（应用数学专业论文）非线性边界条件下粘弹性梁方程的整体动力学.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文y - 7 8 8 4 哇1 非线性边界条件下粘弹性粱方程的整体动力学 摘要 目前，一方面，由于实际问题及其它学科的推动，另一方 面，由于数学自身发展的深入，无穷维动力系统的研究已经 成为动力系统领域中重要的研究课题之一本文对固体力学 中提出的非线性粘弹性梁方程进行研究，给出了该方程在非 线性边界条件下整体解的存在性及渐近性质具体研究内容 如下： ( 1 ) 首先，对固体力学中某些无穷维动力系统的研究现状及研 究方法进行了总结与评述，尤其是对无穷维动力系统的门 槛一一解的存在唯一性进行了重点评述，并对系统能量的 指数衰减进行了总结 ( 2 ) 其次，在w o i n o w s k y - k r i e g e r 提出的具轴向力效应的杆 振动模型的基础上，对于弹性梁，若同时考虑材料的粘性 效应，介质阻尼；几何非线性，物理非线性；并在弹性梁 上施加轴向载荷的作用，我们建立了一个更一般的粘弹性 梁方程 ( 3 ) 对于所建立的非线性粘弹性梁方程： 讧+ “( 4 ) + p 心( 4 ) + r i f t 一( 村( 丘卜1 1 2 如+ j ( 矗u ( 1 l h ( 1 ) 出) ) u ( 2 ) _ 0 我们利用了g a l e r k i n 方法，在非线性边界条件( a ) ： u ( o ，t ) = u ( 2 ) ( o ，= u ( 1 ) ( f ，t ) = 0 “( 3 ( f ，f ) + l a i ( 3 ( f ，t ) = ，( u ( f ，f ) ) 及初始条件； 太原理工大学硕士研究生学庄论i ： u ( o ，0 ) = u o ( z ) ，u ( z ，o ) = u l ( z ) 下给出了解的存在唯一性，及它对初值的连续依赖性，和 能量衰减的证聪同时也证明了上述方程在非线性边界条 件( b ) ： ( 0 ，t ) = u ( 2 ：( o ，f ) = 小1 ( z ，t ) = 0 “( 3 ) ( z ，t ) + 础( 3 ) ( f ，t ) = g ( i ( z ，t ) ) 下的解的存在唯一性及它对初值的连续依赖性 关键词：粘弹性梁，非线性边界，整体解，g a l e r k i n 方法， 指数衰减 i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h eg l o b a ld y n a m i c so f e l a s t i cb e a me q u a t i o nw i t h n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s a b s t r a c t a tp r e s e n t 】w i t ht h ed e v e l o p m e n to fp r a c t i c a lp r o b l e m s a n ds o m eo t h e rs c i e n c e so nt h eo n eh a n d ，a n dw i t ht h ea d - v a n c e m e n to fm a t h e m a t i c si t s e l f0 1 2t h eo t h e r t h er e s e a r c h o ni n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e m sh a sb e c o m eo n e o ft h ei m p o r t a n ts u b j e c t so fd y n a m i cs y s t e m s t h i st h e s i sp r e s e n t ss o m er e s e a r c ho nn o n l i n e a re l a s t i ci n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e m so fs o l i dm e c h a n i c sa n dw e g i v et h ep r o o fo fe x i s t e n c ea n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r u n d e rc e r t a i ni n i t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ed e t a i l sw i l l g oa sf o l l o w s ： f i r s t l y ，t h ec u r r e n ts t u d ys i t u a t i o na n dr e s e a r c hm e t h o d sa b o u tg e n e r a li n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e m s a r es u m m a r i z e da n dc o m m e n t e d p a r t i c u l a r l y ) t h et h r e s h o l do ft h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e m s - - t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s so fs o l u t i o n sh a s b e e nd i s c u s s e d m o r e o v e r ， t h ee x p o n e n t i a ld e c a yo ft h ee n e r g yi ss u m m a r i z e d s e c o n d l n o nt h eb a s i so fw o i n o w s k y - k r i e g e rb a rv i b r a i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 t i o nm o d e lw i t ha x i a lf o r c ee f f e c t ，s i m u l t a n e o u s l yc o n s l d e r i n gt h ev i s c o u se f f e c to fm a t e r i a l ；g e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t y ；p h y s i c a ln o n l i n e a r i t y ；p e r i o d i c a la x i a ll o a d s ；w es e tu p am o r eg e n e r a ln o n l i n e a re q u a t i o na b o u tv i s c o u se l a s t i c b e a m f o rt h en o n l i n e a rv i s c o l a s t i cb e a ms y s t e m ： i i 十u ( 4 ) + p 吐n ) + 咖一( 吖( 矗| ( 1 i 2 d x ) + ( 矗“1 心( 1 d z ) ) “( 2 ) = 0 b yt h ea i do fg a l e r k i nm e t h o d ，u n d e rn o n l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o n s ( a ) ： 4 ( o ，t ) = 1 l f 2 ) ( 0 t ) = “( 1 ) ( 2 ，) = 0 u ( 3 ) ( z ，t ) + 肼( 3 ( f ，t ) = f ( u ( 1 ，) ) a n du n d e ri n i t i a lc o n d i t i o n s ： 4 ( x ，0 ) = u o 扣) ，g ( x ，0 ) = “l ( z ) w ep r o v et h ee x i s t e n c e 】u n i q u e n e s so fag l o b a ls o l u t i o na n d t t l ec o n s t a n td e p e n d e n c eo f s o l u t i o na b o u tt h ei n i t i a lv a l u e m o r e o v e r ，t h ep r o o fo fe x p o n e n t i a ld e c a yo ft h ee n e r g yi s s t u d i e da sw e l l a tt h es a m et i m e ，g a l e r k i nm e t h o di sa l s o a p p l i e du n d e rt h eu p p e ri n i t i a l c o n d i t i o n sa n dn o n l i n e a r b o u n d a r yc o n d i t i o n s ( b ) ： 4 ( 0 ，t ) = 0 2 ) ( 0 ，t ) = ( 1 ) ( f ，t ) = 0 3 ) ( 1 ，t ) + p i ( 3 ( f ，t ) = 9 ( g ( 1 ，啪 t h ep r o o fo fe x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o n s t a n td e p e n d e n c e f o ri n i t i a lb o u n d a r yv a l u eo fg l o b a ls o l u t i o na r ei l l u s t r a t e d i 、 太原理工大学硕士研究生学位论文 k e yw o r d s ：v i s c o u s e l a s t i cb e a m ，n o n l i n e a rb o u n d a r y , g l o b a ls o l u t i o n ，g a l e r k i nm e t h o d ) e x p o n e n t i a ld e c a y 、 太原理工大学硕士研究生学位论文 主要符号说明 r 一实数全体； 舻一实数域上的n 维向量空间； n 一即中的开集( 如n = ( o ，1 ) 或n = r 等) ； 矗一印中开集的闭包； 怔对于任意的； g m ( n ) n 上m 阶连续可导函数空间； 护( n ) n 上p 次幂可积的实值可测函数全体； p ( n ) n 上平方可积的实值可测函数全体； 工* ( o ，t ) 一( o ，r ) 上本性有界的实值可测函数全体； 甘一h i l b e r t 空间； ( ，) 一h i l b e r t 空间工。( n ) 上的内积； w ”( n ) 一( n ) = u 及其广义导数d a u 护( n ) ( o is m ) ) ； 打“( n ) j 7 “( n ) = w m , 2 ( n ) ； l p ( 0 ，e h ) 一从( o ，? ) 到h i l b e r t 空间h 的p 函数全体； l 2 ( 0 ，t ；日) 一从( o ，t ) 到h i l b e r t 空间h 的平方可积函数全体； l * ( o ，t ；h ) 一从( o ，r ) 到h i l b e r t 空间h 的本性有界函数全体； w 1 ，。( o ，丁；y ) 一从( o ，r ) 到空间，直到一阶广义导数本性有界 函数全体； i y 。，* ( o ，t ；y ) 一一从( o ，t ) 到空间y 直到二阶广义导数本性有界 函数全体； v h 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 在这篇论文中，我们研究了非线性粘弹性梁方程( 1 1 ) 在非线性 边界条件( a ) 下解让= “( z ，t ) 的存在唯一性，解对初值的连续依赖性 和能量的指数衰减，及在非线性边界条件( b ) 下解“= u ( x ，t ) 的存在 唯一性和解对初值的连续依赖性 也+ t ( 4 ) + g t ( 4 ) + q 吐一( a f ( 矗l u ( 1 1 2 d x + n ( f ：u ( 1 ) 吐( 1 ) 如) ) u 2 ) = 0 ( 1 1 ) 并且具有初始条件： u ( 石，0 ) = u o ( x ，0 ) ，n ( z ，0 ) = 札l ( z ，0 ) ( 1 2 ) 及非线性边界条件( a ) ： “( o ，t ) = u ( 2 ( o ，t ) = u ( 1 t ) = 0 ( 1 3 ) u ( 3 ) ( f ，t ) + t l u ( 3 ) ( f ，t ) = f ( u ( t ，) ) ( 1 4 ) 非线性边界条件( b ) ： u ( o ，t ) = u ( 2 ( o ，) = 乱( 1 ( f ，) = 0 ( 1 3 ) ( 3 ( z ，t ) + 弘吐( 3 ( f ，t ) = 9 ( 6 ( 1 ，t ) ) ( 14 ) 这个问题是基于由b a l l 提出的具有结构阻尼的非线性粘弹性梁方程： 面+ “( 4 ) + , u t ( 4 ) 一( o4 - 卢后1 ) 2 d x + 2 5f ： u ( 1 ) 吐( 1 ) d x ) u ( 2 ) = 0 b a u 1 1 研究了方程的稳定性问题，证明了在一定的齐次边界条件 下，初边值问题躲的存在唯一性在文1 1 】中假设卢= q = 卢= 6 = o ， 得方程 西+ u ( 4 ) = 0 1 太原理工大学硬士研究生学位论文 f e i r e i s l l 21 和f e c k a n l 3 j 讨论了上述方程在如下非线性边界条件下时 间周期解的存在性，其中非线性边界条件为 u ( 2 ( o ，t ) = t ( 2 ( f l t ) = 0 ， u ( 3 ( 0 ，t ) = - f ( u ( o ，t ) ) ：“( 3 ( f ，t ) = ，( u ( f ，t ) ) 若考虑非线性本构关系，则可建立方程： 五十( 4 ) 一m ( 矗i u ( 1 1 2 d x ) u ( 2 ) _ 0 ， t of um a 4 】讨论了上述方程在如下非线性边界条件下解的存在唯一 性和能量的指数衰减，其中非线性边界条件为 u ( o ，t ) = u ( 1 ( o ，t ) = u ( 2 ( f ，t ) = 0 及 “( 3 ( f ，t ) 一m ( _ ( 1 ( z ，t ) 1 2 d x ) u ( 1 ) ( f ，t ) = ，( ( f ，z ) ) + 9 ( 毗( f ，t ) ) 其中阻尼项口( u 。( f ，t ) ) 是在边界上张建文等 5 】一【6 】证明了不仅具有介 质阻尼作用，而且具有非线性本构关系的非线性梁方程，在不同的线 性边界条件下整体解的存在唯一性及解的渐近性张建国等1 7 】也证 明了一类非线性梁方程整体解的存在唯一性 实际上这个物理问题的数学模型最初是基于由w o i n o w s k y k r i e g e r 【8 j 提出的如下的非线性梁方程： i + u c 4 ) 一( n + 矗( u ( 1 ) 2 d x ) u ( 2 ) = 0 ( 1 5 ) 其中n 是一实数，f 表示梁的长度，“( 。，t ) 是梁在时刻t 点z 处的 位移( 1 5 ) 已被许多作者所研究 1 9 6 4 年，e i e s l e y i q 研究了在空 间变量是二维的情形下梁方程解的存在性1 9 7 0 年，d i c k e y 1 0 】使 太源理工大学硕士研究生学位论文 用了四阶的正弦级数研究了在空间变量是一维的情形下梁方程解的存 在性问题1 9 7 9 年，m e d e i r o s 1 1 定义了一个纷陛算子a ，使( 1 5 ) 写 成如下的抽象形式： 也十a 2 u + ( a + m “a f ) a “= 0在q 研( 1 6 ) 并研究了在空间变量是n 维的情形下，粘弹性梁方程的橱西问题的正 则解的存在唯一性问题 9 h 1 1 】研究的都是无阻尼无强迫力作用的 非线性梁方程解的存在唯一性问题b r i t o 等【1 2 】一| 1 4 】给定了在考虑线 性阻尼下的非线性梁方程解的衰减估计对于m e d e i r o s 提出的抽象方 程( 1 6 ) ，当阻尼项( z ) 吐在边界上时，1 h c s n a k 1 q 考虑了能量的指数 衰减n i n e 项目( 吐) 加在整个梁上时，k o u e m o up a t c h e us f l 6 l 获得了 能量的指数衰减在( 1 5 ) 中，若去掉“( “，则可得如下k i r c h h o f f - t y p e 弦振动方程 也一( a + 矗( u ( 1 ) 2 d x ) u ( 2 ) = 0 ( 1 7 ) 现在让我们提到一些关于k i r c h h o f f - t y p e 方程，在 1 7 】中k i r c h h o f f 获得了方程 缸一( 袅+ 南片( u ( 1 1 ) 2 d x ) u ( 2 ) = 9 ( 1 8 ) 这是一个弹性弦的振动模型，其中f 是弦的长度， m 是弦的密度， e 是材料的y o u n g 氏摸量， 盯是弦的横截面积，是初始张力， u ( z ，t ) 是在某一时刻t ，点t 处的垂直位移 k i r c h h o f f - t y p e 方程也 可写为 赴一m ( 后( n ( 1 ) 2 如) “( 2 ) = 0 ( 1 9 ) 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 这类形式的方程也已有许多作者 1 8 】_ r 2 1 j 证明了整体解的存在性如 同非线性梁方程一样，p o h o z a e v 2 2 卜【2 3 通过定义在h i l b e r t 空间h 的一个正的线性算子a ，将k i r c h h o f f - t y p e 方程变形成如下的抽象形 式 面+ _ f ( i i a 5 u ( 0 1 1 2 ) a “= ，s 0 ，o 。) ，( 1 1 0 ) 为了使上述抽象形式方程更具有实际意义，文献 2 4 _ 2 5 】及 2 0 考虑 了具有阻尼项9 ( 吐) 的弹性弦方程，并给出了整体解的存在性证明 总之，对于最早由w o i n o w s k y k r i e g e r 8 】提出的非线性波动方程， 无论是弹性弦方程还是弹性梁方程，已有很多的作者讨论和研究过， 本文我们同时考虑纵横弯曲和粘性效应，以及材料具有非线性本构关 系，建立了较一般的非线性粘弹性梁方程，并且在菲线性边界条件下， 研究了方程的整体动力学，我们运用g a l e r k i n 逼近方法【2 6 一f 2 9 ，证 明了该方程整体解的存在唯一性及能量的指数衰减 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 1 函数空间 第二章预备知识 首先说明一些已知的函数空间 记上2 ( n ) 为n 上实值l e b e s g u e 可测函数，= y ( x ) 所组成的 h i l b e r t 空闻，i 列2 o ( 3 ，其中l l 列2 = i i 州：= ( 矗( ，( z ) ) 2 d 。) ； l 2 ) 中两函数f 及9 的内积记作( ，9 ) = ，n f ( x ) g ( x ) d x 其中 驴( q ) 与其对偶空间相同。我们用l o 。( o ，t ) 表示( 0 ，t ) 上本性有界可 测实值函数 蚓l 。o 。( o ，) p z n ， 【s 印i ，( 圳 m ( e o ) - - - o ) ，e o c o ，? l t e ( o ，t ) 一e o g ”) 为n 上m 阶连续可微实值函数类，并记c | ”( q ) = n 黧， g “( q ) ，9 c “( q ) ，令l 。= 【翟o ，ni ! 妒1 2 出】 ，设e ( s 2 ) 为使 i i g l l 。 0 ，垆( ) c o ，t i ，c 0 为常数， 且0 妒( t ) c + 詹仃z ( s ) 妒( s ) d s ， v t 【o ，丁l ，贝。 妒( t ) = c - e x p ( e m ( s ) d s ，v t f 0 ，卅 ( 3 ) 设0 0 ) o ，q 0 ) o , y 7 ( t ) sn ( t ) + q ( t ) ( t ) ，则 ( t ) ( o ) + _ a ( z ) d z e x p ( f oq ( z ) d z ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 1 一些假设 第三章假设及主要结果 在这篇论文中我们仅仅使用了标准范数，象在l i o n ，s b o o k 3 0 一 3 1 】，以及 a 2 一( 3 3 】有时，当变量。不被考虑时，函数“= u ( x ，t ) 被简 单地表示为u ( t ) ，我们的分析是基于第二章定义的s o b o l e v 空间v 及 w ，则y ，w 为h i l b e r t 空间，且y ，wcl 2 ( n ) 下面运用引理1 说明”i i v 和| l l w 分别相当于日2 ( 0 ，f ) 和 h 4 ( 0 ，2 ) 中的标准范数，由于“( o ，z ) = u ( 1 ) ( f ，t ) = 0 ，则由庞加莱不等 式得： 州l 。去懈1 彬1 l i ：南彬2 所以有 l l y = 1 1 叫2 1 1 2 si w l l 2 + t l w ( ) 1 1 2 + l i 弘) 1 1 2 = | 1 w l l m ( a ) sc 1 ”i i v 故y 中范数i i t o j v = i l 叫l 。与h 2 ( o ，f ) 中范数等价 同理由让( o ，t ) = n ( 1 ( f ，t ) = ( 2 ( o ，t ) = 0 ，可得”l h 和h 4 中范 数等价 对于函数m ( ) ，| 7 v ( ) ，其中非线性函数m ( ) ，( ) 是由于材料的 1 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 非线性本构关系所致，且m ( 一) 满足 m ( 0 ) = o ，i m ( z ) sc( 3 1 ) 以及a r ( ) 满足 n ( 0 ) = 0 ，l ( z ) 1sc 和( s ) s 0( 3 2 ) 对于函数，g ，我们设，g ：r _ r 为连续可导函数使得 ( s ) s 0 和( s ) s 一2 ，( s ) 0 v s r ( 33 ) 其中，( s ) = 片f ( z ) d z 以及 g ( o ) = 0 ，( g ( r ) 一9 ( s ) ) p 一8 ) p r - s 1 2 ，v r ，s r ， ( 3 4 ) 其中p 0 为常数 3 2 主要结果 下面是我们的主要结果： 对于非线性边界条件( a ) 有如下定理： 定理1 ：设m ( ) ，( ) 分别满足( 3 1 ) ，( 3 2 ) 成立，则对任意的u o ，u 。h ，满足相容性条件 钍轳( f ) + 弘u ；3 ) ( f ) = ，( u o ( f ) ) 其中 并且假设条件( 3 3 ) ( 3 5 ) “轳( 2 ) = 札 3 j ( t ，o ) ， o ( f ) = u ( 1 ，o ) 1 3 “) = 吐( 锄( f ，o ) 7 1 1 ( 1 ) = 吐u ，o ) 则存在函数“l 2 ( o ，o o ；1 7 ) n c l ( ( o ，o 。) ；v ) n i r 2 ，。( o ，o 。；l 2 ( o ，f ) ) 满 足系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 0 3 ) ( 1 4 ) 定理2 ：假设u ，郇l 2 ( o ，。；v ) n g l ( n o 。) ；v ) n w 2 ，o o ( o ，o 。；l 2 ( o ，c ) ) 1 太原理工大学硬士研究生学位论文 是系统( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 的两个解，并且满足初始条件“o ，”o ，“。，口。 ，令p = u 一 ，则有 旧( t ) 1 2 + l p ( 2 i ( t ) 1 2s 1 u - 一们1 2 + l u 5 2 一u 轳j 2 e x p ( m 。) ( 3 6 ) 其中 矗为常数 定理3 ：定理1 中的解= u ( z ，t ) 是唯一的 对于系统( 1 ，1 ) 一( 1 4 ) ，我们还建立了衰减结果： 为了建立我们的衰减结果，我们定义系统( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的能量为 f ( t ) = i i 吐( t ) h l + ；i f 让 2 ( t ) i ；+ 府( | l 也( 1 0 ) l l ；+ ，( “( f ，t ) ) 其中府( s ) = f o sm ( z ) d z ，我们有 定理4 ：设让是定理1 中给出的解，且n ( s ) s 0 ，( s ) s o ，则 存在常数a 2 ，a 3 ， 4 ，其中a 2 ，a 4 0 ，a 3 0 ，使得在 【0 ，t 。】上存在唯一实解，- r a ( ) ( o t 0 ，逼近锯u 。( ) 能扩展到 整个区间 0 ，t 】上特别存在蝎 0 ，使得 l l 吐。 i l l 十i u ；= 隹m 3 ( 4g ) 对一切t 【o ，t 】和对一切m n 成立因此可得 l f 也。旧s 坞，i l 嘏t l ；瞒( 41 0 ) 估计2 ：现在让我们得到2 范数下的对于五( o ) 一个估计 在( 4 3 ) 式中取埘= d 。p ，0 ) 及t = 0 ，再利用分部积分法，得： l f 2 。( o ) j f ；+ f o t ( 2 嘏( o ) d z + p 后吐篡1 ( o ) o 鬟( o ) d z + 吁j ： 心。( o ) 也。( o ) d x + m ( ) + n ( z 1 ) 】矗嘏( o ) 诅譬( o ) + ，( “。( f ，o ) ) n 。( f ，0 ) = 0( 4 11 ) 其中记 ( o ) = | | “璺( o ) l f ；= 爿t 。望( z o ) “璺( z ，o ) d z = 1 1 4 1 i i ；= 动 j m ( o ) = f o l ( i 1 托o ) 袅( 。，o ) 如= ( “弘n 1 ) ) = z 1 因为 _ u 乎也襄( o ) 出 j 0 r = 7 孑d 矗譬( o ) j 0 = “乎i 鼎( z ，o ) 一i ( 1 ( z ，o ) u 铲d x 太原理工大学硕士研究生学位论文 ， = 一u 铲d 2 m ( z ，o ) 3 0 = 一u 护证。( z ，o ) 惦+ 西。( 。，o ) u 铲d z = 一u 扩( f ，o ) 杜。( f ，o ) + 毋n 。( o ，o ) + 赴。扛，o ) u 5 4 ) d x ， j o = 一u 扩( z ，o ) 茁。( f ，o ) + “舻枉。( o ) d x j 0 “ 吐窠( 。，o ) 2 9 ( z ，o ) d z ju = 让( 2 砬5 ：( z ，o ) d z j 0 = ( 2 d 诅璺( z ，o ) j 0 = u 2 ) ( z ，o ) 碍( 。，o ) 临一u ( 3 d f i 。( 。，o ) j 0 ：u 2 ) ( 。，o ) 舔( 。，o ) 临一“c 3 豇。( z ，o ) + ，豇。( 。，o ) “( 4 如 = u 2 ( f ，o ) 上m ( f ，o ) 一u ；2 ( o ，o ) 吐璺( o ，o ) 一u ( 3 ( f ，o ) 讧m ( f ，o ) ，z + 钍( 3 ( o ) 茁m ( o ，o ) + 矗m ( z ，o ) 钍( 4 d 。 = 一“；3 ( f ，o ) e 。( f ，o ) 十u 4 ) f i 。扛，o ) d z j 0 n 。靴譬( 。，o ) d 。 j 0 p f = p d f i 。( 。，o ) j0 ，i = “3 1 ( f ，o ) 豇。( f ，o ) 一“5 1 ( o ) n 。( o ，o ) 一“铲i 。( 。，o ) d z j 0 p f = 一u 铲坛( z ，o ) d z ，( t 。( f ，o ) ) 训( f ，0 ) = f ( u o ( z ，0 ) ) i 。( f ，0 ) 2 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 所以上述分别代入( 4 11 ) 式有 l i n 。 ，o ) lp ；一扩( f ：o ) 位。( r ，o ) + 丘“扩( z ：o ) 面。( z ，o ) d z 十 弘( 一“( 3 ( z ，o ) 也。( f ，o ) 十e “ ”西。扛，o ) 如) + q ；：i 。( z ，o ) n 。( z ，o ) d x + 【m ( 如) + w ( z ，) ( 一后u 铲吐。( z ，o ) d x ) + f ( u o ( 1 ，o ) ) 也m ( f ，o ) = 0 由于( 3 7 ) 式，则有 1 1 缸。( 茹，o ) 1 1 ； ：【m ( z 。) + ( z 。) z 2 u 铲1 越。( z ，。) d x - uz ( 。，。) i m ( z ，。) d z z “( 4 ) 也。( 轧。) 出一”z 2 d m ( z ，。) 站( z ，。) 如 m ( 劫) + ( 魂) 】i | 钍乎1 1 2 | l 扛( z ，o ) ；2 + l j “扩1 1 2 l i 越m ( 工，0 ) 1 1 2 + “l l u l 4 1 1 2 l i 乜。( z ，o ) 1 1 2 + q ! o 。扛，o ) l 2 l i n m ( 。，o ) 1 1 2 ：1 l 讧。( z ，o ) 1 1 。 【m ( 匈) + ( ：，) 】u 铲1 1 1 z + l l “铲1 1 2 + 卢i l “( 4 1 1 2 + 卵l n 。 ，o ) 1 1 2 ) 所以有 l l 二。( z ，0 ) s i m ( 如) + n ( z 1 ) 川“孑1 1 2 + l | u 扩1 1 2 + p l | u c 4 )