（计算数学专业论文）二维奇次矩形元的后处理技术.pdf

摘要 z i e n k i e w i c z0 c 和，z z h u 于1 9 9 2 年在文 3 4 一【3 8 中完整地 提出了超收敛单元片应力恢复技术s u p e r c o n v e r g e n c ep a t c hr e c o v e r y ，简 称s p r 。由于它具有计算简单、易于理解、和现有的有限元应用软件接 口方便等特点，因此受到了工程界的广泛欢迎，并被b a b u s k a 等人认 为是用于渐进准确的后验估计效果最好的技术之一。 有趣的是，在一致剖分意义下，无论是一维还是二维情形，对偶次 有限元利用s p r 技术都可以获得节点应力强超收敛结果，即比整体最 优收敛阶高两阶的超收敛。但是遗憾的是，对奇次有限元这种技术只能 获得超收敛，不能获得强超收敛结果。 本文认真详细地分析了奇次元的s p r 技术，对奇次元的s p r 技术 作了改进，从实算和理论两个方面都获得了应力的强超收敛结果。 在本文第二章中我们构造了一种新的导数恢复算子。数值实验表 明，这种方法计算量很小，收敛速度快，效果很好，可以在很粗的剖分 上得到相当高的精度，因此可以广泛地应用到工程中去。 注意到利用这种恢复技术对双三次矩形元我们第一次在节点处获得 了导数的o ( h 6 ) 强超收敛率，本文第三章给予了理论证明。 关键词：奇次有限元，s p r 技术，投影型插值，强超收敛性。 a b s t r a c t i n1 9 9 2z i e 佗k i e w i c zo n dz h u 3 4 1 ”【3 翻p r o p o s e dt h es u p e r c o n v e r g e n c ep a t c hr e c o v e r y i i e t h es p rt e c h n i q u e b e c a u s eo fi t s a d v a n t a g e ，s u c ha si t ss i m p l i c i t yo fi t si m p l e m e n t a t i o n ，e a s i n e s st o u n d e r s t a n d ，c o n v e n i e n c et oa c c e s st ot h ef i n i t ee l e m e n ta p p l i c a t i o n s o f t w a r ee t c i th a sb e e ng e n e r a l l ya p p l i e db yt h ee n g i n e e r i n gc n c l e ，a n di st h o u g h to f ，b yb a b u s k ae t c ，a so n eo ft h em o s tr o b u s t p o s t e r i o re r r o re s t i m a t o r sw h i c h a r ea s y m p t o t i c a l l ye x a c t 。 i ti so fi n t e r e s tt on o t et h a tt h eu l t r a c o n v e r g e n c e ，i e w i t ht w o o r d e rh i g h e rt h a nt h eg l o b a lo p t i m a lc o n v e l g e n tr a t e io ft h ed e r i v a - t i v e sa tt h ep o i n t so fi n t e r e s ti so b t a i n e db yt h es p rt e c h n i q u ef o r a 1 1e v e n o r d e re l e m e n t so nt h eu n i f o r mm e s h e si ne i t h e ro n eo rt w o s i t u a t i o n b u tt h ep i t yi st h a to n l ys u p e r c o n v e r g e n c e ，n o tu l t r a c o n 。 v e r g e n e e ，i sa c h i e v e db yt h i sm e t h o d f o ro d d o r d e rf i n i t ee l e m e n t s t h i sp a p e ra n a l y ，s i z e st h es p rt e c h n i q u ef o r0 ( 1 出o r d e rf i n i t e e l e m e n t si nd e t a i l s ，a n di m p r o v e si t i nt h i sp a p e r ，t h en u m e r i c a l t e s t si n d i c a t et h a tt h eu l t r a c o n v e r g e n c ec a nb eo b t a i n e db yan e w d e r i v a t i v er e c o v e r yp r o d u r e ，a n dt h er e s u l t si sj u s t i f i e dt h e o r e t i c a l l y i nt h es e c o n dc h a p t e ran e wd e r i v a t i v er e c o v e r yo p e r a t o ri sc o i l - s t r u c t e d n u m e r i c a lt e s t e ss h o wt h a tt h ec o s ti n v o l v e di nc o m p u t a - t i o no ft h en e w p r o c e d u r e s i nt h i sp a p e ri sn e g l i g i b l e ，i t sc o n v e r g e n c e r a t ei sv e r yf a s ta n di ti m p l e m e n t se f f e c t i v e l y ，s or a t h e rh i g ha c c u r a c y o ft h ed e r i v a t i v em a yb eo b t a i n e do i l au n r e f i n e dm e s h e s t h e ni t m a y b eg e n e r a l l ya p p l i e di ne n g i n e e r i n g w en o t et h a ti ti st h ef i r s tt i m et h a tt h eo ( h 6 ) c i o n v e r g e n c eo f t h ed e r i v a t i v ea tn o d e si sa c h i e v e db yt h i st e c h n i q u ef o rb i c u b i c f i n i t e e l e m e n t w h i c hi sp r o v e di nt h et h i r dc h a p t e r k e yw o r d s ：o d d o r d e rf i n i t ee l e m e n t ，s p rt e c h n i q u e ，p r o j e c t i o n i n t e r p o l a t i o n ，u l t r a c o n v e r g e n c e i i 第一章绪论 有限元方法是求解偏微分方程的一种行之有效的数值方法，广泛应 用于科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。 有限元超收敛的研究自七十年代起至今方兴未艾。现有的研究工作 基本遵循两种途径： 一是找出有限元插值逼近的超收敛点，然后利用插值弱估计等手段 导出有限元解本身所具有的超收敛性质，也就是所谓有限元天然超收敛 性的研究。这一方面的工作已经做得比较精致，其结果已经写入多本专 著，如【2 】、【2 8 、 7 】、 1 4 、 3 】、 6 1 、 4 等等。1 9 8 5 年朱起定建立 了一套完整的离散g r e e n 函数理论，总结了中国有关天然超收敛性的全 部工作，写成了“有限元超收敛理论”的第一份讲义，此讲义已在全国 广泛流行，后来又吸收了林群的加速收敛思想，并于1 9 8 9 年朱与林共同 完成了专著【2 8 】，这是国际上第一本全面系统地论述关于二阶椭圆问题 有限元超收敛理论的专著。 二是利用各种后处理技术来导出经过后处理的有限元解的超收敛性 质。有限元后处理研究，在中国最早由林群院士提出。近期来，在校正、外 推及插值处理等方面得到了很大的发展。实际上，直接从有限元解计算所 得的应力场在单元边界不连续，且精度不高。为获得更高精度的应力， 我们经常采用一些后处理技术，目前流行的后处理技术有( 详见【3 4 ) ： 1 平均和局部插值技术。 2 整体投影技术。 3 外推技术。 4 超收敛单元片应力恢复技术。 z i e n k i e w i c z 和j z z h u 于1 9 9 2 年在文 3 4 一 3 8 中完整地提出了超收 敛单元片应力恢复技术s “p e r c 帆u e r 口e 扎c ep a t c hr e c o v e r y ，简称s p r 。由 于它具有计算简单、易于理解、和现有的有限元应用软件接口方便等等 特点，因此受到了工程界的广泛欢迎，并被b a b u s k a 等人认为是用于渐 进准确的后验估计效果最好的技术之一。自此，有限元的后处理技术进 入了一个全新的发展阶段该技术的基本思想是在围绕公共节点z o 的所 有单元所组成的单元片上利用几个样本点进行最小二乘曲面拟合以恢复 节点：。及其他点的应力，其中所选的这些样本点基本上是应力的翅收 敛点或高精度点。 在一致剖分意义下，无论是一维还是二维情形，对偶次有限元利用 s p r 技术都可以获得节点应力的强超收敛结果，即比整体最优收敛阶高 两阶的超收敛；而对奇次有限元只能获得超收敛，不能获得强超收敛的 结果。 理论上，z m z h a n g ，j z z h u ，b l i 等人在文 2 0 一 2 5 】、 5 中对 两点边值问题、二维矩形元、三角形线元证明了利用s p r 技术得到的 一系列结论，并对其结论从理论上给予了某些推广。 我们 2 9 】对二次三角形元的s p r 技术给予了改进，并初步证明了在 一致剖分意义下利用s p r 技术得到的二次三角形元的强超收敛结论。 张铁于2 0 0 1 年 1 9 1 提出了“导数小片摇值恢复技术”。这种技术可 以用于计算有限元内节点处导数的近似值，并且在小片恢复区域上具有 整体超收敛性。在一定条件下，这种技术甚至可以获得节点的强超收敛 性。 本文对奇次元的s p r 技术做了深入分析，进一步研究了奇次元的 强超收敛问题，并对s p r 技术作了改进，从实算和理论两个方面都获得 了应力强超收敛的结果。在第二章，我们对s p r 技术作了改进，构造了 一种新的导数恢复算子，数值实验表明，对大干1 的奇次元，利用这种 技术可以获得节点导数的强超收敛性，特别地，对双三次元我们还获得 了恢复导数o ( h o ) 的强超收敛结果；对线性元或双线性元也可以同样获 得超收敛的结果；在第三章，我们对在第二章中通过数值试验获得的双 三次元的强超收敛结果给予了证明，其他结果的证明可以参见文【3 0 l ， 本文在此不再详述。 本文采用s o b o i e v 空间中常用的符号。c 为某一非负常数，如无特 殊说明，与剖分网格的尺寸h 、真解u 无关。 3 第二章奇次元的后处理技术 本章对奇次元的s p r 技术做了深入分析，进一步研究了奇次元的 强超收敛问题。为了得到节点处有限元解的导数更高的精度本章发展了 一种新的恢复技术，在线单元片上构造了一组新的样本点，利用最小二 乘法得到的k + 1 次拟合曲线在公共节点处有强超收敛性。本文给出了一 维和二维奇次元的许多数值例子，数值实验表明，对大于1 的奇次元， 利用这种技术可以获得节点导数的强超收敛性，特别地，对双三次元我 们还获得了恢复导数o ( h 6 ) 的强超收敛结果；对线性元或双线性元也同 样可以获得超收敛的结果。显然，这种方法计算量很小，收敛速度快， 效果很好，可以在很粗的剖分上得到相当高的精度，因此可以广泛地应 用到工程中去。 本章内容可以参见文【8 】8 、1 3 0 2 1 强超收敛恢复过程 本节中，我们将介绍这种新的恢复技术，为了说明其基本思想，我 们考虑模型问题一一线性椭圆问题 l u = s t d s u = f ，i nn ，( z11 ) 在这里，f 是充分光滑的函数，合适的边界条件被给定。 设k = 2 m 十1 ( m 1 ) 为奇数，考虑k 次有限元问题。我们用f 表示 给定方向，用矿表示u 的有限元逼近，容易计算出u “的导数扩。众 所周知，扩在两个相邻单元的公共边上不连续，而且在节点处精度很 低。我们的目的是介绍一种恢复技术将它的精度提高。不妨设f 平行于 。轴。 一维情形，线单元片d t 由以劫为公共点的两个单元组成( 如f i g u r e 1 所示) 。 z l 钿 z 2 “i j f i g u r e1 0d e n o t et h es a m p l i n gp o i n t s c u b i ce t e m e n t 4 二维情形，设单元片d 由四个全等矩形组成，中心为z o 一( x o ，y o ) 。 构作线单元片d - = ( 。，) d ：y = y o ，它由两条以询为公共点的线段 z o z l 和z o z 2 组成( 如f i g u r e2 所示) 。 e ( 3 )e ( 1 ) 轴 一9 ；矗9 i - g ln 9 3 e ( 4 )e ( 2 ) f i g u r e2 双3 次矩形元 我们记所取2 个样本点的集合为g 。为了获得高精度的导数值， 我们可以用g 中的结点作x 方向的导数的s 阶( s k + 1 ) 插值；也可以 用最小二乘法对z 方向的导数进行+ 1 次曲线拟合。下面我们讨论利 用最小二乘法恢复节点应力的过程。 设 p = 1 ，z ，x 2 ，。矿+ 1 】( 2 1 2 ) 和 a = ha 2 ，a k + 2 r ，( 2 1 3 ) 那么我们可以将扩的恢复值矿简单地写成 矿= p a ，( 2 1 4 ) 在( 2 ，1 4 ) 中，未知参数a 是通过在样本点集g 上的最小二乘拟合确 定的。为了求a ，我们求这样的极小化问题： )：2k(o-h(xi,yo)f(a o - h y o d - * ( 墨，可。) ) 2) = ( (一+ ( 墨，珈) ) 2 蒙 ( 2 1 ，5 ) = ( o - h ( x i ，y o ) 一p ( x t ，y o ) a ) 2 在这里( x ；，y o ) g 是所选样本点。 f ( a ) 的极小化条件就说明 p t ( 孔，y o ) p ( x i ，y o ) a = p 7 ( 孔，y o ) a “( y o ) ，( 2 1 6 ) l = 1i = 1 这写成矩阵形式为 a a = b ， ( 2 1 7 ) 其中 2 k 2 k a = p t ( 鼢，y o ) p ( x i ，珈) 和b = p t ( 孔，y o ) a “( 黝，珈) i = 1 i = 1 所以 a = a b ( 2 1 8 ) 一旦参数a 确定，将( 2 1 8 ) 代入( 2 1 4 ) 即得矿。从以上过程中可以 看出，在每个线单元片上，为了恢复节点z 0 的应力，一个k + 2 阶的线 性方程组被解。很明显，这个过程的运算量是相当小的。 命题2 2 1 ：方程 2 2 样本点的选取 c l k ( x ) + 毗+ 1 上+ 1 ( x ) = 0( 2 2 1 ) 在 一1 ，1 内有k 个不同的根- ，矗，其中 以( z ) ) 为 一l ，1 上的规 范正交多项式( l e g e n d r e 多项式) ，即 l k = 半击杀护_ 1 ) 庀t _ 1 7 z ，s ， ( 2 。 和 o ；= ( k + 2 ) ，( 1 + z ) + 1 l i ( x ) d x ，i = 女，k + 1 ( 22 3 ) 证：令f ( 。) = o r k l k ( x ) + o l k 十- l 州( z ) ，并注意多项式l k ( 。) 在( 一1 ，1 ) 之中 有k 个单根 - 1 h 1 h 2 - h k 1 ， 6 而且在通过这些根时符号交错变化，l k + lx ) 的根嗽也具有同样性质， 且满足 - 1 h ： h i ： h 2 - - ： h k h ：+ 1 1 因为f ( m ) = a 一巩( m ) ，( j = 1 ，2 ，k + 1 ) 的符号也是交替出现的，由介质 定理立即得f ( 。) 在( ，玛+ 。) 内有一根从而在( 一1 ，1 ) 之中有k 个不同的 根。口 前面指出，对于线单元片e i = 一h ，z0 】u ，z o + q ，如果取 g ：土半 ：待1 ，2 ，) 为样本点，在毋上对导数进行+ 1 次曲线拟合，就可以在z 。处得到强 超收敛性。 设e = 【一2 ，2 为参考线单元片，下面将e 上各种奇次元所应取的 样本点列表如下： k = 3 士o 2 4 1 8 8 2 4 0 4 9 ，士1 0 3 5 3 4 2 4 0 9 9 ，4 - 1 7 8 7 1 0 3 2 7 0 2 ； k = 5 士0 0 9 6 8 1 5 2 4 5 7 ，士o 4 7 2 9 0 6 3 2 8 8 ，4 - 1 0 1 5 0 9 5 1 1 1 2 ， 士1 5 4 8 6 2 2 1 5 】5 土1 9 0 8 6 5 0 4 18 8 ： k = 7 士0 0 5 1 2 4 2 7 2 4 5 ，士0 ，2 6 0 0 4 9 3 4 2 6 ，1 0 5 9 7 0 5 6 6 2 5 7 士1 0 0 3 4 3 0 2 8 2 4 士1 4 0 8 6 7 5 1 2 8 7 士1 7 4 3 0 4 0 9 6 5 9 士1 9 4 9 4 3 8 5 8 1 1 2 3 数值分析 在本节中我们我们用实例来说明用这种方法所获得的高精度和强超 收敛率。为了便于说明有这种方法获得的导数的精度，我们都考虑有真 解的问题。这些数值例子包括一维线性元、三次元、五次元和二维双线 性元、双三次元，我们用扩，矿分别表示用s p r 技术和上面介绍的恢 复技术获得的导数。 7 2 3 1 内节点处的收敛性 例1 我们考虑问题： 一乏( 塞) 乱_ ，1 州一 0 ，1 1 ( 2 。，) 乱( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 在这里，是对应于真解u = x ( 1 一z ) e z 的函数。我们考虑在一致剖分上用 奇次有限元解这个问题。 危 i 口一矿l l 盯一口h l l 一 3 2 4 5 5 8 8 5 8 5 6 6 5 2 6 0 ( 一7 )2 4 2 2 9 6 5 8 7 0 5 8 4 3 2 6 ( 一4 ) 4 l 5 0 8 2 4 2 3 7 0 4 1 1 6 9 3 4 ( 一9 )1 5 0 9 2 4 2 5 1 5 1 4 0 8 4 1 ( 一5 ) r 1 _ _ 4 4 5 2 9 5 3 5 6 1 4 4 0 1 5 4 ( 一1 0 )2 9 7 9 3 5 8 4 5 1 0 6 0 6 7 6 ( 一6 ) 1 l 7 0 9 2 4 2 6 6 4 5 9 8 2 6 4 1 ( 一1 1 )9 4 2 4 8 1 7 4 3 7 5 9 7 7 1 0 ( 一7 1 1 l _ _ 1 8 3 6 5 6 4 2 3 4 0 2 5 6 7 3 ( 一1 1 )3 8 6 0 0 1 5 0 2 7 6 1 2 4 6 2 ( 一7 ) n 收敛率 64 表1 e x a m p l e1o fo n ed i m e n s i o n a lp r o b l e m d e r i v a t i v e 矿j 冗o fc u b i ce l e m e n te v a l u a t e da t = o ，2 5 e x a c ts o l u t i o no ( 0 2 5 、= 0 8 8 2 7 6 7 4 7 3 9 7 2 8 2 表1 ，给出了节点x = 0 2 5 处矿( 铲) 和仃的绝对误差。从中我们发现 利用这种技术获得了o ( h 6 ) 的收敛阶，而s p r 技术仅仅获得了o ( h 4 ) 的 收敛阶。 n o d e s l 盯一矿| l 仃一盯代l lo 2 5 1 3 1 3 2 0 2 3 2 4 6 5 9 8 1 2 ( 一9 )2 6 7 1 7 3 3 6 3 5 4 3 9 8 2 1 ( 一7 ) lo 5 0 1 8 4 3 0 8 7 4 6 0 4 2 9 1 6 0 ( 一9 )3 7 3 8 3 4 2 4 3 3 3 9 0 3 2 9 ( 一7 ) lo 7 5 2 8 2 5 8 5 3 9 9 5 2 4 7 4 8 5 ( 一9 )5 2 0 9 7 5 5 1 0 3 9 8 5 3 5 9 ( 一7 ) t a b u l a r2 e x a m p l e1o fo n ed i m e n s i o n a lp r o b l e m d e r i v a t i v e 口+ 口ro f5 - t ho r d e r e l e m e n te v a l u a t e da te a c hn od e w h e nt h es t e p 九= ：e x a c ts o l u t i 。n 口( 0 2 5 ) = o 8 8 2 7 6 7 4 7 3 9 7 2 8 2 ，o ( o 5 0 ) = 04 1 2 1 8 0 3 1 7 6 7 5 0 3 ， o ( 0 7 5 1 = 一o 6 6 1 5 6 2 5 0 5 1 9 1 4 6 8 当5 次元被用来解问题( 2 31 ) ，t a b u l a r2 给出了在步长h = 时各 个节点处矿。冠) 和真解盯的绝对误差。从中可以看出o - + 在同一节点处 比( 9 - r 多两位有效数字，也就是说，利用这种恢复技术获得了更高的精 度。 注1 在高次元的计算中，由于是利用双精度进行计算，这使得我们不 能给出更多的数据。 例2 。二维情形，我们仍然考虑模型问题： 一”= ，锄q = o ) 1 】m 】， f 2 3 2 1 u l o a 2 0 、一 在这里，是对应于真解u = 1 0 xs i n ”x s i n 丌的函数。假设在q 实现了一 致剖分，我们用双三次元解问题( 2 3 2 ) ，充分考察在节点( 0 2 5 ，0 2 5 ) 处 的恢复导数矿的局部误差( 参见t a b u l a r3 ) 。 h l 疗一矿i i 口一口h i l 一 4 1 3 7 1 7 9 2 9 7 1 0 3 4 4 4 ( 一5 )3 8 7 5 6 3 8 8 0 2 9 7 1 7 9 3 ( 一2 ) 4 l 6 4 7 4 4 2 4 8 3 6 2 5 5 8 2 1 ( 一7 )2 4 8 1 1 1 1 2 5 3 0 9 1 5 8 1 ( 一3 、 只 l 。 5 5 7 5 4 0 2 5 3 9 6 4 8 1 6 7 ( 一8 )4 9 2 2 3 9 0 2 3 0 7 2 8 2 6 9 ( 一4 ) 1 l 1 9 7 8 8 4 5 8 0 4 4 1 1 3 2 1 3 ( 一9 )1 5 5 9 8 4 4 8 2 6 2 1 1 0 7 7 ( 一4 ) 1 6 r a t eo f c o n v e r g e n c e 64 t a b u l a r3 d e r i v a t i v e s 口+ i nt h e d i r e c t i o n o fb i - c u b i ce l e m e n ta t ( 0 2 5 ，0 2 5 ) e x a c ts o l u t i o n 口= 8 9 2 6 9 9 0 8 1 6 9 8 7 2 4 t a b u l a r 3 给出了在点( o 2 5 ，o 2 5 ) 利用两种恢复技术得到的恢复导数 的收敛率。从中可以发现，和【3 4 】中已经说明的一样，一是超收敛的， 具有o ( h 4 ) 的收敛阶；而矿是强超收敛的，而且它的收敛率是6 注2 ，这是令人惊讶的结果，也是令人振奋的。我们相信，到目前为止，还 没有任何导数恢复技术使得内节点处任何有限元解的导数达到o ( h 。) 的收敛阶，特别是对奇次元，以前只获得过超收敛的结果。基于这一点， 如果用奇次元进行有限元计算，我们就可以在很粗的网格上获得更高的 精度。这一发现必将使得广大的工程师们受到极大的鼓舞。 9 2 3 2 边界处的收敛性 在边界上因为一个单元不足以确定恢复过程参数的值，所以单元片 的选取如f i g 3 所示。 b o u n d a r y 2 0 1铀 一 一 c u b i ce l e m e n ti no n ed i m e n s i o nb i c u b i ce l e m e n ti nt w od i m e n s i o n f i g u r e3 从上表我们发现在边界上恢复导数只有普通收敛阶，不能由这种恢 复技术得到很好的恢复；而a n 仍然有超收敛。但是我们同时发现，当 h = 击时，矿和o - r 仍然有相同的精度，这也说明了这种技术的有效性。 i 盯一矿il 口一o - “l l 盯一仃“l l 一 3 7 7 9 2 1 1 0 1 ( 一4 11 8 0 9 5 2 6 4 1 ( 一3 )4 7 9 6 6 9 8 9 9 ( 一3 1 4 l 4 ，7 6 8 8 5 6 3 2 ( - 5 )1 3 1 9 8 2 5 2 2 ( 一4 )6 5 1 2 7 7 6 3 3 ( 一4 1 r l 6 2 0 6 7 9 5 6 7 ( 一6 18 9 1 6 3 1 3 8 3 ( - 6 18 4 8 6 6 5 7 7 4 ( 一5 1 1 r l _ 3 1 7 0 6 1 5 8 8 ( - 6 )3 7 0 9 1 2 2 4 0 ( 一6 14 3 8 1 5 4 9 2 8 ( 一5 1 n r a t eo f c o n v e r g e n c e 343 t a b u l a r4 e x a m p l e1o fo n ed i m e n s i o n a lp r o b l e m d e r i v a t i v e 口+ 口ro fc u b i ce l e m e n te v a l u a t e da tb o u n d a r y = 1 e x a c ts o l u t i o n 口( 1 ) = 一2 7 1 8 2 8 1 8 3 2 3 3 对线性元和双线性元的恢复 我们在一致网格上用线性元解问题( 2 3 1 ) 时，很显然，用两种恢复 技术得到的导数是相同的，都具有超收敛。 1 0 |hl 口一矿】 i 口一盯冠1 i1 8 0 3 6 2 5 1 5 0 3 7 3 3 3 2 70 6 8 8 4 8 0 9 8 7 4 0 4 7 8 【1 1 69 0 1 1 5 4 9 5 2 6 5 6 6 0 4 ( 一2 ) 0 1 7 5 0 1 4 5 3 5 9 7 4 9 1 11 3 22 2 4 9 7 3 9 5 7 2 6 6 4 9 2 ( 一2 ) 43 9 3 6 1 8 0 5 6 1 1 4 8 7 ( 一2 ) i1 6 45 6 2 2 3 9 0 8 3 4 5 2 2 7 6 ( 一3 )1 0 9 9 5 4 8 0 3 2 4 0 6 4 4 ( 一2 ) i r a t eo fc o n v e r g e n c e22 t a b u l a r5 d e r i v a t i v e s 口+ i nt h e d i r e c t i o n o fb i l i n e a re l e m e n ta t ( 0 2 5 ，o 2 5 ) e x a c ts o l u t i o n 口= 8 9 2 6 9 9 0 8 1 6 9 8 7 2 4 我们在一致网格上用双线性元解问题( 2 3 2 ) 时，t a b u l a r5 列出了 在点z 0 = ( o 2 5 ，0 2 5 ) 处矿p r ) 与a 的绝对误差。从中可以看出矿具有与 a r 相同的收敛率，即超收敛的。这一结论已经被b l i 和z m z h a n g 在 1 9 9 9 年证明 5 1 。 第三章理论证明 3 1 引言 在第二章和文 3 0 】、 3 1 】中我们详细地讨论了奇次元的导数恢复技 巧强超收敛性，并提出了拟g u a s s 点概念，用拟g u a s s 点为样本点在线 单元片上作最小二乘曲线拟合，在理论和实算上都证得对( k 3 ) 的奇 次元在节点处恢复导数有o ( h z ) 的超收敛结果。 我们注意到在第二章中一致剖分意义下对双三次矩形元利用这一恢 复技术竞获得了导数高三阶的强超收敛结果，即o ( 胪) ，本章试图利用 专著 7 】中介绍的投影型插值证明这一结论。 本章内容可以参见文 9 。 3 。1 1 问题与说明 为简单起见，我们考虑模型问题：找u 础( q ) 使 o ( “，口) = ( ，v ) ，( 3 11 ) 对所有”础( 啊都成立，其中。( 仙，w ) = ( v u ，v v ) 和( ， ”) = ，v d x d y ， 在这里qcr 2 是一个光滑域或凸角域。 假定丁“是区域q 上的一个一致矩形剖分，q 。( n ) 为n 上的双三次 有限元空间。并设 e = ( z e h 。，。e + h 。) ( y e 一也，y e + k 。) 三e l e 2 是尹中的任意一个矩形单元，( y 。) 是矩形e 的中心， 形e 沿。、y 轴方向的边长，h = 。m 。a x 。 d i a m ( e ) ) 设晚是沿着方向 的导算子，玩表示导数平均算子 玩。( z ) = ； ：螓晚w ( z + “) + 3 焉巩”( z t f ) 1 1 2 ( 3 1 2 ) 2 k ，2 。是矩 类似可定义梯度平均算子审 所有超收敛估计都与边界条件的污染有关，这些污染可以由负范数 h u - - t t h | | - 8 ，f t 。器，唏 v h ：sl l l “5 控制。 在专著 2 8 1 ，【1 4 中有： 命题1 1 设w 铲( q ) 满足 a ( w ， ) = 0 ，v ”醋( ( z ) ) ， 那么 | v 训( z ) j c l l w l l q u d ( 。) g s t r n n 9 1 1 2 i 、n i t s c h e & s c h a t z 1 0 l 还获得了如下负范数估计： 忆一札“忆。n c h 铋l 女“，n ， 其中七为有限元的次数，本章中k = 3 由此可见边界条件的污染一般不会对内部超收敛带来多大影响，故 不妨设n 是矩形域。 称点z 关于剖分p 是局部对称的，如果存在一个邻域( 。) ，使得 这个邻域中的剖分网格关于z 对称。一般地，我们还用b 表示与。相 邻的所有单元的并，称之为单元片。 很显然，对一致剖分网格，每个单元的顶点和单元各边的中点都是 局部对称点。 3 1 2离散g r e e n 函数基础知识 定义1 1 固定z n ，称g ! 黠( q ) h q 离散g r e e n 函数，如果 o ( u ，g ! ) = ”( z ) ，v v 黠) ( 3 1 3 ) 1 3 巩表示关于z 沿某个指定方向的方向导数，因而还可定义见g ：黠( n ) 使 a ( v ，晚g ：) = 晚”( z ) ，v v 黠( q ) ( 3 1 4 ) 此外，我们还用g 。，o z g 。表示相应的g r e e n 函数，并且我们用瓯g ； 表示导数型准g r e e n 函数( 定义见【2 8 i i i 5 ( 5 8 ) ) 。 定义1 2 令盯= f z 一。r 2 ，则称 。2 魄0 t d x d y ， lr v l l 。一 咿。”t 2 ) i a l m 为”的带权范数。 那么，我们有如下结果： 命题1 2 对于离散g r e e n 函数，有如下估计： ! ! ! ：斐- i i g h z l l 。，m + j i 曼：l z ，+ i i g g ! i t ，- sc 1 。g 元1 ， ( 31 5 ) i i 晚瞅忆一一e c h 一1 机， 、 其中0 e e o = 1 一三1 证明：公式( 3 1 5 ) 第一式参见 2 8 】定理3 1 4 ( 证明中的引用均来自 2 8 ， 下面不再重复) 。只须验证( 3 ，1 5 ) 第二式。记g = o g i ，则9 h ：o g ；， 注意如下事实： 1 ) 1 1 9 1 1 2 旷z c 兰c h - 1 “，在这里西= ( 参见i i i5 5 ( 5 2 2 ) ) ； ，y 为某一常数 2 ) 怕一g “忆口一c c h ( 参见i i i 定理3 1 0 ) ；怕一i i 一一。c h m 十1 牝，m = 1 ，2 ( 参见i i i 3 引理4 ) ； 3 ) 由2 ) 及逆估计知： l 】9 7 9 “1 1 2 ，一t 一。冬c h 一1 1 1 9 。一g h i | l ，。一，一。c h 一1 + e ； 1 注意当n 为光滑区域或矩形域时e 。= 1 1 4 4 ) 由于o _ 1 。s 曲- 1 ，故 怕6 悒一一。s 桫忆一一。 1 1 9 1 1 2 ，一，一c + f 1 9 9 邗：，一- 一。十1 1 9 6 一g r l k 一，一。 1 ) 帅2 上一z ( 盖) ”1 忡) i 1 ) 很显然有如下性质： 性质2 1 1 i ( 茁) ，蛾( z ) 满足： 1 恢 ) i c h 一 ，【u ：扛) i 冬c h ，i = 0 ，1 ，2 1 5 2 u ；( z e 士h 。) = 0 ，( i 2 ) ； 3 w i ( x e 一( z z 。) ) = ( 一1 ) 。w i ( x 。+ ( z x e ) ) ； a 吼。= 是0 r k 1 卜2 ； 现在设札h 1 ( 8 ) ，于是u l 2 ( e ，) ，因此它可以展开成f o u r 匏r 级 数的形式 由此得到 ( z ) = 啦如( z ) ，z e 1 ) i = 0 w i t h 2 ，舢( z ) k 。) d x u ( z ) = 反咄( z ) ，。e l ，( 3 2 1 ) 其中 j 岛= 瓦5 “( 孔一亿) ， 卢t = 孑5 ；( u ( z 。+ 危。) 一u ( z 。一 。) ) ， 【屈= 一1 = ( u ，l i _ 1 ) 。，( i 2 ) 很显然，“( z ) 弓( g ) ) 嚣：。是空间上z ( e ) 上的完备规范正交多项式系， 弓( ) 是对应于区间e 。= ( y 。一。，玑+ k 。) 上的规范正交多项式系。因此对 于满足0 1 0 2 u l 。( e ) 的函数u ，也有展开式： 呐w i t h 钍鬟0 1 0 2 u 梨篇0 1 0 。删u l 篇( x ) ( y ) d x d y 。翻 舒= (，以f j ) 。= 7 。 。 类似于一维情形，利用p a r s e v a l 等式，可得 u ( z ，y ) u ( x e h 。，y ) 一“( 。，y 。一。) + u ( x 。一h 。，y 。) = o 灯毗+ l ( 茹) 哆+ l ( 口) ，v y ) e ， ( 3 - 2 3 ) l = 0 j = o 其中瓯( ) = ，吗+ ，( y ) ：f 9 ( g ) 咖 1 6 对于u ( x ，y 。一k 。) 作为x 的函数，利用( 3 2 1 ) 我们有 ( z ，y 。一克。) = 岛o u j ( 茁) o o ( 可) + u ( z e h e ，y e 一七e ) ，v 。e 1 ， ( 3 t 2 4 ) j = l 其中 岛o = j6 ( a l u ，0 1 ) 。= 孑5 a l ( z ，9 。一k e ) l j 一1 ( z ) d z ，j 1 类似 u ( z 。一h 。，g ) = f l o j w o ( x ) w j ( y ) + u ( x 。一h 。，y e 一 。) ，vy e 2 ， ( 32 5 ) j = l 其中 融= k 5 1 慨u ，弓一1 ) 。：= k 5 0 2 u ( z 。一k ，可) 一1 ( y ) d y ，j 1 将( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) 代入( 3 2 3 ) 得 u ( x ，y ) = 侥，她( z ) 吗( g ) ，v ( z ，9 ) e ( 3 2 6 ) i = 0 j = o 其中& j = n 一1 ，j l ，当i ，j 1 岛o = u ( z 。一h 。，强一k 。) ，w o ( x ) = 忍；，“j o ( f ) = 磋 定义2 1 若 i 3 ：h 1 ( q ) q 3 ( q ) i 。“= 磊3 暑3 咄( z ) 吗( ) ，( 。，) e ，v e p ( 3 2 7 ) 则称i a u 为u 的双三次投影型插值。 引理2 1 对于上面定义的阮，我们有 别妻鲫h”m-卜1iu”黧坐罐jcohm i j 1 ( 3 z s ) i 岛，i 墨。，。，e ，+ m 。 注1 在一致剖分意义下，g ，与以下各式中的g 都是与单元e 、剖分 尺寸h 、u 无关的常数。 证明由( 3 2 2 ) ，( 3 2 6 ) 并分部积分有 i 助i = i o q 一1 ，j 一1 i = l ( 0 1 0 2 u ，l i _ l f j 1 ) e i = l ( - 1 ) 件j 一2 ( a 鹆u ，d i 【扛1 z ；一l d i ( j - t ) j 1 ) 。i c o h + 一3 j 研谚l d z d c b 彬+ j q 懈岛u 。o e 1 1 7 在这里晖。w 表示对”在e 。上作s 次原函数运算。若减少分部积分的次 数即可得第二式。口 现在我们来讨论a ( u i a u ，”) ，v v q 。( n ) 的渐近展开式。注意到 o ( h i a u ，口) = ( a 1 ( 珏一i 3 u ) ，伪。) + ( 魂( “一i 3 u ) ，8 2 口) ， ( 3 2 9 ) 我们首先讨论其中第一项： ( a l ( u i 3 u ) ，0 1 v ) e 2 ，( f 蚂，0 1 v k + 。z z z , “k 吗，枞lo)j=4 j = o t = 0 = 3、， = 屈+ 1 ，j ( “吗，a - 口) 。一i l l 4 ( 1 0 w 4 ，0 1 v ) e + 卢1 4 ( f 0 面4 ，o l v ) e i = 0 j = 4 下面我们利用性质2 1 ，引理2 1 分别讨论( 3 2 1 0 ) 中的每一项( 我 们用d t u ( i 0 ) 表示u 的各i 阶偏导数的线性组合) ： 当i + j 6 时，有 1 成+ l j ( k 回，0 1 ) 。i 曼g j 九6 i 1 7 ，。，。| | a 忆。( e ) ； ( 3 2 1 1 ) 当i = 1 和j = 4 时， f 岛4 ( f 1 瓯，a ”) 。f = 1 一卢2 4 ( u 2 函4 ，研u ) 。l c 2 4 h 6 1 1 研硝“。o ，e 上1 霹 i d z d yf 3 2 1 2 ) sq 4 h 6 ( 憎磷珏i +