（生物医学工程专业论文）信号的混沌测量研究.pdf

撒江夫学柏1 学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t c h a o t i cs y s t e mh a si n i t i a l , c o n d i t i o n s s e n s i t i v i t ya n d p a r a m e t e r s s e n s i t i v i t y , a n dc a bb eu s e d1 0 d e t e c to rm e a s u r ew e a ks i g n a l s b u ti ti su n s t a b l ea n di ti sa l s os e n s i t i v et on o i s e ，r e d u c i n gn o i s ei s t h ek e ys t e pi n m e a s u r i n gp r o c e d u r e t h i sp r o b l e m i ss o l v e di n t h i s p a p e rb yc o u p l e d s e v e r a l m e a s u r i n gs y s t e m sm e a n w h i l e ，w eu s eas i m p l en o n l i n e a rc i r c u i tf o fd e c r e a s i n gt h ec o m p l e x i t yo f c h a o t i cm e a s u r i n gs y s t e ma n du s es y m b o l i cd y n a m i c sf o rs i m p l i f y i n ga n a l y s i so nt h es y s t e m t h ei d e at or e d u c et h en o i s ew i t hc o u p l i n gt h em e a s u r i n gs y s t e m sw a sf r o mt h ec h a o s s y n c h r o n i z a t i o n i ns u i t a b l ec o u p l i n gi n t e n s i t 5c o u p l e dc h a o t i cs y s t e m s c a nb es y n c h r o n i z e d ，s ow e t h i n kt h a t s y n c h r o n i z i n gi s t h ep r o c e d u r eo fc o u p l e dt r a j e c t o r i e sa t t r a c t i n ga n dc o i n c i d i n ge a c h o t h e ra tl a s t t w oi n i t i a lc o n d i t i o n s ，m e a s u r e db yc o u p l e dt w ot r a j e c t o r i e s ，m a yb ec o n f i n e dt i g h t l y a n dd on o td i v e r g eo v e ri n i t i a ln o i s ed i s t o r t i o n ，t h i sp o i n ti su s e f u lf o rc h a o t i cm e a s u r i n gw e s t u d i e dt h es y n c h r o n i z a b l ep r o p e r t yo fo u rc h a o t i cm e a s u r i n gs y s t e m ，e s t a b l i s h e dt h ee q u a t i o n so f c o u p l e d t w os u b s y s t e m sa n dt h r e es u b s y s t e m sr e s p e c t i v e l y ，a n a l y z e dt h e s y n c h r o n i z i n gp r o c e s sa n d s y n c h r o n i z a t i o ns t a b i l i t yo nt h eb a s i so fs y m b o l i cd y n a m i c s t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h ec h a o t i cm e a s u r i n gs y s t e m sc a l lb es y n c h r o n i z e d s t a b l y w h e t h e rt w oc o u p l e dc h a o t i cm e a s u r i n gs y s t e m sc a l lr e d u c en o i s eo rn o t ，w ec a r r i e do u tt h e f o l l o w i n gs i n a u l a t i o n si nf o u rs i t u a t i o n s ：( 1 ) n o i s eo n l yi ns t a r t i n gp o i n t ，n on o i s ee l s e w h e r ei n t r a j e c t o r i e s ，( 2 ) n o i s eo n l yi ns o m e w h e r eo nt r a j e c t o r i e s ，e l s e w h e r en on o i s e ，( 3 ) c o u p l i n gi n t e n s i t y c h a n g e ，n o i s eo n l yi ni n i t i a lp o i n t , ( 4 ) s y s t e mp a r a m e t e r sf l u c t u a t i o n ，n o i s eo n l yi ni n i t i a lp o i n t t h e n o i s e - r e d u c t i o ne f f e c tw a so b s e r v e di na l lc a s e s c o m p a r i n g t h er e s u l t sf r o mc o u p l e dt h r e ec i r c u i t sw i t hc o u p l e dt w oc i r c u i t s ，i ti sd i s c o v e r e d t h a tt h ee r r o ri nt h ef o r m e ri ss m a l l e rt h a nt h a ti nt h el a t t e r n a m e l y t h ef o r m e rh a st h es t r o n g e r n o i s e r e d u c t i o nf u n o t i o n e x t e n d e dm e a s u r i n g s y s t e mt oc o u p l e dnu n i t s , f i r s t l y , w ei n v e s t i g a t e dt h et r a j e c t o r yd i s t a n c e b e t w e e nu n i to n ea n du n i tt w oi nc o i l p l e dm a n yu n i t sw i t hu n i t sn u m b e ri n c r e a s i n g ，s e c o n d l y , w e t e s t e dt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h ei n i t i a lc o n d i t i o n sr e c o v e r yf r o mt h ec o u p l e dl o g i s t i cm a p l a t t i c e s g a u s s i a nw h i t en o i s e t h ei n i t i a ls i g n a l sa n dr i on o i s ei nm a p p i n g , s i m u l a t i o n ss h o wt h a t t h em e a no f t h er e c o v e r e ds i g n a l se q u a l st h a to f t h eg i v e n ，a n dt h ev a r i a n c eo f t h ef o r m e ri ss m a l l e r t h a nt h a to ft h el a t t e r i nt h es a m ec o u p l i n gc o e f f i c i e n t , t h eg l o b a lc o u p l i n gm o d e lh a st h es m a l l e r v a r i a n c et h a nl o c a l c o u p l i n g f o l l o w i n gt h i s ，w e t e s t e dt h es t a t i s t i c a l p r o p e r t i e so ft h e i n i t i a l c o n d i t i o n sr e c o v e r yf r o mt h ec o u p l e dc h a o t i cm e a s u r i n gs y s t e ml a t t i c e s ，s o m er e s u l t sa r et h e s i m i l a rt ot h ef o r m e rc a s e a 1 it e s t si n d i c a t en o i s e - r e d u c t i o n se f f e c t i v ei nc o u p l e dn s y s t e m s t h e s ea c h i e v e m e n t sa r ep r e l i m i n a r y , b u tt h e ya r eh e u r i s t i c u s es i n g l es y s t e mt om e a s u r em a n y t i m e si st os a m p l et h es t o c h a s t i cp r o c e s si nt i m ed i m e n s i o n h e r ew eu s en c o u p l e du n i t s t o m e a s u r ei st os a m p l et h es t o c h a s t i cp r o c e s si ns p a c ed i m e n s i o no re n s e m b l e ，a n dt h i ss a m p l i n gi s n o ti n d e p e n d e n t ，b u td a t ap r o c e s s i n gi si n d e p e n d e n t t h i si san e wm e a s u r e m e n tm o d e l as i n g l en e u r o no ras i n a i le n s e m b l eo fn e u r o n si sk n o w nt oe x h i b i tc h a o t i cb e h a v i o r s b i o l o g i c a ln e u r a ls y s t e m sa r ec o m p l e xc o u p l e dc h a o t i cs y s t e m s o u rm o d e lm a y b em o d e lt h e s e s y s t e m s i ns o m es i t u a t i o n s o n em u s ts o l v er e v e r s ep r o b l e m ，o u rm o d e lc a nb et a k e na sr e l e f e n c e k e y w o r d s ：c h a o l i cm e a s u r i n g , n o i s e r e d u c t i o n ，s y m b o l i cd y n a m i c s ，s y m b o l i cd i s l a n c e ，c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n ，c o u p l i n gm a p 寝汪天掌祷 主学旌蛇变 辩 蕈恭谵 第1 章绪沦 混湾现象敬研究最早霹追灏弼卡丸、二十篷纪之交p o i c a r 6 对太鞫系稳定性 的轨道分析，发现天体力学中三体问题就存在内襄随机性：进入二十世纪， d u f f i n g 摄子( 1 9 1 8 年) 、v a nd e rp o l 强子 o ，使得厂“( x ) = x ，则x 称之为- 厂的 周期点，厂”( x ) = x 成立的最小的n 即为周期。厂的所有周期点的集合常记为p ( 力： n = l 的周期点即是不动点，的所有不动点的集合常记为f 0 5 。 定义2 1 2 对于x x ，如果存在整数n o ，及任意f 0 ，使得 f ”( x ) u ( x ，占)( 2 1 2 ) 其中u ( x ，占) = z x i d ( z ，x ) o ，及任意 0 ，使得 f ”( u ( x ，占) ) n u ( x ，s ) ( 2 13 ) 其中u ( x ，) 的意义同上，则把j 称做的非游荡点，- 厂的全体非游荡点的集合， 记为o ( f 1 。 显然，| 二述定义的点集有下列关系 f ( l ，) cp ( f ) c r ( 厂) c 力( 厂)( 21 4 ) 显然，( 2 1 4 ) 式代表的回复性由强到弱。从上述定义中也可以看出，回复性是点 淤涟走学祷 ，学佼埝芟 瓤2 奄酶羽符号臻力学 剽点的邻域的回复，蕊嚣游荡瞧鼹点的熊域中载点到点的邻域的圈复。 如果考虑上述恢簸牲中的类似周期性的特性，奄下列甄个定义： 定义2 。 。4 藿x 并，翻聚存在整数n o ，p p ( 厂) ，搜 l i m d ( f 9 ( x ) ，f ”p ) ) = 0 ( 2 1 5 ) 则称x 为，的激近周期点，激避周期点繁记4 罗够e 当东在k 0 ，使 ，( x ) e p ( f ) 对，掰称x 为厂的终予周期点，终于弱髑点集记翩- 定义2 1 。sx x ，如粜对任意嚣0 ，使 “( x ) u ( x ，s )( 2 1 6 ) 戏立麴嚣构成个相对稠密静集会，舞g 邀样的善称之为凡乎周期点。凡擎周期点 缀记为a q ) 。 如聚蕉绕建复杂豹，还在乎系统熬誉可分瓣接。系统豹不可分性出掘羚传递 链刻戮辫。 定义2 。1 8 翔采存褒苫置嫠褥 o r b ( x ) = x 辖+ 1 。7 ) 帮x 豹鞔遂奁x 凑缝楚骥密，裂稳，楚攘羚捷递豹。 系统驰复杂健还表瑷淹系统遮动虢光滂，运灞的滗熬程度胃淤卣韬羚混合瞧 粼画 定义p ：瓴x 成x x ) 一- - 淼脚：) ) ， 篡中黑x x 表承x 积黩亮豹掘羚积。蠢，x f 毫c 。( x 爿) 。 意义2 1 7 妇巢，x ，怒描矜传递的，剽称_ 厂是拓补弱混合的。都对任意的 嚣空秀熬辞 ，“2 ，毡，v 2 x ，存在n o ，缓褥 厂。( ” ) n u 2 妒，f ”( v 1 ) n v 2 ( 2 1 8 ) 庭义2 。1 。8 妇果瓣睡意嚣空嚣豢掰，v c x + 存在渺o ，臻褥 厂“( “) n v ， v n 急n ( 2 1 9 ) 饕涎定棼博| ：学谊论文辩2 章蔽塌符每秘力学 粼穗，爨鬣强孙浇台麴。 辑戳，额於溪混鸯蕊掇蛰鹱游隶涟警拯按蛰遵缝，笈之，篓不藤嘉。 上浚凝念扶不疑鳆铡嚣剡躐了系绞黝运端姆馁，戮笈链、不可分蝰、瑟澎性。 遮璧概念莲咨宠爱副薅了爨鸯潦系统瓣鑫裁t 瀵蘩弱运麓霆蒋洚笼定谂。德其中 类麓祭逶秘已受戮了广泛深入豹磺究，这簸怒淀涟运动。 鬈。 。2 | - l - y o r k e 薨滗 l i y o r k e 定理竣f 芒c 。( d ，糟存在疗群，。搜褥，( 固c f ( 露) ，2 扣) 蕊，3 ( 稿# ，疗) f 2 ( 鑫) ，强 1 ) f 存簌掰枣菠整数麟鲻； 2 ) 存在不掰数鬃念s c ? 一p ( d ，清楚 一 l 谶筑畦广”碎一f “0 琪毽v x , y 冀聋蕾 熙酬，“x ) 一，4 硝哦v x , y 蒜s ， l i m s 镬p | f ”( x ) - f 4 捌 毽搬冀跆蕊联办 籀2 颗繁。点蔽跌了点勰分离憝潮；第国杰爱溉了蕊豹嚣避趋翻 第国患说鞠s 孛不襻餐p 懿灏遮逮鬻蠡。l i - y o r k e 露理箍承鼹鹚3 簸添涎淹。、惹来懿攀卷把漆 避b y 定理麴混沌髂为l i y o r k e 浇沌。受l i - y o r k e 定壤痿袋，入稍爨然要溺， 逐骞嚣鬻条转豢涵潺淹? 或莠诞，瀑淹述商辫楚等徐鹣条传，溪蠹终诲多擎誉 黠露鬟搿逐臻究l ”霉；翔o o n o 褴广7l i * y o r k e 建壤，骰骥始巢，商摇期譬2 8 f 黠 魄 樊唾蕴涵滟沌，_ l 毙时的捌麓由a h 戳aph 0b ckh ( a ，n s h a r k e v s k t ) 定理决定。 2 。2 潞囊豢缝熬掇挣薅 设骚，秀炎綮羧系统，f 毫c 。x ) ，麓嚣、声波搴善秘鬻覆麓，毽 g 、，声嚣蠢n 器 a 娃，露尝；， f 2 2 醛 f “娘) = 歹”( 鼻| 爿搿 2 。2 、2 ) 它翻氇怒搿上豹辩鬣薇，存谯 f 。( a v 筘= ，“挤v ，f q 露2 3 冀 疆眭走学褥士学馥诡芟 笨2 黎缱趱蒋蛩臻力喾 并且裔 二，叫( a ) = n 以，| ，叫( 搿x i = o ，l ”，聍一1 ， ( 2 2 4 ) 我们豫 e m ( f ) = s u p l i m a l o g h ，1 沁) ) 0( 2 2 ，5 ) a 灯 2 为系绞豹拓扑熵，h ( l 。厂“( 寤) ) 表示歼覆盖二，1 殛) 豹所有有限子疆豢的基数 麴下礁嚣，露s u p 则表示对爿爨鸯开疆蒸戆上爨赛。关予挺 嫡的诗黪，已鸯韵： 多讨论5 郴”。c s h s u 与m c k i m | 6 2 1 献穗空阐的生成划分( g e n e r a t i n gp a r t i t i o n ) 如发，以静糖辩容弱豹方式对常觅静些韵力系统的拓扑熵、测瘦熵进符了 舆体计算。 怼予荦蟪映射或分段连续豹线段自浃翦，舞个较壹双匏定义，锻映射， 豹1 , t 次这代尹其有蝴) 令攀调分支，嬲据羚壤键璧了期融戆撵数壤长搴，靼撼 羚壤等予 螽：l i m i n n ( n ) 穆2 如陈瑞熊等删粥j 鲢：对l o g i s t i c 映射的拓扑熵进行了详编计算。在i 塞静特殊情况的 嶷嚣计髯孛，不必扶定义爨发诗冀拓羚蕊，有薄静方法，一是攘r - m i l n o r - t h u r s t o n 关予逡续浃射浆攘理论i t , i t ，二蹩攫广攀蜂殃魅瓣s t & a n 矩簿方法* “。麴果露溺 转移映射的s t e f a a 矩阵的最大率征篷为蔗。，霁遮一浚辫豹强矜璃为 h ；i n ( 五。) ( 2 。2 + 7 ) 镶演豹诗箨大凳麓恁。 萋慧。3 痰鬻褥孳赣宠攀 考虑紧致壤徽空问中的动力系统m 蓑它的相空阍嚣可玲为不稻交的子夺越 熊台 蕊、萎、瓦； ，郄u 暑置= e ，且f 垆歹时，墨n ，= 妒。逡定个幸毒= 弩 o ，l ，2 。，三1 缀或籀弩榘含剿强系统运动辩，系绞每一辩闲步麓溶态可燃 集台s 中静一个符号表示：鲡在时闷k ，弼最袋示。_ l ：融褶点妁往予予空闷露， 嬲符号蕊赋菠j ，蕊。f i g o ，l ，三一l ；这榉，系统获菜一使出发躺运动鞔 遂宠全出蛰号黟列s ；是& 撼述，这楚一剥，黠动力蘩统耀羧恁躲拯述，只考虑 9 耱搿戈擎簿童。学鲢蹬卫簿2 枣波玛簿譬动力攀 并且旃 兰，”( g ) = f q a ，i 一，“( 搿x i = o ， 一，孵一i ， ( 2 2 4 ) 我们拣 # 一l e n t ( f ) = s u p t i m 毒t o g h ( y 1 溆) ) 臻5)f 02 8 h 为系统豹拓扑熵， 对( 墨。f “( 疆羚表示野覆羲兰歹1 弛) 豹所翁寄鞭子覆蕊豹基数 粒下礁嚣，箍s u p 烈淡示对x 酝鸯开疆蒸戆上确赛。关予挺$ 嫡的计算，已肖诲 多讨论l 洲”。c 。s 。h s u 与m c 。戳藤蛾获襁空润懿生残翅努( g e n e r a t i n gp a r t i t i o n ) 搬发，以一种糖辩容易豹方式对常觅弱些动力系统的拓拎熵、测凌熵遂镫了 其 本计冀。 怼予蕈峰骥瓣或分投连续豹线段是波爨重，蠢一个较童观鲍定义，镁映射， 豹打次逡代产舆舂蝴) 令攀调分支t 嬲掘羚壤餐蟹了i v ( n ) 豹援数壤长率，稚羰 羚熵等予 舞。l i m i n n ( n ) 弦2 r 翔豫鬻熊薅辩l 耀馥对l o g i s t i c 映瓣粒籀接熵遴符了谨缁诗嚣。在遮弹特殊谤凝的 实繇诗冀中，零躲扶嶷义爨发圣 冀籀羚爝，蠢鼹秘方法，一是接r - m i l n o r - t h u r s t o n 关予连续浃赛重茨攘理论，二曼攘广攀蜂唳黻夔s t e f a n 矩簿方法删。懿暴匿瓣 转移浚瓣熬s t c f a n 越簿魏最大率征蘧为毒。，慰这一映辫豹辐釜楚为 h ；i n ( 矗。)( 2 。2 7 ) 镶熵靛诗葬太毙麓镪。 麓。3 瘴鬻狩曝麓囊攀 考虑綮致凌蘩空精串静秘力蘩袋墨蓑意熬耀空淄嚣哥分势不糨突静予空瓣 浆合 蕊、墨、。、瓦， ，郄u 鬟磊= e ，盈i 歹聪，或f i e ，= 妒。逡定三个旃 弩 o 。l ，2 。囊* l 缀戒籀弩豢鸯& 粼娄系统逡动辩，系统每一辩闲努稳敬态啄瑙 檠会s 审鹩一拿蛰写表示：魏在瓣阚女，蠲蕊豪瑟，藏跨裙点髑继予予空勰置， 剿符号蕊赋簸i ，s = i ( f 芒 0 , 1 ，一l ) ；这榉，系统扶菜一德激发躺运霸轨 邋完全文蛰号黟剃s ；是s 攒述，这楚一耱鼹魂力蘩缆凝褴讫蕊辩逑，疑考虑 9 拼艘戈拶艘士警站簿受 躲2 帮筑羽将号渤力学 在每时潮雾系统簸予噼个子籀空阊，两不考虑其体豹稠点德，酃激弃纲节， 廷餐爨繇；疑霹，遮撼趋对秘力系绞熬更赢按象窝穰撼，褥戮熬瓣稼魄其舔麓 动力系统更热营适瞧i 一“。 + 辩黎动力累统爿黪凄力学藜数，已躲，箨幺，获知凄袋瓣鞔瀵凳 ，f ( x 。) f 2 积e ) ，。+ f “( 南，。；t 辘逆黟签零枣列为：& s s 只，献f ( x o ) 域发 豹孰遂扩( 粕) ，f 2 ( 嘞) ，f 3 ( 岛k ，”( 确) ，f ”o 。) ，0 ，轨通的符号序翔为； 墨岛s 。& ，继续翁落霹潋番漤，褪空弑上点憝获象菠襞在捋号黟掰主，凌蠛 为黎警枣劐魏移蕊。翔祭鼗绷搬动力系统豹替号廖别构成豹空趣稼之为静母空 蠲，势邈义蒋蟹空润上瓣移穗冀稽毋， 萨s 藩t 焉轰净蕊连”+ ，( 2 3 。 蘩# 存滏热下袭2 , 3 。l 麓关系。 袭2 , 3 1 裙室弼与符号空淘辩照 霹觅，终号蜜闲豹端力学交褥缀楚攀，裁燕楚荦熬穆缎运雾。我们完全可以搬 蟹警帮戮看豫瓣痉摆煮氇熬溺宓擎缀释，露戮叛鬃弼瓣方式辩宠动灸蓉绞，港 在每一令子糖空勰土，煞逆溪澈广眷农， 粼霄 。! i 。r a f , 。- 。f 。m 甓( 如) ( 2 - 3 - 2 ) 拔立，英孛赫避墨。上强意蕊。这撵，魏建立起稳空鬻孛浆辘遵辩按蕉、符肇 空淄巾赢( 褥曝痒魏之阕靛辩应美累。 鬓成用符峙动力镦予信蛩娥理时，我们撼崧趣的问题主辫肖：( 1 ) 符号净梦 j 酮 攥痔攥黼，2 ) 蹶夫辩耱号黟粼疑竞莹警垮残鞫蕊虚黟秘+ 3 ) 魏麓簸受礤声透凝释 铤号挎列中蛾复出翘戆信息域系统参数等，4 ) 镣号垮列之洲豹距离。下面以娥 薄零瓣壤麓力系统淹潮穰簧滋臻。 瓣符号净戮与褪媲条转熬辫瘟美器，鑫然籀号搭魏逊与翅始条始一样眷撼垮 瀚关臻。如率节拜始掰述，菪一缝蘩线靛动力黎统歹定义在溉棚主，群x 。5 ) 楚f 鹣漆漆器患够鹣纂潺羧靛生转变捻熹威，努段楚阚敷患) ，将，翡辅空籍f 哦麓 1 0 所扛上+ 学彬上訾岔越义 第2 章应用符号动力学 分成e o = a , x 。 和e = o 。6 ) ，系统运动时，在每一时| n j 步，视其落入昂还是e ，分 别赋符号“0 ”和“1 ，( 符号0 和1 ，非数字0 和1 ) ，则系统的轨道即由0 和1 组成的符号序列描述。为了给符号序列排序，对序列中的任意一个符号墨，我 们 设定一个标志r 若e 。上f 是升函数，则r 。= l ，若e 。上厂是降函数，则 r ，= 一1 ，对一个长为”的符号字 s o s 。& s ，。) ，根据是复合函数的运算规则， t l - i 定义一个字序参量r 。，r 。= 丌r 这样我们对两序列：s 。2 历”) 和是2 西。) 的比较就很方便了，其中三是公共字头，计算r 。( 三) ， r 。( 三) = 1 ，如“ 是； r ，( 三) = 1 ，如“ s ，如o 盈，则s l 是。 对单峰映射，如l o g i s t i c 映射和帐篷映射，非单峰映射，如移位映射、锯齿映射 可验证上述方法的正确性。这是一个对两个符号描述的一维映射普遍适用的规 则，经推广，对一维多峰映射或多段映射的多符号序列也是适用的。 什么样的符号序列是最大的符号序列。简单地说，从相空间中值最大的点 出发的轨道所具有的符号序列是最大的。但考虑到系统运动过程可能存在一些 不变子空间，即系统经过短暂的过程后落入不变子空间后，不再离开，不变子 空间可能不包含值最大的相点。所以，在符号动力学研究中，更注重研究从临 界点出发的符号序列，如果有多个临界点，则是值最大的临界点，该序列有特 殊的意义，称之为揉序列，以k 记之。 所以揉序列不是值最大的序列，揉序列是移位最大的序列，对单峰映射而 言，即任意合理的序列( 包括揉序列自身) 移位( 最多一次) 后均小于揉序列， 后续不管作多少次移位也都小于揉序列。揉序列的移位最大性可以作为其它符 号序列合法性的识别依据。那么，小于揉序列或移位一次后小于揉序列的符号 序列就是允许序列，否则就是禁止序列。 从l 临界点出发的轨道对应的揉序列必同系统参数一一对应，实际应用中常可 利用揉序列来确定系统参数，如字提升法。因本论文未论及系统参数的测定， 故此项内容从略。 因信号检测不可避免地受到噪声干扰，如何从受噪声污染的符号序列中恢复 出初始信息或系统参数等问题是非常重要的，放在第3 章简要讨论；符号序列 之间的距离则放在第5 章再讨论。 l l 渤洼蠢警持士学经诧囊 镰3 啭溉涟茸臻捧 筹3 牵灌涟麓骥毒 斡 舞l 辫嚣努淮淹毒糕毒 3 。1 + 1 攀l 寒 爨然赛躲矮逶渤分为鬻癸，一粪蹙确定瞧麓。箕运霸蔑簿西弼拣定疆穷程赫 逐：攥类蹙隧撬憔粒，英逡动筑绍歪法愆碳寇健方程描述。淀淹遮动楚确患 链瀚，溅论上廷瑟播述系统熬方程满定瓣酾存在翻瞧一槛祭俘，并疑，缎定我 们熊够突全糖媳她确迩篡镪始条 孛，瞧戆够突全耩硫搂述它懿每个状态，嚣 么，笨统浆泰涞状态就宠全确定，袭淀沌运璐戆谩秘辩剡，其物理篷黪取悠一 惫。缀跫，褒实孛我熟嚣法礁绦耪始条终懿精礁取德，囊黻来寒戆竣态哭黥愚 蠢隈精度煞，褥溜波系臻对镪戆条搏是敏感翡，觚聪导致瀵滤系统黔魏在袋隧 瓿後。 叛转么方式确定蹒察捌鹣不蕊瑟| j 髂罨蹙溜淹倍弩褥不趋噪声? 这怒一个嵌鼹 霄争议麴鞫怒，帮莱籍譬怒在诤葵梳薰按禁令搂掇嗣这代滟方式产生翁，翊 我髓娩绘出学定豹醚昝，嚣必我们知遵僚号产黛熬缀鹂。毪蜜狳测爨获褥个 时闽黪魏静惜况下，我们裁可麓瑟瑟瓣幂砑灏绣提了，程太多数蒋魏下，产生 数攥蕊号戆累烧菸攀粪蠢唯一翁羧壁l ”，迸参漫，筏翻翡熟遵静模爨戆特征 上不避以阏签偿号趟幸警缝，魄方，枣勰逮麓熬羧擐，我稻掰戳建童确定豹瓣燹| l 逶疆搂塑，惑霹滏建焱臻寰拣戆涎滗攘蘩，超鹫较鏊壹楚稳模爨。露藏，嚣努 溜淹与噪声怒不容荔麴，毽濑涟鸯臻声零震上酌不瀚，仍然谴我缁髓够嚣分它 嚣j 8 5 - 7 6 。 溅淹和漠垮表域激慕照榭戳健，翔二鬻都蠢努维特性。= 海的功察谱戳坚连 续谜簿，掰虢，单麸凝率势祷滋数不黥透矜潞涟秘臻声，靛斌嘏率分耀蔹数濒 笈瓣蠢关缎数露h a u s d o f f 缑数、售惑缝数、关联缨数) 的 锋鸯助予区分沤 沌与噤声。此秘，摩溉普滔走攘数阳、烧椰一毪售惑熵、拓羚熵、溅发怒) 、鬻转 港秘l 嚣概惫毽鸯瓒予莲努浚淹舄礤孝e s + 1 。2 嚣癸潺滚麓臻赛麓祷餐蠢 掰壤二剖一s - s o j ，翅果麓够确定德弩瘠列静避文攀溅营涤失襁数盖) 娥每雄证 渤江大学媾士学位论文 第3 章混沌oj 噪声 时间内的k o l m o g o r o v s i n a i ( k s ) 熵( k ) ，没有任何疑问，我们能够决定信号数据 是由确定性规则产生的( 丑，h 。 m ) ，还是由随机性规则产生的( a ，h 。_ 。) 。 尽管最大李亚普洛夫指数和k s 熵这两个概念是非常明确和中肯的，但实践 中存在的问题也是明显的，需要进行无限时间平均和有无限的分辨率，而我们 只能达到有限的时间和有限的分辨率，实验是在有限的标度范围内进行的，为 了克服这一点，常使用有限大小李亚普洛夫指数旯( ) 作为原李亚普洛夫指数的 替代，使用单位时间的h ( s ，r ) 熵代替单位时问的k s 熵，要计算五，h 。我们必 须达到无限的时间和无限的分辨率，而计算2 ( c ) ，单位时间 ( s ，r ) 只需有限标 度占。此时，旯( ) 给出在占标度上靠近轨道的平均发散率，h ( c ，f ) 给出预测所需 要的平均信息率， 一 如果a 0 ，定义 ( 占，f ) 生吗 h ，旯( s ) 乌旯( 3 1 1 ) 则我们有可在任意标度上决定j r ( 6 ) ，h ( e ，f ) ，也可能回答前面提出的决定信号 产生的规则的问题。 为了陈述起见，概要给出h ( 6 ，f ) 熵及a ( 占) 的定义，连续变量x ( t ) i r 4 ，按 时间间隔f 将其离散化，考虑新的变量 x 驯( ，) = ( x ( ，) ，x ( t + r ) ，x ( t + 棚r f ) )( 3 1 2 ) 这里，x ( f ) i r ，对应间隔为t = ，l r 的离散化轨道。通常，在数据分析中， 系统的态矢量空间并不知道，大多数情况下，只有一个标量函数能够被测量到， 这时，考虑豫“中的矢量 x 叫( t ) = ( “( ，) ，u ( t + r ) ，u ( i + g r i t r ) )( 31 3 ) 则可以采用延时嵌入技术重构原来的相空间。引入相空间豫“的一种分割，在d 个方向上使用长为s 的元胞，一个有界的运动总只经历有限的元胞数每一个 x ( ，) 能用一个长为m 的字编码 x ( ，) ( 占，f ) = ( i ( e ，) ，i ( e ，i + r ) ，i ( e ，f + m r r ) ) ，( 31 4 ) 1 1 旃接a + 擎簿。0 敛棼叠3辩3 章撬淹每臻声 葵中i ( e t + 砷标港t r 中的包含x ( t 牛j t ) 霭骢。逛平稳缎浚下，缀攒x f ) 的 滚化，群l 冀获褥竞谗字妒“8 ) 油死率p 舻”( s ) ) ，邸瑶凝零每蛰经| 螬阚憋熵 舟( t f ) 矗。文f ) 一二i n ，l o ，f ) 一露。霉，f ) 】，f 3 。l 、5 ) r 1 虫( 艿，f ) = l i r a 蠹掰s ，f ) = 二l i m 二抒。( 占，r )( 3 。l5 ) 一” ：”，h 邀攀坟，怒块长为饼的字的块熵 嚣。s ，_ f ) = 一e ( w ”( e ) ) i n p ( w ”# ) ) 3 ，1 7 ) 渺 为了简单超觅，忽酶了冬分涮绷带豹关系，藩逡行严格的定义，必须考虑联有长 成小予疗的娥分，然螽决定这堡分骞对趣的熵的最大下弊，在数值诗葬串，可通 道剩蠲覆盖代替分割绕过_ l l l ：闯题。 “ 露为怼是( 嚣，# ) 熵壤念豹 兖，定义熨一令概愈，占廷余。表承嚣过去鲍煲骏 辩识霹来来露察不确定性静清除，谯就愚 k = 肼琏s ) t 气( ，f ) = 0 瑟在周期信号筑情瓿下，菩强余楚最丈鼹 k ( s ，f ) * 冒 。c 一 n 嚣 矗( s ) c o n m茬) 鬻c o 静s 如祭髓鞠冗余之一美予巢蹩称嶷是常数，则拣勰应麓傣譬关予遮蟹酥度蹩凌 膨灯火学搏，笋垃越卫 第3 章混沌j 噪声 定瞧懿或麓爹t 浆，这样，我察裁有了一个实际工其来分类僚号弱特征，不耀提 及熊体的横型，也就不用被迫回答产生数攒的系统是确定性还是随机性的这个 拐始的物理闯邃。 进一步，按照这个观点，我们可以给出商噪的混沌这个概念以溃楚的物理意 义，大标度上混沌，小标度上随机。当然也可以给出混沌的噪声这个概念的意 义：大标度上睫枧，小标度上混汽。 区分混沌和噪声，需要将估计相关维这个问题激新精细化和一般化，用有限 僮穆为确定性售号瓣标志。确定瞧混淹运动麴关联维数( c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ) 是与随机过程中相关函数对应的概念。给寇一个向缀时间序列，定义 c u ( c ) = 志莩脚一8 ( t j ) 叫u d ( 3 1 1 6 ) 捌 是h e a v i s i d e 阶跃函数，m 为x ( t t ) 的个数，如粜系统处于混沌态，通常有 c 材( # ) g ”点z ( 3 1 1 7 ) 或者 d 22 一：i m o 1 n c u ( e ) l n e ( 3 l + 1 8 ) o ( d 2 ) 为吸弓| 子豹关联维数，广义维数 = 逋击1 l n l x n ( 占q ) j 越9 ) 其中q ) = 芝。一，e 的意义同懿，q = o ，是h a u s d o g 维数，9 = l ，是信息维， q - 2 ，则是关联维数，并且有d o d i d 2 ，通常认为：支持混沌动力学的有效维数 ( 三释维数之一) 怒有羧豹，对于霸嗓声，其维数怒无疆静，由魏霹嚣分低维 混沌与白噪声。但对色噪声，其维数可能是商限的，如果混沌和噪声具有相同的 分维，这对缀难将他们分开；然而，部使某些类型的噪声韵关联维憝有限桷， 但其测度熵会是无限的，用奇异谱s s a 方法1 7 8 1 可能对于区分关联维数相同昀泥 沌和噪声是有效的，就不详细论述了。 瞧存在谗多其悠的努力试图区分噪声帮混沌，如，基予羧测算浚豹予委测枣， 基于信号的光滑程度的确定。但所有这些方法的一个其同点是，不得不选择一 个长痰糖菠帮萼等定静嵌入绫。 撕腰t 笋艚j 学越菌卫鲋3 审混沌与噪声 3 。2 翔俺分毒瀵淹与臻第 在l 混湾信号捻溅葶鞋售计方囊已发疑了诲多方法，褥畜凄豹售号扶莓陵长 的、被噪声污染的序列中分离出来。在考虑到瀹沌信号的特殊饿的情况下，这 整方法都可移穰翻混逶绩号与禳声熬分凑中来，妇最大钕然佳诗澍3 ”、矮夺二豢 估计| 8 3 i 、最大后验概率估计i “i 、贝叶斯估计等娜i ，以及其他方法m 】：时间序列的 衰源信号分离也有很多成熟豹方法t ”l 。但橇淹信号也蠢自身静独特之簸，在这 f 1 - 我们简介一种消除嵘声的新颖的混池滤波方法，其他方法从略。 以b e r n o u l l i 移位映射为例：_ + i = 2 x 。m o dl ，x 。e 【0 , 1 。由此系统产生信 号痔到 x i 。 ，该净捌困噪声污染成为有臻窍弼t 确幽，, y o ，魏楚* = 薯+ 誊， 善是毫簸自噪声，现在要从序列溉熬，藏) 中将 v 1 。蔫 分离娃 来，靼憋噪声 滤去，e r o s a 等人【2 0 1 采用了如下方法，考虑到映射正向迭代时，对噪声也有放 大作臻，敲采蠲逆怒迭健，形成对噪声豹自然裘减：其侮如下搽箨：赉鲰；求冀 两个逆象， 群= y 。2 ，宵= ( y j + l + 1 ) 2 ( 3 2 a ) 然螽敦翔下方式形成霹而静 砉- k l 囊 扣倭臻糕糍 曩：固 序列的最后一个霹保持不变，完成对整令信号垮列蛉一避上述搽终即是慰售号 序列进行一次滤波，再将量。序列当成m 序列，可重复进行多次滤波，图3 2 1 表 示了这样一组滤波过程，其中豳3 2 1 ( a ) 是无噪声情形：图3 2 1 ( b ) 嗓声污染赢的 情形：圈3 2 1 ( c ) 是经过3 次滤波后的情形：图3 2 1 ( d ) 越经过5 次滤波聪的情形， 图均是以工为横坐标，x 。为纵嫩标绘出。可以看到此方法是有效的。 。 一 o 一 一。 萝 22 7 嵌江大学媾：t 学位论文第3 章混沌与噤声 1 ： f 、4 lt ， f 阁3 21 混沌滤波过挥，其中( b ) 加噪声情况”= x + 0 i n ( 0 ，1 ) 信号序列的裙始值随滤波次数增热的收敛情况如图3 2 2 所示。由闰可觅经过5 次以上的滤波，初始信号的恢复值已收敛得很好了。 04 1t 一 鹜3 2 。2 痔梦藿耪始信誉豹收敛情形 e r o s a 等人业已证明此法对其他动力系统的有噪序列滤波也是有效的；我 们也准备将就法弓| 入混淹信弩羧溺的噪声消涂。 3 3t 新认识臻声 困湿淹与噪声有谗多相似之处，研究混涟帮磷究噪声鳇方法也蠢相互可供鉴 之处。在线性领域，噪声可能是一无是处，但在非线性领域，情况发生了根本 毽熬敬变，蔫先是憝橇共振豹发现踟1 ，霹双稳系绕，会遥瓣嚷声蔽嚣能撬麓系 统输出的信噪比。其次，适巍的噪声反而可加强某些系统或系统中不稳定轨道 酌稳定性 9 3 - 9 5 t ，噪声研诱导桴交l ”礴l ；磉声可诱导浅淹同多1 9 9 “ ：嗓声可羽抑 制噪声ij o j , 1 0 4 l ：以及其他方面的有益劝效呻。”j 。表明在薪的情况下，噪声也犍示 出有益的一面，引越了人们对嗓声的藿新认识和新的研究兴趣。在本论文n 我们黔目的楚消除或减小有密的噪声。 3 耐 ，一 一一 bl。 鼢一 一一、 矿 崎 一 il|l卜厂 日h ；1，：- 1 0 论t 第4 章混沌同步研究 4 1 引言 从1 9 8 3 年f u j i s a k a 的丌创性工作【引，特) j i j 足从1 9 9 0 年p e c o r a 硐ic a r r o l l ( p c ) 的， ! 论研究及电路实现1 1 6 1 以来，因其在诸如保密通讯【洲、 a - 物信息处f 旷4 及j e 他 方丽具自深远的应刖潜力，混沌同步研究l 成为1 i ：线性动力系统领域及川天。、j i 科如非线性控制、通信、神经网络等研究l 1 j 的。个热点。经过十多年的形 究掰 力，如今对混沌同步已有了更为全面、更为深刻、更为广泛的认识，发展了j 持 系统之| 1 | j 的广义混沌同步( g e n e r a l c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n