（机械设计及理论专业论文）电抗器箱体动态特性有限元分析.pdf

华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 针对电抗器箱体类的复杂薄壁板壳结构，一般采用有限元法对其进 行强度校和以及位移分析。本文针对薄板结构，基于g k i r c h h o f f 假设， 推导了四边形2 4 节点g q s 2 4 板单元。该单元的特点是：g q s 2 4 壳单元是一 种带有平面内旋转自由度的四节点平板单元，每个节点有六个自由度，并在 推导时根据物理意义将自由度分为引起膜内变形和弯曲变形自由度两部分。 当结构变形较大时，即需要考虑几何非线性对结构的影响，针对此特点推导 了基于u l 方法的单元切线刚度矩阵。最后，针对本为推导的单元，采用代 表性模型对其精确性进行了验证，并对几何非线性单元同样进行了类比验 证。验证结果表明，该类型单元适合解决几何小变形类板壳问题。 关键词：电抗器箱体，有限元，g q s 2 4 板单元 a b s t r a c t f o rb o x t y p er e a c t o rc o m p l e xt h i n w a l l e ds h e l ls t r u c t u r e t h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o di su s e dt oc a r r yo u ti t ss t r e n g t ha n dd i s p l a c e m e n ta n a l y s i s b a s e do nt h eg k i r c h h o f fa s s u m p t i o n ，t h i sp a p e rd e r i v e d2 4 - n o d eq u a d r i l a t e r a lg q $ 2 4e l e m e n t t h ee l e m e n ti sc h a r a c t e r i z e db y ：g q s 2 4e l e m e n ti sap l a n ew i t hr o t t i n gd e g r e e s o ff r e e d o mw i t hf o u rn o d e so ff l a t p a n e le l e m e n t ，e a c hn o d eh a ss i xd e g r e e so f f r e e d o m ，a n dw h e nt h e ya r ed e r i v e db a s e do nt h ep h y s i c a lm e a n i n go ff r e e d o m w i l lb ed i v i d e di n t om e m b r a n ee l e m e n ta n db e n d i n ge l e m e n ti nt w op a n s w h e n t h es t r u c t u r eo fl a r g ed e f o r m a t i o n 。w h i c hi st ob ec o n s i d e r e dn o n 1 i n e a rg e o m e t r y o ft h es t r u c t u r e t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h i sm e t h o di sd e r i v e db a s e do nu l s e l e m e n tt a n g e n ts t i f f n e s sm a t r i x f i n a l l y ，f o rt h i si sd e r i v e df o rt h ee l e m e n t ，u s i n g t h em o d e lr e p r e s e n t a t i o no fi t sa c c u r a c yv e r i f i e d a n dn o n l i n e a r g e o m e t r y e l e m e n tc a 盯i e do u tt h es a m ea n a l o g yt ov e r i f y t ov e r i f yt h er e s u l t ss h o wt h a tt h e t y p eo fe l e m e n ts u i t a b l ef o rs o l v eg e o m e t r i co fs m a l ld e f o r m a t i o no fs h e l l t y p e p r o b l e m s l i n ay u n ( m e c h a n i c a ld e s i g n & t h e o r y l d i r e c t e db yp r o f z h a n g q iw a n g k e yw o r d s ：r e a c t o rt a n k ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，g q s 2 4e l e m e n t 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 针对电抗器箱体类的复杂薄壁板壳结构，一般采用有限元法对其进 行强度校和以及位移分析。本文针对薄板结构，基于g k i r c h h o f f 假设， 推导了四边形2 4 节点g q s 2 4 板单元。该单元的特点是：g q s 2 4 壳单元是一 种带有平面内旋转自由度的四节点平板单元，每个节点有六个自由度，并在 推导时根据物理意义将自由度分为引起膜内变形和弯曲变形自由度两部分。 当结构变形较大时，即需要考虑几何非线性对结构的影响，针对此特点推导 了基于u l 方法的单元切线刚度矩阵。最后，针对本为推导的单元，采用代 表性模型对其精确性进行了验证，并对几何非线性单元同样进行了类比验 证。验证结果表明，该类型单元适合解决几何小变形类板壳问题。 关键词：电抗器箱体，有限元，g q s 2 4 板单元 a b s t r a c t f o rb o x t y p er e a c t o rc o m p l e xt h i n w a l l e ds h e l ls t r u c t u r e t h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o di su s e dt oc a r r yo u ti t ss t r e n g t ha n dd i s p l a c e m e n ta n a l y s i s b a s e do nt h eg k i r c h h o f fa s s u m p t i o n ，t h i sp a p e rd e r i v e d2 4 n o d eq u a d r i l a t e r a lg q $ 2 4e l e m e n t t h ee l e m e n ti sc h a r a c t e r i z e db y ：g q s 2 4e l e m e n ti sap l a n ew i t hr o t t i n gd e g r e e s o ff r e e d o mw i t hf o u rn o d e so ff l a t p a n e le l e m e n t ，e a c hn o d eh a ss i xd e g r e e so f f r e e d o m ，a n dw h e nt h e ya r ed e r i v e db a s e do nt h ep h y s i c a lm e a n i n go ff r e e d o m w i l lb ed i v i d e di n t om e m b r a n ee l e m e n ta n db e n d i n ge l e m e n ti nt w op a n s w h e n t h es t r u c t u r eo fl a r g ed e f o r m a t i o n ，w h i c hi st ob ec o n s i d e r e dn o n - l i n e a rg e o m e t r y o ft h es t r u c t u r e t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h i sm e t h o di sd e r i v e db a s e do nu l s e l e m e n tt a n g e n ts t i f f n e s sm a t r i x f i n a l l y ，f o rt h i si sd e r i v e df o rt h ee l e m e n t ，u s i n g t h em o d e lr e p r e s e n t a t i o no fi t sa c c u r a c yv e r i f i e d ，a n dn o n l i n e a rg e o m e t r y e l e m e n tc a l l r i e do u tt h es a m ea n a l o g yt ov e r i f y t ov e r i f yt h er e s u l t ss h o wt h a tt h e t y p eo fe l e m e n ts u i t a b l ef o rs o l v eg e o m e t r i co fs m a l ld e f o r m a t i o no fs h e l l t y p e p r o b l e m s l i n ay u n ( m e c h a n i c a ld e s i g n & t h e o r y ) d i r e c t e db yp r o f z h a n g q iw a n g k e yw o r d s ：r e a c t o rt a n k ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，g q s 2 4e l e m e n t 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文电抗器箱体动态特性有限元分 析，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：弛耻日 期：一丝21 塑 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅； 学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同 方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：盘萄蠲鞋 日 期：迦2 。2 。盖g 新签名一叁 日期： 华北电力大学硕士学位论文 1 1 电抗器箱体概述 第一章概述 随着高压输变电线路的普遍运用，电抗器和变压器随之应运而生。电力网中所 采用的电抗器，实质上是一个无导磁材料的空心线圈。它可以根据需要布置为垂直、 水平和品字形三种装配形式。在电力系统发生短路时，会产生数值很大的短路电流。 如果不加以限制，要保持电气设备的动态稳定和热稳定是非常困难的。因此，为了 满足某些断路器遮断容量的要求，常在出线断路器处串联电抗器，增大短路阻抗， 限制短路电流。 电抗器也叫电感器，一个导体通电时就会在其所占据的一定空间范围产生磁 场，所以所有能载流的电导体都有一般意义上的感性。然而通电长直导体的电感较 小，所产生的磁场不强，因此实际的电抗器是导线绕成螺线管形式，称空心电抗器； 有时为了让这只螺线管具有更大的电感，便在螺线管中插入铁心，称铁心电抗器。 电抗分为感抗和容抗，比较科学的归类是感抗器( 电感器) 和容抗器( 电容器) 统 称为电抗器，然而由于过去先有了电感器，并且被称谓电抗器，所以现在人们所说 的电容器就是容抗器，而电抗器专指电感器。 二、电抗器分类卫1 ： 按结构及冷却介质、按接法、按功能、按用途进行分类。 l 按结构及冷却介质：分为空心式、铁心式、干式、油浸式等，例如干式空心 电抗器、干式铁心电抗器、油浸铁心电抗器、油浸空心电抗器、央持式干式空心电 抗器、绕包式干式空心电抗器、水泥电抗器等。 2 按接法：分为并联电抗器和串联电抗器。 3 按功能：分为限流和补偿电抗器。 4 按用途：按具体用途细分，例如限流电抗器、滤波电抗器、平波电抗器、功 率因数补偿电抗器、串联电抗器、平衡电抗器、接地电抗器、消弧线圈、进线电抗 器、出线电抗器、饱和电抗器、自饱和电抗器、可变电抗器( 可调电抗器、可控电 抗器) 、轭流电抗器、串联谐振电抗器、并联谐振电抗器等。 油浸式电力电抗器，是以油作为电抗器主要绝缘手段。用于两级电网之间、两 区域电网之间联络。而且大量用于电厂、钢厂、铁路等大型机械制造业。它依靠油 作冷却介质，如油浸自冷，油浸风冷，油浸水冷及强迫油循环等。一般升压站的主 变都是油浸式的，变比2 0 k v 5 0 0 k v ，或2 0 k v 2 2 0 k v ，一般发电厂用于带动带自身 负载( 比如磨煤机，引风机，送风机、循环水泵等) 的厂用电抗器也是油浸式电抗 华北电力大学硕士学位论文 器。这种类型的电抗器以其结构紧凑，成套性强，运行可靠，维护方便，造型美观 和完善的“五防 口功能等优点，并且占地面积小，选址灵活，移动方便，建站周 期短，投资小。 在电抗器结构中，电抗器油箱是电抗器的主要部件之一，是保护电抗器器身的 外壳和承装电抗器内绝缘油的容器，同时，又是安装电抗器外部附件的载体。因此， 电抗器必须满足以下要求1 ：一：能够承受电抗器器身和电抗器内部绝缘油的重量 以及电抗器总体的起吊重量；二：能够承载电抗器外部有附件的重量；三：在运输 中能够承受冲击加速度的作用和运行条件下的地震力和风载作用力；四：要求大型 电抗器油箱能够承受抽真空注油时大气压力的作用，对中小型电抗器则不做要求； 五：即要能承受内部油压的作用，还要保证发生事故时油箱不爆裂。 电抗器箱体作为薄壁空间结构的代表，具有如下特点： 1 ) 内力呈三维传递并以面内力或轴力为主。 电抗器箱体作为典型的薄壳结构，并有三维空间的连续体结构，它的厚度远比 其他方向小，其大部分内力是沿着中曲面传递( 简称面内力，如沿中曲面方向的拉 力、压力及剪切力) ，仅在边界附近( 约l 1 0 跨度长的范围内) 存在着面外力( 如弯 矩、竖向剪力) 。 2 ) 内力的均匀性和分散性。 电抗器结构在均布荷载作用下其内力呈较均匀的连续变化，而在集中荷载作用 下，也能较快的分散传递开来。但当结构的跨度大到一定程度时，其结构的刚度就 会下降，这就带来了薄壁结构所特有的大变形问题，即有引起结构失稳的危险性。 在这种情况下应当增加附属结构如筋板等来减小结构变形。 3 ) 立体性。 从整体来看，电抗器箱体是一个整体连续体空间构成，并由许多薄壁结构扩展 而成，不管何种构成方式，空间结构都是以整个结构形体来抵抗外荷载的，因此它 的工作具有明确的大体性的特点。反过来说如果在结构分析的基本概念上可以忽略 结构上的立体性，则它就不是空间结构。 在电抗器箱体的有限元分析中，我们为模型简化取如下考虑： 对弯曲和剪切效应而言，结合部是刚性的，也就是说不考虑实际的电抗器箱体 焊缝的影响，并认为结合部属刚性连接。 在传统的小型电抗器设计中，针对油箱机械强度和刚度的设计多采用经验设计 和类比设计，而不做详细的应力和应变分析以及计算，这主要是由于传统的手算方 法过于繁琐，并且效率较低。用经验设计以及类比的方法得到电抗器油箱成型后， 其机械强度和刚度通常没有确切的计算数据。在电抗器油箱的机械强度和刚度分析 计算中我们引入了有限元方法，可以有效的解决上述问题。 针对本文研究的电抗器箱体，由于是薄壁结构，该结构尺寸在一个方向的尺寸 2 华北电力大学硕士学位论文 远小于其它方向的尺寸，为保证计算精度，所以在计算时采用板壳单元来对该电抗 器进行模拟晦1 。在工程技术领域内，工程师常常运用数学和力学知识将实际问题抽 象成他们应当遵循的基本方程和相应的边界条件。但对于大多数工程技术问题，按 照传统的弹性力学方法获得解析解是很困难的，这样有两条途径可以解决：一、引 入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到简化状态下的解 答。另一种途径是数值解法，如有限元法，边界元法，有限插分法和离散法等。有 限元方法自1 9 4 1 年h r e n i k o f f 使用“框架变形功法”求解了一个弹性问题开创了 有限元发展的先河。1 9 6 0 年c l o u g h 在处理平面弹性问题时，第一次提出“有限元 法”( f i n i t ee 1 e m e n tm e t h o d ) 的名称哺1 ，使人们更加清楚的认识到有限元方法的 特性和功效。近3 0 年来，伴随着电子计算机科学技术的发展，有限元作为工程分 析中的有效方法，在理论、方法的研究、计算机程序的开发以及应用领域的拓展方 面取得了根本性的发展。 1 2 有限元方法 有限元的理论基础是变分原理。在有限元方法中，最常用的变分原理有最小势 能原理，最小余能原理和混合变分原理。相应的计算结果应用最小势能原理结果刚 度矩阵偏于刚性，结果偏于保守，而最小余能原理结果偏于柔性。由于采用不同的 变分原理，得到不同的未知场变量。当采用最小势能原理时，假设单元内的位移场 函数形式。当采用最小余能原理时，将假设单元的应力场形式。当采用混合变分原 理时，例如基于h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理1 的有限元时，将同时假设单元内的 某些位移场以及某些应力场函数进行求解。当用有限元法处理瞬态问题时，常用的 变分原理是h a m i i t o n 原理。 有限元方法处理弹性力学问题的基本思路是： 1 、离散化将一个受外力作用的连续弹性体单元离散成一定数量的有限小的单 元集合体，单元之间只在结点上相互联系，并且只有在结点上才能传递力。 2 、单元分析根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移 之间的关系。 3 、整体分析根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性 方程组以及计算单元应力。 有限元法从物理方面盯一1 看，它是用仅在结点上彼此相连的单元组合体来代替 分析的连续体，即将待分析的连续体划分为若干个彼此相联系的单元。通过单元特 性分析，来求解整个连续体的特性。可以认为有限单元法的本质和结构力学中的珩 架结构类似，将要计算的几何体根据网格大小简化为相应的珩架单元，在有限单元 中的单元节点可认为是珩架结构的铰结点，这样只有在珩架结构的边界上分布有载 3 ， 华北电力大学硕士学位论文 荷，而单元面上的载荷将认为均匀分布在各个结点上面。而有限单元法中的刚度矩 阵等等问题属于算法问题，其根本作用是为找到单元的位移与边界条件之间的关 系。当一个珩架单元的关系找到后，相应其他单元的关系就可以计算出来。 从数学方面看阳1 ，它是使一个连续的无限自由度问题变成为离散的有限自由度 问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知 量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然，随着单元数目的增加，即 随着单元尺寸的减小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛性要求 的，近似解将收敛于精确解。 有限单元法的优点： 1 、概念浅显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按严格的 数学逻辑来研究。 2 、适用性强，应用范围广，不仅能成功的分析具有复杂边界条件、非线性、 非均匀材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程中的其它边值问题， 如热传导、电磁场、流体力学等。 3 、国内外已经出现大量的有限元通用程序如：a n s y s ，m s c n a s t r a n ，m s c m a r c ， a d i n a ，a l g o r ，p r 0 m e c h a n i c a ， i d e a s以及一些专用程序如l s d y n a ， d e f o r m ，p a m s t a m p ，s u t o f o r m ，s u p e r - f o r g e d 等阳1 ，可以直接使用。 1 3有限元方法力学基础 有限元方法基于弹性体单元，从任意小变形体中取出出咖出微小单元体来建 立，这样根据弹性力学相关内容，可以建立微小单元体的基本方程。 弹性力学基本方程可用笛卡儿张量符号n 们来表示，这样在直角坐标系中的应力 和应变为二阶张量，而位移、体积力、面积力为一阶张量。以下给出弹性力学的基 本方程和边界条件的张量形式。 ( 1 ) 平衡方程： 万y , ，+ ；= 0 1 ， ( 2 ) 几何方程： 勘。互，4 - u j , i ) ( 3 ) 物理方程： 盯 ，；d 胁 ( 4 ) 边界条件： 力的边界条件： l - 5 刀 位移边界条件： 材，2 坼 对于三维问题，其独立变量的数目为：3 个位移分量，6 个应力分量，6 个应变 分量，共15 个分量。 其独立方程数目为：3 个平衡方程，6 个几何方程，6 个物理方程，共1 5 个方 4 华北电力大学硕士学位论文 程，以及两个边界条件。 这些变量是针对从任意几何变形体中取出来的出咖出微小单元建立的，无论 变形体几何形状以及边界条件有何差异，但变量以及方程是完全相同的，所不同的 是变形体几何形状以及边界条件的不同，所以在求解时关键是如何处理变形体的边 界条件以及几何形状，这就给后续的工作给予很大的启发，在后续的单元刚度矩阵 的推导及求解时遵循一定的规则，并为单元刚度矩阵的扩充带来极大的便利。但在 其方程的求解过程中，由于各个方程之间相互耦合，使得大部分的结构无法进行具 体的计算。这样，提出了一种新的方法：能量法n “1 2 3 。 同样取出任意几何变形体中的出咖如微小单元，该单元在外力作用下单元体 产生变形，该微小单元体所包括的能量有两部分：( 1 ) 施加外力在可能位移上所做 。的功。( 2 ) 变形体由于变形而存储的能量。 外力功由两部分组成： i ：在力的边界条件上，由外力p r 在相应位移甜，上所做的功。 i i ：在单元内部，由体积力吼在相应位移“，上所做的功。 这样，外力做的总功为： w = 1 6 ，“，地+ i 万，”，d a 矗 应变能： 应变能分为两部分：由正应力及剪应力分别产生的应变能。 u = 吉肛+ 专舾 -n-q 这样，定义系统受到的势能为： 兀= u w = 一1 icrsd2一(防“，地+ipil2j，dx)9 、j 。 一 。n 1 2 j 口 现将连续体进行分散：由于连续体内部不存在自然的连接关系，而是以连续介 质的形式给出物质间的相互关联，所以必须人为的在连续体内部和边界上划分节 点，以分片( 单元) 连续的形式来逼近原来复杂的几何形状，这样通过增加连续体 的单元节点数量来逼近精确值。以下进行具体讨论： 对于一连续体对其进行离散后其每一个微小单元体位移函数u 。可写为插值函 数形式： u 。= n q 。 这样占8 = d ( u 8 ) = 励。 其中b = d ( n ) 所以得到 仃= e s = e b q 8 = s q 。 华北电力大学硕士学位论文 这样，对于连续的厚度为f 的薄板连续体由于自身形状变化引起的应变能为 u ：三胁 2 占 = 寺矿愿移g 。幽f = 去g 订k q 其中，k 。= 矽b 毋b d a 我们将k 。称之为单元刚度矩阵。 1 4 板单元刚度矩阵公式背景 板壳结构是工程中广为采用的一种结构形式，用有限元方法进行板壳结构的受 力分析和研究，其所占比重可以想象。由于在有限单元法中的特殊地位，所以许多 学者对该板壳单元写出了许多中不同的单元。而在壳体有限元分析中，平板型壳单 元最为简单和直观，因而最早得到广泛的发展和应用。它将壳体离散成为一个一个 相互连接的折板结构，可以通过彼此单元之间相互连接的节点满足位移，而精确度 可以通过单元的数量来近似满足，这样目前人们的兴趣又重新转向平板壳单元3 。 但是平板单元刚度矩阵如果建立不合理将会造成刚度矩阵奇异、膜向拉伸与平板弯 曲两部分位移插值阶次如何匹配以及相邻单元边界位移不协调等等问题。 在弹性力学中，所谓薄板是指板厚h 与板面最小尺寸b 的比值在如下范围内的 平板 ( 去击) i h ( 喜丢) 平分板厚度h 的平面称为中面( 中平面) 。 由于平板结构主要承受两种形式的载荷，即面内拉、压载荷以及垂直于板面的 法向载荷，前者靠板面内刚度以拉伸和压缩的形式承载，后者靠板的弯曲刚度以弯 曲、扭转的变形来承受载荷，这样板单元刚度将不再是平面问题，而是像梁一样产 生弯曲以及扭转。此类问题称之为薄板弯曲问题。 薄板弯曲理论建立在一个重要的假定之上，即克希霍夫n 钉( g k i r c h h o f f ) 假 设： ( 1 ) 板的中面没有变形，即在弯曲时中面是中性曲面。 ( 2 ) 直法线假设：弯曲前板内垂直于中面的直线段在弯曲后仍然保持为直线， 并垂直于中性面，这直线段的长度不变，这样有比2 20 。 ( 3 ) 切平面应力假设：沿中面法线方向的应力仃：很小，忽略应力盯二以及应变 ：，作应力分析时只考虑壳切平面内的应力q 盯，r x y 。 6 华北电力人学硕士学位论文 ( 4 ) 壳的材料是线弹性的，均匀的，各向同性的。 这样，该板壳单元内部任一点的应力状态为： 由g k i r c h h o f f 的直法线假设，有心2 20 ，所以有f 立2r 弦。u 。根据剪应 力互等定理，有f “2 r - y 2 u 。再由切平面应力假设，忽略仃：，所以在该板壳内任意 一点是平面应力状态，只有口，仃yf x y 存在。 这样，根据g k i r c h h o f f 假设，该板壳单元横截面上的内力为： 在横截面上，存在着由o rd ，合成绕x 轴和j ，轴的弯矩m ，m ，以及由x y 合 成的绕x 轴和y 轴的扭矩m ( m 肛) ，并且还存在着由o x 盯y 合成的轴力，n y 以 及由7 x y 合成的面内的剪力川x y 。因此，在该板壳微元体横截面上的内力元素有六个： ，yn 砂m ，m y 膨砂，由于x ， 掣作用在板壳单元的中面，因而通 常称之为膜力，而朋，肘y 朋使板壳单元中面受弯，扭，通常称之为横向力。 图1 - 1 膜力作用图示 图1 - 2 横向力作用图示 7 华北电力人学硕十学位论文 本文在第二章推导的单元就基于6 k i r c h h o f f 假设，并且列写出不同的板壳单 元刚度矩阵分别写出其刚度矩阵方法及应用特点，以此为基础来对后续的板壳单元 进行比对。 8 华北电力大学硕士学位论文 2 1 板壳单元整体介绍 第二章板壳单元理论推导 g q s 2 4 壳单元是一种带有平面内旋转自由度的四节点平板单元，每个节点有六 个自由度，它避免了常规壳单元中每个节点五个自由度在单元共面时造成的刚度矩 阵奇异问题：另一方面，它通过在膜元位移模式中引入适用于任何四边形单元的不 协调位移函数，使得膜元和弯曲元中位移插值函数阶次匹配f , - j 题也得到了解决。另 外在应用上易于模拟复杂的壳面连接和易于与别的带有转动自由度单元相容。 在建立g q s 2 4 壳单元刚度矩阵公式时，将该刚度矩阵的结点自由度分为两部分 分别计算，最后将刚度矩阵公式进行叠加_ 1 5 o 由于所建立的坐标系是正交的，即 单元节点之间的自由度之间没有耦合关系，这样对g q s 2 4 壳单元可以直接进行叠加。 现本文采用同样的方法进行如下验证。 对于动力学以及静力学的线弹性四边形板一梁单元的组合刚度矩阵公式的推导 在现在正在大量研究n 6 。2 。以下，我们建立了一种四边形刚度矩阵公式，该四边形 单元每个节点均为六个自由度，即：材，v ，w ，虬，日；六个方向 的自由度。该四边形刚度矩阵认为板平面厚度为常量，并将其自由度分为两部分 分别进行推导。第一部分为板单元刚度矩阵部分，其节点自由度为“1 ，吼，第二 部分为膜单元刚度矩阵部分，其节点自由度为w 旷，p a - f 进行具体推导。 图2 - 1 平面膜单元自由度及受力图 9 华北电力大学硕士学位论文 2 。2 平面膜单元 图2 - 2 弯曲板单元自由度及受力图 2 2 1 平面膜单元刚度矩阵公式 建立以下平面坐标系，假设膜单元厚度为r ，并设该膜单元x 方向长度为a ，y 方向长度为b ，该膜单元弹性模量为e 。取膜单元坐标系统如下图： f x l 图2 3 膜单元坐标位置示意图 i o 华北电力大学硕士学位论文 该单元节点位移共有三个自由度，其节点位移列阵为： g 。= 材iv l 岛u 2v 20 2 甜3v 3 岛u 4v 一包】丁 ( 2 一1 ) 该单元在上述节点位移情况下，单元的变形情况如图所示： 图2 4 单元变形情况示意图 我们以上图所示坐标系来进行下述刚度矩阵以及质量矩阵的推导： 由于该单元为一般壳单元，希望有较高的单元计算精度以及在单元节点上保持 导数连续的单元位移函数，即要求所构造的单元在节点处位移连续同时转角也连 续，这样可采用h e r m i t e 多项式进行插值。对于2 节点h e r m i t e 插值函数可通过数 值逼近乜2 3 查出，如下： h o l = 1 3 f 2 + 2 f 3 h 1 l = f 一2 f 2 + f 3 h 0 2 = 3 f 2 2 f 3 h 1 2 = f 3 一f 2 ( 2 2 ) 其中局部坐标系如图所示： 图2 - 5h e r m i t e 插值函数局部坐标示意图 n 华北电力大学硕士学位论文 其插值函数图形为： 0 0 0 0 、 、 、 弋 、， 、 二3 。 i 、巡：二! 兰 图2 - 6h e r m i t e 插值函数图形 根据坐标轮换，那么在图示坐标系下的位移插值函数就可以写为如下形式： l = - 古3 ( 2 y 3 - 3 砂2 + 6 3 ) 3 一古( 2 y 3 - 3 呐 n 5 - 乙1 - - t ( 2 x 3 - 3 锻2 + 口3 ) 2 一古( y 3 _ 2 砂2 + 6 2 y ) 9 4 = - 古2 ( y 3 - 砂2 ) n 6 了1 ( 工3 2 锻2 + a 2 x ) 7 = 一了1 ( 2 x 3 - - 3 缎2 ) 8 = - 2 ( x 3 - - 锨2 ) ( 2 - 3 ) 由于为平面单元，即该单元变形只发生于x o y 平面内，这样在计算时，可将x 方向的以及y 方向的位移函数分别写为如下形式： u ( x ) = 1 而+ n 2 0 z l + n s x 3 + n 4 见3 + 1 x 2 + n 2 皖2 + n 3 x 4 + 4 见4 “( j ，) = n s y l + 6 馥l + 7 y 3 + n s o ：3 + 5 y 2 + n 6 9 2 2 + 7 y 4 + n s o 4 ( 2 4 ) 当为图2 - 3 所示坐标系时，具体位移函数公式为： 扰( z ) = ( 1 一x 口) n l x i + n 2 见t + n 3 x 3 + n 4 见；】+ ( 三) ，工：+ ：见2 + n s x 4 + n 4 a 以。】 口 甜( y ) = ( 1 一詈) 【，少。+ 6 免i + n t y 3 + 8 够， + ( 孚) 【5 y ：+ 。色2 + n 7 y 4 + n s 0 见。】 d ( 2 5 ) 令 = 1 一三x ：一 口 则位移函数写为矩阵形式： 1 2 一兰b “= 上b ，l ( 2 6 ) 0 n ，y ： n 2 z ： n 6 y ： 华北电力大学硕士学位论文 “( 五y ) ：一x ，夕】： “( 工，y ) = 【甜：；x ：) ；1 = 甜。l x ，少j n l 工； o 0 n 7 y ： n 2 z ： n 。y ： n 3 z ： o ( 2 - 7 ) 0 n 4 c ：n 3 z ：0n 4 x ：i n 5 y ：n 6 y ：0n 7 y ：n 8 y ，j ( 2 - 8 ) 这样，由弹性力学平面问题的几何方程，可求出单元应变表达式 又由于 则： 取几何形状矩阵 8 ( x ，y ) =m e 剀5 u ( x = 渤n 。 ，y ) = 【：】：g 。 材【y ) s ( x ，夕) = b m ( x ，y ) = 求得几何形状矩阵为： b m ( x ，y ) = n q 。 n ( 2 - 9 ) ( 2 一1 0 ) ( 2 1 1 ) o 舯 肚 1 ；j 、，、， y y 巧五 ，ll 工 y “ “ 。l a一钞a一缸 a 一苏 a 一砂 a一钞a一缸 a 一锄 a 一钞 a一砂a一锄 a 一( 毽 a 一钞 型锄必砂一 警 警掣 型砂 盟融酬砂一一 警 警掣 型砂 3 华北电力大学硕士学位论文 o n 3 x ： 斛4 x ： ：o n 3 x ； o n 4 x ： 舐 苏苏 缸 o n ，y ： o n 6 y ： ： 3 n ，y ：o n 8 y f 砂砂 砂砂 o n 3 z jo n 5 “o n 4 x ；o n 6 y i ：o n 3 x ：o n 7 y io n 4x ；o n 8 y f 砂 缸 砂 舐 砂 缸 钞 融 计算几何形状矩阵中各项，如下： 砚广o n 缸1 x o _ 一击( 2 产3 砂2 ) 观，：o 挑 l - 百o n l x o = ( 1 一言) 6 y 2 - 6 砂) 跳2 - o 岷= 等一面1 。( 2 x 3 _ 3 矾口3 ) 岷= 半= 专( 一* 6 x 2 - - 6 甜) 嘲3 - i o n 2 x o = 万1 ( y 3 2 砂+ b 2 y ) 砚广下o n 6 y o = 一击( 2 锻2 + a 2 x ) 砜= 警+ 掣= 吉”b ) ( 3 x 2 _ 4 以材) 一古”x 口) ( 3 y 2 - 4 砂+ 6 2 ) 帆4 = 百a n i x l = 万1 ( 2 y 3 - 3 砂2 + 6 3 ) b i n 2 , 4 = o 砌， 4 - 警= a - - 等( 6 y 2 - 6 功阢：o b 所：，= 下o n 7 y o = 高3 b ( 2 x 3 - 3 甜2 )b 聊，= o n 缸7 y o = 一专( 1 一詈) ( 6 x 2 - - 6 甜) 砜= 警= 一矛1 ( 产2 砂+ b 2 y ) 砜= 等一击一) 砜= 警+ 警= 吉( 1 一b ) ( 3 x - 2 咖- 者b 2 ( 3 y 2 - 4 砂+ 6 2 ) 赫，= 警= 一面1 ，( 2 y 3 _ 3 砂2 + b 3 ) ：o 砜= 警一古( 1 一x ) ( 6 y - 6 砜：o 砜= 等= a - 刍- ( 2 x 3 - 3 小口3 ) 砜= 掣= = o n 反4 x o ：1 y 3 彬) = 警= x 2 6 a x ) 3 2 a x 2 + a 2 x 1 = 等+ 掣刁y 矿2 _ 4 2 ) 一扣x ) ( 3 y - 2 砜。= 等一万1 3 嘞2 ) ：。 上如上粕 华北电力大学硕士学位论文 = 警一_ 嘉b 3 ( 6 y 2 _ 6 砂) 砜。：。 砜。= 等一肿x - - - 生( 2 x 3 - 3 们= 掣_ y 2 _ 6 似) = 警= 一孑1 ( 产= 等= 去一) 砜z = 警+ 掣= - 蚴- - 旦- y ( 3 x 2 - 2 咖3 y 2 _ 2 砂) 由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元应力表达如下： o t n = d m 6 7 n = d m - b m 。q m 。= s m q m 2 ( 2 13 ) k m e ：fb m r d m b 肌d a f 勘。 咭h ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 接下来计算平面膜单元的内力矩阵，由内力矩阵定义可知： 似 = 陆弦) 8 ( 2 一1 7 ) 其中，矩阵 s 称为内力矩阵或广义应力矩阵，其形式为： 陆1 = d mi b m 】- 峪，s s 。s pj ( 2 1 8 ) 将单元中四个节点坐标分别代入式( 2 1 2 ) ，求得 b 矩阵，再代入式( 2 _ 1 8 ) 求 得 s 矩阵。各节点处应力矩阵的表达式为： 防，】= 引：志降 = 志0 0 l 一上以0b0 0 0 , u a 000 一a0 曲00 0a000 0000 0 00o 0 o 0 0b一00 0 00 懈 00 幻一a0 0 0 0 0口 0 o00o o 0 0 00 00 一脚0一b 00 6脚 0 0一a0 一曲00 西 a 0 00 o o 0o 0 o o 生 华北电力大学硕士学位论文 l a p 】= 志瞄0 苫：0 l一肋 2 2 2 平面膜单元质量矩阵公式 当考虑结构振动1 司题以及动力学问题中，结构的模态分析将是所有振动分析的 基础。现利用前面推导的插值函数来推导该单元的质量矩阵，以解决结构动力学方 面的问题。 对于系统平衡方程和力的边界条件的等效积分形式的伽辽金法可写为如下形 式汹1 ： 0 2 - i2 工赢，p ，+ z 一彬，一说，v 矿一彘，p ! ，雄，一t ) 勰= o ( 2 1 9 ) 对上式第一项工觑，j d v 进行分部积分( g a u s s g r e e n 公式) ，并带入物理方程， 则从上面可以得到： f ( d 州勺瑟村+ 彬，一玩，) a v 一( 王国，+ 如，霉嬲) = o ( 2 2 0 ) 这就是动力学问题的虚功方程( 虚位移原理) 。 对于平面膜单元，单元节点位移列阵为： q 8 = v 1 0 1 u 2v 20 2u 3v 3岛u 4v 4 幺 7 1 单元的位移插值函数为： ) = n ，q 8 ，y ) 一，、 = - 8 “。l x ，y j 将上述公式带入虚位移原理，得到系统的离散后的单元求解方程( 运动方程) ： m 。舀。+ c 。西8 + k 。u 8 = p 。 ( 2 2 1 ) 其中：m 8 = 工，p n 7 n d v c 。= 工，7 m 矿 k 。= f 。b r d b d v肚工，7 矿+ 7 删 ( 2 - 2 2 ) 当平面膜单元为等厚均质薄膜时，并且为图2 - 3 所示坐标系中，质量矩阵可简 化为： m 8 = 夕，, fi n n 7 n d y d x ( 2 2 3 ) 当平面板单元位于图示坐标系时，其插值函数具体如下： 。，_ n l 工：0n 2 n i 工：0 n 2 工：n 3 工；0 n 。工：n s 工i 0 m z ：l ”l 0 n 5 y ：n 。y ；0n 7 y ：n 8 “0n s y ；6 0n ，y ：n 8 y ；j 其中： 1 6 o 0 0 o 0 0 6 加o 0 0 0 胆口oo 0 o 0 0 o 0 华北电力大学硕士学位论文 l = - ( 2 y 3 - 3 砂2 + 6 3 ) 2 = 一矿1 ( y 3 _ 2 砂2 + 6 2 j ，) n 3 = - 吾- - 3 ( 2 y 3 _ 3 砂2 )。= 一矿1 ( y 3 _ 砂2 ) n 5 ：去( 2 x 3 3 蕊2 + 6 3 ) 6 ：去( x 3 2 似2 + a 2 x ) a 。乜。 ，= 一- 专3 ( 2 x 3 - 3 锻2 )8 = a l - - j _ ( x 3 _ 锻2 ) x o = 1 一三a 毛= 三ay 。= 1 一詈y ，= 詈 2 1 一一 毛2 一o 2 1 一言m5 苫 这样，将上述位移插值公式带入质量矩阵，积分出单元的质量矩阵公式如附录 3 所示 2 2 3 等效节点载荷 当板上受到分布荷载和节点荷载作用时，必须将它们以等效荷载的形式移置到 单元节点上去。 ( 1 ) 分布荷载的移置 应用虚功原理把作用在板面上的分布荷载q ( x ，y ) 等效为相应单元上的节点荷 载。设单元节点的任意虚位移为p + 广，等效节点荷载为球r ，则等效节点荷载扭r 在 p 厂上所作的虚功应等于分布荷载q ( x ，y ) 在相应的虚位移缈上所作的虚功，即： ( p 广) 丁埘= i f ( w ) 7g ( 工，y ) 出d y ( 2 2 4 ) 以式( 2 - 5 ) 代入上式，由于虚位移的任意性，故得等效节点荷载为： 泔= j 】7 g ( x ，y ) d x d y ( 2 - 2 5 ) 其中等效节点荷载 r ) e 为： 球) 。= 【r ，r ，。r 弘r r 掣r 办r 。r ，拼r 朋r 尹r 矽r 】 ( 2 2 6 ) 这里r i ，r x i ，砂f 分别为节点i 处的等效法向荷载和绕彳、y 轴向的等效力矩荷 载。 当板受到均布法向荷载q 。作用时，则单元节点荷载由式( 2 - 2 5 ) 可得： r y = g 。f 6 【】7 1 a x d y = 4 q 。口b f - 三鱼一旦三鱼旦三一鱼旦! 一鱼一旦 ， l 4 ，1 2 1 241 2 1 241 21 241 2 1