（计算数学专业论文）解第一类算子方程的一种正则化方法及应用.pdf

中文摘要 中文摘要 反问题是一类由效果表现来反求原因的数学物理问题，而绝大多数反问题常常 是不适定的，造成不适定的原因在于以下两个方面：一方面，原始数据可能不属于所 论问题精确解所对应的数据集合，因此，在经典意义下的近似解可能不存在o ，另一方 面，近似解的不稳定性，即原始资料的小的观测误差可能会导致近似解和真解的严重 偏差，使其数值求解非常困难而正则化方法是解决这一不适定问题的一类有效的方 法，其基本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解 本文依据广义a r c a n g e l i 方法选取正则化参数，提出了一种求解第一类算子方程 的新的迭代正则化方法，建立了正则解的收敛性与通常的t i k h o n o v 正则化方法相比 较，提高了正则解的渐近阶估计并把它应用到实践当中去，如数值微分 关键词：反问题；第一类算子方程；不适定问题；迭代正则化方法；广义a r c a n g e l i 方法 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tc l a s so fm a t h e m a t i c a lp h y s i c a lp r o b l e m s ，i n v e r s ep r o b l e mh a s b e e nd e v e l o p e di n t oap o p u l a rr e s e a r c hd i r e c t i o n s l o v i n ga ni n v e r s ep r o b l e mi st o d e t e r m i n et h ec a u s e sb a s e do no b s e r v a t i o no ft h ee f f e c t s ，a n dm o s to ft h e ma r ei l l - p o s e d t w om a i nf a c t o r sc o n t r i b u t et ot h i s i nt h ef i r s tp l a c e ，t h eo b s e r v a t i o nd a t a p o s s i b l yd o e sn o tb e l o n gt ot h ec o r r e s p o n d i n gs e to ft h ee x a c ts o l u t i o n ，s ot h ea p - p r o x i m a t es o l u t i o nd o e sn o te x i s ti nt h ec l a s s i cs e n s e ；i nt h e s e c o n dp l a c e ，t h ea p p r o x - i m a t es o l u t i o ni sn o ts t a b l e ，t h a ti s ，t h em i n o rc h a n g e so fo b s e r v a t i o ne r r o ro fo r i g i n a l d a t am a yc a u s et h es e r i o u se r r o rb e t w e e nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na n dt h et r u es o - h t i o n t h u s ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt os o l v et h ep r o b l e mn u m e r i c a l l y b u tr e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u ei sa ne f f e c t i v em e t h o do fs o l v i n gi l l - p o s e di n v e r s ep r o b l e m s ，i t sb a s i ci d e a i st h a t ：u s i n gt h es o l u t i o no fas e r i e sw e l l - p o s e dp r o b l e mw h i c hi sa p p r o p r i a t et ot h e o r i g i n a lp r o b l e mt oa p p r o a c ht h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e m t h ep a p e rp r e s e n t san e wm e t h o do fi t e r a t e dr e g u l a r i z a t i o nf o rs o l v i n go p e r a - t i o ne q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d ，b ya p p l y i n gt h eg e n e r a l i z e da r c a n g e l i sc r i t e r i o nt o c h o o s et h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r ，w eo b t a i nt h ec o n v e r g e n c eo ft h er e g u l a r i z e d s o l u t i o n ，a n da sc o m p a r e dw i t ht i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ，t h ea s y m p t o t i co r d e ro fr e g - u l a r i z e ds o l u t i o ni si m p r o v e d t h ep a p e ra p p l i e st h e mt ot h ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，s u c h a s ，n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ；o p e r a t o re q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d ；i l l - p o s e dp r o b l e m ； i t e r a t i v er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ；g e n e r a l i z e da r c a n g e l i sc r i t e r i o n 一一 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨垄堑盔堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解墨垄堑盔堂有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授 权墨垄婆盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第1 章绪论 1 1 课题背景 第1 章绪论 数学物理反问题是一个新兴的研究领域，与传统的数学物理方程的定解问题( 通 常称为正问题) 不同，反问题研究由解的部分已知信息来求定解问题中的某些未知信 息，在很多领域都可以遇到这样的反问题【1 ，2 3 1 ，如逆向热传导问题、散射场重建问 题、数值微分等用系统论的语言来讲，正问题是由系统给定的已知输入条件去求输 出结果的问题，这些输出结果显然包含了系统的某些信息而反问题则是由输出结 果的部分信息来反求系统的某些未知信息，因此反问题在医学成像、无损探伤、气 象预报等众多领域都有着广泛的应用 与正问题相比，数学物理反问题的发展历史比较短，直n 2 0 世纪6 0 年代的中期，才 开始成为一个真正的研究领域，引起许多数学家和应用科学家的广泛重视和深入研 究产生这种现象的原因是由于反问题大都是不适定性的，而该特点也是反问题研究 的难点所在如果一个问题的解存在、唯一并且连续依赖于输入数据，我们就称该问 题是适定的，反之，我们称之为不适定的自1 9 2 3 年著名数学家h a d a m a r d 引进“问题 适定性 的概念并且提出了“只有适定的问题才是有物理意义的”这一断言以来，人 们在很长一段时间里都认为研究不适定的问题是没有任何实际意义的，从而对数学 物理反问题的研究也很少，但是随着科学技术的发展，实际应用领域也逐渐地提出了 很多不适定的问题，且急需解决，从而逐渐扭转了这种偏见例如地质勘探部门在重 力异常探矿中提出的地下波场的解析延拓问题，无线电工程上由有限频率区域上的 频域信号确定时域信号确定时域信号的问题，雷达成像中由反射波信号确定散射体 几何形状的问题，中长期数值天气预报的问题等，都是典型的不适定问题 近二十多年来，数学物理反问题已经成为应用数学中发展和成长最快的领域之 一之所以如此，很大程度上是由于受到其他学科与实际应用中产生的迫切需求所驱 动 a 1 数学物理反问题的求解现已发展了许多方法，例如广义脉冲谱技术( g p s t ) 、 脉冲谱技术( p s t ) 、蒙特卡罗方法( m o n t ec a r l om e t h o d ) 、最佳摄动量法、各种优化 和正则化方法等；其中，最为普遍适用的且在理论上最完备又行之有效的方法，就是 由著名学者t i k h o n o v 在2 0 世纪6 0 年代初创造性地提出了以第一类算子方程为基本 数学框架，后来得到深入发展的正则化方法( t i k h o n o v i e 贝j 化) 其基本思想是：用一 族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解，因此，正则化理论和方法的核 黑龙江大学硕士学位论文 心问题就是如何获得所谓的正则化算子和正则解、如何选取与原始资料的误差水平 相匹配的正则化参数 1 2 研究现状及发展趋势 数学物理反问题大多是不适定的，为了对不适定问题进行近似求解，在2 0 世纪6 0 年 代初由苏联科学院院士吉洪诺夫t i k h o n o v 以第一类算子方程为基本数学框架，创 造性提出、后来得到深入发展的正则化方法【5 ，6 t i k h o n o v 正则化方法是把原来的 问题化为求某个泛函的极值问题来讨论，这种方法有着较大的优越性，其收敛阶可 以达到d ( 6 季) 正则化方法研究的两个根本任务是正则化解算子的构造和正则化参 数的选取1 9 6 2 年，i v a n o v 提出了拟解的基本思想同是，对方程k x = 的解加上某 种先验条件使得方程的解限制在x 的某个子集vcx 中，在v 中来求解方程以消除 不稳定性对有扰动的右端项可，一般而言，不能保证在矿中有解因此我们不是去求解 方程在u 中的精确解，而是求某种“解”使得误差0 k z 一训最小1 9 6 6 年，m o r o z o v 提出了最小模解的基本思想是，如x 0 x 满足i i x o l i = 缸钏盘0 ：i l k z 一圳 6 ) ，则称z o 是方程k x = 可在偏差吓的最小模解1 9 5 1 年，l a n d w e b e r 在文献 8 】中提 出了求解k x = y 的正则化解的一种迭代算法，以迭代步数m 的倒数士为正则化 参数q ，设q o ，把k x = 可写成z = ( i a k k ) z + a k + y ，并用迭代法解此方 程，即z o = 0 ，扩= ( i a k + g ) x m - 1 + o k + 秒，m = 1 ，2 n ，正则化解的收敛阶 可以达到d ( 6 精) 1 9 8 2 年，g r o e t s c h 利用r i t z 正则化方法，即用在有限维子空间中实 现t i k h o n o v 泛函极小的元素来逼近第一类算子方程的最小二乘解，给出正则化参 数的选择方法，并给出正则解的收敛阶及渐近收敛阶估计【9 】 我国也在2 0 世纪8 0 年代初有众多学者开始开展对反问题的解法研究1 9 8 9 年，程 晋对第一类f r e d h o l m 积分方程的近似求解问题，讨论了一种改进的t i k h o n o v 正则化 方法，在正则化参数的适当选取下，给出了正则化解的收敛阶估计【1 0 1 1 9 9 7 年，杨宏奇， 侯宗义提出了解第一类算子方程的新的正则化方法【1 1 】，即取使泛函| i p ( 2 一y 6 ) i j 2 + 口l l x l l 2 极小化的值z a 6 作为”y 的近似值，与通常的t i l 【h o n o v 正则化方法相比较，提高 了正则解的收敛阶2 0 0 2 年，韩波，刘家琦，后步风在文献【1 2 】中介绍了非线性不适定 算子方程算子与右端项皆有扰动的l a a d w e b e r 迭代法2 0 0 5 年，黄小为，吴传生，朱华 平介绍了求解反问题中不适定问题的t s v d 正则化方法，给出了t s v d 正则解的误 差分析，给出了正则参数的先验选取，并通过正则参数的先验选取证明了正则解的误 差具有渐近最优阶【1 3 1 2 0 0 6 年，罗兴均，陈仲英提出了一种新的解第一类算子方程的 一2 一 蔓! 童鳖迨 迭代正则化方法，与通常的迭代正则化方法相比，提高了歹次迭代正则解的渐近阶估 计【1 4 1 自2 0 世纪6 0 年代以来，在材料科学、地球物理、遥感技术、生命科学、信号处 理、工业控制、模式识别、乃至经济决策等许多的科学技术领域中，都提出了搿由结 果( e f f e c t ) 反求原 园( c a u s e ) 的反问题，通称“数学物理反问题( i n v e r s ep r o b l e m so f m a t h e m a t i c a lp h y s i c s ) 由于数学物理反问题有着广泛而重要的应用背景，其理论 又具有鲜明的新颖性与挑战性，而求解数学物理反问题的正则化方法也随之发展起 来，吸引了国内外许多学者从事正则化方法的研究，目前已有的文献对正则化方法 的研究大多集中在线性不适定第一类算子方程的正则化泛函、正则化次序、正则化 参数的选取，提高正则解的收敛阶以及实际应用等方面但在实际生活当中，我们大 多遇到的是非线性不适定问题，因此，对非线性不适定问题求解方法的研究也是以后 人们研究的方向由于正则化方法的研究历史比较短，加之实际问题的复杂性，增加 了构造正则化方法的难度，许多工作在理论计算和实际应用上今后都需要进一步的 研究和探讨 1 3 课题研究的目的及意义 本文主要研究的是求解不适定问题的正则化方法，在许多的实际问题中，都会 遇到应用正则化方法去求解数学物理反问题例如：病态线性方程组的求解【1 5 1 ，光学 信号处理、谱估计和地震勘探数据处型1 6 卜【2 3 1 ，解逆向热传导问题【2 4 1 ，数值微分问 题【2 5 ，散射场重建问题【2 6 设t 是由h i l b e r t 空间x 到h i l b e r t 空间y 的一个紧的线性算子，则由t x = y 求解z x 通常是不适定的很多的数学物理反问题都可以化为这类算子方程 的求解问题本文的目的就是要构造出解第一类算子方程t x = 可的新的正则化方 法，并把它应用到实践当中去，如数值微分问题等，由于数学物理反问题的逐渐的发 展，正则化方法也越来越引起人们的关注，并逐渐成为不适定问题研究的热点问题，从 数学理论上对正则化方法的研究将对工程、物理应用有着重要的指导意义 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章不适定问题的概述 为了论文的完整性以及读者阅读的方便，我们在本章粗略地描述不适定问题正 则化方法的基本知识此部分内容引自【2 8 f i t 3 2 2 1 适定问题和不适定问题 在应用数学方法研究具体的实际问题时，首先需要给出物理现象的数学描述，即 建立适当的数学模型所谓“适当的模型 ，在经典意义下应满足下述三个条件： ( 1 ) 该模型的解是存在的，即它确实描述了一类现象； ( 2 ) 该模型的解是唯一的，即它描述了确定现象； ( 3 ) 该模型的解对输入数据是稳定的，即解对数据的误差应该是连续变化的 这就是数学大师h a d a m a r d 在1 9 2 3 年提出的著名的问题的适定性的概念人们 在很长一段时间内都认为只有适定的问题才有实际意义，才具有研究价值，尤其是第 三个条件，因为在实际的物理模型中，输入数据的测量误差和计算误差总是不可避免 的如果模型的解不连续依赖于输入数据，则我们通常认为这样的模型不能正确地 描述物理问题 但是，随着科学技术和实际应用的发展，人们逐渐发现很多描述自然现象的实际 模型由于某些实际条件的限制而不能满足上述三个条件，这就是所谓的不适定问题 2 1 1 问题适定性 数学大师h a d a m a r d 在1 9 2 3 年提出了适定性的概念【2 0 ，他认为一个数学物理问 题，如果满足如下三个条件，则称为适定的： ( 1 ) 问题的解存在； ( 2 ) 问题的解唯一； ( 3 ) 问题的解连续依赖于定解条件 反之，称为不适定的显然，从适定性概念中，我们可以看出，解的存在性和唯一 性都依赖于解的输入数据( 定解条件) ；而解的连续依赖性则取决于解空间的拓扑结 构适定性的严格数学定义如下 定义2 1 1 【2 8 】设t ：x _ y 是赋范空间x 到赋范空f 1 y 的一个算子，方程 t x = y 4 第2 章不适定问题的概述 称为是适定的，如果t 是一一对应的并且逆算子t 1 ：y x 是连续的否则称为是 不适定的 2 1 2 反问题与不适定问题 提到反问题，很难给出它的一个明确的定义美国斯坦福大学数学教授j b k e l l e r 在1 9 7 6 年提出【2 9 】：一对问题称为是互逆的，如果一个问题的构成( 已知数据) 需要另 一个问题解的部分信息把其中一个称为正问题( d i r e c tp r o b l e m ) ，另一个则称为反 问题( i n v e r s ep r o b l e m ) c w g r o e t s c h 在文献 s o l 的一开篇就指出，反问题是很难定 义的如果正问题是由输入来确定输出，或者由原因来求结果，则反问题就是由已 知的部分结果来反求原因而反问题和不适定问题的联系主要表现反问题大多数都 是不适定的，这种不适定性主要体现在两个方面：( 1 ) 由于实际客观条件的限制，反问 题中的输入数据往往是欠定的或者是过定的，这就会导致解的不唯一性或者不存在 性( 2 ) 反问题的解对输入数据往往不具有连续依赖性由于输入数据中存在着不可 避免的测量误差，这就迫使人们必须提出由扰动数据来求反问题近似解的稳定的方 法因此，从上述意义来讲，反问题和不适定问题是紧密联系在一起的下面我们给出 一个不适定问题的例子，如逆时热传导问题： ( z ，t ) ( 0 ，1 ) x ( 0 ，t ) ， z 【o ，1 】， ( 2 1 ) t 【0 ，卅 也就是已知亡= t 时刻的温度分布u ( z ，2 。) = ( z ) ，采求取以前物体的温度分布令 ( z ，印= 九( z ) = 万1s i n 罕，七 o 问题( 2 1 ) 相应的解为 ( 叫) = 万1s i n 罕e ( 竿九_ 七 o 当佗- + 0 0 时 黼i 九( z ) i2 万_ o ， 但是对于t o 称为是式( 2 2 ) 的正则化 解算子( r e g u l a r i z a t i o ns c h e m e s t r a t e g y ) ，如果它满足 口l i 枷m 心死= z ( 2 5 ) 对所有的z x 成立，a 称为正则化参数 定理2 2 1 2 1 2 a 设d i m x = 0 0 ，t ：x 叶y 是紧算子，r 。是t 一1 的正则化算子，则 ( 1 ) r 关于q 不是一致有界的即有序列吩_ + o 使得歹一0 0 时0 如0 _ o o ( 2 ) q _ o 时i i r 一川一。不成立 一6 一 第2 罩不适定问题的概述 根据正则化算子的定义，当右端可是精确数据时，即可= t x ，显然，正则化解风可当 q _ o 时收敛于精确解z ，当右端数据不精确时令y t ( x ) 是右端的精确数据，而矿 y 是满足式( 2 3 ) 的误差数据，令 扩，6 = 凡矿 是由扰动数据y 6 构造的儿= y 的精确解z 的近似值：有估计式 0 z 6 一z 0 i i 兄y 6 一吼可l l + i i 兄可一z i l 0 吼i 秒5 一引l + i r q t x z 0 引l 凡l i + i i p h t x z 0 由上式我们看出误差可以分成两部分：前一项是输入数据的误差j 0 产生的解 的误差，但它被正则化算子的模l i 心i l 放大了后一项表示正则化算子兄逼近不连续 算子t _ 1 在精确右端数据y 处产生的误差i j ( 心一t ) y l l ，由定义2 2 1 1 , - 知，当q _ o 时它趋于o 由定理2 2 1 2 可知，对任何给定的巧 o ，当口_ o 时删心i i _ o o 因此正 则化参数口的选取必须保持某种平衡一方面要求o t 不能太小，因为近似解对输入数 据的误差石 0 稳定性要求需要0 见i i i 彳艮小；另一方面要求o t 越小越好，因为正则化算 子如对不连续算子t 1 的逼近性要求l i ( 心一t _ 1 ) 训很小因此求解不适定方程的正 则化方法的基本问题是，如何选取a = q ( 万) 使得 刮如0 + i i r 。t x z i i 极小化，且j _ o 时有列凡l l + l i 忍儿一z 0 _ o 解决该问题的基本方法就是用q 分别来估计0 冗口0 和0 见乳一z 0 以得到误差的 界5 b l ( o t ) + b 2 ( 口) ，再以q 为自变量，极小化函数5 b l ( a ) + 6 2 ( 口) 确定口= q ( 6 ) ( 需要精确 解的先验估计) ，并且该极小化函数在6 0 时也趋于0 定义2 2 1 3 2 8 】正则化参数的取法q = 0 f ( 6 ) 称为是允许的，如果在6 _ o 时， q ( 6 ) _ 0 ，s u p l l r , ，( , ) y 6 一z 0 ：i i t z 一可6 i l 6 ) _ o z 义 都成立 2 2 2t i k h o n o v 正则化方法 t i l 【h o n o v 正则化方法是一种理论上最具完备而在实践上行之有效的方法【硼， 对非线性方程【5 1 1 ： t ( x ) = y ( 2 6 ) 黑龙江大学硕士学位论文 其中t ：d ( x ) x _ y ，x ，y 是h i l b e r t 空间设矿是方程( 2 6 ) 的z o 最小距离解( 即当 方程死= y $ i 解不唯一时，矿是与x o 有最小距离的一个解) 与i 入以下t i k h o n o v 泛函： 妒口( z ) = 0 y 6 一t ( z ) 0 多+ a i i z z 1 1 支 其中q 0 ，怕一y 6 0 j ，x o 是解z 的一个初始猜测值我们把泛函( z ) 的全局极 小z ：作为矿的一个近似解当选取恰当的q 时，我们就可以把z 墨看作是z + 的一个很 好的近似 下面给出一些关于t i k h o n o v 正则化方法的已有定理： 定理2 2 2 1 2 8 】设x ，y 是h i l b e r t 空间，t ：x y 是有界线性算子，则 ( 1 ) ( z ) 在x 上存在唯一的极小元矿； ( 2 ) x a x 满足 口z q + r t x 口= t * y 定理2 2 3 1 2 s 1 设t ：x - y 是紧线性算子，q 0 ( 1 ) ( a i + p t ) 是有界可逆的，心：= ( q ，+ p t ) - 1 t ：y _ x 是n = y 的一个 正则化解算子，i i r 。i i 云杀对应于近似的右端数据矿，t x 5y 的t i k h o n o v 正则化 解z 口，6 = 可6 由 o l x a ，6 + r n q ，6 = t * y 占 唯一确定正则化参数o t = q ( 6 ) 只要在6 _ 0 时满足 船 q ( 6 ) 训，南训 就是允许的取法 ( 2 ) 设z = t z t * y ，i e 则取q ( 6 ) = c z e 时，有估计 忪叫n 占刊l 圭( 去+ 侗何 ( 3 ) 设z = t t z p t ( x ) ，l i z l l e ，则取a ( 6 ) = c ( 6 e ) 2 3 时，有估计 彬d 万一z i i ( 壶+ c ) e “3 6 2 卢 关于非线性算子赃比较弱的条件限制下t i k h o n o v 正则化方法的收敛性可参 见文献 5 2 1 2 2 3 正则化参数的选取 我们在用正则化方法求解不适定问题时，选择合适的正则化参数是非常重要的【5 3 1 关于正则化参数如何选取，到目前为止：还没有通用的正则化参数选取方法但人们 一8 一 第2 章不适定问题的概述 经常使用的正则化参数的取法有先验的和后验的两种方式先验取法基于精确解的 光滑性条件，这实际上是很难预先给出的，故基于数据误差水平信息和误差数据本身 的后验取法更为实用 下面给出t i k h o n o v 正则化参数最小模解的选取方法 最小模解是由m o r o z 凹在1 9 6 6 年引进的确定t i k h o n o v 正则化参数的一种后验 取法，称为m o r o z o v 偏差原理，现已被众多人所采用m o r o z o v 偏差原理的基本思想是： 对y t ( x ) 的满足 0 矿一v l l 6 i l y 6 0 的扰动数据矿，选取a 使得 z 口，6 = ( o d + r t ) 一1 r 矿 满足 l i t x q 5 一y 6 l l = 石 即计算误差与原始数据资料的误差水平一致我们把满足这一条件的z 口，6 称为最小 模解，对这样的q 有 i i 一6 = i i i i t x , - , , 6 - - y 6 临i i t , 6 1 1 = 扣盯( 矿一t 护6 ) i i 巧时， 口( 1 l y 占0 一万) i i t i l 2 6 这就是按m o r o z o v 原理选取的正则化参数a 应该满足的条件正则化参数的选取方法 还有很多，具体见文献【3 2 】 下一章我们将依据广义a r c a n g e l i 方法选取正则参数，提出了一种求解第一类算 子方程的新的迭代正则化方法 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章解第一类算子方程的一种迭代正则化 方法 3 1 引言 在许多数学物理问题的研究中，都需要求解第一类算子方程7 k = y ，其求解一般 是不适定的【5 4 】 【5 7 1 这类不适定问题的解法，有不少的学者进行过研究，a n t i k h o n o v ， m a m o r o z o v ，c w g r o e t s c h ，h w e n g l 等曾研究过右端为近似的第一类算子方程t x = 矿的稳定近似解的构造及其性质但大量的实际问题是算子t 及其右端y 都是近似 给定的，记作靠及y 6 关于这类问题的正则解的构造及其收敛性分析，文献 5 8 ，5 9 的作 者进行过研究，在 6 0 e 作者构造了一种新的正则化方法，取z a ，6 = ( a i + 砰) 一言耳矿 ( t h = 霸t h ) 作为”的近似值，在t r y r ( ( p 7 ) ( o 7 2 ) 的假设下，得到了正 则解的渐近阶估计是d ( ( 6 + ) 詈) ，并且是最优的本章指出，更高阶的渐近阶估计可以 用迭代方法获得 本章结构如下：首先建立迭代正则化方法，占= ( 口j + ( p t ) 2 ) 一z 1l _ 可十a z l 吒 - - 。5 i ) ， 然后依据广义的a r c a n g e l i 方法来选择正则化参数，证明了正则解的收敛性，并在一y r ( p ) 的条件下，在只有右端y 近似给定，即7 k = y 6 的情形下，得到了迭代解渐近阶 估计为d ( 6 煮) 在算子t 和右端! ，都为近似给定，即t h x = y 6 的情形下，得到了迭代解 渐近阶估计为d ( ( 6 + 危) 肃) 与文【6 0 】中结果相比，提高了收敛阶为了与文【6 0 】中结论相对比，本章采用了与 他们相同的记号和书写结构 3 2 迭代的正则化方法 设x ，y 为实的h i l b e r t 空间，t ：x _ y 为紧线性算子，考虑第一类算子方程： ，。z = 秒 由于实际问题中，右端y 都是近似已知的，代替方程( 3 1 ) ，我们考虑方程 t x = y 6 ， 这里t 是紧线性算子：y 6 满足 一y 6 i l 6 o 是参数为了方便起见，记亍= t t ，于= 刀 定理3 2 1 设计秒r ( 开) ( o 7 歹) ，则刊i 。6 一卵训c 1 q 吾+ c 2 如一砉， 这里c 1 为正常数，c 2 = j 证明：令g = q 孚( ( p t ) 2 + q ，) 一 p ，仇( z ) = q i - 。1 、。2 + 口，) 一；，则i l g i i i c i 俑，这里， c = m a x i t g , ( t ) i ：t 【0 ，i i t i l 2 】) ，r ( q ) = m o z i 夕t ( 亡) 1 t 【0 ，i i t i l 2 】) ， 作变换t = 玩，则 c 4 = m a x l u ( 1 + u 2 ) 一砉l 1 ， j g t ( t ) l = a - 墨j ( 1 + t 上2 ) 一 i q 一； 于是，7 ( 乜) a - ，i i c t ( q ) i l c i x 丽乜一 由于 j j l ，6 - 4 1 1 = o a 孚( ( r t ) 2 + q ，) 一；r ( 矿一v ) l l 忙警( ( r t ) 2 + q ，) 一 r i = l i = l 从而 0 ，6 一0 歹6 q 1 另一方面，令t r y = 开，锄x ，0 0 0 - - h 1 1 证明：( 1 ) 假设存在一序列 如) ，晶_ o ( n _ + o o ) ，但：= ( 以) _ + o o ，v 歹 n ：则有 0 = n 醒= n q 轨( q n ) = + ， n o 十n _ 十 一 这就得出了矛盾，因此是有界的 再假设存在一序列 如) ，矗_ o ( n _ + o o ) ，但：= 哟( 矗) 一咖 o ( n 一 + o 。) ，坳n ，则有 o = n 醒= n q ：所( 口n ) = 粥i i 口言( 咖，+ 于) 一 t * y l l 2 黑龙江大学硕士学位论文 故t 矽= o 这与( 3 1 3 ) 矛盾，故 溉( 6 ) = o ，巧n ( 2 ) 由的定义及引理3 3 1 可知 哟一l ( 6 ) 9 乃( 哟一1 ( 6 ) ) 哟一l ( 6 ) 2 乃一1 ( 一l ( 6 ) ) = 矿= ( 6 ) 口乃( ( 6 ) ) 由a 口乃( a ) 关于q 的严格递增性可知： 一l ( 6 ) ( 6 ) ，6 o ，坳2 口 引理3 3 3 当g 扣时，则 l 舰j 町i ( j ) = o ，坳n 证明： 当歹= l 时，有( 6 q f 萱( 6 ) ) p = 矿q f 2 q ；一言= p 1 ( a 1 ) a 由于口三及引 1，口一， 理3 3 1 可知 1l 当j 1 时，6 町i 6 口f i ，故 l i r a & h i ( 6 ) = 0 ， u v 、 。 l 嬲6 町i ( 占) = o ，坳n 口 定理3 3 4 设哟= 哟( 6 ) 是方程( 3 1 2 ) 的解，则 证明：由定理3 2 1 可知， 舰毛，产一秒 1 l e 2 , 。6 一f 圳 c 1 q 壬+ c 2 6 q 一 ， 由引理3 3 2 及引理3 3 3 可知，上式右端当6 _ o 时也趋于0 故有 舰毛，严f y 口 引理3 3 5 设歹2 ，0 o 再由引理3 3 3 可得结论成立口 定理3 3 6 勘：口，歹满足引理3 3 5 的条件，t r y r ( 予) ，则存在常数q ，q o ，使 得当5 充分小时 c 1 矿( 6 ) 一q jsq 证明：设存在t l ，x ，使得才秒= 参伽因为有( 3 1 3 ) ，故加o 不失一般性 设叫( 亍) 上由 j = q 孚( q j + 产) 一；r y i = 1 易知 吃一噶1 = 矿( 哟j + 于) 一；r ：吗- ：- 1 ( j + 于) 一灯哆扎 故 溉。矿( 吃一呓1 ) 1 1 = 1 1 而1 1 ， 由于 1 1 4 , ，s 一呓二一( 吃一噶1 ) 1 1 l i 毛，s 一- t 3 ：j i i + l i 呓二一呓1 0 歹6 丐言+ o 一1 ) 6 町专 2 j 5 丐i 且 l i m5,lim 2 矿= r i m5 a 尹= l i m ( 5 4 文，一巧) k06-*0 6 - - * 0 i q =啕) ： jj 6 _ o ， 7 故 舰。矿( 毛，5 一嗡 - 圳1 = i i t 一伽i i o 于是扩( 6 ) 一口一= 扩町口町= 乃( ) - 町j = i i 矿( 噶一噶1 ) 0 2 _ 1 1 1 1 2 ( 6 一 o ) 于是，存在常数g ，岛 o ，使得当6 充分小时，c 1 扩( 6 ) 一口一j 岛口 定理3 3 7 对每一个j o 及矿k 满足怙一纠i 6 设；，6 是，0 2 ) 次迭代 正则解，是方程( 3 1 2 ) 的唯一解，并假设( 3 1 3 ) 成立，p ，q ，j 满足关系式：；( 巧+ 1 ) 一j = g ，f r ( t j ) ( j n ) ，则l i ，占一t y l l = d ( 6 貉) ( 6 _ o ) 证明：由定理3 3 6 可知： 6 ：o ( ) ，：d ( 6 南) ( 3 1 4 ) 当p ，q ，j i 满足关系式：( 巧+ 1 ) 一j = q ，我们可以知道6 q 一 = o ( 6 蒜) 和a ： d ( 巧鼎) 所以0 旌5 一p 训c 1 q 壬+ c 2 如一 d ( 6 希) 另一方面，如果她一 = 黑龙江大学硕士学位论文 o ( 6 貉) 和q ；= o ( 6 希) ，那么我们也很容易证明p ，q ，歹足关系式：2 ( 勿+ 1 ) 一歹= g 因此，由定理3 2 1 可得i i 吃，6 一t t ! ，l l = d ( 6 蒜) ( 6 _ o ) 故结论成立i - - i 3 4 算子及右端都是近似给出的情形 设x ，y 为实的h i l b e r t 空间，t ：x _ y 为紧线性算子，考虑第一类算子方程： t x = ! ， ( 3 1 5 ) 由于实际问题中，算子卿右端y 都是近似已知的，代替方程( 3 1 5 ) ，我们考虑方程 t h x = y 5 ，( 3 1 6 ) 这里靠( o ) 是紧线性算子，矿和死满足 i i v y 6 l i 6 o ，则存在不依赖于口，h 的常数c i 0 使得 1 1 2 h ( 口i + p ) 一( a i + 露) 2 1 1 c i 证明：用数学归纳法不难证明若把a ，磊分别换成z 于，结论也成立口 引理3 4 3 设歹n ，q ，6 ，h 0 ，则存在不依赖q ，正 的常数a ：a l ，使 0 ，6 , h 一吒，6 0 a ( 6 + ) q 一 第3 章解第一类算子方程的一种迭代正则化方法 若计y r ( 哥) ，则l l ，玩 一，5 0 4 1 ( 6 + 危) q 一 证明：为了方便起见，记 d = 忙警耳( a j + 露) 一1 1 ， d 2 j = i i ( q x + 争) 一( 0 f j + 露) i l ， d 3 j = 1 1 ( q i + 字) 一言t i i i l p v l l 由于 ，j 矗，砧一，6 = q 丁i - - 1 ( ( 霸霸) 2 + q ，) 一砉露矿一口警( ( r 2 + q j ) 一r 矿 i - - - - 1i = l j = q 孚【( 口，+ 露) 一砉霸一( 口，+ 产) 一 t l ( g - 可) i - - - 1 ， + a 孚露【( q ，+ 露) 一言一( 口j + 宇) 一；】秒 t = l j + a 丁i - - 1 ( 耳一r ) ( a ，+ 字) 一吾y i = 1 由引理3 4 1 及引理3 4 2 可得 彳 3 i i ，帅一，6 0 歹( 6 + ) q 一；+ ij d ”osa ( 5 + h ) o t 叫 t = 1k = l 这里，a 是不依赖于q ，6 ，危的常数，若卵可r ( 予) ，令卵y = 咖伽重新估计 j3 l 陬t o i = 1k = l 则 j3 l l 点j l 一, 6 1 1 歹( 6 + ) q 一 + nl l d w | i a 1 ( 5 + 危) 口一 i = 1 七= 1 这里，a 1 是不依赖于a ，石，l 的常数，引理证毕口 定理3 4 4 设q ：5 ：h o ，卯暑r ( 声) o n ) ，则存在常数a 2 o ，q o 使得 0 一t * 可i i a 2 ( 石+ ) a 一 + 岛q ； 证明： l i ，砧一p 圳= i l 矗，趴，5 l l + i i ，6 一t ) v l l a 1 ( 6 + h ) a + c l a 墨十c 2 6 q 一 a 2 ( 6 + h ) a + 岛q ；口 3 5 正则化参数的选取及误差估计 令r = ( 铲+ 2 ) 吾， 办( q ) ：= 0 陋吾+ ( q ，+ 露) 】- 1 露鼬一耳矿1 1 2 歹= 1 ，2 ，3 ，( 3 2 1 ) 引理3 5 1 下列结论成立： ( 1 ) 对所有的歹n ， 觋乃( q ) = o 一l i m 丹( 口) = 懈矿i i