（电力电子与电力传动专业论文）spwm变频调速矢量控制系统的建模与仿真.pdf

a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h em o d e l i n ga n dt h es i m u l a t i o na b o u tv e c t o rc o n t r o ls y s t e mo ft h e s p w mv a r i a b l ef r e q u e n c yc o n t r 0 1 v a r i a b l e - f r e q u e n c ys p e e dr e g u l a t i o ni sat i p t o pw a ya b o u ts 删 r e g u l = i o n t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o no f t h ee l e c t r i cd r i v es y s t e mi so n eo f t h eq u i t ei m p o r t a n tm h r l s i nt h es c i e n c er e s e a r c hu s i n gm o d e ms c i e n t i f i cm e a n s a l o n gw i t hd e v e l o p i n gd i g i t a lc o m p u t e r , t h e b i gd i f f i c u l t yi n d e xm a t h - p h y s i c sc o u n tb e c o m ee a s i l yn o w a sar e s u l to f s i m u l a t i o ng r o u n do nm a t h m o d e lh a v eu p p e rp r e c i s i o n ，a n dm o d e lf a c i l eb ec o n v e r s i o n ，t h em a n yo fs t u d i e sa l et h em a t h s i m u l a t i o nn o w , b e c a u s et h es y s t e ms i m u l a t i o nh a v em a n ye x c e l l e n c e ，s u ba sc a nb ec o n t r o l e a ， h a sn o td e s t r o yt h ee q u i p m e n t ，s a f e t y , t h eo u t s i d ec o n d i t i o nc a n n o tl i m i t i t ，a n di tc a l lc o m p l e x a n a l y s ea n dc o m p a r et h ec o m p l e xm a t t e ra n dt h ep o l i c ya n dt h ep r o j e c t ，a n do p t i m i z ea n dc o n f i r m t h e i r sp a r a m e t e rt h r o u g hb u i l dl i f e l i k em a t hs i m u l m i o na n di t e r a t i v es i m u l a t i o nt e s ta tt h ec o m p u t e r t h es y s t e ms i m u l a t i o nc a n n o tl a k ey e te s p e c i a l l yf o rn e wr e s e a r c ho ft h ec o n t r o ld e c i s i o n - m a k i n g a n dc o u n t m e t h o d i to f f e rc r e d i b l eg i s tf o rs c i e n c ed e c i s i o n m a k i n g i tm a i n l yi n t r o d u c e dt h ed e v e l o p m e n to fa cr e g u l a t i n gs p e e ds y s t e ma n dt h eb a s i si d e ao f v e c t o rc o n t r o la n dh o wt ou s es i m u l l n ki ns o f t w a r em a t l a ba n de s t a b l i s h i n g a s y n c h r o n i s m sm a t hm o d e l t h ee m p h a s e sa r es i m u l a t i o na b o u te v e r yp a r to ft h e s y s t e ma n dv e c t o rc o n t r o ls y s t e mt h r o u g hm a n yo ft h es i m u l a t i o nt e s t ，s y s t e m s c a p a b i l i t yw a sr e s e a r c h e da b o u ts t e a d yc o n d i t i o na n dd y n a m i ca n dd i v e r s i f i e dc i r c s i ti s b a s ef o rm o r ee m p o l d e r i n ga n du s i n g i n go f n e we x p e r i m e n t a li n s m l l m i o n k e yw o r d s ：v e c t o rc o n t r o l s i m u l a t i o nm a t hm o d e l i i 第1 章概述 1 1 现代交流调速系统的发展 交流变频调速技术是集电力电子技术、微电子技术、电机学及自动控制技术 于一身的一项技术高度发展的产物，它是通过改变电动机定子供电频率来改变同 步转速，从而实现交流电动机调速的一种方法。交流变频调速以其调速范围宽， 平滑性好，具有优良的动、静态特性，显著的节能效果和广泛的适用性被国内外 公认为应用性好、效率高，是理想的电气传动方案。 随着电力电子学与电子技术的发展，使得采用半导体交流技术的交流调速系 统得以实现，特别是大规模集成电路和计算机控制技术的发展，以及现代控制理 论的应用，为交流电力传动的开发创造了有利条件，使得交流电力传动逐步具备 了宽的调速范围、高的稳速精度、快的动态响应以及在四象限作可逆运行等良好 的技术性能。随着各种功率半导体开关器件的相继问世，使得长期阻碍变频调速 技术推广应用的关键问题如何构成经济、可靠的高性能大功率变频器得以基 本解决，从而使变频调速方式在工业应用中显示出强大的生命力。 近年来，随着数字化控制的变频调速系统获得巨大发展，先进的电机控制理 论( 如磁场定向矢量控制、直接转矩控制) 被广泛应用，变频装置中的电力电子 器件如i g b t 、i g c t 等性能大大提高，同时核一t 3 控制计算机从1 6 位机发展到3 2 位 机，并且普遍使用高速数字信号处理器( d s p ) 进行复杂的控制算法运算，实现了 快速运算和高精度控制。现代的数字化控制变频调速系统噪声大大降低，元器件 大幅度减少，并且可以得到良好的电流波形，从而使系统更加可靠。同时系统在 调速范围、调速精度、动态响应、输出性能、功率因数、运行效率和使用的方便 性等方面都是其它交流调速方式不可比拟的。目前全数字化控制变频调速系统的 电流响应可达到0 】o 7 m s ，速度响应可达到2 4 m s ，足以满足传动领域的要求。 当前数字化变频调速控制系统中普遍使用的控制方式是p w m 矢量控制方式 ( 包括电压矢量、磁通矢量和磁场定向等) ，图l 一1 示出了矢量控制调速系统的 结构图。矢量控制能够对电压、电流以及它们产生的磁势、磁链的瞬间值进行控 制，并且能够实现磁通和转矩的解耦，从而大大提高电机的动、静态性能。使交 流调速系统发生了质的飞跃，逐步取代直流调速系统，成为主要的传动装置。例 如，现代高速列车、地铁、电动汽车都采用了交流调速系统。 图l 一1矢量控制调速系统的结构图 矢量控制理论解决了交流电动机的转矩控制问题，应用坐标变换将三相系统 等效为两相系统，在经过按转子磁场定向的同步旋转变换实现了定子电流励磁分 量与转矩分量之间的解耦，从而达到对交流电动机的磁链和电流分别控制的目的。 直接转矩控制是8 0 年代中期提出的又一转矩控制方法，其思路是把电机与逆变器 看作一个整体，采用空间电压矢量分析方法在定子坐标系进行磁通、转矩计算， 通过磁通跟踪型p w m 逆变器的开关状态直接控制转矩。因此，无需对定子电流进 行解耦，免去了矢量变换的复杂计算，控制结构简单，便于实现全数字化，目前 正受到各国学者的重视。 近十多年来，各国学者致力于无速度传感器控制系统的研究，利用检测定子 电压、电流等容易测量的物理量进行速度估算以取代速度传感器。其关键在于在 线获取速度信息，在保证较高控制精度的同时，满足实时控制的要求。速度估算 的方法，除了根据数学模型计算电动机转速外，目前应用较多的有模型参考自适 应法和扩展卡尔曼滤波法。无传感器控制技术不需要检测硬件，也免去了传感器 带来的环境适应性、安装维护等麻烦，提高了系统的可靠性，降低了成本。计算 机控制技术引入控制系统，促进了模拟控制系统向数字控制系统的转化。数字化 技术使得复杂的矢量控制得以实现，并且简化了硬件，提高了控制精度，而自诊 断功能和自调试功能的实现又进一步提高了系统可靠性，节约了大量人力和时间， 操作、维修都更加方便。微型计算机运算速度的提高、存储器的大容量化，将进 一步促进数字控制系统取代模拟控制系统，数字化已成为控制技术的方向。 随着现代控制理论的发展，交流电动机控制技术的发展方兴未艾，非线性解 耦控制、神经元控制、模糊控制等各种新的控制策略正在不断涌现，展现出更为 广阔的前景，必将进一步推动交流调速技术的发展”1 。 1 2 系统仿真方法 所谓仿真，通俗地讲就是对真实的模拟，仿真技术是以相似原理为基础，以 控制论、系统论和信息论为指导用计算机和专用物理设备为硬件平台，利用系 统的模型( 数学、物理或混合) ，对实际或虚拟的系统进行动态实验研究的一门技 术。它又是一种可控制的、无破坏性的、耗费极小的并允许反复的实验手段。 1 系统仿真 系统仿真是指使用数字计算机设备来模拟或描述一个系统或过程的行为从而 解决问题的一种技术。系统仿真是设计出系统的可以计算的模型( 模拟模型) ，并 利用它在训算机上进行试验以了解系统行为或评估系统运用的各种策略的定量分 析过程或技术。仿真技术是集控制论、系统理论、相似原理、计算机技术于一体 的综合性高科技。虽然它才仅仅出现几十年，却在社会、经济、科学、军事、教 育和企业管理等各个领域得到了广泛的应用。据估计，在同本企业，用系统工程 解决的事件管理与决策的问题中，有8 0 以上足通过系统仿真方法解决的。在我国， 前也f 在大力推广和普及，并已在交通运输、军事训练、地区发展规划、工业 程设计、人口问题研究等方面取得了丰硕的成果。 系统仿真如此蓬勃发展，一方面由于我们面临的各种实际系统往往都是包括 量随机因素的动态的复杂系统。对这些系统很难采用传统方法建立数学模型， 析求解。另一方面是由于系统仿真方法具有可控性、无破坏性、安全、不受外 条件的限制等优点，它能通过建立逼真的仿真模型和在计算机上反复的仿真试 ，对复杂问题进行综合分析和比较，从而为科学决策提供可靠的依据。 随着计算机的引入又发展了数值计算仿真方法，由于计算机求解复杂系统的 学模型功能强，故现代主要采用计算机仿真。计算机仿真是先将系统模型转变 仿真模型，然后计算机运行这仿真模型，这样就仿真了待研究系统的行为和它 特性。物理仿真、计算机仿真以及数学一物理仿真都是在系统模型上进行研究， 把它们统称为系统仿真。 2 系统仿真的分类 系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分按一定规律组合成的具有特定 能的有机整体。一个系统是指自然界存在着的相互联系、相互作用、相互制约 且按一定规律运动着的实体组合。作为一个系统，它具有特定的功能和特性：( 1 ) 竞具有整体性( 2 ) 系统具有相关性。 模型就是真系统的结构和行为的一种描述形式。凡是以某种方法从真实系统 奂而来的形态，都可以称为该系统的模型。系统模型可分为物理模型和数学模 目种形式： ) 物理模型：物理模型与实际系统有相似的物理性质，这些模型可以是按比例 、的实物外形，也可以是与原系统性能完全一致的样机模型。 ) 数学模型：数学模型是由抽象的数学方程为描述系统内部物理量之间的关系 ! 立的模型。 根据仿真所采用的模型划分，可将仿真分为数学仿真和物理仿真两大类。 4 a 物理仿真亦称为实物仿真，它是在系统生产出样机后，将系统实物全部或 部分的引入回路，由于物理仿真能将系统的实际参数、数学仿真中难以考虑到的 非线性因素和干扰因素引入仿真回路，因此物理仿真更接近系统的实际情况，通 过仿真可以检验实物系统工作的可靠性，可以准确地调整系统元部件的参数。 b 数学仿真就是将数学模型编排成模拟计算机的排题图或数值计算机的程 序。这一过程是将原始数学模型转换成仿真模型，通过对计算机模型的运行达到 对原始系统研究的目的，数学仿真在系统设计阶段和分析阶段是十分重要的，通 过数学仿真可以检验理论设计的正确性。 1 3 数学仿真 随着数字计算机技术的发展以前比较难以解决的数学物理计算，现在变得 容易了，由于基于数学物理模型基础上的仿真结果具有较高的精度，模型转换较 容易等特点，因此，现代研究比较多的是数学仿真。 1 建立数学模型的方法 利用计算机对一个系统进行仿真，首先要建立被研究系统的数学模型。一般 情况下，有三种途径来解决实际系统的建模问题： ( 1 ) 演绎法这是最早的一种建模方法，这种方法适用于内部结构和特性很明显 的系统，可以利用已知定律如质量、能量守恒关系等来确定系统内部的运动规律 以及状态参数等，大多数工程系统属于这一类。 ( 2 ) 归纳法对于那些内部结构不十分清楚的系统，可以根据对系统输入、输出 的测试数据来建立系统的数学模型。 ( 3 ) 混合法这是将演绎法和归纳法互相结合的一种建模方法。通常利用先验知 识确定系统模型的结构形式，再用归纳法来确定具体参数。通常这种方法是比较 有效的。 2 数学仿真的步骤 利用计算机进行数学仿真，一般要经过以下步骤： ( 1 ) 确定原系统进行仿真的目的和基本仿真要求； ( 2 ) 建立系统的数学模型，将被研究系统用演绎法或实验法抽象出表达式或信号 流图，这一过程称为一次化建模过程，它是数学仿真的重要依据； ( 3 ) 模型的变幻，将原始数学模型通过一定的方式变换成能在计算机上运行的仿 真模型通常把仿真模型称为二次化模型； ( 4 ) 运行仿真模型：在运行仿真模型之前，需要对仿真模型的具体流程进行设计， 无论是模拟计算机仿真还是数字计算机仿真都需要进行程序设计，然后在计算机 上加载模型，求出计算结果： ( 5 ) 整理、分析仿真结果，确认仿真结果f 确无误后，根据要求写出仿真技术报 告。 以上仿真过程可以归纳为三个阶段，即： ( 1 ) 一次建模阶段： ( 2 ) 二次模型变换阶段； ( 3 ) 模型加载运行及结果判断阶段。 3 数学仿真的特点 数学仿真的基本工具是计算机，所以数学仿真又称为数字仿真。 ( 1 ) 数值计算的延迟：任何数值计算，无论是适用于串行计算机上的串行算 法，还是适用于并行处理机上的并行算法都有时间的延迟，其计算速度与计算机 本身的存取速度、计算速度、所求解问题本身的复杂性和使用的计算方法有关。 ( 2 ) 仿真模型的数值化：数字计算机对仿真问题进行计算时采用数值计算， 仿真模型必须是离散模型，如果原始数学模型是连续模型，各种原始数学模型必 须转换成适合于数字计算机的仿真模型，因此，需要研究各种数值计算方法。 ( 3 ) 计算精度高。 ( 4 ) 实现实时仿真比模拟仿真困难，对复杂的快速动态系统进行实时仿真比 6 较困难需要在并行处理机上采用并行仿真或采用编程复杂的汇编语言进行仿真。 ( 5 ) 利用数字计算机进行实物或半实物仿真需要a d 、n h 变换装置“。 1 4 论文的意义及任务 电动机及其控制在国民经济中起着重要作用。无论是在工农业生产、交通运 输、国防宇航、医疗卫生、商务与办公设施还是日常生活中的家用电器，都大量 地使用各种各样的电动机。电动机是电能应用的主要形式，是应用最广泛的电能 到机械能的变换装置，世界上超过6 0 的发电量用于驱动各种各样的以电动机为原 动机的电力传动装置与系统。其中许多的机械有着调速的要求，如车辆、电梯、 机床、造纸机械、纺织机械等等，为了满足运行、生产、工艺的要求需要调速： 另一类设备如风机，水泵等为了减少运行的损耗，节约电能也需要调速。在以满 足生产工艺要求为目的的调速控制方面，直流电动机调速系统占据主导地位。但 是直流电动机本身在机构上存在严重的问题，它的机械接触式换向器不但结构复 杂，制造复杂，制造费时，价格昂贵，而且运行中容易产生火花，以及换向器的 机械强度不高电刷易于磨损等问题的存在，在运行中需要有经常性的维护检修： 对环境的要求也比较高，不能使用于化工、矿山等周围环境中有粉尘、腐蚀性气 体和易燃、易爆气体的场合：即便应用在车辆牵引上，也感到维护检修不便。特 别是由于换向问题的存在，直流电动机无法做成高速大容量的机组，目前3 0 0 0 转 分左右的高速直流电动机所能做到的最大容量只有4 0 0 千瓦左右，低速的直流电 机就也只能做到几千千瓦，容量较大的直流电机往往要做成双电枢，甚至三电枢 式，远远不能适应现代生产向高速大容量化发展的要求。 众所周知，直流它励电动机是一种控制性能非常优越的电动机，因为电刷位 于几何中性线上，电机励磁所产生的主磁通与电枢电流i 。所产生的电枢反应磁势 p 在空间是相互垂直的。若不考虑磁路饱和的影响，它们之间没有耦合关系，互 不影响，j 以分别独立进行调节。它调速方便，只要改变电机的输入电压或励磁 7 电流，就可以在宽广的范围内实现无级调速，而且在磁场一定的条件下它的转矩 和电枢电流成正比，它的转矩易于控制，因此直流电动机调速系统比较容易得到 良好的动态特性。所以过去直流电动机调速系统一直在变速传动领域中占统治地 位。 交流调速系统具有以下几个主要优点：交流电动机特别是鼠笼型异步电动机 的价格远低于直流电动机而且结构简单。重量轻，制造方便，坚固耐用，惯性 小；可靠性和运行效率高，不易出故障，维修工作量小；使用场合没有限制，能 在恶劣的甚至是含有易燃易爆性气体的环境中安全运行：单机容量远大于直流电 动机。正是由于交流电动机的这种优势，使它在电力拖动系统中的应用范围比直 流电动机要广泛得多，约占整个电力拖动总容量的8 0 以上。在整个交流调速中占 有重要的地位。 矢量控制理论解决了交流电动机的转矩控制问题，应用坐标变换将三相系统 等效为两相系统，在经过按转子磁场定向的同步旋转变换实现了定子电流励磁分 量与转矩分量之间的解耦从而达到对交流电动机的磁链和电流分别控制的目的。 使交流调速系统发生了质的飞跃，逐步取代直流调速系统，成为主要的传动装置。 例如，现代高速列车、地铁、电动汽车都采用了交流调速系统。 在研究交流电动机变频调速时，我们做了无数实验，在实验中大量的贵重元 器件由于各种原因损坏了，因此我们想到了“系统仿真”。系统仿真是指使用数字 计算机设备来模拟或描述一个系统或过程的行为从而解决问题的一种技术。系统 仿真是设计出系统的可以计算的模型( 模拟模型) ，并利用它在计算机上进行试验 以了解系统行为或评估系统运用的各种策略的定量分析过程或技术。 仿真技术是集控制论、系统理论、相似原理、计算机技术于一体的综合性高 科技。虽然它才仅仅出现几十年，却在社会、经济、科学、军事、教育和企业管 理等各个领域得到了广泛的应用。据估计，在日本企业，用系统工程解决的事件 管理与决策的问题中，有8 0 以上是通过系统仿真方法解决的。在我国，目前也正 r 在大力推f 。和普及，并己在交通运输、军事训练、地区发展规划、工业过程设计、 人口问题研究等方面取得了丰硕的成果。系统仿真如此蓬勃发展，一方面由于我 们面临的各种实际系统往往都是包括大量随机因素的动态的复杂系统。对这些系 统很难采用传统方法建立数学模型，分析求解。另一方面是由于系统仿真方法具 有可控性、无破坏性、安全、不受外界条件的限制等优点，它能通过建立逼真的 仿真模型和在计算机上反复的仿真试验对复杂问题进行综合分析和比较。从而 为科学决策提供可靠的依据。 本文对8 0 c 1 9 6 m c 单片机为控制器，以i g b t 为开关的异步电动机s p w m 矢量控 制系统在m a t l a b 软件中应用s i m u l i n k 仿真工具进行了仿真研究。通过电机仿真 模型的研究更证明了上述的必要性和重要性。 第2 章异步电动机的多变量数学模型 一一般来说，交流变速传动系统，特别是变频传动系统的控制是比较复杂的， 要设计研制一个品质优良的系统，要确定最佳的控制方式，都必须对系统的静态 和动态特性进行充分的研究。交流电机是交流变速传动系统中的一个主要环节， 其静态和动态特性以及控制技术远比直流电机复杂，而建立一个适当的异步电机 数学模型则是研究交流变速传动系统静态和动态特性及其控制技术的理论基础。 2 1 异步电动机在三相坐标系上的数学模型 异步电动机是一个高阶、非线性和强耦合的多变量系统。这是因为首先异步 电动机在进行变频调速时，电压和频率之间必须进行协调控制，故输入变量有电 压和频率。而在输出变量中，除转速以外由于在调速过程中必须保持磁通为恒 定，所以磁通也是一个控制量，而且是一个独立的输出量。再考虑异步电动机是 三相的，所以异步电动机的动态数学模型是一个多输入、多输出( 多变量) 的系 统；而电压( 电流) 、频率、磁通、转速之间又相互影响，所以它是一个强耦合的 多变量系统。其次，异步电动机的电磁转矩是磁通和电流相互作用产生的，旋转 感应电动势是转速和磁通相互作用产生的，因此，在数学模型中会含有两个变量 的乘积项，再考虑磁饱和的因素，所以异步电动机的数学模型是一个非线性的系 统。最后，由于异步电动机定、转子三相绕组中的电流产生的磁通存在电磁惯性， 转速的变化存在机械惯性等因素，所以异步电动机的数学模型是一个高阶系统。 在研究异步电动机的多变量数学模型时，常做如下假设“： 1 忽略空间谐波，设三相绕组对称( 在空阳j 互差1 2 0 0 电角度) ，所产生的磁 动势沿气隙圆周按正弦规律分布；定子a 、b 、c 及三相转子绕组a 、b 、c 在空间 对称分布，各相电流和及不计。 2 忽略磁路饱，各绕组的自感和互感都是恒定的； 3 忽略铁心损耗： 1 0 4 不考虑温度和频率的变化对电机参数的影响。 无论电动机转子是绕线型的还是鼠笼型的，都将它等效成绕线转子，并折算 到定子侧，折算后的每相绕组匝数都相等。这样，实际电动机就被等效为图2 - 1 示的三相异步电动机的物理模型。图中，定子三相绕组轴线a 、b 、c 在空间是固 定的，故定义为三相静止坐标系。设a 轴为参考坐标轴，转子以c o 速度旋转，转 子绕组轴线为a 、b 、c 随转子旋转。转子a 轴和定子a 轴间的电角度差目为空间角 位移变量。规定各绕组电压、电流、磁链的 i f 方向符合电动机惯例和右手螺旋定 则。这时，异步电动机的数学模型由下述的电压方程、磁链方程、转矩方程和运 动方程组成。 2 1 1 电压方程式 三相定子绕组电压平衡方程式为 u = f - + p p “日= i 日 + p 矿日 “r = o f ，- + p 妒f 三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程式为 “。2 f 。r 2 + p 妒。 “。2 1 。r 2 + p y 。 式中 “，“b ，u ( “。，“。定予和转子相电压的瞬时值 i 。，i 。i ，i 。，i 。i 定子和转子相电流的瞬时值 妒。，y 。，妒。，妒。，悱各相绕组的全磁链 _ ，_ 定子和转子绕组的电阻。 p 微分算子，代替微分符号洲出 图2 1 三相异步电动机的物理模型 上述各量都己折算到定子侧，为了简单起见表示折算后的上角标志”均省略， 以下同此。 将电压方程用矩阵形式表示可写成： 0 000 o i f , o 1 ooo o 忆 o oo o o 恢 00 0 ，2 0 0 忆 oooo ，2 ol i 00000 r 2 a l f 。 或写成 u = r i + p t 2 1 2 磁链方程式 岬陲 ( 2 1 ) 每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其他绕组对它的互感磁链之和，因 l2 脚脚舯如蜥绯 此。六个绕组磁链可表达为 妒口 y c p 。 p 6 y 。 ( 2 2 ) 或写成y = “ 式中l 是6 x 6 阶的电感矩阵，其中对角线元素l m ，l b b ，l c c ，l 。，l b b ，l 。是 各相关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。 对于每一项绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通与漏磁通之和，因此，定 子和转子各相自感为： l “= l 日口= l ( 、( = 工l 】= 。l + 工，l ( 2 - 3 ) 上。= l m = l 。c = 三2 2 = m2 + 2 式中：厶，上：定子和转子自感 厶。，l n 表示与漏磁通对应的定子和转子每相漏感 l 。，= 工。：表示与最大互感磁通对应的定子和转子互感。 ( 2 - 4 ) 两相绕组之间只有互感。互感的情况较为复杂，定子和转子的六个绕组之间 的互感可考虑有两类：一类是a 、b 、c 相绕组及a 、b 、c 相绕组之间因位置固定。 故互感为常数；另一类是定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的，互感是 角位移疗的函数。由于三相绕组的轴线在空间的相位差是1 2 0 0 电角度，在假设气 隙磁通为正弦分布的情况下，互感值为上。ic o s l 2 0 。= 上。】c o s ( 一1 2 0 。) = 一上。i 2 ，于是 上月日= 8 f = “= 鲋= - c = c 8 = 一去。1 ( 2 5 ) 上。= l h c = l e o = 。= l o c = l c h = 一圭。l c z s ， 0kk0bk知伽缸“加缸 咖助伽鼬伽“ 咖伽如知伽如 跏射缸肺知跏埘细伽伽助 知助埘助伽砌 定、转予间的互感分别为 l 。= l , a = l m = l 目= l = l ( 1 = l m lc o s o l 6 = l m = l = l 。自= l e o = l m = l 。lc o s ( o 一1 2 0o ) l 。= l “= l = l m = l ( * = l = l ，lc o s ( o + 1 2 0 。) 当定、转子两相绕组轴线一致时，两者之间的互感值最大。 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 将式( 2 3 ) 式( 2 9 ) 都代入式( 2 2 ) 中即得完整的磁链方程，显然这个矩 阵方程是很庞大的。为了方便起见，可以将它写成分块矩阵的形式 卧旺班： 式中定子磁链k = p 。p 。矿。r 转子磁链甲，= 砂。虬r 定子电流= hi 。i c 】， 转子电流i ，= p 。】r 定予自感矩阵l 。= 上m l 十l j l l ，l 2 一l ，l 2 定子、转子之间的互感矩阵 一l 。l 2 。i + 三f l l 。l 2 一。l 2 l 。l + 厶2 一k l 2 一l ，l 2 一l ，l 2 三。i + 三 一l 。l 2 一工。i 2 l m f + l ，2 c o s o c o s ( o 一1 2 0 0 ) c o s ( o + 1 2 0 0 ) l 。= e ，= l ，ic o s ( 8 + 1 2 0 0 ) c o s o c o s ( o 一1 2 0 0 ) c o s ( 8 1 2 0 0 ) c o s ( o + 1 2 0 0 ) c o s o 4 ( 2 - 1o ) ( 2 1 1 ) f 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) n 2 2，“， + 叭 州 k 屯o ，l 1 i 阵矩感自子转 k 和l s ，两个分块矩阵互为转置，且与转子位置有关，是时变元素，这是系统非线 性的根源。可以用坐标变换把变参数转换成常参数。 把磁链方程式( 2 - 2 ) 代入电压方程式( 2 - 1 ) ，则得展开后的电压方程为 u = r i + p ( l j ) = r i + l d i d t + ( d l d t ) i = r i + l d i d t + ( d l d0 ) i ( 2 1 4 ) 式中l d i d t 项属于电磁感应电动势中的变压器电动势，( d l do ) ( i 】i 项属于电磁感 应电动势中与转速成正比的旋转电动势。 2 1 3 转矩方程式 按照机电能量转换原理，可求出电磁转矩t 的表达式 t = 一p l 。k i 。+ f 8 i 。+ i c i 。) s i n o + ( i + i c + i c i 。) s i n ( o + 1 2 0 。) 十( + + i 。) s i n p 一1 2 0 。) j ( 2 - 1 5 ) 式中 瓦电磁转矩 仇电机的磁极对数 2 1 4 运动方程式 作用在电动机轴上的转矩与电动机速度变化之间的关系可以用运动方程来表 达，一般情况下，电气传动系统的运动方程式为 正：五十三掣+ 旦+ 兰目 ( 2 1 6 ) 以“i p 。p 一 式中r 负载阻力矩 ，机组的转动惯量 u 转子旋转电角速度 d 旋转阻尼系数 k 扭转弹性转矩系数 对于恒转矩负载，d = 0 ，k = 0 ，则 t 哪丢等( 2 - 1 7 ) 2 1 5 三相异步电动机的数学模型 将上述式( 2 - 1 4 ) 、式( 2 - 1 7 ) 归纳起来，便构成在恒转矩负载下三相异步电 动机的多变量非线性数学模型 u = r i + l ( d i d t ) + ( i ) ( d l d0 1 i ( 2 - 1 8 ) t 哪丢警 u = do d r 式中，t 。可按式( 2 - 1 5 ) 展开。 由以上方程式可知，异步电动机的强耦合性主要表现在磁链和转矩方程式中， 既有三相绕组之间的耦合，又有定、转子绕组之间的耦合，还存在转矩方程式中 磁场与定、转子电流之间的相互影响。其根源在于它有一个很复杂的电感矩阵。 通常需要用坐标变换的方法加以改造，最后得出与三相异步电动机等效的直流电 动机模型。 2 2坐标变换 用来表示变换前后功率不变时所采用的矩阵称为坐标变换矩阵。设在某坐标 系中电压1 1 和电流i 相量分别为 u = - “：“。】7 1 ； ( 2 1 9 ) i = f lf ：f 。r 在新的坐标系中，电压u 。和电流f 相量分别为 u = l i“：“：】7 i r _ 睇吐盯 定义新相量和原相量的坐标变换关系为 ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) u = c t l ； i = c i ( 2 - 2 3 ) 式中电压和电流选取相同的变换时，有 p = u l i 】十u 2 i 2 + + u i n = i t u = “i 玎+ “：+ + u n l n = i 叮u ( 2 2 4 ) 将式( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 3 ) 代入式( 2 2 4 ) ，则 f f u = ( c i ) t c u ，_ i 1 c 1 c u ，= i 7 u ( 2 2 5 ) 式中c t c = e ：e 为单位矩阵。 c t = c 。1 因此在变换前后功率不变，且电压和电流的变换矩阵相同时，变换矩阵的逆 和它的转置矩阵相等。 2 2 1 静止三相两相坐标变换( 3 s 2 s 变换) 用一组新的变量( 如电压、电流等) 代替基本方程中的实际变量，这种变量 变换就是坐标变换。 坐标变换遵循的原则是在不同的坐标系下产生的磁动势相同。 静止三相两相两个坐标系如图2 - 2 所示。图中，a 、b 、c 为三相静止绕组， 每相绕组的有效匝数为n 3 ，通以三相平衡的正弦电流，产生合成磁动势f ，以同 步转速峨旋转，a 、b 、c 轴称为三相静止坐标系；d 、卢为两相静止绕组，每相 绕组的有效匝数为n 2 ，它们在空间互差9 0 。，且通入时间上互差9 0 。的两相电流， 也产生与上相同的磁动势f ，并以同步转速国旋转，a 、卢轴称为两相静止坐标 系。取a 轴和a 轴重合，并设每相绕组的磁动势为正弦分布；当进行三相两相 坐标变换时，三相总磁动势应该与两相总磁动势相等，两套绕组瞬时总磁动势在 口、口轴上的投影都应相等，即 n 2 i 。= n 3 i 一n 3 i 日c o s 6 0 。一n 3 i cc o s 6 0 。= n 3 ( f j 一 一 i c ) n 2 i f = n ，i 8s i n 6 0 。一n 3 i fs i n 6 0 。= 粤j 3 ( 咭一i c ) 1 7 写成矩阵形式，得 卧邻 韩 图2 2三相两相坐标系与绕组的磁动势 在变换前后总功率不变的前提下，得到匝数比为 代入式( 2 - 2 6 ) ，得 等= 括 式中三相静止坐标系等效变换到两相静止坐标系的变换矩阵 r一压1 。3 。72 5 吖了10 ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 如果从两相静止坐标系变换到三相静止坐标系，可以利用增广矩阵的方法 把c 3 s ，2 s 扩成方阵，求其逆阵之后，再除以增加的一列，即得 0咕0 拈g = 0b七r刊oi二01 萼 c ：。铡。：、酏 jj 一上 2 ( 2 2 9 ) 若三相绕组是y 连接无中线则有i + i 。+ t = 0 或t = - i - i 日，代入式( 2 - 2 9 ) 整理后得 川霎瑚 协3 0 ) 川善潮 州) 为了便于利用功率不变条件下的坐标变换矩阵，需将变换矩阵变为方阵，因 此，在o 、b 坐标系中增设零轴，可以得到式( 2 3 2 ) r 2 - 3 2 ) i i b l c 图2 3三相变换为两相图2 - 4 两相变换为三相 上述公式同样适合于电压和磁链的变换矩阵。 坐标变换符号如图2 3 及图2 4 所示。 2 2 2 两相静止两相同步旋转的坐标变换( 2 s 2 r 变换) 口一p 为两相静止标系统( 2 s ) 与磁场定向的m r 两相同步旋转坐标系统( 2 r ) 之间的变换称为两相两相变换，简称2 s 2 r 变换。如图2 - 5 所示。 图中两相交流电流，i p 和两相直流电流f 。，产生同样的以同步速度q 旋转的 合成磁动势f 。由于各绕组匝数相等，可以消去磁动势中的匝数，可以用电流表示， 。巫_ 了 但是此时的电流是空间矢量，而非时间相量。a 轴和p 轴静止不动，分量f 。和如的 大小却随时间而变化，相当于旺和1 3 绕组在的交流磁动势的瞬时值。m 轴和轴 之间的夹角0 是随时间而变化的，而m 轴和转子总磁链空间矢量方向重合，由图 可见 i 。= i 。c o s0 一i ，s i n 目 i 口= i 。s i n0 + fr c o s0 式中 - 咄s i n o i ，, = c 2 。 沼， a ( a ) 图2 52 r 2 s 坐标变换 一s i n o l c o s 9i ( 2 3 4 ) 是两相同步旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换矩阵。反之，由两相静止坐 标系变换到两相同步旋转坐标系的变换矩阵为 c ：。，：，= c 善，：，= 1 一c o 。i s 。0 曰。s i 。n 。0 曰 目目 3 协 一p = sq 则 阡嘲 坐标变换符号如图2 - 6 及图2 7 所示。 ( 2 3 5 ) 日睾；雎 图2 - 6 图2 7 电压和磁链的旋转变换矩阵也与电流( 磁动势) 的旋转变换矩阵相同。 2 2 3 三相静止两相任意旋转的坐标变换( 3 s 2 r 变换) 为了凑成方阵引入假想的0 轴，并设d q o 为任意旋转的坐标系，d 轴与伍轴的 夹角为0 ，则由式( 2 3 5 ) 可得 合并式( 2 3 2 ) 和式( 2 3 6 ) ，经过整理后便可得到a b c 三相坐标系到两相任 意旋转坐标系的变换矩阵c 3 s ，2 ，为 ，= 后隆= o s n ( 秽0 - 1 2 0 。) “c o s 妒( 0 + 1 2 0 * 2 2 4 直角坐标极坐标变换( k p 变换) ( 2 3 7 ) 已知一个矢量在两相坐标系中的两个分量，求其矢量的模和矢量与横轴之间的夹 角的变换称为k j p 变换。设矢量f ，在直角坐标m 和t 轴的分量分别为0 和，与 m 轴的夹角为6 ，则 ( 2 - 3 8 ) 0白b 矿jjoi且 o o l 伊日 m 0础姗。 c 一= 0 ( 2 - 3 9 ) 2 3 异步电动机在两相坐标系上的数学模型 式( 2 - 1 8 ) 的异步电动机数学模型是建立在三相静止的a b c 坐标系上的，如 果把它变换到两相坐标系上，由于两相坐标轴互相垂直，两相绕组之间没有磁的 耦合，仅此一项，就会使数学模型简单了许多。 2 3 1 在任意两相旋转坐标系( d q 坐标系) 上的数学模型 两相坐标系可以是静止的，也可以是旋转的。其中任意旋转的坐标系是最一 般的情况，有此，求某一具体两相坐标系上的数学模型就比较容易了。 设两相坐标d 轴与三相坐标a 轴的夹角为0 ，p o = c o i l 为d q 坐标系相对于定子 的角速度：1 2 为d q 坐标系相对于转子的角速度。要把三相静止坐标系上的电压 方程、磁链方程和转矩方程都变换到两相旋转坐标系上来，可以先利用3 s 2 s 变 换将方程式中的定子和转子的电流、电压、磁链和转矩都转换到两相静止坐标系a ， 6 上，然后再用旋转变换矩阵c 。：，将这些变量都变换到两相旋转坐标系d q 上。定 子各量用下标l 表示，转子各量用下标2 表示。具体的变换过程比较复杂，变换 后得到的数学模型如下。 1 d q 坐标系中的电压方程 + t p c o i i t l 。p 1 2 l 一1 i 上； r l + l 。p 一l2 l 。p l 。p q i 上。 + 工，p 1 2 l ， ( 2 4 0 ) 式中坐标系定子与转子同轴等效绕组间的互感l m = 兰l 。l ； l s d q 坐标系定子等效绕组的自感l s = l 。+ l f l ； l 广一d q 坐标系转子等效绕组的自感l r = l 。+ k 。 因为用两相取代了三相，使两相绕组互感是原三相绕组中任意两相间最大互感( 当 2 2 - 一k n旧m习 6 切，协伽妒矿iiiiiii皿 p 咖 幼厶础十 一 一 也 轴线重合时) l m l 的3 2 倍。 2 d q 坐标系中的磁链方程 数学模型简化的根本原因可从磁链方程和图2 8 所示的d q 坐标系物理模型上 看出。其磁链方程为 k 0 上。 o 0 厶 0 上。 l 。 0 l ， o 0 三。 0 ( 2 4 1 ) 由于变换到d q 坐标系上以后，定子和转子等效绕组都落在两根轴上，而且两 轴相互垂直，它们之间没有互感的耦合关系，互感磁链只在同轴绕组之间存在， 所以式中每个磁链分量只剩下两项了。 3 d q 坐标系中的转矩方程和运动方程 将坐标变换矩阵代入a b e 三相坐标 系中的转矩方程式( 2 - 1 5 ) ，简化后， 得到d q 0 坐标系中的转矩方程为 图2 - 8异步电动机变换到d q 坐标 系上的物理模型 瓦= p 。厶( i q i i d 2 一i d l i 。2 ) = 中2 ( ) 厂( f ) ( 2 - 4 2 ) 式中中，( ) - t 表达式的非线性函数。 将式( 2 - 4 2 ) 代入运动方程式( 2 - 1 6 ) ，得到d q 0 坐标系中的运动方程为 i = p l m ( i q m 一t = 瓦+ 丢警+ 詈国+ 瓦k 曰( 2 - 4 3 ) 式( 2 4 0 ) 、( 2 4 2 ) 、( 2 4 3 ) 就是异步电动机在d q 坐标系上的数学模型。显然， 它们比a b c 坐标系上的模型简单的多，零轴分量也完全抵消了，故将d q 0 坐标系 称作d q 坐标系。然而，它的非线性、多变量和强耦合性质没变。 4 d q 坐标系中的动态结构图 将电压方程式( 2 - 4 0 ) 等号右侧的系数矩阵分开来写，并考虑到式( 2 - 4 1 ) 的磁链方程，得 0 0 0 0 00 + b l l q i 0 2 l q 2 + l ，p 0 l 。p 0 0 t p 0 l 。 l ，p 0 l ，p 0 0 l 。p 0 l ， 0 一q 】0 0 l l l ooo 0 oo o 一i i 缈d 2 0 0 o j i 2 或写为 u = r i + l p i + e ， 式中旋转电动势相量e ，= 中( ) e ，的非线性函数阵。 中( ) ，( 出q 2 ) 图2 - 9 异步电动机多变量动态结构图 ( 2 4 4 ) 由式( 2 - 4 4 ) 、( 2 4 1 ) 、( 2 - 4 3 ) 便可画成如图2 - 9 所示的动态结构图。 图2 -