（生物医学工程专业论文）毛细血管组织氧传输数学模型与计算机模拟的研究.pdf

4 1 无分支毛细血管一组织二维氧传输模型2 2 4 1 1 模型的参数设置及边界条件2 2 4 1 2 不同网格密度对二维模型计算结果的影响2 4 4 1 3 计算结果与讨论2 5 4 2 有分支毛细血管组织二维氧传输模型2 7 4 2 1 有分支毛细血管内血流速度的计算2 8 4 2 2 模型的参数设置及边界条件2 9 4 2 3 计算结果与讨论3 0 4 3 本章小结3 2 第五章氧在毛细血管一组织间传输的三维模型3 3 5 1 无分支毛细血管一组织三维氧传输模型3 3 5 1 1 模型的参数设置及边界条件3 3 5 1 2 不同网格密度对三维模型计算结果的影响3 5 5 1 3 计算结果与讨论3 6 5 2 复杂毛细血管一组织三维氧传输模型4 1 5 2 1 复杂毛细血管一组织三维模型4 1 5 2 2 模型的参数设置及边界条件4 2 5 2 3 计算结果4 3 5 3 本章小结4 4 第六章总结与展望4 6 6 1 本文总结4 6 6 2 对未来研究的展望4 7 三、本研究创新性的自我评价4 8 四、参考文献4 9 五、附录 综j 苤5 3 在学期间科研绩6 3 致谢6 3 个人简介6 5 中文论著摘要 毛细血管一组织氧传输数学模型与计算机模拟的研究 随着糖尿病患者人数的增多，越来越多的研究者着力于糖尿病的预防、治疗 以及日常监护的研究。相对于传统的血糖监测，血糖连续监测可以有效控制胰岛 素的用量以及提前预报低血糖症的发生，对糖尿病患者的治疗起到重要作用。植 入式葡萄糖传感器可以用来连续监测糖尿病患者血糖过多的现象，降低长期应用 的复杂性，同时也提高病人的生活质量。然而，当植入式传感器暴露在生物组织 环境下时，其功能性会出现比较明显的降低，原因可能有两点，其一是由于传感 器自身变化，其二归结于传感器周围组织对造成的影响：传感器周围组织的炎症 反应或者由于组织纤维化导致血管密度的变化，继而导致周围组织氧浓度的改变， 从而影响传感器结果的准确性。本文针对第二点，利用计算机模拟的方法讨论氧 在毛细血管组织中的传输，探讨毛细血管与组织氧浓度分布及影响因素，对 植入组织内的传感器进行重新校准。 文中首先建立氧在毛细血管、毛细血管壁以及在组织内传输的数学模型。氧 在毛细血管内传输的数学模型建立在对流扩散方程基础上，并且考虑到氧在血管 内的形态为物理溶解氧和血红蛋白结合氧同时存在。利用n a v i e r - s t o k e s 方程结合 相应对流扩散方程的方法计算复杂形状毛细血管内氧传输。由于氧在毛细血管壁 和组织中的传输过程为扩散过程，采用扩散方程分别描述氧在毛细血管壁和组织 内的传输。 建立无分支和有分支毛细血管组织二维形态学模型，比较各自模型的氧 浓度分布结果，对于一定面积的组织，组织内部存在的毛细血管数量增多，有利 于局部组织平衡时氧浓度升高，为寻找改善植入式传感器在低氧环境工作性能提 供理论依据。 建立无分支毛细血管组织三维形态学模型，根据模拟结果估算了氧在组 织内的传输距离，认为氧在组织内的传输距离约为4 0 微米，与以往研究结果相符。 探讨了不同因素对平衡状态下氧浓度分布的影响：组织氧扩散系数减小，较远处 组织氧浓度水平降低；组织氧消耗系数增大，氧浓度水平降低；血流速度速度减 慢，氧浓度值减小；毛细血管入口端氧分压变大，氧浓度水平增高，这些影响因 素变化对氧浓度分布的影响与生理现象符合。 文章最后建立复杂毛细血管组织三维模型，得到在不同方向切面上的氧 浓度分布，为传感器完全定量校正提供理论支持。 关键词 毛细血管；氧传输；扩散；对流扩散 2 英文论著摘要 r e s e a r c ho nm a t h e m a t i c a lm o d e la n dc o m p u t e r s i m u l a t i o no fc a p i l l a r y - - t i s s u eo x y g e nt r a n s p o r t a t i o n w i t ht h ei n c r e a s e m e n ti nt h en u m b e ro fd i a b e t i cp a t i e n t s ，m o r ea n dm o r e r e s e a r c h e r sf o c u so nt h ep r e v e n t i o n ，t r e a t m e n ta n dd a i l yc a r eo fd i a b e t e s c o n t i n u o u s m o n i t o r i n go fb l o o dg l u c o s ec o n t r o lc a nb ee f f e c t i v ee a r l yw a r n i n go fi n s u l i nd o s a g e a n dt h ei n c i d e n c eo fh y p o g l y c e m i ac o m p a r e dt ot r a d i t i o n a lb l o o dg l u c o s em o n i t o r i n g ， t h u s ，t h i sm e t h o di si m p o r t a n ti nt h et r e a t m e n to fd i a b e t e s i m p l a n t a b l eg l u c o s es e n s o r c a nb eu s e dt oc o n t i n u o u s l ym o n i t o rt h ev a l u eo fb l o o dg l u c o s e ，r e d u c et h ec o m p l e x i t y o fl o n g - t e r mu s ea n da tt h es a m et i m ei m p r o v et h ep a t i e n t s q u a l i t yo fl i f e h o w e v e r , w h e nt h ei m p l a n t a b l es e n s o rw a se x p o s e di nt h ee n v i r o n m e n to fb i o l o g i c a lt i s s u e s ，i t s f u n c t i o nh a do b v i o u sr e d u c t i o n t h e r em i g h tb et w or e a s o n sf o rt h i ss i t u a t i o n o n ei s d u et ot h ec h a n g e si nt h es e n s o ri t s e l f , a n dt h eo t h e ro n em i g h ta t t r i b u t et ot h e s u r r o u n d i n gt i s s u e so ft h es e n s o r ：i n f l a m m a t i o no rf i b r o s i so ft h es u r r o u n d i n gt i s s u e s l e a dt oc h a n g e si nb l o o dv e s s e ld e n s i t y , m a k i n gt h ec h a n g e si no x y g e nc o n c e n t r a t i o ni n t h es u r r o u n d i n gt i s s u e s ，w h i c ha f f e c tt h ea c c u r a c yo ft h es e n s o rr e s u l t s i nt h i sp a p e r ， w ec a l c u l a t et h eo x y g e nc o n c e n t r a t i o ni n c a p i l l a r y a n dt i s s u e u s i n gc o m p u t e r s i m u l a t i o nm e t h o d sa n dd i s c u s st h eo x y g e nc o n c e n t r a t i o nr e l a t i o n s h i pb e t w e e n c a p i l l a r ya n dt h et i s s u ea n dt h e i ri n f l u e n c i n gf a c t o r s am a t h e m a t i c a lm o d e lo fo x y g e nt r a n s p o r ti nc a p i l l a r y ，c a p i l l a r yw a l la n dt h e t i s s u ei se s t a b l i s h e dr e s p e c t i v e l yo nt h eb a s eo fc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ，t a k i n g t h ed i s s o l v e do x y g e na n dh e m o g l o b i no x y g e ni nt h eb l o o di n t oa c c o u n t n a v i e r s t o k e s e q u a t i o na n dc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o na r ec o m b i n e dt oc o m p u t et h eo x y g e n t r a n s p o r ti nc a p i l l a r yo fc o m p l e xs h a p e a st h et r a n s f e rp r o c e s si nt h ec a p i l l a r yw a l la n d t i s s u ei si i lt h ew a yo fd i f f u s i o n , w eu s ed i f f u s i o ne q u a t i o nt od e s c r i b et h eo x y g e n t r a n s p o r ti i lt h ec a p i l l a r yw a l la n di nt h et i s s u e 3 t oc o m p a r et h er e s u l t so fo x y g e nc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o n ，ab r a n c h e d c a p i l l a r y - t i s s u ea n dan o - b r a n c h e dc a p i l l a r y - - t i s s u e t w od i m e n s i o n a lm o r p h o l o g i c a l m o d e la r ed e s i g n e dr e s p e c t i v e l y t ot h et i s s u ew i t ht h es a m ea r e a , t h e r ea r em o r e c a p i l l a r i e si ni t ；t h e r ew i l lb ee a s i e rf o r l o c a l t i s s u et oh a v eah i g h e ro x y g e n c o n c e n t r a t i o n i ti sat h e o r e t i c a lb a s i st oi m p r o v et h el o wo x y g e nw o r k i n ge n v i r o n m e n t o ft h ei m p l a n t a b l es e n s o r t h r o u g he s t a b l i s h i n g an o - b r a n c h e d c a p i l l a r y - t i s s u e t h r e ed i m e n s i o n a l m o r p h o l o g ym o d e l ，w ee s t i m a t et h a tt h eo x y g e nt r a n s p o r td i s t a n c ei nt h et i s s u ei s4 0 m i c r o n s t h i sv a l u ei sc o n s i s t e n t 、访t 1 1p r e v i o u ss t u d i e s d i f f e r e n tf a c t o r sw h i c hm a y h a v ei n f l u e n c eo ne q u i l i b r i u md i s t r i b u t i o no fo x y g e nc o n c e n t r a t i o na r ed i s c u s s e d d e c r e a s e m e n ti nt i s s u eo x y g e nd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t ，a v e r a g eb l o o dv e l o c i t ya n d c a p i l l a r yi n l e to x y g e nc o n c e n t r a t i o na n di n c r e a s e m e n t i nt i s s u eo x y g e nd i f f u s i o n c o n s u m p t i o nr a t ew i l lr e d u c et h eo x y g e nc o n c e n t r a t i o ni nt i s s u e ，w h i c hi sc o n s i s t e n t 、析t l lp h y s i o l o g i c a lp h e n o m e n o n f i n a l l y ，w ec r e a t eac o m p l e xc a p i l l a r y t i s s u et h r e ed i m e n s i o n a lm o d e lt os i m u l a t e t h eo x y g e nc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o ni nd i f f e r e n td i r e c t i o n si nt i s s u e ，p r o v i d i n ga c o m p l e t eq u a n t i t a t i v et h e o r e t i c a ls u p p o r tf o ri m p l a n t a b l es e n s o r k e yw o r d s c a p i l l a r y ；o x y g e nt r a n s p o r t a t i o n ；d i f f u s i o n ；c o n v e c t i o na n dd i f f u s i o n 4 论文 第一章绪论 1 1 引言 微循环是指循环系统中在微动脉和微静脉之间的部分。典型的微循环是由微 动脉、后微动脉、毛细血管前括约肌、毛细血管、动静脉吻合支和微静脉等部分 组成。血液循环最根本的功能是进行血液和组织液之间的物质交换，这一功能的 实现部位就是微循环。 毛细血管是血液与周围组织进行物质交换的主要部位。1 6 6 1 年，意大利科学 家m a j p i g h i 发现动脉小分支与静脉之间、联系各种组织器官的不是随机空腔，而 是一种非常精致的脉管网络毛细血管，充分补充了血液循环理论。人体毛细 血管总面积很大，对于一个体重6 0 k g 的人，其毛细血管总面积可达6 0 0 0 平方米， 它们互相联系成网状，布满全身，总横断面积大于主动脉数百倍。毛细血管很细， 直径仅有头发的十分之一大小，约为8 1 0 微米，毛细血管管径几乎和红细胞直径 大小相当，但是由于红细胞非常柔软，容易改变形状，因此仍然可以通过。毛细 血管管壁很薄，一般由1 2 个扁平内皮细胞构成，内皮细胞之间相互粘结在一起。 有实验表明，内皮细胞受到某些化学物质或机械性刺激时，它本身就可收缩而改 变管径的大小。通过毛细血管壁上的物质传输方式主要有三种i l 】：不溶于脂类的 大分子物质需要借助血管内皮细胞膜内的载体，或者通过内皮细胞内的囊泡传输， 这一过程称为吞饮，囊泡可运动至内皮细胞的另一侧并被排出到细胞外；可溶于 脂类的物质或者气体( 如氧气、二氧化碳) 主要通过扩散传输，它们可以在毛细血管 壁的任何位置通过，传输速率主要取决于毛细血管壁两侧该物质的浓度梯度，浓 度梯度越大，该物质的传输速率越快；水及可溶于水的低分子量溶质利用壁内外 的静压梯度或者壁内外有关物质的浓度梯度在内皮膜上的空隙中传播，这种过程 也称为过滤和重吸收，对组织液的生成起到重要的作用。 毛细血管是机体内实现新陈代谢的庞大管道网络系统，负责营养物质、氧气 的输送以及代谢产物的排出。每根毛细血管供给其周围一定范围内细胞、组织代 5 谢所需的营养物质和氧气并带走其产生的代谢产物。如肺部的毛细血管能在呼吸 运动中将二氧化碳排出，也能在呼吸中将氧气吸入，再将这些新鲜氧气输入动脉、 变成鲜红的动脉血，流到全身各处，供给组织需要；人脑的工作需要大量氧供给， 流入脑组织的动脉血携带大量氧气，通过脑内毛细血管交换给脑组织：肝脏部位 的毛细血管能将肝脏制造的蛋白运送给其他需要的组织；肾脏部位的毛细血管将 人体代谢产生的尿酸、尿素等废物过滤出来，随尿液排出体外。微循环不仅是整 体循环系统的末梢部分，也是许多器官中独立的功能单位。它在保持人体正常生 理功能、各种疾病的发生、发展和药物作用机制中均占有突出地位。人的任何器 官都必须有一个健康的微循环环境，否则就会出现相应器官的病变，例如，当心 肌需求障碍时，人体可以出现心慌、心率不稳、心肌缺血等症状；当皮肤微循环 发生障碍时会出现瘀斑、手足麻木等症状；肝微循环出现障碍时会出现腹痛、腹 胀、食欲不振等症状；脑循环发生障碍可出现神经衰弱、失h 民健忘、头痛头晕、 甚至面瘫、中风与痴呆等。 在所有毛细血管与组织传输的物质中，氧的传输尤为重要，因为氧是人体生 命活动的第一需要，输送到心脑及全身的血氧浓度高，人体的运行状态则越好。 1 2 毛细血管一组织氧传输的相关研究及课题意义 1 2 1 毛细血管一组织氧传输的相关研究 由于毛细血管和氧对机体的重要性，很多研究者做了关于毛细血管物理及功 能性质的离体与在体研究。目前直接或者间接测定组织氧水平的方法有很多，但 是由于它们在创伤性或技术上存在难度，不能被广泛应用。而随着计算机技术的 发展、仿真模拟软件的日趋完善，越来越多的研究致力于建立数学模型及形态学 模型从理论上描述毛细血管与组织间的氧传输。有关氧在毛细血管组织中传 输的研究中，最为著名的是丹麦科学家、诺贝尔奖获得者a u g u s tl 渤曲于1 9 1 9 年【2 】【3 删研究骨骼肌氧传输特点时建立的著名的“k o 曲圆柱模型”，他认为生物组 织可以看成是由一系列毛细血管组织功能单元矩阵构成，这种单元由一根毛 细血管和包围在毛细血管外的组织组成。在毛细血管中，血红蛋白结合氧经过分 解，释放出自由氧，自由氧通过红细胞膜扩散到血浆中，而血浆中的氧利用扩散 6 作用经毛细血管壁进入组织。并且假设血管中的血液和周围组织均为连续介质， 只考虑氧在组织中沿血管半径方向的扩散而忽略轴向扩散，周围组织圆柱外边界 上氧的净通量为零。i c r o g h 圆柱模型简单而经典，可以在组织乏氧分数、氧含量、 氧消耗率和血管密度方面提供有用的见解【5 】，并且计算简单、耗时少、得出的结 果比较具有代表性，也是很多研究者研究不同组织传质传输时的切入点和基础模 型。例如，j o h np 等人【6 】认为肿瘤组织的氧化代谢同时与葡萄糖和氧有关，利用 氧和葡萄糖的米氏反应把复杂反应动力学引入到稳态状态下的i c r o g h 模型中，认 为糖酵解也可能是为肿瘤生长提供动力的一个重要因素，进一步考察肿瘤组织的 乏氧分数，为肿瘤的放射治疗提供理论帮助f 7 】；t u r e k 等f 8 】对k r o g h 模型做了一定 修改，认为组织半径沿着血管轴向发生变化，利用这个“圆锥模型 研究了心肌 组织血管密度不同时的氧分布特点；z h uk a i 等【9 】利用m a t l a b 将一维毛细血管和氧 传输模型相结合，考察了k r o g h 模型和扭曲血管模型中毛细血管与组织内的氧分 压分布，得到当毛细血管较小时血管弹性对氧分压分布的影响较小的结论。 然而，i c r o g h 模型存在一些非常理想的假设，例如它假设组织内的血管成平 行排列。但是在实际的微环境中，毛细血管普遍为复杂的排列结构：在脑组织， 毛细血管成弯曲排列，没有很强的方向性【i 川；肿瘤组织微血管的分布具有异质性， 导致微区域内乏氧的存在【1 l 】。在这些情况下，需要更实际更复杂的血管几何进行 模拟。s e c o m b 和h s u 1 2 】利用格林方程( g r e e n sf u n c t i o n ) 方法求解稳态状态下有着 复杂微血管网的肿瘤组织内氧分布的情况，他们认为在组织区域内每一个红细胞 可以看作“氧源”，每一个血管可是被看作是氧源的分布，整个血管被分为若干 小血管段，组织内的氧分布则由这些氧源所散发的氧叠加所得。d a n i e lg o l d m a n 和他的研究小组【1 3 】【1 4 】【1 5 】在骨骼肌组织氧传输方面做过很有成绩的研究，探讨了血 管弯曲、血管舒缩及败血症对氧传输的影响；在模型方面，他们认为骨骼肌组织 毛细血管大致呈平行分布，在平行血管问存在血管分支连接，骨骼肌单位组织为 立方体状；在数值模拟方面，用对流扩散方程计算氧在毛细血管内的传输， 并且考虑到氧在血液中有红细胞携带氧与物理溶解氧两种状态，组织内的氧通过 扩散作用传输，在传输过程中被组织细胞内线粒体消耗，同时肌红蛋白也会携带 氧进而促进氧在组织内的传输。d a n i e la b e 砌l 【1 6 】【1 7 1 的研究也提到了这一点。 7 q i a n q i a nf a n g 1 8 】【1 9 】在研究啮齿动物大脑皮层氧传输时，通过双光子显微技术观察 2 3 0 2 3 0 4 5 0 “m 3 大小的组织，根据组织及微血管成像特点，借助特殊软件手工绘 制血管图像模型，使得获得的血管网更加真实，同时，采用混合维数的方法，用 一维扩散对流模型解决血管内部及血管壁处氧传输问题，用三维扩散模型解决组 织内氧传输情况。 由于实际测量微环境氧分布存在很多困难，目前，利用计算机来求解毛细血 管组织氧分布建模问题已经成为很常见的方法，为讨论各种生理问题提供理 论基础和帮助。 1 2 2 本文研究的主要目的和意义 近年来随着糖尿病患者人数的增多，越来越多的研究者着力于糖尿病的预防、 治疗以及日常监护的研究。在日常监护方面，传统的方法是通过指尖采血并通过 家庭血糖测量仪测量体内的血糖含量，以便随时调整治疗方案。然而对糖尿病和 糖尿病并发症( 特别是胰岛素依赖型糖尿病) 的进一步深入研究表明：血糖的快速 波动和高血糖及低血糖是糖尿病的主要危害，在极端的情况下血糖有可能在1 5 分 钟内上升或者下降到危险的范围，然而大多数患者并不愿意每天测量血糖超过2 4 次，因此对糖尿病患者连续、准确、可靠的测量血糖十分必要。植入式葡萄糖传 感器可以用来连续监测糖尿病患者血糖，降低长期应用的复杂性，同时也提高病 人的生活质量【2 0 】。但是当植入式传感器暴露在生物组织环境下时，其功能性会出 现较明显的降低，其原因可能有两点：一是由于传感器自身变化，其二归结于传 感器周围组织对其产生的影响：传感器周围组织的炎症反应或者由于组织纤维化 导致血管密度的变化，使周围组织氧浓度发生改变，从而影响传感器测量结果的 准确性。也有文献报道谢2 1 1 对于植入同样的传感器，当给定同样的氧改变，传感 器的一个信号可能上升而同时另一个信号下降。对于这种现象，目前普遍的解释 有两种：一是传感器本身的敏感度可能在使用中改变或者可能在植入时改变，另 一个解释与组织的固有特征有关，就是说组织中存在浓度不同的氧分布。有研究 也指出，毛细血管间距离在1 0 1 0 0 微米范围内，组织中氧浓度分布是不均匀的【2 2 1 。 本文针对各自可能原因的第二点，利用计算机模拟的方法讨论氧在毛细血管 组织中的传输，对植入组织内的传感器的准确应用提供理论帮助，并且可以对植 8 入体内的传感器进行重新校准。 1 3 本文研究的主要内容 由于糖尿病对患者造成的诸多不利影响以及植入式传感器在长期、连续、动 态监测糖尿病患者血糖浓度方面的独特作用，为了使植入式传感器能更好、更准 确的应用于人体，本文主要以肌肉组织为例，对毛细血管以及周围组织内氧传输 情况进行研究，探讨毛细血管与组织内氧浓度关系以及影响因素，为植入式传感 器在准确应用上提供理论参考。主要研究内容如下： ( 1 ) 确定毛细血管中氧对流扩散传输、氧穿过毛细血管壁以及在组织内扩散传 输的偏微分方程。 ( 2 ) 建立无分支毛细血管组织二维模型与有分支毛细血管组织二维 模型，计算各自在稳态和瞬态状态下的氧分布特点与关系。 ( 3 ) 建立无分支毛细血管组织三维模型与复杂分支毛细血管组织三 维模型，计算各自稳态下氧分布特点与关系，探讨不同因素可能对毛细血管 组织氧分布的影响。 9 第二章质量传输基本理论及多物理场分析软件简介 2 1 质量传输的基本理论 2 1 1 质量传输的基本方式 物质的分子或原子在空间迁移的方式有扩散传输、对流传输和相间传输三种， 其基本概念如下： ( 1 ) 扩散传输 若将两种不同浓度同种物质的溶液相邻地放在一起，则高浓度区域中的 溶质分子会向低浓度区域发生净移动，这种现象称为扩散，由于体系中存在 某组分的浓度差而引起的质量传输称为扩散传输。也就是说，浓度差是扩散的驱 动力，该组分的浓度和移动方向与体系中的其他物质无关。 ( 2 ) 对流传输 在流体中，对流传输是指流体处于宏观运动状态下，引起物质从一处迁移到 另一处。对流传输与流体的状态、流体动量传输密切相关。 ( 3 ) 相间传输 对于扩散传输与对流传输，它们都在均一的相内进行。若体系中的某组分传 输时通过不同的相界面进行，如气体分子通过液气界面迁移，这种现象称为相间 传输。相间传输既有原子( 分子) 扩散，又有流体中对流传质。相间传输既会受到 相界面两边介质性质的影响，也会受到其运动状态等的影响，因此，相间传质是 一个综合过程。 2 1 2 传质微分方程 ( 一) 质量守恒原理 质量守恒定理是自然界普遍存在的定理之一。从总体上来说，质量不能产生， 也不能消灭，即单位时间内通过单位面净流入单位体的传质质量等于单位时间单 位体内传质质量的增加。在质量传输中，体系的某一组元可以不断地从单位体流 出，同时这一组元还可以通过某些途径进入该单位体，如果在进行传质过程的同 1 0 时，还发生化学反应，那么在考虑该组分质量守恒时，由化学反应引起的组分的 生成或减少量也需要被包括进去。如下图所示： 图2 1 ，质量守恒原理框图 ( 二) 传质微分方程的几种不同的形式 由于在质量传输系统中有多种表示物质的方法，如物质的质量浓度、质量通 量等，因此，与其对应的质量传输微分方程也有不n 的形式。以组分a 为例，有： ( 1 ) 质量传输微分方程以质量浓度形式表示为： 百d p a + v ( o v ) = d 月s v 2 ( p 爿) + 么 ( 2 ) 质量传输微分方程以物质的量浓度表示：用该组分的摩尔质量去除( 1 ) 中的方程便可以得到。 鲁+ v ( ) = 见( ) + 心 ( 3 ) 质量传输微分方程以质量通量形式表示： 訾+ v 一匕= o ( 4 ) 以该组分的摩尔质量去除( 3 ) 中的方程可以得到以摩尔通量表示的质量 传输微分方程： 鲁+ 巩一凡= o 其中，d 为实质导数，r a 为单位体积内组分a 的产生速率，单位为k g ( m 3 宰s ) ，当 a 为消耗物时，r a 为负值。r a 为r a 与物质的量的商，单位为m o l ( m 3 枣s ) 。 ( 三) 传质微分方程的初始条件与边界条件 传质微分方程常被用来描述某组分的传质传输过程，而求解传质微分方程需 要用到一些初始条件以及边界条件。 ( 1 ) 初始条件 所谓初始条件是指初始时刻该组分运动所满足的条件，即在t = t 0 时刻的状 态。在传质传输中，对于稳定状态下的传质，由于该组分的浓度场不随时间的变 化而变化，因此不需要设置初始条件。对于动态过程中传质的分析，往往定义该 组分在初始时刻的浓度分布作为初始条件，该条件可以使用质量浓度、物质的量 浓度等。初始条件可以是常数也可以是函数表达式，其中，设置初始浓度为常数 是最基本的初始条件。 ( 2 ) 边界条件 求解微分方程的另一个重要步骤即设置边界条件。边界条件是用来说明边界 上约束情况的条件。常用的求解传质微分方程的边界条件有如下几种： 1 、边界上的浓度值 由于在传质理论中可以表示浓度的方式有很多种，因此，这个浓度既可以用 质量浓度或者质量分数表示，也可以用物质的量浓度或者摩尔分数表示，对于气 体物质，还可以用分压表示。最简单的边界条件是规定边界上的浓度为常数。 2 、边界上的通量 传质通量定义为单位时间内通过单位面积的某组分物质的量，包括质量通量、 摩尔通量、相对于质量平均速度的质量通量和相对于摩尔平均速度的摩尔通量。 可以利用任何一种表达式作为边界上的通量。最简单的边界条件是规定边界上的 通量为常数。 3 、边界上的传质系数及相应组分浓度 当液体流过一个质量扩散的表面时，由于对流传质的作用，这个表面就会向 流体进行传质，产生相应摩尔通量。而摩尔通量通常可以通过传质传输系数与两 个面之间浓度差的乘积表示，因此可以通过规定传质传输系数和相应组分的浓度 作为边界条件。 4 、化学反应的速率 该组分发生化学反应时产生的通量大小可以用化学反应速率表达，因此，可 以设定反应速率作为边界限制。 1 2 2 2c o m s o lm u l t i p h y s i c s 软件简介 c o m s o lm u l t i p h y s i c s 作为一种数值模拟软件，可以利用有限元方法模拟能用 偏微分方程( p d e ) 描述的各种问题，它的一个突出特点是可以方便地定义和求解任 意多物理场耦合的问题 2 引。 c o m s o lm u l t i p h y s i c s 主要包含一个基本模块和8 个专业模块：基本模块为 c o m s o lm u l t i p h y s i c s ，8 个专业模块分别为a c d c 模块( a c d cm o d u l e ) 、声学模 块( a c o u s t i c sm o d u l e ) 、化学工程模块( c h e m i c a le n g i n e e r i n gm o d u l e ) 、地球科学模 块( e a r t hs c i e n c e ) 、传热模块( h e a tt r a n s f e rm o d u l e ) 、微电机系统模块( m e m s m o d u l e ) 、射频模块( r fm o d u l e ) 和结构力学模块( s t r u c t u r em e c h a n i c sm o d u l e ) 。使 用者可以任意组合不同模中的应用模式实现多物理场的耦合模拟。 2 2 1c o m s o lm u l t i p h y s i c s 软件求解器 c o m s o lm u l t i p h y s i c s 通过有限元的方法求解偏微分方程。有限元方法通过离 散的手段，将求解域离散成一系列相互关联的如三角形、四边形、六面体等小单 元，从而将连续体看作是仅在节点处连接的一组单元的集合体，最终形成一个离 散的线性代数方程组，然后通过求解器求解这个方程组，得到单元节点上的解， 通过插值的方法得到节点以外的任意位置的解。 c o m s o lm u l t i p h y s i c s 软件中使用的求解器主要有直接求解器和迭代求解器两 种2 3 1 。 直接求解器通常将方程求解过程中产生的刚度系数矩阵进行分解，形成上三 角和下三角矩阵，然后分别对这两个矩阵求逆，从而求解出原偏微分方程的解。 直接求解器易于使用，鲁棒性强，占用内存大，适用于处理小规模、高度非线性 和多物理场的问题。c o m s o lm u l t i p h y s i c s 提供的直接求解器有：直接p a r d i s o 、 直接s p o o l e s 、u m f p a c k 和t a u c s 。 迭代求解器不形成完整的上三角和下三角矩阵，而是采用精细迭代的方法， 通过迭代求解，最终得到满足精度要求的解。迭代式求解器占用内存少，调整比 较困难，应用于特定的物理场，如e m 、c f d 等，需要预处理器、网格框架和平 滑器等。软件提供的迭代求解器包括：g m r e s 、f g m r e s 、c o n j u g a t e 、g r a d i e n t 1 3 和b i c g s l a b 。 在使用过程中，软件也会根据用户的模型自动选择求解器。例如2 3 】u m f p a c k 或者p a r d i s o 等直接求解器一般用于求解自定义偏微分方程；自由度不是很大的 问题可以用p a r d i s o 求解，若求解失败，同时判断出其失败原因由病态矩阵引起， 则可以改用u m f p a c k 求解；如果求解过程中提示内存不足，可以考虑使用 s p o o l e s ，这是因为s p o o l e s 求解器占用的内存较少。 根据用户所要求解的内容不同，求解器又可以分为如下几种口4 】： ( 1 ) 线性稳态求解器：求解线性或者线性化的静态偏微分方程问题 ( 2 ) 非线性稳态求解器：求解非线性的静态偏微分方程问题 ( 3 ) 瞬态求解器：求解线性或线性化的和时间有关的动态偏微分方程问题 ( 4 ) 特征值求解器：适用于求解偏微分方程的特征值问题 ( 5 ) 参数线性求解器：适用于求解依赖于参数的线性静态偏微分方程问题 ( 6 ) 参数非线性求解器：适用于求解依赖于参数的非线性静态偏微分方程问题 ( 7 ) 自适应求解器：利用自适应网格方法求解线性或非线性的静态偏微分方程 问题或者特征值问题 总而言之，这些求解器有着各自不同的特点，使用者可以根据自己的实际情 况选择不同的求解器，使整个模拟在计算速度、内存占用、结果精确方面有着较 好的平衡。 2 2 2c o m s o lm u l t i p h y s i c s 的求解步骤 c o m s o lm u l t i p h y s i c s 具有非常友好的操作界面，一般利用c o m s o lm u l t i p h y s i c s 进行求解时的操作步骤包括如下几个方面： ( 1 ) 确定所要求解的模块 c o m s o lm u l t i p h y s i c s 为使用者提供可供直接使用的八个不同模块，每个模块 的基本偏微分方程已经给出，用户根据自己所需求解的领域选择模块，调整参数 及边界条件求解问题。同时软件还包括三种自定义的偏微分方程，它们分别是系 数形式、一般形式和弱形式，用户可以通过自己设计偏微分方程而求解各式各样 的问题。系数形式的p d e 方程具体为： 1 4 巳窘+ 吃詈+ v ( 一刃u - c z u + y m v u + a u = 厂 刀( c v u + o t u 一丫) + q u = g 一办p h u = ：r 在域q 内 在边界讹上 在边界讹上 其中，q 为求解域，m 为求解域的边界，n 为边界外法线，0 【、丫为矢量，其他系 数为标量。 一般形式的p d e 方程具体为： f v r ：f在j 或q 内 一力r ：g + ( 娑) p 在边界m 上 10 ：r在边界m 其中，第二个方程表示n e u m a n n 边界条件，第三个方程表示d i r i c h l e t 边界条件。 f 、f 、g 和r 为系数，它们都可以是空间坐标、常变量u 或其空间导数的函数， 但r 为矢量，其他三个系数为标量，p 为拉格朗日乘子。 ( 2 ) 建立几何模型 可以通过软件给定的画图工具创建几何模型，也可以通过模型引入模块导入 其他软件如c a d 软件创建的几何模型。 ( 3 ) 定义物理参数以及确定模型的边界条件 为了进行后续的求解，需要在前处理过程中对各类物理参数进行赋值，将数学 模型具体化，同时对边界条件进行设置。 ( 4 ) 划分有限元网格 c o m s o lm u l t i p h y s i c s 网格生成器可以自动划分三角形和四面体的网格单元， 还具有自适应网格划分功能。针对特殊问题，也可以人工参与网格生成从而达到 更精确的结果。 ( 5 ) 模型求解 用户根据待求解内容及特点通过选择特定的求解器来求解所需的模型。 ( 6 ) 保存结果并进行后处理 经过计算产生的结果可以通过后处理以不同的状态显示出来，并且可以得到 1 5 相关变量的变化趋势等问题。 2 3 本章小结 本章主要简述了有关质量传输的基本理论，如质量守恒原理、几种不同形式 的传质微分方程以及求解传质微分方程时经常使用的初始条件与边界条件。介绍 了c o m s o lm u l t i p h y s i c s 软件的相关知识包括求解器的有关说明和利用该软件求解 时遵循的一般过程，为后续的数值模拟计算做准备。 1 6 第三章氧在毛细血管一组织间传输的数学模型 3 1 氧在毛细血管内传输的数学模型 氧在血液中的存在方式主要有两种：物理溶解在血浆中的氧和经由血红蛋白 携带的氧，其中，血红蛋白结合氧占血液中氧的绝大部分，较小部分的氧物理溶 解于血浆之中，供给全身各处组织。 3 1 1 血浆中的血红蛋白结合氧 血液中，氧通过与血红蛋白结合而到达血管内的各处，是氧在血液中存在和 输运的主要形式。血红蛋白是一组红色含铁的携氧蛋白质，绝大多数存在于红细 胞内，只有很小的一部分游离于血浆中。血浆中物理溶解的氧可以通过扩散作用 进入红细胞膜，与血红蛋白结合成氧合血红蛋白。每一个血红蛋白分子含有四个 多肽链，每一个多肽链连接一个具有亚铁离子的血红素基团，可逆地结合一个氧 分子，因此，每一个血红蛋白分子可以结合四个分子的氧。血红蛋白与氧气的结 合不会使铁离子的原子价发生变化，即它们的结合不是氧化，而是一种氧合方式， 当血液处于低氧分压的环境时，氧合血红蛋白就会释放出氧，成为去氧血红蛋白。 血红蛋白结合氧在研究氧在血管内传输方面有着重要的影响。血红蛋白携带 的氧量直接决定了血管内血液为组织供应的氧量，同时，由于血氧饱和度是通过 血液中氧合血红蛋白的量占全部可结合的血红蛋白的量的百分比决定，如果血红 蛋白的质、量发生异常或者血红蛋白的氧饱和度降低，都可以使血液内的氧含量 降低而发生组织缺氧，如当血液中的去氧血红蛋白达到5 9 1 0 0 m l 以上时，皮肤、 粘膜呈浅蓝色，这种现象称为紫绀，出现紫绀经常表示机体处于缺氧状态。因此， 在研究毛细血管内氧传输的问题上，血红蛋白结合氧是必须被考虑到的内容。 3 1 2 血浆中的物理溶解氧 氧以物理的形式溶解于血浆中，继而产生一定的张力，通常我们用氧分压的 大小表示该张力的大小。一般认为毛细血管动脉端氧分压在9 0 1 0 0 m m h g 附近， 由于组织对氧的摄取和利用，毛细血管静脉端的氧分压会下降到4 0 m m h g 。物理 1 7 溶解氧占血液总氧含量的极少部分，在人体正常体温下，动脉血氧分压为 1 0 0 m m h g 时，每1 0 0 m l 血浆中以溶解形式携带的氧只有约o 3 1 m l 2 5 】。 血浆中氧的物理溶解量虽然不多，但是氧分压的大小却对人体内氧传输有着 重要的影响。当氧分压处于1 0 0 m m h g 和6 0 m m h g 范围之间时，氧分压的改变对 血氧饱和度的影响不大，只要血氧分压不低于6 0 m m h g ，血氧饱和度就可以维持 在9 0 以上，血液有较高的载氧能力，可以供给组织充足的氧，从而不会对机体 的活动造成影响；如果血氧分压下降到6 0 m m h g 4 0 m m h g ，为