（应用数学专业论文）两类拟线性发展方程的混合元方法及其数值分析.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 , 7 聊碍冬 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保盛f 并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 整可1 j , s q 学位论文的全部或部分r a 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权一t ；) 学位论文作者签名媸茵 签字闩 c 目：2 0 05 年4 - nf f 同 铷擗是乒l r k ，。一 签字r 期：2 0 0fi f - 牛月f 闩 父 山东师范大学硕士学位论文 两类拟线性发展方程的混合元方法及其数值分析 王述香 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文中我们采用扩展混合有限元方法和混合体积元方法数值模拟了二阶 拟线性抛物型积分微分方程和二阶拟线性抛物问题。扩展混合有限元方法通 过引入两个中间变量，实现了对未知函数，未知函数的梯度及流量的高精度 逼近。并建立了该方法的最优模误差估计混合体积元方法由r u s s e l l 1 1 提 出，j o n e s 1 2 ，1 3 验证此方法是非常好的也建立了该方法的最优模误差估计 第一章讨论拟线性抛物阉题 i ( n ) p t d i v ( a ( p ) v p + b ( p ) + c ) = f ， ，t ) q z ( b ) ( 。( p ) v p + 6 ( p ) ) n = 0 ，( z ：t ) a q z 【( c )p ( ，0 ) = p o ( z ) ， z q 的在矩形两格剖分下的混合体积元方法。在本章中我们给出了拟线性抛物问 题的混合体积元的变分形式，并利用该方法得到了其真解与离散解的最优l z 模误差估计。 第二章讨论拟线性抛物型积分微分方程 的扩展混合元方法。在本章中我们给出了抛物型积分微分方程的扩展混合元 的变分形式，证明了离散格式的解的存在唯一性，并利用该方法得到了其真 解与离散解的最优l z 模误差估计。 出v n 川f ， 2 一 以 jq 奴 铀 ；罨 “l x 斗 z 缆搿卟刊垆牡 ；3 u u 曲 0 山东师范大学硕士学位论文 关键词：拟线性，抛物型积分微分方程，抛物问题，扩展混合有限元方法 混合体积元方法最优误差估训 分类号：0 2 4 1 8 2 山东师范大学硕士学位论文 t h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dn u m e r i c a l a n a i j y s i sf o rt w ok i n d so fq u a s i l i n e a re v o l u t i o n e q u a t l 0 n s s h u x i a n gw a n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c ，s h a n g d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n g d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d m i x e dc o v o l u m em e t h o df o rt h eq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dq u a s i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m t h ee x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n t m e t h o de x p a n d st h es t a n d a r dm i x e df o r m u l a t i o ni nt h es e n s et h a tt h r e ev a r i a b l e a r ee x p l i c i t l yt r e a t e d ：t h es c a l a ru n k n w o n i t sg r a d i e n ta n di t sf l u x o p t i m a lo r d e r e r r o re s t i m a t e sf o rt h es c a l a ru n k n o w n i t sg r a d i e n ta n di t sf l u xi nl 2 一n o r m sa r e o b t a i n e d t h em i x e de o v o l u m em e t h o dw a si n t r o d u c e db yr u s s e l l l l la n dl l a s b e e ne x t e n s i v e l yt e s t e db yj o n e se ta l 1 2 ，1 3 1o p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e sf o r t h es c a l a ru n k n o w ni nl 2 n o r m sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e ro n e ，w ec o n s i d e rt h em i x e de o v o l u m ，em e t h o df o rt h ef o l l o w i n g q u a s i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m f ( n ) p t d i v ( a ( p ) v p + b ( p ) + c ( p ) = f ， ( 。，t ) q j ， ( 6 )( a ( p ) v p + 6 ( p ) ) n = 0 ，( 。，t ) a q d 【( c ) p ( ，0 ) = p 0 ( x ) ， 岱n i nt h i sc h a p t e r ，w ep r o p o s et h em i x e dc o v o l u m em e t h o df o rt h ep a r a b o l i c p r o b l e m ，o p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e sf o rt h es c m e ru n k n o w n ，i t sg r a d i e n ta n d i t sf l u xi nl 2 n o r m sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ee x p a n d e dm i x e df i n i t em e t h o df o rt h e f o l l o w i n gq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 山东师范大学硕士学位论文 a ) b ) c ) t v ( u ) v + 詹b ( x ，t ，7 ，u ( x ，r ) ) v u ( z ，r ) c 打) + c ( ”) = ，( z ：t ) ，( z ：t ) q j u ( z ，0 ) = “o ( z ) ，x q ， u ( z ，t ) = 一g ， z a q ， i nt h i sc h a p t e r ，w ep r o p o s et h ee x p a n d e dm i x e df o r m u l a t i o nf o rt h ep a r a b o l i c p r o b l e m a n dp r o v et h a tt h ed i s c r e t ef o r m u l a t i o nh a sau n i q u es o l u t i o no p t i m a lo r d e re r r o rd a t i m a t e sf o rt h es c a l a ru n k n o w n ，i t ag r a d i e n ta n di t sf l u xi n l 2 一n o r m sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a r ，p a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p a r a b o l i c p r o b o l e m ，e x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n t ，m i x e dc o v o l u m em e t h o d ，o p t i m a le r r o r d s t i m a t e c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章二阶拟线性抛物问题的混合体积元方法 1 1 引言 考虑下列二阶拟线性抛物问题： i ( n ) p t d i v ( a ( p ) v p + 6 ) ) + c ( p ) = ，( x ，t ) q j ， ( b ) ( 口( p ) 1 叮p + b ( p ) ) n = 0 ， ( x ，t ) o f t j ，( 1 1 1 ) 【( c )p ( ，0 ) = p o ( x ) ，x n ， 其中n 为r 2 中的轴平行的有界区域；礼为边界a q 的单位外法向量；黑有界， 不是太大。o ( p ) ，6 ( p ) ，c ) ，都是关于p 二阶连续可微的有界函数， a ( p ) 2a l 0 ，勺0 ( 1 1 2 ) 我们假定垤，0 e l ，对任给f 肝( q ) ，( 1 1 1 ) 存在唯一解p h 2 + s m ) 在许多实际问题中，例如多孔介质流的模拟或者是半导体器件中电流的 流动，我们需要的是获得向量变量“= 一( a ( p ) v p + b ( p ) ) 的高精度近似，而 不是标量变量本身，为此将问题( 1 1 ) 改写成下面的系统。 i ( o ) 。) + v p - t - 卢( p ) = 0 ，( x ，t ) q z b 仇“知一篇“0 禁- ， l ( c )u - n = ，( x ；t ) a q z 、。 【( d ) p ( x ，0 ) = m ( x ) ，x q ， 其中卢) = 8 ( p ) 6 ( p ) ，a ) = 。( p ) ，则忪( p ) 1 1 1 有界。在b = 0 的情况下， 这种系统可用来模拟忽略重力影响下的油藏中不可压缩单向流的问题。其中 ( 1 3 ) ( n ) 代表d a r c y 定律，( 1 3 ) ( b ) 代表物质守恒，而u 为d a r c y 速度，p 为 压力，为源项或汇点项。 引入函数空间 h ( d i v ；q ) = 口( l 2 ( q ) ) 2 ；d i v v l 2 ( q ) ) ； v = u h ( d i v ；f 2 ) ：u 礼= oo na q ； 日1 ( d i v ；q ) = ( l 2 ( q ) ) 2 ；d i v v h 1 ( q ) ； w = l 2 ( q ) 从而对应于( 1 3 ) 的弱形式为：求( u ，p ) v w 满足： i ( 。) ( “( p ) u ， ) 一( d i v v ，p ) + ( 卢) ，u ) = 0 ， v v ( b ) ( p t ，如) + ( d i v u ，叫) + ( c ( p ) ，w ) = ( f ， )v w 彬( 1 1 4 ) 【( c ) p ( x ，0 ) = p o ( x ) ， x q 5 山东师范大学硕士学位论文 本文是考虑拟线性抛物问题( 1 11 ) 在矩形网格剖分下的混合体积元方 法混合体积元方法是r u s s e l 在文献 1 1 】中首先引入，后来j o n e s 在f 1 2 ，1 3 中通过数值例子验证了此方法是相当好的。这种方法的主要技巧是通过引 入一个将试探函数空间映射到检验函数空间去的迁移算子讹，将p e t r o g a l e r k i n 格式与标准有限元g a l e r k i n 法或混合元法联系起来。由于这种方 法不但继承了有限元法的高精度以及差分法的计算简单的特点，还具有其独 特的优点：保持物理量问的局部守恒性，因而自从此方法诞生之曰起就引起 了学术界的广泛重视，目前已获得了很大的发展，例如c h o ua n dk w a k 在f 15 1 中针对椭圆问题研究了基于三角形网格剖分的误差估计，在f 1 4 1 中，他又将 其推广到矩形网格以及一般的四边形网格；f 2 4 中k w a k 研究了拟线性椭圆 问题；芮洪兴2 5 1 研究了抛物问题在矩形网格下的对称的混合体积元格式； 姜子文1 7 1 8 研究了s o b o l e v 方程以及积分微分方程但是到目前为止，对 于拟线性问题所做的研究由于其复杂性，研究者甚少。 本文的主要框架：5 2 提出混合体积元格式，5 3 引入一些引理，4 引入广 义混合体积元椭圆投影，并证明其与真解的误差，5 5 给出了连续时间的误差 估计 、 对文中出现的记号做一些说明( ，) 表示l 2 ( q ) 空间的内积，其相应的 范数为”mc 表示不依赖于h ，t 的常数，在不同的地方有着不同的值。 整数m ，令“：，( q ) 表示通常的s o b o l e v 空问，其范数为| 1 1 1 。；n ( 若不 加说明，将省略下标q ) 日1 ( q ) 为日8 ( q ) 的对偶空间，范数为”忆。= 。器，槲， 1 2 混合体积元格式 令q h = q “) 是q 的矩形原始剖分， = f x i z 2 ，x i + u 2 协一1 2 ，y j + l e 】 其中c i j = ( 矗，协) ， 令 岛士1 2 = ( x i 士l 2 ，v j ) ， c 士l 2 = ( x i ，y j 士l 2 ) ， 即 ，四条边的中点 假定为拟正则的，即存在两与h 无关的正数c l ，c 2 满足 c 1 h 2si q 玎1 c 2 h 2 ，v q 可n ，( 1 2 1 ) 其中1 0 “l 代表q 玎的面积，h = - 母a x 帽， 嚣 ， 6 山东师范大学硕士学位沦文 7 喝， 若分别为q 巧的宽和高。 基于原始剖分f k 选择最低阶的r t 混合元空间作为试探函数空问 w h ( 【1 1 ，1 2 ，1 8 ) 垓= v 1 ；w ( 。，y ) = ( n + b x ，c + d y ) 。nq 埘q ) = 叫f 矿；叫l m = c o n s t ，v k q ) 定义r t 投影 ：矿一v h ( 1 3 ，14 ) ，满足： ( d i v ( u l l h u ) ，叫) = 0 ，v w w h ； 定义l 2 正交投影p h ：w 呻满足： ( p h x x ，叫) = 0 ，； 则有下面的性质( 【1 1 ，1 2 ，1 3 】) ： l l “一1 i h u | | 曼c h l l u l l l ，v u ( 且1 ( q ) ) 2 ； l i d i v ( u i i h u ) | | sc l f 出口u l ，v u ( 日1 ( d i v ；q ) ) ； j p h ) ( | | c l l x l l ，v x w 7 ； l f p h ) ( 一n i l l + h l l p h x x l c h 2 | 1 x 】l l ，v x h 1 ( n ) ； i l u l l o c 1 1 l l l mv u ( w u ( n ) ) 2 ； 下面构造对偶剖分q ：以及检验函数空问 令 q 件 j = 【甄，x i + i x 【一，弛+ n n ( 12 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 25 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) q i j 十 2 z 。一 ，z 冲 】f 珊，y j + 1 nn 矩形 q i + 如，q t ，+ ， q 玎分别称作u m 体积，u 一体积，p 一体积。如图 ，q i ，j + l 2 c i z + u 2 1 c i ，jc i + 1 2 ， 、蝴。 图17 山东师范大学硕士学位论文 最后，在原始单兀及对偶单兀上分别积分( 113 b ) 和( 11 3 a ) ，j f l u 有 厶瞄，蚶瓦o p + 尾( p ) 扎 厶。吣h + 器圳酬一o ， 乞( 时击u “+ c 扫) ) 2 f q i , j ， 其中u = ( “。，“。) ，卢= ( 尾，岛) 定义空问 虼= ( u h ，v t 。) ：? l h 工2 ) 在u 一体积上为分片常数， v h 酽( q ) 在”一体积上为分片常数) 定义迁移算子：y h - - y h ： 讥” = ( t h u h ，肌) = ( “ ( q 十如) m + 扣v h ( q j + 批抖 ) t ，jt j 其中w h = ( u ，v h ) ， x + i 1 ，j ，) ( 。j + i 1 分别为q 计 ，和q 。，升 的特征函数则7 h 为一对一的。 在算子的帮助下，( 1 21 1 ) 减去( 1 2 1 2 ) 可写成 ( a ( p ) u + v p + p ( p ) ，t h v ) = 0 ，v v k ( 1 2 1 4 ) 应用g r e e 礼公式，有 c 唧舢，2 乳曲，瓦o p 帆+ 弘州秘， 3 等k ，”z ( 僻) 如+ 等k 嘞( 呐) d s ；6 ( 饥w ，p )v = ( ，v g ) 坛 从而( 1 2 1 4 ) 司写成 陋( p ) u ，饥 ) + 6 ( u ，p ) + ( p ) ， ) = 0 ， v v ( 1 2 1 5 ) 于是问题( 1 1 1 ) 的混合体积元格式为求：( u ，p h ) 满足： f ( o ) ( a ( p h ) u ，u ) + 6 ( u ，p h ) + ( 卢扫h ) ，协 ) = 0 ， v ， ( 6 )( p m ，叫) + ( d i v u h ，叫) + ( c ( m ) ，伽) = ( f ，叫) ， v w 1 ，( 1 2 1 6 【( c ) p h ( x ，o ) = f ( x ，o ) ， ( x ，0 ) = 面( x ，o ) ，x f 2 ， 8 u 抱 竭 2 2 2 l l l 山东师范大学硕士学位论文 其中g ( o ) 与赢( o ) 由( 14 1 ) 定义 l ( 。) ( ) u ，饥。 ) 一( d i v v ：p h ) + ( 卢( p h ) ，q h v ) = 0 ，v v ， ( b ) ( p h ， 0 3 ) 4 - ( d i v u h ，叫) + ( c ( p h ) ，w ) = ( ， ) ，v w 么，( 12 1 7 ) 【( c ) p h ( x ，0 ) = 厩( x ，o ) ，u ( x ，0 ) = 丽x ，o ) ， x q 1 3 一些引理 本节我们将给出几个重要的引理。 引理3 1 b ( y h v ，p h ) = 一( d i v v ，p h ) ，v v w ”p h 引理3 2 7 】为自共轭算予，即 ( u h ，v h ) = ( u ，v h ) ，v v h ，u h 。 特别地当珏h 为分片常数向量函数时， ( ，( i 一 y h ) v h ) = 0 ，v v h 存在与h 无关的正常数c 和c o 满足 i 7 h u h l l 曼c l l “h l l ，v u h ， ( ，u h ) c 0j f u 孵v u h 引理3 3 y 存在正常数c 满足 ( u ，v h 一7 h u h ) c h l l u l l l l l 口h mv u ( 日1 ( q ) ) 2 ，u h ， 1 i u 一7 n u | | o ，目c 九乱| | 1 ，gv u ( w 1 。( q ) ) 2 ，1 g 引理3 4 5 1 存在与h 无关的常数c 满足 | | 口一7 a ) v hl i o c h l l v h l l l ，h ，v v a k ， l ( u ，( i 一7 h ) v h ) 1 c h l l “ 1 | 10 u h l l ，v u ，v h ， l ( 札，( i 一7 h ) v h ) l c 危【l u l i t i 忆v u h 1 ( q ) ，w h 9 ( 1 3 1 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 ，5 ) ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) l j 东师范大学硕士学位论文 1 4 混合体积元椭圆投影 为了数值分析，引入变分问题( 1 1 4 ) 的混合体积元椭圆投影。 设( 面，回： o ，t 】- xw h 满足 i ( o ) ( 0 1 面一o ) 札，。 ) 一( d i v v ，f p ) + ( j 8 ( 司一卢( p ) ，w ) = ( ) u ，( i 一饥) ) + ( 卢( p ) ，( ) ”) ，v v ， 【( b ) ( d i v ( 面一“) ，w ) + ( c ( 囝一c ( p ) ，”) = 0 ，v w 令 手= 面一“，亍：声一p p ， 7 1 = p 。一p = 声一p h p + p h p p = f + p p ) ， 则由 7 知 | | u 一面isc h ( t l p l l ，+ l i u ) ， ( 1 4 2 ) i i p f | l 茎c ( 1 1 p l | 1 + 1 1 u 1 1 1 ) ，( 1 4 3 ) 1 1 4 1 v ( u 一面) | l 冬c ( i 旧i l t + i l u l l + l i d i v u l l ) ，( 14 4 ) i i p f i i o ，。墨c ( 1 l p i l - ，口+ l i p l l + l l u i l l + l i d i v u l l l ) ， 2sq 0 ( 3 ， ( 1 45 ) l t 面l l o ，。c ( 1 i p l l ；。+ 1 ) ，( 1 4 6 ) f l “一面f f 。，2 + 。+ f f p f o ，口c 赤，0 e 1 2 ) ， ( p p h ) t i c h ( i | u t ( o ) l | ，+ l 仇( o ) | i + i i p ( o ) t l - + i m o ) l h + l 旧队+ l l u 1 + l 旧t 1 i ，+ | | 毗l i ， + j ( 。( 1 1 p i l 2 + i i 砘晴+ 1 1 饥旧+ i i p “畸+ 1 1 札“旧+ 1 ) d r ) v 2 ， u 一“h 1 1 日( d 甜1 c h ( i i u c ( o ) i i l + l i 研( o ) 1 1 1 + i i p ( o ) l h + l i u ( o ) l h + l i p i l l + l u l l l + l i p t l l , + l l u t l 1 + z ( 1 旧t i i ；+ 1 1 “t 旧+ i i 芦“幅+ l i 札“惦+ 1 ) d r 】 ) 证明：在( 15 3 ) 中令7 3 = ， = q 两式相加得 ( 。( p h ) f ，协f ) + ( 目) = 一( 砖( m ) 7 7 + 面啄h ) ? 7 ，) 一( 每( p h ) 叼，q ) 一( 讯，卵) ( 1 5 4 ) 由引理3 2 知 c 删j 2 + 互l 刻d 叩1 1 2 茎c ( 物i t l f l l + 2 + ) c ( 2 + 2 ) + 孙限 掣卯+ 互l 刻d ”1 1 2 c ( 1 1 1 1 1 2 十1 1 硫1 1 2 ) ( 1 删 ( 1 5 ，5 ) 关于t 从0 到t 积分得 1 17 7 1 1 2 一1 1 叩( o ) 1 1 2 + o 1 1 1 1 2 d 。上( 1 1 ”1 1 2 + 2 ) d l 卵( o ) = p h ( o ) 一声( o ) = 0 ， 由g r o n w a l l 引理知 因此 由( 1 4 3 ) 式，弓i 理1 4 1 知 1 囟一p n j l c h ( 1 l p l l + 1 l u l l l ) 1 叩1 1 2 + z 。i 俺1 1 2 d rsc 上2i i 硫1 1 2 d r q i t 墨。( _ 慨怖，) m q 墨c ( r l 吲1 2 d r ) j o + c h ( 1 | p l l j + 1 l u 旧+ i p c i i i + l l u t 旧+ 1 ) d f ) 1 2 ( 1 5 6 ) j i j 山东师范大学硕士学| 立沧文 ( 1 5 3 ) 两边关于t 求导得 j ( ) ( a ( p 九) + q ) 已+ r 川+ r 吼，r a y ) 一( d i v v ，吼) + ( 7 t q + ，吼，7 h v ) = 0 ， i ( b ) ( q “，叫) + ( d i v o t ，w ) + ( c p ? + c r h ，训) = 一( 硫， ) 取v = 6 ，w = 仇两式相加得 ( 。( m ) 已，饥铂+ ；爰l i 吼 1 2 = 一( c t q + c 町f ) 伉) 一( 讯，仉) ( 仉叩+ 7 已) 一( o t ( p ) f + r 川+ r 仇，饥。已) 所以 印1 1 6 | j 2 + 互l 忑di i 吼1 1 2 墨c ( 1 i 吼川q i i + i i 仇1 1 2 + l l 讯t l 吼i i + 1 i , 1 1 1 1 ；t 1 i + i | 仇j 已| | + l i 1 6 1 1 ) c ( 1 i , 1 1 2 + 2 + 慨1 1 2 + 1 1 f 1 1 2 ) + 却已1 1 2 因此 | | 毛旷+ 盖l i 吼旷c ( 1 i ”旷4 - | | 讯旷+ 0 讯t 旷+ l | 酽) 两边从0 到t 积分 上。1 1 已1 1 2 d 丁+ l | 吼1 1 2 i i , d o ) l l = 4 - j ( ( i i q i l 2 + i i 吼1 1 2 + i l 讯。1 1 2 ) d r + cz 1 | 1 1 2 d r 由g r o n w a l l 引理知 ：i i f t l l 2 打+ 1 1 4 1 2 si i 卵d o ) l i = + 尉q i l 2 圳1 2 + | i 伽i i d r 吼l l 1 i , d o ) 1 1 + c ( f ( i l q l l 2 + | i l | 2 + 1 1 绣。1 1 2 ) d r ) 5 j u 1 l 吼( o ) i l + c 忍( z 。( 1 眵i i + i i u 瞻+ i i 仇旧+ i t u t 畸+ | | 仇t 旧+ i i “i i ；) d r ) 在( 1 5 3 ) ( o ) 中令口= ，( 5 3 ) ( 6 ) 中令叫= d i v ( q ( 枨，7 d ) = 一( 面略( p ) q ，7 d ) 一( d i u 一( 眦h ) q ，帆) ，( 1 删 i ( b )( d 动f ，d i ) = 一( 吼，d 乱j f ) 一( 吲n 。) q ，d i v ( ) 一( 碗，d i f ) 。 故 l i d i v s i lsc ( 1 l , t l i + 1 | q i | + 1 讯1 1 ) sc h ( 1 l p l l l + i i 钍1 1 14 - l i p & + i l u 。1 1 1 + l i m l | + ( i | p 旧+ 1 | u 惦+ | l 鼽旧4 - 1l u t i i i ) d q l 2 )( 1 5 8 ) j 0 2 1 山东师范人学硕士学位论文 令 霞a i ( p h ) = f ，p i ( p h ) = 7 ，弓= c ( 1 5 3 0 ) 关于t 求导得 ( 吼( p ) + 。 ) 已+ f t q + f q t ，1 h ) 一( d i v v ，吼) + ( 仉叼+ 7 琅，h ) = 0 ，( 1 5 9 ) ( 1 5 9 ) 中取 = ，则有 ( ( p ) 亭+ a ( p ) 6 + f 叩+ f t i t ，饥。勤一( 谢 ，吼) + ( 仉? 7 + 7 吼，m 。) = 0 ( 1 5 1 0 ) ( 1 5 3 6 ) 中取叫= 有 ( 吼，吼) 4 - 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十泓+ 础+ 恻阶卅肌1 ) 州j ) 2 4 山东师范大学硕士学位论文 第二章二阶拟线性抛物型积分微分方程的扩展混合有限元 方法 2 1 引言 考虑下列二阶拟线性抛物型积分微分方程初边值问题： l ( ) u t v 。( 札) v u + j j6 ( z ，t ， - ，u ( z ，丁) ) v 乜( 茁，丁) d 丁) j + c ( u ) = f ( x ，f ) ，扛，t ) q z，、 i ( b ) 札( o ，0 ) = u o ( x ) ，x q ， 、 【( c ) u ( 。，t ) = 一g ， 。a q ， 其巾n 为彤( 扎= 2 或3 ) 中有光滑边界a n 的有界区域；a ( z ，u ，t ) ，6 ( z ，札，t ) ，c ( 。，u ，t ) 都是关于1 1 二阶连续可微的有界函数，咖，9 是己知函数；j = ( o ，t ，了= 【o ，t 】假 设o ，b ，f ，i t 0 ，札1 及其导数都有界且0 a o o ( z ，) ，( x ，t ) q j ，( ，g ) h s ( q ) 日；+ e ( a n ) ( o e 1 ) 在气体扩散热传导等众多物理问题中，经常出现此方程。对此人们提出 了许多数值模拟方法。陈章新对混合有限元方法作了进一步推广，提出了扩 展混合有限元方法。该方法在三个不同的空间定义了三个变量：未知函数， 未知函数的梯度，流量。它与传统混合有限元方法的差别在于多引进了一个 中间变量，即未知函数的梯度。这种方法适合解决微分方程的系数是小张量 的情况。同时传统混合有限元方法在处理一些拟线性方程式只能得到次最优 误差估计时，用本方法则可以得到最优误差估计。最后该方法可以用来处理 具有混合型边界条件的问题。基于扩展混合有限元方法的思想，我们对拟线 性抛物型积分微分方程( 2 1 1 ) 进行数值模拟，得到了( 2 1 1 ) 的扩展混合有 限元解的工2 模最优误差估计本章在2 1 2 给出了问题( 2 ，1 1 ) 的扩展混合 有限元的变分形式和离散格式2 1 3 中我们证明了离散格式解的存在唯一 性。5 2 1 4 将给出一些引理，2 1 5 给出l 2 模的最优误差估计。 对文中出现的记号做一些说明，c 表示不依赖于h ，t 的常数，在不同的地 方有着不同的值。 整数m ，令w 仉，( n ) 表示通常的s o b o l e v 空间，其范数为”| | 。n ( 若不加 说明，将省略下标q ) 令日( q ) = w m , 2 ( q ) ，范数1 i 。，：= ”l i 。 山东师范大学硕士学位论文 2 2 拥i 叫i 8 ；e 雨4 ( 2 1 1 ) 的变分形式与扩展混合有限元格式 对问题( 2 1 1 ) 我们作如下假定：对于任意给定的e ( 0 e 1 ) 和函数 ( ， g ) 日。) 日托( a n ) ，问题( 2 1 1 ) 存在唯一解日2 扣( 啊 取 v = h ( d i v ；q ) = u ( l 2 ( n ) ) “：v l 2 ( q ) ) ， w = l 2 ( q ) ， a = ( l 2 ( q ) ) ” 并引入中间变量a 和口，a = - v u ， 盯= ( ( “) v “+ 06 ，叫( 叩) ) v u ( v ) d r ) ， ( 2 ，2 ，1 ) 则问题( 2 1 1 ) 等价于下列一阶微分方程组 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( b ) 饥+ v 口+ c ( u ) = ， a = 一v “ o ( u ) 一d + j ：b ( 乱) ( t ) d f = 0 u x ，t ) = 一g 牡( z ，0 ) = u o ( x ) ( 。，t ) q z ( x ，t ) q z qxj ， ( 2 2 2 ) ( 茁，t ) a q z z q ( 1 2 2 ) 式中的( 。) ，( b ) ，( c ) 分别与叫形 k p a 作内积，并利用格林公 式和边界条件可得出与问题( 2 1 1 ) 等价的混合型变分形式： 求( 口，a ，p ) ( v a w ) 满足 f ( ) ( m ，”) + ( v 叽训) + ( c ( u ) ，