（机械设计及理论专业论文）正交面齿轮传动的啮合特性与强度的计算机辅助分析.pdf

皇塞塾窑苎墨盔兰堡圭兰垡兰苎一 摘要 本文主要研究了正交面齿轮的齿面生成、面齿轮齿宽的限制条件、正交面齿轮传 动的弯曲强度和接触强度。 在面齿轮齿面生成的研究中，推导了面齿轮的齿面方程、加工中的齿面接触线方 程、啮合面方程和过渡曲面方程；对齿面的接触线、面齿轮的齿面和过渡曲面进行了 可视化。 在面齿轮齿宽的限制条件研究中，根据面齿轮加工中速度和几何关系获得了面齿 轮根切和尖顶的临界方程，及其相对应的最小内半径系数和最大外半径系数。 在面齿轮传动的弯曲应力的研究中，利用有限元法对面齿轮的弯曲应力作了分 析；考虑了力作用点和基本传动参数对弯曲应力的影响：获得了弯曲应力的分布规律。 在面齿轮传动的接触应力的研究中，利用有限元分析法对面齿轮的接触应力作了 分析；获得了在啮合过程中不同的啮合位置面齿轮的接触应力的分布规律。 关键词： 齿轮传动面齿轮啮合接触强度弯曲强度有限元分析 垂塞重童丝丝垫墼些垒丝丝量塑堡墼笪叁!塑墅坌丝：一 a b s t r a c t t h eg e n e r a t i o no fo r t h o g n n a l - a l i g n e d - s h a f tf a c eg e a r ( f g ) ，t h el i m i t a t i o no ft o o t h w i d t h ，t h eb e n ds t r e n g t ha n d c o n t a c ts t r e n g t ho f t h ef gd r i v ea r es t u d i e di nt h i st h e s i s t h ei n v e s t i g a t i o no nt h eg e n e r a t i o no ff g i sm a d eb yt h ed e r i v a t i o no ft h ee q u a t i o n s o ff g t o o t h ，c o n t a c tl i n e so n t o o t hi np r o c e s s i n g ，p l a n eo fa c t i o na n df i l l e ts u r f a c e ，a n db y t h ev i s u a l i z a t i o no f c o n t a n tl i n e s ，f gt o o t hs u r f a c ea n df i l l e ts u r f a c e t h el i m i t i n ge q u a t i o n so f u n d e r c u t t i n ga n dp o i n t i n go f f gi sd e r i v e do nt h eb a s eo f t h ev e l o c i t yi n p r o c e s s i n ga n df gg e o m e t r y , a n dc o r r e s p o n d i n g l yt h e m i n i m u mi n n e r r a d i u sa n dm a x i m u mo u t e rr a d i u sa r ef o r m u l a t e di nt h er e s e a r c ho ft h el i m i t a t i o no ff g t o o t hw i d t h t h er e s e a r c ho ft h eb e n ds t r e s so ff gd r i v ei sm a d eb yt h eu s eo ff i m t ee l e m e n t a n a l y s i s ( f e a ) t h ei n f l u e n c eo f t h ef o r c el o c a t i o na n db a s i ct r a n s m i s s i o np a r a m e t e r so n t h ec a l c u l a t i n gs t r e s so f t h eb e n ds t r e n g t hi sc o n s i d e r e d t h ed i s t r i b u t i n go r d e r l i n e s so f t h e b e n ds t r e s so f f gh a sb e e n g o t t e n t h e i n v e s t i g a t i o no n t h ec o n t a c ts t r e s so f f gd r i v ei sm a d eb yf e a t h ed i s t r i b u t i o n o ft h ec o n t a c ts t r e s so ff gi so b t a i n e di nt h ed i f f e r e n tm e s h i n gl o c a t i o n sd u r i n gt h e m e s h i n g k e yw o r d s ：g e a rd r i v e f a c eg e a r ( f g ) m e s h i n gc o n t a c ts t r e n g t hb e n ds t r e n g t h f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s ( f e a ) i i 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1齿轮传动技术的现状与发展 传动机械是机器的重要组成部分，用于将原动机的运动和动力传递给工作机，并 改变原动机运动的速度和形式、力或力矩的大小与方向，使之适应工作机的需要。由 于原动机运动的单一性、简单性与工作机运动的多样性、复杂性之间的矛盾，任何机 器都必须包括传动机械。很多机器的工作性能、使用寿命、能源消耗、振动噪声，在 很大程度上取决于传动机械的质量。因此，发展传动机械学的研究，对提高机械产品 的质量有极为重要的意义，而且会带来巨大的经济效益和社会效益。 传动机械包括机械传动、流体传动和电传动。在这些传动中，机械传动的优点 是恒功率输出，效率高而且节约能源，相对而言，其成本也较低。因此在多数机械中 它仍然是主要的传动形式，难于为其他传动所代替。因此，国内外学术界和生产厂家 对机械传动的研究与开发均倾以很大的关注。目前，几乎每年都有国际学术会议对这 方面的研究成果进行交流和讨论。作为匀速传动，齿轮传动是机械传动的重要组成部 分，其应用也最为广泛。由此可见，通过对这种传动的研究，对于提高机械工业重要 基础件的质量与数量，提高机械产品的效益，增强竞争能力，有重大的作用。 在工业生产中，看来似乎很简单的齿轮传动装置却是工业体系中很关键的基础零 部件，齿轮传动技术是工程界、科技界公认的工业基础技术之一。齿轮传动是机器和 仪器中应用最为广泛的一种机械传动，也是历史最为悠久的机械传动之一。 据历史记载和流传至今的实物证实，埃及，巴比伦，早在公元前4 0 0 2 0 0 年，就 开始使用齿轮，希腊哲学家亚里士多德( 公元前3 8 4 一公元前3 2 2 年) 在他所著机器 问题中提到了齿轮，这是国外关于齿轮的最早文献记载。近代齿轮技术的发展大体 可分为4 个阶级1 h 4 】【2 5 】 2 6 1 。 1 8 9 0 1 9 3 0 年，赫兹( h e r t z ) 公式( 1 8 9 1 ) 和l e w i s 公式( 1 8 9 2 年) 的提出奠定了现代 齿轮强度计算的基础，齿轮制造进入工业化生产，在欧洲t m l l ：；美出现了不少工厂。早期 以铸造齿轮为主，进入2 0 世纪则出现了滚齿机、插齿机以至磨齿机等加工机床。第 一次世界大战中及以后发展起来的航空工业使磨齿机发展成为有效的实用精加工机 床。在此期间已出现了渐开线直齿轮、斜齿轮、锥齿轮、准双曲面齿轮和蜗杆等传动 形式。工业通用齿轮仍用铸造生产，随着汽车工业的兴起，批量生产的精密的齿轮则 用滚齿或插齿加工。此间动载荷已引起重视并开始研究。 1 9 3 0 1 9 6 0 年，四五十年代基本完成了各种类型啮合几何学和切齿刀具设计的研 究，2 0 。齿形角得到更多的应用，6 0 年代多头滚刀的应用显著地提高了切齿效率。 里窒塑塑丝丝垫墼些窒堑堡量塑堡墼些塞垫塑壁坌堑 燃气轮机的发展要求制造出高性能的齿轮，因而研制出不少大尺寸的高速重载齿轮试 验台，并进行较系统的基础试验。剃齿工艺的应用制造出高精度齿轮，台式齿轮精密 检查仪应运而生。极压添加剂的出现和变位齿轮广泛应用大大提高了齿轮承载能力， 并相继出现各种较为综合的齿轮强度计算方法。 1 9 6 0 1 9 8 0 年，齿轮技术在这一时期有了快速发展。航天事业的发展要求运载工 具和航空齿轮以很小的体积传递大功率，并要求9 9 9 以上的可靠度。因此，材料及 热处理质量控制得到高度重视和发展，中硬齿面和硬齿面重载齿轮广泛应用，珩齿技 术使齿面的质量空前提高，同时，促进了各种润滑技术的发展和应用。在此期间，刀 具齿形角更多采用为2 0 。至2 5 。，并对齿轮疲劳寿命和材料疲劳特性进行广泛研究， 美国齿轮制造协会( a g m a ) ，德国( d i n ) 以及国际标准化组织( i s o ) 先后制订了较为配 套的齿轮标准。 8 0 年代以来，随着科学技术的发展，齿轮技术也相应地飞速发展，创造出了许 多新成果，齿轮传动技术达到了一个新的时期。国外已可生产功率5 0 0 0 0 k w 以上， 圆周速度2 0 0 m s 以上的齿轮。汽车等运输工具的齿轮，其寿命已接近整机寿命的水 平，许多高可靠性的齿轮，已可使用几十年而无明显的损伤。对行星齿轮传动的研究 开发已有很高水平，国外已可生产功率达5 0 0 0 0 k w 的行星减速器，以及输出扭矩大 于4 0 0 0 k n m 的行星齿轮装置。少齿差( 摆线针轮、渐开线少齿差及谐波传动等) 行 星传动已经普遍地取代了中小功率的圆柱齿轮减速器，普通的圆柱蜗杆传动也广泛地 发展为点接触蜗杆传动和环面蜗杆传动。 国外对齿轮啮合理论的研究已有很高的水平，并用于开发曲面齿轮、环面蜗杆 传动、点接触蜗杆传动以及圆弧齿轮等新型齿轮传动，且已取得创造性的成果。近年 来，还开始进行弹性啮合理论的研究。 以大量试验为基础、应用经典力学进行的渐开线齿轮强度计算，已经比较完善。 其代表是1 s o 的渐开线齿轮强度标准。当前的发展趋势是用现代计算力学的方法进行 承载能力计算，并引入可靠性设计，动态设计等内容，以提高计算的科学性和可信度， 改善目前承载能力设计中半经验的状态。 齿轮装置的c a d c a m 技术国外发展较快，一些有名的厂家已经开发了自己 的c a d 系统，用于产品设计。数控滚齿机和准双曲面齿轮磨齿机已经开发出来并投 入使用。 综观学科的现状，其发展主要趋势如下： 1 ) 追求承载能力大、振动小、节能、高效，体积小、重量轻，以及能在高速和 重载条件下工作的传动。 2 ) 改变传统的设计方法，广泛采用新的技术与科学成就，诸如：c a d 技术、优 化设计技术、动态分析、计算力学、可靠性与寿命预测、以及摩擦学设计技术等，使 传动既有很高的性能，又有最低的成本。 3 ) 将齿轮等机械传动与流体传动、电传动结合起来，组成新的复合传动。例如， 童塞璧窒苎耋奎兰堡圭耋堡丝三 将非圆行星齿轮与液压传动结合起来组成高性能的低速液压马达：以液压柱塞驱动的 章动( 锥齿少齿差) 传动；将电传动流体传动与双自由度差动传动结合起来，既保证有 较高的效率，又实现无级调速的双流传动，以电磁波发生器代替机械波发生器，从而 取消高速电机的低惯量步进电机( 电磁谐波传动) 等。 我国已能生产功率达3 6 0 0 0 k w ，以及线速度达1 5 0 m s ，精度达3 _ 4 级的高速齿 轮装置；功率为1 2 0 0 0 k w 的行星增速箱和输出扭矩达1 0 0 0k n m 左右的行星减速器； 各种少齿差、蜗杆减速器已组织专业化生产并达到年产总数十万台的水平。在学术研 究方面，我国也取得了一批有国际先进水平的成就。例如，关于齿轮啮合原理的研究、 圆弧齿轮的强度计算及这种齿轮的工业应用研究、平面二次包络环面蜗杆传动的研 究、齿轮( 特别是锥齿轮) 整体误差测量技术的研究等。 但是，我国齿轮传动产品与国外先进水平相比尚有很大差距，总体说来，是质量 差、寿命短、承载能力低、噪声大。我国存在的主要差距是：基础研究跟不上齿轮 产品开发的需要。如国外有名厂家普遍采用了c a d 、c a m 技术，而我国有关厂家尚 很少应用，与此有关的研究也多未达到实用化的程度。不少产品往往停留在样机试制 或初步引进开发上，缺乏深入系统的消化吸收，更谈不上创新。不少有应用前景的 科研成果往往停留在理论阶段或实验室试验阶段，缺乏中间试验，形不成产品。这一 方面反映了对齿轮进行基础研究的部门与生产部门的脱节，也反映了科研课题与生产 实践结合不够。我国在齿轮传动的研究方面虽然有一支强大的队伍，并在不少领域 建立了专门的研究机构，有的还具备比较先进而完整的研究手段，但由于组织不好， 规划不够，特别是部门分割，一些热门方向大家在低水平重复，而另些难度大，费 时费力的基础性研究又被弃置一边。 由于齿轮传动在工业生产中应用的重要性与广泛性，对齿轮的研究应作为机械传 动研究中的重点。 1 2 面齿轮传动的特点及研究现状 面齿轮传动( f a c eg e a r d r i v e ) 是一种圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的新型齿轮传 动，其圆锥齿轮是用尺寸与啮合中的渐开线圆柱齿轮相同或相近的刀具经范成而得到 的，具有许多独特的优点和几何现象1 5 l 。国外已在一些重要的传动装置中( 如直升飞 机传动中) 获得了应用i 6 l - 4 9 l 。但国内对面齿轮传动的研究则很少。由于对面齿轮传动 尚缺乏研究，其理论发展还不十分充分，尚不能满足设计者和生产者的需要，其应用 还不广泛。 通常情况下，面齿轮传动具有如下几方面的优点： 1 ) 小齿轮为渐开线齿轮，其轴向移动产生的误差对传动性能几乎没有影响。在 普通圆锥齿轮中，两锥齿轮的锥顶要重合，轴向误差将会引起严重的偏载现象。在一 些重要的锥齿轮传动中( 如航空螺旋锥齿轮传动) 还要进行防位错( 即防止锥顶分离) 里窒冀堡丝篁垫墼些垒墼堡皇塑堡墼兰兰垫塑塑坌堑 一 设计吲。 2 ) 面齿轮传动比普通锥齿轮传动具有较大的重合度。据有关文献中介绍，理论 上面齿轮的重合度可达2 以上。重合度大对提高承载能力和增加传动的平稳性是相当 重要的。 3 ) 小齿轮为直齿圆柱齿轮时，小齿轮上无轴向力作用。这可以简化支承，并相 应地会减小系统的结构重量。这对于空间受到限制和要求重量轻的场合是极为有用 的。 4 ) 小齿轮为渐开线齿轮，根据渐开线的性质可知，同时啮合齿对的公法线相同， 且在不同的瞬间也不改变。这对于传动极为有利。 5 ) 对于点接触面齿轮传动，在理论上仍然能保证定传动比传动。因此相对来说 面齿轮传动的振动小和噪音低。 传统的观点认为，面齿轮传动的主要缺点有两方面： 1 ) 由于加工面齿轮的刀具的尺寸与实际啮合中的圆柱齿轮相同，因此，从理论 上讲加工面齿轮的刀具将无穷多。 2 ) 由于受根切和齿顶变尖的限制，面齿轮的齿宽不能设计的太宽，从而使面齿 轮的承载能力受到影响。 面齿轮传动的优点是显然的，它促使我们对其进行广泛深入的研究。而其缺点要 根据具体的使用场合作具体的分析。首先，对于具体的产品( 如航空产品、汽车产品 等) 其型号是一定的或有限的，从而齿轮的参数也是一定的或有限的几组，并不要求 很多。其次，对于要求尺寸小、重量轻的产品( 如航空产品) ，面齿轮的尺寸受到限 制与其正好相对应，且现代材料的优良性能也可以弥补尺寸受到限制这一缺点。第三， 采用现代设计方法( 如有限元、优化设计等) 可以使齿轮的几何设计得十分精确，从 而使有效齿宽得到充分的利用。 有关面齿轮的最新研究出现在美军方与n a s a 联合进行的a r t ( t h ea d v a n c e d r o t o r c r a f lt r a n s m i s s i o n ) 计划中，对面齿轮传动进行了高速重载的研究，并设计了使用 面齿轮传动的新型直升机主减速器传动装置的分流传动结构，其结构组成如图1 1 a 所示，图1 1 b 为其面齿轮传动部分的传动简图。若采用通常的螺旋锥齿轮作为传动 分流的环节，则必须采用两个螺旋锥齿轮，其支撑结构较为复杂，重量会增加。这种 带有面齿轮的分流结构的直升机主减速器，其重量较传统的结构下降了4 0 ，且动力 分流效果好、振动小、噪声低，取得了很好的效果。参加面齿轮传动研究的主要 有：m c d o n n e l ld o u g l a sh e l i c o p t e rc o ，l u c a sw e s t e r ni n e 和t h eu n i v e r s i t yo fi l l i n o i sa t c h i c a g o 。 从资料中看，目前的研究主要是面齿轮的几何设计和初步的试验研究。t h e u n i v e r s i t y o fi l l i n o i sa tc h i c a g o 的l i t v i n 等人对面齿轮传动的几何设计作了研究。 h a n d s c h u h 等人报道了初步试验的情况。试验包括了两方面的内容：第一是关于面齿 轮传动用于高速重载的可行性试验：第二是关于动力分流的初步试验。第一个试验是 皇塞些窒垫垂奎兰堡圭兰堡篁兰 ：= = = = = = = = = = = = ；= = = = = = ；= = = = = ；一。 ；芷n a 触s al e w i sr 删e s e a r c 、h c e n t e r 嬲嚣然导望鬈端字 2 7 0 k w ( 为实际使用的八分之一和四分之一) ，试件尺寸是买断结俐州一万厶批竺i 四对齿荔试验( 其中两对是陪试) 。经3 1 0 7 次循环( 小齿轮) 后表明，试验齿轮( 即圆柱 大 ( a ) ( c ) 图1 i具有面齿轮传动的直升机主减速器 入动力) 动机输入动力) 黼向 垩奎堡堂丝堡垫墼塑窒堑竺皇塑塞墼兰叁垫塑壁坌丝 齿轮驱动面齿轮) 的齿面接触良好，接触分布在整个齿面上；而陪试的齿轮( 面齿轮驱动 圆柱齿轮) 的齿面中部有一定程度的点蚀出现。第二个试验是在l u c a sw c s t c mi n c 进 行的。主要进行了力矩分流的精度和动力学方面的试验。试验中将圆柱齿轮的一端与 挠性联轴器相联接( 输入动力) ，另一端浮动在两面齿轮之间。试验表明，让转速在第一 阶固有频率附近工作时，并没有出现共振现象，也即两面齿轮与圆柱齿轮的浮动能有效 地限制共振发生。同时，通过移动面齿轮使啮合偏离设计位置时，在一个很大的范围内 两面齿轮轴上的力矩几乎相等。这些试验都取得了初步成功，证明了面齿轮传动用于 高速大功率传动是可行的，且动力性能和力矩分流的精度相当出色。 需要指出的是，如果加工面齿轮的齿轮插刀与实际啮合的圆柱齿轮相同，加工过程 是模拟实际的啮合运动，则理论上可以使面齿轮传动实现线接触。事实上，这种线接触 的情况是不会发生的。由于各种误差的影响，接触面会发生偏移，从而导致所不希望的 边缘接触。为了避免这种情况，所使用的齿轮插刀的齿数要比圆柱齿轮的齿数多1 3 ， 这将使接触区局部化，成为点接触面齿轮传动。 1 3本文的研究内容 前面已经比较详尽阐述了面齿轮传动的诸多优点和急需研究的必要性。在国内， 面齿轮传动还刚刚开始研究。目前对面齿轮传动的啮合特性已有了较系统地研究。但 有关面齿轮强度分析方面还鲜见于文献。要充分利用面齿轮传动，就要对其几何特性、 啮合特性深入理解。对于一个传动装置，人们最为关心的可能是其是否能满足强度要 求。本文除了研究面齿轮传动的几何特性以外，主要研究了面齿轮传动的弯曲应力和 接触应力的分布情况。其中面齿轮传动的弯曲应力的研究主要是考察了在不同参数情 况下，在面齿轮的齿顶沿齿长方向加集中载荷时，得到面齿轮的弯瞳应力分布规律， 并且还考虑了在某一典型参数情况下，在面齿轮的工作面的不同作用位鼍加集中载荷 时，得到面齿轮弯曲应力分布规律。面齿轮接触应力的研究主要考察了面齿轮传动的 啮合过程中不同的啮合位置时，面齿轮的接触应力的分布规律。通过对面齿轮弯曲应 力和接触应力的研究，为将来对面齿轮的几何设计和控制啮合过程中的接触点有重要 意义。 南京航空航天大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章正交面齿轮的齿面生成 加工时刀具轴线与被加工面齿轮轴线之间的关系分为垂直相交、非垂直相交、偏 置垂直交错和偏置非垂直交错等4 种情况。为了研究的方便，可将相应于上述4 种情 况的面齿轮分别称为正交面齿轮、非正交面齿轮、偏置正交面齿轮和偏爱非正交面齿 轮。 面齿轮的齿面几何形状已不是常用的渐开线齿面或其他常见的曲面，其齿面形状 相当复杂。同时，面齿轮的轮齿具有在靠近轴线的内径处的齿根易产生根切和在远离 轴线的外径处的齿顶易变尖等特殊的几何现象。在4 种面齿轮传动中，以正交面齿轮 传动较为简单。由于本文研究正交面齿轮的应力分析，齿廓曲面的生成是基础。因此， 本章首先以正交面齿轮为研究对象，对其齿面的生成问题作出研究，其主要内容为 ( 1 ) 加工过程中参数的描述和面齿轮齿面方程的形成； ( 2 ) 正交面齿轮加工中的齿面接触线和啮合面的特性分析# ( 3 ) 面齿轮齿根不发生根切的条件和计算结果； ( 4 ) 面齿轮齿项不变尖的条件和计算结果； ( 5 ) 面齿轮的齿根过渡曲面问题： ( 6 ) 面齿轮齿廓曲面的可视化。 2 2 正交面齿轮加工中的坐标系与刀具齿面 2 2 1 坐标系的建立 参照齿轮啮合分析中的习惯，刀具和面齿轮加工过程中应采用如下4 个坐标系 ( 参见图2 1 ) ，刀具s 和面齿轮2 初始位置时的两个固定坐标系：s s o o s x s o y s o z s o 和 $ 2 0 - 0 2 x 2 0 y 2 0 2 2 0 ；与刀具s 和面齿轮2 同转动的两个动坐标系：s s - o s x s y s z s 和 s 2 0 2 x 2 y 2 2 2 。其中，坐标原点0 s 和0 2 为刀具和被加工面齿轮两轴线的交点o ：z s o 和z s 为同一坐标轴，是刀具的转动轴线；z 2 0 和z 2 为同一坐标轴，是被加工面齿轮的 转动轴线。初始时，y s 0 与z 2 0 重合，x s o 与x 2 0 重合。由于本章所讨论的是正交面齿轮 的加工，则z s o ( z s ) 与z 2 0 ( z 2 ) 之间的夹角y = 9 0 0 。 要塞耍塑笙生垫墼些盒芝丝兰璺些塑盐兰塑塑塑坌堑。一 面齿轮2 图2 - 1正交蕊齿轮加工时的坐标系 用体和仍分别表示刀具s 和被加工面齿轮2 转过的角度，则有如下各坐标系之间的 常用的基本转换矩阵。 帆。，。】= 匦舯】7 = c s i 。n 8 2 一c s o i n s 9 ( p _ s 0 。0 001 0000 1 1 c ：- - ， s lr 。1 、 l 、 l 阱7 肾 m 。啦。】= 帆叩。】7 = o0l ( 2 - 2 ) 10001 。0 ：。0l 弘， ooo1 j 上述各式中，帆。】表示从坐标系s 到坐标系s s o 的转换，其余可类推；右上角标 “t ”表示对矩阵的转置。同时，可得下列各关系式 0 o o 0 o 1 尹够 _ g 宝。 一 堕塞苎兰苎蚕奎兰罂主兰竺鲨三 眦娜】= 帕】= 帆，】k 吖。】 rc o s 矿2 0 一s i n 缈20 一| - s i n 2 0 一c o s d p 2 0 l l 01 0000 。1 jlj 帆。】= 帆，：l r = 比渤i m , ”】 l c o s 伊sc o s 伊2 一s i n 伊sc o s p 2 - s i n 仍0i f - c o s 伊ss i n 仍 s i n 纵s i n 仍- e o s p = 0 i i s i n 尹sc o s t s 00 l l 0001 i 2 2 2 刀具齿面方程 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) 图2 - 2 所示是为了表示刀具齿面渐开线所采用的坐标系，这和图2 - 1 中的坐标系 是对应的( z s 垂直于纸面) 。 图2 - 2渐开线齿面的参数 则易得到刀具渐开线齿面向量弓方程为 7 s ( u 。，岛) = k 赡白f 】， = p + r = s s i o s ( n ( s ”s o + 擎：+ 2 ( 2 6 ) 式中，似为刀具渐开线的基圆半径；淞为刀具齿面上一点的轴向参数；岛为刀具渐 开线上一点的角度参数；岛为刀具齿槽对称线到渐开线起始点的角度参数。坶和岛 为渐开线齿面的参数，式( 2 6 ) 中的上下符号分别对应于刀具齿槽两侧渐开线y - y 和p - p ， o s o 由下式确定 5 0 = 盍一i s ( 2 - 7 ) 式中，胁为刀具的齿数；啦为刀具压力角；i n v a s 为压力角勰的渐开线函数，即 i n v a s = t a n a s - - o s ( 2 - 8 ) 刀具齿面的单位法线元为 2 3 正交面齿轮的齿面方程 2 3 1 刀具齿面与被加工面齿轮接触处的相对速度 对于刀具齿面上某点p ( x s ，y s z s ) ，设其在坐标系s s 中的矢径痞为 ( 2 - 9 ) 弓= x sy s 乃】r = j 咕己+ y s _ 7 s + z s 蠢 ( 2 - 1 0 ) 式中不等为s s 坐标轴的单位向量。pn n ns s 运动的速度蟊为 蟊= 0 5 s 珞= 蟊珞 式中魄为刀具的角速度。pn n ns 2 运动的速度吐为 吃= 0 5 2 痞= 铣丘弓 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 式中：为被加工面齿轮的角速度。p 点随同s s n 动n n ns 2 运动的相对速度哥5 力为 由式( 2 - 5 ) 有下列关系 哥( 鼬= 蟊一五= ( t o d 2 k 一2 ) x i s( 2 - 1 3 ) 门j1 岛 嚣。 阵一 一 盟蕊一矾融一醵亟薅 一m m 一 _ 妻塞塾宝垫圣查兰翌主兰垒兰苎。一 t = s i ns i s + c o s p s j s ( 2 - 1 4 ) 又设刀具和面齿轮的齿数分别为n s 和n 2 ，齿数比为q s 2 q 2 s ，则有 如：= 鲁= 生c 0 2 = 去 c z j s ， m 坛h 磊纛) 协蚴 2 3 2 正交面齿轮的齿面方程 齿轮的齿面啮合条件为 蟊萨2 = 0 ( 2 1 7 ) 将式( 2 9 ) 和( 2 1 6 ) 代入上式，可得刀具与被加工面齿轮的啮合方程 f ( u s ，靠，纨) = 一u s q ”c o s q o = 0 ( 2 - 1 8 ) 式中= ( 岛o + 靠) 。 由坐标系s s 到坐标系s 2 间的转换关系式( 2 - 5 ) ，得被加工面齿轮的齿面方程为 五( 略，靠，佻) = k 2 。s 】痞( 始，靠) l( 2 1 9 ) f 鼬s ，e s ，妒s ) = 0 由式( 2 - 1 8 ) 得 乃刮s 2 丢蒜( 2 - 2 0 ) 将式( 2 - 2 0 ) 代入式( 2 1 9 ) 中的第一式，可得用两参数岛和$ 表示的正交面齿轮的齿面 方程的展开式为 铲 c o s 咖蛳吼卜鑫 舻一k 卜c s 峨千岛，+ 盖 = 2 = 一( c o s 口 o 以s i n 口，o ) f 2 2 1 ) 一要奎璧誊丝生塑墼些盒茎丝兰璺塞竺盐基垫塑壁坌堑 应当注意到上式中仍= q 2 s 。 2 4 正交面齿轮加工中的齿面接触线和啮合面的特性分析 将刀具齿面方程式( 2 - 6 ) 与啮合方程式( 2 1 8 ) 或( 2 。2 0 ) 联立起来，就可以确 定插齿刀齿面上的瞬时接触线；将被加工面齿轮的齿面方程式( 2 - 2 1 ) 与啮合方程式 ( 2 1 8 ) 或( 2 2 0 ) 联立起来，就可以确定被加工正交面齿轮齿面上的瞬时接触线。 齿 5 5 高 斋5 0 鲁 目 一 4 5 3 5 0 齿 高 方 向 暑 日 齿 ( 齿长方向( ) ( a ) 刀具齿面上的接触线 齿长方向( m m ) ( b ) 面齿轮齿面上的接触线 图2 - 3 加工中齿面上的接触线 糊 向 壹塞垫宝兰鲞奎兰登圭兰垒兰苎一 一 图2 3 ( a ) 和( b ) 中所绘制的分别是某插齿刀齿面上和被加工面齿轮齿面上的瞬时接 触线。 考察一下接触线存在包络线的条件。由式( 2 1 8 ) 得 乙皑。磊蒜 2 由上式可知，在刀具齿面上的接触线的坐标z 。的最小值z 蚰为 z 。i l i = 黾i ( = 0 ) 一! t = g ，2 ( 2 2 3 ) q 2 j 式中：q 。2 = l q 2 。此时，由面齿轮方程( 2 - 2 1 ) 知，被加工面齿轮齿面的轴向坐标z 2 为 z 2 m i n = z 2 l ( 删2 一 ( 2 2 4 ) 此时所对应的位置为传动的瞬时轴与刀具基圆的交点。如果z 。和z 2 比上述的最小值 z 2 曲还小，则瞬轴线进入刀具的基圆内，因基圆内无渐开线而不能正常加工。 将刀具齿面的参数u s 和0 。作为平面上的直角坐标轴的参数，则式( 2 - 1 8 ) 可看作以 仇为参数的平面曲线族。该平面曲线族上存在包络线的条件为 箬= u q 2 s 鳓：0 ( 2 - s i n 0 2 5 ) j 。鳓= o 由式( 2 - 1 8 ) 和上式得 虬= 鱼= g n = 。( 2 - 2 6 ) q 2 j 式( 2 - 2 3 ) 和式( 2 - 2 6 ) 所表示的是，以参数和0 。作为平面上的坐标轴时，接触线 存在包络线的条件。同时也是在刀具齿面上接触线有包络线的条件。这种包络线是应 当避免的，否则不利于加工过程中的热传导。 2 5 正交面齿轮不产生根切的条件 2 5 1 基本理论 加工过程中，接触点沿着刀具齿面s 和被加工面齿轮齿面2 移动的速度和t ： 满足下列方程 v r 2 = + 舻2 ( 2 - 2 7 ) 正交面齿轮传动的啮合特性与强度的计算机辅助分析 式中矿跗为接触点的相对移动速度，见式( 2 1 6 ) 。当砟：= o 时，即 + 矿5 ，2 = 0 ( 2 - 2 8 ) 则在面齿轮齿面2 出现根切，相应地在刀具齿面s 上存在根切界限线。考虑到啮合 方程厂( ，岛，) = o ( 即为式( 2 - 1 8 ) ) 对所有的时刻t 为恒等式，对其微分有 笪盟+ 笪盟+ 笪堕：o 踟s d t 8 8 s d t 8 9 s d t 这样，确定刀具齿面。上存在根切界限线所需的方程式集合起来为 痞= x s ( u 。，以) 丢+ 弘( ，以) 五+ 乃( 蜘，岛) 蟊 f ( u s ，靠，9 s ) = 0 一o f d u s + 笪d o s + 笪盟：o 铀s d t 8 8 s d t o q ) s d t v 妒v 心= 蟠二7 = v 驴= 一1 f 2 - 2 9 ) 式中，v w 、v 啪和v 心为的分量：v g 埘、蝶和v 。( s m 为哥即的分量，这时的速 度分量都是在s 坐标系中讨论的。因为速度矢量和矿啊，2 都在曲面接触点处的切平 面上，故方程组( 2 - 2 9 ) e p 的第四式中的3 个等式只有2 个是独立的。 在方程组( 2 2 9 ) 中的第一个式子是表示根切界限线在刀具齿面s 上。在具体运算 中，只要方程组( 2 2 9 ) 中的后3 个式子的坐标参数用它代入即可。因此，为了求刀具 齿面s 上界限线的坐标u s 和岛，可利用方程组( 2 2 9 ) 中的4 个方程：第二个式子、第 三个式子和第四个式子中的任意两个等式。这4 个方程式中包含的未知量为u s 、o s 、 d = 譬和兰孚，并且是在固定运动参数体值的情况下求出这些未知量。随裆变化的一 系列坶和珐函数值的集合将确定刀具齿面s 上的根切界限线。为了避免上述! 弩和 讲 皇塞的求解，可采用下述处理方法。 讲 接触点在刀具齿面s 上的速度的分量为 1 4 v m v w ：堕：亟煎；盟堕 d t 孔s d t a 9 s d t ：亟：盟堕；盟堕 d t 翻s d t 8 8 s d t ；堕：亟堕+ 堕盟 f 2 - 3 0 ) 磐据苎耋耋竺曼? ) 中的第四式选2 个独立的等式的3 种情况，可从方程组( 2 2 9 ) 中分 出3 个线性方程组，即 、 一。 嚣d u 亟d t + 鲁盟( i t = 世2 ，5a 以 ” 嚣亟d t + 嫠盟d t = 一喵ma l l s8 8 i 1 抽 兰堕+ 互堕；一曼熟 乩s d t a 8 s a r t 却。a r t 鼍堕d t + 甏堕d t = 嘴：，a t l s j 8 8 r 。拍 堕d u s 堕d r + 熹堕d t = 一妒。a 敬 一。 兰堕+ 互丝：一笪鲤 a 乱s d t j a e sd t a 9 。, i t 亟o u s 堕a r t + 象堕d t v 耶, r s 圆。a 靠 一 坠o u s 煎d t + 象堕d t = 一垆a 颤 叼 兰堕+ 堕堕：盟盟 抽s d t 8 9 s d t a p 。d t ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) 上述3 个方程组是等价的，以下取( 2 - 3 3 ) 作为研究对象。在方程组( 2 3 3 ) 中是关于! 坠 a t 和等为未知量的，3 个方程应当组成相容的线性方程组，则方程组的系数矩阵【a 】 和增广矩阵f b 】的秩应该相等。而矩阵【a 】和 b 】为 1 5 = 可 o u s a x s 抛j 七j 加s 影 a 岛 a b a 岛 a = s a 以 和吲= 由式( 2 - 3 4 ) 的展开式可获得u s 、岛和临之间的关系式 o ( u s ，以，) = 0 ( 2 - 3 5 ) 将此式与啮合方程式f ( u s ，以，仇) = 0 联立起来，就得到刀具齿面s 上根切界限线的 参数u s 和a s 之间的关系。 2 5 2 面齿轮不发生根切的最小内半径 根据式( 2 1 8 ) 和式( 2 6 ) ，式( 2 - 3 4 ) 中的各导数求得如下。 瓦o f = - q 2 s c o s 两8 f = ：sin-q2sc o s p o：t ：u s q 2 ss i n ij了2 o 就so d s 丽o f 百d q 9 s = u s q 2 s 删n 詈= 。 薏= k 驯n ( + 靠)鲁刊鲁一。 将这些关系式及式( 2 - 1 7 ) 代入式( 2 - 3 4 ) 经整理可得 s i n 2 妒日岛9 2 5 2 ( s i n o o 千岛c o s 矿o ) c o s 3 = 0 ( 2 3 6 ) 为了求出面齿轮不发生根切的临界尺寸，可以考虑刀具齿面。上根切界限线与刀具 煎卉国 国 盟鲰落 笪螅盟织坠鸭妒一亟堕 南京航空航天大学硕士学位论文 顶圆的交点处，有 纯：铅：选二壹( 2 - 3 7 ) 式中，0 , a 为刀具齿面s 在其齿顶圆处的角度参数；r a s 为刀具齿顶圆半径。由式( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 可解得参数体的值，设为戎。采用式( 2 - 2 1 ) 求得面齿轮齿面的所对应的坐标蔓 和以，从而得到不产生根切的最小内半径r 1 日= 跚。k 扣刃千铅c o s + 磊而1 ( 2 3 8 ) 式中西= 两( 岛。+ ) 。由此定义无量纲参数碍= r l m 。( m s 为刀具的模数) ，称为 最小内半径系数 碍= 等产厣咖驷s 彬+ 磊丢 ( 2 _ s ，) 2 5 3 计算结果 根据上述分析，作者已开发了相应的计算机程序。图2 4 是部分计算结果，其计 算条件为：压力角口，= 2 0 。( 图中的实线所示) 和口，= 2 5 。( 图中的虚线所示) ，齿 顶高系数虻= 1 ，顶隙系数c = l 。从图中可见最小内径系数都是随着刀具的齿数 彳7 。 q 观 夕7 7 ，算夕7 篪夕 r 一4 髟彩 t：勿：缁：彳。五- ；鬈聋髦：i ：矛彳；： 每。 霸乏何：辛瓦幺 一 雾毛j 二 f n = 1 _ 。1 ； 1 2 i 一 ；il l | 刀具齿数 图2 4 正交面齿轮的最小内半径系数r ： ( ：压力角a s = 2 5 。：- - i 压力角a s = 2 0 。) 增加而近似于线性增加的；同时，这种增加的幅度又随着齿数比9 8 2 的增加而变大。 此外，在其他条件相同时，最小内径系数都是随着刀具压力角的增加而减小的，在使 用中只要将图2 - 4 中的纵坐标值乘以刀具的模数即为面齿轮的最小内半径r i 。 2 6 正交面齿轮齿顶不变尖的条件 2 6 1 面齿轮齿顶不变尖的最大外半径 面齿轮齿顶变尖的几何特征是轮齿两侧齿面相交，其齿项厚等于零。现设想( 参 见图2 5 ) 用通过面齿轮2 齿顶的圆平面来截其两侧齿面，这个圆平面也与轴线和插 齿刀的轴线n n ，且半径为r s = r s m s n n 柱i l g n t ：t j 。应当注意的是：当七一 u + 函； 3 ) 滑动边界条件毋血：6 髓+ i o ； 五。，：一五成 ( 声二，y 一，；) 其中，五。；= f 五。；l c 。s 护和五。；= 五。；l s i n 口 c o s 拈袁s i n 拈蕊 也可写成为 厂：一l 1 r 2 s ；+ r 2 a k ；i 对于给定的接触边界情况下，当外载荷一定时，我们总可以根据上面提到的三种 状态的判断条件，将不同的接触边界分为不同的接触状态。但是，必须注意到在上面 的三种判断条件中，我们要用到接触面上相对接触体的位移和反力，而这些通常都 是未知的。因此，在接触问题的第一步，我们必须是先假定出它的接触状态，然后由 假设的接触状态给出数值分析方程，从而解出接触面上的物体的位移和反力，然后再 根据解出的结果来判断和修正原来的接触状态，这样不断循环，直到最后的接触状态 稳定为止。可以看出，这是一个需要迭代才能求解的局部几何非线性问题。 3 切向接触力的可逆性和不可逆性 在接触问题的接触面上。接触状态有可逆和不可逆之分。 所谓可逆过程是指当不同的加载途径，其最终的结果是相同的。所谓不可逆过程 是指对于不同的加载途径，得到的最后结果是不一样的。引起不可逆过程的原因主要 是在接触面上出现了滑动摩擦。 对于不考虑摩擦的可逆过程，可以一步加载完成，而对于考虑切向摩擦并有滑动 过程的加载，必须通过增量加载的形式才能求解。 4 有限元基本方程 对于由两个物体a 和曰组成的接触问题，为了分析方便，将它们分离成两个独立 的物体，如图3 3 所示。 图3 3 图3 - 4 我们能容易地写出它们各自的有限元基本方程。即有 隐麓差瑟筹瑟葑 c s 嗡， k 慨 = 阮 + 魄 j ”“7 其中，k 。】和k 。】分别是物体a 和曰的刚度矩阵，函。 和翻。) 分别是物体a 和b 结点位移向量， r 。 和他 是物体一和口的接触力向量，乜 和 巴) 是作用在物体爿 和b 上的外力向量。 在式( 3 3 6 ) 中，每。 和k ) ， r 。) 和识。 都是未知量，显然，方程( 3 3 6 ) 不能直 接求解。如果我们能够预先确定出诧) 和阮) ，方程( 3 3 6 ) 就变成了典型的有限元位 移法的方程，问题就很容易解决了。我们可采用的方法是，通过接触点对之间的位移 相容关系，求得接触力。 5 接触点的柔度方程 在图3 - 3 的问题中，物体a 和b 接触面上的接触点分别是，和，i - - 1 ，2 ，廖， 皇塞塾耋垫圣盔兰鎏圭兰些笙苎 一 如图3 - 4 所示。 只要式( 3 3 6 ) 中的k 。】和k 。】是非奇异的，我们总可以从中求得接触点的柔度方 程为 蚓= 圣鼢胁) + k 睾= l l t - ，( k 地j k ) ( 3 - 3 7 a ) - 笔酚) 粉) ) + 塞b ) 馘 ( 3 - s z e ， 其中，符号，七表示结点号，卢l ，2 ，a l , 腰表示结点对的数目，几和 胁分别表示物体a 和口的外力作用点数目。并且，定义 p ) - 眇”护】r 盼， = 融“吖 它们分别表示物体彳和占上接触点的位移向量。又定义 好， ：鼢碜，砖汀 它们分别表示物体a 和曰上接触点的接触力向量。同样，定义 舻 = 融彤础1 r 渺 ：融，彤，璎) 分别表示物体a 和b 上的结点所作用的外力向量。 b j 和l 硝j 分别表示物体彳和口上，由点的单位力在j 点引起的j ，乃z 三个 方向的3 x 3 阶柔度子矩阵。 圣酚) 胁砷 和墨鼢】妊町 分别表示物体彳和口上，由外力引起接触点f 的位 , g 向量。 6 刚体位移的处理 前面式( 3 - 3 6 ) 得到的前提是，在式( 3 - 3 6 ) 中矩阵i k 。i 和 k j 都是非奇异的，也就是说在物体a 和占上都有足够的约束， 使其不会发生刚体位移。但是，在有一些接触问题中，其中一 个物体会发生刚体位移。图3 5 所示的结构中，