（计算数学专业论文）多元样条空间的奇异性条件及插值适定性.pdf

摘要 样条函数作为函数逼近论的一个重要分支，己得到了迅速的发展和广泛的 应用。样条函数，就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数。一元样条函 数已经建立了非常完善的理论体系。八十年代起，样条函数的研究开始转向多 元情形。虽然多元样条函数在思想上是一元样条函数的推广，但它比一元样条 函数困难得多、复杂得多，这不仅仅是因为区域的多维性及多元函数区域上的 复杂性，而且多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的拓扑性质外，还紧密地 依赖于剖分的几何性质，其中最著名的例子就是m o r g a n s c o t t 剖分。 本文从多元样条函数的协调方程出发，运用罗钟铉教授提出的多项式环上 的素模中的生成基理论和方法，结合m a t h e m a t i c a 软件环境作了一些研究： 1 对田( 馈) 空间的奇异性条件进行讨论，得到了该空间奇异的一般性代数型 条件，并给出了该空间奇异时的实用的几何型奇异判别条件。 2 对熨空间的i 型剖分的插值适定性进行了讨论，并给出相应的例子。 3 利用一元算法对文 1 中的引理进行了机械化证明。 关键词：多元样条函数光滑余因子g r o b 鹏r 基数学机械化 生成基m a t h e m a tic a 软件m o r g a n - s c o t t 剖分插值适定性 a b s t r a c t b e c a u s et h es t r u c t u r eo fm u l t i v a r i a t es p l i n es p a c en o to n l yd e p e n d so nt h e t o p o l o g yc h a r a c t e ro fp a r t i t i o n ，b u to n l yt h eg e o m e t r yc h a r a c t e r o fp a r t i t i o n ，s o m e m u l t i v a r i a t es p l i n es p a c e sa r es i n g u l a r i t y t h i sp a p e rp r o c e e df r o mc o n f o r m a l i t y e q u a t i o n ，a p p l yg e n e r a t o r b a s i s a l g o r i t h m o fm o d u l ei n r i n g o fp o l y n o m i a l ， c a l c u l a t eo u t s m o o t h i n g c o f a c t o ro fs i m i l a r m o r g a n - s c o t tp a r t i t i o ns p a c e i n m a t h e m a t i c as o f t w a r ee n v i r o n m e n t t h em a i nw o r ko ft h i s t h e s i sc a nb e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 f r o m t h i s ，b yd i s c u s s i n gt h es i n g u l a r i t yo f t h i ss p a c e ，g e tt h eg e n e r a la l g e b r a i c c o n d i t i o nw h e nt h i s s p a c e i s s i n g u l a r i t y f i n a l l y ，t w o k i n d so f a p p l i e d g e o m e t r yd i s t i n g u i s h i n g c o n d i t i o na r e g i v e n w h e nt h i s s p l i n es p a c e i s s i n g u l a r i t y 2 d i s c u s st h ei n t e r p o l a t i o np r o p e r l yp o s e dp r o b l e mo fi t y p ep a r t i t i o ni n 剐 s p a c e ，a n dg i v et w oe x a m p l e s 3 b ya p p l y i n gt h ea l g o r i t h m1 ，p r o v et h el e m m a i nl i t e r a t u r e 【1 k e y w o r d s ：m uitiv a ria t e s p i in e s s m o o t hi n g c o f a c t or ，m o r g a n s c o t t p a r t i t i o n ，g r 6 b n e r b a s is m a t h e m a t ic a im e c h a n iz a t i o n g e n e r a t orh a s is 。ln t e r p o ia t i o np r o p e r i yp o s e dpr o b ie m n 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 1 引言 多元样条的研究至今约有三十多年，取得了长足的发展和众多的研究成果。 目前在国际上被大家所公认的三大研究流派，b o x 样条方法、b 一网方法以及光 滑余因子方法。其中王仁宏教授创立的光滑余因子法【2 h 7 】沟通了多元样条与代数 问题的等价转换关系，为用代数方法研究多元多项式样条提供了条件。在此框架 下，王及他的合作者对多元样条函数空间进行了深入的研究，取得了一系列研究 成果，在多元多项式样条空间、多元有理插值样条等研究方面做了大量的研究工 作，并有中英文著书出版。 多元多项式样条空间的结构除依赖剖分的拓扑性质外，还紧密地依赖于剖分 的几何性质，其中最著名的例子是m o r g a n - s c o t t 剖分上的斟样条空间。m o r g a n - - s c o t t 于上世纪7 0 年代在他的手稿中发现了如图1 1 所示的剖分上的分片二 次具有一阶光滑度的样条函数空间的维数严重依赖于剖分的几何结构。这说明某 些样条函数空间存在着奇异性，使得样条函数的研究变得十分复杂，而且维数越 高，困难越大。 a b c 图1 1m o r g a n - - s c o t t 刑分 f i g 1 1m o r g e m - s c , o t tp a r t i 畦o n 从多元样条空间的维数不仅依赖于剖分的拓扑结构而且严重依赖于它的几 何结构来看，多元样条理论的研究又是属于( 构造性) 代数几何研究领域。纵观 目前国内外此领域的研究表明，多元样条理论的研究在以下的几个方面尚待进一 步的探讨：多元样条空间维数的遗留问题，如任意三角剖分上s 1 ( a ) 和鹾( ) 空 间的奇异性问题；多元样条函数的插值问题。虽然目前有些文献针对某些具体对 象讨论这一方面的问题【7 】，但离根本上解决多元样条函数的插值适定性问题还有 一定距离，多元样条的插值适定性等价地导致更为深刻的代数几何研究分支一分 片代数曲线论。其中的核心是需要建立分片代数曲线的b e z o u t 型、r i e m a n n r o c h 型定理等关键的结论。在此研究方向已有一些基础性工作【e l 唧：多元样条函数的 计算。由于至今未见到适合任意剖分上多元样条函数的通用的和有效的计算手 段，致使从宏观上多元样条在实际工程应用中有一定的局限性。 历史上，很多学者如g s t r a n g 【l u 】，j m o r g a n r s c o t t 【l ”，l l s c h u m a k e r 【1 2 h 1 4 1 ，p a l f e l d 1 2 】【1 3 1 ，b p i p e r 1 4 1 ，l j b i l l e r a p l 】口2 】以及王仁宏 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 等在多元样条空间的维数方面做了大量的研究工作并取得了较好进展。迄今具有 一定代表性的结果p a l f e l d l l s c h u m a k e r 1 3 1 和王仁宏，卢旭光【1 刀分别采 用不同的方法得到的关于空间甜( ) ( 七4 z + 1 ) 的维数结果，并p a l f e l d ，1 3 p i p e r l - l s c h u m a k e r “卅将有关结果推广到空间岛( ) 情形。王仁宏等在其专 著中提出了s l ( a ) 空间不存在奇异性的猜想。 从m o r g a n - - s c o t t 剖分上的s ：( ) 空间的维数奇异性表明，多元样条空间的 维数不仅和剖分的拓扑结构有关而且还和剖分的几何结构有着密切联系。很多学 者对s ：( 。) 空间开展了较为细致的研究，如施锡泉【l8 】结合p a s c a l 定理给出了 维数为7 时充要条件的几何意义并将相应结果推广到多维情形，杜宏【3 9 】从射影 几何观点给出了碰( 。) 空间奇异的另一种形式的充分必要条件。 从光滑余因子方法的观点，任意三角剖分上的二元样条函数空间以及多元有 理插值样条的构造，本质上求解相应剖分上的协调方程组一多项式环上齐次代数 方程组，其解构成定义在环上的模。本文第一作者通过定义模中的约化准则给 出了求解模中生成基的机械化方法。由于该方法获得的一个内网点处的协调方程 的生成基由若干个一次和零次的模中元素所构成，因此对于研究多元样条函数空 间带来很好的便利条件。本文就是基于模中生成基方法着重研究多元样条函数的 奇异性以及多元样条函数的插值问题。 本篇论文从多元样条空间的协调方程出发，运用罗钟铉教授提出的多项式环 a c 图1 2 剖分 f i g 1 2p a r t i t i o n 啦 上的素模中的生成基理论和方法【l 】做了一些研究工作：利用多项式环中模的生 成基算法求出光滑余因子，并在m a t h e m a t i c a 软件环境进行机械化实现。由此讨 论了如图1 2 的剖分上的分片三次具有二阶光滑度的样条函数空间的奇异性条 2 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 件，并给出了该空间奇异时的两个实用的几何型奇异判断条件。 利用二元的生成基算法，给出讨论i 型剖分尉空间的插值适定性的普遍方 法，并给出两个例子，讨论了册= 聆= 2 和研= 3 ，疗= 2 两种情况的相应样条空 间的插值适定点组的选取问题。 在最后，对文 1 中的引理给出了机械化证明。 模中生成基的算法是将样条函数空间的协调方程在多项式环中进行讨论得 到的，本文利用该方法对空间奇异性，插值适定性以及机械化证明进行了讨论，可 见文 1 中模的生成基算法对于讨论多元样条空间有很强的应用价值。 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 2 综述 本章着重介绍了多元样条函数理论【2 h 6 1 、白j 6 m 基理论 1 9 【2 0 1 和数学机械 化 2 1 思想。 多元样条函数理论主要介绍光滑余因子方法。 g r o b n e r 基方法首先是由b u c h b e r g e r 在1 9 6 5 年提出，从1 9 7 6 年起，g r o b n e r 基方法被进一步完善、推广，应用于各种实际计算问题。被广泛应用于多元多 项式方程组求解，几何定理机械化证明，多元多项式齐次方程组合生成集求解 等。为代数方程求解提供了有力的算法工具。 数学机械化是由当代著名数学家吴文俊先生创立的，运用机器来证明定理， 使得许多数学问题大大简化。 在文 1 的基础上，将生成基的方法应用是本文的主要工作。 2 1 多元样条函数理论 2 1 1 多元样条函数概述1 样条函数，就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数。如果在每段或 每片上定义的函数都是多项式，则称为多项式样条函数。 多元样条函数的研究有着深刻的实际背景和重要的理论意义，随着计算机 和计算机技术的发展，样条函数成为许多实际问题的工具，广泛的应用于计算 机辅助几何设计( c a g d ) ，曲线、曲面几何造型，计算机辅助几何设计与制造 ( c a d c a m ) 等诸多领域。此外，在散乱数据插值以及曲面拟合中，多元样条也有 着广泛的应用。 目前多元样条函数的研究大体上有三种方法。一种是经典的代数几何方法 亦称光滑余因子方法【2 】，这一方法是王仁宏在1 9 7 5 年引进的，之后王仁宏、 s h u m a r k e r 、c h u i 等学者用这种方法进行了大量的研究工作，得到了丰富的结 果。此方法深刻的刻划了多元样条函数光滑连接的内在本质，并建立了光滑连 接所应满足的协调方程，进而使求样条空间的维数和基底等问题归结为求解协 调方程的问题。此方法对样条空间的结构研究有重大意义。其二是利用单纯形 上多元多项式的b e z i e r 网表示，简称b 一网方法。其三是投影算子法，亦称b o x 样条法，由c u r r y 和s c h e o n b e r g 建立的，本质是研究高维多面体在低维多面体 空间上的投影测度函数 本文着重讲述光滑余因子方法。 2 1 2 光滑余因子方法 光滑余因子方法亦称代数几何方法。为叙述方便，首先引入一些常用记号。 用大写字母x ，y ，z ，表示欧氏空间r 中的向量，用小写字母，m 等表示它 们的分量，即z = o l ，x 2 ，x 。) e r ，】，= ( m ，儿，儿) e r 。，x ，y r 5 的内积为 毒 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 x 】，= ( x ，n = 工。m h 若集合a c r 。，则 ， 爿】，v o l ，【棚分别表示a 的线性生成，闭凸包，s 维勒贝 格测度函数。 对分量是非负整数的向量口，卢，r ”，则记 蚓= 吼+ 口2 + + ，x 呸工产垮k o t 4 ， a f - 口11 口21 口。! 集合五= q f 巴碍表示次数不超过k 的多项式空间。 h 业 设d 是平面上一个单连通区域，有限条不可约代数曲线将区域d 分割成有 限个子区域，每一个这样的子区域称为一个胞腔。形成胞腔边界的曲线段称为 网线，网线之间的交点称为网点，所有胞腔，网线和网点的集合称为区域d 的一 个剖分，记为厶，包含一个网点尹的所有胞腔的并集称为网点p 的关联区域。 定义2 1 1 位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点；如果一条 网线的内部属于区域d 的内部，则称此网线为内网线，否则称为边界网线。 设为区域d 的一个剖分，d j ( 1 i t ) 是的所有胞腔，则空间 鄙( 厶) = j c ”( d ) ，s l d , 只，1 s i s r ) 称为k 次阶样条函数空间，碟( ) 中的元素称为关于的k 次阶样条函数。 为阐述光滑余因子方法，介绍下面的b e z o u t 定理： b e z o u t 定理( 弱形式) 【2 2 】： 若阶数为m ，h 的两条直线多于r a n 个交点则它们必定有非平凡的公因式。 应用上面的定理，王仁宏在文【3 】中指出了样条函数光滑连接的内部结构，表 现为下面的定理。 定理2 1 _ 2 设j 赋( ) ，q 与d ，是剖分中的两相邻胞腔。不可约代数曲线r ： ，( x ，y ) = o 是d j 与d j 的一条公共网线，p f = s d , ，p j = s d j ，则有 a p ，= 0 ，_ y ) 】q ( x ，力 ( 1 ) 其中q ( x ，y ) b 巾+ 1 ) ，称q ( x ，) ，) 为网线r 上的光滑余因子。 5 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 设p 为a 的一个内网点，p 的关联区域，( p ) 有。个胞腔，记为 d 1 ，d 2 ，d t 与d i “的公共网线记为r j ：，( x ，y ) = o ，i = 1 ，2 ，d ，v p + 1 = d i 。 由( 1 ) 式不难得到 兰“训w 如，y 坩“：o ( 2 ) 其中q t ( x ，y ) b 巾+ 】，( 2 ) 式称为样条函数s 雕( ) 在内网点p 处的协调条件。 定理2 1 3 对给定剖分a ，存在样条函数s 鹾( ) 的充要条件是在每个内网线 上存在非零光滑余因子，且在每个内网点处满足协调条件( 2 ) 式。 所有内网点处的协调条件合称为整体协调条件。 对于一些特殊剖分，通过解协调方程容易得到样条函数空间雕( ) 的维数和 基底。对于贯穿剖分，c h u i 和王仁宏1 2 3 给出了s l ( a ) 的维数公式。 定理2 1 4 是贯穿剖分，则 d i m 雕( ) 2 叩( 七) + e 叩( 七一u - d + a ( n ) i - 1 其中 瓣舱 ， b ， 刀l o m “+ 掣时 d i m s ：( ) = ，7 ( 七) + ( 2 r a n - 1 ) r ( k 一“一1 ) + ( m - 1 ) ( n - 1 ) ( u + 1 ) 一“) + n 3 s ( 3 ，h ) + j 8 ( 4 ，“) 7 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 i i ) 当k u + u + l 时 d i m s ：( 应2 ) = 叩( ) + ( 3 m n - d v ( k 一“一1 ) + ( m 一1 ) ( ”一1 ) ( u + 1 ) ( k - u ) + m n r l ( k - 2 u 一2 ) + n 。8 ( i ，“) 不难得到 i ) 当。+ 掣时 d i m s ：( “：| ) = 叩( 七) 十上1 町( 七一 一1 ) i i ) 当k 鲥半时 d i m s ：( 豫) = 叩( 七) + 工2 叩( 七一“一1 ) 其中丘为剖分如( f = l ，2 ) 中贯穿网线个数。 2 1 3 多元样条函数的表现定理 2 1 2 节指出了多元样条函数的逐片开拓性质，这种性质使得十分便于给 出多元样条函数的表现形式。 定理2 1 _ 7 t 4 1 ( d ，a ) 中的任一样条函数s ( x ，y ) 均可唯一的表示为 s ，y ) 2 p ( x ，y ) + c 【j j 0 ，力】：+ 1 吼( x ，y ) ，y ) d( 3 ) 其中p ( x ，力b 为s ( x ，) ，) 的源胞腔上的表达式，匕表示对所有一切内网线求 和，而且当c 越过l 时恰好从d j 跨入d j ，吼( 五y ) 为r l ：i t ( 五力= 0 2 的光滑余因 子。 结合定理2 1 7 和( 2 ) 式，可建立如下定理： 定理2 1 8 对于给定的剖分和确定的流线c ，多元函数= = s ( x ，y ) 是( d ，) 中的样条函数，必须且只须( 3 ) 式和整体协调条件( 2 ) 式同时被满足： s c x ，y ) = p ( x ，y ) + c 【j ( x ，y ) 】u + + l g ，( x ，y ) o ，”d i t 。( x ，) ，q t ( 而y ) = - - o 其中彳。取遍所有内网点。 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 由多元样条函数的一般表达式，我们可以进一步考虑任意剖分下多元样条 函数插值，最佳逼近，高维数值积分以及其它一些有关的理论和应用问题。 2 2 g r o b n e r 基理论 g r o b n e r 基方法1 2 6 】。【2b 】首先是由b u c h b e r g e r 在1 9 6 5 年提出，现应用于各种 实际计算问题【2 9 i t 3 们。下具体介绍。 2 2 1 定义和符号【2 0 】 整个这一节，我们始终用k 表示一般的域，用矗表示含有单位元的交换 环，a = 七k ，x 。】或者a = r d 。，z 。】表示域k 上或环五上的h 个变元的多项式 环。 令是非负整数集合，一是给定的正整数，而，南，工。表示环r 上的n 个变 元。令集合 丁“= x ，x x ：“j 口n ，f = 1 , 2 ，聆) ， 即t ”是”个变元x 1 ，x 2 ，的幂积的集合。记x 1 “x 2 x ，= z 4 ，其中 z = ( 一，x 。) ，口= ( 口1 ，口2 ，口，) n ”。对于t ”中任两个元素x 。= x ，x ；，x ，和 x 4 = 聋x x ，定义它们的乘法为x 4 z = 岩。z ，= z 产嵋x ；t + 以x “，或者 由环r ，x ：，矗】中的乘法得到上式。 定义2 2 1 所谓盯是集合p 上的一个全序，是指对任意给定的t ”中的两个元素 x 4 和x ，下面的三个关系之一必须成立，而且只有一个成立： x 。( ，x i 、x 。= x x p 。1 9 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 ( 2 ) 对任何z 。，x 4 ，x 7et ”，如果x 。 x “。记 l p ( y ) = x “，即咖( 力表示厂的首项幂积： l c ( ) = a ，即l c ( f ) 表示，的首项系数 l t ( f ) = a l x 4 ，即i t ( f ) 表示j r 的首项。 定义2 2 6 t ”上相对x l 2 2 x 。的字典序( 1 e x i c o g r a p h i c a lo r d e r ) ，简记 为l e x ，定义如下： 对于口= ( 呸，) ，夕= ( 晟，晟) e n “，则 j 8 k x 存在1 s k s n - 1 ，使得口，= 岛，= o ，1 ，k ，和吼+ 1 反+ l ( 约定= 夕。) 若h = 2 则 1 2 2 z i 而 葺x 2 而霹 矗的次数字典序( d e g r e e1 e x i c o g r a p h i c a lo r d e r ) ， 简记为d e g l e x ，定义如下： 对于a = ( ，口。) ，夕= ( 屈，晟) n “，则 1 0 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 若月= 2 ，则 x “ 她虹x ，营 f l i l t li - 1 q = 屈， j l l i l x 8 妇x ， 或 和按字典序有 1 x 2 x ； 一x 2 x ? x ； 五x ； x ? z 2 x ? 下面，始终设a = k x l ，一，x 。 为域k 上n 变元多项式环，仃为任意给定的环4 上的一个项序，并记 盯简记为 。涉及到大小顺序都是由 决定。 定义2 2 7 对于给定的环4 中的三个多项式，g ，h 。其中g 0 ，定义，模g 一 步约化为h ，用，山 表示，当且仅当z p ( g ) 是f 中某一非零单项式x 的因予， 并且 拈，一志g 这个约化过程，就是将厂中的一个项用严格比它小的一些项的和来代替。 定义2 2 8 令f ，h ，z 。，五是环a 中的多项式，且对f = 1 , 2 ，s ，0 。令集合 f = u ，丘) ，定义，模f 约化为h ，用，与+ 厅表示，当且仅当下式成立： 厂马 皿一| l 盔= h 其中对，= 1 ，2 ，t ， f ，a 。 定义2 2 9 设多项式，a ，f = z ， e 小 0 ) 为环a 中的非零多项式的有 限集。如果r = 0 或者r 模f 不能约化，e l p 玎) ，i = l ，2 ，s 中的任何一个都不是在 r 中出现的幂积的因子，则称多项式，相对f 是既约的。进而，如果，与+ r 和r 相对f 是既约的，则称，为，相对f 的剩余或余多项式。 算法2 2 1 0 域上多变元多项式除法算法 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 输入： 厂a ，f = u ，工) 4 o ) ，项序 即j 的g r o b n e r 基必定是，的生成元集合。 定义2 2 1 5 我们说环么中的非零多项式的有限集g 是g r o b n e r 基，是指定是g 生成的理想 的g r o b n e r 基。 推论2 2 1 6 设g 是环a 中的g r o b n e r 基，则对任何f a ，山+ ，其中r 相 对g 是既约的，则r 由，和g 唯一确定。 定理2 2 1 7 域七上的多项式环a = k ，x 。】中每个非零理想都有g r o b n e r 基。 定理2 2 1 8 令a = 七k ，x 。】是域k 上九变元多项式环，集合g = 9 1 ，g ，) 爿 o ，则g 是g r o b n e r 基当且仅当对任何多项式f a ，f 模g 的余项是唯一 的。 通常，我们称厂模g 的余项为f 的正规形，用n f g ( f ) 表，或者。( ，) ，或者 f ( ，) 表示。 定义2 2 1 9 设g 是环a o ) 中的有限集，我们称约化关系“山+ ”是合流的， 如果多项式f ，g ，h 彳和，山+ g 与，与+ h ，则存在多项式r a ，使得 五与+ ，和g 与+ ，。 定理2 2 2 0 令g 是环a 、 o 中的有限集，则g 是g r o b n e r 基当且仅当约化关系 “与+ ”是合流的。 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 2 2 2g r o b n e r 基的计算【8 1 “【1 1 】 g r o b n e r 基理论在许多问题上是很有用的。常常在求解关于一个任意集f 的 问题时，首先将关于f 的问题转变成关于其g r o b n e r 基g 的问题，然后再求解。 这需要计算其g r o b r i e r 基。而g r o b n e r 基理论的关键是提出了计算g p 0 b r i e r 基的 可行算法，即提出了由理想的任何一组生成元出发，计算出该理想的g r o b n e r 基 的算法，根据目前计算机的计算能力，该算法是可以实现的。该算法是由 b u c h b e r g e r 提出并以他的名字命名的，此算法的核心引入了s 一多项式的概念。 定义2 2 2 1 ( s - 多项式) 设f ，g a 0 ) ，三= l c m ( f p ( ，) p ( g ) ) ，其中髓聊表示最小 公倍。令 跗圆。志，一志g 称多项式联 g ) 为，和g 的s 一多项( s - p o i ”。m i a 1 s ) a 易见，在多项式衰务， 和丢j g 中首项是相同的a i t l g ) 引理2 2 2 2 设多项式 ，工毫 0 ) ，且对每个i ，1 i s ，l p ( f , ) = z ，即z 的首 项幂积完全相同。令，= c 。z ，其中c 。七。如果l p ( f ) 石，则厂是s c f , ，) ，其 中i j 和1 s f ，j sj ，在域上的线性组合。 定理2 2 2 3 ( b u c h b e r g e r ) 令g 2 ( g l ，9 2 ，g 。 量a ，则g 是理想j = ( g ) 的 g r o b n e r 基当且仅当对所有i ，1 s i , j - t 有 s ( g ，g j ) o + 0 算法2 2 2 4b u c h b e r g e r 计算g r o b r i e r 基的算法 输入：f = “，正) 4 o ) ，项序 输出：g 2 g l ，g 2 ，一，g ，) ，g 是理想，正) 的g r o b n e r 基 1 4 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 初始化：g = f ，d f ：2 “z ，乃 f 乃g ) 当d f o 作 选择 f ，g e d f d f ：= d f 、“，占 s ( f ，g ) 与+ h ，i l 相对g 是既约的， 如果h 0 ，则 d f ：= d f u ， ，i v u g ) g ：= g u 辫- 定理2 2 2 5 上述b u c h b e r g e r 算法产生的g 恰为理想 的g r o b n e r 基。 我们给出了计算g r o b n e r 基的算法，但即使在序给定的情形下，g r o b n e r 基 也并不是唯一的，这由计算本身不难看出。首先，算法依赖于输入多项式的次序 输入的次序不同可导致求出的c - r o b n e r 基不同。进而，在计算s 一多项式时，是随 机地从d f 中选取多项式对，这又能导致其结果的不同。我们希望能找到与 g r o b n e r 基相关的不变量。为此，引入极小g r o b n e r 基、既约g r o b n e r 基的概念 及其性质。 定义2 2 2 6 ( 极小g r o b n e r 基) 环a 中的g r o b n e r g = 蜀，9 2 ，g ，) 小 0 ) 称为 极小的( m i n i m a l ) ，如果对每个i ，l i s t ，l c ( g 。) = l ，而且对任何i ，1 f ，j f ， 都有l p ( g ，) 不整除t p ( g j ) 引理2 2 2 7 设g = ( g x , 9 2 ，g ， 是环a 中理想，的g r o b n e r 基。如果 t p ( g ，) 旧( g j ) ，l i ，j t ，则 g l ，g j - 1g 川，g 。) 仍是1 g r o b n e r 基。 用此引理，从任何一组g ，；b h c r 基出发，不难得到极小o r o b 8 ，基。 极小g r o b n e r 基也不唯一，但它蕴含某些不变量。可由下面的命题看出。 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 命题2 2 2 8 如果g 2 g ，9 2 ，g 。) ，f = 石，工) 是环爿中理想，的相对同一项 序的两组极小g r o b n e r 基，则s = f ，而且对1 f r ，扫( ：) = l p ( g ，) ( 如需要，可将璺 和，适当的重新排列) 。 由命题2 2 。2 8 知，极小性是相对g r o b n e r 基中元素个数而言。 定义2 2 。2 9 ( 既约g r o b n e r 基) 环a 中的g r o b n e r 基g = 岛，9 2 ，g ，) 称为既约 g r o b n e r 基( r e d u c e d g r o b n e r b a s i s ) 用r g b 表示，如果对所有f ，1 s i t ，t c ( g 。) = 1 ， 而且邑相对g g f 是既约的，即对任何i ，g ，中没有非零项可被任何l p ( g j ) ，j i 除。 易见，既约g r o b n e r 基当然是极小的，但反之不对。然而，我们可由一组极小 g r o b n e r 基出发求出既约g r o b n e r 基。设g = 宕l ，9 2 ，g 。) 是环a 中的一组极小 g r o b n e r 基，考虑下边的约化过程： g ，纽。趾：屿+ 蚂，7 l l 相对是既约的， g ：啦& 卫屿+ h 2 ，也相对h 2 是既约的， 9 3 也红址= = ! 蔓屿+ 魄，相对h 3 是既约的， i 岛盥_ h + 啊，扛相对日，是既约的。 于是得到： 推论2 2 3 0 设g = 蜀，9 2 ，g 。) 是环爿中理想，的g r o b n e r 基，则上述过程得到 的h = 啊，h t ) 是理想j 的既约g r o b n e r 基。 定理2 2 3 1 ( b u c h b e r g e r ) 在环上固定项序 ，则环a 中任何个理想，相对 都有唯一的一组既约g r o b n e r 基。因此r g b ( i ) 是由确切含义的。 我们一般的求解都是运用既约白j 6 聆e ，基。 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 2 2 3 g r j 砌e l 基的应用 g r o b n e r 基方法可以被应用在判断问题fe i d e a l ( i ) ，和求解多项式系数方 程组，非线性代数方程组等方面。 2 2 3 1 理想的生成基问题 给定理想i = ，判定给定的多项式，是否属于j ? 可通过先求 的，的g r o b r i e r 基g = ( g l ，9 2 ，g 。) ，如果fe i 当且仅当，与+ o 来进行判断。 2 ，2 3 2 解多项式方程问题 我们知道，对于多项式系数的方程组或非线性代数方程组，本身求解很困 难。通过求解g r o b n e r 基，可按某种排序方式消元，达到求解方程的目的。 关于g r o b n e r 基的研究成果颇丰，详细情况可参阅有关文献【1 6 卜【2 0 】【2 3 h 2 6 1 。 2 3 数学机械化简介 在目前以计算机为标志的信息革命时代。数学应该有什么样的创新与之相 适应? 基于这种考虑，当代著名数学家吴文俊先生创立了数学机械化。 所谓机械化，无非是刻板化和规格化机械化的动作，由于简单刻板，因而 可阻让机器来实现。数学机械化正像用机器代替体力劳动一样，是用机器代替 脑力劳动，特别是电子计算机的出现和发展，可用计算机代替部分脑力劳动。因 此，数学机械化就是数学研究工作的计算机化。初等几何定理证明是典型的脑 力劳动，而吴文俊的数学机械化正是以此为突破口的几何定理的证明经过了 几个阶段的发展过程一一从e u c l i d ，d e s c a r t e s 到h i l b e r t 按照通常的e u c l i d 模式，几何定理的证明，是依据公理系统，按逻辑规则演绎的进行的，每一个别 的定量，其证明只能适合这一个别的定理。证明没有通用的思想指导，需要有高 度的聪明技巧与迂回曲折的推理才能获得往往表面看来极其平凡的定理，其 证明极其困难。d e s c a r t e s 开创了可用计算来证明几何定理的局面。而h i l b e r t 则指出了几何定理可以不是逐一证明，而是一类定理可以用统一的同一方法一 起证明。这一统一的方法，在引入适当的坐标后，也可仅仅用计算来完成，而计 算的过程，则可依事先确定的步骤，即算法。按步求得。应该指出的是，并没有先 验的理由来保证这样的算法必然存在，算法的存在与否，其本身也需要加以证 明。在这样的算法存在时，则这一类定理是可以机械化的而对于几何定理机 器证明可分成三个主要步骤：第一步，从几何的公理系统出发，引进数系统与 1 7 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 坐标系统，使任意几何定理的证明问题成为纯代数问题。第二步，将几何定理假 设部分的代数关系式进行整理，然后依确定后验证定理终结部分的代数关系式 是否可以从假设部分已整理成序的代数关系中推出。第三步，依据第二步中的 确定步骤编成程序，并在计算机上实施，以及给出定理是否成立的最后结论。实 际上，这是吴先生给出的实现机器证明的一个行之有效的方法，被称为“吴文俊 消元法”或“吴方法”。 吴文俊方法的提出，给定理机器证明的研究带来勃勃生机。吴先生的机械 化方法基于两个基本定理：一是李特原理，二是零点分解定理。而这两个定理 可以推广到微分多项式组，因此用吴方法也可实现初等微分几何定理的机械化 证明。初等微分几何中凡可用微分多项式等式关系来表达的定理的证明可以机 械化。吴方法虽局限于用多项式表达的定理，但对于广泛使用的超越函数，往往 可用多项式来代替，因而对这类超越函数仍可用吴方法加以解决。吴先生还研 究了带不等式关系的情形，发现了一种证明不等式的方法。吴文俊先生对于数 学机械化做了极其深刻的研究，进行了具有开创性的工作，也取得了显著的成 果。吴方法的成功使一度冷落的几何定理机器证明的研究活跃起来。用代数方 法证明几何定理的研究方向受到重视，新的代数方法接连出现。吴先生不仅建 立了数学机械化证明的基础而且扩张成广泛的数学机械化纲领，解决了一系 列理论及实际问题。用几何方法研究几何定理可读证明也得到发展。在吴先生 的指导下，其他人也做了大量的工作。例如提出消点思想，此方法既不以坐标为 基础，也不用于传统的综合方法，而是一个以几何不变量为工具，把几何、代数、 逻辑和人工智能方法结合起来所形成的开放体系。运用此方法已在微机上得到 数以百计的几何定理的证明，也得到一批非欧几何新定理，这也可以说是吴先 生数学机械化思想的光辉。总起来说，数学机械化主要有两个步骤：一是算法 化，数学的机械化有赖于计算机的使用，数学要实现机械化就必须适当的变革 自己以适应计算机的有限性，离散性，特别是算法性的特点：二是机械化，即在 计算机上有效的实现有关算法。在这一步有效性至关重要，只有有效的软件才 能真正用来解决实际问题。已机械化数学为基础的软件可以实现人力难以胜任 的繁琐的计算与推理功能，从而为数学研究提供新工具，为数学在高科技中的 应用提供有力手段。数学机械化过程应该是选择一些既有意义又可以有效算法 化的问题类，加以解决，变传统的一题一证为一类一证。而对于数学机械化的研 究目前仅仅处于起步阶段，主要局限于代数几何、微分几何等领域，如何扩大数 学机械化的范围，将是今后需要长期探索的问题。 吴文俊数学机械化思想，不仅为数学机械化奠定了坚实的基础，而且使数 学面貌大为改观，使我国在该领域处于世界损先地位。 本论文运用了这种思想，将多项式的一些问题简单化，并用机器进行了证 明。数学机械化现已有了很多的研究成果。详细材料可参阅文献【3 l 】“【3 3 】。 2 4 m o r g a n s c o t t 剖分问题 如图2 4 所示即为m o r g a n s c o t t 剖分，设该剖分为埘。施锡泉1 8 1 给出 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 了具有一般性几何意义的奇异性充分必要条件：d 洫砖( a 。) = 7 的充分必要条件 为爿口，b b ，c o 三条线共点。否则，m m 碰( m ) = 6 。 b a m 。r 暑锄一5 c o t tp 缸t i t i o n 上毒 图2 z f i g2 2 c 杜宏【3 4 1 也从代数几何观点讨论这个问题，得到同施锡泉等价的结果： a i m s ：( a ) = 7 的充分必要条件为如果将f ( x ，y ) = 0 ( i = 1 ，2 ，6 ) 看作射影空间 中的点，那么这6 个点落在射影空间中的二次不可约代数曲线上。如图2 5 是 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 p a s c a l 定理，不难从这一结论得到施锡泉所获得的奇异性几何条件，见图2 5 。 可以看到，杜宏利用射影几何方法得到的结果和施锡泉得到的结果相同。 但由于杜宏所采用的射影几何方法的关键是要建立拟内网线( 剖分网线的一个 端点是边界点且非贯穿线) 上的光滑余因子和所有内网线上的光滑余因子之间 的一一对应映射关系，这一点却很难推广到研究一般剖分上任意样条函数空间 的结构研究中。 文 1 运用生成基的方法，也对。的奇异性的代数条件进行了讨论，也得 到了等价的结果，详见第三章。 多元样条空间的奇异性条件及插值适定性 3 q x 】m 中的模的生成基理论介绍 罗钟铉教授提出将多元样条函数的协调方程转化为多项式环上的代数方 程组来讨论，研究了多项式换上的素模中的生成基理