（概率论与数理统计专业论文）na序列的加权和的收敛速度及其应用.pdf

致谢 5 5 2 2 5 5 本文是在导师林正炎教授、张立新教授、苏中根副教授的悉心 指导下完成的，在此谨向三位老师致以衷心的感谢! 本文还得到黄 炜、蒋烨两位博士的相助，在此，也对她们致以诚挚的感谢! 同时，三 位老师对我的帮助绝非只是在学业上，他们身上严谨治学和稳重踏实 的精神使我深受熏陶，亦将使我终身受益! 在此，我还要特别感谢已退休的陆传荣教授，在浙大西溪的求学 几年中，他给予了我许多关怀和帮助! 我还要感谢我的同学、浙大西溪数学系帮助过我的其他老师以 及资料室的老师们，他们使我度过了令人难忘的两年半时光! 摘要 本文主要讨论了有关不同分布的n a 列的极限理论其中第二章 讨论了一类不同分布的na 列的加权和的完全收敛性，我们把已有 的结集对矩的要求放宽到了只要求大于0 的绝对矩有限的情形；第 三章讨论了不同分布的na 列的加权和的强收敛性；第四章首先把 文【1 0 】的关于n a 的重对数律由强平稳的情形推广到了弱平稳不同 分布的情形，然后得到了线性模型中不同分布的n a 误差列的收敛 速度。 2 s u m m a r y i nt h i st h e s i sw ed i s c u s st h el i m i tt h e o r yo fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e ds e q u e n c e so fn o n - i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s a k i n do fc o m p l e t ec o n v e r g e n c eo fs u m sf o rn e g a t i v e l ya s s o c i a t e ds e - q u e n c e so fn o n - i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s ，i nt h es e c o n dc h a p t e r ，i so b t a i n e da n dt h er e q u i r e m e n to fk n o w nr e s u l t sa r e w e a k e n e dt ot h ec o n d i t i o nt h a ta b s o l u t e dm o m e n t - - l a r g e rt h a nz e r o - i sf i n i t e t h es t r o n gc o n v e r g e n c eo fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e ds e q u e n c e s o fn o n - i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e si sd i s c u s s e di nt h e t h i r dc h a p t e r i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，a f t e re x t e n dt h el a w so ft h e i t e r a t e dl o g a r i t h mo fs t r o n gs t a t i o n a r yc a s et ow e a ks t a t i o n a r yc a s e ，w eo b t a i nt h es t r o n gc o n v e r g e n c er a t e f o r n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d s e q u e n c e so fn o n - i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e si n l i n e a r m o d e l s 3 第一章导言 长久以来，人们在研究独立随机变量的同时，也一直致力于削弱对独立的 限制因而人们提出了一些能真包含独立系列的相依列的概念，其中之一便是 j o a g d e v 和p r o s c h a n ( 1 ) 提出的a 列的定义1 定义1称随机变量x l ，局，( n 2 ) 是n a 的，如果对于1 ，2 ，n 的任 何两个不交的非空子集n 和噩都有 c ( ，( 置，i 正) ，9 ( x j ，而) ) 0 其中，和g 是任何两个使上述协方差存在的对每个变元均非降( 或均非升) 的 函数 称随机变量列( ，n 是n a 的，如果对任何自然数n 2 ， x l ，x 2 ，矗) 都是n a 的 由于n a 列在多元统计分析，可靠性理论及渗透理论中有着极为广泛的 作用，因而备受国内外学者的广泛关注到上世纪九十年代中期，n a 列的理 论研究已有很大的发展1 9 9 2 年m a t u l a 对a 建立了k o l m o g r o v 型的上界 不等式和三级数定理( 2 】) ，再加上p e t r o v 所建立的可适用于n a 序列的推广的 b o r e l - c a n t e l l i 引理，打开了人们研究n a 序列a _ s 收敛和完全收敛性状的道 路人们发现a 列与独立随机变量列有着极为相似的极限性质其中m a t u l a 建立了k o l m o g r o v 型强大数定律( 2 】) 苏淳和王岳宝建立了m a r c i n k i e w i c z 强 大数定律( f 3 】) ，苏淳，赵林城，王岳宝建立了矩不等式( f 4 】) ，还有其他强极限性 质，如文 5 ，6 】同时林正炎建立了a 随机变量列的弱不变原理( 7 ) ，邵启满 建立了r , o s e n t h a l 型最大不等式和k o l m o g r o v 指数不等式( 【8 】) ，刘京军，甘师信 等还建立了关于n a 列的h d j e c k - r a n y i 不等式( f 9 ) 邵启满和苏淳建立了平稳 n a 随机变量的重对数律( 文 1 0 1 ) 张立新建立了n a 随机向量的s t r a s s e n 重对 数律( 文【1 1 ) ，刘许国，张春泳等建立了非强平稳a 列的重对数律( 文 1 2 1 ) 另一方面，在1 9 4 7 年许宝禄和r o b b i n s ( 文 1 3 ) 提出了完全收敛性的概念， 即 定义2随机变量歹啦玩，n 1 1 称为完全收敛于常数c ，若有 fp ( i 巩一c s ) 0 4 完全收敛性是极限理论中非常重要的领域，且对独立同分布部分和的完全收敛 性的研究也已趋成熟，见文1 1 4 一1 7 】- 由于部分和是加权和的特铡，又由于在实 际问题中更多遇到的是加权和的情形，所以研究加权和的收敛性更为重要至 今，对于独立加权和的完全收敛性的结果已为数不少，见文( 1 8 2 2 1 t 自然地， 关于a 列的加权和的完全收敛成了学者们感* 趣的另一个主题文献 2 3 】得 到了如下结果； 定理0 l设 为n a 列，满足条件 e x = 0 ，e 研= 1 ，。= l ，2 ， 且存在随机变量盖，使对任意z 0 ，i = t ，2 ，。，存在c 0 有 p ( i x i i z ) c p ( i x l z ) ， e ( 9 ( i x i ) ) 2 0 ，使g ( z ) 。一8 l 及9 ( $ ) z 一4 t 。，移 o ，使g ( 窖) 。一。t ，及9 ( z ) 。一400 ，卢 。 殳 设矗垒e i = l 。置，n = l ，2 ，则对任意e ，有 p ( i t i ) l ， x ，x k ，k21 是同分布的a 列，( a 幽1s k n ，n 1 是三角实数列， ( i ) 若( 忆，m 十1 ) = ：榉 七21 ，j o 毗j ( m 十1 ) 一l 2 ) = o ( m - 1 ) ， 5 2 +l+竹 汪 1 仉 n l | _ = 1 ， m r n n 凹 二i 口 一 = 1 1 t = ，一。斟 一 = 岫 一 g 2 ，若对2 gsp ， ，竹1 + 1 ) = ：社 七1 1 a n k l ( m + 1 ) 一1 p ) = 0 ( m g ( 一1 ) ，p ) ，礼，m21 ， 对ls q ( r 一1 ) 有e x = 0 ，对2 q ( r 一1 ) ，有o 。2 k = o ( ) ，n _ 。， 0 d 2 p ，则下述两条件等价： f i ) e i x f ( 一1 ) c n v p ) o 定理0 2 b 设p 2 ，设 磁，凳1 ) 为一n a 列，e x k = 0 ， a 幽1 n ，n 1 ) 为三角实数列，满足以下条件： o 。2 女= d ( ) ，n _ o 。，l a 。k l = o ( 1 ) ， 15 s n ，n 1 ，对某0 6 1 ， x ，豇，女z 是一列同分布n a 列，a 幽k = ，n 1 ) 为三角实数列， ( i ) 若对l 2 ( r 一1 ) 有e x = 0 和e l x l 2 ( 一1 ) l o g o + l x l ) 0 ， 七o - 2 p ( 1 凰l m 1 ，2 ) 2 ，若对某2 q p ，当l q ( r 一1 ) 时，有e x = 0 和 e i x i p ( ”一1 ) ( 3 0 ，又 m ，m + 1 ) = ：舞仕z ：l n 。i ( m + 1 ) 一1 p = o ( m q ( r - 1 ) 加) ，n ，m l ， = o ( ) ，n 。，当2sq ( r 一1 ) 时，对某0 e n t i p ) 。 6 + 蕊 。：i 瑟 p l 一砟 定理0 2 d设p 2 ， ，z ) 为一n a 列，e x = 0 ，( n 。，k 2 ，n i ) 是三 角实数列，对某0 j n 1 9 ) z ) = o ( 1 ) p ( i x z ) ，v x 0 ，v n 兰l ， o 。，1 k n ，n 1 ，满足 8 。= 女( n ) 4 0 n ) ，女= 1 ，对所有n 1 ，此处 0 c t c l ( n ) 曰) y j ( r 一1 ) ，( 1 + 国 + o 。，一1 卢 一1 r ； ( 6 ) e i x l l o g o + i x l ) 0 ， 圣_ 2 p ( 1 露黑 苫a n i 五 s ) 茁) = 0 ( 1 ) p ( 1 x l 卫) ，v x 0 ，v n 1 ，若有r 0 ，0 o l ，且 ( n ) e i x p 一1 ) 加 + o o ，0 a 一l r ； ( b ) e x i l o g ( 1 + i x l ) 熊e ) + o c ，其中 a 嚣= 也韭也专争垒生，n = 1 ，2 ，a 子= 1 反之，f x ，x n ，0 是一同分布a 列，若( ”) 式成立，则( a ) 一( d ) 成立 本文的第二章得到了另一种不同分布的n a 的加权和的完全收敛性，我们 7 把对矩的要求放宽到只要大于零的绝对矩有限，即把矩条件e i x l 9 2 ，l p 2 ，o p 1 三情7 兄进行了讨论，从丽得到优于定理0 2 b ，定理0 3 a 和定理0 3 b 的结果，本文第三章在第二章的基础上导出了不同分布的n a 列的 加权和的强收敛| 生，本文第四章首先把如下关于n a 酌重对数律的定理( 见文 1 0 ) 定理0 4 x 。，z l 为一严平稳的n a 列，f 墨= 0 ：e x 2 0 ，品；x i 则有l i m s u p 鼠( 2 铲n l o g l o g n ) 1 2 1 ，o 口 推广到了弱平稳不同分布的情形，并利用它和第三章的结果得到线性模型中不 同分布的a 误差列的收敛速度 8 第二章不同分布的n a 随机变量列的加权和的完全收敛性 第一节有关引理 本章中我们需要用到以下引理： 引理2 1x 为一随机变量，且x 1 。钆则有 e ( e x px ) 墨e x p ( e x + e x 2 ) 证明e 印( x ) = 1 + x + 等( 1 + 吾+ 螽+ ) s 1 + x + 譬( 1 + + 击十) 故e ( e x p x ) l + e x 十e x 2 e x p ( e x + e x 2 ) 引理2 2 ( 1 9 】，p 2 2 6 ) a ，1 i5m 是一事件列，令 q =p a i 。n a i 。n i 曼l i z 2 一。 收敛于o 令霸= n 。女凰若有 = l 0 ，和e 置= 0 ，则霸完全 证明给定e 0 因为a n k = 纛一a n k ，故 = ea n + x k 一a ：k x k = l 一品2 而r 2 的完全收敛性可与l 的完 全收敛性类似讨论，故只讨论1 的完全收敛性即可为讨论方便，设a n k 0 ，女1 ，n 1 和f 辫= l ， 令 = 丑x 。g 一一) + n 矗n p i ( x 女 。一，) ，其中p 0 待定， k = ( 瓤一o 。- k 1 - 1 ) & 甄x y ) ，n 为一个整数，容后待定， x i t = = k x j k x 二t 。 。nn7 l 砭= ea n t t ，= e t ，= a n t ： k = l= 1 k = l 由文 1 性质p 6 知。 o 。k 砭 ，= 1 ，2 ，n ) ， o n k k ，自= 1 ，2 ，n ) ， 8 。，k = l ，2 ，n 都是n a 随机变量列 下面我们来证明p ( r 3 e ) e ) e ) e ) 3 1c 瞰 e 】u 暖 s u 暖 胡 固定n 1 令“。= r a i n ( 轰，n 4 ) ，依引理2 3 有 n e e x p ( ) si iee x p ( u 。瓦k ) 七= l 既然u 。d 。t 疋t 冬l ，依引理2 1 有 e e x p ( u n o n k ) e x p u n a n t e 疋自+ “。2 0 。2 k e ( 砭k ) 2 】 1 0 旦g 旺 m ，l x日 掣 一一 又u x ；k e x k = 0 ，e ( x ：k ) 2 e 磺= 1 ，这样 e e x p ( u n n 。k k ) e x p ( u 。2 。2 k ) 因此，根据m a , r k o v 不等式和引理2 3 有 p ( s ) = p ( e “n e u f l e ) 鬻 e 1 ”1 1e e x p ( u 。o 。瓦k ) e 一“n 5i ie x p ( u i o ：e ) e - u n e “：凸= e x p ( 一u 。e + u ：c f n ) 如果痞： 缈，由“。的定义可知一u n e + u ：= 一“n + “n “n 瓯，故 p ( e ) e x p ( 一e n p 2 ) ， 这样就有， p ( e ) e x p ( 一+ u ：g ) 墨e x p ( 一e n 9 2 ) + 如果轰s ，再由的定义知，一u n e + u i c 二一羲 又差。p ( 一差) o ，即有薹。p ( 一是) ) p ( 存在某个k 满足 口。t 甄bf ) 。o 。 茎p ( uu “口。甄f f n , j l f 凰f n , j l f 忍f e ，j i j ) j = 1 女= 1 c ，n ( j ) p 0 1s 眵f e ) c a ( j ) p ( j 一1s 闭 j ) n = l = 1 ，= l + o 。g g f n ( j ) p ( j l 旧 e ) 5c 妻一2 p o 一15 闻 n ，有由 肋肛， 因而矿c n j l e ，即n ( g j 弦) 1 口 所以 “( c n j s ) 譬= 毋( e 蚴) 譬 ( c n j e ) 1 ，8r ( e j ) 警g 7 j ( 口一时1 ) 舡，c 7 2 0 - - + - 与j 独立的常数 又因 别甄f 掣拳 + 。，推知 故有 j ( 。咿+ 1 ) 肚p ( i 1 f x f j ) e ) n 1 时，才 有a n k ：n 一- e 一? 2 - - 一n 一1 s ，故欲使= 。碟： e 必至少；阿n 个 k = 1 a n k x r t - p ，因而 尸( ) = p ( 至少存在n 个k 满足。 凰 r t - p ) o 矗n 一4 ) l 墨。i 。? 击他一p 9 + 。p ) 茎o ( 1 ) n v 垡孔n 羔( a 盟- p 兰) p ! n ! = o ( 1 ) c p n t t n - ( ( d p l p 。v ( e j xj 9 ) 选取足够小的p 和足够大的n 就有 用一x 女代替凰并重复以上过程可得p ( 0 成立，同时， 岛= n 。2 兰a ，其中卢 一。若有1s p = 堡警 0 不失般性，设a n k2 0 ， 令矗七= x k 厶。k x k 。一9 ) 十。矗札一p i ( 。k x k n - t ) ，0 p 。一一) 十7 z - p p ( a 。y 。 t 。- p ) 耋譬n ，+ 妻訾n - 一。 n p p 一 p p 0 ( 1 ) n p ( p 一 ，( n k = l + 0 0 7 ) 2 - - r + - - - + 0 。( p 足够、) 从而 o 。k e 女0 ，( n o 。) 令 = e e x ，t = n p 4 因 e k = 0 ，o 。k k ts l 故依引理2 1 有 e e x p ( a 。) e x p t a 女e + t 2 0 。2 日( k ) 2 】 e x p ( t 2 a 。2 k e ( ) 2 ) 又 e x p ( f 2 0 。2 女e ( ) 2 ) = e x p ( t 2 l o ”i p e i a 。女1 2 9 l 女1 9 ) ， 由 2 一p 0 和l a 。k r 1 4 n p 知l o 。k 女1 2 一p 礼一p f 2 一曲4 2 一p 不妨假定e i x e i p l ，显然e i i i e k i 由引理2 5 知 e t 4 p 由上所述有e x p ( t 2 n 。2 e ( 女) 2 ) e x p ( t 2 k k p n p ( 2 一计1 6 ) nn 依引理2 3 ，有e e x p ( a n k t y ：k ) se x p ( t 2 l o 。k 1 一9 2 一1 6 ) e x p ( t 2 n p ( 2 一p ) 一71 6 c ) 由m a r k o v 不等劫 p ( 吃 e ) 2 e x p ( - e t ) e x p ( t 2 n 一9 ( 2 一) 1 4 c ) 自= i = 2 e x p ( - e n o 4 ) e x p ( 2 箐 4 c ) o ( 1 ) e x p ( 一e p 4 ) ( 选取p 足够小使得p p r ) 2 ) p ( 瑶 e ) + p ( e 女 e ) 。n ) ，n 为一个整数，容后待定 n = m + 。 对p ( s ) s ) e ) p ( 至少存在n 个k 满足l 甄i n p a 。k ) 。矗n 1 ) s o ( 1 ) n p ( x 专一9 + 。) = o ( 1 ) n p ( i x l p 击n 一月+ 印) 。( 1 ) n 坐缺型； ：磊芝= o ( 1 ) c p n 一( ( a 一一) p ( e l x t 一) + o 。 选取p 足够小，n 足够大，即有p ( e ) + 。 用一凰代替氟 n = 1 ， 重复以上证明可得p ( 一) + o 。，p ( 一) + 。，o o p ( 一( 1 + 。) 若o 掣 小时，a n k = 0 ，此处0 。_ p j ，p 0 容后待定 n 霸= e ， k = l 则有 矗 k = 1 + 0 0 选取适当p 有 p ( e ) 5 ) e ) + 。o 仍设e i x 1 2 + ；址1 类似定理2 1 即可证得1 “用一x 代妊重复 以上过程，知，仍完全收敛于0 ，故矗完全收敛于0 推论2 4 x n ，n l 为一n a 随机变量列，e 置= 0 ，i = l ，2 ，存在一 个随机变量x ，满足p ( i x 12 。) c p ( i x l2 ) ，e i x 1 2 。 + o 。，其中 1 6 p 一 乒2 | i ( n p n2 x 神 口 t p n+ p n o 。础，1s 南茎饥，n l 为一实数列，1 8 。isc n ，0 c n 时，a n 女= 0 若0 ：o 1 还有e 一熹) 则完全收敛于e x p ( v u00 n 一， v n 证明因为有0 n 。 从而有gsc 2 n 1 一“令卢= 1 一o ，即满足定理2 1 ：当l 2 时，令卢= l 一，e = r = 1 则满 足定理2 3 推论2 5 ，n 兰1 ) 为一n a 随机变量列，存在一个随机变量x ，满足 p ( i x i z ) sc p ( 1 x l2z ) ， a n k ，1 女n ，n 1 ) 为一实数列，j a n l c l c n ，0 c 。c 对所有的n2l ，女1 成立又ej x e l l + i 1 + 。 ( i )当0 1 时，则有上述结论成立 证明( i )只要令卢= 0 ，则由定理2 1 可证； ( i i )只要令芦= 0 ，即可由定理2 2 证明之 推论2 6 j ，n 1 ) 为一n a 随机变量列，存在一个随机变量x ，满足 p ( 1 x d 兰z ) sc p ( i x l z ) ， 。幽1 t n ，n 1 为一实数列，又设e j 讯j 1 砌 ( i )如果0 ”s1 ，e x , = 0 ，e 霹l o g + j & l 2 ，g c n ，i 1 2 细c n ，r 0 ，且 o n = o ， n 对 女= 1 某e 1 ，；+ j = 1 有 l e x y l ( e i x f ) 1 p ( e t yp 4 ) 1 q 第二节主要结果及证明 定理3 1 墨。，n 1 ) 为一n a 随机变量列，e x , = 0 ，e x 2 = l ， i = l ，2 ，存在一个随机变量x ，满足p ( 1 ) 0j ) c p ( x | z ) ， e i x t 0 成立，其中叩 1 g = g g ( n ) ， g ( x ) 为一 k = l + 。 非负函数又对所有的u o 有e x p ( 一暑) o ，同时不妨设9 ( n ) 0 ，( n o o ) ，又由 0 0 v a r ( a n t 置) = n 。2 isc g ( n ) n - p ) ，其中p 0 待定 = ( x k 一矗_ 1 e ) 肌x n ) ，n 为一个整数，容后待定 x 三= x 一x 纛一x ： 1 9 。m 矗。，= 先证 砭) 的完全收敛性 记n = m m ( 表，r i p ) = o 。t ： 七= l 类似于定理2 1 的讨论知 e e x p “n _ e ) = p ( e “n e u n e ) n 9 ，由u 。的定义可知 p ( ) e x p ( 一e n 9 2 ) ， 这样就有， 尸( e ) e x p ( 一e n # 2 ) e ) = p ( 至少存在n 个k 满足n p 占n p 佃) o ( 1 ) n 坐氇；2 ； ：磊芝= d ( 1 ) g ，n 一( ( 。一，) 一( e i x i 一) 选取足够小的p 和足够大的n 就有 故对v e 0 有 p ( 1 i r a s u p 露) ) p ( 霹) g ，t o ) ) r = ，“，” n - - - - - 4 + 。 从而l i r as u p 矗0 n + c o 再以一x i 代五同理可得 ! i m 赠矗0 定理3 1 证毕 定理3 2 ，n 1 ) 为一n a 随机变量列，e x i = 0 ， = 1 ，2 ，存在一 个随机变量x ，满足p ( i 蜀| z ) c p ( i x | z ) ， n 。k ，1 k n ，n 1 为一 实数列，且有j a 。 isc n 对所有的n 1 ，k 1 和某。 0 成立，同时， = 2 r 茎c n 4 一，其中卢 一( 1 + n ) k = i n 若有ls ! 警业 恐 p 闽 ( 一 赫 一 0 成立同时，c n = n 。2 g 一，其中 k = 1 卢 一( 1 + n ) 若o 业告坦 n 时，。k = 0 ，此处 r 。( 1 + 。+ 卢) ，贝9 有死垒n 。i _ x 。写o 2 = l 证明 类似于定理2 3 先证 矗) 的完全收敛性，然后立即有结论成立 推论3 4 ( 矗，n2t 为一n a 随机变量列，e 五= 0 ，。= l ，2 ，。存在一 个随机变量x ，满足p ( t x 。l z ) c p ( t x f 兰z ) ，er x 女1 2 n o n 协1 茎n ，n 1 ) 为一实数列，t isc n ，0 c n 时，a n = 0若0 o 1 ，还有 e x p ( 一等) o 则r 垒恐 o n = l ” ；= l 推论3 5 x n ，n21 ) 为一n a 随机变量列，存在一个随机变量x ，满 足 p “五。i z ) c p ( i x i 。) ， a m 1 s 墨n ，n 1 为一实数列， f ( z n k f c n ，0 c 。对所有的n 1 ，k 三1 成立又e i x 女f 1 + ； + e c ( i )当0 l 时，则有上述结论成立 推论3 6 ，n21 为一n a 随机变量列，存在一个随机变量x ，满 足p ( i x 。l2z ) c p ( i x i z ) ， a n k ，l k n ，n 1 ) 为一实数列，又 设e i x 1 1 砌 o 。 s1 ，e = 0 ，e 霹l o g + j j 南j 0 ，且 o 。= o ，k n 对 女= 1 某e 1 ，有e ( x + y ) ps2 p 一1 ( e x v + e y p ) ； 对0 p 1 ，有e ( x 十y ) p ( e x p + e y p ) 引理4 2 ( 1 2 1 引理3 ) 矗，n 1 ) 为一随机变量列，存在一个随机变量x ， 满足p ( i i 三z ) sc p ( i x l z ) ，y x 0 ，c k o 时，对任何0 k ) 引理4 3 ( 1 0 j ) ( h o e f f d i n g 方程)对定义在r 1 上的任意绝对连续函数f 和 g 及对任意满足e l ( x ) 2 + e g ( y ) 2 0 和0 z ) ，对v 。 0 ，和某0 c + 。 及s l x l 9 + 。，l p 2 ，e 蜀= 0 ， i = 1 ，2 ，则n - - ；品马0 ，( n - + 。o ) 第二节主要结果及证明 定理4 1 把邵启满和苏淳( 文【l o ) 的n a 的重对数律由强平稳的情形推广 到了弱平稳不同分布的情形 定理4 1 置，i 1 为一n a 随机变量列，e x i = 0 ，e 霹 0 ，e x 2 口) 一。亿 。) + ( z4 - n ) t z 一n ) ， k ，f = 9 l ( 玩，x i ) 一e g l ( b i ，墨) ，& ，f = k ，f ，i l ，f = 1 ，2 i = l 2 n 1 t 弼= m ，1 ，氓= u i ，i = l 2 j = “一1 ) m + l j 5 l 由文 1 】性质p 6 知 k ，f ) ，f = 2 仍为n a 列 易知 = 1 = ( 2 i l o g i 。g i ) - 1 7 2 o ( 1 ) j 1 7 2 ( i o g l o g j ) 。2 o ( 1 ) b j i = 1 一t = l 由引理4 2 知 e l x i l i ( 4 x 抛) 。r 15o ( 1 ) e i x i i 6 ；) 。i 1 i = l t = 1 d ( 1 ) ( n f l ) e l x l i ( b ， l x l s b i + 。) o ( 1 ) e x 2 + o 。 从而由k r o n e c k e r 引理知 。姆o 。i 晶，2 i ( 2 n l o g l o g n ) 1 7 2 2 0 1 ( 4 5 ) 注意到 m i n ( n ，z m ) m 哪a x s i , 1 1 蝉i n 蜊a x m 】盼1 + 增m 驯a x 刊忙f i 纛+ ，瞰1 l l 蚓m a 。x 。】吲+ 嘛 l ! 毽箭。1 吲+ 口( n l o g l o g n ) 1 肛( 4 6 ) 下来证对足够大的m 有 ；翼o 。e u ；( m 矗) 兰l _ 先来证：立 i m e ( j = 0 一1 ) m + l = 口2 g ( x 3 ) 2e ( x j ) 2 由已知条件有堡生雩竽l 一= 堡 一 而 e ( x j ) 2 = e 碍+ 2 e 墨玛 ：m e x + 2fe x i x j l 二魂m m i7 n = m e x + 2 e x i x j 而由n a 的定义知 去芝i = l 蔓= l 脚t 札，击m 三- 1 至+ o o 麟- 噩+ ， 同时对满足l n m 的整数n 有 鬲i e x i x i + j 磊1 e x l x l + ， z = l ，= lt = l ，等l 鬲1e x l x l + ， 2 = l ，= 1 v = 下m - n - i e x l x l 卅 j = l ”j 。e x l x l + i j 2 l = 尊。e x l x l + j ，= 1 所以有 l i m e ( x j ) 2 j = 1 丽置= k ，i + k 2 ，注意到( 4 5 ) 式 有e 谚( m 商) 1 ( i + 。o ) n q 同时还有。