（电气工程专业论文）超高压合成绝缘子均压环结构优化研究.pdf

重庆大学工程硕士学位论文中文摘要 摘要 目前，随着线路合成绝缘子的大量使用，合成绝缘子在运行中已经出现了各种 各样的问题，其中合成绝缘子电场过高引起局部放电和绝缘过早老化等就是很常见 的问题。因此要研究合成绝缘子均压环的结构优化就显得尤为重要。 本文在总结电场计算方法的基础上，根据合成绝缘子的特点，选择了有限元法 与边界元法相结合的求解方法。针对有限元法与边界元法各自的特点及其互补性， 使用区域分解法将两者结合起来，实现迭代求解。这种求解方法既结合了两者的优 点又保持了两者的独立性。应用了f e m l a b 软件，对2 2 0 k v 合成绝缘子沿面电场 进行了分析，所得结果表明，有限元与边界元迭代求解方法是可行的，计算精度达 到了工程设计要求。 目前优化方法的研究多停留在局部寻优的确定性方法或全局寻优的随机性方 法上，在寻优的过程中，或陷于局部极值点无法找到全局最优；或需要大量的电磁 场计算并按一定规律调整待优化变量，使目标函数随机地逐步逼近最优。由于计算 量大，使工程技术人员难以接受。因此，本文提出在运用人工神经网络原理对合成 绝缘子均压环进行结构优化的方法，大幅度地降低寻优过程中电磁场的计算次数， 最大限度地降低了寻优过程中的计算代价。 基于人工神经网络和f e m l a b 仿真软件，本文建立了2 2 0 k v 合成绝缘子沿面 电场计算的数学模型，对合成绝缘子均压环进行结构优化分析，论文所提出的合成 绝缘子均压环结构参数优化方法还可以运用到更高电压等级合成绝缘子均压环结构 参数最优方案的求取，对结构设计具有重要的指导意义。 关键词：合成绝缘子，均压环，有限元，电场，最优化 重庆大学工程硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t a tp r e s e n t ，w i t hm o r ea n dm o r ec o m p o s i t ei n s u l a t o r su s e di ns e r v i c e ，t h e r ee m e r g e d m a n yp r o b l e m s t h ep a r t i a ld i s c h a r g ea n dp r e m a t u r ea g i n gr e s u l t i n gf r o mt o oh i g h e l e c t r i c f i e l di ni n s u l a t o r sa r ef a m i l i a rp r o b l e m s s oi ti sn e c e s s a r yt oh a v ea r le l e c t r i c a n a l y s i sf o rs t u d y i n ga n do p t i m i z i n g t h eg r a d i n gr i n g ss t r u c t u r eo f c o m p o s i t ei n s u l a t o r s h a v i n gs u m m a r i z e dt h ec a l c u l a t i o nm e t h o d so fe l e c t r i cf i e l d ，t h i sp a p e rs e l e c t st h e c o m b i n a t i o no ff e ma n db e m a c c o r d i n gt ot h ef e a t u r e so fc o m p o s i t ei n s u l a t o r i nl i g h t o ff a c tt h a tb o t hf e ma n db e mh a v ed i f f e r e n tc h a r a c t e r sa n dt h e va r ec o m p l e m e n t a r yt o e a c ho t h e r , a l li t e r a t i v em e t h o di sd e v e l o p e db yc o m b i n i n gt h et w om e t h o d su s i n gd o m a i n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，w h i c hc o m b i n e st h e m e r i t so fb o t ha n dk e e p se a c ho t h e r s i n d i v i d u a l i t y f e mm a k e su s eo ft h ef e m l a bs o f t w a r e a tt h ee n d ，w ec o n _ f i n n e dt h e f e a s i b i l i t ya n dv e r a c i t yo ft h i si t e r a t i v ec a l c u l a t i o nm e t h o db yr e s o l v i n gat h r e e - d i n l e n s i o n c a l c u l a t i o ne x a m p l eo f2 2 0 k vl i n ec o m p o s i t ei n s u l a t o r t h er e s e a r c ho fo p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e sn o wf o c u s e so nt w om a i nb r a n c h e s ：t h e s t o c h a s t i ca n dt h ed e t e c t i v em e t h o d s t h es t o c h a s t i cs e a r c hp r o c e d u r ei st of i n dt h eg l o b a l o p t i m a lb ym i l l i o n sa n dm i l l i o n sf e mc a l c u l a t i o na n dp r o v e su n b e a r a b l yt i m ee x p e n s i v e ； t h ed e t e c t i v es e a r c hp r o c e d u r ei st of i n dt h e o p t i m a lb yt h es e a r c hd i r e c t i o n ，b u t s o m e t i m e sf a l l si n t ot h el o c a lo p t i m a la n dc a nn o te s c a p eb yi t s e l t os o l v ea b o v e p r o b l e m s ，an e wm e t h o dh a sb e e nc r e a t e di nt h i sp a p e r ：t oo p t i m i z et h eg r a d i n gr i n g s t r u c t u r eo fc o m p o s i t ei n s u l a t o rb y u s i n ga n nt h e o r y s ot i m ec o s t d e c r e a s e s d r a m a t i c a l l y k e y w o r d s ：c o m p o s i t ei n s u l a t o r , g r a d i n gr i n g ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，e l e c t r i cf i e l d ， o p t i m i z a t i o n n 重庆大学工程硕士学位论文1 绪论 1 绪论 1 1 论文研究的目的和意义 绝缘子是架空输电线路的关键部件之一，其性能优劣将直接影响到整条线路的 运行安全。随着超高压大容量输电技术发展，作为传统输电线路使用的瓷绝缘子， 性能上越来越明显地暴露出其固有的缺陷与弱点，如笨重易碎、强度低、易发生污 闪事故、清扫维护工作量大等，己越来越不适应现代电力工业发展的新要求。合成 绝缘子是由两种以上高分子材料组成的复合结构的绝缘子，具有芯棒、伞裙护套、 粘接层和金具四部分，芯棒是绝缘子承担外力负荷的部件、也是内绝缘的主要部分。 伞裙护套是合成绝缘子的外绝缘，它保护芯棒免受大气环境的侵袭，目前，常用硅 橡胶作为制造高压合成绝缘子的外绝缘材料。与传统的瓷玻璃绝缘子相比，合成绝 缘子具有重量轻、强度高，耐污闪能力强，制造、维护、运输方便等优点，尽管我 国在合成绝缘子的研究方面起步较晚，但近年来发展十分迅猛，越来越受到了电力 系统的认可和好评。 同瓷绝缘子串类似，沿合成绝缘子长棒的电位分布是不均匀的，由于合成绝缘 子其结构和所用材料与传统瓷绝缘子不同，表面场强分布因此也较瓷绝缘子串更加 不均匀，主要在合成绝缘子导线侧场强较高。这种电场集中可能使材料中的微孔隙， 材料缺陷或不同材料问的交界面处产生内部的局部放电，这会使这些有机材料出现 过早老化引起绝缘性能的下降 4 。因此，合成绝缘子需要装设类型各异、尺寸不同 的电位梯度控制环，即均压环。它的作用主要是降低合成绝缘子上某些部位或两端 金具表面过高的电位梯度，对绝缘子表面电场的屏蔽，引开工频电弧，减少端部局 部电弧以减少表面腐蚀和污闪的可能。 目前国内外对超高压合成绝缘子均压环的布置还没有统一的标准，各电力设计 单位均根据实际运行经验对合成绝缘子均压环进行配置。对超高压合成绝缘子均压 环的优化布置，能够明显地改善电极形状，使沿绝缘子轴向电场的分布和最大场强 都得到较大的改善。综上所述，研究超高压合成绝缘子均压环的结构优化对延长合 成绝缘子使用寿命，合理设计布置均压环，减少金属材料消耗，保证合成绝缘子在 电网中长期安全运行有着重要的意义。 1 2 目前国内外的研究状况 1 2 1 国内外对超高压合成绝缘子均压环的布置 目前国内外对超高压合成绝缘子均压环的优化布置进行了大量的相关研究，研 重庆大学工程硕士学位论文1 绪论 究人员对不同电压等级的合成绝缘子在有无均压环的情况下的表面电场分布进行了 大量的仿真计算和实地测量。对于电压等级不同的线路，均压环的配置也不相同。 例如，我国在1 l o k v 以下线路合成绝缘子是不需要装设均压环，而美国则对1 3 8 k v 以下线路不装设任何型式的均压环。当电压等级升高时，首先需要在导线端装设导 线端装设防电晕的屏蔽环，如l a p p 公司在1 6 1 k v 等级的合成绝缘子导线端的内部装 设了电晕屏蔽环。2 2 0 k v - - 3 4 5 k v 线路一般仅在导线端安装均压环，但l a p p 公司还 另在接地端装设了电晕屏蔽环。对于5 0 0 k v 及以上电压等级线路，一般需在合成绝 缘子的两端均装设均压环。我国产品两端的均压环尺寸型式完全相同，而美国的产 品两端的均压环不仅尺寸不同( 上端尺寸小) ，而且其型式也不同( 下端为开口环) 1 4 】。 由于均压环作用不同，线路电压不同，绝缘子金具和连接导线及杆塔的金属连 接件不同，从而均压环的尺寸形状也各不相同。均压环通常用金属管弯曲成圆环形 而成，其本身当然也须是无电晕的。管径的最小值应该是：3 3 0 k v ， 3 2 m m ；5 0 0 k v ， 5 0 r a m ；7 5 0 k v ， 7 6 m m 。高海拔地区还应相应加大。在我国，2 2 0 k v 的环径为2 7 5 m m ， 美国l a p p 公司2 3 0 - - 3 4 5 k v 的环径为2 8 0 m m 。我国5 0 0 k v 的环径为3 7 0 m m ，l a p p 公 司的约为3 6 5 m m ，大致上是相当的。除了一般的外设的金属管构成的普通均压环以 外，还出现了内装式的屏蔽环。如美国l a p p 公司在1 6 1 k v 级合成绝缘子导线端的内 部装设了电晕屏蔽环，它以导电橡胶制成，并与护套结合为一体，以其导电性和专 门设计的形状减小了端部的电场强度，节省了线路侧的均压环1 4 j 。均压环结构参数 的确定是以绝缘子沿面电场的分布确定的。 1 2 2 合成绝缘子沿面电场分布计算的研究 合成绝缘子的电场具有三层不同的介质，且介质交界面为几何形状复杂的无界 不对称场。目前在电场数值分析计算中常用的方法有：基于微分方程模型的有限差 分法、有限元法、蒙特卡洛法；基于积分方程模型的模拟电荷法、矩量法和边界元 法以及基于直接积分运算关系的数值积分法等。此外，各类数值计算方法的相互组 合，进一步扩展了数值计算方法在实用中的深度和广度。 有限差分法是以差分原理为基础的一种数值方法，即用各离散点上函数的差商 来近似替代该点的偏导数，把要求解的边值问题转化为一组相应的差分方程问题， 因此需要把整个区域全部剖分。 有限元法以变分原理为基础，用剖分插值的办法建立各自由度间的相互关系， 把泛函的极值问题转化为一组多元代数方程来求解。它能使复杂结构、复杂边界情 况的边值问题得到解答。最近2 0 年，由于数值处理技术的提高，采用不完全 c h o l e s k y 分解法、i c c g 法、自适应网格剖分等方法，使得有限元法在电场数值计 算中，越来越占据主导地位。 模拟电荷法的基本原理就是在待求的场域之外用一组虚拟的、布置在一定几何 重庆大学工程硕士学位论文1 绪论 位置上的离散电荷等效替代电极和介质，离散电荷的个数和位置一般靠经验来确定。 之后，利用叠加原理将每个电荷产生的电位和电场强度叠加，等效代替整个计算场 域的电位和电场强度。对于边界形状变化复杂，需要用较多的模拟电荷，所需计算 机容量和计算时间都有较大增加。 1 2 3 电场计算方法发展概述 合成绝缘子均压环结构优化研究中关键是电磁场的数值分析计算。回顾历史， 电磁场问题的求解方式，大体可分两个阶段：解析解阶段和数值解阶段。 解析解 电磁场分布在三维空间，但是某些场具有对称性。对具有圆柱对称性和球面对 称性的场，如果分别选用圆柱坐标系和球面坐标系，则可应用库仑定律或全电流定 律进行计算。如用两个变量来描述三维空间的场，则可解决较多的实际问题。两个 变量的场可用分变量法和复变函数法求解。这两个方法在历史上曾起了很大作用， 沿用了较长时间，但是这两种方法都要求场域边界形状比较简单或具有一定的结构 形式。实际的场域很难满足这些要求，所以这两个方法的局限性很大，远远满足不 了工程需要。因而在计算机技术发展之后，电磁场的数值计算方法得到迅速发展。 数值解 数值解的关键在于场域和被求函数的离散。它对边界形状无特殊要求，因而可 计算大量的实际问题。数值解的方法很多，其中有限元法和边界元法是它们的代表。 其它各种形式的方法往往可作为有限元法或边界元法的变种。从数学的角度来看， 离散方程的基本方法为加权余数法。若用加权余数法离散电磁场方程组中的微分方 程，便可得有限元方程，这种方法称为有限元法：若离散电磁场方程组中的边界积 分方程，便可得边界元方程，这种方法称为边界元法。 级数解 目前，数值解己发展到一定的程度，但尚有不足的地方：对计算机的资源要求 多；它只能获得具体问题的离散解，不能用光滑的函数表达；场强的计算精度不高； 编程比较复杂，对使用者来说要具有一定的技术水平，否则不易掌握。由于数值解 法的进展，使其中有一些技术可以应用于级数解中，以克服传统级数解对场域边界 形状的特殊要求的缺点。因此，使级数解法计算电磁场的技术达到了一个新的水平， 也就是说，现在已可用级数解法计算不规则边界的电磁场问题。 级数解法的中心思想，是用级数解的一般形式表示拉氏方程或亥姆霍茨方程的 解。级数中的待定系数根据边界条件及最小二乘法确定。 电磁场数值计算的发展方向 生产的发展将对电磁场定量计算提出更高的要求。电磁场数值计算的发展方向 首先是对原有方法的不断完善和改进。如改进的t a b u 算法、有限元周期边界的新 重庆大学工程硕士学位论文l 绪论 处理方法、网格快速可靠全自动自适应生成、后验误差估计与自适应新方法、有限 元分片多项式方法以及三维涡流的三分量边界元法等。 其次，多种计算方法的融合。除有限元一边界元法、有限元一模拟电荷法、边 界元一模拟电荷法外，近年又出现边界元一多极理论耦合法、保角变换一边界元法、 等效源与矩量法的耦合法、有限元一级数耦合法以及全h 棱边有限元边界元耦合算 法等。耦合法能实现不同方法的优势互补，解决多子域、多连通域的复杂问题。 新方法的开发应用以及新技术不断融入于电磁场数值计算中。比如棱边有限元 法、叠层有限元法、有限元的外推插值法、无限元法等。神经网络和小波分析在电 磁场中的应用日益增多，比如已出现的“小波一伽辽金”有限元法、插值小波在差 分法中的应用、小波神经网络在电磁场优化中的应用、遗传算法、模拟退火算法在 电磁场逆问题中的应用等一些新方法。 1 2 4 求解合成绝缘子电场分布存在的问题 总的说来，有限元法仍然是一种普遍使用的数值计算方法。它有许多优点，例 如，成熟的自动网格生成系统、成熟的系数矩阵的形成、存储和求解技术以及丰富 多彩的后处理图形显示系统等等。但是，这种方法对于求解线路绝缘子这样的开域 场问题的局限性也已被广泛认识。例如，在绝缘子及其周围取一个区域作为求解区 域。理论上，无穷远处为电位参考点。求解区域应尽量取大，并在外部边界上加零 边界条件，可是这样会使得剖分节点数很大，占用计算机内存大，求解时间长，若 剖分点数过多，一般p c 机甚至无法求解。若求解区域取小，外部边界上所加边界条 件又难以准确确定；即使使用了无限单元，因为无限单元只能占用最外层一层单元， 所以也要求求解区域尽量取大，这样并不能从根本上解决求解开域问题的困难，无 法实现尽量接近求解对象确定求解区域，在求解区域内关心的部分进行细化剖分这 样一个理想的建模思想。要实现这样的建模思想，目前多采用有限元法与其他数值 计算法结合的方法。边界元法是另一种应用广泛的方法，这种方法有能降低求解维 数、易于处理开域问题、离散单元可使用有限元方法等特点，易于与有限元法结合。 然而通常的结合方法是系数矩阵嵌入式耦合的方法，这种结合方法破坏了有限 元法和边界元法各自的独立性，也破坏了待求解系数矩阵对称、稀疏的特点。 1 3 本论文研究的主要内容 有限元计算方法及其应用软件介绍一f e m l a b 。f e m l a b ( f i n i t ee l e m e n t m o d e li n gl a b o r a t o r y ) 对于所有科学和工程领域内物理过程的建模和仿真提供了一 个崭新的技术。通过f e m l a b 的多物理场功能，用户可以通过选择不同的模块同时模 拟任意物理场组合的耦合分析；通过使用相应模块直接定义物理参数创建模型；使 用基于方程的模型可以自由定义用户自己的方程。f e m l a b 具有强大的界面环境，以 4 重庆大学工程硕士学位论文1 绪论 处理方法、网格快速可靠全自动自适应生成、后验误差估计与自适应新方法、有限 元分片多项式方法以及三维涡流的三分量边界元法等。 其次，多种计算方法的融合。除有限元一边界元法、有限元模拟电荷法、边 界元一模拟电荷法外，近年又出现边界元一多极理论耦合法、保角变换边界元法， 等效源与矩量法的耦合法、有限元一级数耦合法以及全h 棱边有限元边界元耦合算 法等。耦合法能实现不同方法的优势互补，解决多子域、多连通域的复杂问题。 新方法的开发应用以及新技术不断融入于电磁场数值计算中。比如棱边有限元 法、叠层有限元法、有限元的外推插值法、无限元法等。神经网络和小波分析在电 磁场中的应用日益增多，比如已出现的“小波一伽辽金”有限元法、插值小波在差 分法中的应用、小波神经网络在电磁场优化中的应用、遗传算法、模拟退火算法在 电磁场逆问题中的应用等一些新方法。 1 2 4 求解合成绝缘子电场分布存在的问题 总的说来，有限元法仍然是一种普遍使用的数值计算方法。它有许多优点，例 如，成熟的自动网格生成系统、成熟的系数矩阵的形成、存储和求解技术毗及丰富 多彩的后处理图形显示系统等等。但是，这种方法对于求解线路绝缘了这样的开域 场问题的局限性也已被广泛认识。例如，在绝缘于及其周刚取一个区域作为求解区 域。理论上，无穷远处为电位参考点。求解区域应尽量取大，井在外部边界上加零 边界条件，可是这样会使得剖分节点数很大，占用训算机内存大，求解时间长若 剖分点数过多，一般p c 机甚至无法求解。若求解区域取小，外部边界上所加边界条 件又难以准确确定；即使使用了无限单元，因为无限单元只能占用最外层一层单元， 所以也要求求解区域尽量取大，这样并不能从根本上解决求解开域问题的困难，无 法实现尽量接近求解对象确定求解区域，在求解区域内关心的部分进行细化剖分这 样一个理想的建模思想。要实现这样的建模思想，目前多采用有限元法与其他数值 计算法结合的方法。边界元法足另一种应用广泛的方法，这种方法有能降低求解维 数、易于处理开域问题、离散单元可使用有限元方法等特点，易于与有限元法结合。 然而通常的结合方法是系数矩阵嵌入式耦合的方法，返种结合方法破坏了有限 元法和边界元法各自的独立性，也破坏了待求解系数矩阵对称、稀疏的特点。 1 3 本论文研究的主要内容 有限元计算方法及其应用软件介绍一f e i l a b 。f e m l a b ( f i n i z ee l e m e n t m o d e l i n gl a b o r a t o r y ) 对于所有科学和工程领域内物理过程的建模和仿真提供了一 个崭新的技术。通过f e m l a b 的多物理场功能，用户可以通过选择不同的模块同时模 拟任意物理场组合的耦合分析；通过使用相应模块直接定义物理参数创建模型；使 用基于方程的模型呵以自由定义用户自己的方程。f e m l a b 具有强大的界面环境，以 用基于方程的模型可以自由定义用户自己的方程。f e m l a b 具有强大的界面环境，以 4 重庆大学工程硕士学位论文1 绪论 偏微分方程( p d e s ) 的基础，来建立模型并且解决科学及工程问题。更重要的是，处 理耦合问题的数目是没有限制的。f e m l a b 提供新的技术，透过强大且直觉式的图像 使用者界面( g r a p h i c a lu s e ri n t e r f a c e ：g u i ) ，使用户容易地在所有工程及科学 的规范下，建立所需的设各及处理程序模型。 计算并分析2 2 0 k v 合成绝缘子有无均压环时的电场分布。 计算并分析均压环布置及结构参数对合成绝缘子沿面电场分布的影响。均压 环的使用对改善合成绝缘子的沿面电场分布有一定的作用。合成绝缘子的沿面电场 分布不仅与均压环的大小尺寸、形状有关，而且与均压环的安装位置等有关。 均压环的结构优化计算研究。通常工程设计中遇到的许多优化问题都具有非 线性，非凸性，多峰值等特点，所以在搜索区域中它们可能具有多个局部极值点。 为了解决实际问题中的全局优化问题，提出了一些新的全局优化方法，神经网络法、 遗传算法等。对均压环的结构优化研究将综合运用多种优化方法，力求得到均压环 各参数在可行域内的最优解。 1 4 小结 本章介绍了本论文的研究目的和意义，对超高压合成绝缘子均压环结构优化研 究现状进行了分析，并展望了研究的发展趋势，提出了本文的研究内容。 重庆大学工程硕士学位论文 2 有限元数值计算方法 2 有限元数值计算方法 2 - ，1引言 有限元法在原理上是有限差分法各变分法中里兹的结合。有限元法可应用于任 何微分方程所描述的各类物理场中，也适合于时变场、非线性场以用分层介质中的 电磁场问题的求解。有限元法的优点是适用于具有复杂边界或边界条件、含有复杂 媒质的定解问题，此法不受场域边界形状限制，并且对第二类、第三类及不同媒质 交界面的边界条件不必作单独处理。目前，有限元法在电磁场及其他领域中已成为 一种非常有效的数值计算方法，而且还在不断的发展和完善。 用有限元法计算电磁场问题，其基本步骤可归纳如下： 简化求解物理模型，导出求解的微分方程。 根据微分方程及边界条件求出对应定解问题的泛函及其等价的变分问题。 对求解区域进行剖分，确定相应的插值函数。 对多元函数的泛函求极值，导出有限元方程组。 用追赶法或其他有效的方法求解有限元方程组，得到节点上的位函数。 2 2 变分法基本概念 下面简略地对变分原理基础有关部份加以介绍，以便对有限元法有更深入的了 解。常用的几个术语的概念介绍如下： 2 。2 1 泛函 泛函是函数概念的推广，可以说是“函数的函数”，但其含义与复合函数不同， 决定函数值的因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的形式。泛函 通常以积分的形式出现。例如，给定一个过一( _ ，y ，) ，b ( x ：，y ：) 两个定点的光滑曲线 y = y ( x ) ，此曲线在a ，b 两点之间的弧长为上= r j 砀，式中儿= 譬。这些 lm 弧长不同的曲线对应于不同的y ( x ) ，所以弧长l 可以看作是函数y ( x ) 的函数，而 三= f 2 1 + 少；出中的l 就是一个泛函，并记为三【y ( x ) 】。 综上所述，设c 是函数的集合，c ：c y ( x ) ；b 是实数的集合，b ： f l v ( x ) ) 。 如果对于c 中的任一元素y ( x ) ，在b 中都有一个元素与它相对应，则称f l y ( x ) 1 为 y ( x ) 的泛函。记为f = f 陟( x ) 】。 2 2 2 泛函自变量的增量和变分 若泛函的自变量y ( z ) 在积分区域中取乃( x ) ，当把y ( x ) 当作真实值时，y 。( x ) 与 y ( x ) 的差为砂( x ) = y 。( 工) 一y ( x ) ，函数y ( x ) 的增量旁( x ) 称为y ( x ) 的变分。 6 重庆大学工程硕士学位论文 2 有限元数值计算方法 2 2 3 泛函的增量和变分 泛函f l v ( x ) l 的自变量的增量为砂( x ) ，对应泛函的增量廿可表示为 a f = f l v ( x ) + 印( x ) 卜， y ( z ) = f 以瑚+ 号【，降+ 五1 矿0 2f ，扮2 + - 。一，陟( 洲 。， = f l 望- f y ( 工) 毋+ 口 = 8 f l y ( x ) + a 其中口是高阶小量；d f y ( x ) 】。o f ( y ( x ) ) i s ，v 是泛函增量的线性主部，称为泛函 f y ( x ) 】的变分。当f = f ( x ，y ，儿) 时，则有 6 f ：_ o f 痧+ 罢旁， ( 2 2 ) 2 2 4 极值函数 在2 1 1 的例子中，连接两定点a ( x 。，y ，) ，b ( x ：，y 2 ) 的光滑曲线y = y ( z ) 的弧长 为y ( x ) 】= f 2 l + y ；出，它是一个依赖于函数y ( x ) 的函数，给出不同的y = y ( x ) ， 就有不同的y ( _ ：c ) 】与之对应，若其中乩( x ) 使弧长最短，也就是使泛函达到极小值， 那么y 。( z ) 就称为y ( x ) 的极值函数。可n i i e n ，泛函达到极值的条件为泛函的变 分等于0 ，即 t 咒 y ( 工) 】= i2 5 f ( x ，y ( z ) ，y ，( x ) ) 西f = 0 ( 2 3 ) 2 2 5 变分的运耸法则 计算变分的法则与计算微分相似，下面分别列出计算的公式。 导数的变分等于变分的导数 因印是x 的函数，故有 晚= 占罢= 芸乃一五dy = 芸- y ) = 昙彦 ( 2 。4 ) 蛾2 6 孟2 忑乃一五y 2 五( 一。忑彦 2 4 复合函数的变分 对于一维函数f ( x ，y ，y ，) ，变分的运算公式为 f i f ( x , y , y 。) ：箬p + 善a v 。 ( 2 5 ) 对于二维函数f ( x ，y ，“，“，“。) ，变分的运算公式为 驰舭= 等品芒篆帆 汜e ， 求泛函的极值函数 设有一泛函研y ( x ) = f 2 ，( x ，y ，y ，) 凼达到极值的条件是泛函的变分在y ( x ) = y o ( x ) 重庆大学工程硕士学位论文 2 有限元数值计算方法 珊，= 孵印+ 岳印，户- o 陇， 8 f ( 加e 考触+ 隆咖) ：一聪唔卜 汜s ， 通常在变分问题中，变分咖在端点保持为零，即 咖b = 咖f m = 0 ( 2 9 ) 于是，泛函达到极值的条件为 啦一昙卜一o 由于上式对任意的彦都成立，所以极值函数必须满足下面的微分方程 ； 一导罢：o ，这个方程称为泛函的极值问题的欧拉( e 。l 。，) 方程。 2 3 有限元素的自动剖分 有限元数值计算方法把连续场域分为有限个单元，对这些单元或元素要按一定 的规则给出局部顺序编号和整体编号，并且对各单元3 个节点也要按规定顺序给出 局部编号与总体编号，这些信息是进行计算所不可缺少的。当单元数很多时，确定 这些数据并把它们输入计算机所占用的工作量是很大的，若计算三维场则节点数更 多，剖分及输入数据的工作量是相当大的。特别是对计算区域内不同部分精度要求 不同时，单元的剖分更复杂，因此，采取自动剖分是非常必要的。 有限元的计算精度、解题的效率及经济性与有限单元的数量及分布有直接的关 系。在单元剖分中，为了尽可能地压缩存储，减小计算量，提高精度，必须注意以 下问题： 三角形各边不要相差太悬殊，避免出现尖锐的三角形； 一个节点周围，不宜集中过多的三角形单元，为压缩存储创造条件； 三角形单元内物理参数( y 或) 变化连续，即媒质交界面应与单元的边界 重合： 精度要求不同的区域，元素的密度应不同； + 元素节点编排应规格化。 以下介绍几种自动剖分方法。 2 3 1 直线内插法 这是一种特别适宜于对以直线段为边界的场域进行自动剖分的方法。在场域中， 可将x 方向等分为n 个区段，y 方向等分为m 个区段，各割线的交点为节点，可以 重庆大学工程硕士学位论文 2 有限元数值计算方法 按节点和单元的分布规律进行总体编号，确定各节点的坐标。在等分条件下，只需 给出x ，y 方向上两端点的坐标，就可算出所有节点的坐标。 2 3 2 等势剖分 在场的计算和设计中，经常要求工作式如带电粒子运动区，以及场梯度大的区 域计算精度要高些，非工作区精度可以低些，这样就要求剖分单元的密度在不同区 域分布不同，同时要求平滑过渡，这一要求对自动剖分来说就要专门加以处理。 调和函数具有某些性质，如平均性，特别适合用来构成平滑过渡的网格。1 9 6 2 年，w p c r o w l e y 在前人研究的基础上，归纳了一个一般的方法，称为等势剖分。 2 3 3 自适应剖分技术 自适应剖分技术是靠软件自身根据场量的分布而生成或细分网格的一种技术， 它可以大大增强软件的自动化程度和通用性，明显降低软件对用户所具有的电磁场 数值计算经验的要求，自适应软件更加接近智能化软件。 自适应剖分技术是靠网格细分与场量计算的循环过程来实现的，具体步骤为： 生成开端网格，即采用网格自动细分软件将场域剖成很粗的网格： 求解场量，即形成有限元方程并求解方程： 分析场结果计算误差( 对每个单元进行误差分析) ； 根据误差分析，确定需要细分的网格单元； 细分局部网格： 返回到，求解场量； 计算最后结果。 生成平面三角形网格和三维四面体网格的理想方法是d e l a u n a y 算法。自适应软 件中的关键步骤是进行单元误差分析，对有限元法可采用互补泛函原理或场量连续 特性分析方法。将上述过程编成软件，其计算框图如图2 1 所示 图2 - 1 自适应剖分计算流程 f i g 2 1t h ef l o wo fa d a p t i v em e s h 9 重庆大学工程硕士学位论文2 有限元数值计算方法 2 4 轴对称场中泊松方程的有限元方程组 在电磁场问题计算中，往往涉及到轴对称系统，例如计算合成绝缘子周围的电 场就属于对称电磁场问题。有限元法用于轴对称恒定磁场时，其分析方法和步骤与 平面恒定磁场计算时相同，只是在偏微分方程的形式、泛函的形式以及单元的“贡 献”的算式上与恒定磁场有所不同。 2 4 1泊松方程的等价变分问题 对于在圆坐标系( r ，z ) 平面上的轴对称恒定磁场，在线性媒质条件下，矢量磁位以 满足泊松方程边值问题，即 在非线性媒质中 盟+ 旦f 三旦咝1 ：一生 出2甜lr8 r y a 目l = 如。 ( 2 1 1 ) 1a ( 叫。) j 一且 7 1 f ：一了 也满足准泊松方程边值问题，即 言( ，兽 + 导陪掣) 一。 a 目 厶：a o o ( 2 1 2 ) 王兰盟j ：一日，l r a n i， 。 用以求解时，轴对称恒定磁场的偏微分方程形式与平面恒定磁场有所不同，但 通过适当处理，可以将它化成与平面恒定磁场相同的形式，这样，便可以直接应用 平面恒定磁场的等价变分问题。 导出有限元方程组，可采用的处理办法是将式( 2 1 2 ) 第二式两端乘上r ，并 令y ：上，则式( 2 1 2 ) 变为 r 新警 + 甜掣 叫。 r a fj = r a 岛 ( 2 1 3 ) 厂t 旦攀一h ， 这时，将r a 。作为求解量，于是它与平面恒定磁场具有同样的形式，只是y 是 坐标的函数，但在y 为变数条件下，变分原理同样成立，对应的等价变分问题有类 似的表达式。对于二类齐次边界条件，由一类边值问题可得 脚) = f ( r y c d c 一峨) 抛= ( 2 【“l 厶= “。 重庆大学工程硕士学位论文 2 有限元数值计算方法 式中甜= r a d c = j ( 掣 2 + ( 掣) 2 = 廊而丽= 培池 式( 2 1 4 ) 是在非线性条件下得到的，它也适合于线性的情况。 2 4 2 等价变分问题离散化 在分析平面磁场的基础上，进行轴对称场分析很方便，在进行剖分和插值时， 只要将，( x 、y ) 中的x 用r 替代，y 用z 替代，便变成r z 轴对称面上的基函数。 对于三节点三角形的基函数，其表达式为 j ( 啊) = 五1 ( q + 6 i r + c i z ) ，( r ，：) = 云1 ( 一+ 6 j r + 巳。) ( 2 1 6 ) 。( w ) = 五1 ( m r 3 - c r u z ) 轴对称有限元方程组的形成过程和平面恒定场的分析有许多共同之处，只须进 行单元分析，了解它的特点即可。在非线性条件下，若三角形单元剖分很小，在每 个单元中，可近似作为常数处理。于是有 胪，= 顺r 艘吾一峨p 出 = ，譬吾砒p 出 汜 由于 所以 = 蚪( 黔( 剐“卜 u=nju|+niui+n。u。t218) f 旦f 丝 ：生 l 孔。l o r 2 l 毒( 静去 姗知道等= 善等i = 1 , 2 , - - - , n , ( 2 1 9 ) 对任一个单元，设三角形顶点为j ，j ，m ， 对i 点可得 警= 衅罡毒( 詈 + 豢毒( 警) 也毒 抛。：。， = 咯陬，柏 也“。) 6 + ( c 托“，坞c 。k 出= j s j n ；d r d z 重庆大学工程硕士学位论文2 有限元数值计算方法 同理可求出霎竺，_ o f ( e ) 对应的表达式。 u “j u “ 上式与平面恒定磁场推导的公式相比，积分的第一项被积函数多乘了一个因子 三，故需采用近似计算公式给出结果。由面积坐标的数值积分公式推导得出 职砒= 吾肛= 吉 弦z ， ! ；三j l + 1 一+ - ll ( 2 2 2 ) ，3 rj + r m r + r 。r i + r jl 因此 筹= 古m 囟”( 6 j ”叩加，+ ( 6 a 托】_ 了j o a ( 2 i2 3 ) = k i i u i + k “j + 世w “m 一点p 同坪可得 式中 o f ( 。) a “ a f 。 d “ = k l ， ：+ k # u | 七k i 。h 。一r ? i = k 。，“，+ k 州甜，+ k 。“。一月等 k 沪古陆? + c 列 岛= 赤n c ，2 2 】 q 2 赤p 。，j 符矿齿k + c 翻 符m m2 赤睇w ：j k f = 世户上4 z m 6 ，6 j + c i c j = k = 赤阮一】 衅= 争 一a 3 j 。 月= 会厶 ( 2 2 4 ) ( 2 2 j ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 对所有单元进行计算，然后总体合成，推出与平面磁场类似的结果，并导出有限元 方程组为 k u = r( 2 2 8 ) 由此可知，用r a 。= “求解时，轴对称恒定磁场导出有限元方程组的方法与平面 恒定磁场基本分析方法是相同的，只是单元分析结果中一次项的区别在于系数中除 重庆大学工程硕士学位论文2 有限元数值计算方法 了，。 另外，与平面恒定磁场对比，在三角形单元中b 已不是常量，即 b = 吾 掣旷掣。) = 垮：一纠 汜：。， = 吾去珥嵋，+ 掣珈：一( 6 j “，+ 6 j u j + b 。p ，】 b 的大小与r 成反比，故，在同一单元中也不是常数，但因一般单元很小，为了简 化计算，可取三角形重心处的b 和y 值作为单元中的平均值。 b = 去协，托“，嵋旷( + b j b l j + 咖珈， ( 2 3 0 ) 2 4 3 对称轴的处理 需要指出，在对称轴，因r ：o ，使f f 无意义，所以一般要求求解区域的边 界不要与对称轴重合。如果部分边界非要落在对称轴上，或很靠近对称轴时，可近 似采用 r = ( + ，+ k ) ( 2 3 1 ) 实际上，当边界落在对称轴上时，因r ：0 ，所以“= r a 。= 0 ，故可以作为第一类齐 次边界条件处理。若问题单元中同时有两个节点落在对称轴上，这个单元就不用进 行单元分析了。 2 5 有限元方程组的求解 用有限元方法求解电磁场问题，在导出有限元方程组后，即归结为求解一个方 程组的问题，方程组阶数等于未知节点参数的节点数。 对于有限元方程 f 世a = 矗i k 1 2 dr o 。 、d ， la = d 当y = 常数时，为线性方程组；y 常数时，为非线性方程组。 2 5 1 有限元线性方程组解法 线性代数方程组的高斯一若尔当解法，是最普通的计算方法之一。当单元数札 很大时，在用计算机计算时必须考虑尽量少占内存，缩短计算时间。_ ；芏用高斯一若 尔当法求解时，一定要考虑到有限元方程组系数矩阵的如下特点： 对称性在存储系数矩阵各元素时，只存储上三角或下三角就够用了。 稀疏性与正定性矩阵元中非零元素不多，而且是对角占优势，利用非零元 素分布规律，可进行矩阵压缩进行计算。 2 5 2 有限元非线性代数方程组的求解 重庆大学工程硕士学位论文2 有限元数值计算方法 常用的方法可分为两类：一类是线性化方法，如逐次线性化方法，牛顿一拉夫 逊迭代法及改进型的牛顿一拉夫逊迭代法等；另一类是通过求解目标函数的极小值 点来获得非线性方程组的解，如最速下降法，共轭梯度法等。一般来说，逐次线性 化方法比较简便，有良好的收敛性，但收敛速度慢，适宜在求解方程方程的阶数不 是特别高时采用；牛顿一拉夫逊迭代法最突出的优点是收敛速度慢，适宜在求解方 程的阶数不是特别高时采用；并要求有很好的初值，否则迭代过程可能不收敛，为 了克服这个缺点，但又能发挥其特点，产生了多种改进型的牛顿一拉夫逊迭代法。 牛顿一拉夫逊迭代法 用矢量磁位a 求解非线性方程组，在直角坐标系中有 k a = r( 2 3 3 ) 一般认为a 是方程的近似解。设对于真解必有一个不为零的余矢量为f ( a ) ，则 f ( a 1 = k a r ( 2 3 4 ) 在此方程中，k 和f 都是a 的函数，如果4 ( o 是式( 2 3 3 ) 的近似解，将f ( a ) 用 泰勒级数表示，取一次项，则有 刑( + 外o ) ( 23 5 ) 若用“爿( o ) 表示f ( a ) 的雅可比矩阵在a 处的值，则有 f ( a ) = f ( a ) + j ( a ) 爿一a o ( 2 3 6 ) 令此余矢量对于爿c 1 1 解时为0 ，则有 f ( a o ) + j ( a 0 1 ) 彳一a 。】= 0 ( 2 3 7 ) a 1 = a ”一 j ( a o ) 】_ 1 f ( a o ) ( 2 3 8 ) 这样的求解过程是逼近精确解的过程，但爿( 1 仍不是精确解，欲求精确解不还需要 多次迭代。迭代的通用式为 4 ( “) = a “一【j ( a ) 】- l f ( a 。) ( 2 3 9 ) 式中 j ( a 。、= a f 。) 副 a f ! 酗 o a o f 攀 朋。 8 f 0 4 ， 蚓 副。 ( 2 4 0 ) 改进型的牛顿一拉夫逊迭代法 牛顿一拉夫逊迭代法的优点是收敛速度快，按平方律收敛，每经一次迭代，有 效位数基本上增加一倍，假如第一次迭代所得到的近似解精确到一位，经过4 次迭 1 4 等等卵一鸥型弘 重庆大学工程硕士学位论文 2 有限元数值计算方法 代就可精确到1 6 位；另外它还具有自校正功能，即爿( “1 仅依赖于f ( a ) 与4 ( “， 前面迭代的舍入误差不会一步步传递下去。其缺点是每次迭代都要形成一次j ( “， 而，畔的计算时间往往比增加迭代的次数所需要的时间多。另外，此方法对初值要 求较高，选择不当，常会引起振荡。为了克服所存在的缺点，现已形成多种改进型 牛顿一拉夫逊迭代法。 1 ) 修正的牛顿一拉夫逊迭代法 为了克服每次迭代都需要计算i ，叫) ，采取全部求解过程都用j ( o ) ，即每次迭代不需 要形成新的系数矩阵，保持其斜率不变。这将使迭代次数增加而影响收敛速度，但 如初值选择较好，总体上将节省运算时间。 2 )