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摘要 三篓。i u | 口一l 让茎重曼 c 1 ， 第4 章讨论与问题( 1 ) 的解u ( x ) 相关的一些等周不等式以及先 验估计设q 是q 的s c h w a r z 对称重排，即q + 是酽中以原点0 为 中心且满足i q + i = l q l 的球若用h ( x ) 表示如下问题的解 l a v h = p 1 hz q + ， 沦三 三茎纛 则本章的主要结论可叙述为 定理4 2 1 1 若u ( x ) 是问题( 1 ) 的解，则对于任意的k q + 1 有 u k ( x ) d x c ( q ，p ，q 。) o p , 1 。( n ) q 、 以及 r 王l l a q x u ( z ) c ( q ，q + ) l l 让i i l o p 。, + 2 - ( q ) 其中c ( q ，p ，甜) = 厶h k ( z ) 如川毗o p a , + 1 ( n 。) ，c ( q ，q + ) _ m 删a ：x ，h ( z ) 川呲。r p 。, + 2 t ( q ) ， ，1 一( 1 仰+ q 一) n + k p + p _ ( n ( p n - - p ) l - 。q ) l - ，唧，2 = 面名羝并且上面两式中的等号成立 当且仅当q 是一个球 应用上述等周不等式，可得到问题( 1 ) 的解u ( z ) 的最佳上界估 计，该结论可表述为 定理4 2 1 3 设u ( z ) 为问题( 1 ) 的唯一解则 r ，、， l q l ；：南 搿心琏【而n 蕾- - 2 - p 邓- j 且等号仅在q 为球时才可能成立 另外，在p = n 且q = p 一1 时，本章还给出了一个已知的等周不 等式的简化证明详情参见本章第三节 第5 章讨论如下问题第一特征值的下界估计 ! 一p 也+ c ( z ) 伊。= a 矿。 z q ， ( 2 ) 1 ：0z 砌 卜7 其中c ( z ) 是一个非负有界函数 设q 是q 的s c h w a r z 对称重排，r 。是q 的半径，是p 中单 位球的体积令q = e s s s 善u n p c ( z ) ，选取r 满足口( 曰一p ) = 厶c ( z ) d z 定义函数愚( z ) 为 c z ，= ；三差蓑毫：。， 本章的结论可表述为如下定理 定理5 1 a 1 ( q ；c ) a 1 ( q 。； ) ，其中a 1 ( q ；c ) 表示问题( 2 ) 相应于q 和c ( z ) 的第一特征值，而a 。( q ；h ) 表示问题( 2 ) 相应于q 和九( z ) 的 第一特征值 这一结果可以作适当的推广，详情见本章的具体内容 第6 章考虑抛物p l a p l a c e 方程初边值问题 ：ut三-：三ajp三u乞2u 。z q ，。， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) ， z q 其中q 是舻中的有界光滑区域， 记2 ，1 p 几，p 一1 0 ， 总有u ( z ，) m ，其中u o c ( q ) 关键词：p - l a p l a c e 算子，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式，等周不等式， 函数重排技巧，全局解 i i i a b s t r a c t t h i sp a p e ri n t e n d st oc o n s i d e re q u a t i o n si n v o l v i n gt h ep l a p l a c e o p e r a t o r i t i sk n o w nt h a tt h ep l a p l a c eo p e r a t o rh a sa p p e a r e di nv a r i o u sf i e l d s i tn o t o n l ya p p e a r si nm a t h e m a t i c a lf i e l d ，b u ta l s oa p p e a r si ns o m ea p p l i c a t i o nf i e l d s ， s u c ha sf l u i dd y n a m i c s ( i ti sc a l l e dn e w t o n i a nf l u i d ，p s e u d o p l a s t i cf l u i da n d d i l a t a n tf l u i di fp = 2 ，p 2 ，r e s p e c t i v e l y ) ，t h es t u d yo ff l o w t h r o u g hp o r o u sm e d i a ( p = 3 2 ) ，n o n l i n e a re l a s t i c i t y ( p 2 ) a n dg l a c i o l o g y ( p ( i ，4 3 ) t h es t u d yo fp - l a p l a c eo p e r a t o rh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a l v a l u ei nm a t h e m a t i c a lf i e l d ( f o re x a m p l e ，i tc a nh e l pu st ou n d e r s t a n dt h e d e g e n e r a t ee l l i p t i co p e r a t o r ) a n db r o a da p p l i c a t i v ep r o s p e c t sd u et ot h ed e e p p h y s i c a lb a c k g r o u n do ft h i so p e r a t o r t h ea i mo ft h i sa r t i c l ei st oi n v e s t i g a t e t h eb e h a v i o ro fs o l u t i o n st oe q u a t i o n s i n v o l v i n gp l a p l a c eo p e r a t o r t h ep a p e r c a nb ed i v i d e di n t os i xc h a p t e r s i ti so r g a n a z e da sf o l l o w s ： c h a p t e ro n ei sp r e f a c e i tn o to n l yb r i e f l yd e s c r i b e st h ep h y s i c a lb a c k - g r o u n do fp l a p l a c eo p e r a t o r ，t h eb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n ts i t u a t i o no f t h ep r o b l e m sw es t u d i e d ，t h em a i nr e s u l t sa n dt h em e t h o d st oa c h i e v eo u r p r o o f s ，b u ta l s og i v e sa b r i e fi n t r o d u c t i o no fo u ri n n o v a t i o n sa n dd i f f i c u l t i e sw e o v e r c o m e d c h a p t e rt w oi n t r o d u c e ss o m em a t h e m a t i c a lt e r m s ，t o o l sa n dt e c h n i q u e sa s p r e l i m i n a r i e st h a tw i l lb eu s e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s c h a p t e rt h r e ed i s c u s s e st h ef o l l o w i n ge l l i p t i cp r o b l e m 三篓2i u 卜一l u 三重曼 ( 1 ) w h e r ep 1 ，0 q 0 z q ， 【h = o z a q + t h e no u rm a i nr e s u l tc a nb es t a t e da s t h e o r e m4 2 1 1 l e t 牡( z ) b et h eu n i q u es o l u t i o nt o ( 1 ) ，t h e nf o ra n y 七p + 1 ，w eh a v e a n d z 缸铷) 如m q 。) 1 1 u a p , 1 ( q ) ， m a x u ( z ) z q 、 c ( q ，q ) 驴o p , 2 z ( q ) ， w h e r e c ( q ，p ，q + ) = 厶h k ( z ) 蚓肿f f p , 1 t ( n ) ，c ( q ，q 。) 2 黪7 1 0 o 一* p 2 1 ( f t ) ， 唧，l = - 9 坤+ q 一) n k + p + p n ( m p - 一l p - ) g q ) ，唧，2 = a n do n l yi fqi sab a l l m o r e o v e r ，t h ee q u a l i t i e sh o l di f b ya p p l y i n gt h ea b o v ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y , w eo b t a i nas h a r pp r i o r i e s t i m a t ef o rt h es o l u t i o nt o ( 1 ) ： t h e o r e m4 2 1 3 l e tu ( x ) b et h eu n i q u es o l u t i o nt o ( 1 ) ，t h e n 咧班u n h ( 南) p - 1 i “ a n dt h ee q u a l i t yi nt h ea b o v ei n e q u a l i t yh o l d so n l yi fqi sab a l l v i f u r t h e r m o r e ，w eu s eas i m p l ym e t h o dt oo b t a i na ni s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y f o rt h es o l u t i o nt o ( 1 ) u n d e rt h ec o n d i t i o no fp = na n dq = p 一1 w h a t sm o r e ， t h em e t h o dh a sn o t h i n gt od ow i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o do fr e a r r a n g e m e n t o ff u n c t i o nt e c h n i q u e r e a d e r sc a ns e et h ed e t a i l si nt h et h i r dp a r to fc h a p t e r f o u r c h a p t e rf i v ec o n s i d e r st h el o wb o u n do ft h e f i r s te i g e n v a l u eo ft h ef o l l o w i n g e q u a t i o n ：竺苫+ “z ) 伊一1 = a 舻一1 三茎烹 w h e r ec ( x ) i san o n n e g a t i v eb o u n d e df u n c t i o n ( 2 ) a s s u m et h a tq i st h es c h w a r zr e a r r a n g e m e n to fq ，r 。i st h er a d i u so fq + a n d i st h ev o l u m eo ft h eu n i tb a l li n p l e tq = e s s s u pc ( x ) a n dc h o o s e rs u c ht h a tq ( 殿一p ) = 厶c ( x ) d x d e f i n et h ef u n c t i o nh ( x ) b y 1 0 z 屏( o ) ， 危( z ) = qz q s t ( 0 ) ， 1 0 z 舻钟 t h e no u rm a i nr e s u l ti nt h i sc h a p t e ri s ： t h e o r e m5 1 入l ( q ；c ) 入1 ( q ； ) ，w h e r e 入l ( q ；c ) d e n o t e st h ef i r s t e i g e n v a l u eo f ( 2 ) w i t hr e s p e c tt oq a n dc ( z ) ，a 1 ( q + ；h ) d e n o t e st h ef i r s te i g e n - v a l u eo f ( 2 ) w i t hr e s p e c tt oq + a n d 九( z ) t h i sr e s u l tc a nb eg e n e r a l i z e da p p r o p r i a t e l yt oo t h e rt y p ee q u a t i o n s f o r m o r ed e t a i l s r e a d e r sc a nt u r nt oc h a p t e rf i v e c h a p t e rs i xi n v e s t i g a t e st h ef o l l o w i n gi n i t i a la n db o u n d a r yp a r a b o l i cp r o b - l e mi n v o l v i n gp l a p l a c i a n ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) 0 f l ( o ，t ) ， ( 3 ) o q w h e r eqi sas m o o t hb o u n d e dd o m a i ni n p ，佗2 ，1 p 仃，p 一1 一 ，、l， 矿 0 i i 钆咖 u i i i l 加”们 一 霸 8 t，i u u u ，-_j，、_-一 k e yw o r d s ：p - l a p l a c eo p e r a t 。r ，b r u n n m i n k o w s k i i n e q u a l i t y , i s o p e r i m e t r i c m e q u a l i t y , r e a r r a n g e m e n to ff u n c t i o n ，g l o b a ls o l u t i o n i i 矩增 h 强 砒 睥诚姊 小dm 仉叭，【rl 烈仍喊 i c a v 油m n 玎 g 鼢扮 h q蚓沁 e ， e娘m e 旧k煳渤)l“k州咖m 如蝴岖 t k 咖 l 谂此工谂砒 6 _ 1 1 ，_ 、一地眺 i l 悯 弛帆 2 ， 侮吗叩吣 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：胡绎磊 翔| q 年譬 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 月斗日 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在z年解密后适用本授权书 2 、不保密彤 ( 请在以上相应方框内打。 ) 8 9 7 印 带款 p l a p l a c e 方程正解的性态研究 1 前言 1 6 7 6 年莱布尼茨第一次提出“微分方程”这个数学名词数学 家们并不是自觉地创立微分方程的，而是当数学家运用数学的知识 去研究几何学、力学、物理学中的问题时，微分方程才大量地涌现 出来微分方程是连接数学与自然科学乃至社会科学的重要桥梁 它既吸收数学各个分支的成果又带动数学各个分支的发展，是一门 综合性颇强的数学分支偏微分方程诞生于1 8 世纪，发展与壮大于 1 9 ，2 0 世纪偏微分方程已经由研究来源于物理与几何的问题，发展 到一个独立的数学分支，内容庞大，方法多样它不仅讨论那些根 植于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题，还在解决 这些问题的同时发展了现代数学的许多工具，促使数学需要在函数 论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各个方面 的发展1 9 9 0 年，美国国家委员会在1 9 8 4 年戴维斯报告的基础上， 又发表了( ( 振兴美国数学一9 0 年代的计划的报告报告在分析了 1 9 8 4 年报告执行情况的基础上，着重阐述了数学科学近期内取得的 成就及发展前景，其中“偏微分方程的新进展力就被列为近期发展 的2 7 个机会之首偏微分方程己经发展成为数学的中心学科之一， 并且将继续成为数学的中心 近几十年来，偏微分方程的研究，特别是“非线性方程力的研 究发展蓬勃本文主要讨论的是含拟线性p l a p l a c e 算子的椭圆和抛 物方程解的性态p l a p l a c e 算子是指p u = d i v ( 1 v u p v u ) ，其中 1 p 2 和p 2 时它们分别对应的是膨胀流体和拟塑性 流体故含p l a p l a c e 算子的方程决定了流体的流动p - l a p l a c e 算子 还出现在穿过多孔介质的流体( p = ；) ，非线性弹性学0 2 ) 和冰 川学( p ( 1 ，鲁】) 的研究当中由此可见它不仅出现在数学领域中，还 大量地出现于物理领域里故不仅在数学理论上需要研究它，还有 流体力学理论要研究它，甚至于几何研究方面0 之2 ) 也要研究它 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 研究这个算子不仅有助于我们理解退化椭圆算子，还有助于拓广这 个算子应用的广度，加深此算子的应用深度关于这个算子的详细 背景材料和应用可参考文献【4 0 】和【7 8 】 与这个算子相关的研究有很多，本文侧重于探讨含这个算子的 方程解的性态第3 章研究如下椭圆方程的边值问题 瞄m | 口飞 z q z q ，( i i 1 ) z a q 其中0 0 z q ，( 1 1 3 ) i u = 0 z 御 其中0 p = 一 h ，ii-j【1_， p l a p l a c e 方程正解的性态研究 则本章的主要结论可叙述为 定理4 2 1 1 若u ( z ) 是问题( 1 1 1 ) 的解，则对于任意的k 口+ 1 有 u k ( z ) 如c ( q ，p ，q ) 嚣，( n ) 以及 搿u ( 。) c ( q ， 一c r p , 2 - ( n ) 其中c ( q ，p ，q ) = 厶。胪( z ) 如l l 驯嚣( n 。) ，c ( q ，q ) = 搿 ( z ) 川圳群- ( n ) ， a p ，t 一( 1 砷- i - q 一) n k p + + p _ ( n ( p n - - - p ) l - - 。q ) ，2 = 面簧并且上面两式中的等号成立 当且仅当q 是一个球 此文采用的证明技巧是s c h w a r z 对称重排方法证明结论的关键 与难点在于f a b e r - k r a h n 型不等式和c h i t i 型比较定理的推导作为 我们的等周不等式的一个应用，我们得到了解的最佳上界估计，与 此同时我们还推出了在一定条件下，解的渐近性态，这两个结论可 表述为 定理4 2 1 3 设u ( x ) 为问题( 1 1 1 ) 的唯一解则 则邪 南 嘲 且等号仅在q 为球时才可能成立 推论4 2 1 4 设u ( z ) 为方程( 1 1 1 ) 的唯一解如果吲 0 等价的结论，其中仰( 名) = h p z z ，p 表示 p _ l a p l 黜算子，入1 ，pa ) 拳妒嚣f ( i v 妒l p + p 出) 从这可以看出估 计方程的第一特征值的下界是很有意义的 设q + 是q 的s c h w a r z 对称重排，见是q + 的半径，u n 是舻中单 位球的体积令q = e s 8 s u p 。c ( x ) ，选取r 满足q ( 殿一r n ) = 厶c ( x ) d x 定义函数h ( x ) 为 f o z b r ( o ) ， 九( z ) = qz q + 研( o ) ， 【o z 舻q 我们用函数重排技巧得到了如下定理 定理5 1 , x l ( q ；c ) 入1 ( q ； ) ，其中入1 ( q ；c ) 表示问题( 1 1 6 ) 相应 于q 和c ( z ) 的第特征值，而入1 ( q 。；h ) 表示问题( 1 1 6 ) 相应于q + 和 ( z ) 的第一特征值 此结论为判定能否对所考虑的方程利用极值原理提供了有利参 考这一结果可以作适当的推广，详情见本章的具体内容 第6 章考虑抛物p l a p l a c e 方程初边值问题 i t 上t a pu = t q ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， u ( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) ，( 1 1 7 ) lt ( z ，0 ) = 均( o ) 0 ， z q 其中q 是舻上的有界光滑区域， n 2 ，1 p n ，p 一1 0 ， 总有u ( z ，t ) m ：其中u o c ( q ) 需要特别指出是，在整篇文章中，c 表示正常数，它们在不同 行和段落可以不同，但都是代表与函数u ( z ) 无关的正常数 7 p l a p l a c e 方程正解的性态研究 2 1 1h 6 1 d e r 空间 2 预备知识 2 1两个空间的介绍 我们引进h s l d e r 连续的概念，在某种意义下，可将它看成是分 数次微商 定义1 设qc 肝，u ( z ) 是定义于q 上的函数，黝q 如果对于 0 o t 1 ， 吆啪】_ s 御u p 背x 0 o o ，$ ni z l 一 则称u 在x 0 点具有指数为q 的h s l d e r 连续性，吆陋；q 称为“在x 0 点关于q 的口次h s l d e r 系数在上述定义中，如果口= 1 ，则称u 在 z o 点l i p s c h i t z 连续 对于正整数k ，我们以c 奄( 孬) = c 卸( 孬) 表示在豆上k 次连续可微 的函数组成的空间相应于h s l d e r 连续，我们也引入一类空间，通 常称为h s l d e r 空间 对于0 口1 ，首先引入以下半模 【u 】0 ，0 ：n = 【u 】o ：n = s u pi u ( z ) i ， m o 川n = m 卵= s u p 月引u ；q 1 ， x o e l 2 。 0 n = n = 吵u k ， i v l = k 【叫t a n = 【d 口词q ；n ， v l = k 其中k 为正整数，u = ( u l ，砚，) 为多重指标，仇o ( i = 1 ，2 ，仃) ， m = 塾眺= 宰 湖南9 1 i 范大学2 0 1 0 届博士学位论文 为简单起见，在以后我们以【d 知u 】卵表示f d t ，u 】神 v l = k 定义2 以c 知，a ( f i ) ( o q 1 ) 表示c 七( 豆) 中满足【u k 弼n o 。的所有函 数组成的空间，并称其为h s l d e r 空间 在c k ( 豆) 中引入范数 七 n = 【让k ， ( 2 1 1 1 ) m = o 在伊，口( 竭( o a 1 ) 中引入范数 u f 七，口；n = i 牡i 七；n + 阻j 七，q n ( 2 1 1 2 ) 不难验证c 知( 豆) 和c k , a ( 孬) 中的函数分别按( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 1 2 ) 的 方式赋以范数后都是b a n a c h 空间 2 1 2 整数次的s o b o l e v 空间w m ，p ( a ) 设qci f 为一开域对任何整数仇0 ，任意实数p ，l p 0 0 ， 记 i 矿m 护( q ) = u ：d 。 l p ( q ) ，l a i r n ， 其中q ：( n 。，) 为整指标，l a l ：壹l 口。i ，d 口u 表示u 的。阶弱( 或 t = 1 强) 导数对于u w m 伊( q ) ，定义范数 l i v l l w - ，p ( n ) = n = 唧= 1 l i d 。钉p qj ， i i ”j i o ，p 舯：( j 让( z ) i p 出) ；， u l m 。 如1 p 噔卫1 ) i，p 舯= ( j 让( z ) i p 出) ；，如 】- 的测度相同的同心球 1 3 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 2 2 2 函数重排的性质 前- d 节我们已经对函数的重排的定义作了介绍，下面我们介 绍其以下几个性质对性质的把握既有助于加强我们对于函数重排 技巧的理解，也为我们在以下的章节中更好地利用重排技巧作好铺 执 = 土二 性质1 让和让+ 具有相同的分布函数 性质2 对于任意的k 0 ，有 ，+ | “( z ) f 奄d a = i 让( s ) i 七, i s 这是因为水平集 s 0 ，也( s ) ) 恰好就是端点为0 和p ( ) 的区 间且上式的两边都等于f o t p d ( 一p ( ) ) 性质3 e s s s u p 1 札i = “。( o + ) ， 性质4 u 和u 。具有相同的分布函数 由于矿是一个从俨到 0 ，+ 】的函数，且它的水平集 z 册： 矿( z ) ) 是与i 钍l 的水平集 z q ：i u ( z ) i ) 的测度相同的同心 球换句话说，矿是一个与让具有相同的分布函数的正的球面对称 函数 性质5 对任意的k 0 ，有： ， l u ( z ) i 七d a = 矿( z ) 七d a ( 2 2 2 1 ) 性质6 e s s s u p = 黜s u p 矿 函数的重排与函数的光滑性有着很大的联系对水平集不与边 界相交的函数作球面重排的过程就是一个光滑化过程 性质7 【58 】当函数乱在有界开集q 的闭包豆上连续，在边界触 为零时，矿连续，且它的连续模比u 的连续模要小 性质8 1 5 0 当函数缸在q 上l i p s c h i t z 连续，且在弛为零时，则 t 的l i p s c h i t z 常数不超过u 的l i p s c h i t z 常数 1 4 p l a p l a c e 方程正解的性态研究 性质9 【5 5 】设q 为毋中的一个区域，函数u 在其边界为0 ，则它 的d i r i c h l e t 积分比它的重排的积分大即如果u w 1 炉( q ) 且u 在硼 为0 ，则u + w 1 ，p ( 绀) ，且下列的不等式成立 上iv 卵如上。i v 酬( 2 2 2 - 2 ) 等号成立当且仅当q 是舻中的球 感兴趣的读者也可以在【6 1 】和【8 8 】中看到此性质的详细的证明 除了上面的不等式外，重排还得出了很多与积分有关的其它不 等式，如下列的两个著名的定理 性质1 0 ( h a r d y 和l i t t l e w o o d 定理) 设u 和u 是定义在研上的 可测子集q 上的实值可测函数，则 加厂以s 炒( s ) 如小州州z ( 2 2 2 - 3 ) 特别地， ，m e a s b _ l u d a t ( s ) d s ，( 2 2 2 4 ) jbo0 其中b 是q 的一个可测子集 性质1 1 【5 6 】设m ，q ，p 都是实数，且0 0 ；设，g 是属于空间驴( 【o ，m 】) 的实函数如果，和g 的单调递减重排满足 下面的不等式： 则 z 5 ，+ 。( t ) d t ! ；z 5 9 + 。( 亡) d t ，s 【0 ，j i 石1 ， z 0 肘广妪j 厂0 m 厂出- ， 1 5 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 2 3 几个基本定义 设qc 舻是有界开区域考虑椭圆型方程的边值问题 b l u 让= ：f 9 ( ( x z , ) u ，l 二e1 2 , c 3 q ( 2 3 - 1 ) b t = 9 ( z ) ， o 、。 其中一l 是q 上的一致椭圆算子，且 址一嘉咖 v u ) 袅讹印毗z 呱 b u ：q 尝+ 触，z 锄 定义1 ( 上、下解) 西c 2 ( 孬) 叫做( 2 3 - 1 ) 的上解，若 己瓦，( z ，_ ) ，z q ， j e i 百9 ( z ) ， z a q 笪c 2 ( 瓦) 叫做( 2 3 - 1 ) 的下解，若 l u ，( z ，笪) ， b u 9 ( z ) ， 定义2 ( o n 伊) 设qc 形是有界开区域，锄为其边界若 对每点黝勰，存在一个邻域0 和一个从0 到b 。( o ) c 田的变换 妒：妒( z ) = y ，满足 妒( d ) ，妒- l ( b l ( 0 ) ) ， 妒( qn0 ) = b 产( o ) = b t ( o ) n o ， 妒( a qn0 ) = b i ( o ) n = o ) ， 则说加伊若妒和妒一1 属于c ，则说抛c 定义3 ( 下半连续性) 设，：eh ，x 0 e 若，( 跏) l i mi n f ，( z ) ， 则称( x ) 在点x o ( 关于e ) 是下半连续函数若，在e 的每一点都下 半连续，则称，是e 上的下半连续函数 1 6 p l a p l a c e 方程正解的性态研究 3 解的能量积分的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 3 1 引言和主要定理 这一节我们的目的是探讨含p - l a p l a c e 算子的椭圆方程解的能量 积分的b r u n n - m i n k o w s l 【i 不等式 f 一。i u “v ：了u 乞ii 芝1 让i 死k 。3 1 1 ， 【 牡= 0i n o k ， 其中p 1 ，0 1 对于任 意的t 【0 ，1 】，下面的不等式成立： 入一；( ( 1 一t ) k o + t k l ) ( 1 一t p , 一t ( k o ) + 入一；( 甄) ( 3 1 7 ) s a k a g u c h i 在【9 1 】中证明了( 3 1 6 ) 的下确界可由某些钆叼，p ( ) 的函数达到，且这种函数也是下列方程的弱解： f d i v ( i v u l p 一2 v u ) = a ( k ) i 让r 2 让i nk ， 。o 流k ，( 3 1 - 8 ) 【 t = 0i no k 如果也被规范化为厶i u l p d x = 1 ，则a ( ) = 厶 v u l p d x 而此时 定理a 意味着关于( 3 1 8 ) 的解的能量积分a ( ) = i v u p d x 满足 b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 本章中，我们将其作更进一步地扩展，我们证明了含另一类算 子的方程( 含p - l a p l a c e 算子的方程) 的解的能量积分满足一个b r u n n - m i n k o w s l 【i 不等式，而且我们不要求此凸体的边界一定是伊的我 们的结论如下： 定理3 1 设凸区域，k 1 舻，一k o ，一k l 肛，t 【0 ，1 】且q = 佗+ 2 m 业- u - i ，则( 3 1 3 ) 式所定义的能量积分e ( k ) 满足b r u n n - m i n k o w s l ( i 不