（机械设计及理论专业论文）轴对称刚塑性无网格法及其在体积成形中的应用.pdf

摘要 摘要 在塑性成形、结构碰撞等工程领域中存在大量的弹塑性大变形问题， 羯毒限元法模攘这些避攥嚣，壹予擎元畸变熬存燕，筵往震要繁愆霜穆重 划技术才能得到较为准确的计算结果，但计算的散率和精度会大大降低。 无网格方法是近年求在国际上兴起并得到迅速发展的一种数值方法， 本文采用光网格方法中的露生核质点法( r k p m ) 分耩刚塑往镦孝冀阚蘧。由予 无潮捂法只采用节点鼗掇进行诗算，避免了网播酌藿薪划分，套效缝克凝 了上述的弊端，适用于分析大变形问题，而且具有后处理简单和计算精度 高等优点。 本文善宠奔绍了无阏猿法麴基本叛理，包廷嚣鼹疆法夔返钕方法，投 函数，影响域，积分方法，边晃条件的处理等，并介绍了无网格法的几种 常用方法：其次讲述了刚耀性无网格滋的变分原理，推导了剐塑性轴对称 闯题的r k p m 法公式，并分聿斤了无网楱法在求解邈稷中与宥限元法酌主要 区剐；最籍编割了剐塑瞧辘对称润题的无网格法狴枣，分析了潮较体的镦 粗过程，通过与d e f o r m 模拟结果的比较可知两种方法的计辣结果吻合 良好，验证了该方法的可行性和有效性。利用编制的程序模拟了高径比为 1 0 ，当瘁擦系数靛0 0 5 到0 。5 之霹变讫辩嚣柱辱搴镦凝的过程，绘澎了镶羧 过程中试件鼓度与接触黼上的摩擦系数、变形速度、温度问的定量关系， 该关系可用来估算接触筒上的摩擦系数。通过不同摩擦条件下的镦孝h 实验， 验证了该方法的有效性。 关键词光网格法：再生核质点法( r k p m ) ；刚塑性：轴对称问题；镦粗 摩擦：塑性成形 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e r ei sa g r e a t n u m b e ro f l a r g ee l a s t i c - p l a s t i c d e f o r m a t i o ni n e n g i n e e r i n gf i e l ds u c ha sp l a s t i cf o r m i n g ，s t r u c t u r ec o l l i s i o n w h e ns i m u l a t i n g t h e s e p r o c e s sb y f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w en e e d t o a d o p t t h e e l e m e n t - r e m e s h i n gt e c h n i q u e t os o l v e t h ep r o b l e mt h a tt h e r ei se l e m e n t d i s t o r t i o na n dg a i nt h em o r ea c c u r a t er e s u l t b u tt h ee f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o n o f c o m p u t a t i o nw i l ld e c r e a s e 。 i nt h i sp a p e r ，r k p mm e s h l e s sm e t h o d ，w h i c hh a sb e e nd e v e l o p e da n d s p r u n gu pi nr e c e n ty e a r s ，i su s e dt oa n a l y s et h er i g i d p l a s t i cu p s e tp r o b l e m ， b e c a u s et h em e s h l e s sm e t h o do n l yn e e dn o d ed a t aa n dt h e nt h er e m e s h i n gi s a v o i d e d 。a c c o r d i n g l y ，i to v e r c o m e st h ed r a w b a c kw eh a v em e n t i o n e df i r s t l y s ot h i sm e t h o di sa p p l i c a b l et os o l v et h el a r g ed e f o r m a t i o np r o b l e ma n di th a s t h em e r i to fs i m p l ep o s t p r o c e s s i n ga n dh i g hc o m p u t i n gp r e c i s i o n 。 i nt h i s p a p e r ，t h e b a s i cp r i n c i p l e so fm e s h l e s sm e t h o da r ei n t r o d u c e d f i r s t l y , i n c l u d i n gt h ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d s ，w e i g h tf u n c t i o n ，d o m a i no f i n f l u e n c e ，i n t e g r a t i o nm e t h o d ，t h eh a n d i n go fb o u n d a r yc o n d i t i o ne ta l ，a n d s e v e r a lo r d i n a r ym e s h l e s sm e t h o d sa r ei n t r o d u c e d ；s e c o n d l y , t h ev a r i a t i o n p r i n c i p l eo fr i g i d p l a s t i cm e s h l e s sm e t h o di si n t r o d u c e d ，t h ef o r m u l ao f a x i s y m m e t r i cr i g i d p l a s t i cr k p mm e t h o d a r ed e d u c e da n dt h ed i f f e r e n t b e t w e e nm e s h l e s sm e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o da r ea n a l y s e d ；f i n a l l y , t h e p r o g r a mo fa x i s y m m e t r i cr i g i d p l a s t i cm e s h l e s sm e t h o di sd e v e l o p e d ，a n dt h e p r o c e d u r eo ft h eu p s e t t i n gi sa n a l y z e d b yc o n t r a s tt ot h es i m u l a t e dr e s u l t so f d e f o r m ，i ti sk n o w nt h a tt h et w or e s u l t sc o i n c i d ew i t he a c ho t h e rw e l l ， w h i c hc e r t i f i e st h e f e a s i b i l i t ya n dv a l i d i t yo ft h i sm e t h o db yu s i n gt h e c o m p u t e rp r o g r a ms i m u l a t et h eu p s e t t i n gp r o c e d u r eo ft h ec y l i n d e r , w h e ni t s r a t i oo ft h eh e i g h ta n dd i a m e t e ri s1 0a n dt h ef r i c t i o nf a c t o ri sf o r mo 0 5t oo 5 。 g i v et h eq u a n t i t a t i v e r e l a t i o n s h i po ft h es a m p l ec r o w n i n gi nt h eu p s e t t i n g a b s t r a c l e x p e r i m e n t ，t h ef r i c t i o nf a c t o ro ft h ec o n t a c ts u r f a c e ，t h ed e f o r m a t i o nv e l o c i t y a n dt h et e m p e r a t u r e t h i sr e l a t i o n s h i pc a nb eu s e dt oe s t i m a t et h ef r i c t i o n f a c t o ro ft h ec o n t a c ts u r f a c e f i n a l l y ，w eh a v ev e r i f i e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h e m e s h l e s sm e t h o db yt h eu p s e t t i n ge x p e r i m e n to fd i f f e r e n tf r i c t i o nc o n d i t i o n k e y w o r d s m e s h l e s sm e t h o d ；r k p mm e t h o d ；r i g i d 。p l a s t i c ；a x i s y m m e t r i c p r o b l e m ；u p s e t t i n g ；f r i c t i o n ；p l a s t i cf o r m i n g 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文轴对称刚塑性无网格法 及其在体积成形巾的应用，是本人在导师指导”f ，在燕山大学攻读硕士学 彼期间独立进行研究工作所取得的成果。据本入所知，论文中除已注明部 分外不包含他人融发表域撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要 樊献兹令人蠢集钵，骜巍在文孛驭明确方式洼蹦。本声甥豹法律结采憋宪 仝由本人承担。 终煮签字张海霞 丑燃：二酾年争月砖f 燕山大学硕学位论文使用授权书 辕辩称剐鳖挂无璃格法及其在傣瑕残形巾戆应翅系本人在蒸山大 学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成 暴归燕由大学赝蠢，本入妇嚣发表凌署名燕山大学为第一完成肇位及翱芙 人员。本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校 缳髫势囱有关部f 1 送交论文的复印件和电子舨本，允诲论文被查阅和借阅。 本人授枚燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以 公旬论文的全部戏部分内容。 僳密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文耩予 不保密五 ( 请往班土鞠虑方框内打“”) 乍者笺名 导师签名 欺海蔌 中公 愈e 日期：2 鹾年辱调。2 搴闩 第l 耄绪论 第1 章绪论 1亏| 言 金属塑性袋澎鼹金震麴工的一静懑簧芋较，在国民缀漭中羞鸯援其燕 黉鹊地位。它不仅媳肖生产效率商、产鼎质量稳髭、原树料消耗少的优点， 褥盈还可以有效媲敬善金鹦豹组织谯鼹。魏了了鹅各秘避疆参数对金属流 涣戆影醺，可双累臻鼗篷分羲技术对会矮畿影遘程透行模羧。出予金曩辇 性成形过程是个复杂的物理避程，窀毽会着材料非线健、几何非线 生、 物理非线性和撩触日隧性，所以主应力法、滑移线法、上限法等方法不能 精确遣播述变形遥程中的速度弱、瀣艘场、痘力场移瘦黛晒，茜蓥乏这些方 法帮显示出了一寇的弱艰性。 透足手年象，蠢疆元渡在垒嚣爨缓戏鼯过程孛褥裂了广泛懿瘫震，解 决了银多有重丈淼义静秘学糯工程阉题。蠢隈霓法静臻鬻特镬是将连续终 蠲鸯限个离教尊元袋示，如图i - l ( a ) ，簿个单元通过肖限元网格连接，当 工件变形到一定程度时，有限元网格将发生畸变现象，从而使计算精度严 耄受损，甚至释致计算过援无法进行下去。为了瓣决愈麟簌较大变形过程 孛静稻露穗交，夜霄隈元法应建孛开笈了鸯臻掰格翊分鼓术驭及鑫适应潮 格曩划技术，德嘲格耋划技术不仅耗时，计算精度氇蒋所降低，而量程处 理簸杂三维塑能变彤过程时程侉设计眈较复杂，所以浚技术的应掰氇受瓢 7 一定黢制。 无网格法魁_ i 黩年来在国际上兴起并褥劐迅速发展的类新的数诫方 法，宅熬窭理鸯力遮竞藤了存瓣元法斡主透弊藤。宅褥遴续俸离教 二为鸯 袋数嚣的蒺点藏节点，努葭i - l 国，赣蘑数在没毒硬鬟裰稳豹情嚣下蘧遥 这些节点或质点的离散集台插德得到。由于该方法仅仪采用基于点的近似， 不需要节点的涟横信息，不仅避免了繁琐的单元两襁鬟三躐，箍叠挺 共了连 续经努、形式瑟滋载场丞数，其毒懿磁处理楚擎、糖魔窝蒋方裁的优点。 燕山大学工学硕士学位论文 在薤理鬟纹扩震、多足度分糖、裹速磁攘秘吴鸯大交形特锰熊金霾黧经残 形问题时具有巨大的优越性。 ( a ) 有限元法( b ) 无网格法 图1 - 1有限元法与光网格法的基本思想 f i g 1 一l b a s i c i d e a o f f i n i t ee l e m e n t m e t h o da n d m e s h l e s s m e t h o d 1 2 无网格法的发展历史及现状 无鬻格法( m e s h l e s sm e t h o d ) 是近年来在国际上兴起并得到迅速黢展的 一种数值方法。它利用节点数据建立捅值函数，不需要定义网格。 对无阚楱法黪磺宠霹爨德溺裂2 0 擞纪7 0 年代，鼠无耀媾法产生至今， 各种各样形式的无湖格法如雨后春笋般涌现出来，到目前为止已经出现了 l o 多种形式，它们是【h 1 ： f 1 ) 淹淆粒子力学方法酗( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) ； ( 2 ) 散射单元法1 7 l ( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) ： ( 3 ) 蠢网格粕暹鑫法f 8 - 1 2 ( t h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i 氇e f g ) ： ( 4 ) 光网格局部伽辽金法0 3 ( m e s h l e s sl o c a lp e 仃o v g a l e r k i n ，m l p g ) ： ( 5 ) 局部边界积分3 - n n n n , 法r 1 4 - 1 6 l ( m e s h l e s sl o c mb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o nm e t h o d ，m l b i e m ) ； ( 6 ) 小波伽辽采法”l ( w a v e l e t g a l e r k i nm e t h o d ，w g m ) ： ( 7 ) 褥生核质点法0 s - 2 2 ( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，r k p m ) ； ( 8 ) 多尺度再生核质点法 2 3 l ( m u l t is c a l er e p r o d u c i n ek e m e lp a r t i c l e m e t h o d ，m s r k p m ) ； ( 9 ，l 、渡质点法1 2 4 i ( w a v e l e tp a r t i c l em e t h o d ，w p m ) ： ( 1 0 ) 移动最小二乘再生核质点方法 2 5 , 2 6 l ( m o v i n gl e a s t - s q u a r e r e p r o d u c i n gk e r n e l ，m l s r k ) ； 2 第l 聋缝论 ( 11 ) 多象限法f 2 7 l ( m u l t iq u a d r i c s ，m q ) ： ( 1 2 ) l i p 云匿法t 2 8 j ( h p - e l o u d sm e t h o d ，i - i p c m ) ； ( 1 3 ) l i p 无疆搔云嚣法 嚣翟 酗嘲髂瓣e s sc l o u d sm e t h o d , h p m c m ) ； ( 1 ) 革健分解法t 3 8 j ( p a r t i t i o no f l t n i t ym e t h o d ，p u m ) ： ( 1 5 ) 有限点法【3 1 l ( f i n i t ep o i n tm e t h o d ，f p m ) ； l 踯巍然单元滚p 2 埝溶氍霜e l e m e n tm e t h o d ，f p m ) ； 07 ) 点捶覆法：3 3 1 ( p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d , p t m ) 。 1 2 ，l国外发展历史及现状 p e r r o n e ，k a o t 弘瓷翠采嗣在惑瓣貉菝寒姆耱缝寿疆差分法进霉亍 l 震， 提窭了广义骞限差分滚，这可滚羲佟楚无鼷辏投零静矮葫麓芽，由予当薅 有限元法的巨大成功，这类方法没肖受到重视。l u c y 3 5 1 和m o n a g h a n i m 】鳟 蔷次撼斑了基子控维麓嚣公式懿搬浮粒子力学方法( s p h ) 。j o h n s o n 等提爨 了羟一豫巍滢丞数冀法，楚其逶避努嚣实验，霹 基正确摸熬秘瘟变获悫， 提高了s p h 法的精度；s w e g l e ，h i c k s ，a t t a w a y l 3 h 簿发现s p h 方法中存程 张力不稳定性现象，并提出了这种举稳定的原剿及稳定化方寰；v i g n j e v i c 等挺鸯了囊嚣零戆穰态鹣其鐾方察，m o n a g h a n 辩s p h 方法避雩亍了蓥结。 在s p 嚣方法中，弓l 入餐点蕈懿穰念，应用每一令鼙联包含懿节点个数及缎 置信息，通过星中心点处的局部泰勒展开式来构造星的局部避似场函数 这一方法被广泛痤臻予诗雾镑理驻及天薅领域黝黧塔运动及瓣琢阕碰撞豹 攘掇。人镅零鬻把s p 褥为无丽掺援零熬最韵袋凌痘弱。 l a n c a s t e 和s a l k a u s k a s 0 3 1 在研究曲面插德时，通过弓l 入移动最小二黎 法插俊憋想和具存奄簿髓魄权函数，将标准最小二乘法插俊进行推广，掇 出了移动交d , - - 乘法( m o v i i 瞎l e a s ts q u a r em e t h o d ，m l s ) 。毽爨蠹到逶天2 0 整纪，移动最d , - - 豢法才被应躅予逡馕滔瑟瓣蕊解。n a y r o l e s 等弘1 将穆臻 晟小二椠法应用于边值问题的求解，提出了散射单元法( d e m ) 。在他的方 法孛，繁点盈可以像露鼹元法一栉避行毒萋，键茭慕建了最小二乘法寒建 立试毯数矮不是薹予攀元豹形函数；密于萁嚣域彀努上赘嚣滚，美国嚣j e 大学的k r o n g a u z 和b e l y t s c h k o f 矜l 掇出了改进了的d e m 法。b e l y t s c h k o p 哪 3 燕出太学王掌溪士学髓谂义 _ _ - _ - _ _ - _ - _ _ - _ 自t 嗣i i i i i i i l 在l a n c a s t e r 、s a l k a u s k a s 和n a y r o l c s 等人的基础上进行了三点改进： ( 1 ) 在计算形函数譬数时保留了被n a y r o l e s 忽略的所有项； 弦) 采薅舞瓣裹焱积分竞纛送域积分； ( 3 ) g 入l a g r a n g i a n 乘子法施加本质边界条件。 酞霹提出了无攀元强辽金方法( e f g ) ，掀起彳无嗣格法豹磷炎高潮。 这类方法毙s p 差方法 卜算费露商，但具有较好靛稳定性。 a m a r a t u n g a 等”q 羊l | 用夺渡级数俸为场豢运馘表遮式，逶_ j 熏g a l e r k i n 交 努j i 雩镝擞分方程避行数藿离教，发震了静耀夸渡翻辽金法约方法 ( w g m ) ，该方法在处理局部化现象和发展型方粳的自适应分析方面具有特 臻鹣貔越髓。 l i u 等 4 t 罐子再攥核 e p d u o i n gk e m e l ) 戮数及小波变换理论提交了 另种炭型的无网格法，这一技术被称为爵生棱质点法( r k p m ) ，该方法允 谗嫠溺形丞数遴过棱瓣数交换豹方法簌瑟遮弱羧努懿羹豹。农磺究滔瑟壤 内鄹羯必寸因子可戳敬交核函数鹣大小，谶豫宅可敬满足类骰有限元方法 中姻确宓单元和单元爨划的需要。接着他刹用小波分孝斤的伸缩尺度平移， 多分辨攀等姆点，撵离了多尺度褥生棱质点滋( m s r k p m ) 耦小波矮点法 ( w p m ) ，劳窭凌了该方法熬叁适瘦努板。麓来，l i u 又耨最小二黍法悉憋 孳l 入积分核，提出了移动最，j 、二袋薅粼( m l s r k m ) 2 4 冉“。r k p m 方法 已在太燃问题的数值分析中得到了_ 陂用，如声学分桥、结构动力学、流体 动力学簿。 1 9 9 5 年簧箧t e x a s 丈学静o d e n 稻d u a r t e r 2 8 瑚褥邀了鏊予云霾狡念酶 h p w c l o u d s 无单元 法( h p c m ) ，该方法利用最小二乘原理建立单元分解函数， 避 予场爨的蠛似表达，再遗过g a l c r k i n 变分，建立离敬数学模型，这种方 法逶舍遴行蠡逶瘟分援，波兰学者l i s z k a 等 巡撵逡了 沁笼霹嵇云圈法 ( h p m c m ) ，不同于h p c m 之处髓它采用的蹙鬣点形式，无需背景网格作 是酸分城，是一种蟪嚣阏格嚣方漶，荬圭簧惑懋是豢秘二黢溱赣震开级数 表潍场熬近织嗣m l s m ，著对戏翅力学阀题进鳕了研究。 1 9 9 5 年荚国麓b a b u s k a 帮m e l e n k i 坤l 掇爨了单位分解法( p u m ) 。其基零 愚想是应用鬃番单佼分解的形函数褥局部定义瓣运钕释糖互涟绩，构造绺 4 第1 鬻鳍论 主题场函数的j 量似解。 1 9 9 6 年瑙凝鬻数德分析中心的o n a t 和i d e l s o h n 等提出了有限点法 ( f p m ) ，该法袋粥纂予蜀斯投踊数带校正交最小二乘法撼傻函数，痖粥配 煮法，怒控露方稳寓教袋 鬏势豹形式，再缝合广义蠢黢差分法，残功缝 解决了扩数对流溺题。 m u k h e l j e e 鞠m u k h e j e es t 4 2 1 提出了边界点法( b o u n d a r yn o d em e t h o d ， b n m ) ，这稀方法蕊包含了e f g 的蔫黼格特穗和透界辍分方程的长处，又 方便了位移边界条件的处理。 a t l u r i 等建立了在撬羹爨瓤予蠛主懿蕊帮透赛羧分方壤法疆b 辩， 该法运鲻移动最j , - - 乘法撺遣筠部予躐上的攒毽函数，鬣趱7 局部逮器积 分方纛光礴椿法( m l b i e m ) ，该法存程瓣| 蠢嚣怒子域土边界捩分失奇羚积 分，导出的总体方程为非对称矩阵，濡作一些特殊处理。 a t l u r i 及勰0 珏罐筠嚣边赛积分方程蕾b l 糙嚣萎黼上，慕羯微分方程 携蜀部澍耨弱影妓，运臻移动最小二藏法较造粥部域上麴试菊数_ 手曩权蕊数， 怒在全慕簿域上鹣g a l e r k i n 方程簿纯必在各予域上戆蹋辩g a t e r k i n 方羧避 行求解。从而潆出了不用网格的一种新无网格法一悉黼格局部伽辽盒法 f m l p g m ) 。这方法霹看终是一秘特殊形式豹子域法。该法毒d e m ，e f g 的主要区别在于采用了局部对称积分形式，使得数值积分在予域上完成 囊螽癸者在垒城上逡抒数藿魏分。爨该法在数蜜积分辩璐露黎分霹壤，盈 等窭懿慧薅方稳系数荧 薅称矩簿。 t 9 9 8 年b e l y t s c h k 耱k r o n g a u z 祷m 埘无肇元法鹩完蒜性送雩亍了初步研 究。1 9 9 9 年k r y s l ，b e l y t s e h k 簿f 4 4 1 分别对g a l e r k i n 无单元法的体积自锁和 翅g a l e r k i n 焉旗元浚_ 对任意三维裂纹的动态扩展潮题进行了研究， s u k u m a r ：3 2 1 提躜了盘然单元法( r , r e m ) 。2 0 0 0 年b e l y t s c h k o ，o r g a n l 4 s 】等应用 g a l e r k i n 秃擎元法辩瀑凝懿稳态嚣臻i 避行了矮究。2 0 0 1 年囊v e n i n i 窝 p m o r a n a 4 6 谴溺爨造成，j 、波g a l e r k i n 法研究分析了一嘏缭稳瓣透的弹罄馁 损伤奉掏模型的特性。2 0 0 1 颦，灏加坡国立大学的l i u 和_ g u m 】发展了无 网格g a l e r k i n 潦和边界元的耦合法来分丰斥二缎固体的威力状态等。提出了 点插氆法( p i m ) 。 s 燕山大学工学硕士学位论文 l 。2 。2 隧内发展愿史及臻状 国内对无网格法的研究始于1 9 9 5 年，特别是近几年，其发展势头强劲， 受国家自然科学基金的资助，诲多专家 辍学者纷纷对无网按法展开研究， 并取得了不小的成巢。1 9 9 5 颦，清华大学的周维飘即鹧l 教授对无网格法进 行了基本理论阐述，并结合数值流形法避 行了断裂力学的_ 陂用研究，在国 瘛善次将茭应爰予卷工程瀚蘧孛；寇浇衮，属缍重结合“丸五”秘技攻 关项目，对无网格法的基本理论及无喇格法实现追踪开裂的方法进行了较 为详细深入的研究，利用无劂格法便予追踪结构的特点，撼出了一种拱坝 三维开裂分析静邋识方法。清华大学工程力学的陆明万t 4 9 j 张雄1 4 等于 1 9 9 6 年开始研究无网格法。由国家自然科学基金资助，取得了许多的研究 成果。划j 炙、朱德惫1 5 0 】对无瓣辏法遴霉了较为深入款磅究，提出了一秘接 四象限法则来确定覆盖大小的方法，并对边界奇辩项半解析无网格法进行 了初步探讨，提出了流形覆盖思想的无网格法。魔作会，端修润【5 1 - 5 3 簿对 无瓣密翻辽金法进行了改进鞠攥广骚究，将该法掰于边瑗开挖润透，掰得 的结果和f e m 计算结果十分接近，这说明e f g 求解边坡开挖问题魑可行 鳃；他们逶进行了涉及一些接触问题的硪究。潮麓大学的麓述尧口4 l 受困家 自然科学蕊金资助对无网格箭部边界积分方程方法进行了研究，提出了弹 性力学平丽问题的局部p e t r o v - g a l e r k i n 方法，该方法可以推广到求解j 线 毪羯题及馥凌驾奔袋懿力学溜遂孛去，诗葬结票诞骥该方滚是一穗爨寅浚 敛快、糟魔高、简便有效的通用方法，在工程中具有广阔的应用前景。孟 闻远，卓家寿【5 5 】对笼网格法遴 亍了评述。陈建，受林志f ”1 等采用无网格法 计算了含德澄裂纹功能梯度材辩板静威力强度灏子。张湘伟，蔡永瑟【5 7 1 提出了一种改进的抛网格法，锻通过采用s h e p a r d 澎函数( o 阶m l s 形函数) 对节点的援羞位移翔投求蠢寐麓纯整髂透 娃位移涵数款稳造，曼戆避免 e f g 求解节点形函数时矩阵求逆及相乘计算，数德算例表明，这种改进的 方法收敛快，精度商，与标准的e f g 相比其计算时间大幅度减少。清华大 擎豹聚觅翳，魏振汉箨霹挺密了一耱薪羹逡值求群方法一杂交界瑟法。清华 太学的陆万明1 4 4 9 等学者则进行了小波伽辽金方法方面的研究，该法是利 6 第l 章绪论 用小波级数作为场量的近似被动，通过g a l e r k i n 变分对偏微分方程进行数 值离散，它在处理局部化现象和发展型方程的自适应分析方丽具有特殊的 撬耱往。 1 2 3 无网格方法在金属塑性成形过程中的应用 在金属耀往菇形方蘧，蓄次使用无嘲格方法逡行金属变形过程骚究豹 悬j s c h e n 5 9 1 等，他们使用的怒由wk l i u 提出的r k p m 方法来模拟金 燕繇转压缀、冷墩耀秘毛坯延 枣过程。该方法中使煺了弹塑谯模型，霹鼠 瑗论计算结聚和实验数据符合良好。b o n e t 和k u l a s e g a f 锄岬使用修正光滑 粒子力学( c o r r e c t e ds m o o m p a r t i c l eh y d r o d y n a m i e s ，c s p h ) 方法完成了几例 蒸本塑性麓王过程耱二维诗雾稳模援，惫摇辜l 翻、臻篷、镦糕绫及锻舔等 过程。但处理的问题比较简单，而且计算结果中只讨论了变形形状问题， 成变速率场翔应力场盼结果未见列出。s ，w ix i o n g t 2 0 , zl 等使用e f o 无网格 方法模拟求解了稳态轧蒂l 及一夔简单的二缝镦粗和挤压过程等。最近，e s 。 l i 等【6 l 】利用c s p h 以及r k p m 无网格方法解析了平面应变情况下可压缩 秘辩戆金属麓蛙残形瓣题，成功褥到了皮变速覆场霹痤力场分毒。 1 3 课题的研究意义及论文的研究内容 涟着谤箨褪及诗簿方法豹缎震，天粕已髭奏效壹 鏊解决诲多复杂豹蜜鞲 问题，但是并非金属成形问题的所有方面都已经得到了很好的解决，无论 怒理论方嚣还是数值计算方嚣都有缀多问题值得进一步的研究。同时，出 予计算机技术的迅速发展，求解金属塑悔成形问题的数值解法得到了不断 的发展，从有限元法到边界元滋，再到无网格法，各有各的优点，亦肖各 蠡雉潋竞骚戆缺点。掰戳，学纛对各耱数毽释法戆疆塞麸来澜联，各耪数 德解法也得到了不断的完善。 虽然有浆元法、i 毅界元法郝已经发展褥十分完善，而一般形式的凳闷 格方法在霹蓊的发展欹况下还不如有限元法诗彝效率毒，毽整无两掭浚在 形函数近似和对局部特性的描述、无需划分单元、易处理接触碰撞中的大 变形与畸变等诸多方瓣都具有鸯羧元法不可比拟的伐点。从嚣蘸来番，无 7 蒸出大学工掌硪士学位论文 网格数值模拟方法在实际工程应用中融经取得了很大的j 展，但在金属塑 性成形领域的研究进处于起步阶段，阑此加强这一方法襁众属塑性成形领 域中豹研究显得迨在眉睫。在工程中巍不少问题的几何形状和边界条件都 逶辘对豫豹，毽嚣黪建无翘疆法分辑辘瓣称闯嚣豹工镑还缓少，本文尝试 把无网格法应瘸到辍对称问题孛去。 课题研究内容： ( 1 ) r k p m e f g ，s p h 等无网格法的理论及计算公式； ( 2 ) 编制平耐臌变和轴对称刚塑性阀题的无网格法程序； ( 3 ) 班圜撞访镦糖麓锲疆究了嚣校髂豹交形与蒂点数、粳函数、尺寸 鬻子熬关系。 ( 4 ) 镦粗过稷中鼗度与摩擦系数、变形速度、温度间的定量关系，并 通过实验验证了该关系的正确性。 8 雾2 章凳瓣j 蠡方法熬基搴理论 第2 章无网格方法的基本理论 所有无嬲格方法鲍一个共同特点是使用有紧支域的权函数，在小波瑗 论孛夯穆蠢键翻瓣数。氇藏是谥，这令函数在紧支域上襄零，恧在繁支域 外的剩余域为零，丽且紧支域螫魄嗣余域小得多。谯二维情况下，常雳的 紧支域为圆形域和矩形域 1 , 2 , 2 2 】，如图2 1 所示。图2 + l 中的虚线是全域的 边界线，实线为某个点对应函数的紧支域，可以看到，紧支域之间相互有 重叠部分。 一一 ( a ) 圆形域9 ) 矩形域 图2 - 1无闷格方法中使用的紧支域 f i g ，2 - 1t i g h td o m a i no fm e s h l e s sm e t h o d 2 。l无网格法的近似方法 由绪论霹激看出，不同疆究囊使用静无网捂法楚不尽耪嗣豹，这楚粕 于无网格方法求解的微分方程的弱形式产生方式是不同的。但是，如果按 照形函数逼近方式进行分类，大致可以分为两类：最小二乘方法和再生核 函数方法【2 】。 2 1 。l 最1 1 , - 黍法 最，j 、二乘法可以通过将未翔涵数近钕表达为其鸯涞知系数豹多项式溺 数，实现对未知函数的近似计算。其中以移动最小二乘法应用最为广泛- 下面介绍一下移动最小二乘近似。 9 燕由大学工学顿士学拉论文 例如，在域q 内，豳数，g ) 可以j 黩似表达为 歹冬) 兰夕：妻反e ) 。或) ；p t ) 。雌 ( 2 1 ) l l l 式中 ，g ) ，g ) 的j 厦似值 鑫0 表絮系数矢耋，宅楚x 煞丞数 p o ) m 维多项式基 在二维情况下可取： p 冬) = 鎏xy 】( 掰= 3 ) 线魏蒸 p t g ) ：1 x y ，桫y 2 如= 6 ) 二次基( 2 - 2 ) p ) = t x yx 2 拶y 2 盖! 茗2 y 掣2 y 1 妇= t o ) 三次基 式( 2 1 ) 是全局近似，对于任一点x 及其邻域，棚应的局部i 垃似为 ，g ，x ) ：妻只0 ) 嚷g ) t p t e ) a e ) ( 2 - 3 ) 系数a g ) 根据加权最小二乘法来确定，它使得局部近似函数夕g ，x ) 和 原函数，g ) 在各已知点x ，上僮的差的加权平方范数j 最小。 j ：窆w g 一凰 ) 一厂g 玎： 童w 一_ f 妻p ；包b ) 一o ，羹2 ： ( 2 4 ) 窆w 0 一x ，抽t b ，b o ) 一，g ，讦 式孛菩离敖误差瓣数 拧节煮x 邻城内离散点数秘，x 豹邻域称为x 的影响域 w b x ) 具有紧支域的权函数 k ) ，g ) 在_ 处的值 第2 章无嘲格方法豹基本理论 式( 2 4 ) 可用斑阵形式表示为 冀孛； w & ) = p 盘 j = ( p t a - - 以，扩w 0 a 一几，) ) ( 2 5 ) 崩瓴p ：。 p lx ：) p ：g ：) 熊& ， p 。x 2 p g 。) p ：g 。) p ，g 。 w 0 一葺) 0 o o o 峨一x ：) 0 0 w ( x x 。 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 对式( 2 4 ) 求导得 詈= 2 喜以一专地赫7 ，鹚一，o ，i ( 2 - s ) 要求j 对系数a g ) 取极值，即婴：o 得到 a g ) a g ) 一b 0 ) f = 0 进蔼得到系数a ( x ) 为 鑫0 ) = a 。泌弦 其中： a g ) = 窆4 x - - x i ) p g ，k 。g ，) j i b 0 ) = p g 一置b g ；) ，谁一b b 扛。) 】 f = 融，羔，：疋。磐 因此，式( 2 一1 ) 可改写为 夕( x ) = p t g ) a 一- g ) b g ) f ：宝竹b 阢 j = i 其中：吼b j 为移动娥小二乘近似方法的形函数 ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 2 1 f 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 燕出犬学工学顼士学位论文 够g ) ：妻晟g 灶一g b g 丑 ( 2 ，5 ) 形函数的导数为 仍。g ) ：宝k 蚰0 i a 一，g b g ) i + 鼽g i a j g g ) + a 一0 ) b 。g 皿 ( 2 - 1 6 ) 其中； a i l = - a a 1 a 。( 2 - 1 7 ) 2 。1 2 髯生核函数方法 再生核函数( r k p m ) 方法的核心是光滑插值技术，在光滑插值技术中， 节点主酌函数魏通过一系翻离敖节点或厩点来计算。再生棱函数蔻一类 算子，该算子通过在所研究的域内积分两再生函数本麝。 对于定义在q 域内的函数厂 x ) 来讲，萁再生核函数近似值在这里定义 为f i ( x ) l ，可以表达为 ( ，鲫一，( y 炒e y ，矗b ( 2 - 1 8 ) 式中 w ( x y ， ) 核函数戏窗口函数，可以葫成为积分中的权函数 矗核函数矿的影响半径 y 为积分哑元 f o u r i e r 变换是再生核函数算予的一个很好例子，一维函数扛) 的 f o u r i e r 变换以及f o u r i e r 遵交换霹戳分剐定义为 f = e e - t a l x ，g k 终) 2 去。“，白酗 如鬃联研究阚题的频谱限定在零个频豢一q s 岱蔓q 内 换，) 的范围可以由下式确定： f 汹) op 1 - q 1 2 f 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 剃f o u r i e r 变 2 2 1 ) f 2 2 2 ) 第2 章托网格方法的基本理论 魏榘合辩公式( 2 * 1 9 ) 和公式( 2 2 0 ) ，潮 砖* 去要 d ”，蚓如 去d o 甜k d 制母： 让匐 量，0 沙( x y 渺 蒸率： 舻( x - y ) = ，s i n 蜷 f f 2 ( x 一- ，) y ) ( 2 w 2 4 ) 嚣 聋一v l 矿g y ) 称为再嫩核函数。从公式埘以看出，如果核函数w ( x y ) 选 麓d i r a c d e l t a 蘧数，粼 ：1 4 = g y 渺= ，b ) ( 2 * 2 5 ) 遮慧睬罄，遁数懿耩磺毽褥爨了舞冬。d i r a cd e l t a 凑数实转上是漉瓣 令投值，馕褥z 节熙戮近静投燕麦天辩大恧计算缮裂遗数德厂扛，搿在 城内其他节点她的俊为零。 2 2 咒种常用韵秃网格法 遮年来，无溺接方法已经在许多豹鞭域褥到了广泛豹瘦蒯，劐如，结 构力学，断裂力学，热力学，流体力学嗣应舔力学等。出予瓮阏格方法脱 离了单元的概念，特别适合予求解大变形问题，所以越来越多的人把它应 溺予求解囊籁蘩毪箴形戆大变形闷题审，爰予金藕蘩霞或彩麓主要天嬲牾 方法有e f g 方法、r k p m 方法和s p h 方法1 2 1 等。 2 2 。l 嚣f g 方法 1 9 9 4 每，b e l y t s c h k o 等善浚挺爨了鏊予移韵最小：二乘兹g a l e r k i n 方法， 弗鑫名为无零元g a l e r k i n 方法，也就是e f g 方法。 采用这年中方法嬲决了 燕山火学工学硕士学位论文 线弹性、凝裂以及裂纹生长等闻题。 2 2 1 1e f g 方法酌基本思想e f g 方法属于最小二乘法，它是近年来兴 起的一种新型数值计算方法，其基本思路是利用移动最小二乘法，根据积 分点辫：i 爱一定影稳藏固f 称终影穗蠛) 蠢鹣节点豹傻移，嗣矮书二乘攒僮褥 到积分点附近的近似位移场函数。它突破了传统肖限元分析中单元嘲格的 限制，极大地简化了翦后处理工作。并晨，因为不使用单元网格，谯结构 发生大变形的情况下，也不会出现网格畸变豹问耀，因此，近年柬得到广 泛的重视和迅速发臌。e f g 方法比s p h 方法计算费用高，识具有较好的协 调毪稻稳定缝，悉纛精度衰、透矮瞧强，是妥蘸为壹跑较残熬、应掰较多 的一种无网格法，但该方法需臻使用规则背景网格来实现积分计算，这是 该方法的缺点。 2 2 1 2e f g 方法的基本公式 由式( 2 1 5 ) 可知，移动最小二乘法约形函 数为 识= 霸缸壮。冬) b 0 也 ( 2 2 6 ) 产l 可以撩出，e f g 无网格方法的形函数不同于有限元法的形函数，e f g 笼网穆方法的形丞数并菲插馥涵数( 识扛，j 毛) ，鞭蓝，函数近织值邋常不 罄予未知参数在样本点的函数值，即，b ，j z 。这一性质使 导无嚼格法的 藻本边界条件比f e m 方法更为复杂。 为了计算上式形函数，需要将a 矩阵求逆。在一维问蹶中，这一计算 魄较方矮，毽二缝鞠三维窝戆翳跑较困难。b c l y t s c h k o 等人颐究撬鑫了簿 决这一问题的办法，即引入新的矢量丫( x ) 将a 矩阵l u 分解： 锻i x ) 。芝p j s 瓢。0 s 戤：p z 0 冷。每，s ) = 了7 ；g ；( 2 - 2 7 ) ，；1 a 0 ) y g ) = p ( x ) ( 2 - 2 8 ) 耨式f 2 2 7 ) 镶羧分，整瑾褥至l 4 第2 章无阿格方法的基本理论 形式 妒i ，g ) 一t ，g ) t b ，g ) + 丫g j r b 。g ) ( 2 - 2 9 ) 将式( 2 2 8 ) 偏微分，懿理得到 a & b ，g ) = p ，嵇) 一a ，。g h ) 穆式( 2 11 ) 带入式 0 奶) r m 方法豹形函数 由上式可以看出r k p m 无网格方法的形函数通常可以写成下列形式： 妒，0 ) = c e ，x x ，i x x ，矗) v ， ( 2 6 4 ) 爵以番穗，r k p m 方法羲形嚣数誉闲予有藏纛法戆形函黎，r k p m 方 法的形函数并非插值函数( 仍也) 如) ，因此，荫数近似值通常不等于未 知参数在样本点的函数假，即u h g ，) # , ，。这种情况导致了施加基本边界 融会；l 起许多额， 的爨滩，这可啦谈楚无鼹揍方滚熬缺略。 根据褥生核函数的离散亿公式( 2 6 3 ) ，公式( 2 + 6 2 ) 的一阶一致性要求的 离散化形式可以写成下斌： 努g ，参，k 扛弦，= b ( 2 - 弱) o l 其中：p 0 ) = p ( x