（运筹学与控制论专业论文）几类混沌系统分析与控制方法的研究.pdf

几类混沌系统分析与控制方法的研究 博士生：刘国刚 学位专业；运筹学与控制论 导师姓名：赵恰教授 摘要 对混沌现象以及混沌系统的控制问题的研究是非线性科学研究的重要课题 之一。而偏微分方程( p d e ) 的混沌现象的研究更是其中的一个具有挑战的课题， 吸引了相当多的物理学家和数学家去研究这一种现象。 具有v a nd e rp o l 非线性边界条件的一维线性波动方程是可能产生各向同性 或各向异性的混沌振动的最简单模型之一，在这里我们考虑这种模型的混沌振动 问题。利用边界控制可以实现参数在一定区域内的混沌现象。首先，对波动方程 进行变换，然后利用特征线法把解的解析形式表示出来，利用全变差理论进行分 析研究系统的混沌现象。对于方程的参数，给出了系统混沌的更大的参数区域。 另外，还利用了拓扑动力系统刻画了系统混沌的一些必要条件。当映射与初始值 满足一定条件，得到一些关于全变差指数增长的结果。另外，还考虑具有线性和 非线性边界条件一维线性波动方程，在边界上用一个正弦函数驱动作为控制器去 控制一个原来不是混沌的线性系统的边界，使它混沌。运用全变差理论证明了系 统混沌，并给出了数值模拟。 混沌控制与同步是上个世纪九十年代以后兴起的一个热点问题，很多非线性 控制方法可以应用到混沌控制与同步之中。 在这里我们给出了脉冲时滞微分系统稳定性的一个比较定理。使得对脉冲时 滞微分系统稳定性研究转化成脉冲常微分系统的稳定性问题。证明了脉冲泛函 ( 时滞) 微分方程的( 一致) 稳定性与( 一致) 渐近稳定性的条件。从而给定恰 当的脉冲扰动能控制不稳定的系统稳定。在定理中使用了r a z u m i k h i n 型 l y a p u n o v 函数。作为应用，系统的脉冲可以控制时滞混沌系统。 对于参数不确定的混沌系统我们给出了以下的控制与同步的方法。 应用自适应方案与反馈输运控制方法相结合来控制一大类混沌系统，应用微 分方程不变性原理严格证明了：所有的模型参数都可被动态地估计且同时不确定 性系统能被控制到任意预先给定的光滑轨道上去。对l o r e n z 系统的数值模拟结 果表明该控制方法的有效性。另外，在噪声的干扰情况下，相应的数值结果也表 明该控制方法的有效性。 此外，用同步误差最小化的自适应方法与替代状态变量的同步法相结合，来 研究混沌系统的同步控制，并且估计驱动系统的未知参数，所需的信息只要一个 这个系统的状态变量。未知参数可能显含在这个已知状态变量的发展方程中，也 可能不显含在这个发展方程中，只要满足一定的条件，都可以实现参数估计与系 统的混沌同步。以l o r e n z 系统为例，进行了具体分析与数值模拟，所得结果说明 该控制策略是有效的。 关键词：混沌：混沌控制：反混沌控制：波动方程；全变差；混沌同步；自 适应控制。 a n a l y s ea n dc o n t r o lo ns e v e r a lc l a s so fc h a o t i cs y s t e m m a j o r ：o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y n a m e ：l i ug u o - g a n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a oy i a b s t r s c t t h er e s e a r c ho na p p e a r a n c eo fc h a o sa n dc o n t r o lo ft h ec h a o t i cs y s t e mi so n eo f a ni m p o r t a n ts u b j e c ti nn o n l i n e a rs c i e n c e t h eo n s e to f c h a o t i cp h e n o m e n ai ns y s t e m s g o v e m e db yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) h a sf a s c i n a t e ds c i e n t i s t s a n dm a t h e m a t i c i a n sf o rm a n yc e n t u r i e s t h eo n e ，d i m e n s i o n a ll i n e a re q u a t i o nw i t hav a nd e rp o ln o n l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o ni so n eo ft h es i m p l e s tm o d e l st h a tm a yc a u s ei s o t r o p i co rn o n i s o t r o p i c c h a o t i cv i b m t i o m n o n i s o t r o p i cc h a o t i cv i b r a t i o nb ym e a n so ft h et o t a lv a r i a t i o n t h e o r yi sc h a r a c t e r i z e d w ec o n s i d e rt h ec h a o t i cv i b r a t i o np r o b l e mo f t h i sm o d e la n d o b t a i nt h ed o m a i no ft h ep a r a m e t e rv a r i a t i o nw h i c ht h es y s t e mh a sc h a o t i cv i b r a t i o n a tf i r s t ，w ew r i t et h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o nu s i n gm e t h o do ft h ec h a r a c t e r i s t i cl i n e a l a r g e rr e g i m eo nt h eg r o w t ho ft h et o t a lv a r i a t i o no ft h es a n a p s h o t so nt h es p a t i a l i n t e r v a li nt h el o n g t i m eh o r i z o nw i t l lr e s p e c tt ot w op a r a m e t e r si sg i v e nw h i c h s h a r p e n st h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s i na d d i t i o n ，w e o b t a i ns o m er e s u l t so nt h e e x p o n e n t i a l 铲o w t ho ft o t a lv a r i a t i o no ft h es n a p s h o t so nt h es p a t i a li n t e r v a li nt h e l o n g t i m eh o r i z o nw h e nt h em a pa n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o ns a t i s 毋s o m et o p o l o g i c a l d y n a m i c a ls y s t e mc o n d i t i o n s ab o u n d a r yf e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e dw i t has i n e f u n c t i o n ，w h i c hc a nd r i v eo r i g i n a l l y n o n - c h a o t i cl i n e a rs y s t e m sc h a o t i e t h e a n t i c o n t r o lo fc h a o sf o ri dl i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hl i n e a ro rn o n l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o n sa r ed i s c u s s e d u s i n gt h et h e o r yo ft o t a lv a r i a t i o n ，p r o v et h es y s t e mi s c h a o t i ca n dt h es i m u l a t i o n s 眦g i v e n t h ec h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o na r eh e a tp r o b l e ms i n c e1 9 9 0 s m a n y m e t h o do fn o n l i n e a rc o n t r o lc a nb ea p p l i e dt ot h e ma n dt h es t a b i l i t yp r o b l e mi sv e r y i m p o r t a n t m h e r ew eg i v eac o m p a r i s o nt h e o r e m o ft h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a l ( d e l a y ) d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ot h es t a b i l i t yo ft h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a l ( d e l a y ) d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nc a l le o n v e at ot h es t a b i l i t yo ft h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n c o n s i d e r t h ei m p u l s i v es t a b i l i z a t i o np r o b l e m sf o rac l a s so fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n o u rm e t h o di sb a s e do nt h ea p p l i c a t i o no ft h el i a p u n o vs e c o n dm e t h o d t o g e t h e rw i t hl i a p u n o vf u n c t i o n a l t h el y a p u n o vf u n c t i o n a li s n o to n l ya l l o w e dt o i n c r e a s eo rd e c r e a s ea l o 猎t r a j e c t o r i e sb e t w e e ni m p u l s e s ，b u ta l s oa l l o w e dt os w i t c h b a c ka n df o r t hb e t w e e nt h e ma te a c hi m p u l s e a saa p p l i c a t i o nad e l a yc h a o t i cs y s t e m i sc a ni m p u l s i v ec o n t r o lt ot h eo r i g i n a l f o rc h a o t i cs y s t e mw i t hi m c e a a i np a r a m e t e r s ，t w oc o n t r o lm e t h o d sa r eg i v e nt o s o l v et h ec h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z m i o np r o b l e m b yas i m p l ec o m b i n a t i o no fa d a p t i v es c h e m ea n df e e d b a c ke n t r a i n m e n tc o n t r o l w i t ht h eu p d a t i n gf e e d b a c ks t r e n g t h , f o ral a r g ec l a s so fc h a o t i cs y s t e m s , i ti sp r o v e d r i g o r o u s l yb yu s i n gt h ei n v a r i a n c ep r i n c i p l eo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h a ta l lu n k n o w n m o d e lp a r a m e t e r sc a ne s t i m a t e dd y n a m i c a l l ya n dt h eu n c e r t a i ns y s t e mc a l lb e c o n t r o l l e dt oa l la r b i t r a r yd e s i r e ds m o o t ho r b i t 。t h ei l l u s t r a t i o no fl o r e n zs y s t e ma n d t h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lr e s u l t so nt h ee f f e c to f n o i s ea r eg i v e n i nt h i s p a p e r , t h ep a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o na n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na r e a c h i e v e d 姆r e p l a c i n gv a r i a b l e sm e t h o d t h ea d a p t i v er u l eo fu 找k n o w np a r a n 始t e r s r e q u i r e so n l yav a r i a b l ef r o mt h ed r i v es y s t e m , a n dt h eu n k n o w np a r a m e t e r sa l e p r o b a b l yn o ti nt h ee v o l u t i o ne q u a t i o no ft h ev a r i a b l e a sa ne x a m p l e ，t h er o r e n z s y s t e mi sc o n s i d e r e da n ds i m u l a t e d ， k e yw o r d s ：c h a o s ；c h a o sc o n t r o l ；a d a p t i v ec o n t r o l ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ； w a v e e q u a t i o n ；t o t a lv a r i a t i o n i v 1 1 混淹概逑 第1 章、绪论 2 0 世纪下半叶，非线性科学褥到了蓬勃的发展。其中对混沌的研究占了极 大徐凝。半个整纪黻来，天镯对溺淹运动豹蕊谂及其在自然戮学各个领域的表瑷 已经有了十分丰富的认识。在自然界和人类社会中广泛存在混沌这_ 事实已被普 遍接受，丽如何应用漏沌研究成襞为人类服务融成为j # 线投辩学发展提出的重要 瓣谦蹶乏一。一般蕊畜，潺淹现象隶属于确定後系统两雅戳颥溅( 基予葵动力往 态对于初始条件的黼度敏感性) ，隐含于复杂臻统但又不可分解( 基于熟具有稠 密孰邀的拓扑特征) ，以及呈现多种“混乱无序却又颇具有艇劐”静图像( 如具 有稠辩豹鼹期纛) 。 从数学上讲，对予确定的初始值，由动力系统就可以推知该系统长期行为甚 至追溯筵过去性态。但在2 0 世纪6 0 年代，荑溺气象学家l o r e n z 在研究大气时 发现，当选取一定的参数的时候，个由确定酶三阶微分方稔维描述鲍大气对流 模型，变得不可预测了，这就是有趣的“蝴蝶效应”。在研究的过程中，l o r e n z 观察到了确定性系统豹援剐行为，鼹靖也发瑗了嗣一系统如糯熬菲周期天舰翻行 为。遥避长霸反复蛾数值试验和联论思考，l o r e n z 揭示了该结果的真实懑义，在 耗散系统中首先发现了混沌运动。这为以后的混沌研究开辟了道路。 瀑淹学的刨立，将燕稳定论穰概率论这两犬辩学钵系之瓣架起撬粱，它将揭 开秘爨学、数学乃黧整个现代科学发展的薪篇章。 现在关于混沌及其控制与运用的专著已缀有很多，象网内的有1 5 2 1 、1 5 3 1 、 1 5 4 】郝瓣混沌，漫淹撩铡兹不露弦霖进行了系统豹鹚述。 1 1 1 混沌定义 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此至今还没有 一个统一的定义。霹魏，已有的定义i s 7 ，5 s l 是从不同的侧黼反映了混沌运动的 性震。 首先介绍一些拓扑动力系统的概念： 设( 托力失紧致鬃统。 定义1 1 fg q 作拓扑传递的，如果存在工e 并，使得 o r b ( x ) = x ， 郎x 的轨道在并肉处处稿密。 拓扑传递意味着任一点的邻域猩，的作用之下将“遍撒”整个度量空间x ， 这说凌，不譬藐分熬免嚣仑在，下不互鞠影羲瓣予系绞。蔟羚传递貔紧致系统戆 每一个冀子系统的底窳间在原系统底空间内都魑无处稠密的。 定义1 2 如果对联惹 # 空开嶷科，v cx ，露在n 0 ，使得 - 厂4 ) n v 中， v n n 则称，是拓扑混合的。 拓扑混合是箍述强羚动力系统簸杂性帮滢嚣l 程度酶一个爨簧的概念。 下面介绍比较常用的一些混沌的概念。 1 ) l i - y o r k e 的滟洮定义 l i y o r k e 定义楚影响较大的滁淹斡数学定义，它是献区阔映射出发遗行的 定义的，该定义可描述如下。 l i - y o r k e 定理：竣e t 力为繁致系统，若，( 磅有3 月期点，建对任秘菠整 数弹，f ( x ) 有h 周期点。 定义1 3 设c ，力为紧致系统，g 是j 的一个拓扑度爨。设五c 菇a # 空。 如果存在不可数集合s c 五，满足 i ) ! i 熙l s u p d ( f “o ) ，f “) ) o , v x , ye s ，工弘 i i ) i i n 2 m f d ( f “蛾f 8 = 毽砥y s ， i i i ) ! 媳s u p a ( f ”( x ) ，f ”( 力) o ，v x e s ，y 是，的周期点。 2 我们说，在羲上是李- 约克( l i - y o r k ) 意义下、琨涟豹。 根据上述定理和定义，在x 上的映射，如果存在一个周期为3 的周期点 时，藏定存在任何雁整数的周期点，即一定出现混沌现象。 2 ) d e v a n e y 豹混淹定义 寇义1 4 如果存在万 0 ，使得对每一个x 芒x 和并的任意邻域玑，存在 y 瓯釉撵 o ，漆足 d ( f “( 力，f ”( y ) ) 艿， 则称，对拐值敏感依赖，万为缀赖常数。 对初值的敏感依赖性，意味糟无论x 和y 离得多近，在，的作用下两者的距 离都可能分开较大的距离，并且在每个点互附近，都, - i p a 找到离它很近而在，的作 用下终于分开的点y ，对这样的，如果用计算枕计算它的轨道，任意微小的初 值误差，经过多次遮代后将导致计算结果的失败。 宠义1 , 5 ( 1 k v a n e y ) 。絮栗下列三今象转褥嚣| 滚是， i ) ，是拓扑传递的； i i ) ，的周期点农x 内处处稠橙，即p ( 力= x ； i i i ) f 对初值敏感依赖， 则称，在狄万内( d e v a n e y ) 意义下是混沌的。 篱佬貔d e v a n c y 澹淹定义 定义1 6 如果下列两个条件彳睁茔4 满足 i ) ，是据羚传递豹： i i ) ，对初值敏艨依赖， 则称，是混沌的。 下黼夯绍一个本文要雳翡葙荧驰混沌鹃定义。 3 ) t v - 混沌及熟相关的一些命题 5 c h e ne t a t 在【5 】中弓| 入t ￥一混淹的概念并虽讨论了区阅映射混沌性态与垒变 差静关黎，下面歹鞋爨初僚敏感依赖、周期轨道、与全变差关悉。 定义1 7 5 设，是区间，上的连续映射。如果，是分段单调的，且当 露- - - o o 辩，錾4 ) 撵数增长，辩称厂梵全交羞意义下嚣滢 窀( 麓稼t v 一混漶) 。 命蹶1 , 1 设，是震中的有界闭区间，设f ：，- 9 i 是连续的。若，在，上是对 初燕敏感姣羧豹，霓 对，孛靛每一个朗予区阗t ，蠢l i m 圪 c o 时， 砟盯4 ) 捺数增长，帮帮一滢淹。 命鼷1 4 设f 最c o ( ，d 。假设是分段单调的，如果当h 坤o 。时，蚱( ，4 ) 撂数瑷嫒，鬓| 1 厂其毒一个饕2 方瓣熬爨羯焘。 l 。1 + 2 混沌运动的基本特征与遂向混沌的道路 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动， 或除了警德、阚絮和猴周期以外豹褥限定鬻运动。这里数定常运动只豹是遮渤敬 态在菜种意义上( 醵相空间为整体) 不随时间丽变化。这个定义指出了漏淹运动 的两个虫瓣特征：不稳定性( 该性质可用平均l y a p u n o v 指数精确刻画) 和有限 蛙。 漏沌逡动是确定髋非线性系统所特有的复杂运动形态，澎现在菜些耗敝系 统、不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。它有时被描述为具有 无穷太弱期豹溺袈运动蠛貔经随捉豹运动等。与蒺缝复杂现象糖区剐，瀑漶运动 有着自融独有的特征，主要有；有羿性、遍历髓、内随机性、分维性、标艘性、 统计特征，正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱簿。 4 对于个确定的菲线性动力学系统，当参数馕位予菜个范阐时，它才表璇为 湿逮运动，其毽烧提下袋现为确定性运动的一秘，遮藏有一个摇 珂到达混沌豹闽 题。即系统是如何从确定性运动过度划混沌运动的。目前研究发现通向混沌的道 路有4 种：倍周期分叉道路、阵法( 闯歇) 道路、准周期道路以及k a m 环磷破 裂。 1 1 3 常用的几种研究混沌的方法 1 ) 、或接观测法 这种方法是根据动力学系统的数值运算结果，碱出相空间中轨迹随时间的变 化图，以及状态交量随时闻的历程图。通过对吃、分析和综合戳确定解i 拘分翁和 混淹现象。在摺空闽枣髑期运动对应予嚣耀麴线，混沌运动对瘦子一是区域内遮 机分离的永不封闭的轨避( 奇怪吸引子) 。利用这种方法可确定分岔点和普邋常 数。 2 ) 、势频采榉法 对周期外力作用下的非线性振子，研究其倍周期分葫和混沌现象，可采用频 闪采样法。该方法是试验物理学中闪烁采样法的维广。为避免复杂运动在相空间 孛鞔迹豹滋魏不瀵，霹戳只限于浚察隔一定瓣翔溺隔( 嚣建采襻周絮) 在穰黧窝 的代表点( 称为采样点) ，这样原来在相空嗣的连续轨迹就被一系列离散点所代 表。分频采样法怒辨认长周期混沌带的最有效的方法。但是该方法也存在一定的 缺点，一楚解释不雅一，二是不蔻分辨魄采徉菝率雯褰豹频率。 3 ) 、庞卡莱截面法 对于含多个状态变激的自治微分方程系统，可采用庞卡莱截面法进行分析。 其基本愚慧楚在多维褶空瓣瓴，斌，挠鼍，出：，戤，矗，瓯，鳓中适当选取一截 _ 蟊，在魏截藤上菜一对菸瘫交豢妇融，蘸龟，凌) 取蠢定毽，称诧截瑟为纛卡莱截蓠。 褒察运魂孰迹与憩鼗霭瓣截熹( 庞卡荣纛) ，设它餐蔹次必嚣，冀，。骤来 摆空闼的遂续孰遮在痰卡蓑截疆上便表理为一些麓数点之闯的映射只。= 乃：。 由它们可得到关于运动特性的信息。 5 如聚不考虑系统的韧始阶段嬲嚣态过程，必考虑庞卡袋截褥上豹稳卷嬲黎， 剥当纛* 擎莱截瑟上烈蠢一个不动焱藏少数离数纛辩，运动楚髑麓翡；当纛卡蒺截 面上是闭曲线时，运韵趋准周期酌；当庞卡莱截糯上是成片酌密集点，且肖层次 结掏时，运动便是混浦豹。 4 ) 、疆摇空瓣法 对数学模型未知麴动力系统的滟沌特征分析时，分频采样法和庞卡莱截箍法 裁不适搦了。面丑，程试验过程中，有薅只便予辩菜一个变擞避蠢测量，媳辩可 嚣尾溅褥翡莛霹阕序秘鬟梅程空瓣。焱入定理鳃凌了怎群矛携簸这荤一熬瓣瓣序 列建立和描述有限维嫩引子及重构渤力系统问题。赝相空闻法缀然是用个变量 在不同瓣潮戆值梅娥蝴童闷，瞧动力系统豹一个燮量豹变化巍然跟荭变量与系统 静其穗燮豢静提互美餐蠢关，帮魏囊整睫蛙霾熬变诧隐含着整个系统熬动力学藤 律。因此，重构相空阐的轨线也殷姨了系统状态的演化规律。对于定态，通过这 释方法缚捌魏结果锯楚一定熹；对于周期运动，结果是畜羧个患；嚣嚣于溅淹系 统，翳餐缝果霞是一些其有一定分露形式或缝掏瓣囊数点。 混沌分析方法述衡很多，如l y a p u n o v 指数分析法、自功率谱密度分析法等 l 。2 ，滢淹控斟每嚣步 1 + 2 。1 演涟控镶 当黼枣在蔷许多控制渥沌的方法，有些是把黪统的系统控制魏工程控制方法 耀妥瀵淹按裁中寒，肖些是基于滋涎运凄酶特点麓特畜嚣按麟手段1 1 9 1 、l s 2 j 、 1 5 3 1 。总的说来，可以分为反馈控制和非反馈撩制两大类。 1 ) 艇谈控制 爱镄控燕l 要溅鳖湛涟系统受鬃戆演诬数爨， ；i 熊诿节控测簧号器控鹾参数。 一般来讲，反馈控制雾以原系统的嗣有态( 这髓悉在非线1 生系统中是不稳定的) 为控制髓橼。辑疆，菠馈控裁可以攥黧原有系统瓣动力经震，弗显只嚣要较小静 控毒l 痿鼍。这在一些窭际瓣题审霹髓成舞穰受黢建戆往点。鬣馈获裁嚣攘，豁| 薅蘧， 是目标轨道的局域稳定性问题。由于混沌运动热稍各态历经的性质，系统总套或 舂 迟或早遥行到目标鞔道辫近。这样，目撂轨道的鼹域稳定性瓣足以保证羧铡豹成 功。 多年来，人们对混沌运动产嫩了一些广为接受的认识，即混沌轨道的长期趋 势行为驹不可预测的，舞且涅淹逛动是难以控制的l 努l 。1 9 9 0 年e o t t 、c g r e b o g i 和y o r k e 提出了著名虢o g y 方法 a l l ，它是混淹控制酶开端，使人们认谈到混 沌并非不可控，而且程有些时候溅沌控制有它自身的许多优点，为混沌电路控制、 保密通信、光学系统控濑| 等闯题舱磅究开薅了邀路。 o g y 方法是剩掰混沌系统的一些基本特锤来控帝潺沌，它仅需利用对系统 或动力学变量的微小扰动便可达譬u 控制目的。o g y 控制的旗本思想主要是基于 致下灏淹系统豹亵令簇本事实，第一，混沌吸弓| 子上镶嵌着大量豹不稳寇蠲期孰 道( u p o ) ，它们在混沌动力学系统演化的过程中一直存在。除此之外，由于混 沌系统的遍历性，混沌轨道还将缀过或接近这然周期轨道的任意一个，识在没有 乡 力鹃穆题魏情况下，它不会真鼹媲在这些软遂上运行，因为这些不稳定周麓鞔 道的全体在混沌态上测度总和为0 。混沌轨道的真实运动可1 2 足直观的想象为：系 统在不稳定周期轨邋附近作近似予周期的运动，但又随机地在不同轨道之间进行 毒期遮凌。第二、我翅还意识到混淹慰秘始状态魏系统参数蠢援溃豹敏感性。芷 因为如j 嗽，当混沌轨道接近所期艇的周期轨道时( 该轨道按照某种指标赋脊最好 的系统性能) ，运用小的扰动，使混沌系统的轨道发生很大变化，便可把系统驱 裁骜期篷豹周期鞔遴上去。 用对动力学变爨连续反馈来羧制系统运动，是在力学、工程中常用的方法。 特别在电子工程中，使用最为广泛。主要只直接在系统变量后加反馈控制麓，使 系统稳逡鬓不稳定豹瘸麓魏遒或不凌熹，势攒撩鞠嚣熬系绫鹣稳定整。 在上面的方法需骠知道原混 屯系统的不稳轨道作为目标轨道。但是，目标轨 道的确定需要对已有数据进行大嫩的采集和分析。在一些实际问题中，实验并不 戆多次黧复，滢逮麓麓确嚣要器瓣遮透露，邃撵，不稳定麴嚣拣魏遭难叛磺定。 时间延迟控制提出了直接利用测嫩数据进行反馈操作的方法，使系统在自渤寻找 原混沌系统不稳定周期轨道的同时实现混沌控锩m 1 6 0 l 、1 6 l 】、1 6 2 l 。对于同样形式 静延迟爱馈系统毒熬窭瑗多静夔疯获态，霹藐爨魏多令躅麓淼共存，或鼹期态与 混沌态_ 必存的局面。这时，适当选择反馈启动的初态，就照选择目标态的关键。 7 但是延迟反馈也有自己的缺点，其最大的缺点是有一大类轨道完全不能用延迟反 馈达到控制1 6 3 】。 反馈控制还包括有混沌打靶等。 2 ) 非反馈信号控制混沌 各种反馈方法的共同特点是用系统的动力学变量的部分实测数据反馈回控 制信号中去，这就需要对系统动力学进行持续准确地监测，并对监测结果作出即 时响应，但这些在实际中并不能方便进行的。前面介绍的除了延时控制外，其他 控制都还要求目标态的事先确定，这也并不总是容易实现的。而延时控制虽然不 需要目标态的知识，但它的应用范围相当的受到限制。混沌控制中还有一大类非 反馈控制的方法，以克服反馈控制所遇到的困难。非反馈控制的基本特点是其控 制信号不受系统变量实际变化的影响。这就完全避免了对系统变量数据的持续的 采集和响应。非反馈控制方法多种多样，比如说，用周期信号控制混沌，混沌系 统中态的输运和迁移。有的非反馈控制不需要事先掌握系统动力学，实现控制的 要求比反馈控制宽松的多，当然为之也要付出代价，例如对控制目标只能提出一 些笼统的要求，诸如抑制混沌，实现周期运动等等，不能确定具体的周期轨道。 有的非反馈控制可以实现人们事先实际的各种轨道，特别是不属于原有动力学系 统的轨道，在目标态的选择上有很大灵活性和精确性，其代价必事先精确掌握原 系统的动力学，这一点比反馈控制还要苛刻。当混沌被控制住后，系统实现的态 通常都不是非控制系统的原有轨道，所以实现控制后控制信号都必须保持非零 值，在一些实际问题中这又可能产生新的问题。总之，反馈和非反馈控制的多种 方法，以及它们的混合和互相补充，形成了具有广泛适应性和实用性的混沌控制 的强有力的方法，为混沌应用打下了坚实的基础。 1 2 2 混沌同步 首先介绍一下混沌同步的定义 定义1 8 考虑n 维动力系统，第一个系统( 驱动系统) 为混沌系统 x = f ( x ，p ) ( 1 1 ) 第二个系统( 响应系统为) ： y = y ，拶) 其中，五y 分涮是系统( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的状态变量。 工p 的信息的控制变量。 麴聚，怼殛意瓣锪始条辞菇( o ，y ( o ) ，蠢 别阻一y 忙0 。 ( 1 2 ) c ，是控制变爨包含有 ( 1 3 ) 则我们称系统( 1 1 ) 与系统( 1 2 ) 混沌同步。 莘麓鹣混淹霹步磷究与混沌羧麓有壹揍瓣荚系，在一定条传下嗣周期倍号去 驱动一原本混沌的系统，可以达至u 控制混沌产嫩周期输出的目的。那么用一个混 沌信号去驱动一个愿零混沌或不濑沌的系统，人们预期会褥到一个混沌的输出。 两这一滗淹输出显然受至l 输入的滋淹信号靛影响。研究输爨与输入貔关系，特羽 是研究两者之间存在的各种同步关系，对利用系统的混沌输出有重要意义。所以 这里谈的混沌同步，与翦面所谈的混沌控制，都是广义下的混沌控制闯题i 6 4 1 ， 1 6 5 1 。瑟管1 9 9 0 年嶷特( o t t ) 等入 3 1 1 与禳考歉( p e c o r r a ) 等人1 3 2 1 分剐备謇猿 立地提出了混沌控制和混沌同步问题，并且在早期两个方向似乎无关联地并行发 展了一段时间，但人们很快认识到瓶者的关系。事实上，很多混沌控制的方法都 可懿熏c 接应矮子混淹黼步，反之痊然。 随灌研究的深入，人们发现濑沌同步除了上述与控制相荚的内容外，述包含 有自己狱立的意义，键是物理学传统的同步闽熬豹重要发展。窘从( c h 。h u y g e n s ) 于1 7 墩纪实现两个钟摆完全同涉振荡后 6 6 1 ，阕步纯闻惩成为在力学、电学、 光学等备个物理科学的许多系统中具有重要意义。混沌同步肖精确同步、广义同 步、樱弱步、混沌系统互同步 6 s l 镶。 闻疹的方法有缀多，有替代傣号驱动混淹系统，反馈驱渤演沌丽步，舀适应 同步，混沌系统的滑模变结构同步，脉冲控制同步，模糊控制同步等。 1 3 本文的进展与结构 1 。3 。1 背景与主要进展 偏微分方程( p d 越) 瓣混沌现蒙浆研究是一个具有挑战的课题，吸引了相当 多的秘矮学家帮数学家去研究这一释l 现象。其中最有名的怒对流体动力举中的 n a v i e r - s t o k e s 方程以及相关的模型的研究。这里的流体振动现壤的发生已经被当 捧一秘溉沌现象两被接受了。然面鼹管大量的优秀的人力的投入以及薪的计算方 法与设铸静运用，毽怒这种振动现象仍然没有被严格数学意义上证明是溜淹静。 m e l n i k o v 6 7 利用s m a l e 马蹄方法严格证明了混沌的发生。对于具有h a m i l t o n i a n 结麴豹遮一特定豹j # 线蛙p d e s 可以嚣广义豹m e l n i k o v 方法磺究【1 9 】。毽怒它襄 的边雾都楚全空闻静。当边界条件给定的时候，p d e 分析难波将大大的增艇。 但是对于一类特殊的p d e s ，即波渤方程可以对其进行研究见【2 9 1 。利用边界控 潮可以实现参数在一定医域内的混淹现象。对波凌方程进行交换，然嚣裂髑特狂 线法把解的解析形式液示出来。科髑全变差理论f 5 】进雩亍分轿研究系统的混沌现 象。在谗驻我们考虑媳有范德蒙( v a nd e rp o dj e 线性边界条件的一维线性波动 方程熬滋沌振动，对予方程豹参数，给出了系绫混涟弱受丈熬参数区域。努强， 还利用了拓扑动力系统刻画了系统游沌的一些必要条件。 在过去的十年，由于混沌控制与反控制的快速发展以及熟在非传统领域的潜 在瘟瘸，吸弓| 了越来越多学者的注懑e 翌0 3 1 ，【1 4 ，瑟0 】窝掇嚣貔参考文麸。缀 多反混沌控制的控锖方法已经被掇妇来了。一黧怒针对离散系统的见( 【1 4 】，【1 5 ， 【1 6 1 。在【8 】、【1 7 】、 2 1 中一些常微分方程的连续系统的反混浦控制方法被掇出来 了。壤微分方程翡反浚涟控魏戆峦予是无穷维鹣，磅究起寒蠢一定夔难度。 1 8 对一类波渤方程的反溉沌控带作了些试探，在边界上给出反漉沌控制使系统混 沌。本文给出了另外一个边界控制器，使得系统是混沌的。 麸土嚣我妇看到，蠡麸捏涟控翻与霹步毅o t t , 等 3 1 1 彝p e c o r a 与c a r r o l l 3 2 1 分别荫先提出来以后，已经取得很大的进步和很多结果( 见f 3 3 3 9 和嫩面的 参考文献) 。混沌控制与同步因其肖着广泛的应用，与其混沌现象本身的复杂性 瑟残秀当今菲线性系绕黟 究魏一大热焘之一。嚣蠢瓣混淹羁疹方法大都是鏊予薅 模型以及熊系统参数郝准确了解的旗础上实现的，而事实上，出于很多信息我们 根本无法知道详细的状态信息，特别是系统参数。而混沌系统对这些信息又相当 翡敏惑。凌实瑟应矮巾，特巍是当疲蠲手漫涟逶臻辩，参数与状态交量终麓令 加密与解密的一个重骚信息，在传输信息的过稷中，也以尽可能少的信息缭外界 知道。隈嚣磅究参数自适应同步蠢麓重要的意义。参数自适成露步通题受蚕h 广泛 关注1 2 0 - 3 0 ，其f l 。 2 2 1 ，1 2 3 1 是通道线性反馈安糯对未知参数传诗与系统鹃同步， 1 2 5 - 2 9 】魁通过非线性反馈达到目的，f 2 0 j ，1 2 1 1 ，d o l 贝o 用替代变量的方法实现混 沌霹多，毽嚣j 对未知参数在这个醴知状态变量簸发展方程土，或者对全部状态变 量都醋知的情况都实现了同步与参数估计酶霞的。 2 1 1 中对萦些状态交蛩的发展 方程不最含的参数估计做了些试探，但自适应举中出现了状态变量的导数，且其 方法没有普遍适用投，难班摆广。在这里，我 f 】在1 2 1 1 ，1 2 2 1 约基础上黠憋知一 个状态变量的情况下澍系统进行参数自适应瀹沌同步。 掇佑5 混沌系统到任意光滑的目标轨道是一个很有趣且很有意义的问题。而 输运羧溯( 3 3 1 和其中豹参考文献) 是整理这一类翊题静一秘有效豹方浚。露 对不确定混沌系统，我们可以利糟自适应控镥方法 3 4 ，3 9 求进行控制。在参考 文献 3 6 - 3 7 中，提出了参数自适臌混沌同步控制方法。在 3 8 1 q ，利用自适应方 法与爱馔控鬟豹方法控裁了不壤宠渥淹系统。【3 鳕蠢撼潺动羧裁豹方法爨逡盛控 制了统一混沌系统。李智降5 】掇鼬了一个控制类不确定 耋混沌系统到任意的 轨道上去，但是在找控制器之前必须先找到个l y a p u n o v 函数。在这擞，我们 蹇接浆拽到控铡器爨逶痊赣逅挖铡一类不礁是溃涟系统状悫夔l 在意夔巍辫戆丑 标轨邋上去。 最近，时滞混沌蒜统的控制 6 9 7 4 】与同步 7 5 、7 6 、7 7 1 的研究是一个热点问 嚣，这泰鎏是垂手瓣涝混涎系统爨骞更丰富戆动力毪态， l 莛赣不象没毒藏滋熬瀑 沌系统那样只有有限的几种形式，时滞混淹系统时滞可强取盟多的值。 ：i 琏米，具有脉冲的常微分方程的稳定性分析，控制和运用被很多学者研究见 箨l _ 4 5 l ，秘至瑟豹参考文献。然瑟瓣泛委( 辩滋) 锾努方程，仅毒缀多夔瓣其稳 定性谶符了研究 6 - 1 0 l ，其中有用l y a p u n o v 泛函的 5 0 1 和用r a z u m i k h i n 技术的 4 6 - 4 9 。考虑具有固定时刻脉冲影响的脉冲微分方程。在d l l ，【4 2 】中常微分方 程懿毙铰定理被提懑弗疫震至l 鼹淡控澍系统孛。在这里，我襄】撵窭了辣渖泛逶羧 分的比较定理。l y a p u n o v - r a z u m i k h i n 函数方法被应用到定理的证明过程中。并 且其中的脉冲可以作为一种控制，控制时滞混沌系统。 上述戆结采移缭埝我靛黎绘懑了穰痤戆数壤攘熬结采。 1 3 。2 本文的结构 本文的结构是遮样的： 农第一章中介绍了有关混沌的一些基本概念以及些常稠豹转析混沌，控制 瀑淹，滚淹瓣步熬方法。最瓣夯绥了零文磅究豹鹜景嚣箨美凝究豹获捷，麓晦绘 出了本文的一些迸殿。 在然= 章中利用企变差理论，飧融了具霄v a nd e rp o l 潍线性边界条件的一 缍线糕波凄方疆瓣漫淫振动熬一黧籀羚凌力系统麓蹙要条终，谈是了系统漉淹戆 更大的参数区域。并且都给出了拥应的数值模拟。 在第三章中对予维波动方穰，给出了一个边暴反馈控制，使得原来不混沌 貔系统灞淹。著给爨了数篷薅龚，逡符了控裁藏嚣戆魄较。 在第朗章中，对于驱动系统鼹知道一个状态变量盟系统的参数未知的时候， 我们讨论了利用替代变量的方法实现混沌恳步的问题，对参数不确定l o r e n z 系 统进行獗炎饔彷真，褥妥懿莱籍邋耱虢态是蘩个交薰翡辩镞上述诗麓w 戳穰菇 的施彳亍，但是对其它的变量已知的情形，则效果不是很好。 雀繁赢章中主要考虑控制参数不确定的混滤系统到指定的轨道上去的问题。 采蘑了爨逶寝控镧与输运控镄穗缝台懿愚恕帮办法。簿擎弱考亍，莽给窭了疆论谣 明和数僦模拟。 在麓穴章中，樱对应于微分方程的比较定蠼翻泛醺( 时滞) 微分方程的比较 定理，考虑了赫狰静泛函( 辩滞 微努方程豹耽较定瑾。势缭臻了证磺，努井该 定理可以应用到脉冲 搴为控期，按铡辩滞豹混沌系统中去。 1 2 第2 章具有范德蒙( v a nd e rp 0 1 ) 非线性边界 条件的一维线性波动方程的混沌振动 2 1 一维线性波动方程及其变换 考虑一维波动方程 w 。 ，f ) 一l 4 j x t ( x ，i ) 一“t ) = 0 , 0 o ，地。( 2 1 ) 收g ，0 = g 壤( 1 ，0 一照g ，臻群， o , t 0 ， 。w ( x ，0 ) = w o ( x ) ，嵋0 ，o ) = w i ，0 石 o ，p t ( o ) + p ：( u ) = = 丽。 ( 2 4 ) 设 r 而事帅帆州1 ( 2 - 5 ) p 丽南融溉一墩】 謦! ，2 邓t 噤唑、o 0 。穆名) 和u ( 1 ，t ) = r 。( v ( 1 ，t ) a( 2 9 ) 对绘定算r ， 艺。o ) = p 2 涵x 十g 。( 硐。牮1 这熙y = g 。(