（机械设计及理论专业论文）考虑运动副阻尼的弹性机构系统动力学研究.pdf

独创性申明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重中明：本人所争交的学 位论文是我个人在导师指导r 进行的研究工作及取得的成果。尽我所知 除特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我 一同工作的同志对本文所论述的工作的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并已致谢一 本论文及其桐关资料若有不实之处。由本人承担一切相关责任 论文作者签名：i i j 垄口哗；月2 ，日 保护知识产权申明 本人完全r 解西安理工大学有关保护知识产权的规定即：研究生在 校攻读学位期问所取得的所有研究成果的知识产权属西安理t 大学所有。 本人保证：发表或使用与本论文相关的成果时署名单位仍然为西安理工大 学无论何时何地，未经学校许呵，决不转移或扩散与之相关的任何技术 或成果。学校有权保留本人所提交论文的原件或复印件，允许论文被查阅 或借阅；学校叮以公布本论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或 其他手段复制保存本沦文。 ( 加密学位论文解密之前后，以上中明同样适用) 沦文作者签名：主i i 圣导师签名：l ! f 簋垦口峰；月1 ，咱 n 7 论文题目：考虑运动副阻尼的弹性机构系 统动力学研究 学科名称： 论文作者： 指导老师： 答辩时间： 主! ! 撼遮盐邀堡途 塞拍查 刘宏昭教授 竺q q 垒：墨 ( 签名) f 签名1 摘要 由于机械设备的高速、轻量化发展，机构中运动副的阻尼已成为研究机构系统 动力学响应时不可忽略的因素。如何建立考虑运动副阻尼的系统动力学校型是当前 众多学者研究的重点。本文的主要内容如下： 以平面弹性四连杆机构为研究对象，运用k e d ( k i n e t oe l a s t o d y n a m i c s ) 方法 推导出了连杆机构的系统动力学方程；在此基础上，将运动副阻尼等效为粘陛阻尼， 导出了包含运动副等效粘性阻尼系数的系统动力学方程。 为了获得运动副的等效粘性阻尼系数，对刚性单自由度转动副转轴的运动微分 方程进行了推导，并由此导出了转轴角速度的理论表达式；通过对转动副转轴在衰 减过程中的角速度的测量，拟合出了转轴角速度的表达式；比较角速度的理论表达 式和拟合表达式，得出了运动副阻尼的等效粘性阻尼系数。 引入求解线性微分方程的状态空间法，并对其求解时变系统运动微分方程的具 体步骤进行了推导；在此基础上将实测获得的运动副等效粘性阻尼系数代入系统动 力学方程，求解后获得了考虑运动副阻尼的平面弹性四连杆机构的仿真结果：结果 表明运动副的阻尼在一定程度上对振动具有抑制作用。 引入时问序列法对悬臂梁的模态参数进行r 辨识；以三自由度质量一弹簧系统 的模态参数辨识为例对此辨识方法及所编程序进行了验证。 利用, i a t l a b 语言编制了相应的求解机构运动学、动力学问题和应用时间序列法 辨识模态参数的程序。 鱼塞堡三垄茎亟主芏焦垒墨 关键词】：弹性连杆机构运动副阻尼状态空间法 时间序列注 d y n a m i cr e s e a r c ho ft h ef l e x i b l em e c h a n i s mi h w o l v i n gj o i n t d a m p i n g s p e c i a t y c a n d i d a t e 丛星星h 垒翌i 曼垒l 旦皇量2 9 旦垦翌鱼! n 里q ! y l i ub a i x i s u p e r v i s o r ：l i 望旦! 旦g ! b 鱼! d a t e ：m a r 2 0 0 4 a b s t r a c t s i g n a t u r e s i g n a t u r e w i t ht h ei n c r e m e n to ft h eo p e r a t i o ns p e e do fm a c h i n e sa n dt h er e d u c t i o n o ft h em a s so fc o m p o n e n t s ，t h ej o i n td a m p i n gh a sa i r e a d yb e e nt h ei m p o r t a n t f a c t o ri ot h em e c h a n i s m sd y n a m i cr e s e a r c ht h e r e f o r e h o wt op r o v i d ea n e f f e c t i v em o d e lt od e s o r i b et h ed y n a m i cc h a r a c t e l - is t i c so f t h es y s t e mw i t h j o i n td a m p i n gist h ef o c u so fc u r r e n td y n a m i cs t u d yo fm e c h a n is m i nt h ist h e s is ，b ym e a n so ft h el a g r a n g ef u n c t i o n ，t h ef i n i t ee l e m e n t d y n a m i ce q u a t i o n so f t h eb e a me l e m e n ta r ed e d u c e d t h e na l i t h ee l e m e n t d y n a m ice q u a t i o n sa r ea s s e m b l e di n t ot h es y s t e md y n a m i ce q u a t i o nt h r o u g h u s i n gt h ek i n e t o e 1 a s t o d y n a m i c st h e o r y t h ed i s s i p a t i o nf o r c ed e r i r e df r o m j o i n td a m p i n g isa p p l i e da se x c i t a t i o nf o r c eo ft h e1 i n k a g es y s t e m s u b s t i t u t i n gi ti n t o t h ee s t a b l i s h e ds y s t e md y n a m i ee q u a t i o n ，t h es y s t e m d y n a m i ce q u a t i o nw i t ht h ee q u i v a l e n tv is c o u sd a m p i n gc o e f f i c i e n to ft h ej o i n t d a m p i n gi s d e r i v e d i no r d e rt oo b t a i nt h ee q u i v a l e n tv is c o u sd a m p i n gc o e f f i c i e n to ft h e j o i n td a m p i n g ，t h ea n g u l a rv e l o c i t yo ft h es h a f to fj o i n ti sm e a s u r e dd u r i n g a t t e n u a t i o n b a s e do i lt h ee x p e r i m e n td a t ao f t h ea n g u l a rv e l o c i t y ，t h e e x p r e s s i o no ft h ea n g u l a rv e l o c i t yi sf i t t e db ym e a n so f t h e1 e a s ts q o a r e m e t h o d c o m p a r i n gt h ef i t t e de x p r e s s i o nw i t ht h ee s t a b l is h e dt h e o r y e x p r e s s i o no ft h ea n g u l a rv e l o c i t y ，t h ee q u i v a l e n t v i s c o u sd a m p i n g c o e f f i c i e n ti sg a i n e d t h ec l o s e df o r ma l g o r i t h mo ft h es t a t es p a c em e t h o dise m p l o y e dt os o l y e t h es y s t e md y n a m ice q u a t i o nw i t ht i m e v a r y i n gc o e f f i c i e n t st h ed y n a m i c p r o b l e mo fa1i n k a g em e c h a n i s mw i t hf o u rj o i n t si st a k e na se x a m p l et os h o w t h a t t h ep r e s e n t e dm o d e l sa n dm e t h o d sa r ec o r r e c ta n dp r a t t i c a b l e t h e t i m es e r i e sm e t h o disi n t r o d u c e dt oi d e n t i f yt h em o d a lp a r a m e t e r s o fac l a m e db e a mas p r i n g m a s ss y s t e mw i t ht h r e ed e g r e e o f f r e e d o mist a k e n a se x a m p l et os h o wt h ec o r r e c t n e s so ft h em e t h o da n dt h ep r o g r a mc o m p i1 e d 1 1 l 垒巳! ! ! ! 墨! ! ! ! ! ! ! 翌i ! ! ! 鱼：! ! ! 旦! g ! 望! ! 坚箜! ! ! ! ! 茎i 主! 型! i ：! ! 童生! ! 旦! ! ! ! ! ! g ￥ f o rt h i sm e t h o d l a s t l y ，c o m p u t e rp r o g r a m sf o rt h ed y n a m i ca n a l y s i sa n dc i m es e r i e sm e t h o d a r eo o m p ii e di n m a t l a b k e y w o r d s ：e l a s t i el i n k a g em e c h a n i s m ，j o i n td a m p i n g ，s t a t es p a c em e t h o d ，t i m e s e r i e sm e t h o d l v 笠1 主煎主 1 前言 1 1 选题意义及背景 随着现代科学技术的发展，人们对机械设计的要求越来越高。为了提 高生产效率，同时节约材料，降低能耗，机械工业设备都在向着高速、重 载、轻量化发展。这就使得构件惯性力急剧增大，刚度降低，构件产生的 弹性变形和振动增加，从而大大的降低了机构的工作精度，使机构的工作 性能恶化。由此引起的设备动态精度丧失，构件疲劳破坏等事故时有发生， 振动引起的噪声也污染了环境。如何简单可靠的消除和抑制机械系统的有 害振动和噪声，提高其精度和寿命，仍然是机械科学领域的一个重大的理 论和实践问题。 目前，机械系统的振动研究可分为两大分支。一种方法是将现代控制 理论、新型阻尼材料和机电一体化技术结合到一起的有源减振降噪技术。 近几十年来，该技术受到了广泛的重视。但其结构复杂，成本较高，且系 统中很小的摄动就可能导致振动控制系统性能的大幅下降甚至不稳定。另 一种方法是在不增加结构的复杂程度下，通过提高结构阻尼系数，增加结 构自身损耗能量的能力来抑制振动。主要形式为材料阻尼和运动副阻尼。 此方法成本低，易于实现，在振动控制中仍处于不可替代的主导地位。因 此，研究材料阻尼和运动副阻尼的动力学性能对理论和生产实际都有极其 重要的作用。 1 2 概述 机构学和机器动力学的一个新的重要分支机构弹性动力学是为解 决高速弹性机构的振动问题而产生的，其任务是研究机器的部分或全部构 1 鱼圭垄兰盘生墅主垡鱼墨 件被看成弹性体时，在外力和惯性力作用下机器的真实运动情况( 弹性动 力分析) 以及相应的设计机构的方法( 弹性动力综合) 。 机械系统的弹性动力学特性主要取决于系统自身的弹性、阻尼和惯性。 在对机构进行弹性动力分析之前，首先要对其进行简化处理，建立起既能 反映系统动力学特性，又便于分析计算的数学及力学模型。根据对机构不 同的简化方法，经常采用的数学及力学模型有【1 】：( 1 ) 连续弹性体模型。( 2 ) 集中质量模型。( 3 ) 有限元模型。 随着现代有限元理论的发展，已经提出了多种平面和空间有限元单元 模型，常见的如：梁单元、三角形单元、四边形单元、空间四面体单元、 空间六面体单元等。因此可以利用有限元模型模拟具有复杂结构和形状的 构件。这样既克服了连续弹性体模型难以对系统方程进行求解的缺陷，也 避免了集中质量模型精度较低的不足，因此按照有限元理论建立系统运动 微分方程是近来发展较快的一种弹性动力分析建模理论，已有大量有关这 方面的文献。 由于考虑构件弹性和阻尼的动力学分析较之刚体机构的动力学分析要 复杂和困难得多，因此在大多数研究者提出的分析方法中往往都要忽略掉 一些次要因素，或采取某些假设，以便简化分析过程。通常采用的假设有： ( 1 ) 理想弹性体假设( 2 ) 小变形假设( 3 ) 瞬时结构假设( 4 ) 粘性阻尼假设。 在上述假设条件下，利用有限元模型对弹性连杆机构进行运动弹性动力分 析时的步骤可以归纳如下： ( 1 ) 根据计算精度要求和构件结构形状特点，将机构划分成若干个子结 构( 通常每一个构件划分为一个子结构) ，然后针对每一个子结构， 适当地选择单元的类型和数目，将系统各个子结构划分成有限个 单元。 。 ( 2 ) 选择位移模式，建立广义坐标，并从拉格朗日方程出发导出每个 单元的运动微分方程式。 ( 3 ) 根据单元运动微分方程装配成系统运动微分方程，一般弹性连杆 2 一 一笠! 芏煎主 机构在其一个运动循环内的任一个时刻，其弹性运动微分方程可 以表示为如下形式 m u + c u + k u = p m u ( 1 一1 ) 式中，吖、c 、置分别为系统质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，p 为 广义力列阵，u 、d 和d 分别为广义坐标列阵及其对时间的阶、二阶导 数列阵，驴，为刚体加速度列阵。由于系统的动力学特性与机构的位置有关， 式( 卜1 ) 的系数矩阵都是机构位置的函数，因此这是一个耦合的变系数的二 阶线性微分方程组。 在建立上述动力学方程时，对于整个系统的阻尼，只考虑了构件阻尼。 然而实际的系统都是由构件和运动副联接而成，由于运动副各元素之间也 存在摩擦耗能作用，而且随着机械设备的工作速度越来越高，这种耗能作 用越来越明显，因此，运动副的阻尼对系统动力响应的影响不能忽略，在 建立系统的动力学方程时，应该同时计入由运动副产生的阻尼。 1 3 文献综述 1 3 1 机构弹性动力学问题综述 机构弹性动力学的研究最早可以追溯到本世纪三十年代，但是真正 形成研究热潮是从六十年代开始的。进入七十年代以后，e r d m a n 8 】和 s a n d o r ，w i n f r e y 9 分别将有限元方法和结构力学中的力法和位移法引入 弹性机构分析领域，使机构的分析模型更符合于实际情况，从而克服了 该领域早期研究中数学模型过于简单，与实际情况相差较远的缺陷。为 弹性机构动力学的研究开创了一个新局面，同时也标志着近期弹性机构 动力学研究的开始。以后国内外学者在这一领域进行了多方面的研究， 在分析模型的建立、动力学方程的求解、动力学特性分析、实验研究等 多方面进行了不同程度的探讨。 在分析模型方面，s a d l e r 和s a n d o r ， b a g c i 口】是以集中参数模型为基 3 ： 亟圭垄兰盘茔亟生堡垒圭 础的。按这种模型建立起来的运动方程，求解较为容易。但由于对质量 分布形式简化较多，显得粗糙一些；e r d m a n 平d s a n d e r i8 1 ，w i n f r e v 【9 1 按照 有限元方法建立起来的分析模型更符合实际情况。其中文献【8 】采用的是有 限元法中的力法，文献采用的是有限元法中的位移法；b a h g a t 1 0 1 首次 采用五次埃尔米特插值函数作为梁单元的横向位移函数，对振型曲线的 模拟更精确，并能准确地求出单元中的最大应力：文献将上述特点综合 起来，形成了平面连杆机构弹性动力分析的基本方法；文献 在动力学 方程中首次计入了几何非线性的影响：文献【12 给出了一般单元分析模型 的建立方法，并在单元刚度矩阵中直接计入了几何非线性的影响，进一 步完善了弹性机构的动力学模型。 在运动微分方程的求解方面，主要的方法有：振型迭加法、直接积分 法、傅立叶级数法等。对于作整周回转的平面连杆机构，其响应包括稳态 响应和瞬态响应两部分。一般的匀速转动机构，人们关心更多的是其稳态 响应。文献1 13 j 首先利用模态迭加法结合杜哈美积分得到了求解弹性机构动 力学方程稳态解的闭式算法。这种算法需要对动力学方程进行模态分析， 求取各阶主振型，因而适用于动力学方程能够解耦的情况。文献【1 5 1 基于模 态迭加法形成的闭式算法，提出了求解非线性动力学方程的迭代法，并在 迭代过程中计入了高阶模态对动态响应的静力贡献；文献 3 1 第一次把状态空 间法应用于机构运动微分方程组的求解，但采用的是开式算法；文献【1 4 】构 造了状态空间法求解机构运动微分方程的闭式算法。这种算法不要求方程 能够解耦，适用于具有任何形式阻尼矩阵的运动微分方程，而且稳定性好， 精度高，但内存开销较模态迭加法大。 1 3 2 阻尼问题综述 目前，机械系统的振动控制研究可分为两大分支。一种方法是将现 代控制理论、新型阻尼材料和机电一体化技术结合到起的有源减振降 4 笠! 主煎查 噪技术，即振动主动控制【6 。主动控制具有可较好适应外扰频率变化等优 点，近年来，该技术受到了广泛的重视。但其结构复杂，成本较高，且 系统中很小的摄动就可能导致振动控制系统性能的大幅下降甚至不稳 定。另一种方法是在不增加结构的复杂程度下，通过提高结构阻尼系数， 增加结构自身损耗能量的能力来抑制振动，通常称为振动被动控制。根 据阻尼材料分布的不同，它可以分为阻尼构件和阻尼铰两种形式。此方 法成本低，易于实现，且其自身也处于不断发展之中，新的阻尼技术虫i i 冲击阻尼、颗粒阻尼、磨擦阻尼等不断出现，因此它在振动控制中仍处 于不可替代的主导地位。 阻尼是用以描述结构在振动过程中能量耗散的术语。它是影响结构 动力学响应的重要因素之一。在一般的工程实际中，阻尼可以分为两大 类：材料阻尼和系统阻尼。 材料阻尼的产生机理相当复杂，它不能像对结构的质量、刚度等其 它动力特性一样可以通过比较确切的方法进行计算。在工程实践中，破 效的方法是在实验的基础上，将阻尼抽象为某种数学力学模型，根据实 验数据和物理量等效的原则来确定模型中的各个参数。近百年来，人们 根据这种实验的方法提出了多种阻尼理论模型，其中最常用的有粘性阻 尼模型 1 6 和结构阻尼模型。粘性阻尼理论假设阻尼大小与变形的速度 成正比。由这种模型导出的运动微分方程是线性微分方程，易于求解。 因此粘性阻尼模型广泛应用于多自由度系统的振动分析。根据这种理论 的假设，系统振动一周的耗能与激振力的频率成正比。这与许多实验观 察到的金属结构在简谐振动时其耗能在相当宽的频带内变化平缓的结果 不相符。鉴于此，人们又提出了非频变的结构阻尼理论，即复阻尼理论。 它的特点是非频变，这与人们在实验中观察到的结果相符。因此复阻尼 理论模型在结构简谐振动的分析中得到了广泛的应用。但该模型只适用 于简谐振动或有限频带的振动分析，许多学者试图将其应用于更一般的 动力学响应分析，都遇到了有悖于物理事实的困难【l8 1 。随着材料科学的 5 鱼圭堡三盘堂墅茎焦坌圭 发展，阻尼合金材料在工程中的应用越来越多。由于其特殊的内部结构， 阻尼合金具有良好的机械性能，其耗散因子可达普通钢材的上千倍，在 减振降噪方面具有巨大的应用前景。由于合金材料特殊的组织结构，其 耗散因子随着系统激振频率的变化而改变。因此，原有的粘性阻尼理论 和复阻尼理论都难以对合金材料的阻尼特性进行精确的描述。由于合金 材料的力学性能与粘弹性材料极具相似性，一些学者 i9 将台金材料视为 粘弹性材料，从而可以利用粘弹性力学的理论对合金材料的力学性能加 以描述。 系统阻尼包括运动副阻尼、构件接触面阻尼、紧固阻尼等存在于系 统各构件之间的耗能因素。这些阻尼都被近似的看成是干摩擦阻尼。对 于干摩擦阻尼的描述，近几十年来提出了许多数学模型，最早人们提出 的是基于一维摩擦接触的摩擦力模型，它们可分为两个主要的类型p 4 j ： 一类是关于相对滑动速度的不连续函数的“s g n 模型”。减振研究中最常 采用的这类模型是c o u l o m b 摩擦模型，其摩擦力变化规律可表示为 f fv ns g n ( v 。1 ) ，s g n 是符号函数。d e nh a r t o n g 【2o 首先采用这种模型研 究振动控制问题，并将该模型用于单自由度的振动系统，按照耗散能量 相等的原则求出运动副的等效粘滞阻尼力。y e h 等【2 1 _ 哿d e n h a r t o n g 的精 确解法应用于受支座激励二自由度系统，研究了受迫振动系统的响应。 另一类是关于滑动位移的滞后连续函数的“迟滞模型”。迟滞模型是考虑 到接触表面滑动前存在变形，而将摩擦表面看成是一根弹簧和一个理想 的c o u l o m b 摩擦副串接而成，串联的弹簧一摩擦副元件的特性与一根具有 迟滞刚度的弹簧的特性相同。这种模型适用于副元素间微观滑动的运动 副 2 2 】【2 3 】。由于一维接触的摩擦力模型过于简单，不能精确的描述接触面 之间的摩擦力，g r i f f i n 等 2 5 1 提出了二维接触的摩擦力模型，并研究了最 简单的二维摩擦圆周运动的摩擦耗能。他们的研究限于不考虑构件粘性 阻尼的情况下运动副阻尼对系统响应峰值的影响。b u r d e k i n 等【z 叫提出了 用有限元模型表达运动副的动力特性。由于运动副本身的响应难以测量， 6 ：一! ! ，：一 ：笙! 主煎查 而机构系统的响应容易得到，人们便利用系统的响应来辨识运动副的动 力学特性参数。t s a i 等【27 】提出利用结构的频响函数来识别运动副参数， 可以直接利用实验数据建立结构的数学模型。在理论上完全适用，但由 于其存在太多的频响函数矩阵求逆运算，导致在实际的试验应用中识别 的参数误差较大。c h o u 等提出了一种噪声频响函数辨识方法，避免了这 种因理论运算而导致的巨大误差。其运动副的动力学特性是基于线性假 设。r e n 等 2 8 卜 2 9 】研究了非线性运动副的特性。国内一些文献 3 0 3j 】也对 干摩擦形式的运动副阻尼进行了研究。 1 4 本文主要工作 为了获得考虑运动副阻尼的弹性系统的动力学仿真结果，本文需要从 以下几个方面开展工作： 1 建立考虑运动副阻尼的系统动力学方程。由于将运动副阻尼作为干 摩擦阻尼来处理导致的非线性问题求解比较复杂，必须寻找另外一种模型 来对运动副阻尼进行描述。 2 实测运动副等效粘性阻尼系数。如何实现对运动副等效阻尼系数的 实测是本篇论文的重点和难点之一。 3 求解系统动力学方程。包含运动副阻尼的弹性连杆机构系统运动微 分方程是一个变系数的耦合微分方程，对其求解需要引入能将时变系数转 化为定常系数并降低方程阶数的方法。 4 辨识悬臂梁的模态参数。为阻尼合金的阻尼比的测量提供一种新方 法。 5 编制相关仿真和计算程序。 7 薹2 至圭虐鎏垒型堕垦盟墨丝盈左生查垄 2 考虑运动副阻尼的系统动力学响应 在高速精密机械中，弹性变形引起机构的振动和噪声，不但使机构 运动失真，造成机构的精度下降，而且产生环境污染。较大的动应力也 是机构疲劳破坏的直接原因。因此有必要对机构的弹性动力学特性进行 分析和研究。 将构件看成弹性体时，机构的真实运动看成是在刚体运动上再叠加 一个弹性运动。并假定：与采用刚性机构的运动分析方法得到的机构名 义运动的位移相比，由构件变形引起的弹性位移很小：这种弹性位移不 会影响机构的名义运动，即弹性位移和刚体运动是非耦合的；在机构运 动的某一瞬时，去掉刚性机构自由度，把曲柄看成瞬时固定，则机构被 假定为一个结构，其上受到外力和刚体惯性力的作用。 在建立弹性动力学分析模型时，以往的研究均认为机构的运动副阻 尼可以忽略而在建模时不予考虑。然而，随着现代机械向高速、重载化 发展，机构的运动副元素之间的摩擦耗能作用明显增大，发生在运动副 中的碰撞和冲击也成为研究机构动力学特性不可忽略的因素。因此，在 研究机构的动力学特性时应该将运动副阻尼考虑进去，建立考虑运动副 阻尼的系统动力学方程。 2 1 单元运动微分方程的建立 2 1 1 位移型函数 图3 1 所示为一等截面梁单元。坐标系a x y 为单元坐标系。单元的 横向位移采用三次埃尔米特插值表示 降7 ( 墨r ) = + 6 酽+ ( x + d ( 2 1 ) 8 鱼圭垄兰盘生塑主堡垒圭 图3 一l 单元广义坐标 纵向位移假设为线性分布 v ( x ，) = f l y + b ( 2 - 2 ) 单元的广义坐标列阵为 h = 嵋1 1 21 2 3 地吣u o ( 2 - 3 ) 单元上任意点的位移可用单元广 义坐标和单元型函数表示 v ( x ，f ) = ( r ) 九( x ) w ( x ，f ) = “( ，) ( x ) ( 2 4 ) 横向位移对长度变量x 进行求导，得 ( x ，r ) = 3 a x + 2 b x + c ( 2 - 5 ) 上式即为单元结点上弹性转角的表达式。 由粱单元上的边界条件 w ( o ，t ) = “2 v ( o ，f ) = “ w ) 2 地 ( 2 6 ) v ( l ，r ) = “5 v ( l ，f ) = “。 ( ，r ) = 6 可以解出位移假设中的各系数 = ! 1 2 ! 墨二! 兰! ! i 兰 r 占：- 3 u 2 - 2 u 3 l _ ：+ 3 u s - u 一6 l c = 蚝d = “2 ：二! ! 丝b ：乩 将这些系数代入位移表达式，有 卜力= 号：+ 屿l - 2 u s + u 6 l ) + 吾c 。毪也”，旷啦h m ， 忙f ) - t l - x ”争 9 由此可得单元位移型函数为 以( i ) = 1 一e 戎( i ) = 1 3 e 2 + 2 e 3 晚( i ) = l ( e 一2 e 2 + e3 ) 以( i ) = e 珐( i ) = 3 e 2 2 e 3 九( i ) = ( 一e2 + e 3 ) 式中，e = x l ，称为相对坐标。 2 1 2 单元运动微分方程 ( 2 - 8 ) 图2 1 所示的梁单元，其动能、变形能和非有势广义力之间的关系可 以由拉格朗日第二类方程表示 旦1要卜堡+孚：工(2-9)dt 1 j 8 u ，弘“ 式中，t 、u 分别表示单元具有的动能和变形能，：为非保守的广义力。 为了得出单元的动力学方程，必须先求出单元的动能和变形能。 a 单元动能和等效质量矩阵 假定单元每个截面i 处的质量都集中在轴线上，忽略掉截面转动的动 能，则单元的动能表达式为 r = 告r 川( _ ) 膨( - f ) + 旷( i 2 布， ( 2 一1 0 ) + f 跏( 刁 撕，f ) + 矿( 习) 2 西 式中，为质量分布函数，对于等截面梁单元，有；分别为单元任意截面处 的横向刚体速度轴向刚体速度横向弹性速度和轴向弹性速度。 由于刚体运动时，梁单元仍保持为直线，因此沿轴向方向刚体速度呈 线性分布。任意点i 处的横向和轴向刚体速度彬、矿与结点刚体速度之间 有如下关系 l o 望量堡三垄篁垒圭至堡垄圣 誓2 ( 1 8 ) 丸+ e p s ( 2 - i i ) y ，2 2 i 口2 ( 1 一e j x 十e x b 比较上式与式( 2 - 7 ) ，并注意到三次插值能包含线性情况，因此 彬2 如儿+ 珐巴+ 珐岁s + 纯( 2 - 1 2 、 = 办i 。+ 丸i 。 式中，六：以：监五。不难证明，式( 2 一1 1 ) 和式( 2 1 2 1 是等同的。 将式( 2 - 1 2 ) 代入式( 2 - 1 0 ) ，有 r m ( i ) 彬( i ，r ) + 妒( i ， ) 2 赢 ( 2 一1 3 ) = r m ( i ) ( 缟岁。十珐六+ 珐j = 。+ 纯如) + ( 砍i ：+ 珐如+ 珐i ，+ 唬i 。) 2 赤 f m ( i ) 吃( i ，小矿( 和) 2 商( 2 - 1 4 ) = i m ( i ) ( 抵+ 编) + ( 西i + 丸矗。) 2 痂 因此 丁= r m ( i ) ( 识夕。+ 办六十珐户。+ 九允) + ( 破：+ 珐如+ 珐i ，+ 九西。) 2 西 + 丢r 卅( 牙) ( 萌i 。+ 戎如) + m n + 线i 一) 2 面 将上式代入拉格朗日万栏左边弟一、二坝，o j 得 g dm l 瓦- , j 一昙= 丢r 孵) ( 编懈洲”蚋) 矗出 = f m ( i ) 磊2 ( i 。+ “。) 矗+ r m ( i ) 磊九( 曼。+ “a ) 出 = m 。( j f 。+ 。) + m 。( + 峨) 式中，m i = f m ( i ) 羁2 赢、m l 。= r m ( i ) 矗仡矗称为质量矩阵。 同理 旦l要1iot：41(扎嘲)+m44(针舀。)dt l 8 i nj 毗一”一 式中，。= r 删( i ) 珐2 面、。= r m ( i ) 识萌赤a 对于广义坐标地、“，、“，、蚝，有 ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 1 1 堑! 童耋垒垩垫型墼鱼竺垂丝垫垄兰堕鏖 旦d t 闰l a u , j 一瓦a t 训叫阮+ 如)( 2 _ 1 8 ) + ，( 此+ t i s ) + m 。( 岛+ i 6 )( i = 2 ，3 ，5 ，6 ) 式中，f = r 啪( i ) 惦西( i ，j = 2 ，3 ，5 ，6 ) 。 把以上各式写成统一形式，有 丢引一面a t = 泓) ”l j 2 ，s ，4 ，s ，6 ) ( 2 - 1 9 ) 式中，i 。依次等于、比、或、此、岛；m 。为等效质量。 对于i = 1 、4 ，有 ： i ”( - ) 惦面j = 1 、4 ( 2 - 2 0 ) 【0_ ，= 2 , 3 、5 、6 对于i = 2 , 3 、5 、6 ，有 f 0 ，= 1 、4 2 c r m ( x ) 谚i q j j f ：2 、3 、5 、6 。2 d 从以上两式可以看出，若交换f 和，的次序，积分值不变，因而研。= 哆，。 式( 2 1 9 ) 写成矩阵形式，得 d a t a t i l 面j 一面 df o t a t i l 瓦j 一瓦 甜r l + “l “r 2 + “2 u r 5 + “5 ，6 + 6 ( 2 - 2 2 ) 上式右端由等效质量组成的矩阵称为单元等效质量矩阵，用m 。表示为 历p2 ( 2 2 3 ) 对于等截面梁单元，其截面积是常数，故卅( 习= p a 。代入上式，得等截面 梁单元的单元质量矩阵 oo oo 蚋0 o o 0 对称 oo o一o o o 0 鸭 0 对称 一p a m = 。一 4 2 0 1 4 0 l007 0 l 015 6 l2 2 r0 02 2 l 2 4 p 0 7 0 l001 4 0 l 05 4 l1 3 l 20 01 3 e 一3 r0 b 单元变形能和等效刚度矩阵 o 5 4 l 1 3 o 1 5 6 三 - 2 2 o - 1 3 r 一3 f 0 - 2 2 4 f ( 2 - 2 4 ) 本文所讨论的梁单元为欧拉- 4 8 努利梁，即忽略梁单元所受的剪切和扭转 变形，而只考虑拉压和弯曲变形。根据材料力学，梁单元的变形能可表示 为 u = 告r e ，( i ) 吵( f ) 2 矗+ - 1f l e a ( i ) 叭习) 2 打( 2 - 2 j ) 式中，e 为材料弹性模量；j ( i ) 、4 ( 2 - ) 为截面惯性矩函数和面积函数，对 于等截面梁，这两个函数都是常数：4 ( 2 - ，) 为横向位移对i 的二阶导数； v ( 2 - ，f ) 为轴向位移对i 的一阶导数。 首先求( i ，r ) 关于i 的二阶导数 w ”( 覃，f ) = 硝“2 + 西- 蚝+ 群“5 + 彤“6 ( 2 2 6 ) 代入变形能表达式第一项，得梁单元弯曲变形引起的变形能 u 2 圭r 彤( i ) 叭圳2 赤( 2 - 2 7 ) = i 1f 彤( i ) 【彤”：+ 硝鸭+ 群“，+ 碟“。】2d y 又，y ( i ，f ) 关于i 的一阶导数为 y ( i ，r ) = 硝“l + 残- “4 ( 2 - 2 8 ) 代入表达式第二项，得梁单元的拉压变形能为 2 圭r 剧( i ) 叭训2 布( 2 - 2 9 ) = 告r 刨( i ) 群一十践饥 2 亦 故，总变形能为 1 3 茎! 童耋虚墨麴剑里垦丝叁丝垒垡堕垫坠坠：一 u = u + u 2 = i 1f l e a ( i ) 硝毡+ 践“。 2 商 + r 彤( i ) 蠼“：+ 硝鸭+ 硝- “，+ 碟 2 布 上式对广义坐标“求偏导数，有 罢= r 翻( 硼( 舯。+ 钱) 矗= + 相。 式中，k 。= e r 4 ( i ) 好疵、t 。= e r 4 ( i ) 爿。以应称为等效刚度。 同理 詈= r 尉( 碱( 舯，+ 舯。) 赤= 咖+ “。 式中，。= e r 爿( i ) 群残商，k 。= e o l a ( z ) o ：2 商。 对于广义坐标“2 、吩“5 、h 6 ，有 署= r e ，( i ) ( 硝屿+ 西叱+ 菇“，+ 群，“。) ，商 = t 2 “2 + k t 3 “3 + 鼻5 “5 + 量6 “6( i = 2 ，3 ，5 ，6 ) 式中，k u = e r ，( i ) 蟛面 ( f ，= 2 ，3 ，5 ，6 ) 。 所有对广义坐标的偏导数写成统一形式，有 丝：圭一(，2，6)ou f 智。 、7 式中，为等效刚度。对于= i 、4 ，有 缸：e 爿( 习赢，= l 、4 。【0 j = 2 3 、5 、6 对于i = 2 3 、5 、6 ，有 ，f 0 _ ，= 1 、4 2 1 点r _ ( 习群彰商j = 2 、3 、5 、6 从式( 2 - - 3 5 ) 可以看到，若交换i 和j 的次序，积分值不变， 把式( 2 3 5 ) 写成矩阵形式，得 1 4 ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 a ) ( 2 - 3 5 b ) 因此= l ，a 鱼圭墨兰盘生堑茎堡鱼塞 a 己， 0 “ a u a “6 称 1 1 1 u 2 k 5 5 如6l “5 丸。l 【 ( 2 3 6 ) 上式右端由k , j 组成得矩阵称为等效单元刚度矩眸，简称为单元刚度阵，用七。 表示为 k l l 00 如2t 2 3 如3 对 称 t 1 4 00 0 k 2 5 如6 0 k 3 5 如6 k 4 4 00 单元刚度矩阵是对称阵。对于等截面梁单元 七= 删 上 o o 一翻 三 0 1 2 e ， p 6 o 0 墨型 p 0 二掣 也，也。 屯。 有 o 一1 2 e ， 一6 i v r o 等。半 式中，4 、，、上分别为单元的截面积、 c 单元动力学方程的建立 o 6 e j r 2 2 e ， o 一6 e ， l 0 二罂坐 三 截面惯性矩和长度。 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 写出动能和变形能后，将其代入拉格朗日方程，可得 66 ( i 。+ q ) + “，= z ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) ( 2 3 9 ) 。】 j = l 写成矩阵形式为 o k o 0 k k 0 即0 0 鼬 0 坳坳 0 k 对 七 删一工 。 。 尉一l 。堕r坐三。 笙! 主耋盛垂曼型堕垦丝墨绫塑左鲎堕廛 扰。嘭+ n l 。i + k 。“= f ( 2 4 0 ) 式中，为广义坐标列阵，= “，：，也，“，“。 。：五为广义加速度列阵： j j ，为刚体加速度列阵，n ，= 。，只，吃，如，虬，免) 7 ；f 为广义力列阵。 当单元所受外力为零时，有 ，l 。西，+ 州。西+ k + u = 0 ( 2 - 4 1 ) 2 2 单元坐标系与系统坐标系的关系 单元的广义坐标是定义在与刚体梁单元固连的动坐标系上。为了能够由 歹 ) a o 图2 2 单元坐标系与系统坐标系的关系 梁单元的动力学方程装配成系统的动力学方程，引入一组新的广义坐标 u 。= 秒lu 2u 3u du 5u 6 j 。 如图2 2 所示，这组广义坐标所在的坐标系分布在单元的两端，分别为 a 一玑和b - 孝, r t 。，它们随刚体单元一起运动，称为平动坐标系，坐标的 水平轴与铅锤轴始终分别与系统定坐标0 一x y 的两坐标轴平行。根据单元 坐标系与平动坐标系关系，有 = 曰u 。( 2 - 4 2 ) 1 6 鱼圭墨三盘主堑主焦迨圭 其中，曰为坐标转换矩阵 r = s i n 00 c o s 口00 01 c o s 臼s i n 口0 一s i n 臼c o s 臼0 oo1 根据瞬时结构假设，坐标转换矩阵可以作为常数矩阵处理 ( 2 - 4 2 ) 对时间求两次导，可得 西= r 相应地，绝对加速度和牵连加速度也存在类似的关系 西。= r 磷 打= 且u ： 由k e d 分析的运动学假设可知 ( 2 - 4 3 ) 因此，式 ( 2 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) ( 2 4 6 ) u a = 记+ 西 ( 2 - 4 7 ) 将式( 2 4 3 ) 、( 2 4 4 ) 和( 2 4 5 ) 代入式( 2 4 6 ) ，可得 啦= 彬+ 口2 ( 2 4 8 ) 将式( 2 - - 4 2 ) 代入式( 2 - - 4 8 ) 代入式( 2 4 1 ) ，整理后得到无阻尼单元动 力学方程 r a 8 。+ k u 。= 一卅驴：( 2 - 4 9 ) 式中，和k 。分别称为当量质量矩阵和当量刚度矩阵 m = r 7 而r k o = r 7 瓦r 2 3 系统模型的建立 为了不失一般性，本文以铰链四连杆机构作为建模的对象。模型如图 一所示。 曲柄假定为一悬臂梁，连杆和摇杆各划分成两个单元。1 ，2 ，表示 结点编号；，表示单元编号；u i ，u 2 ，表示系统广义坐标。这里 1 7 目坩 嚣训o 坐标的编号称为整体编号，而v 前面提到的单元的广义坐标 编号称为局部编号。为了进行 系统分析，应给出局部编号和 系统编号之间的对应关系。这 一对应关系可由系统模型组 成矩阵，。来实现。在这个矩阵 中，其行数为单元总数。， 列数等于单元广义坐标数，组 成元素为对应单元上的整体 图2 3 平面连杆机构模型 坐标编号。在图2 3 所示的系统中模型组成矩阵是一个5 6 矩阵 0o 12 56 89 1 21 3 01 45 78 1 11 2 1 40 2 4 系统运动微分方程的建立 23 67 91 0 1 31 4 01 5 系统的模型建立之后，对于每一个单元都有一个对应的单元运动微分 方程。对于第f 个单元，其运动微分方程为 卅，吖+ 露，町= 一，u ： ( 2 - 5 0 ) 为了形成系统运动微分方程，定义采用系统编号的广义坐标列阵 u = p lu 2 u 虬 。 它和单元广义坐标存在如下关系 u ；= b u ( 2 - 5 1 ) 。1 式中b 为坐标协调矩阵，是一个6 m ，矩阵，其元素均为0 或1 ，可由系统 模型组成矩阵得出：模型组成矩阵中每一行元素对应系统中每一个单元的 广义坐标，具体到某一行元素，其上元素的非零数值为数字l 所在协调矩 阵中的列数，而非零数值在模型组成矩阵中的列数为数字1 所在协调矩阵 1 8 中的行数；确定元素1 后，其余元素补零。以单元二为例，其系统广义坐 标对应模型组成矩阵中的第二行元素124567 ，协调矩阵为 o ( 3 4 、 0o 0 0 o ( 3 3 、 ol 相应地，有 叱= b ，u 。 ( 2 - 5 2 ) ”= b ，u ， ( 2 - 5 3 ) 将式( 2 5 1 ) 、( 2 - - 5 2 ) 、( 2 5 3 ) 代八式( 2 5 0 ) ，可以导出以整体广义 坐标表示的单元运动