极优化设计的正确合理性；通过测 量实验，半定量地给出了测量精度，对液体实验出现的较大误差做 了详细的分析，并给出了改进方案。 关键词：q c m ；振动耦合；能陷理论；相关性原理；有限元分析 中国科学技术大学博士学位论文 a b s t r a c t q c m ( q u a r t zc r y s t a lm i e r o b a l a n c e ) i san e wt y p eo fh i g h l yp r e c i s em i c r o 一珈塔s 驼n s o ra n di sg e t t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o ni nb i o l o g y , m e d i c i n e ，c h e m i s t r y , e n v i r o n m e n tt e s t i n ga n da e r o n a u t i c sa r e a sf o ri t sa d v a n t a g e so f h i g h e rp r e c i s i o n ( 1 0 - 9 ) ， b e t t e rs t a b i l i t y , s m a l l e rs i z ea n dw i d e r w o r k i n gt e m p e r a t u r er a n g e a tp r e s e n tq c m i s u s u a l l yo p e r a t e d w i t l lt h eo s c i l l a t o rm e t h o d h o w e v e rt h e r ea r es o m es e r i o u s l i m i t a t i o n sa s s o c i a t e dw i t ht h eo s c i l l a t o rm e t h o d ：( 1 ) t h es e r i e sr e s o n a n tf r e q u e n c yi s t h eo n l yp a r a m e t e r ；( 2 ) t h eo s c i l l a t o rd o e sn o tf u n c t i o ni nc e r t a i ns i t u a t i o n s ，s u c ha s h i g h l yv i s c o u sd a m p i n g o nt h eo t h e rh a n d , v i b r a t i o nc o u p l i n go c c u r ss o m e t i m e s b e c a u s eo ft h eh i g hf r e q u e n c yc o m p l e xv i b r a t i o nm o d e s ，w h i c hw i l ld a m a g et h e s i n g l ev i b r a t i o nm o d es oa st ol e a dt ot h ed e c r e a s eo ft h ev a l u eo fqa n dc a u s et h e r e s o n a n tf r e q u e n c ya w a yf r o mt h et r u ev a l u e n l i sd i s s e r t a t i o nb r i n g su pas p e c t r u ma n a l y s i sm e t h o db a s e d0 1 1c i r c u i ta n dr e a l i z e s t h ee x p e r i m e n t a lp l a t f o r mi n c l u d i n gs o f t w a r ea n dh a r d w a r e ，w h i c hc a ns o l v et h e s e l i m i t a t i o n so f t h eo s c i l l a t o rm e t h o d a n dan e wd e s i g no f t h eq c ms t r u c t u r eb a s e do n e n e r g yt r a p p i n gt h e o r ya n df i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sp r o v i d e sau s e f u lm e t h o d o l o g yt o s u p p r e s sv i b r a t i o nc o u p l i n ga n dd e c r e a s et h ev i b r a t i o ne n e r g yi nt h en o n - e l e c t r o d e a r e a a st h ei m p o r t a n tp a r to ft h e “q u a r t zc r y s t a lm i c r o b a l a n c e s u b j e c ts u p p o r t e db y i n n o v a t i o nf u n do fc h i n a , n o 0 6 c 2 6 2 2 2 2 0 0 1 2 9 ，t h em a i np o i n t so ft h i sd i s s e r t a t i o n c a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 1 1 1 eb a c k g r o u n d t h er e s e a r c hs t a t u sa n dt h ed e v e l o p m e n tt r e n do fq c ma r e s y s t e m a t i c a l l yr e v i e w e d 1 1 h et h e o r yb a s i s w o r kt h e o r ya n dr e a l i z a t i o nm e t h o d o f q c m a g ed i s c u s s e da l o n gw i t ht h ea n a l y s i so f t h ea d v a n t a g e so f t h es p e c t r u m a n a l y s i sm e t h o d 2 t h ev i b r a t i o nt h e o r yo fq c mi ss y s t e m a t i c a l l ys u m m a r i z e d ，a n dt h er e a s o u so f v i b r a t i o nc o u p l i n g sa r ea n a l y z e d i nt h ee n dt h em e t h o d sf o rs u p p r e s s i n g v i b r a t i o nc o u p l i n gi nt h i sd i s s e r t a t i o na g ep r e s e n t 3 b a s e do ne n e r g yt r a p p i n ga n df i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，t h er e s e a r c hh a sb e e n s t u d i e da b o u th o wt h et h i c k n e s sa n dt h er a d i u so ft h ee l e c t r o d ea f f e c tt h e i l l 中国科学技术大学博士学位论文 a b s t r a e t v i b r a t i o nd i s p l a c e m e n to fq c ms oa st oo p t i m i z et h ed e s i g no ft h ee l e c t r o d e s a n dad e s i g nm e t h o dw i t hap l a t f o r mo nt h es u r f a c eo ft h eq u a r t zi sp r o v i d e d ， w h i c ho a ns t r e n g t h e nt h ee n e r g yt r a p p i n g 4 t h es i xr e s o n a n tf r e q u e n c i e sa r ed e d u c e db a s e do nt h ee q u i v a l e n tc i r c u i to f u n p e r t u r b e dq c m a n dt h ev a r i e t yt r e n do f t h es p e c t r u mc h a r a c t e r i s t i c sw i t ht h e c h a n g eo ft h ee q u i v a l e n te l e m e n tp a r a m e t e r si ss t u d i e d a n dt h ee q u i v a l e n t c i r c u i to fq c mu n d e rm a s sa n dl i q u i dl o a d i n gi sd i s c u s s e db a s e do nt h e a n a l y s i so ft h em e c h a n i c a li m p e d a n c e ，w h i c hg i v e st h et h e o r yr e f e r e n c e sf o r c i r c u i td e s i g n 5 i ti so n eo ft h et o pc o n c e r n st od e s i g nah i g h - q u a l i t ya n ds t e a d y p l a t f o r m i n c l u d i n gs o f t w a r ea n dh a r d w a r e ，b e c a u s et h eu s e f u ls i g n a lo fq c m i sv e r y w e a kc o m p a r e dw i 也t h eh i g hf r e q u e n c yo u t p u ts i g n a i c i r c u i t s ，e l e c t r o d e s ， c l a m pa n d t h es o f t w a r eo fd s pa n dp ch a v eb e e nr e a s o n a b l yd e s i g n e di nt h i s d i s s e r t a t i o n ，w h i c hs e r v ea sc o n c r e t eb a s i sf o rt h es t a b l ea n dr e l i a b l eo p e r a t i o n o f t h es y s t e ma n da l s ot h ea c c u r a t ea c q u i s i t i o no f t h es i g n a l t h ed e s i g n so f t h e q c m v i b r a t i o nd r i v ea n dt h ev i b r a t i o ns i g n a lc o l l e c t i o nb a s e do nt h ec o r r e l a t i o n t h e o r ya r et h em o s ti m p o r t a n tp a r to ft h ec i r c u i td e s i g n , w h i c hh a sa p p l i e df o r t w op a t e n t sa n dh a so b t a i n e dt h en e w p r a c t i c a lp a t e n t n o o ft h en e wp r a c t i c a l p a t e n t i sz l 2 0 0 3 2 0 1 2 4 2 3 0 6a n dn o o ft h ei n v e n t i o n p a t e n t i s 2 0 0 3 1 0 11 2 8 4 7 o 、 6 e x p e r i m e n t sa g ec o n d u c t e df o rt e s t i n gt h ev a l i d i t yo ft h eq c ms y s t e m b yt h e v e r i f i c a t i o ne x p e r i m e n t s ，t h ev a l i d i t yo ft h ec l a m pa n dt h ee l e c t r o d e sd e s i g n s h a sb e e n p r o v e d a n dt h em e 嬲m e m e n tp r e c i s i o n i sc a l c d a t e dh a l f - q u a n t i f i c a t i o n a l l yw i t ht h em e 跏e m e n te x p e r i m e n t s i na d d i t i o n , t h er e a s o n s o f t h ee r r o ro f t h el i q u i de x p e r i m e n t sa r ed i s c u s s e dd e t a i l e d l ya n dt h ei m p r o v i n g m e t h o d sa r ep r o p o s e di nt h ee n d k e yw o r d s ：q c m ，v i b r a t i o nc o u p f i n g ，e n e r g yt r a p p i n g ，c o r r e l a t i o nt h e o r y , f i n i t e e l e m e n ta n a l y s i s 中国科学技术大学博二k 学位论文 插图请单 插图清单 图1 1 几种切型在石英晶体中的方位 图1 2 a t 切型的频率温度特性曲线5 图1 3 石英传感器结构图5 图1 4 自激振荡电路方法 图1 5 传统频谱分析法示意图6 图1 6j s c h r s d e r 等提出的电路示意图 图1 7q c m 工作原理示意图 8 图1 8q c m 免疫传感器示意图9 图2 1 石英晶体的赢角坐标轴设定1 7 图2 2a t 切在直角坐标系的方位。1 9 图2 3q c m 结构示意图 图2 。4 石英晶体的振动模式。2 l 图2 5n m k 模的晶片表面电荷分布二2 2 图2 6 a t 切晶片的厚度切变( a ) 及第一个偶次厚度弯曲( b ) 的应变图2 4 图3 1q c m 剖面图 图3 2q c m 的有限元模型图 3 0 图3 3 有限元单元数对频率的影响3 2 图3 4 电极半径对谐振频率的影响3 3 图3 5 虬在x = 0 ，y = o 2 7 2 m m 上的分布图 图3 6 归一化位移在y = 0 2 7 2 m m 面的分布图3 6 图3 7 电极厚度吃对谐振频率的影响 3 7 图3 8 吃= 5 r i m 时的r - - o 2 7 2 m m 的面分布图( a ) 和x = 0 的面分布图( b ) 3 8 图3 9 电极厚度吃对能陷的影响 图3 1 0 吃= 1 0 0 n m 时蚝的y = o 2 7 2 m m 的面分布图( a ) 和x - - 0 的面分布图( b ) 3 9 图3 u 具有平台的q c m 剖面图 图3 1 2 参数r 对能陷的影响 图3 1 3r = 0 0 7 5 时的y - - o 2 7 2 m m 的面分布图( a ) 和x = 0 的面分布图( b ) 。4 1 图4 1m a s o n 模型 图4 2 q c m 等效电路图 图4 3q c m 的幅频特性曲线( a ) 和相频特性曲线( b ) 5 1 图4 4 等效动态电阻r q 对幅频( a ) 及相频( b ) 特性曲线的影响。5 2 i 中国科学技术大学博士学位论文插图清单 图4 5 等效动态电感l q 对幅频( a ) 及相频( b ) 特性曲线的影响 图4 6 等效动态电容c q 对幅频( a ) 及相频( b ) 特性曲线的影响。5 5 图4 7 静态电容c o 对幅频( a ) 及相频( b ) 特性曲线的影响。5 6 图4 8 低负载时q c m 的等效电路 图4 9 待测物质为刚性薄层时的振动位移分布图5 8 图4 1 0 待测物质为液体时的振动位移分布图 图4 1 1 不同负载时q c m 的等效电路6 0 图5 1q c m 系统结构框图6 3 图5 2q c m 系统设计框图6 4 图5 , 3q c m 信号反相比例放大电路 图5 4q c m 信号采集电路相关性部分6 8 图5 5q c m 信号采集电路图 图5 6 双核q c m 反相比例放大电路 图5 ，7 相关性原理电路部分7 l 图5 8 矿一的相频特性曲线7 i 图5 9 相关性原理对信号波形的影响7 3 图5 1 0 a d 9 8 3 5 原理框图。 图5 t1d d s 信号发生器整体电路图7 5 图5 1 2 温度测量部分电路 图5 ，1 3 珀耳贴片温控部件电路。7 7 图5 1 4 q c m 加工流程图 图5 1 5m a s t e r c a m 9 0 中掩膜的虚拟成型图7 8 图5 t 6 q c m 的电极形状。7 9 图5 1 7q c m 夹具示意图8 0 图6 1d s p 软件的主程序流程图c a ) 和中断子程序流程图( b ) 8 4 图6 2 设定初始值界面8 6 图6 3q c m 信息采集系统主界面跖 图6 4 谐振时晶片表面振动动画变形图8 7 图7 1q c m 无夹持实验示意图 图7 2q c m 无夹持实验租扫( a ) 和细扫( b ) 频谱图，：9 0 图7 3 粉尘测量实验示意图。 图7 4 v 瓦菘关系图 图7 5 测量甘油时频率租扫的频谱图 9 4 9 5 中国科学技术大学博k 学位论文 插表清单 插表清单 表3 i 不同划分单元数下的谐振频率。 表3 2 不同电极半径时的谐振频率3 3 表3 3 不同电极厚度时的谐振频率3 7 表5 1 聚四氟乙烯有关性能表 + v 。 8 0 表6 1 软件种类与主要功能8 2 表6 2 各个模块的功能及作用 表7 i ( 2 5 ) 不同液体的实验结果 表7 2 实验数据的误差表 x 9 3 9 4 中国科学技术大学学位学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 澎0 作者签名： 啦 狎年 月夕日 中国科学技术人学博士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 在自然科学研究领域中，物质质量的测定是经常遇到的问题，而且随着科学 的发展，对质量测量精度的要求也越来越高。在众多质量测量仪器中，石英晶体 微天平f 1 咽( q u a r t zc r y s t a lm i c r o b a l a n c e ，简称为q c m ) 是一种新型的高精度谐 振式测量仪器，测量精度可以达到纳克级( 1 0 4 9 ) ，由于具备测量精度高，结构 简单，成本低廉等优点，因而越来越被科研工作者关注和重视。 q c m 又称为厚度切变模式声波传感器懈( t h i c k n e s s - s h e a r - m o d ea c o u s t i c w a v es e n s o r 或t s ms e n s o r ) ，发展于6 0 年代，并首先在真空和气相测定研究中 取得巨大成功 7 1 。到八十年代，q c m 成功地应用到液相研究中0 】。 目前，随着研究的不断深入，q c m 已经被广泛应用于液相、固相、气相中 进行各种物质成分的研究和分析，其研究范围涉及生物、医学、化学、环境监测 和航天航空等众多领域1 1 1 - 1 3 。 1 2 1q c m 概述 1 2 石英晶体微天平 q c m 自上世纪六七十年诞生至今，在微量化学、分子生物学、免疫学、遗 传学、环境科学以及其他一些涉及质量、密度及粘度等检测的领域得到了大量地 运用。由于其具有纳克级的质量响应灵敏度，还为反应机理等方面的分析研究提 供了重要的依据。 早在1 9 5 9 年，德国物理学家s a u e r b r e y 就提出厚度切变压电石英晶体频移a 厂 与晶体表面均匀吸附的薄层刚性物质的质量所之间存在着线性关系1 1 4 】。q c m 最早应用于真空膜厚度检测f l5 1 。使用时将石英晶片置于工件附近，喷镀物质在 工件和石英晶体上同时沉积。从频率变化与质量负载之间的这种线性关系，可以 直接测出镀膜的厚度。到八十年代，n o m u r a t l 6 1 和k o n a s h ! ”1 等实现了石英晶体在 溶液中的振荡，将石英晶体微天平成功地应用到基于液相的测定。由于液相条件 下的影响因素较多且复杂，相比在气相中的应用，q c m 的响应参量不仅仅决定 中国科学技术大学博士学位论文第一章绪论 于电极表面上的质量负载，还跟温度、本体液性质、界面性质等有着直接的关系。 因而，在进行液相测定时，需要严格控制测定条件，以保证液体相关的物理化学 性质参量保持不变。 1 2 2 理论基础 1 8 8 0 年居里兄弟共同发现了晶体的压电特性，即在晶体表面上施加一定的 压力，就会在晶体两表面间产生电压，电压值大小与压力成正比【1 删。具体产 生的原理是由于晶体在结构上属于非中心对称的空间群物质；当有外力作用时会 发生形变，晶体内部原子发生位移，产生极化现象，同时使晶体表面上产生电荷， 从而将机械能转化为电能。反之，当在晶体两端加上电场时，无中心物质的偶极 子就会重新定位，引起原子位移，产生机械形变，从而将电能转化为机械能，这 便是逆压电现象。当加在晶体上的电压为交变电压时，晶体就会产生机械振动， 同时机械振动又产生交变电场。在一般情况下，逆压电效应产生的机械振动的振 幅很小，只有在谐振频率时才会急剧增大。 q c m 由于逆压电效应，在交变电场的作用下产生机械形变，从而有机械波 传播。这种机械波是一种本体波形( b a w ) ，称为厚度剪切型声波( t s m ) 。当 声波在晶体中传过，并在晶体表面全部反射回时，便产生驻波。其产生驻波的条 件是：晶体厚度( 屯) 等于声波波长( a ) 的n 2 倍，其中以：1 ，3 ，5 。 即： 霸= n 2 2 n = l ，3 ，5 ( 1 1 ) 对于石英晶振的基频谐振，产生驻波时应满足： 以= a 2 以= 1 ，3 ，5 ( 1 2 ) 其谐振时产生的声波频率( 即谐振频率厶) 可以表示为： a - - v z d , = 瓯，岛) ”2 2 d , ( 1 3 ) 其中v 是声波在a t 切( 关于石英晶体的切型在下文中阐述) 石英晶体中的 传播速度( 3 3 3 x 1 0 5 c m j 。) ，瓦是石英晶体的压电强化剪切模量 ( 2 9 3 x 1 0 “d y n e c m 4 ) ，岛是石英晶体的密度( 2 6 5 0 9 c m 。3 ) 。 而石英晶片厚度兄又可以根据密度公式表示为： 以= m p g a ( 1 4 ) 2 中国科学技术大学博士学位论文第一章绪论 其中4 为有效压电面积，即晶片振荡的实际面积，也就是晶振上两个电极之 间的相对部分的面积，同样m 为有效晶体质量。 由式( 1 3 ) 和( 1 4 ) ，得 厶= ( 瓦岛) ”2 a 2 r a ( 1 5 ) 当外物附着在石英晶体表面时，设在有效面积4 上的附加质量为聊，引起 的频率变化为矿，当a m d g 时，可以得出各阶的谐波频率( 4 】： 一= 赝专= 唼n = 1 , 3 , 5 - - c z 其中，基频时，1 1 = 1 ：k 被称为频率常数，单位是- b , 研，对于a t 切的圆 形平板q c m ，k 的数值是1 6 6 4 。 2 4 q c m 的振动模式及其耦合 2 4 1 石英晶体的振动模式 石英晶体的振动模式主要有伸缩振动模式、弯曲振动模式、面切变振动模 式及厚度切变振动模式四种。如图2 4 所示。 1 ) 伸缩振动模式 如图2 4 ( a ) ，石英晶片在作伸缩振动对，产生伸长和缩短的交替变化，片内 质点的位移方向与波的传播方向平行，形成纵波。按照振动方向的不同，又可 分为长度伸缩振动模式、宽度伸缩振动模式和厚度伸缩振动模式等。 2 ) 弯曲振动模式 如图2 4 ( b ) ，晶片在作弯曲振动时，在其中间存在一个既不伸长也不缩短 的面，称为中性面。当中性面的上部伸长( 缩短) ，下部缩短( 伸长) 时，晶片 便产生了弯曲。石英晶片的弯曲振动模式又可分为宽度弯曲振动模式和厚度弯 曲振动模式。 ( a ) 中性面 节点霞醪一 ( c ) 图2 4 石英晶体的振动模式 2 l 中圈科学技术大学博士学位论文第二二章q c m 的振动分析 3 ) 面切变振动模式 如图2 4 ( c ) ，晶片在作面切变振动( 基频) 时，主平面上的一个对角线伸长， 另一个对角线缩短，面中心为节点。 4 ) 厚度切变振动模式 如图2 4 ( d ) ，q c m 的工作模式是厚度切变振动模式。即当晶片作厚度切变 振动( 基频) 时，侧面的一个对角线伸长，而另一个对角线则缩短，波节面通 过片心并与主面平行。由于侧面上的切变与厚度有关，故称为厚度切变。 厚度切变振动模式除了谐波模( n 0 1 模) 以外，还有非谐波泛音模 ( 所o 或七1 的l a n k 模) 。根据式( 2 1 6 ) 可知，非谐波泛音模频率与基模频率的 差别在于与贝赛尔函数根的平方成比例的那些项。 当片子振动于n 0 1 模时，表面的所有点都同相运动，因此表面极化电荷在 各点都是同号的。当片子振动于n m k 模时，指数m 表示沿片子直径的节线数， 即m = l 表示沿片子直径存在着一条节线，线两边的极化电荷正负号相反，m = 2 表示存在着两条径向节线等：指数k 表示存在的囡节线数，即k - 1 时表示只存 在一条围绕振动区的圆节线，k = 2 时表示存在同心的两条圆节线，如图2 5 所示。 n o ln 1 1n 2 1 n 0 2n 1 2 n 2 2 图2 5n m k 模的晶片表面电荷分布 2 4 。2q c m 的振动耦合 两种振动模之间的相互作用称为耦合。下面给出了q c m 设计时可能会出现 的振动耦合方式。 1 ) 厚度切变振动与面切变振动的耦合 由式( 2 7 ) 可知，a t 切石英晶片的逆压电方程可表达为以下形式： 中国科学技术大学博士学位论文 第- - - tq c m 的振动分析 具体可写成 lx ： l ， s = e 吐，7 畋，也j 4 ：如呜： d l ；d 0d 。 d l ：d d d d 蠢d d 。：d 蠢3 6 或 e ： e ： ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 其中，、y y 及z 分别表示沿x ，y 7 和，方向的伸缩应变，咒、0 及x j 分别表示一、少和一平面中的切应变。 由式( 2 1 3 ) 和( 2 1 9 ) 可以看出，加在a t 切石英片的上下表面电极之间 的电压( 即沿y 轴方向) 只会引起石英片的两种应变：由压电常数破。激发的 沿，面的厚度剪切应变和由压电常数以。激发的沿y 面内的面剪切应变。这两 种剪切变形分别对应厚度切变振动模式和面切变振动模式。 需要注意的是，厚度切变和面切变 z ，因而只需讨论与z 的大小情况。即当 z z ，达到完全抑制寄生模的效 果。在具体设计时，只需要非谐波泛音离谐振频率足够远，并保证在扫频时与 基模不发生耦合便可。 3 4 电极区的等效处理 由于电极层( 1 0 _ 7 m 左右的量级) 与晶片厚度相比( o 2 7 2 m m ) 很薄，在有 限元分析中，若对其直接建模，单元尺寸将变得很小，计算量过大。考虑到电 极对系统的影响主要表现在降低了厚度切变模态的基频，使系统呈现能陷效果。 因此，只要保证模型对基频的影响不变，就能正确逑反应系统的能陷效应。基 于这种考虑，对电极区做了如下处理。 如图3 1 所示，假设电极随晶片表面作刚体运动，则有阻i o 】： 非电极区基频： z = 石2 瓦4 岛 2 或= 瓦l 呶h 2 ( 3 1 ) 电极区基频： = 万2 瓦4 p q h 2 ( 1 + 五) 2 ( 3 2 ) 或 中国科学技术大学博士学位论文 第三章q c m 的电板结构的设计 = 瓦1 6 岛( 1 + 胄2 ) 五2 ( 3 3 ) 其中，r = 见忽岛矗，n 为电极密度，噍为电极厚度，岛为石英密度，h 为晶片半厚度将式( 3 3 ) 中的( 1 + 震) 2 吸收到密度岛中，即等效密度 p = 见( 1 + 盖) 2 ，这样使得电极区与非电极区的差别仅在于密度不同，而厚度相 同，从而便于单元划分。 3 5 数值计算的有效性验证 如图3 2 所示，对q c m 迸行三维有限元建模，选用多相物理模块，s o l i d 5 单元分析q b l 4 m m ，电极为币6 m m ，厚度为0 2 7 2 m m 的a t 切石英圆片。在有限 元分析中需要输入的材料特性包括刚性系数矩阵，压电应力系数矩阵矿，石 英片的相对介电常数矩阵矿和石英的密度岛。前两个材料特性常数矩阵可由以 下两式求得； f = r 一1 薯= 己d ： 孑，= 其中群是的转置矩阵。结合式( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) ，具体可得到： 岛= 2 6 5 0 ( k g m 3 ) r 4 5 2 0 00 、 = 1 0 4 5 6 00 0 5 7 i 1 0 0 0 5 74 6 0 0j 8 6 78 2 62 7 1 5 3 6 5 500 、 一8 2 61 2 9 7 6 - 7 4 2 85 700f 2 i _ 5 矗：2 81 蠹裟o 0 l ( 1 0 9 n m 2 - 3 6 5 5 579 9 1 86 100 ) 3 8 1 ， 0 0006 8 82 5 3 71 00002 5 3 72 9 j f o ，1 7 1 2 - - 0 ，1 5 2 5 - 0 。0 1 8 7 3 o 0 6 7 1 40 0 、 如1 0 000 o 1 0 7 8 - 0 0 9 5 l ( c m 2 ) 【0 00 00 0 7 6 1 50 0 6 7 1 8j 对模型划分网格，采用a n s y sh a r m o n y 模块进行谐响应分析计算。a n s y s 中国科学技术大学博士学位论文第三章q c m 的电板结构的设计 图3 2q c m 的有限元模型图 这里仅考虑厚度切变基频模态附近的情况。电极上加载l v 的简谐电压激 励。由于夹具设计采用了橡胶圈密封设计，橡胶与石英晶片的固有频率相差l 旷， 而橡胶与晶片间的夹持力很小，因此，可以将q c m 晶片的边界条件简化成自 由边界条件。 表3 1 不同划分单元数下的谐振频率 单元数 5 1 8 4 9 5 1 61 2 0 0 81 5 8 4 0 if m n z 6 3 7 86 2 0 l6 1 6 16 1 4 5 图3 3 有限元单元数对频率的影响 单元网格划分越密，单元数越多，有限元分析的精度就越高，但由于计算 机条件的限制，单元网格不能无限划分，一般划分的原则是单元数目能达到所 要求的准确度即可。表3 1 和图3 3 显示了电极尺寸为3 m m x 5 5 n m ( 半径厚度) 的石英晶片谐振频率随着单元数的变化情况。结果趋于收敛，收敛频率为 6 1 4 5 m i - i z ，此时共划分了1 5 8 4 0 个单元，1 9 3 0 2 个节点。与由式( 2 1 7 ) 得出 中国科学技术大学博士学位论文第三章q c m 的电极结构的- 歧计 的理论基频，= 足吃2 6 1 1 7 6 m h z 相比，有限元解的相对误差只有j = o 4 5 ， 说明计算是正确有效的。 3 6 电极结构的优化设计 电极结构设计，包括三方面的内容：电极形状的设计、电极半径的设计及 电极厚度的设计等。由于圆形电极在抑制耦合方面有一定的优势，故电极的形 状只采用圆形设计。因而本文对电极结构的设计，主要是对电极半径和电极厚 度的设计。 电极结构优化设计，可分为两个步骤； 假设金电极厚度为5 5 r i m ，改变电极半径大小，研究晶片的振动情况， 确定较佳半径； 令电极半径为第一步获得的较佳半径尺寸，只改变电极厚度大小，研 究对谐振的影响，确定较佳厚度，最终完成对电极结构的优化设计。 3 6 1 电极半径的优化设计 表3 2 不同电极半径时的谐振频率 i电极半径r 蛳 l 23 45 i 谐振频率舢z 6 2 3 46 1 6 26 1 4 56 1 4 46 1 4 0 图3 4 电极半径对谐振频率的影响 电极半径对谐振频率的影响如表3 2 和图3 4 所示，半径越大，谐振频率越 中国科学技术大学博士学位论文第三章o c m 的电极结构的设计 低。这可以从式( 2 1 6 ) 中第二项已4 n ( x r ) 2 与电极半径，2 成反比这一点做 出解释。 根据前一章的分析，q c m 的工作模式是z 面内的厚度切变振动，它只引起 晶片表面沿x 轴方向的位移u 。u x 的大小和正负，能直接反映厚度切变振动的 强弱和方向。因此对q c m 谐振情况的研究可等价于对晶体表面位移u x 分布的 研究。为了便于对不同情况下的q c m 振动的比较，我们引入了归一化位移 蚝= 以m a x ( 以) 。 图3 5 ( a ) ( b ) ( c ) 显示了不同电极半径的q c m 在谐振时，x - - o ，y = o 2 7 2 n u n 处x 方向的位移玑的分布情况。随着电极半径的增大，振动被限制在电极区的 程度也增大。但是，在半径从l m m 增大到5 m m 过程中，品质因素q 值是先增 大后减小的。其中，图3 5 ( b ) 显示了此时q c m 的振动能量被有效地限制在 电极区。 ( a ) 电极半径r = l m m 中国科学技术大学博士学位论文 第三章q c m 的电极结构的设计 ( b ) 龟板半径r = 3 m m ( c ) 电极半径，= 5 m m 图3 5 甜，在x = 0 ，y = 0 2 7 2 m m 上的分布图 图3 6 显示了不同电极半径的q c