（应用数学专业论文）n1维非自治捕食者—食饵系统的共存问题.pdf

摘要 l 生态系统的共存性，周期解的存在性是数学生态学研究的重要问题 研究非自治捕食者一食饵系统的共存性，给出明确的判别准则已经是目前 数学生态学理论中的一个重要课题，受到许多学者的重视，在实际应用方 面则有广阔的前景 本文主要研究n + 1 维非自治捕食者一食饵系统的共存问题，进一步 当系统中的系数为周期函数时研究了系统周期正解的存在性在全文中未 使用任何形式的l i a p u n o v 函数，而通过直接对系统的右端函数进行细致 的研究给出了系统共存的充分条件，一方面为非自治捕食者一食饵系统的 研究提供了一些信息，另一方面也丰富了理论本身本文具体安排如下： 第一节介绍引言；第二节介绍准备工作；第三节研究了系统的共存问 题，给出了系统共存的充分条件及一些重要推论；第四节利用不动点理论 证明了系统周期正解的存在性 关健词：捕食者一食饵模型，共存，正周期解，存在性 文 z ( o ) 0 蟊3 ) = y i ( c i p i ( x ；一盛一m 魏一备i m j y j ) ，撬( o o 1 1 j li 一1 ，2 ，扎 1 在正平衡点存在的假设下研究了正平衡点的局部吸引性，进一步在p i ( x ) = p i z ，g ( x ) = 1 一景，并且忽略种间竞争因素的前提下研究了正平衡点的全局 吸引性，从而得到了系统( 1 1 ) 的共存性 本文将系统( 1 1 ) 推广成如下的n + 1 维非自治捕食者一食饵系统 lx i ( ) = z g ( x ) 一譬1y i p t ( x ) ，k x ( o ) 0 酬( t ) = 玑( q ( t ) n ( 。) 一d ；( f ) 一m t ( f ) 玑一务。m ：j ( t ) 珊) ，玑( o ) 0 【i = 1 ，2 ，n ( 1 2 ) 其中x ( t ) 代表t 时刻食饵的浓度，y i ( t ) 代表t 时刻捕食者的浓度， p i ( x ) 是功能性反应函数，通常取p i x 或聋彖的形式，9 ( z ) 是指缺乏捕 食者时食饵的增长率，通常取1 一专的形式，k 是环境的最大容纳量， c 。( t ) ，d i ( t ) ，m l ( t ) ，m i j ( t ) 是定义在( 0 ，。o ) 上的具有正的上下确界的连续函 数，其中：岛( t ) 为转化函数，d i ( t ) 为死亡函数，m 。( t ) 为种内竞争函数， m 。，( t ) 为种间竞争函数 由于共存问题是生态系统的最基本问题，所以本文的主要目的是研究 非自治系统( 1 2 ) 的共存性进一步当系统( 1 2 ) 中的c i ( t ) ，d i ( t ) ，m ：( t ) ， m q ( t ) 为周期函数时证明了系统的正周期解的存在性本文受文献 1 6 中 研究方法的启示，通过直接对系统的右端函数进行细致的研究，得到了系 统( 1 2 ) 共存的充分条件这种方法的核心是直接分析系统的右端函数， 充分利用了系统本身所具有的信息，它不同于文献【2 3 中使用的l i a p u n o v 函数方法，并且它不会受维数和时滞的限制，所以应用更加广泛同文献 2 3 相比较，本文除了将自治系统( 1 1 ) 推广成非自治系统( 1 2 ) 讨论了 系统的共存性，而且在讨论非自治系统( 1 2 ) 的共存性时并没有忽略种间竞 争因素的影响，同时我们还将看到本文所给的判别系统共存的充分条件很 容易验证，因此实用性很强 本文具体安排如下： 第一节：引言 第二节：准备工作 2 第三节：系统( 1 2 ) 的共存性 第四节：系统( 1 2 ) 的周期正解的存在性 2 准备工作 在本文讨论中，我们总假设： ( a 1 ) 函数p i ( x ) 和g ( x ) 是连续函数，其中鼽( z ) ，i = 1 ，2 ，n 是 严格单调递增的函数且满足p d o ) = 0 ( a 2 ) 存在一个正常数k ( 环境的最大容纳量) 使得当z 0 ，k ) 时， g ( x ) o ；z k 时，g ( x ) 0 时，具有正初值的解将永远保持为正解 不妨记： 1 对于定义在( 0 ，0 0 ) 上连续的，具有正的上下确界的函数f ( t ) 引进记 号 f “= s u p f ( t ) l t r + ，= i n f f ( t ) t r + ) 为了方便，我们使用如下记号： 孥：p 其中凰满足方程x o g ( x o ) 一譬1a i p i ( x o ) = 0 在本文中如不作特殊说明，i = 1 ，2 ，n 3 根据系统( 1 2 ) 静生态学意义，本文考虑它静掰有歪解豫系统( 1 ，2 ) 的解( z ( t ) ，y l ( t ) ，蜘( t ) ) 为正解：若在解的最大正向存猩区间r + 上有 z ( 妨 0 ，虢( 妁 0 本文限在嚣域霹- 1 肉讨论系统( 1 2 ) ，这弹初始毽 ( x ( t o ) ，y l ( t o ) ，鼽( t o ) ) r r l 3 系统( 1 2 ) 的共存性 定义3 1考虑系统z = f ( t ，z ) ，茹r “，x i 是茹的第i 个分量， i = 1 ，2 ，n ，如果存在m 0 ，m 0 满足 7 ns 1 i 磐留吲。) 冬1 i m s u p x i ( 。) 竖m ， 剜称此系统蹙共存豹 下面我们讨论系统( 1 2 ) 的共存性 设( z ( ) ，1 ( ) ，y n ( t ) ) 是系统( 1 。2 ) 的满足正初值条件：x ( t o ) = z 。，酞) = y i o 的鼹，则由系统( 1 ，2 ) 的第一个方程褥： 髫7 ( t ) s 茁( ) 9 ( z ( t ) ) 考虑辅渤方程 x 7 ( t ) = x ( t ) 擘( x ( f ) ) ， 由比较原理，有 x ( t ，t o ，。) x ( t ，t o ，x o ) ，t 兰t o ，( 3 1 ) 叉出( a 2 ) ，毒：x ( t ，t o ，x 0 ) 寸k ，t _ 。 对( 3 。1 ) 式两端同时取上极限，即有： 。= l i m s u p x ( t ，t o ，。) sk ( 3 2 ) 4 盘上穰隈酶缝鹱，对经纛给定麓缸，存在噩 o ，囊t t o 墨瓣，青 x ( t ) 0 ，存在 s 0 ，使得 鼗 蟊+ 5 ) 趟曼五 对方程( 3 ，3 ) ，著热( 影+ ) 一迸曼5 ，令l 寸。， 有 蹦) 一糟却，遄h 敝 l i m 。s 。u py l ( ) 0 若c ? p i ( k ) 一d 0 ，对上述任意给定的e l 0 ，将方程( 3 3 ) 变形为 蹦归泔p ( k + e 1 ) 一) k ( 1 一面盎珏) m ： 显然当t _ 时，有： 琊) 一型学， 又由 玑( t ) m ( t ) ，t2t o + 丑， 对上式两端同时取上极限，再由l 的任意性有： l i m s u p y i ( t ) l i m s u p 刖：垒坐掣：。 o( 3 4 ) t _ + t-+m： 、7 由上极限的性质，对任意给定的2 0 ，存在t 2 0 当t t o + 正时， 有： y i ( t ) so 。+ 2 ， 则 z 7 ( t ) z ( t ) 9 ( z ( t ) ) 一( 。+ - c 2 ) a ( z ( t ) ) ，t t o + 乃 考虑辅助方程 x 咏) = x ( t ) 9 ( x ( t ) ) ( + e 2 ) n ( x ( ) ) ( 3 5 ) i = 1 设x ( t ) 是( 3 5 ) 的满足正初值条件x + ( 如+ 正) = z ( + 乃) 的解 由比较原理有： z ( t ) h 0 ) ，t t o + t 2 ( 3 6 ) 6 l 壤3 3 令f 江) = x g ( x ) 一量娥磁( x ) ，假设存在x o 0 ，捷，葶 f ( x o ) = 0 且对任意的x ( 0 ，x o ) 都有f ( x ) 0 ，嬲 l i ；r a 。i n fx ( t ) 芝函， 证嘴：( 1 ) 由x 一f ( x ) ，f ( x o ) = 0 ，知x x o 是方程的个解， 对v x 。( 0 ，x o ) ，螽霰设知f ( x 。) 0 ，辩x ( ，x 。) 姿t 0 递增 那么瘀簿魏唯一缝骞；x ( t ，g 。) 弱，赦2 骢x 豫x o ) 移在，艇 熙池x 。) = 7 sx o 。 蓑弱，燕lx 7 ，x o ) f ( 掣) 蓑f ( 0 ，不媲浚f ( 掣) 0 ， 戴t 0 ，当vt t ，蠢f 豫x 。) 掣0 ， 那么辫t 叶。有： x ( t ，x o ) 芝x ( 正x o ) + 墨婴秘一f ) _ 。 与x ( t ，x 。) _ 手7 澎霜， 数尹( 7 ) 一0 ，这叉与f ( x ) 0 ，x ( 0 ，x o ) 矛媾， 敬溉x 豫掣卜x o t ( 2 ) 幽x o x o 纣寸，由解的唯一性，对任意的t 均有x ( t ，x o ) x o ， 教骞： l i ；m 。i n fx ( t ，x 。) 弱+ 综合( 1 ) ( 2 ) 知l i m 蛰f x ( t ) x o - 正毕 鑫萼；褒3 ，3 及( 3 。6 ) 式褥： l i 。r a 。i n f x ( t ) l i 。r a q 。i n f x t ) 弱- ( 3 ，7 ) 澍( 3 ，7 ) 式，建- f 极隈经震，对 壬意绘定愆勖，爨鼹诞弱一岛 0 ，券在 嚣 0 ，捷褥姿t t o + 噩4 - 东薅，祷； x ( t ) x o 一3 0 那么有 n ：( t ) w ( 4 p , ( x o e 3 ) 一d ? 一m ? 玑一m o o t ) j i 考虑辅助方程 r t ( t ) = m ( a ( x o ) 一霹一m ? k 一m 。，o z 。) ( 3 9 ) j 4 令k + ( t ) 是方程( 3 9 ) 满足正初值条件圪( t o + t 2 + 码) 的解，并令磊o y i ( t o + t 2 + 死) 由比较原理有： y i ( t ，t o + t 2 + t 3 ，玩o ) 。( t ，t o + t 2 + t 3 ，玩o ) ( 3 1 0 ) 对方程( 3 9 ) 当 c l p , ( x o ) 一掣一m 嚣q 。 0 j 2 时，有： m 。斗塑坠毒监坐：眇。 那么对( 31 0 ) 式两端同时取下极限，有： l i t m 碧f y i ( t ) 2l i 。m 。i n f l i + ( t ) 觑 0 即l i t m 骝f y i ( t ) 屈 0 定理3 1 若系统( 1 2 ) 满足条件( ) ，则系统( 1 2 ) 共存 证明： 由( 3 2 ) 式及( 3 4 ) 式有： l i m s u p x ( t ) 冬k ，l i ms u p y i ( t ) q 。 叶t_+。 由引理( 3 3 ) 有： l i t n a 碧f x ( t ) x o 0 8 又当条件( ) 成立时，有 l i t m + 掣北) 岛 o ， 故由定义31 知系统( 1 2 ) 共存证毕 当c i ( t ) = c i ，d i ( t ) = d ；，m t ( t ) = m i ，m 玎( t ) = m z j 时，系统( 1 2 ) 变 为系统( 1 1 ) ，对系统( 1 1 ) 我们可得如下推论： 推论3 1 系统( 1 1 ) 若满足条件c , p i ( x o ) 一d z 一务。! m - j ( 勺功( k ) 一 d j ) 0 ，则系统共存 当p 。x ) = p i x 时，可得如下推论： 推论3 2 若系统( 1 2 ) 满足c l p 。x o 一掣一务。m 等a 。 0 ，则系统共 存 推论3 3 若系统( 1 1 ) 满足c i p i x o d i 一务。盟m j ( k c j p j d j ) 0 ， 则系统共存 当p i ( z ) = l + 出a i 生( x ) 时，还可得如下推论： 推论3 4 若系统( 1 2 ) 满足盅袅一霹一务。m 嚣o ： 0 ，则系统共 存 推论35 若系统( 11 ) 满足地l + a i x o d 。一务。等( 鲁嚣一比) 0 ， 则系统共存 将啦= 生! ：争二生代入( * ) 式中， ( * ) 式变为 n m “ p 。( 弱) 一一纂( 学鼽( k ) 一d ：) o ( 一) j # i 。6 i 下面是定理3 1 的一些重要且直接的生物学含义： 1 从条件( ) 中可以看出，x o 的增大将有利于系统的共存对于捕 食者一食饵系统而言，食饵的种内竞争决定了食饵的供应能力是有限的， 这导致了捕食者的增长也是有界的，而捕食者一食饵系统的非共存通常是 由系统中某一物种的灭绝引起的，蜀代表的恰恰是食饵的供应能力，x o 的增大裘明了食饵的存活率增强，食饵种群不翁灭绝，当然捕食者也不翳 因食物溃乏所导致的饥饿而灭绝，因此x o 的增大有利于系统的共存 2 嚣阳在文熬 2 翻孛螯圭，秘逡竞争m ：( ) 浆存在将鸯耱予系统懿共 存，本文进一步支持了他的观点从本文所给的条件( ) 中可以看出，种肉 竞争r r t i ( ) 的存在有利于系统的共存，而且在一定程度上，种内竞争m 。( ) 越强，系缝共存的可熬性越大， 3 况阳在文献【2 3 】中还指出，没有种闻竞争m 。，( t ) 对系统的共存是有 利的，本文进一步完祷了文献 2 3 的这一观点即当种间竞争m 。，( t ) 存在 对，从条终( ) 可以露出，在一定程度上，摅食黄不同物秭阅驰种闽竞争 t i 2 i j 越弱，越有零j 予系统豹共存 4 从本文给出的系统共存的必要条件c ? p 。( ) 一d ： 0 可以看出，如 果环境最大容纳量影过小，将不利予系统的共襻这与文献f 2 3 l 中增大环 境的最大容纳量蟊会蹭魏耪释存添豹可憨往获蕊摇动生物释群静多撵毪 的观点燃一致的 4系统( 1 2 ) 溜糍正解的存在性 本节考虑系统( 1 2 ) 的周期正解的存在性，假设岛，盔( t ) ，m ：( t ) ，m ；，( t ) 是属簸为t 0 懿连续戆吴毒歪戆上下礴雾黪褥麓函数，邵么系统f l ，2 ) 是一个丁周期系统这样在生物数学理论中，系统( 12 ) 就描述了周期环 境中捕食者一食饵系统的动力学行为，确定在什么条件下系统( 1 2 ) 有正 鼹麓鼹移在，在生物数学理论中楚露嚣重要懿秀 蒌夔系统f 1 2 ) 鳃溺戆 解的存猩性，首先引入b r o u w e r 不动点定理 定理4 1 ( b r o u w e r 不动点定理) ：设q 是舻中的有界闭凸集，连续映 鼓一将q 袄至q 塞身，释么涣鼓矿建q 孛必有一令不交点。，耧o - x + = z ； 我们弓f 入如下记号： 1 0 x = x ，y = ( y 1 ，y 2 ，) ，f = ( x ， 7 ) 系统( 1 2 ) 的过初始点f o = ( x o ，y o ) 的解记为： ff ( t ，f o ) = ( x ( t ，f o ) ，y ( t ，f o ) ) = ( z ( t ，f o ) ，y l ( ，f o ) ，蜘( t ，f o ) ) if ( t o ，f 0 ) = f o ，t 0 g i 理4 1 令s = f = ( x ，y ) r r l i x osx k ，卢。曼y i o q ，i = 1 ，2 ，n ) ，那么s 是系统( 1 2 ) 的正不变集 定理4 2 若系统满足条件( * ) ，那么系统( 1 2 ) 在r r l 内至少存在一 个正的t 周期解 证明：首先定义一个p o i n c a r e 映射口：r r l _ r r l 为 盯( p ) = f ( t ，f o ) ，f o r r l 易知，若盯存在一个不动点f ( ) 石，v o o ) ，则等价于系统( 1 2 ) 在r r l 中至 少存在一个t 周期解 令集合s 如引理4 1 中所设，显然scr r l 且是r 寸1 中的有界 闭凸集和系统( 1 2 ) 的正不变集若f o s ，则由解对初值的连续相依性 可知，盯关于f o 在s 上是连续的且口将s 映到它自身即若f 。s 定会有f ( t + t o ，f o ) s ，取t = t ，故有f ( t + t o ，f o ) s ，即推得 口scs 由b t o u w e t 不动点定理( 定理4 1 ) 知，在s 中至少存在一个不 动点f ( 叉，f ) ，即满足盯f = f ，从而对应的系统( 12 ) 至少存在一个丁周 期解证毕 例子： c o s t ) y 1 一( 3 + s i n t ) y 2 ( 4 1 ) c o s t ) y 2 一( 3 + s i n f ) 9 1 】盯 曲圳枷 一 z zm 钳咖星 n + + 卜卜卜“玑驰 | i = = 矾比 ，-j，、【 下筒我曾) 辩验证系统( 4i ) 满足条件( ) ， 这篓雪嚣 = l g 2 5 x ，k = 4 ，焱嚣一魏g ) 。嚣，杰国一啦 ) = 3 一s i n t ，g l ( 0 = c 2 ( 曲= 2 ，m l ( m 耽8 ) = 1 0 ( 7 一c o s t ) ，m 1 2 ( t ) = ，觋1 0 ) 一3 + s i n # 霹辩簿= 4 ，。2 ，学* = 2 ，嘴一8 0 , m 。6 0 ，嘴* 4 ，m 一2 鑫磕i 嫦盘擎，捺癃8 i = 锄= 0 t ， 将龇mo l 2 = 0 1 代入方程凰g ( 知) 一冬1a l p l i ( x o ) = 0 中，w 解得 弱；3 2 + 予楚 d x o ) 一一孙，嘲脚一2 0 ，繇系统f 4 ，1 ) 瓣殛条释 酃么爨建理3 1 露辩系统渔l j 麓一拿饕存菜统，惠定瑗碡2 勰袋缝 f 4 1 ) 至少襻在一个2 霄周酾磁解邈个例子裳明本文巾所给的系统共襻的 竞努条终及嚣麓芷_ 瓣势嶷浆竞努条终* 燕金瑗戆。 我们墩用m a p l e 软彳毕对舔统( 4 1 ) 作了数值模拟，如下图； 霭1 ：黼子 1 2 参考文献 1 陈兰荪，数学生态学模型与研究方法，科学出版社，1 9 8 8 2 p d em o t t o n ia n da s c h i a f f i n o ，c o m p e t i o ns y s t e mw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t s ： a g e o m e t r i ca p p r o a c h ，j m a t h b i 0 1 1 1 ( 1 9 8 1 ) ，3 1 9 - 3 3 5 3 j m c u s h i n g ，p e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i o ne q u a t i o n s ，j m a t hb i o i 2 4 ( 1 9 8 6 ) ，3 8 1 4 0 3 、 4 j m c u s h i n g t w os p e c i e sc o m p e t i t i o n i na p e r i o d i ce n v i r o n m e n t ，jm a t h b i o i 1 0 ( 1 9 8 0 ) ，3 8 5 - 4 0 0 ， 5 s a h m a d ，c o n v e r g e n c ea n d u l t i m a t eb o u n d so f s o l u t i o n so f t h en o n a u t o n o m o u s v o l t e r r a - l o t k ac o m p e t i t i o ne q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 1 2 7 ( 1 9 8 7 ) ，3 7 7 3 8 7 6 s a h m a d ，o nt h en o n a u t o n o m o u sv o l t e r r a - l o t k ac o m p e t i t i o ne q u a t i o n s p r o c a m e r m a t h s o c 1 7 7 ( 1 9 9 3 ) ，1 9 9 2 0 4 7 s a h m a d o nm m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ec o m p e t i n gs p e c i e sp r o b l e m s ， p r o c a m e r m a t h s o c 1 0 2 ( 1 9 8 8 ) ，8 5 5 8 6 5 8 k g o p a l s a m y , e x c h a n g eo fe q u i l i b r i ai nt w os p e c i e sl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i 。 t i o nm o d e l s ，ja u s t r a l m a t h s o c s e rb2 4 ( 1 9 8 2 ) ，1 6 0 1 7 0 9 k g o p a l s a m y ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yi nap e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r as y s t e m 。j a u s t r a l m a t h s o c s e r b2 7 ( 1 9 8 5 ) ，6 6 7 2 1 0 kg o p a l s a m y ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yi na na l m o s tp e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r a s y s t e m ，j a u s t r a l m a t h s o cs e r b2 7 ( 1 9 8 6 ) ，3 4 6 3 6 0 1 1 at i n e oa n dc a l v a r e z ，ad i f f e r e n tc o n s i d e r a t i o na b o u tt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l es o l u t i o n o ft h e p e r i o d i cn - c o m p e t i n gs p e c i e sp r o b l e m ，j m a t h a n a l a p p l 1 5 9 ( 1 9 9 1 ) ，4 4 - 5 0 1 2 w a n gk e ，p e r s i s t e n c eo fn o n a u t o n o m o u sc o m p e t i t i v es y s t e mw i t hi n f i n i t e d e l a y ，a c t am a t h e m a t i c a ea p p l i c a t a es i n i c a1 4 ( 1 9 9 8 ) ，3 3 3 - 3 3 7 1 3 t e n gz h i d o n ga n d l iz h i m i n g ，p e r m a n e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h e n s p e c i e sn o n a u t o n o m o u s l o t k a v o l t e r r ac o m p e t i t i v es y s t e m s ，c o m p u t e r s a n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s3 9 ( 2 0 0 0 ) ，1 0 7 - 1 1 6 1 4 。m az h i e na n dw a n gw e n d i ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fp r e d a t o r + p r e ys y s t e m w i t ht i m ed e p e n d e n tc o e f f i c i e n t s ，a p p l a n a l 3 4 ( 1 9 8 9 ) ，7 9 9 0 1 5 l uz h o n g h u aa n dc h e nl a n s u 、g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i c l o t k a - v o l t e r r as y s t e mw i t ht w o - p r e d a t o ra n d o n e p r e y , a p p l ，m a t h j c h i n e s e u n i v 。s e r 。b 。1 0 ( 1 9 9 5 ) ，2 6 7 2 7 4 。 1 6 王克，具无限时滞的非自治捕食者w 食饵系统的持久性，数学学搬，第4 0 卷， 第3 期。1 9 9 7 ，3 2 1 w 3 3 2 1 7 y a n gp i n g h u a a n dx ur u i ，g l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h ep e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r a s y s t e m ，j m a t h a n a l a p p l ，2 3 3 ( 1 9 9 9 ) ，2 2 1 - 2 3 2 1 8 k ew a n g ，m e n g f a n ，p o s i t i v ep e r o d i cs o l u t i o n so fp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t h i n f i n i t ed a l a y , c h i n e s ea n n a l so fm a t h e m a t i c s ，2 1 ( 2 0 0 0 ) ，4 3 - 5 4 1 9 ；k ew a n g ，m e n gf a n ，p e r m a n e n c eo fp r e d a t o r - p r e ys y s t e mo fo n e p r e d a t o r a n ds e v e r a lp r e y sw i t hi n f i n i t ed e l a y ，j m a ( p r e p r i n t ，2 0 0 2 ) 2 0 m e n gf a n ，q i a nw a n g ，k ew a n g ，d y n a m i c so fac l a s so fn o n a u t o n o m o u s s e m