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学位论文独创性声明 本人承诺:所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加 以标注和致谢的地方外,不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果,其他同志的 研究成果对本人的启示和所提供的帮助,均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名塞兰窒一 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定,及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘,允许论文被查阅和借 阅。本文授权辽宁师范大学,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 并进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文,并且 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名:塞羔至指导教师签名:学位论文作者签名:垫丕玉指导教师签名: 签名日期:2 汐 年乡月日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 在优化问题研究中,目标函数的性态决定了问题中解的存在与否,回收锥与 回收函数的相关结果为函数的性态的刻画提供了有效地工具。本文首先是对 r o c k a f e l l a r 和冯德兴的凸分析中的回收锥、回收函数与函数的性态问题的讨论, 从而给出了回收函数在无约束集合和约束集合上是否取得的极小值的一些相关 结论。本文分两大部分进行讨论,第一部分包含两章内容主要是将r o c k a f e l l a r 和冯德兴的凸分析中所介绍的回收锥、回收函数与函数的性态的性质及相关定理 进行了整理归纳。 第二大部分首先是研究正常凸函数的回收函数,并讨论了正常凸函数的回收 方向与极小值之间的关系,得到了函数的性态及极值存在性的刻画,并借助回收 方向得出了该函数在无约束集合和约束集合上是否取得的极小值的一些相关结 论及其证明。 关键词:回收方向:水平集:回收函数:极小值 f u n c t i o n sr e l a t e dr e s u l th a sp r o v i d e dt h ee f f e c t i v et o o lf o rt h ef u n c t i o nc o n d i t i o n s p o r t r a y i nt h i s a r t i c l e ,w e 缸s ti n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no fr e c e s s i o nc o n ea n d r e c e s s i o nf u n c t i o ni nc o n v e xa n a l y s i sw r i t t e nb yr o c k a f e l l a ra n df e n gd e i x i n g ,s ow e o b t a i ns o m ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n sa b o u tt h ee x i s t e n c eo ft h i sm i n i m a lv a l u eo n c o n s t r a i n ts e ta n du n c o n s t r a i n ts c t w ea l ed i s c u s st w o m a i np a r t si nt h i sp a p e r ,i nt h e f i r s t p a r tc o n t a i n st w oc h a p t e r s ,a n dt h ep r o p o s i t i o n so fr e c e s s i o nc o n e s ,r e c e s s i o n f u n c t i o n sa n dp r o p e r t i e so ff u n c t i o n si nr o c k a f e l l a la n df e n gd e i x i n g s c o n v e x a n a l y s i sa l es u m m a r i z e d i nt h es e c o n dp a r t ,b ys t u d y i n gt h er e c e s s i o nf u n c t i o n so ft h ep r o p e rc o n v e x f u n c t i o n , w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e c e s s i o nd i r e c t i o no fp r o p e rc o n v e x f u n c t i o na n di t sm i n i m a lv a l u e a n dw ec h a r a c t e r i z et h ep r o p e r t i e so ft h ef u n c t i o na n d t h ee x i s t e n c eo fi t sm i n i m a lv a l u e a tt h es a m et i m e ,w i t ht h eh e l po fr e c e s s i o n d i r e c t i o nw eo b t a i ns o m ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n sa b o u tt h ee x i s t e n c eo ft h i s m i n i m a lv a l u eo nc o n s t r a i n ts e ta n du n c o n s t r a i n ts e t k e yw o r d s :r e c e s s i o nd i r e c t i o n ;l e v e ls e t ;r e c e s s i o nf u n c t i o n ;m i n i m a l v 甜u e i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 绪论1 1 1 问题简介1 1 2 问题的提出及研究现状1 1 3 本论文的主要工作与文章结构2 2凸集、回收锥的基本理论4 2 1 凸集和凸锥的基本概念4 2 2 回收锥的基本理论5 2 2 1 回收锥的定义5 2 2 2 回收锥的性质6 3 凸函数与回收函数的基本理论8 3 1 凸函数的闭包8 3 2 回收函数的基本理论9 3 2 1 回收函数的定义1 0 3 2 2 回收函数的性质1 1 3 2 3 强制性的定义及性质1 2 3 3 凸集的支撑函数1 5 3 4 凸函数的极小值问题1 9 4 回收锥、回收函数与函数的性态2 3 4 1 引言2 3 4 2 回收函数的特征与函数极小值的关系2 3 4 3 约束优化问题极值的刻划2 6 结论2 8 参考文献2 9 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 0 致谢3 1 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 问题简介 运筹学与控制论是- 1 7 实用的学科,在从事系统与控制研究的学者们往往用 它来解决一些比较实际的问题,例如人力资源的最佳分配方案问题,最优的行驶 路线问题等等,越来越多地与人们的实际生活密切相关。计算机运算能力的提高 及高科技的飞速发展,很多优化的实际问题都得到了解决。在社会的各个领域中 应用都非常的广泛,随着科学的发展与社会的进步,该学科越来越活跃,也逐步 完善起来,对我们社会的管理和建设也有非常重要的意义。 函数的上图与极值之间存在着某些关系,利用回收方向与回收函数来研究他 们之间的关系,研究凸集的回收锥、回收函数来刻画函数的性态及极值的条件。 本论文主要是研究正常凸函数的回收函数,并讨论了正常凸函数的回收方向与极 小值之间的关系,得到了函数的性态及极值存在性的刻画,并借助回收方向得出 了该函数在无约束集合和约束集合上是否取得的极小值的一些相关结论。 1 2 问题的提出及研究现状 凸分析是非光滑分析的基础,而在凸分析中凸集有重要的意义,许多问题都 可归结为凸优化问题来解决,而回收锥对于解决凸集的无界性问题起了很大的作 用。在1 9 7 9 年,r o c k a f e l l a r 为了更好的刻画“无穷远处”而正式提出了回收 锥的概念,然后又将结果推广到函数时引进了回收函数的概念。回收锥的概念最 初用来研究凸集和凸函数,后来推广到非凸集合,可以用来研究非凸优化问题的 稳定性。r o c k a f e l l a r 为在凸分析中讨论的是凸集和回收锥,1 9 7 4 年,r o b e r t , a a b r a m s 利用集合的回收锥、回收函数讨论了最优性条件,使其关系更加简单 明了,1 9 7 9 年g e r a l db e e r 研究了非凸集合的回收锥和增函数,1 9 9 0 年黄学祥 推广了r t r o c k a f e l l a r 关于凸集和凸函数的回收锥和回收函数的一些结果, 2 0 0 1 年,w t o b u c h o w s k a ,k g m u r t y 利用了回收锥研究了凸函数的无界性,并 给出了一些很重要的结论。 有界性在平常生活中很容易直观的想象出来,而无界性在各个领域中的应用 也非常的广泛,我们考虑函数在无约束集合和约束集合上是否取得的极小值的问 题。 考虑无约束最小化问题,假设厂:尺”寸( 一,+ 是一正常凸函数,要解决 回收锥、回收函数与函数的性态的刻画 q = 砒 ( x ) 卜r ”) 先考虑最优解的存在性问题。如果对某一九 a ,f 在水平集 l e v x f = xif ( x ) 九 上可以取到最小值,则其最优解是与其一样的,假定对一九,抬1 ,丸厂是有界的, 则冶v 九其最优解集是非空的。 考虑极小化问题 m i n f ( x ) i x r ”) , 这里函数厂:r ”一( - - o o ,佃 是正常凸函数,假定对所有的x r ”,f ( x ) 都取有 限值。若f ( x ) 的最小解集合是- - 0 0 ,则该问题是下无界的,若函数f ( x ) 有有限 的下确界沿某些半直线却达不到,该问题是有最小化轨道,可见文献5 1 。 自上世纪9 0 年代后,学者开始研究无界性的各种问题,并出现了大量的研究 成果。首先是黄学祥推广了r t r o c k a f e l l a r 关于凸集和凸函数的回收锥和回收 函数的一些结果”。1 9 9 1 年k g m u r t y 研究了函数的无界性引。2 0 0 4 年w t o b u c h o w s k a 研究了函数极小值的最小化轨道问题【5 1 。a ls u t t a n , p m c a m e r i n n i ,s g c h u n g 讨论了函数的无界性m 】。1 9 9 3 年,a u s l e n d e ra , c o m i n e t t ir ,c r o u z e i xgp 研究了无界水平集的凸函数和对偶理论的应用4 】。 1 9 9 7 年,a u s l a n d e r 讨论了如何处理优化问题中的无界性。 回收锥及回收函数在研究函数在无穷远点的变化性态及极值问题中起到了 重要的作用。早在2 0 0 1 年,k g m u r t y ,w t o b u c h o w s k a 利用这些性质就讨论 了凸函数的无界性和回收锥:在2 0 0 4 年,w t o b u c h o w s k a 又利用这些性质研 究了函数极小值的最小化轨道问题,但这些研究都是在可微凸函数基础上研究、 的,张华又将其推广到了不可微的情形,并应用到了凸函数的无界性中。由此可 见回收锥及回收函数在研究函数在无穷远点的变化性态及极值问题的研究与应 用越来越重要。 1 3 本论文的主要工作与文章结构 本论文主要研究回收锥、回收函数与函数的性态。因为r o c k a f e l l a r 的凸分 辽宁师范大学硕士学位论文 析是第一次正式提出了凸集的回收锥、回收函数的概念及其性质,关于这些知识 该书也比较全面,首先对其做了较全面的整理归纳。第二章主要是通过收集资料 整理出凸集、回收锥的基本理论,第三章主要是将回收函数及其函数的性态一些 重要结论较全面的整理出来,方便研究的应用。 w t o b u c h o w s k a ,k g m u r t y 于2 0 0 1 年研究了回收锥和函数的无界性; p m c a m e r i n i ,k g m u r t y 于1 9 9 1 年讨论了检测函数的无界性;张华在2 0 0 9 年写了回收锥与回收函数的某些理论及应用的文章。第四章是在这三篇文章的基 础上,本文将借助回收方向得出了凸函数在无约束集合和约束集合上是否取得的 极小值的一些相关结论。最后对本论文进行了总结与对未来的展望。 回收锥、回收函数与函数的性态的刻画 2凸集、回收锥的基本理论 从1 9 世纪后,在人们的努力下,最优化方面迅速发展并取得了很大的成就。 其代表有r o c k a f e l l a r ,本部分主要介绍r o c k a f e l l a r 凸分析中凸集、回收锥的一些 理论与性质。 2 1 凸集和凸锥的基本概念 凸集是凸分析研究对象的基础,主要介绍刀维空间上凸集的概念。 定义2 1r ”中的一个子集c 称为凸的,是指包含连接其中任意两点的线段, 即可表示为( 1 一九) x + y c 争( 1 一九) c + 九c c c ,v x ,y c ,v 0 九1 。 由凸集的定义可以得到如下结果: 1 任意多个凸集的交集仍是凸集。 2 设,是任意指标集,对于每一个指标i i ,给定匆r ”和p ,r ,则集合 c = x r ”i p ,j v i i ) 是凸集。 3 为了子集ccr ”是凸集的充分必要条件是c 包含其中向量的一切凸组 厶 口o 4 给定任意的集合ccr ”,凸包c o n v c 是由c 中元的所有凸组合组成的集 厶 口。 定义2 2 t 1 1若r ”中的集合c 满足九x c ,v x c ,v 九 0 ,则称c 为锥,若 c 还为凸集,则称c 为凸锥。 定理2 1 t 2 1 集合ccr ”为凸锥的充分必要条件是 九x + p y 七,v 九,p 0 。 定理2 2 t 2 1设集合ccr ”为凸集,则任意连接c 的闭包c l c 中的点和c 的 相对内点的线段的相对内点都是c 的相对内点,即对于x 。c l c ,x 。c ,则有 辽宁师范大学硕士学位论文 x ( z ) = ( 1 一z ) x o + 九而r i c ,v o 0 ) 且y o ,y r ”,称y 就是 该半直线的一个方向,直观看一条半直线的方向与起点x 的选取无关,两条平行 的半直线就有相同的方向,因此当两个方向相差某个正数倍时,就认为它们有同 一方向。 设c 是r ”中的一非空凸集,对任意的x c ,c 包含从x 出发沿y 方向的半 直线,x + z y c ,v 九0 ,v x c ,y r ”,y 0 ,则称y 为集合的回收方向。 定义2 3 t 2 1 设c 是r ”中的一非空凸集,c 的所有回收方向加上零向量构成 的集合称为c 的回收锥,记作0 + c ,则o + c = y k + z y c ,x c ,九0 ) ,( 由此可 见有界凸集的回收锥只有零向量组成。) 定理2 5 t 2 1设c 是r ”中的非空凸集,则回收锥0 + c 是包含原点的一个凸 锥, 且有y o + c c + y c 。 回收锥、回收函数与函数的性态的刻画 举几个例子: 例“- = 亏2 ) 隅 o 岛孝) , c :二 ( 亏l ,芎2 ) 增) c 3 = l ,亏2 ) l 号1 2 + 毛2 2 1 ) , c 4 = ( 芎。,亏2 ) o ,芎2 0 ) u ( 0 ,0 ) ) 其中c ,c 2 ,c ,c 。都是定义在上的凸集,则它们的回收锥分别为 o + c 1 = ( 亏l ,亏2 ) 旧o ,号2 0 ) , o + c 2 = ( 亏l ,亏2 ) i 号l = o ,亏2 0 ) 0 + c 3 = 辑l ,亏2 ) 嗡= o ,芎2 = 0 ) u ( 0 ,o ) ) , 0 + c 4 = ( 亏l ,亏2 ) 旧 o ,亏2 0 ) u ( 0 ,0 ) ) = o + c 1 非空仿射集m 的回收锥是平行于m 的子空间l ,如果c 是r ”上弱线性不等 式的解集,即c = xl p ,v i ,) 不为空集,则生成的相应的回收锥为: o + c = xi o ,v i i ) 。 2 2 2 回收锥的性质 由凸集c ,c :,c ,c 。的回收锥可知回收锥0 + c 可能为闭集也可能不为闭集 ( 如c 4 ) 。 回收锥的基本性质如下: 定理2 6 t 2 1c 是r ”中一非空闭凸集,则o + c 是闭的,并且 0 + c = 工 z = l i m k ,k c ,k 上0 ) ;k 是由 ( 1 ,x ) ix c ) 在r ”中生成的凸锥, 一 那么c l k = ku ( 0 ,x ) lx 0 + c ) 。 定理2 7 2 1 设0 + c 是非空的闭凸集, 并且令y 0 ,如果存在工使半直线 x + 砂i 九0 ) 是包含c 在中,则对坛c ,都有半直线 x + 砂i 九0 ) 包含在c 中,即y 0 + c 。再者对每一个x r i c ,半直线 x + 砂l 九0 ) 是包含在r i c 中, 则y 0 + ( r i c ) 。 辽宁师范大学硕士学位论文 推论2 7 1 1 2 对任意的非空凸集c 有0 + r i c = 0 + ( c l c ) ,实际上,对任意的 x r i c ,有y 0 + ( c l c ) ,当且仅当x + x y c ,对v z , 0 。 推论2 7 2 t 2 1 如果c 是包含原点的闭凸集,则 0 + c = 少iy i c ,v 九 o ) = 厂、 九cl 九 0 ) 。 推论2 7 3 2 1 如果 c ,if ,) 是r ”中的任一一族闭凸集,并且它们的交为 非空的,则 0 + c ( n 试c i ) = n i d 0 + c i 。 推论2 7 4 t 2 1 设a :r ”jr ”的一个线性变换,c 是r ”中的一闭凸集,使得 a c = 由,则0 + ( 彳。1 c ) = a 。1 ( 0 + c ) 。 注:当c 不是闭集时,定理2 3 中的第一个假设不成立,如上面例子中c 。, c 包含形如( 1 , 1 ) + 九( 1 ,0 ) ,但是( 1 , 0 ) 萑c 4 。 定理2 8 t l l 设c 是r ”中的一非空的闭凸集,c 是有界的充分必要条件是c 的 回收锥0 + c 只有零向量构成。 推论2 8 1 t 1 1 设c 是一非空闭凸集,并m 设是一放射集,使得m n c 为非 空有界,则对每个与m 平行的仿射集m ,m n c 也是有界的。 对于r “上非空凸集c ,集合( _ o + c ) n o + c 称为c 的直线状空间。不难看出, ( - 0 + c ) n0 + c = y r ”ic + y = c ) ,c 的直线状空间是一个包含在凸锥 0 + c 中的最大的子空间。 同收锥、回收函数与函数的性态的刻画 3 凸函数与回收函数的基本理论 回收函数在最优化研究中十分重要,在这一部分我们就主要介绍凸函数、回 收函数的一些基本理论与性质。 3 1 凸函数的闭包 给定厂是r ”上的一个凸函数,存在一个不超过f 的最大的下半连续函数, 并且不难看出这个函数的上图正好是厂的上图的闭包,通常称此函数为厂的下半 连续包。 定义3 1 凸函数厂:r ”一( 嘲,0 0 】的闭包定义为厂的下半连续包;当厂: r ”_ ( 棚,叫是非正常的凸函数并且对某些x 有f ( x ) = - - o o 时,厂的闭包定义为 常值函数- - 0 0 。f 的闭包记为c r y 。 定理3 1 1 1 设厂:r ”一 棚,叫上的凸函数,则下列命题等价: ( 1 ) 厂在r ”上是下半连续的; ( 2 ) v 0 【r , 水平集l e v = x r ”if ( x ) 仅) 是闭集; ( 3 ) f 的上图e p i f 是r 州中的闭集。 定理3 2 1 1 设厂是r ”一 ,叫上的凸函数,那么 r i ( e p i f ) = ( x ,u ) ix i n t ( d o m f ) ,厂( x ) u o o ) 。 推论3 2 1 1 1 设厂是一正常凸函数,0 【r ,对某个x d o m y 使得f ( x ) i x , 则一定存在某个y r i ( d o m f ) 使得f ( y ) a 。 推论3 2 2 1 1设厂是一正常凸函数,c 是一凸集使得r i ccd o m y ,假设对于 a r ,存在x c l c 使得f ( x ) 0 ,则必存在某个x r i c 使得f ( x ) 0 几 a - o o 九 推论3 5 1 1 1 设厂是一正常的凸函数, 则厂o + 是满足 f ( z ) f ( x ) + h ( z - x ) ,v x ,v z 成立的h 最小值函数。 当厂是一闭正常凸函数,那么f 的回收函数也为闭的。 设g 是由办产生的正齐次凸函数,其中办( 九,工) = 厂( z ) + 6 0 i1 ) ,即: g c 九,工,= 0 o o x :茎。0 + 九 0 ,( 九,y ) d o m ( c l g ) ,y d o m f 。 定理3 6 1 1 1 设厂为r “上o o e 常的凸函数,y r ”,那么为了y 是厂的回收 方向,即厂0 + ) 0 ,当且仅当对v x r ”,f ( x + x y ) 作为九r 的函数是r 上 的非增函数 f 3 2 2 回收函数的性质 下面给出回收函数的一个重要的定理 定理3 7 1 1 设厂是一正常的凸函数,y 是一向量,对于给定的x ,若有 l i m i n f f ( x + x y ) 佃成立,则 + x y ) 是一个关于九的非增的函数 ( - - - o o 九 4 0 0 ) 。这个性质对于每个x r ”成立,当且仅当f o + ( y ) 0 ;当厂是闭 的,如果对某一个x d o m y 这个性质成立,则对每一个x r ”这个性质也成立。 推论3 7 1 t 1 1 设厂是一正常的凸函数,y 是一向量,为了对每一x r ”, f ( x + x y ) 是关于九( 九r ) 的常值函数的充分必要条件是厂o + ( y ) 0 和 f o + ( - y ) 0 。当厂是闭时,只要存在一个x 与某个实数仅使得厂 + x y ) 1 = i n f r 3 y 7 ,m ,笋刊 回收锥、回收函数与函数的性态的刻画 黝 i n 妒f fk ) 1 搿眢。 又因为l 懊i 1 1 f 0 时,该条件也是必要条件。如果这是可以实现的,函 数p ) = i l 疋f ( x ,材) 有 p 。 ) = i 吐f o + ( 五z ,) ,当是有限时可达到 因而如果厂水平强制则p 是水平强制的;如果厂是强制的则p 是强制的。 推论3 1 2 1 设p ( u ) = i n cf ( x ,u ) ,p ( u ) = a r gr a i n 。f ( x ,u ) , f :r ”x r ”一天是一正常的下半连续函数,对某些五集合p ( 五) 是非空有界的, 辽宁师范大学硕士学位论文 则对所有的u ,集合p ( u ) 是有界的,且p 是正常的下半连续凸函数。 3 3 凸集的支撑函数 近年来对支撑函数的研究就很多,例如梅家驹的广义凸集的支撑函数,详见 参考文献 6 ,谢凤繁的特殊集合的支撑函数及其性质 7 等。 在线性规划中遇到一类是寻求尺”上的线性函数( ,x ) 在某个凸集c 上的极 大或极小。一种较好的方法是研究该极值随x 的变化。即是把该极值作为x 的 函数来研究,通常称 a ( x ic ) = s u p lx c ) ,v x r ” 为c 的支撑函数,规定s u p d p = 嘲。 线性函数在c 的极值,都可用支撑函数o ( ic ) 来研究,因为 i n f lx c ) = o ( 一x ic ) 。 c 的支撑函数可用所有包含c 的闭半空间来刻画,确切来说, cc x l p ,v x c ) c p a ( x ic ) 。 c 的支撑函数仃( ic ) 的有效定义域是指集合 面聊( o ( i c ) ) = x r ”i 了p r , s 2 p ,v x c ) 由此易看出,d o m ( c r ( lc ) ) 是r ”中的一个凸锥,称为凸集c 的障碍锥。 由定义可得,对任意的凸集有 z ( x ic ) = g ( x fc l c ) = c ( x ir i c ) ,v x r ” 定理3 1 3 f 1 1设ccr ”为非空的凸子集,那么 ( 1 ) x c l c 今 a ( x ic ) ,v x r ”; 嗡汪童 墨舔;嚣j 其中s ( c ) = x r ”io ( x lc ) o ( x lc ) ) : ( 3 )x i n t c , a ( z ic ) ,v x r ” 0 ; 1 5 回收锥、回收函数与函数的性态的刻画 ( 4 ) x q 移c , = o ( x ic ) ,v x m ( c ) , 其中m ( c ) = x r ”io ( x ic ) = o ( 一x lc ) 推论3 1 3 1 设c l 和c 2 为的凸集,那么c ,c lcc l c 2 o ( ic 1 ) o ( lc 2 ) 。 因此r ”中的闭凸集c 可以表示为由其支撑函数描述的一组不等式的解集: c = x r nl o ( x lc ) ,v x r ”) 这样c 可以有其支撑函数决定,也意味r ”中的闭凸集与r ”上的某些函数之i 司有 一一对应的关系。 这种对应关系有许多重要的性质。两个非空的凸集c l 和c 2 之和的支撑函数 对应着c l 和c :的支撑函数之和,即 a ( x ic l + c 2 ) = s u p ix l c 1 ,x 2 c 2 ) = s u p ix l c 1 ) + s u p f lx 2 c 2 ) 。 = o ( x ic 1 ) + o ( z ic 2 ) 同样,对非空凸集ccr ”和正实数九,有 a ( x i 九c ) = s u p ix 九c ) = s u p k ,l 享ec 人人 = 九o ( x lc ) 因此集合的加法变成函数的加法,集合与正的常数相乘变为了函数与正常数相 乘。 凸集c 和指示函数6 ( ic ) 之间有着一一对应关系。 定理3 1 4 1 1 设f 是凸函数,则厂的共轭函数f 是闭的正常凸函数的充分必 要条件是厂是正常的的凸函数。而且( c 矿) = 厂,f “= d f 。 定理3 1 5 t 2 lr ”上的闭凸集的指示函数和支撑函数是互为共轭的 定理3 1 6 2 1函数厂是r ”一( 嘲,佃】某个非空闭凸集的支撑函数当且仅当 所以厂在r ”取值只能为为0 或+ ,即厂是c = 缸r ”i 厂( x ) = o ) 的指示函 数,由于厂是闭凸函数,故c 为闭凸集,所以厂= f ”= o ( ic ) 。 乍设九0 o - ( 九x ic ) = s u p ix c ) = 九o ( x ic ) 叫j。f(x)usup 甜j 。) sj = x,x却i(x,u)epfsup 却i 【x ,j , = s u p l ( x ,甜) e p f = o ( ( x ,一1 ) je p f ) ( 九) ( x ) = 九厂( 九一1 x ) = 九g ( ( 九。1 x 。,- 1 ) le p f ) = g ( ( x ,一九) ie p f ) ,v 九 0 ( 厂0 + ) ( x 。) = l 。i 上m 。( 厂九) ( x ) = o ( ( x ,0 ) le p f ) = s u p l 厂( x ) s 甜 佃) = ixdomfsup) 5 t ix , :o ( x ia o m f ) 当厂还为闭时,因为f “= f ,所以后面的结论得证。 定义3 6 叫1 ,凸函数厂称为上有限的,如果是闭的正常凸函数且印矿不包含 非垂直的半直线,即0 + ( y ) = - t - o o 。另外,如果还满足d o m f 是有界的,则有 f 0 + ( y ) = 佃,v y 0 。 推论3 1 7 1 1 1 设厂为r ”上一闭凸函数,使得如彤= r ”成立的f 是处处取 有限的充分必要条件是是上有限的。 推论3 1 7 2 1 1 设f :是j e 常闭凸函数,则如,矿是仿射集的充分必要条件是使 得不在的直线状空间的任意向量y 有0 + ( y ) = 悯。 推论3 1 7 3 设厂为一正常的凸函数,贝, u a o m f 是有界的充分必要条件是 是处处有限的,且存在实数仅0 使得 i f ( z ) - f ( x ) l 0 对除去满足= - g o + ( 叫) = g o + ) = 0 的所有 的向量y ; ( 3 ) x i n t ( d o m f ) 当且仅当9 0 + ( y ) 0 ,y 0 ; ( 4 ) x a f f ( d o m f ) 当且仅当9 0 + ) = 0 对所有的向量- g o + ( 叫) = g o + ( y ) = 0 , 使得一g o + ( 一y ) = g o + ( y ) 。 定理3 1 8 1 1 设厂为一闭的正常凸函数,则凸集 x r ”i ( x ) o ) 的支撑函数 是c l g ,其中g 是由f 生成的正齐次凸函数,同样,由f 生成的正齐次凸函数h 的闭包是集合 x r ”i 厂( x ) 0 ) 的支撑函数。 3 4 凸函数的极小值问题 下面主要是讲凸函数h 在凸集上ccr ”的极小值问题,假设h 是正常的凸函 数,h 在c 上求极小等价于函数 f ( x + 6 ( 邶) - 翟x x 主三在 l + 。萑。 整个尺”上求极小。 首先看正常的凸函数在r ”上的无约束极小值问题,厂在r ”上的下确界为 i n f f = i n f f ( x ) ix 尺) 。 对r ”上的正常凸函数的厂来说,厂在某点达到局部极小等价于厂在该点达 到整体极小。 一旦堕箜:旦坚雪鍪量里墼塑丝查箜型堕 一 - - - _ _ _ _ l - _ _ _ _ 一一。 r 一上的正常的凸函数厂,其水平集为z p 吒厂= x l 厂( x ) 仅) ,0 c r ,则 ( 1 ) 水平集彪屹厂是凸集。 ( 2 ) 若厂是闭时,z p 吃厂也为闭。 ( 3 ) d o m f = 一u l e v 口f 。 ( 4 ) 卿m ) ,n 。删f i nf ( x ) ( 5 ) 下确界i 1 1 f 的特征:1 ) 仅 0 ,3 5 0 使得集合 缸if ( x ) i n f f + 5 ) 与厂的极小集之间的最小距离不超过,即厂极小集中至少 有一个向量z 使得忙一x i l , 函数厂:r ”寸( 嘲,栩】是正常凸函数,讨论函数极小值的存在性及回收函数 的特征的关系。 4 2 回收函数的特征与函数极小值的关系 定义4 1 1 1 】向量y 称为厂的回收方向,如果对每一个x ,( x + 九y ) 关于九 是非增的函数,即( f o + ) ) 0 。 引理4 1 设厂是一正常凸函数,则厂的回收函数0 + 是一正齐次的正常 凸函数,并且对每一向量y ,有 ( f o + ) ( 少) = s u p f ( x + y ) 一( 力fz d o m f ) , 如果厂是闭的,则f o + 也为闭的且x d o m f ,下式成立 ( 删y ) = 船堑竿型九 o凡 :l i m 垡塑= 丝! 。 x - + o o 九 推论4 1 1 1 如果是任意的正常闭凸函数,对砂a o m f ,有 ( f o + ) ( y ) 2 胁( n ) ( y ) , 如果0 d o ,矿,对y r ”,有 ( f o + ) ( y ) 2 船( n ) ( y ) 。 定理4 1 设函数f :r ”寸( - 0 0 ,佃】是正常凸函数,若3 y r ”,使得 ( f o + ) ( y ) 0 ,则函数无下界。 同收锥、回收函数与函数的性态的刻画 证明:因为3 y r ”,使得( f o + ) ( y ) 0 , 即f ( x + k y ) ( x ) + 九( 厂0 + ) ( 少) ,令( f o + ) ( y ) = 乞, 0 , 贝0 厂( x + 九y ) f ( x ) - x e , 当九寸+ o 。时,厂( z ) 一九一- 0 0 , 所以厂没有下界。 引理4 2 t 4 1 设函数f :r ”寸( - o o ,佃】是正常凸函数,若存在厂的回收方向y , 使得厂沿给定的半直线毛( 九) = 而+ k y ,九0 ,是下无界的,则对v x d o m f ,函数 沿着半直线x ( x ) = x + k y ,九0 ,都是下无界的。 证明:设点而并使得x = ( 1 - t ) x l + 啦,r ( 0 ,1 ) , 因为y 是函数厂的回收方向,所以f ( x 2 + 九y ) f ( x 2 ) ,九0 , 则对所有的九0 ,有 f ( x + k y ) = 厂( ( 1 一f ) 而+ + k y ) = f ( ( 1 - t ) x + k y - t k y + + t k y ) = ( ( 1 一f ) ( 五+ k y ) + r ( 为+ 九y ) ) ( 1 - t ) f ( x a + k y ) + 矿( 屯+ k y ) ( 1 - t ) f ( x l

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