（应用数学专业论文）综合评价的模糊数学方法研究.pdf

摘要摘要综合评价问题广泛存在于社会、经济、管理、工程等领域。由于现实世界的大部分事物或现象都具有或多或少的模糊性，因此，处理模糊型不确定性现象的模糊数学方法是解决综合评价问题的重要方法之一。本文针对模糊积分评价模型、模糊优选模型这两种模糊综合评价模型，从理论和实践方面进行了一定的研究，并对两种模型提出了一些改进办法。利用改进后的模型对实际问题进行综合评价，取得了较为理想的效果。本文得到的主要结论有利用( g ) 模糊积分和o g w ，模糊积分的收敛定理，我们得到了关于评分值和重要性测度序列同时收敛的近似客观评价值；将各种单一模糊积分评价值进行加权合成，作为参评对象的最终评价值，在一定程度上弥补了采用单一模糊积分进行综合评价的不足。对基于模糊一致矩阵的决策方法进行了改进，并将其用于多个参评对象模糊优选时定性指标相对隶属度的计算中；对模糊优选模型中定量指标相对隶属度的计算方法也进行了改进，使得模糊优选的排序结果更为客观、稳定；综合考虑参评对象过去、现在和将来的情况，建立动态多级模糊优选模型，以使评价结果更为全面；目前广泛使用的模糊优选模型通常适用于多个参评对象的排序，本文改进后的模糊优选模型也可用于单个参评对象的综合评价。总之，本文的研究成果进一步丰富和发展了模糊综合评价的理论和方法。关键词：综合评价；模糊积分；模糊一致矩阵；模糊优选；相对隶属度a b s t r a e ta b s t r a c tt h ec o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o ne x i s t si nal o to ff i e l d s ，s u c ha ss o c i e t y , e c o n o m y ，m a n a g e m e n t ，p r o j e c t ，a n de t c b e c a u s em o s tt h i n g so rp h e n o m e n o ni nt h er e a lw o r l dh a v ef u z z i n e s sm o r eo rl e s s ，s o ，t h ef u z z ym a t h e m a t i c sm e t h o dt od e a lw i t hu n c e r t a i np h e n o m e n o no ff u z z yt y p et u r n st ob eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d si nc o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o n t h i st h e s i sm a k e ss o m er e s e a r c h e so nt w ok i n d so ff u z z yc o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o nm o d e l s - - f u z z yi n t e g r a le v a l u a t i o nm o d e la n df u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e l ，b o t ht h e o r e c a l l ya n dp r a c t i c a l l y s o m ei m p r o v e dw a y sa r ep r o p o s e db e s i d e sa n a l y z i n gt w ok i n d so fm o d e l s a d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g e i nt h ee n d ，t h em o d e l sa r ea p p l i e dt op r a c t i c a lp r o b l e m sa n dr e l a t i v ei d e a lr e s u l t sa l er e a c h e d i nt h et h e s i s ，t h em a i nc o n e l u s i o n sa r eb e l o w ：b ym e a n so fc o n v e r g e n c et h e o r e m so f ( g ) f u z z yi n t e g r a la n dc h o q u e tf u z z yi n t e g r a l ，t h et h e s i sh a so b t a i n e da l m o s to b j e c t i v ea p p r a i s a lv a l u et h a tc o n v e r g e dw i t hr e s p e c tt os e q u e n c e so fe v a l u a t i o ns c o r ea n di m p o r t a n c em e a s u r e m a n yk i n d so fs i n g l ef u z z yi n t e g r a la p p r a i s a lv a l u e sa r es y n t h e s i z e dt ou l t i m a t ea p p r a i s a lv a l u et h r o u g hw e i g h t e dm e t h o dt om a k eu pt h ed r a w b a c ko ft h es i n g l ef u z z yi n t e g r a la p p r a i s a lv a l u ei nad e g r e e t h et h e s i sh a sa l s oi m p r o v e dt h ec a l c u l a t i o no fr e l a t i v em e m b e r s h i pd e g r e ea n dt h ed e c i s i o nm a k i n gm e t h o db a s e do nf u z z yc o n s i s t e n tm a t r i x c o n s i d e r i n gt h ee v a l u a t e do b j e c t s s i t u a t i o n si nt h ep a s t ，t h ep r e s e n ta n dt h ef u t u r e ，w eh a v ed e v e l o p e dad y n a m i cf u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e l t h ei m p r o v e df u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e lc a na l s ob eu s e dt ot h ec o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o no f as i n g l eo b j e c t i naw o r d ，t h er e s e a r c hr e s u l t so ft h i st h e s i se n r i c ha n dd e v e l o pt h et h e o r ya n dm e t h o do nf u z z yc o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o nf u r t h e r ,k e y w o r d ：c o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o n ；f u z z yi n t e g r a l ；f u z z yc o n s i s t e n tm a t r i x ；f u z z yo p t i m i z a t i o n ；r e l a t i v em e m b e r s h i pd e g r e e学位论文独创性声明：本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实，本人负全部责任。论文作者( 签名) ：学位论文使用授权说明年月日河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。论文作者( 签名) ：年月日第一章绪论1 1研究背景及意义第一章绪论综合评价是指对多属性体系结构描述的复杂对象或系统认真收集有关信息，客观评价其整体性运行状态的过程。通过综合评价，人们可以对参评对象或系统有一个更为清晰的认识，为进一步对其进行改善以及科学决策奠定坚实的基础。综合评价的应用范围和领域相当广泛，从最初的经济效益综合评价到后来的生活质量评价、环境质量评价、综合国力评价，再到近些年的可持续发展评价、科技创新能力评价等，可以这么说：综台评价问题无处不在。在日常生活中，我们就经常会遇到一些综合评价问题，例如各单位对职工进行年终考核，就需要先了解一下每个职：【在一年中的出勤情况、工作态度和道德水平、业务或领导能力、工作业绩等，然后再进行综合考虑，给出一个合理的评价结果，如“合格”、“优秀”等；再假如你拥有一大笔闲余资金，你可以把它投入房地产业，也可投入制造业或金融业等，你将如何选择?在现实世界中，各种各样的现象大体上可分为两大类：一类是确定性现象，如电磁感应现象：另一类是不确定性现象。不确定性现象又可分为随机现象和模糊现象，随机现象是一种“非此即彼”的不确定现象，满足概率统计的规律，如投掷一枚硬币，出现的结果是确定的，即只能是正面或反面，就每一次投掷而言，我们无法事先预料结果究竟是正面还是反面；模糊现象是一种“亦此亦彼”的不确定现象，如一个人的“年轻与年老”，一件物品的“优与劣”等，往往难以划定明确的界限，不能简单地认为“非此即彼”。由于大部分待评价对象或系统都具有一定的模糊性，因此，基于模糊集理论的综合评价方法在综合评价中占据着重要的位置，对其进行深入研究具有非常现实的意义；又由于模糊综合评价是模糊集理论的一个重要组成部分，本文的研究有助于进一步丰富模糊集的有关理论和方法。河海大学硕士学位论文综合评价的模糊数学方法研究1 2研究现状及存在的问题1 2 1 模糊综合评价方法研究综述1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学的控制论专家z a d e h 教授发表了著名的“f u z z ys e t s ”的论文，标志着模糊数学的诞生。由于在综合评价的实践中，待评对象或多或少都具有一定的模糊性，因此，模糊综合评价方法成为目前多指标综合评价实践中应用最广泛的方法之一。1 9 8 0 年，汪培庄教授 2 】提出了模糊综合评判模型，陈永义等【3 】对该模型提出几种改进方法。王光远 4 】研究了模糊综合评判几种数学模型的实质，王道勇嘲给出了模糊综合评判几种失效的判定及处理方法，宋世德等【6 】提出加权合成方法来解决模糊综合评判中的失效和失真问题。张晓平仲1 从理论和应用方面对模糊综合评判进行了研究，并提出了基于贴近度的模糊综合评判结果的集化方法。1 9 7 4 年，日；$ ：学者- s u g e n o | 9 提出模糊测度和模糊积分的概念，并将其应用于主观评判过程，r a l e s c u 等【1 0 把s u g e n o 定义的模糊测度和模糊积分的值域推广到整个正半轴【o ，+ 。o ) 。王震源、李法朝i “l 研究了s u g e n o 模糊积分在评判过程中的应用，利用s u g e n o 模糊积分的收敛定理得到了近似客观评判值，从而使s u g e n o模糊积分可以更好地应用于实际问题的综合评价中 u - 1 4 】。由= j ：s u g e n o 模糊积分采用的“ ”运算有时可能会损失大量信息，甚至使评判结果明显失真。于是，赵汝怀【1 5 1 以普通乘法“”代替s u g e n o 模糊积分的“ ”运算定义了( ) 模糊积分，张文修、赵汝怀m 用三角模“丁，代替“、”定义了，模糊积分，吴从忻【1 7 】等提出了“广义三角模”运算，并用广义三角模“s ”替代s u g e n o 模糊积分的“、”，定义了( g ) 广义模糊积分，它是上述s u g e n ( ) 模糊积分和( ) 模糊积分等模糊积分的推广。1 9 5 4 年，法国数学家c h o q u e t 提出了容度理论。所谓容度，就是所设空间第一章绪论幂集上的一个实值集函数，并且满足连续性和关于集合包含关系的单调性。c h o q u e t 又在容度理论的基础上定义了一种积分，即c h o q u e t 积分。鉴于容度与模糊测度的相似性，而 丑c h o q u e t 积分也具：有单调性，m u r o f u s h i 、s u g e n o 叫将模糊测度与c h o q u e t 积分联系起来，提出了关于模糊测度的c h o q u e t 积分。当模糊测度满足可加性时，c h o q u e t 模糊积分即为l e b e s g u e 积分，因此，c h o q u e t 模糊积分是l e b e s g u e 积分的推广。郭彩梅等1 2 0 - 2 2 】证明 7 c h o q u e t 模糊积分具有与s u g e n o模糊积分类似的收敛定理。由于将c h o q u e t 模糊积分用于综合评价中不仅考虑了评价指标特征的重要程度，而且强调了指标问相互关联、相互制约对综合评价结果的影响，因此，c h o q u e t 模糊积分综合评价方法得到了广泛的应用 2 3 2 5 1 。1 9 9 3 年，陈守煜教授【2 6 】提出“相对隶属度”的概念，并建立模糊优选模型来进行方案的优选，郝聚民等1 2 7 】提出影响度因子的概念，改进了相对隶属度的计算方法，王建明、陈守煜【2 q 建立一个以决策者经验、偏好为监督，同时确定指标权重和决策方案优属度的权监督多级模糊优选模型，陈守煜、刘金禄【2 9 】对模糊优选模型关于权系数的敏感性进行了研究，得到了保持最优决策序列不变的权扰动条件，陈守煜等 3 0 】将模糊聚类、模糊模式识别、模糊优选有机结合起来，建立了统一的循环迭代模型。对于定性指标较多的方案优选问题，姚敏、张森于1 9 9 8 年提出基于模糊一致矩阵的决策方法，黄健元博士将其推广到多层次的情形，张吉等【3 3 】对基于定量指标数据建立的模糊一致判断矩阵进行了改进，张吉军川对模糊一致判断矩阵的常用排序方法进行了比较研究。1 2 2 模糊综合评价存在的问题总的说来，模糊综合评价方面的研究主要还存在着以下几个方面的不足之处：1 模糊综合评判模型中隶属度的确定比较困难，主观任意性较大：2 在基于模糊一致矩阵的决策方法中，虽然模糊优先关系系数反映了两个河海大学硕士学位沦文综台评价的模糊数学方法研究对象的优劣关系，却不能体现它们之间优劣的差异程度，因此，该决策方法还需要进一步完善；3 由于模糊测度一般不满足可加性，因此，模糊积分综合评价中指标集重要性测度值的确定方法有待进一步研究，以使评价的结果更为客观i4 模糊优选模型中相对隶属度对于参评对象数的增加或减少有时是非常敏感的，影响了排序结果的稳定性。1 3本文研究的主要内容和创新点本文主要研究基于模糊集的综合评价理论、方法及其应用。本文共分为四章，各章的内容如下：第一章概述了模糊综合评价理论与技术的研究现状、存在问题，本文研究的背景、意义、内容以及创新点；第二章研究了模糊测度和模糊积分的有关理论，对模糊积分综合评价方法作了相应的改进；第三章对模糊优选模型、基于模糊一致矩阵的决策方法进行了研究，并作了相应改进；第四章将本文改进后的两种模糊综合评价模型分别应用于商业银行信用风险和经营业绩的评价中。本文研究的主要创新点如下：1 得到了同时关于评分值和重要性测度序列收敛的近似客观评价值；对各种模糊积分评价值进行加权合成，将合成后的评价值作为参评对象的最终评价值，在一定程度上弥补了采用单一模糊积分进行综合评价的不足；2 对基于模糊一致矩阵的决策方法进行了改进，并将其用于模糊优选模型中定性指标相对隶属度的确定；3 ，对模糊优选模型中定量指标相对隶属度的计算方法进行了改进，增加了评价结果的稳定性且使模糊优选模型可用于单个参评对象的情形：在静态模糊优选模型的基础上建立了动态多级模糊优选模型。第二章模糊积分综台评价理论与方法第二章模糊积分综合评价理论与方法2 1模糊测度性。模糊测度是经典测度的推广，通常不具有可加性，而保留了单调性和连续定义2 1 设x 是一个非空集合，x 是由x 的若干子集组成的非空集族且满足以下条件：( i ) x x ：( i i ) 对余运算封闭，即若v 爿x ，则a 。x( i i i ) 对可列并运算封闭，即若4 ，五n = l ，2 ，则u 以x 。则称x 是一个口一代数，称( j ，x ) 为可测空间。定义2 2 设( x ，x ) 为可测空间，是从x 到【o ，+ o o ) 的个映射，如果满足：( i ) 下有界性，即( o ) = 0 ；( i i ) 单调性，即对v a ，b 五若爿 b 则有( 爿) ( b )( i i i ) 下连续性，即若a 1 c a 2 c 4 c ，4 x ， = l ，2 ，；iu a nl - l i m t a 。) ：n = l( i v ) 上连续性，即若a 1 爿2 = 3 43 ，以x ， = l ，2且j 使( a ) 口) x ，则称厂为可测函数。定义2 5设z = 1 ，2 ，) ，是从z 到( 一。，+ m ) 上的可测函数，对于a x ，如果存在b x j j l , u ( b ) = 0 ，使# s v x a b ，均有熙工( x ) = ，( z ) ，则称 ) 在爿上几乎处处收敛于，。定义2 6 设0 = l ，2 ，) f 是从z 到( 一 3 0 ，+ 。0 ) 上几乎处处有限的可测函数，ae x ，如果v s 0 ，均有熙( 仁：l 厶( x ) 一，( x ) i s ) n 4 ) = 0 ，则称 )在一上依测度收敛于，。利用与概率测度情形类似的方法可以得到如下定理：定理2 1 设a e x ，若 五) 在a 上几乎处处收敛于f ，且( a ) 一1 ，且 0 ，u 是从x 到【o ，1 】的一个映射，若幽满足：( i ) 心( j ) = 1 ：( i i ) 对于w ，b x ，且爿n 胆o ，均有第二章模期积分综合评价理论与方法t 。( 爿ub ) 2 一( 爿) + 段( b ) + 五以( 一) 心( b )( i i i ) 若4 4c - - c4c 一，。xj 心 璺4 ) = ! 受鸬( 4 ) = 1 ，2 ，( i v ) 若a 1 4 3 4 3 ，4 l x ， = l ，2 ，；以m j - 黔( 4 )则称胁为五一测度。定理2 2 五一测度胁具有如下性质( i ) 若a ，b x ，且爿cb ，则有舯= 错( i i ) 若4 x ，i = l ，2 ，且当i j 时，有4 i i a j = g ，则有胁( 0 4 ) = 去 尊( ，+ 4 ( 4 ) ) 一- 证明( i ) 令c = b a ，则c x ，上i x n c = g ，x u c = b 。由定义2 7 中的( i i ) ，有即故胁( a u c ) = 心( 一) + 心( c ) + 砒( 彳) 心( c )心( b ) = 胁( 4 ) + 以( b 爿) + 4 ( 爿) 。( b a )a ( b 、爿) = 错( i i ) 设瓯= u 4 ，则日c 岛c c 吃c ，且e x ，”= 1 ，2 ，易知河海大学硕士学位论文综合评价的模糊数学方法研究胁( 0 4 ) = 胁 g 玩 = ! 骢胁( 色)而用归纳法可证心f 0 4 川= 撕，+ 锄( 钳令”寸，有鸬( 0 4 ) = 抽”铂( 啪定理2 3 五一测度心是模糊测度，且硒2 l i + m 。胁是概率测度。证明显然，兄一测度胁满足模糊测度定义中的上、下连续性，只要证明其具有下有界性和单调性即可。由于x n 彩= g ，所以有1 = 胁( x ) = 心( u o )= 以( z ) + 以( a ) + 助。( x ) 以( a )= l + 0 + 五) 以( g )即( 1 + 五) 段( o ) = 0 ，而五 一1 ，于是有段( o ) = o ，因此，以满足下有界性。对于v a ，b x ，若a c b ，则由定理22 的( i ) 可得以( b ) 一心( 彳) = 一( b 一) 1 十五( 一) 由于以( b a ) 0 ，0 胁( a ) 1 ，五 一1 ，所以鸬( b ) 一心( a ) 0即段( a ) 段( 口)第二章模糊积分综合评价理沦与方法因此，心满足单调性。故五一测度胁是模糊测度。因为模糊测度仅用单调性代替了概率测度的完全可加性，所以要证是概率测度，只需证其具有完全可加性即可。设4 x ，i = l ，2 ，且当i j 时，有4 n 4 = a当五专。时，n ( 1 + 砒( 4 ) ) = 1 + 兄以( 4 ) + o ( 五2 )娥胁4 = 躲i 1 珥n ( t + 铂( 4 ) ) 一，= 胁( 4 )令n 斗o 。，得风f 0 4 ：妻胁( 4 )l 培li = l故风。l 。i 。m 。心是概率测度。由五一测度胁的定义，可知当五 0 时，胁( a u b ) 心( 爿) + 以( b ) ，模糊测度胁有助长效应当五 o 时，“( a u b ) 胁( 爿) + 段( b ) ，模糊测度胁有消减效应。定理2 4对于有限论域z = x i 屯，) ，“= 以( t ) ) ( f = 1 ，2 ，一) 为模糊密度，若0 h 1 ( 待1 ，2 , - - - , ) ，则当h 2 2 时，对于v a x ，有小) = 拖，俐一，1其中a 的值可由下式确定( 2 1 )( 护一lj | , z 0 )( 2 2 )塑塑查堂堡主兰堡丝壅堡宣塑堕塑竖塑塑兰查堡婴! ! 一证明设4 = ，h ，x 。 ，下面用归纳法证明( 2 1 ) 式成立。当m = 2 时，由五一测度胁的定义可知( 2 ，1 ) 式显然成立：假设当m = k 时( 2 1 ) 式成立，即以( h ，) ) = 去 枣( ，+ 弧) 一，贝。当聊= + 1 时，矛用 x ，k ，一一，) n 。 = g 及丑一钡4 度一的定义可得，+ ，”= 心( h ，) ) + 心( x 。) )十弘。( h ， ) ) 胁( k 。) )= 魉，+ 弧) - i + + 陋十弛)= 魈，+ 似) 一，即当卅= k + l 时，( 2 1 ) 式亦成立。故当h 2 时，对于v a x ，均有( 2 1 ) 式成立。令a = x ，并利用心( ) = 1 即可得( 2 2 ) 式，进而可确定 的值。在综合评价中，模糊密度雎表示单个指标的重要性测度，一般有h 1 ，由( 2 2 ) 式可知，此时五 口 ，( 。e 【o ，佃) ) 。定理2 5 设( 爿，x ，) 是模糊测度空间，a x ，f z x 上的一个非负可测函数，a 0 ，若分别记虬( 厂) = x l ( x ) 口) ，_ ( 厂) = x f ( x ) o e ) ，则( s ) j 2 磐( 虬( ，) n 彳) 2 磐p n ( ( ) n 彳) )= ，帮。 赠 ，( x ) ) ，、卢( e n 爿) s e 咒篓) o ”“一。证明显然，有虬( f ) - ( ，)根据模糊测度的单调性，可得( 虬( ，) n 爿) ( _ ( ，) n 4 )所以，。因为对于v 口 o ，都有，峨， ，( x ) ) 口且v - ( ，) x ，所以，有h 户( - ( 肿4 ) m 嚣，) m ( 镌( 肿一) 。x，msfup，(，)，。tin。ff、f(ez ) ，l ( 2 1 爿) ，m i ，l ” ue h d 的仟煮十牛。可知 0 ，均有，翌f 厂( x ) 庇( 其中屁为e 的特征函数因而陲 m ) ) n 归n 爿) ( s ) i 脚由占的任意性，可知玉。综上所述，有s ，故定理成立。当论域x ： 毛，z ：，毛 为有限离散集时，将，( 薯) ( f = l ，2 ，n ) 按从小到大的顺序重新排列，分别记为_ ：) 一，五即五。) 五：) 五。) ，沦域 _ ，t ，矗 也相应地跟着排列为 气，) ，气：) ，气砷 ，记4 f ) 2 t f ) ，。) ) ，i = 1 ，2 ，行。由定理2 5 易得，在有限论域上关于的s u g e n o 模糊积分为( s ) f 脚= 耋 ( 2 - 3 )s u g e n o 模糊积分具有如f 性质：定理2 6( 1 ) 饔g a c b ，则( s ) j 曼( s ) j 弦：( 2 ) 若f ( x ) g ( x ) ( x a ) ，则( s ) f s ( s ) f g d ；2a( 3 ) 若户( 爿) ；o ，则( s ) j 2 05c 4 ，( s ) j ( 蔓，) d 一量( s ) z d ( s ) 贻，沙p 蛳( 6 ) 若“墨畅则( s ) 肛“( s ) f 地；( 7 ) ( s ) 弦= ( s ) f ( ，x ) d i x ：( 8 ) 若ce o ，十。) 且为常数，则( s ) f c d z = c n ( 一)第二章模糊积分综台评价理论与方法( 9 ) 若c 【o ，+ o 。) 且为常数，则( s ) ( c v 厂) d = ( s ) j c d v ( s ) f 。a证明( 1 ) ( 6 ) 可由定义2 8 直接得出，下证( 7 ) ( 9 ) 。( 7 ) 根据定理2 5 ，有( s ) 2 s o u o p a a , u ( 虬( 肿叫2 磐扛，、( - ( ，) n 爿) 2 磐 甜n ( 心( ，局) ) )= ( s ) ( 厂z a ) d 当口 c 时当o 0 ，有因此，有( s ) p f ) d 1 2 = 留( - ( c v 加彳) )3 恶( 一) ) v 翟 a ，、( _ ( ，) n 4 ) )= ( ( 一) ) v ( s ) p ( 。怨( n a ( ) n 爿) n ( 爿) ) = ( s ) f c d v ( s ) f 定理2 7 设f a n = 1 ，2 ，) ，f 是从x 到 o ，+ 。) 上几乎处处有限的可测函- 1 3 c ；甄tv0- l 刊躺有班心匕珊，批扪因甜耐 o ，4 x ，4 n a , = o ( f ，)0 4 = ，扎为4 的特征函数，巴( s ) = 曼s ，( 4 n 以) ，并且规定s u p i i e g l = o 。显然，s u g e n o 模糊积分是( g ) 模糊积分的特例，此时s 【x ，y 】= r a i n x ，y ) 。定理2 8 设( x ，x ，) 是模糊测度空间，是x 上的一个非负可测函数，“ 0 ，a x ，则第二章模糊积分综台评价理论与方法( g ) 胗2s 。u p s m ( n o ( s ) n 一) 。絮s 刚( 屯( 肿爿) = 。ysup。、。sl受f，(x)，(en爿)jie e z n f f ( ) o 。“6 。证明见参考文献 4 3 。定理2 9 设( x ，x ，) 是模糊测度空间，f 是从到 o ，+ 。) 的一个可测函数，对于w e x ，记乳( 口) = ( 虬( ) n a ) ，乳( 云) = ( 幢( ，) n 爿) ，则有( g ) 胁= ( g ) f g 。( a ) d m = ：( g ) r 幽( 云) 咖其中m 为 o ，+ o o ) 上的l e b e s g u e 测度。该定理给出了关于模糊测度的积分与关- t - l e b e s g u e 测度的积分之间的转化关系。证明见参考文献 1 7 。将s u g e n o 模糊积分的性质加以推广，容易证明( g ) 模糊积分具有如下性质：定理2 1 0( 1 ) 翻c b ，则( g ) p ( g ) 肛；( 2 ) 若f ( x ) g ( x ) ( x a ) ，则( g ) i d 。s ( o ) j 鲥aa( 3 ) 若( 4 ) = o ，则( g ) f 耐= 0 ；( g ) 叉蔓，) 和蚋p( g ) 郧z 卜黔p 岫( 6 ) 若以：，则( g ) i “s ( g ) f ：河海大学硕士学位论文综合评价的模糊数学方法研究( 7 ) ( g ) j ( g ) ( z a ) d a( 8 ) 若c e 【o ，+ o 。) 且为常数，则( g ) j c d x = s c , p ( 由 ；a( 9 ) 若c 【o ，十m ) 且为常数，则( g ) ( ，v c ) 咖；( g ) i f d l ( a ) p p 。aaa当论域x = h ，x 2 ，r ) 为有限离散集时，则，在有限论域x 上关于的( g ) 模糊积分为( g ) j = 星s ( 引工( 2 5 )设工( ”= 1 ，2 ，) ，f 是从x 到f o ，+ c o ) 几乎处处有限的可测函数以0 = l ，2 ，) ，卢是可测空间( x ，x ) 上的模糊测度，则( g ) 模糊积分具有以下收敛定理：定理2 1 1( 1 ) 如果六单调增加收敛于厂，即z 个，则( g ) 肛劫个( g ) 胁；aa( 2 ) 如果单调下降收敛于厂，即工山，且存在自然数，使得( g ) k d p 佃，则( g ) f f o d v t ( a ) f 卢；“a( 3 ) 如果六一，且存在，使得( g ) k d m则( g ) j 工d , u 寸( g ) j 让明见参考文献1 1 7 j 和k 4 3 j 。定理2 1 2 4 。“4 4 ( 1 ) 如果心个，则( g ) 伊几个( g ) 肛：a( 2 ) 如果以j ，且存在，使得心( x ) + o 。，则( g ) 加以上( g ) i s a ：, ：第_ 二章模糊积分综合评价理论与方法( 3 ) 如果以斗，且存在，使得心( x ) + m则( g ) 陋以辛( g ) ；定理2 1 3( 1 ) 如果工t f ，以t , u ，则( g ) 弘d 以个( g ) 肛( 2 ) 如果工山 厂，以上，且存在自然数n o ，使得l 埘 口) ，( 盘ef o ，+ m ) ) ，上式右端的积分为l e b e s g u e 积分。当论域x = x l ，乇，x 为有限离散集时，则，在有限论域x 上关于的c h o q u e t 模糊积分为( c ) 2 喜吨，) ( 训其中z 。= 0 。容易证明，c h o q u e t 模糊积分具有如下性质( 2 7 )河海大学硕十学位论文综合评价的模糊数学方法研究定理2 1 4( 1 ) 若爿c b ，则( c ) j ( c ) j ；( 2 ) 若f ( x ) g ( x ) ( x a ) ，则( c ) 肛( c ) 舻( 3 ) 若( 爿) = o ，则( ( ? ) = o ；a( 4 ) 若h 鸬，则( c ) p f ) p 肛；( 5 ) ( c ) f i a t , = ( c ) ( z , 4 ) d , u ；( 6 ) 若c e 【o ，+ m ) 且为常数，则( c ) p d a = c ( 一)( 7 ) 若c “o ，+ m ) 且为常数，则( c ) f ( ，+ c ) 咖= ( c ) f 埘+ ( c ) p d 。a月a设( ”= 1 ，2 ，) ，是从x 到 0 ，十m ) 几乎处处有限的可测函数以( = l ，2 ，) ，是可测空间( x ，x ) 上的模糊测度。与( g ) 模糊积分类似，c h o q u e t 模糊积分也具有以下收敛定理：定理2 1 5( 1 ) 如果五个，则( c ) 弘如1 、( c ) f d , u ；( 2 ) 如果工s f ，且存在自然数，使得( c ) 厶d + m则( c ) 弘如上( c ) j f d j 2 ：( 3 ) 如果工斗，且存在，使得( c ) 帆咖c 啪，则( c ) j f d p _ ( c ) f f d 2 ；定理2 1 6( 1 ) 如果心个，则( c ) f ，。以下( c ) 加；( 2 ) 如果以上，且存在n 。，使得( x ) + 。o ，则( c ) 肛以上( c ) 伊：aa( 3 ) 如果以j ，且存在，使得h ( x ) + c o ，则( c ) j f d , u 哼( c ) j 弦p ；第二章模糊积分综合评价理论与方法定理21 7( 1 ) 如果工l f ，一个，则( c ) 肛d 熊1 、( c ) 肛；aa( 2 ) 如果z 山，从山，且存在自然数，使得( c ) 以帆c 佃，则( c ) 肛d 以山( c ) f a , u ；aaa( 3 ) 如果工斗厂，以斗， 墨胁) 和 三胁) 均为模糊测度序列，r ：g n o ，使得( c ) j 厶d + 。a则( c ) 肛d t - ( c ) f d , u ：定理2 1 5 2 1 7 的证明见参考文献 2 0 2 2 。2 3基于模糊积分理论的综合评价模型设z = _ ，吐，) 为n 个评价指标组成的指标集，对于x 的每个子集一都对应赋予一个实数( 彳) 【o ，1 】，用来描述指标集合a 的重要性程度，且( x ) = 1 。2 3 1 基于模糊积分理论的主观综合评价基于模糊积分理论的主观综合评价过程如下( 1 ) 先请相关领域的某个专家给出指标的评分值，( 蕾) ( i = 1 ，2 ，”)且( 薯) 在闭区间【o ，1 】上取值，将厂( ) ( 江l ，2 ，”) 按从小到大顺序重新排列，分别记为五i ) ，彳：，五。) ；指标集 五，x 2 ，) 也相应地跟着排列为 气。) ，_ ：) ，气。) ) ，并且记4 ，) = t j ) ，) )( 2 ) 根据专家经验确定出( ，) ) ( b 1 ，2 ，”) 的值。( 3 ) 由( 2 8 ) 式( 或( 2 9 ) 式) 计算s u g e n o ( 或c h o q u e t ) 模糊积分河海大学硕士学位论文综合评价的模糊数学方法研究值驴( - 厂) ( 或e 。( f ) ) 作为参评对象的主观综合评价值e 。( f )e 。( f )( s ) = 妄阮 ( 引( c ) = 杰眦，= l2 3 2 基于模糊积分理论的近似客观综合评价( 2 8 )( 2 9 )由于单个专家对参评对象各指标给出的评分值难免有一定的主观性，而参评对象各指标的评分值蜀= g b ) ( i = 1 ，2 ，”) 是客观存在的，因此较理想的综合评价值应是可测函数g 关于重要性测度的模糊积分值霹= ( s ) j 芦( 或霹= ( c ) f ) 。一般情况下，我们不可能得到各指标的客观评分值，但我们可以通过选择多个专家，来减少单个专家评分的主观片面性。于是，我们无倾向地选择m 个专家，让他们独立地给出参评对象关于指标置的评分值五( ) ( i = 1 ，2 ，h ；k = 1 ，2 ，m ) 。对于某个固定的指标，则众多专家对其给出的无数次评分值是数学期望为自的一个母体f ，而m 位专家对“- - x ，的某一次评分值研( t ) ，正( ) ，厶n ) ) 可看作是取自母体e 的一个简单随机样本，由k o l m o g o r o v 强大数定律，有熙吉荟五( 班蜀( ，2 ，n )以概率1 成立。根据s u g e n o 及c h o q u e t 模糊积分的收敛定理，以概率1 有熙p ) ( 去善 咖= ( s ) 咖= 霹腮( c ) 贝击善五j 咖= ( c ) g 咖= 乓：第二章模糊积分综合评价理论与方法因此，只要m 充分大，模糊积分评价值露= ( s ) ( 去善五 d 和露= ( c ) 双去善五j d 卢一般会分别接近于参评对象的客观评价值霹和霹，称露和露为近似客观模糊积分评价值。2 4模糊积分综合评价方法的分析及改进2 4 1s u g e n o 模糊积分和c h o q u e t 模糊积分综合评价的分析s u g e n o 模糊积分综合评价中选用的运算是二元运算“ ”和v ，它是一种典型的主因素决定型评价方法，其中模糊测度( 4 ，) ) 可解释为因素集 薯，矗) 在综合评价中所显示的重要性程度的上界a 若曼 _ oa ( 4 ，) =_ ”、( 4 ”) ，则五”、( 4 ”) 就是待评价对象的s u g e n o 模糊积分综合评价值，这说明综合评价的结果，只取决于将评分值按从小到大排列处于第个位置的因素及其关联的因素集。这样，就可能会损失大量的信息，有时还会使评价结果明显失真。c h o q u e t 模糊积分综合评价方法不仅考虑了评价指标特征的重要程度，而且强调了指标间相互关联、相互制约对综合评价结果的影响。应用c h o q u e t 模糊积分进行综合评价通常需满足如下条件：( i ) 评价指标数目一般不应少于三个；( 2 ) 评价指标之间应具有相对独立性：( 3 ) 评价指标之间存在着比较明显的相互关联、相互制约特征。2 4 2 模糊积分综合评价方法的改进王震源等【】l j 把各指标集的重要性测度视为根据专家经验事先确定的值，利用s u g e n o 模糊积分的收敛定理得到了近似客观评价值。在实际评价中，重要性河海大学硕士学位论文综合评价的模糊数学方法研究删度的窨观值也是未知的，i 司指标评分值的确定方法样，我们也可充分利用众多专家的意见，来确定重要性测度的近似值。设参评对象的评价指标集为 玉，屯，l ，则参评对象各指标t 的评分值g ，= g b ) ( i = l ，2 ， ) 是客观存在的。我们无倾向地选择个专家，让他独立地给出参评对象指标薯的评分值五“) ( ，= j ，2 ，；七= 】，2 ，m ) 。记z2 去善 ( 玉) ，我们知道熙，5g ( f - 1 ，2 ，”)以概率1 成立。将z ( f - l ，2 ，h ) 按从小到大顺序重新排列，分别记为z 1 ) ，彳：) ，z 。、；指标集 薯，乇，硝也相应地跟着排列为 1 。) ，：) ，t 。) ) ，并且记4 ，) = ，t 。) ，f = l ，2 ，”。由于指标集4 ，) 的重要性测度w ( 。= ( 4 。) p = 1 ，2 ， ) 是客观存在的，请聊个专家独立给出重要性测度( 气) ) ( f = 1 ，2 ，n ) 的值，分别记为一骱协一州。，令= 击喜洱) 则熙2 k ，)( ，= 1 ，2 ，”)以概率l 成立。根据( g ) 模糊积分及c h o q u e t 模糊积分的收敛定理，以概率i 有熙( g ) f 砌= ( g ) j 础= 霹鲤( c ) j t d a = ( c ) g a w = g因此，只要m 充分大，模糊积分评价值蜃? = 量s z ，巧胡和露= 宝( z 一五，) 最。般会分别更加接近于参评对象的客观评价值霹和砑。第二章模糊积分综合评价理论与方法如果用五一测度作为重要性测度，由定理2 4 知，指标集的重要性测度仅与它所包含的单指标重要性测度( 即模糊密度) 有关。因此，我们可以请多个专家给出单指标的评分值和模糊密度，就可进行模糊积分综合评价。在进行实际评价时，如果评价指标比较多，我们可以把它们根据不同属性分成若干类，每一个类别可视为上一层次的一个分系统，则两个层次的模糊积分评价如下：设可以把评价指标分成p 个类，第k 个类别就是上一层次的第七个分系统，女= 1 ，2 ，p 。对于第女个分系统利用单层次模糊积分评价方法，可得到待评价对象关于该分系统的评价值e ，t = 1 ，2 ，p 。将巨 = 1 ，2 ，p ) 作为上一层次第女个分系统的评分值，可得出评价对象的高一层次的模糊积分综合评价值。对于三层次及三层次以上的情况可依次类推。由于采用单一模糊积分进行综合评价有一定的局限性，我们可以在( g ) 模糊积分的各种特例和c h o q u e t 模糊积分中选用多个模糊积分进行评价，再对每一个模糊积分评价值赋予一定的权重加以综合，得到的最终模糊积分评价值会更为客观。设选用f 个模糊积分进行综合评价，第f 个模糊积分评价值为e 。( i = 1 ，2 ，m 权重为q ( f _ 1 ，2 ，f ) ，o 呸 0 ，h = 1 ，2 。“u + “2 j = 1 ，j = 1 , 2 ，一，玎。在对系统的n 个对象进行优选时，由于m 个评价指标的重要程度一般来说是不一样的，因此，必须考虑评价指标的权重，设埘个评价指标权重组成的权向量= 如。，珊2 ，一，出。y满足q o b q = 1 。k l设第_ ，个对象以隶属度u k t 隶属于理想对象，同时又以隶属度“：，( = l 一，)隶属于负理想对象，但由于“。，、“：，均在 o ，1 中取值，故有无穷多对值，需要根据一定的优化准则来确定第，( j = l ，2 ， ) 个对象从属于理想对象隶属度的最优值，然后根据最大隶属原则得出”个方案的优选结果。g ) o = 砉 嘶，( 一) 9 1 ( ，= ，z ，- 一，n )为第_ ，个对象的广义优距离，它表示考虑评判指标权重后第个对象与理想对象的差异程度，其中p 1 ，特别当p = 2 时，称为广义欧氏优距离。称纵一) f f = 喜 q ( 勺一良时为第个对象的广义劣距离，它表示考虑评判指标权重后第j 个对象与负理想对象的差异程度。其中p 1 ，特别当p = 2 时，称为广义欧氏劣距离。考虑到第，个对象分别以“。，和“：，( = = l 一“，) 隶属于理想对象和负理想对河海大学砸士学位论文综台评价的模糊数学方法研究象，称d ( o ，g ) = “。，p - ( o g ) l i( = l ，2 , - - , , n ) 为第个对象的权广义优距离，称d ( o ，6 ) = “。，忪( 一6 ) l( ，= 1 ，2 ，”) 为第个对象的权广义劣距离。定理3 1 若按“全体n 个对象权广义优距离平方与权广义劣距离平方的总和最小”的优化准则，则第j 个对象隶属于理想对象的隶属度”。，的最优值拈蛰鐾巫!“川，：，一坼，= 二1 二丁l ，= l ，厶一，门， 善 峨。( 咯一玩) ) ；+ 善 魄。( 名一) ) i日当系统中不存存侦理撼对象时，有，+ 崖竺生型l 善m 一以) 9f ( q 小喜