（机械设计及理论专业论文）滚动轴承转子系统的非线性动力学研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 摘要 本文以转子动力学和非线性动力学理论为基础，针对非线性轴承一转子系统 的具体特点建立了系统的非线性动力学模型，比较了r u n g e k u t t a 法和g i l t 法 在轴承一转子动力学分析中的有效性和稳定性，得出了g i l l 法优于r u n g e - k u t t a 法的结论，并用g i l l 法研究了有径向内部间隙的深沟球轴承支承的水平刚性转子 系统的非线性振动。 取球轴承的径向内部间隙为主要的研究参数，分析了平衡和不平衡这两种转 子系统的动力学响应特性。计算结果表明，系统在某些参数域中可能发生倍周期 分岔、概周期及混沌振动。用数值积分方法得到系统在特殊参数域中的周期解、 分岔图、轴心轨迹、幅值谱及p o i n c a r 6 映射图，并且用l a y p u n o v 指数的数值计 算方法对平衡转子系统的混沌性态进行了判断。数值分析的结果为该类轴承一转 子系统的设计提供了理论参考。 对于平衡转子系统，周期响应、亚谐波响应和混沌响应的出现在很大程度上 依赖于径向内部间隙。随着间隙的增大，不稳定区和混沌响应区变宽。阻尼增大 导致响应的幅值减小，并且降低了不稳定性。 不平衡转子系统的非线性是由于赫兹接触和轴承的径向内部间隙，系统的激 励频率为变柔度频率和转子的旋转频率。结果表明，当轴承一转子系统的转速变 化时，动态响应出现了不稳定和混沌，在通向混沌的道路上出现了倍周期和跳跃 现象。 关键词：非线性动力学轴承一转子系统径向内部间隙 混沌l a y p u n o v 指数 西北工业大学硕：卜学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t i na l l u s i o nt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so fan o n l i n e a rb e a r i n g - r o t o rs y s t e m ，as y s t e m m o d e lw r se s t a b l i s h e db a s e do nr o t o rd y n a m i c sa n dn o n l i n e a rd y n a m i c st h e o r y t h e a p p l i c a b i l i t ya n dt h es t a b i l i t yo f t h en u m e r i c a lm e t h o d st ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h e s y s t e mi si n v e s t i g a t e da n dt h ec a l c u l a t i o ns h o w s t h a tt h ef o u ro r d e rv a r i a b l es t e ps i z e g i l lm e t h o di sb e t t e rt h a nr u n g e k u t t am e t h o di nn u m e r i c a ls t a b i l i t y t h en o n l i n e a r v i b r a t i o no fah o r i z o n t a lr i g i dr o t o rs u p p o r t e db ya d e e pg r o o v eb a l lb e a r i n gh a v i n g r a d i a li n t e m a lc l e a r a n c ei ss t u d i e db yt h eg i l ln u m e r i c a li n t e g r a lm e t h o d t h er a d i a li n t e r n a lc l e a r a n c eo fad e e pg r o o v eb a l lb e a r i n gi st a k e na st h em a i n p a r a m e t e r , t h ee f f e c to f w h i c ho nt h ed y n a m i c sr e s p o n s eo ft h et w ok i n d so fr o t o r s y s t e m ( b a l a n c e do ru n b a l a n c e d li ss t u d i e d t h er e s u l t so fap a r a m e t r i cs t u d yh a v e r e s u l t e di nt h eo b s e r v a t i o nt h a tt h es y s t e m sm a y u n d e r g op e r i o dd o u b l i n gb i f u r c a t i o n ， q u a s i p e r i o d i ca n dc h a o t i cm o t i o n s i ns o m et y p i c a lp a r a m e t e rr e g i o n st h ep e r i o d i c r e s u l t s ，t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m s , t h es h mc e n t e r l i n 9o r b i t , t h ep h a s ep o r t r a i t ，t h e p o i n c a r dm a p sa n dt h ef r e q u e n c ys p o c 血 a r r l so ft h es y s t e m sa r ea c q u i r e db yw i t h n u m e r i c a li n t e g r a lm e t h o d a tt h es a n l et i m e ，am e t h o dt oc a l c u l a t et h el a y p u n o v e x p o n e n t so f ab a l a n c e dr o t o rs y s t e mi su s e dt od e t e r m i n ew h e t h e rt h es y s t e mi si na s t a t eo fc h a o sm o t i o n t h ea n a l y t i cr e s u l t si nt h i s p a p e rp r o v i d et h e t h e o r e t i c a l r e f e r e n c ef o rd e s i g nt h i sl 【i n do f b e a r i n g - r o t o rs y s t e m f o rt h eb a l a n c e dr o t o rs y s t e m r a d i a li n t e m a lc l e a r a n c ei sa n i m p o r t a n tp a r a m e t e r f o rd e t e r m i n i n gt h ed y n a m i c sr e s p o n s e i ti ss e e nt h a tw i t hi n c r e a s ei nc l e a r a n c et h e r e g i o n so f u n s t a b l ea n dc h a o t i cr e s p o n s eb e c o m ew i d e r i n c r e a s ed a m p i n gr e s u l t si n l o w e r e d a m p l i t u d er e s p o n s ea n d a l s or e d u c e d i n s t a b i l i t y f o rt h eu n b a l a n c e dr o t o rs y s t e m , t h en o n - l i n c a r i t yi sb o t hd u et oh e r z i u nc o n t a c t a n dt h er a d i a li n t e r n a lc l e a r a n c eo f b e a r i n g t h es y s t e mi s e x c i t e db yt h ev a r y i n g c o m p l i a n c ef r e q u e n c y a n dt h er o t a t i o n a lf r e q u e n c y t h er e s u l t sh a v es h o w nt h e a p p e a r a n c eo fi n s t a b i l i t y a n dc h a o si nt h ed y n a m i c sr e s p o n s eo ft h es y s t e ma st h e s p e e do f t h eb e a r i n g - r o t o rs y s t e mi sc h a n g e d p e r i o dd o u b l i n ga n di n t e r m i t t e n c yh a v e b e e no b s e r v e da st h er o u t et oc h a o s k e y w o r d ：n o n l i n e a rd y n a m i c s r a d i a li n t e r n a lc l e a r a n c e b e a r i n g r o t o rs y s t e m c h a o s l a y p u n o ve x p o n e n t i l 西北工业 学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 本文的研究意义 由于旋转机械系统中异常振动的存在，常常引发灾难性的事故，所以轴承一 转子系统的动力学研究一直受到人们极大的关注，并取得了许多成果。已有的轴 承一转子系统研究工作大多采用基于线性转子动力学理论对轴承转子系统稳 定性、幅频特性、响应函数进行了全面的研究。但旋转机械系统中许多非线性因 素的存在常引发诸多用线性理论难以解释的非线性动力学现象，如分岔、混沌和 跳跃等。因此迫切需要建立轴承转子系统的非线性动力学理论，揭示系统中存 在的许多由非线性因素引起的各种复杂动力学行为。这对提高旋转机械运动的稳 定性、安全性、可靠性和环保性等，都具有重要的理论意义和实际工程背景。 由于接触非线性的存在，轴承支承的转子系统是典型的非线性多自由度动力 系统。随着系统参数的变化，该转子系统将发生二次h o p f 分岔、倍周期分岔、 鞍结分岔等。系统的长时间动力学行为将表现为：周期运动、准周期运动、拟周 期运动和混沌运动，即系统的失稳将导致一些复杂的运动。因此，分析滚动轴承 一转子系统的周期解、稳定性等动力学特性已经成为非线性转子动力学理论研究 的个重要方面。 本课题所研究的是具有径向内部间隙的深沟球轴承支承下的水平转子系统 的动力学特性。该系统的非线性是由于轴承的径向内部间隙、滚珠和滚道间的赫 兹接触引进的。这里的径向内部间隙也可以叫做“轴承游隙”。由于轴承本身的 几何特性、弹性特性及装配时的误差闯题轴承不可避免地产生变柔度振动( t h e v a r y i n gc o m p l i a n c ev i b r a t i o n s ) ，进而使转子的轴向位移和径向位移增大。这是引 起轴承噪声和转子不稳定运转的最主要的原因。因此，研究该类系统的动力学特 性具有重要的理论意义，特别是在航空发动机动力传输系统设计中具有较大实用 价值。本课题的研究内容是航空科学基金“航空发动机附件传动系统的非线性振 动分析与动态优化设计”的一部分，将为该类轴承一转子系统的设计提供参考。 1 2 国内外研究概况 国内从事轴承一转子系统动力学研究的单位很多其中以西安交通大学轴承 研究所最为突出他们主要研究的是滑动轴承支承的转子系统，由于非线性油膜 力使转子产生相当大的振动。许多文献对该类系统在“油膜、短轴承假设条件下 进行了研究。而在滚动轴承一转子系统非线性动力学研究方面做的工作较少。 国外在滚动轴承转子系统方面做了很多研究工作，发表了许多研究论文。 西北t 业大学硕士学位论文第一章绪论 在忽略转子惯性力和阻尼力的情况下，p e r r e t 考虑了单个深沟球轴承，其轴承座 圈和滚珠间的弹性变形用赫兹理论建模，且轴承座圈不弯曲，从理论上研究了变 柔度效应。 s u n n e r s j i o u l 考虑到转子惯性力和阻尼力，从理论上和实验上研究了不同的 柔度引起的转子振动。f u k a t a t 2 1 首先从事球轴承支承的受恒定垂直力的平衡水平 转子的变柔度振动和非线性动态响应的研究，对转子系统的超谐波、亚谐波和混 沌行为进行了更详细的分析。m e v e l 和g u y a d e r 发展了球轴承支承的受恒定垂 直径向力的平衡水平刚性转子的理论模型，所做工作与f u k a t a 的研究相近。 s a n k a r a v e l u 3 1 用弧长延伸法求得了转子系统的动态特性。这个方法能确定跳 跃现象或系统动态行为发生突然变化的参数范围。研究的对象是球轴承支承的受 恒定径向载荷的平衡水平转子。s a n k a r a v e l u 的研究结果表明，弧长延伸法比直 接积分法占用更少的计算时间，且能同时得到稳态响应和稳定性分析。 近几年来，国外的研究主要集中在机械部件的间隙非线性上【g - 9 】。随着高速 转子( 如航天飞机主发动机的涡轮泵) 的发展，间隙非线性对转子响应的影响引 起了许多学者的很丈关注。y a m a m o t o 1 0 】进行了有径向间隙的球轴承支承的垂直 转子的解析解研究他的研究结果表明，转子系统在临界转速处的最大振幅和临 界转速的值随着轴承径向间隙的增大而减小。c h i l d s 1 l 】用非线性摄动法研究了轴 承的非对称间隙对转子运动的影响。s a i t o 1 2 1 求解了有径向间隙的球轴承支承的 水平j e f f c o t t 转子( 即一个两端刚支的单质量弹性转子) 的非线性不平衡响应。用 增量谐波平衡法来计算转子的非线性振动，并给出了非线性力的近似表达式。 d a y 进行了间隙轴承支承的转子系统的分析研究。定义了非线性固有频率 并用它将非线性j e f f c o t t 转子的解进行渐近展开。 i g m 和n o a h n 研究了有间隙轴承的j e f f c o t t 转予的理论模型，他们用改进的 谐波平衡法得到类周期响应，并研究了径向内部间隙对系统动力学特性的影响 从实验上观察到峰值响应的偏移，理论上也有亚谐波和h o p f 分岔的出现。 对于非对称支承的轴承一转子系统，文献 4 2 建立了该系统的5 自由度非线 性振动模型，即两个转子质心的坐标( 假设是平面运动) 和3 个欧拉角坐标，研 究指出轴承的非线性有可能导致混沌运动。并通过实验研究得出结论：静态不平 衡不会导致圆锥不稳定性，在任何情况下转子的运动都是圆柱形涡动。 1 3 本文的研究内容 国内外在轴承一转子系统方面做了许多研究工作，取得了一定成果，但对于 航空发动机中的高速转子系统研究较少。为了对航空附件传动中的转子系统进行 动态设计和可靠性分析，必须了解各个参数对整个轴承一转子系统的动力学特性 2 两北工业大学颐。i ：学位论文第一章绪论 的影响，本文的研究对象为某预研发动机的附件传动中的转子系统，该系统由两 个有径向内部间隙的深沟球轴承和一个刚性水平转子组成。由于轴承的径向内部 间隙、滚珠和滚道问的赫兹接触，在动力学系统中引入了非线性因素。当转予系 统处于低速、重载的工况下，非线性因素对转子系统的动态性能不会产生严重影 响，然而在航空动力传输中，转子系统处于高速的工况下，这时非线性因素对转 子系统的动态性能会产生严重影响。 依据课题的要求，本文的具体研究内容为： 1 依据航空附件传动中转子系统的结构形式，在一定的假设基础上建立合 适的非线性动力学模型。根据牛顿力学定律，得到系统的运动微分方程并进行无 量纲化处理，通过合理的简化得到用来分析和求解该系统动力学问题在状态空间 下的一组微分方程，对系统参数的选取进行一定的探讨和研究，为后面的计算和 分析奠定基础。首先针对对称支承的轴承一转子系统，然后针对非对称支承的轴 承一转子系统建立动力学模型和方程。 2 对建立的非线性动力学模型进行数值求解，选择适合的数值计算方法求 解该系统的非线性微分方程。比较r u n g e - k u t t a 方法以及g i l l 方法对于求解该轴 承转子系统动力学方程的有效性和稳定性。 3 分析对称支承的轴承一转子系统的动力学响应特性。取球轴承的径向内 部间隙为主要的研究参数，研究对称支承的轴承一转子系统( 分平衡和不平衡两 种情况) 的动力学响应特性。用数值积分方法得到系统在特殊参数域中的周期解、 分岔图、轴心轨迹、幅值谱及p o i n c a r 6 映射图，研究系统在某一参数( 轴承的径 向间隙、转子转速、阻尼和偏心质量等) 的变化过程中，系统的运动状态变化规 律，以及出现倍周期分岔、概周期和混沌运动时参数的取值范围，并分析系统在 什么样的条件下容易发生混沌现象。 4 计算对称支承的轴承一转子系统的l a y p u n o v 指数。首先结合前人提出的 关于l a y p u n o v 指数的理论基础，推导所研究系统的l a y p u n o v 指数的计算方法， 然后计算系统在不同参数条件下的l a y p u n o v 指数，对平衡转子系统的混沌性态 进行判断，同时验证前面的部分结论。 5 对轴承转予系统所受到的参数影响进行分析和总结，得出可供设计该 类轴承一转子系统时的参考结论。 西北工业大学硕。卜学位论文 第二章滚动轴承转子系统的非线性动力学模型 第二章滚动轴承一转子系统的非线性动力学模型 2 1引言 在齿轮耦合的轴承转子系统中，产生非线性的因素是多方面的，如：齿侧 间隙、轴承间隙( 滚动轴承) 、菲线性油膜力( 滑动轴承) 及齿轮对的时变啮合 刚度等。本文主要研究了滚动轴承的径向内部间隙对系统的非线性动力学特性的 影响。 本章首先建立了深沟球轴承对称支承的完全刚性的水平转子系统的非线性 动力学模型，该转子同时还承受一个恒定的垂直力，即齿轮的啮合力。该系统的 非线性主要是由于滚动轴承的径向间骤引起的。建立模型时分两种情况，即不考 虑和考虑转子的不平衡力( 也就是转子的质量偏心引起的力) ，并对系统动力学 参数的选取进行一定的探讨和研究，为后面进行动力学分析提供基础。 在本章第三节中，又针对一个不对称支承的完全刚性的水平转子系统建立了 非线性动力学模型和方程。假设转子质心的运动是一个二维的平面运动，转子有 5 个广义坐标，表现为质心在水平和垂直两个方向上的位移坐标和围绕质心在3 个方向上的旋转坐标。在这种情况下，系统的非线性特性不仅是由轴承的非线性 引起的，而且也和3 个指定的角坐标的三角函数导致的非线性有关。 2 2 对称支承的间隙非线性动力学模型 本文所研究的轴承一转子系统包括两个完全一样的深沟球轴承和一个 j e f f c o t t 转子，并有一个恒定垂直力( 即齿轮的啮合力) 作用在转子上。由于这 个转子系统是水平对称分布的，这个恒定的垂直力就是被平均分配到两个轴承 上。激励是由轴承的时变接触( 这种接触产生了变柔度振动) 和转子的偏心力引 起的。 对称支承的滚动轴承一转子系统模型如图2 1 所示。矿为齿轮的啮合力，m 为转子的质量，f - 为轴承安装时的尺寸。这种对称支承的转子系统可以简化为一 个滚动轴承支承的以角速度珊旋转的质量块，这个质量块同时还承受一个恒定的 垂直力，其质心的运动是一个二维平面运动。 由于轴承本身的几何特性、弹性特性及装配时的误差等因素，轴承不可避免 地产生变柔度振动( t h ev a r y i n gc o m p l i a n c ev i b r a t i o n s ) ，进而使转子的轴向位移和 径向位移增大。这是引起轴承噪声和转子不稳定运转的最主要的原因。研究表明， 承受载荷的滚动体的个数总是有限的，并且轴承运转时受载滚动体的个数随着保 持架的角位置的变化而变化，导致轴承的支承刚度周期性的变化，进而产生了变 4 西北丁业大学顶七学位论文 第二章滚动轴承转子系统的非线性动力学模型 柔度振动【”。 2 2 1 滚动轴承的运动学分析 为进一步简化这个模型，假定滚珠在内外圈的滚道内等距分布，滚道没有弯 曲挠度，滚珠在滚道内是完全滚动的，所以滚珠上的a 、b 两点( 与外、内圈的 接触点) 有不同的线速度，如图2 2 所示，由此可以推出滚珠中心的速度。 图2 1 对称支承的滚动轴承转子系统模型 分析轴承内部的简单运动学关系时，采用如下假设： 轴承零件为刚体，不考虑接触变形的影响： 滚珠沿套圈滚道为纯滚动，滚珠表面与内、 外圈表面接触点的速度与内、外圈滚道对应点的 速度相等； 忽略径向游隙的影响； 不考虑润滑油膜的作用。 图2 2 中，规定顺时针方向为正，因为外 圈固定在刚性机架上，内圈与轴紧固，所以外、 内圈的滚道接触点a 、b 的线速度分别为 外圈 y f 一0 内圈 i ，繇i 、_ i 。y e 冷产 i 划 h 、 ! i 、 、 乡 、 。；0 图2 2轴承内部的简单 运动学关系图 h 。；。( 1 一生) 甜，。埘一 。 式中，v 。、u 外、内圈的滚道接触点的线速度； 吐、q 外、内圈的滚道接触点的角速度： 转子的角速度，有一； 滚珠的半径； 5 两北工业大学硕士学位论文 第二章滚动轴承转于系统的非线性动力学模型 o 滚珠中心轨迹图的半径。 滚珠与滚道接触点不存在滑动，所以滚珠中心的线速度v 。就是内、外圈滚 道接触点线速度的平均值，该值为： k 。扣w 弘誓( 1 一 r _ 又滚珠半径 。：鱼生 _ 一r + 学一半 式中，r 、r 外、内圈滚道半径。 滚珠中心的线速度应等于保持架中。c ，的圆周速唐，即 即 得到 v 。一。一甜。生笋 鳖(1一等)。棚。2 、 r + r 7 “” 珊。丽g ii ( 2 1 ) 式中，v e r g e 、。滚珠中心( 即保持架中心) 的线速度、角速度 令变柔度频率为 。- 。n b ( 2 2 ) 式中，。滚珠的个数。 将式( 2 2 ) 代入( 2 1 ) ，得 簧摹丽r i 0 , 1 。= 脚。x b a t( 2 3 ) 删。i 譬x n 6 ( 2 4 ) 兄+ r 9、7 b n 是和轴承参数有关的系数，取决于轴承的尺寸。 该转子系统所用轴承为6 1 9 0 3 p 5 ，表2 1 给出了该轴承的尺寸及b n 值。 表2 。1轴承系数( 删) 轴承r ( r a m )r ( m 研) n b b n 6 1 9 0 39 _ 3 71 4 1 39 3 6 6 两北工业上学硕士学位论文 第二章滚动轴承转于系统的非线性动力学模型 2 2 2 滚动轴承的载荷分析 假设轴承没有局部缺陷和分布缺陷，滚珠等距离分布在内、外圈滚道之间， 并以相等速率在内外圈滚道内滚动，并做如下假设【1 8 】： 滚珠和滚道间的弹性接触满足赫兹理论： 不考虑润滑油的影响； 滚珠和内圈、滚珠和外圈滚道的接触角相 等，且很小，由于内外圈的旋转作用在滚珠上的 离心力可以忽略； 外圈的机架是刚性支承，且没有任何间 隙，并且不考虑机架的弹性变形。 图2 3 是一个球轴承的模型。轴承的内、外 圈滚道是与滚珠互相接触的，在每一个接触点， 由于是赫兹接触，滚珠一滚道间的接触变形产 生了一个具有非线性特性的恢复力， 矗一q ( r 。) ：( 2 5 ) 式中，n 常数，对于球轴承，1 2 3 2 ： 图2 3 球轴承的模型 y 。滚珠“f ”的角位置“包”处的接触变形量； c b 球轴承的弹性因素，即载荷变形系数，也可以看做常数m 。 c 。+ m n 的值由内外圈和滚珠的赫兹接触的弹性分析得到。对于深沟球轴承 6 1 9 0 3 p 5 ， g 一7 0 5 5 1 0 9 n m 3 7 2 此处涉及到轴承刚度的简易算法。根据文献【2 】 和 6 】，针对一般的精度要求时，可以用下面的方法 来得到滚动轴承刚度的估计值。 如图2 4 ，参数说明如下： 口内圈滚道曲率中心的轨迹圆的直径；m i l l d 外圈滚道曲率中心的轨迹圆的直径；m m d 。、矗滚珠的直径、半径；衄 e 弹性模量；e = 2 0 7 , 7 6 0m p a v 泊松比；v ；0 3 内圈滚道曲率半径：m m liii 楚 瓣 d i 矗i 【 笏 。j i 二 工 图2 4 轴承的几何尺寸 两北一业上学硕士学位论文第二章滚动轴承一转子系统的非线性动力学模型 外围壤道曲率半径；衄 + 下角标= f ，o ；分别表示内圈、外圈： 令 九一等一舻参； 妒。= 1 一( 1 + ) p ：吼= 1 + ( 1 + 。) p 。； 小 罴卜c 南 g 一绷批r 把e 和v 的值代入，得到 巴一i 1 5 再2 , 2 万0 5 扭( n 妯1 5 ) ( 2 6 ) 对于丸式中的函数6 o ) ，有下列的近似公式， 舯， 扣志j ( a ) 当茹，0 0 5 ： 6 0 ) ( 1 1 0 缸2 ) o 2 ”： ( b ) 当z t 0 5 1 ： g 一】( 1 一曲； x ，一m ( 1 6 g ) 一2 ；z ，= 1 ( x + l n x ，) x 。c ( 盖：z ，：) 坤。2 6 o ) 一面j 0 面3 7 0 0 7 1 n o 研6 x ) 对于本文所研究的轴承6 1 9 0 3 p 5 ( 1 7 x 3 0 7 ) 取如下的参数值： d b = 4 7 5 5 2 m m ：；2 4 0 1 r a m ；r 。= 2 5 2 m m 。 d i ；2 2 1 4 m m ；d = 2 1 4 7 m m o 代入上述公式，求得， c 、；7 0 5 5 n u n 3 “一7 0 5 5 x 1 0 9 n m 3 7 2 接触变形量r 。可如下计算。如图2 5 所示，假定静止时内、外圈的中心都在 0 点，且把0 点作为内圈相对于外圈在z y 平面内的径向偏移的原点，当转子 旋转起来以后，0 点偏移到了0 点。则在滚珠i 的角位置“0 1 ”处的变形量 8 西北t 业大学硕士学位论文第二章滚动轴承一转于系统的非线性动力学模型 r 。可以近似表示为 y a = x c o s o 。+ ys i n o i y o( 2 7 ) 式中，y 。径向内部间隙，即包围着滚珠的假想圆和外圈滚道间的间隙，这 个间隙也可以叫做轴承游隙。 一k 静止时的转子 的转子 图2 5轴承内部力与变形的关系图 如图2 5 所示，设z 和y 为内圈几何中心的偏移，则滚珠“i ”所受的接触 反力为 。q , ( x c o s o i + y s i n o i y 。) ? ( 2 8 ) 下角标“+ ”表示：如果括号中的表达式大于0 ，则滚珠在角位置只处受载， 同时给恢复力( 即弹性力) 矗一个增量，如果括号中的表达式为负或0 ，则这 个滚珠不在承载区，此时b - 0 。 总的恢复力是每一个滚动体恢复力的总和，在r 和y 方向上，总的恢复力的 分量为 o y j i g 磊i - i 。c o s b + y s 血b 一? s b ( 2 9 ) 胁 ( 2 9 ) o 。，y ，f ) = c b 善o c o s 或+ y s n 吼一r 。) ：5s 抽只 轴旋转的同时，角只随时间变化。 ”簧舯 ( f l n 虬) 鼽 ，叫一击一筹 这里取的基准轴是垂直方向的轴盖即恒定垂直力的方向， 时间t 的函数，所以系统是非自治系统。 9 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 可以看出b 是 西北工业大学硕七学位论立 第二章滚动轴承一转子系统的非线性动力学模型 2 2 3 系统的动力学方程及其无量纲化 系统方程包括惯性力、恢复力、阻尼力、作用在内圈上的恒定垂直力以及由 于转子的质量偏心引起的不平衡力，借助牛顿定律，可得滚动轴承一转子系统的 非线性振动方程为： 焉嚣：巍然- w t ；嚣s i n 咖t a 埘 z ， l 两；+ p + 只仁，只国，) ； 7 式中，m 转子的质量和轴承内圈的质量之和： e 质量偏心引起的不平衡力； 作用在内圈上的恒定垂直力； 1 n k ，即转子的旋转角速度； c 轴承内圈运动的阻尼系数。 由于滚动摩擦和少量的润滑，球轴承的阻尼c 是非常小的。并且，由于外 部阻尼相对于球轴承的阻尼占主要优势估算一个球轴承的阻尼是非常困难的。 根据文献1 3 6 ，得到轴承6 1 9 0 3 p 5 的阻尼c 的取值在3 3 7 5 3 3 7 5 n s m 之间。在 后面的研究中取c - 2 0 0 n s m 或者c 一3 4 0 n s m 。 对系统方程( 2 1 2 ) 进行无量纲化， 令无量纲坐标i 。三，可。上 y oy o ：业生删m 。哗 m 埘“ 又定义量纲一时间f - f ， 量纲一频率q 。旦， 所以 m - 珊i q 吐，。， t q _ r ， ”薏+ 筹位。 则只0 ，y ，珊，t ) 化为 仃，豆q ，r ) ，( f = z ，y ) 令 伍，只q ，f ) 一艺仃c o s 8 ；+ p s i n o ，一1 ) ? 0 0 s 睁。 佤只q ，f ) - 艺伍c o s p ，+ 萝s i n 鼠一1 ) ：5 s i n 0 ， 则 膏= 五d x 一赛生d t y 。窒d r = r 拟章：md t 1 0 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 两北t 业丘学璇十学位论文第二章滚动轴承一转于系统的非线性动力学模型 j = 警一1 d ( y o c _ o 乒) 面d r 锦珊强d td td t 同理， 多一y 。穸：，一y 。m ：萝。 最后，系统方程无量纲化为 量2 壶妒雌。s 一去扎胍廊， ，1 萝一研es i n q r - 肌c 声一 佤酬 叫 这就是本文所研究的对称支承的滚动轴承转子系统的间隙非线性动力 学微分方程。 2 3 不对称支承的刚性转子系统的运动方程 2 3 1 系统的动力学模型 在第二节中研究的是两个轴承对称支承的刚性水平平衡转子系统，在这一节 里我们针对不对称支承的轴承一转子系统建立动力学模型和方程。 如图2 6 所示，可以定义以下的4 个坐标系，系统的运动可以由5 个自由度 来描述，即质心的2 个位移坐标工、1 ，和3 个角坐标o l 、0 ：、0 3 。 = ，固定坐标系o x y z ，y 轴竖直向下： ，非旋转坐标系g 丽，由坐标系o x y z 平行偏移一定的距离而来，0 点偏 移到g 点； ，旋转坐标系g x y z ，由坐标系g 巧引尧g 点旋转得到，绕轴i 、歹、云的转 角分别是b 、只、0 3 ，z 轴与轴承的轴线方向一致； 。偏移坐标系c o m n ，由坐标系g x y z 平行偏移一定的距离而来，g 点偏移 到c 点：转子的几何中心c 和两个轴承内圈的几何中心c 、c 2 都在轴h 匕。 z 图2 6 坐标系示意图 两北工业 学硕士学位论文第二章滚动轴承转子系统的非线性动力学模型 图2 7 给出了在旋转坐标系g x y z 中的系统动力学模型，e 表示质量中心点g 沿x 轴的偏移量。 图2 7 不对称支承的转子轴承系统的动力学模型( 坐标系g x y z 中) 2 3 2 系统的动力学方程 忽略系统的阻尼项和刚度项，考虑到两端轴承的恢复力，坐标系o x y z 中的 运动方程可以写成 f 一 掰6 + 鼻j + e j 0 l m y g + 曩j ，+ ，j y + p - 0 ( 2 1 6 ) m 表示转子的质量，p 表示转子的重力，g 点为转子的质心。忽略轴颈和 内圈在安装时的轴向偏移和径向偏移，恢复力的分量e 。可以表示为关于点c 1 、 c ：的坐标的函数。 在参考坐标系铆：中点c 、c l 、c 2 的坐标分别为仁 、仁k 、扛k 表达 式为 仁，。 i 。 i ；x 。 耋 。 i ) ；b k 。隹 。 i c z - ， 此处e 是质心g 沿工轴的偏移量。 在坐标系回手中点c 、c 。、c ：的坐标可以通过矩阵 r 】_ 1 由式( 2 1 7 ) 刘a 得到，即从6 毋i 转换到g 印z 。 陋 是从坐标系。回到坐标系g 驴的旋转矩阵，且有l r - 1 - k r 。 c r 】，阪毂) l r ，也) k ( 0 3 】 ( 2 1 8 ) 因为【r 。p ，) ，e 。01 ：【r ，( 一：) 。f a 粥口2 05in00 coso。sino。0 10 2 1 因为 k 。p ，) ，li ：k ，佃：) j il 【0 一s i n o l c o s o i j【s i n 0 2 0 c o s 8 2j 两北- 业人学硕士学位论文第二章滚动轴承转子系统的非线性动力学模型 陋：( 吼) 】： c o s 0 3 s i n 0 3 0 一s i n 0 3c o s 0 3 0 0ol k ，( 眭) j 表示从当前位置开始，沿，轴转一角度b 的坐标变换矩阵。，+ 表示 当前位置的轴，。( i x ，y ，z ；i ；1 , 2 , 3 ) 在上式中，若用c 只和s 辞分别代表c o s b 、s i n o 。( i 一1 , 2 , 3 ) ，则陋一 ) j 变 为下面的形式。 r x 。( b ) 】， 陋：他) 】一 最后，得到 陋】一 100 。 0 c o ,s 0 1 0 一s bc 0 1 c 吼s 如0 一j 0 3c 岛0 001 ；r y 。( 吼) 】i c 0 20 一s 0 2 010 s 0 2 0 c 0 2 c 0 2 c 0 3s o i s 0 2 c 0 3 + c o i s 0 3一c o , s 0 2 c 0 3 + s 0 1 s 0 3 - c 0 2 s 0 3 5 8 5 0 2 s 0 3 + c o l c 0 3c 0 1 s 0 2 s 0 3 + s o f f 0 3 s 8 2一s 8 1 c 8 2c 8 1 c 8 2 由于转角b 和日2 的值很小可以假设s i n 0 1 - 0 ，s i n 0 2 0 2 ， c o s 0 1 - - c o s 0 2 - 1 。把5 8 l - 0 l ，s 0 2 - 0 2 ，c o , - c 0 2 - 1 代入，上式可以简化为 陋 一 则 陋r c e l0 1 0 2 c 0 3 + s 0 30 2 c 8 、+ o l s e ， 一s 0 3 - o f l 2 s 0 3 + c 0 30 2 5 0 3 + 只c 0 3 也一0 1 1 c 0 3- - 5 0 3 0 2 吼口2 c 0 3 + j 以一o f f 2 5 吼+ c 口3 一吼 一如c 口3 + 日l j 口3口2 s 岛+ 吼c 口3 1 协_ | ；蝌叫刑糍 e c 0 嚣33， 叫驴m 时刚：戮小，2 1 3 r 2 a g ) 佗2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 两北丁业 学硕 ：学位论文第二章滚动轴承转于系统的非线性动力学模型 上式中，f 。；工，：一三：，厶是点c 和c l 之间的距离，岛是点c 和c 2 之间 的距离。c b 和s b 分别代表c o s o f 、s i n o f ( i = 垅3 ) 。 在固定坐标系d 舾中，点c 、c t 、c ：的坐标忸 、忸l 、扛k 表达式为 忸 = 扛k + 斜： 忸l = 忸k + 乩； i ；1 , 2 。 r 2 2 3 ) 佗2 4 ) 忸k 一讧，一料= 忸，一陋r m - 讧，一陋r i f x + 0 3 = y + 8 0 2 c 0 3 + s 0 3 ) ( 2 2 5 ) i z + e ( 0 2 c 0 3 0 1 s 0 3 ) j 得到x g x + e c 0 3 所以 z 一- e ( o ：c 岛一惦s 以) ( 2 2 6 ) 假设转角吼和岛的角度值很小，即0 - 0 ：一0 将式f 2 2 5 ) 对时间微分两次得到质心的加速度 爱6a 戈一e 配c 9 3 一e 0 3 s 0 3 圪一p + p k 一0 。0 ：岛+ 2 0 。百：+ 反目：+ 岛也+ 以) c 岛一( 鳄+ 2 0 , 0 ：以+ 2 0 。8 ：或+ o l o 。以p 如j z g ；0 近似地表达，可以忽略和b 、0 ：、反、扫：、反、以有关的项，转子质量中 心在o a t z 中的坐标变为： 叫耋：毒黜 1 4 r 2 2 7 ) 西北工业大学顾士学位论文 第二章滚动轴承转子系统的非线性动力学横型 将式( 2 1 6 ) 重新写成坐标x 、y 和角坐标口。、0 2 、岛的函数，方程变为 m i = f 。? x + f 2 x + m e 碴；c 8 ；+ 3 s 8 0 1 肘寸= e ，+ 疋r + p + m e ( o ；s 0 ，一玩c 岛) 为了对方程( 2 2 8 ) 进行数值积分，假设0 ，；删= f ， 百，- ，以a0 ，在这种假设条件下，方程( 2 2 8 ) 写为 f 磁= ，j + ，t + m e w2 c o s 1 耐= e ，r + e ，r + p + m e t a2 s o s ( 2 2 8 ) 因为m 是常数。所以 f 2 2 9 ) a c ，和c 2 的坐标忸 可以写成点c 的坐标忸 的函数，由式( z 2 2 ) 、( 2 。2 4 ) 、 ( 2 2 5 ) 可以得到： 骱* 峒叫计隧 ；f 乩2 仁s 其中， z 一- - e ( e 2 c 0 3 一哇5 以) e 广g 艺c o s 口，+ ) r f s i n 口，一y w ) ? s i n o j f ( 2 3 1 ) 一q 艺“o o s 日+ ) ，i s i n 口，一) ? 0 0 s 口 ( 2 3 2 ) ”寿”1 ) + 篑r ( h ，虬，2 ) 肿t 。嘲4 ”y i 吐2 ，一忸 。+ 锐一 y 喝 一 ；，2 lz + ，1l z 1 e 。表达式中的t 和y 分别对应点c 。、c ：的坐标忸l 中的和y 。， 佗3 3 ) 可以表 示为盖、y 和0 ：的函数。 x i x + 8 4 i ； y = y o i , ； q 3 4 ) z i z + l 。t ! i 考虑到转子绕其质心g 的旋转运动，在转子的参考坐标系g x y z 中运动方 程为： 似 。 ，酗 + b 工，酗 ( 2 3 5 ) 西北_ 业足学硕f 。学位论文 第二章滚动轴承转于系统的非线性动力学模型 坐标系g ：班中，作用在质心的主动力和保守力的转矩； 【， 坐标系g 班中转子的惯性阵。 b 坐标系g 印杞的旋转矩阵： 如卜一坐标系g 舻中的角速度向量； 协卜一知 对时间r 的一阶导。 酐 ”即榭 亿s a ， 峨坐标系g 那里角速度向量曲 的第f 个分量( i 。x , y ，z ) 。 陋j 是用来表示向量b ，和角速度向量 差 之间关系的一个表达式； 可以写出 妇 t 鲁舨 萎 ) 一k 移) + 定瞄 c z 3 7 ， 向量如) 哆 ，它可以表示为角速度碗、如、以的函数把每个角速度反 对向量如) 沿坐标系g 班的轴向分量用向量如k 来表示。b b 表示坐标系g ：妒 里角速度向量如，的分量，它与列向量 妻 、 丢 、侄 有关。 并且有 b 一曲k 。+ 如k + 如k ( 2 3 8 ) 如k = 陋如，k 。c 如， f 暑 ：b kl k 。鸭，螺 ；如b - 墨 由此如，2 耋) 如h + 如k + 如五= 陋， 塞 疆l t 韭天攀赣台挚建诠文 莽二章滚潮轴承一转于系缝麴靠线牲动力擎壤嫠 c 8 2 c 岛s 岛 一c o ：以c b s0 又 阪】 c 0 2 c 如 一c 哎s g s o , s 岛0 c o , 0 ol 一 鬻， ， 3 。， c 岛s 0 3 0 一s o , c 魂0 晓01 矩阵b 表示在坐标系g 枷的旋转矩阵，可以用向量每) 来表示 汹】一 0 一败o ) y 】 脚：0一：| 一0 3 y 珊_0l 0 0 l s 0 2 一以一峨c 吼s 岛+ 吼c 岛 壤s 8 2 专0 3 0 一续。如c 0 3 一酸s 懿 吼c 8 2 s 0 3 一致c 0 30 i c 0 2 c 岛+ 0 2 s 0 3 0 0 一百，日：一威 一百。s 以+ o = c o ，1 0 1 0 2 + 0