（应用数学专业论文）摄动方法求解高炉炉底热侵蚀反问题.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 冶金高炉炉缸的工作状态对于延长高炉寿命和获得良好的技术经济指标都 具有重要意义本文将高炉炉底热侵蚀边界的确定归结为稳态热传导方程边界反 问题通过测量若干位置的温度确定侵蚀线 采用有限元结合摄动的方法，给出目标函数的显式公式；把边界形状的变化 转移成边界条件的变化，从而，对于有限元方法来说就大大节省了运算量，对于 小范围摄动，网格剖分、刚度阵也无须重新计算最终分解为求逐步约束优化的 问题并采用改进的拟牛顿方法求解带有边界约束的优化问题 考虑到决定边界的反问题是不稳定的，我们采用了吉洪诺夫正则化的方法， 选取了适当的正则化项、确定了正则化参数，有效地增加了算法的稳定性 本文分别对于有限元方法、摄动方法、优化算法做了一定的数值例，实验表 明此方法有较高的准确性与稳定性 关键词：高炉：侵蚀：有限元：摄动 复旦大学硕士学位论文 s o l v i n gt h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h ew e a r - f i n eo fa m e l t i n gf u r n a c eb yp e r t u r b a t i o nm e t h o d a b s t r a c t t h ep a p e rt r e a t st h ep r o b l e mo fm o n i t o r i n gt h ew e a r - l i n eo fam e l t i n gf u r n a c ea s t h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h ea x i s y m m e t r i cs t e a d y s t a t eh e a te q u a t i o n t h i st y p eo f i n d u s t r i a lm o n i t o r i n gi si m p o r t a n tf o rb o t he c o n o m i ca n d s a f e 够r e a s o n s t e m p e r a t u r es e n s o r sa td i f f e r e n tl o c a t i o n si nt h el i n i n go ft h ef u r n a c ec o m b i n e d w i t ha ni n v e r s eh e a tc o n d u c t i o nm o d e la r eu t i l i z e df o rm o n i t o r i n gt h es t a t eo ft h e l i n i n g b yf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dp e r t u r b a t i o nm e t h o d ，t h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni s o b v i o u s i tm a k et h ep r o b l e me a s yt oc a l c u l a t e t h et i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o ni su s e dt o l e tt h ei n v e r s ep r o b l e mw e l l p o s e d t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ei ng o o da g r e e m e n tw i t h m o d e 】d a t a k e y w o r d s ：f u r n a c e ；w e a r - l i n e ；f i n i t ee l e m e n t ；p e r t u r b a t i o n 复旦大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 高炉炉底侵蚀问题的背景 冶金高炉炉缸的工作状态对于延长高炉寿命和获得良好的技术经济指标 都具有重要意义然而高炉在使用的过程中，其内壁长期受到高温、渣铁冲刷和 化学作用等等的侵蚀，容易发生破损炉底炉缸耐火材料被铁水侵蚀是一个缓慢 的过程，当炉底的所受的侵蚀达到一定的程度时，高炉就可能需要停产大修，以 保障生产安全因此，高炉炉底的侵蚀程度，往往是决定一代高炉使用寿命的关 键 对于大高炉来说，炉缸、炉底的保护是整个高炉护炉保产的关键但是目前， 尚不可能实现完全阻止炉衬所受到的侵蚀，当高炉使用一段时间之后，停炉检修 仍然是必要的但在另一方面，停炉大修需要较大的成本消耗，应当尽量避免所 以，及时监测炉底侵蚀状况，并采取针对性的措施，对于高炉炉缸、炉底的研究， 高炉寿命的延长和经济效益的提高，以及生产安全的保障，都有着重大的意义 因此，对炉底侵蚀进行监测的数学模型的研究和应用已经得到国内外科技工作者 的重视 1 2 问题研究的发展现状 因为对于高炉炉底部位至今仍无可行的直接测厚装置因此，对高炉炉底侵蚀 监测的数学模型的研究和应用受到了国内外科技工作者的重视国外开发工作比 较早，而在国内这方面的工作起步较晚从国内外所开发出的数学模型来看，一般 是针对各自高炉的技术条件情况，主要依靠炉底及炉缸的对流边界条件进行计算 由于我国高炉层次参差不齐，大部分高炉对炉底冷却参数的监测并没有好的方法， 对炉底侵蚀的监测基本是以在炉底埋置一定量的热电偶，依靠热电偶的测得温度 凭经验推测高炉炉底的侵蚀情况 早在上个世纪七十年代，国外就已经开始这方面的研究和开发，并陆续应用 复旦大学硕士学位论文 于生产实践中，取得了一定的效果，进一步的研究正在进行中例如，奥地利林 茨大学建立了这方面的模型日本新日铁2 0 0 0 年还专门立项，与东京大学合作， 进行研究；先提供给东京大学的计算费用( 不包括试实验) ，就达到7 5 万美元 我国国内在这方面的研究起步较晚，尚缺乏成熟的模型，但自上世纪九十年 代以来，也提出了不少方案1 9 9 6 年， 4 提出一种人工调节侵蚀边界的假设位 置、使用有限元方法计算计算炉衬温度分布，推断炉衬侵蚀状态的方法；【6 】在 1 9 9 9 年提出的方法与 4 瑚似，但是在边界上全部使用d 氏边界条件； 5 同样使 用有限元方法计算温度分布，但使用神经网络方法进行反演推断侵蚀线位置；【8 】8 使用有限差分法计算分度分布，不调整炉衬内边界位置，根据等温线位置推测侵 蚀状态；1 9 9 6 年的 5 】和2 0 0 4 年的【7 都使用边界元方法计算温度分布，用正交 实验进行反演推测，但在边界条件的离散处理上，前者使用常数元离散，后者采 用基尔霍夫变换把非线性问题转化为线性问题 目前国内大部分使用的模型，都将问题简化成了二维的平面传热问题，几乎 没有使用三维模型的计算温度分布时使用的数值算法有差分法、边界元法、有 限元法等；而在反演时，一般使用正交实验、神经网络、遗传算法等方法各个 不同的方案，总是这两组方法中某个组合 使用有限元方法计算温度分布时，每一次的侵蚀线形状变化都要重新剖分网 格，重新形成刚度阵来计算，这个对于计算机的工作量是很大的，本文采用摄动 的方法，将侵蚀线形状的变化转变成边界条件的变化，大大减少了网格剖分和次 数特别是在实际情况中，侵蚀线的变化是一个极其缓慢的过程，基本上两三天 的变化是很小的，将其看成初始侵蚀线的一个小范围变化是很合理的，基本上只 要做很少次数的网格剖分和组装刚度阵就可以得到较好的结果 本文采用的优化方法为带有边界约束的拟牛顿法，相对于不确定搜索的遗传 算法具有更高的精度和可靠性 1 3 本文结构 为了监测炉衬的侵蚀情况，高炉在建造的过程中，会在炉衬中埋设热电偶， 探测炉衬中的温度本文将确定炉衬侵蚀线的问题归结为一个稳态热传导方程的 确定边界的反问题，即求该方程求解区域的一条边界，使得稳态热传导方程在此 复且大学硕士学位论文 边界所界定的区域上的解在热电偶所在位置，与温度的实际测量值一致这一问 题又可化为求稳态热传导方程的定解问题的一段边界，使该定解问题的解在测温 点与温度测量值的误差极小离散化后，这一问题成为一个优化问题 考虑到决定边界的反问题是不稳定的，我们采用了吉洪诺夫正则化的方法， 选取了适当的正则化项、确定了正则化参数，有效地增加了算法的稳定性 由于炉衬侵蚀监测问题的正问题部分，即热传导问题的计算区域，在优化过 程中需要变动，而且边界形状比较复杂，我们选择使用几何适应性和计算精度都 比较可靠的有限元方法来做正问题的数值计算 本文分四个章节，第一章引言，介绍本文选题的意义，和在这个问题中的研 究现状：第二章介绍高炉炉衬热传导问题的模型，和本文的解决途径，包括正问 题的描述和模型的建立，反问题的提出，和我们使用摄动方法将边界形状的改变 变为固定边界问题的具体过程，以及有限元方法离散化的推导过程；第三章描述 本文解决反问题的优化算法；第四章进行了一些数值实验，分别对于有限元方法、 摄动方法、优化算法做了一定的数值例以检验误差、精度 复旦大学硕士学位论文 第二章高炉炉衬热传导问题的模型和解决 2 1 正问题的描述和模型的建立 高炉可以看作一个轴对称体，因此炉底热传导问题可以转化为一个二维问 题，采用柱坐标系简化如图2 1 所示 图2 1 计算区域示意图 高炉炉底的稳态热传导方程可以写成如下形式： 吾面o 。( r k o 务u ， + 毫( 七老 = 。加q 其中，和z 分别是柱坐标系中的半径和竖直方向的坐标，k 是炉底材料的热 传导系数，“表示温度 边界构成如图所示，r = r u r z ur 3u r t u r s 边界条件如下： 在对称边界i i 处，热流为0 ，故“满足绝热边界条件： 4 复旦大学硕士学位论文 譬= od ”r l ； 在底部边界r 2 和外侧边界r 3 处，分别有风冷却、水冷却措施，。 边界条件： j 罢= 吃( i d - - 1 a a ) o n f ：， 一七罢= 九( 。l - - u w ) o y l f 3 ； d 挖 。 其中吃，玩分别是与边界r z ，f ，与冷却环境之间的热交换系数， 是冷却环境的温度 在顶部边界1 1 n 处，也假设“满足绝热条件，即 娑= od r 4 ； u 在侵蚀边界l 上，应该等于铁的熔点( 1 1 5 0 。c ) ，因此有 l , i = “。o hf ； ( 2 ) 满足热交换 ( 3 ) ( 4 ) ”a ，”w 分别 2 2 反问题的提出 炉衬侵蚀监测问题的目标是确定侵蚀边界的位置，为此，我们需要借助炉衬 中预设的热电偶的信息如果在炉衬中所考察的截面中，沿半径方向埋设了上个 热电偶，那么，可以读取这些位置上的温度的实测值，w 2 ，将它们与我们用 正问题计算得到的相同位置上的温度计算值v l ，心，v 。做比较，将使得两者的残 数取到最小值时的侵蚀边界形状作为实际侵蚀线的推测位置 仍采用图1 中的记号，我们的侵蚀监测问题就是：求l ，使得对应的炉衬 温度函数在测量点的值恰等于热电偶测得的温度值 我们这里把侵蚀线离散成m 1 段的折线，那么这些折线段共有m 个端点， 这m 个端点的位置决定了折线段的形状，从而也决定了计算区域的形状我们把 这些点称为“控制点” 更进一步，假设这些端点的位置总是在某些固定的线段上移动，把这些线段 称为控制点的“轨道”这些轨道设定以后，侵蚀线的形状就可以用这m 个实数 复旦大学硕士学位论文 表示了 假设控制点的初始位置为( 1 ，z j ) i = l ，2 ，m 这些轨道的参数方程为( 其中，为参数) j 忙“吧0 8 只f = 1 2 mz 2 1 z i z = z j + ，s i n 舅 一 各个轨道，的取值t i ，t ：，t m 就是反问题的自变量， 设r = ( t 1t 2 ，t m ) 假设测温点的实测温度为：w = ( w 。，w ：，w 。) 这些测温点的计算值为：v ( t ) = ( v 。( f ) ，v ：( f ) ，v l ( t ) ) 反问题就转化为一个优化问题 m i n ( v ( t ) - w ) ( v ( f ) 一w ) 7 ，( 7 ) 由于反问题的不稳定性，温度测量的微小误差可能引起r ；的巨大误差，因 此，我们采用吉洪诺夫正则化的方法，引入正则化项r ，优化问题成为： r n i n ，( f ) = 叫n ( v ( f ) 一w ) ( v ( f ) 一w ) 7 + 尺 ( 8 ) 我们采用如下的正则化项： r = 口 1 + c o s ( 0 i ) 其中为口第i l 条线段与第i 条线段的夹角，而口是正则化系数 至此，我们建立了高炉炉衬热侵蚀监测的数学模型，这是优化问题在此模 型中，对每一个给定的高炉，若已知特定的点集处的温度测量值，就可以反演推 测炉衬的侵蚀位置，这就是本文的反问题 2 3 摄动方法 由于高炉炉底的侵蚀是一个非常缓慢的过程，而对于侵蚀线的监测一般是每 天计算一次，因此两天之间的侵蚀线变化很小当然，即使是对于初始位置偏离 较远的侵蚀线，我们也可以分解为多次的小范围变化来逼近所以这里引入摄动 的方法 摄动方法的主要思想是：对于边界形状的小变化做相应的近似展开，从而将 边界形状的改变“转移”到固定边界同时变化边界条件上来，对于未知函数u 也 6 复旦大学硕士学位论文 作相应的近似展开，把原方程组的f ，边界摄动问题化为两个固定边界的方程组 若r ，边界用参数方程表示为r ，： ：r ：= ：f 。( 。s ； 那r ，的一个微小变化可以用参数方程表示为 所以在i s 上 u ( r ( s ) + 占g l ( j ) ，z ( s ) + 占9 2 ( s ) ) = r o 对e 渐近展开： 时，如) ) 协j 掣粤州卅掣望吲。) 卜o ( e 2 ) ：t o o r 取e 的一阶近似 “( r ( s ) ，z ( s ) ) + 占i _ o u ( r , z ) g 。( s ) + 掣g ：( j ) | 。t o o r 同时令函数“= “( + 8 ( 1 + 占2 甜( 2 + 一 取e 的一阶近似 代入原方程后得到两个方程组 “( o ) + c u ( 1 ) ! 旦f ，七丛 + 旦f 七笙 ：o f 胛q ，a ，la ，a zla z 掣：o 。胛r ， d ， 七警一。g ( o ) - - u a ) 。胛r ： 一七百o u ( o ) 。u ( o ) - - u 。, ) 。胛r ， 掣：o 。珂r 。 d z “( o ) = l 0 n f ； ( 9 ) g g 占 占 + + ) ) j s ( ( ， = = = r z ，、l 复旦大学硕士学位论文 一一 爿比o 叫u o ) i + 孙警卜加q 掣：o 。门r 。 0 r 后警却m 。胛r ： 一后掣吨) 。胛r ， “ 掣：o 。厅r 。 ) + 旦竺! ；笋二生- 占，( s ) + 旦兰占：( 。) ：兀。刀r ， 解上述两个即可求得“，”( ”，从而得到解。的近似 2 4 有限元离散化 由变分原理，该问题方程组( 9 ) 等价于求以下泛函的极小值 卿n ，( 材) 。j 1 他腑i v u 2 d r 如+ 三f ：r h “2 幽+ 吉f ，吨甜2 出一f ：吃u a u d s - f - j 吨叩出 我们将以( 1 ，五) 点连接成的折线l 同其他边界形成的区域离散化，采用 d 。l a u n a y 三角剖分网格，使用有限元方法组装刚度阵，离散化后得到以下表达式 j ( u ( o ) ) = 1 u k u ( 0 ) 矿( 。f ( 。) = 丢c 研哦， 乏：乏： ( 夏： 一c 研。，啦( 墨：) = 1 2 。f - u 。( 7 k - 研+ 叫叩k i ：哦+ 矾咿k 2 。叫+ 哦咿k 2 ：q m 一研咿墨m 一矾咿碍。 其中叫。为内部节点的解函数值，噬为l 上节点的值 由( 9 ) 的第六个方程知噬。) = 曩o 所以m i n j ( u 。) = r a i nj ( u ( o ) 即等价于解线性方程组k ，叫= 曩“墨。尼 复旦大学硕士学位论文 得到研= 巧1 ( 巧“一墨：g o ) 测温点处计算值表示为v ( t ) = v ( + s v ( 1 ( f ) ，我们可以得到 v 一= b k 0 ( 曩一k 1 2 9 0 )其中b 为l x n 矩阵 b 中元素取值如下：当第i 个测温点的节点编号为j 时b 。= 1 ，共l 个测 温点，其余元素为0 分析( 1 0 ) 的第六个方程 ”f 掣拍，+ 掣劬，l = 瓦。”r ，卯02 。 先显示表达g l ( s ) 、9 2 ( s ) 假设折线某一段的端点为“，互) ，( 。毛。) ，则此折线的变化简化为这两个端 点在各自“轨道”上的移动变化 此折线段所在直线方程用参数表示为 卜”丽案专零 卜拇丽褊 ( ，t ) ，( 。+ ，) 所在“轨道”分别为 f ，= + ，c o s t g ， l z = 弓+ ，s i n 谚 f r = + 1 + ，c o s 岛+ l 【z = z h l + ，s i n 良f 若此两点做移动的参数值分别为0 。 则分别移动到点( ( + c o s ，弓+ s i n a , ) ，( ，+ i + “c o s g , m 缸l + ，+ i ，s i n 卑i ) 新的折线段方程为 f ，：+ t i c o 。谚+ 。堕三! ! 兰堕：! ! ! 垒些三! ：! ! ! 垒! j ( + 】一) + ( “。c o s 谚+ l 一c o s 只) 2 + ( 乏“一弓) + ( “s i n e 一s i n 谚) 】2 z ：t + s i n6 ：+ s ! ! 笪三! ! ! ! 皇：! ! 呈垒皇三：! ! 呈鱼! l ( + i r d + ( 0 i c o s “一c o s o , ) 1 2 + k 弓“一互) + g “s j n 鼋+ i 一s j n 岔刀2 复旦大学硕士学位论文 记 c o sl f ，= 产：垒告三! 兰号 ( + l 1 ) 2 + ( ：，+ l z ，) 2 s i n ，= 1 鱼当三垒一( 1 + l 一) 2 + ( 三，+ l 一乙) 2 。妒：。 丝圣! 圭丝! ：! ! 丝：妄：! ! 丝! ( + 1 一) + ( f ，+ l c o s 0 ，+ l t ，c o s 口，) 2 + ( z ，+ l z ，) + ( f ，+ l s i n0 ，+ l f ，s i no j ) 】2 。i 。p ：_ 1 竖：垒兰丝! 竺! 丝三笪! 鱼! 【( + l 1 ) + ( f 。+ l c os0 ，+ i f ，c os 目，) 】2 + ( z ，+ l z ，) + ( t ，+ l s i n0 + l t ，s i n 幺) 】2 求得该折线段的摄动变化g ( j ) 、g ：( j ) 为 g l ( j ) ：l t ，c 。s0 ，+ s ( c 。s 妒，一c 。sy ，) 占 g2 ( s ) ：上 f ，s i n0 ，+ s ( s i np ，一s i ny ，) 】 占 凼此在有限兀法解( 1 0 ) 做约柬处理时，1 鼠设1 1 5 被删格刮分离散化后为n 个节点 1 1 ，上的每一个点的值为 “：o ：一l 旦! q 尘掣g 。( 置) + 皇! q 尘掣 9 2 ( 薯) i f ：1 ，2 ， 卯 因“，的值随自变量f 变化 令即) ：一f 鲥掣g l ( 咖- t 型掣 9 2 ( 鼻) i ，2 ， 02 令q ( ，) = ( q l ( f ) ，q 2 ( r ) ，q ( f ) ) 7 类似( 9 ) ，对于( 1 0 ) 做有限元求解时，同样由变分原理，该问题方程组( 1 0 ) 等价于求以下泛函的极小值 四n 以( 甜) = 互1 r o k v u l 2 咖如+ 三f ：吨甜2 凼+ 吉f ，r 丸甜2 凼 系关的间 岛 占 占 + + 曲曲“攻 | i = ， = ，、l 与 0 0“ | i i i r z ，。l 由 复旦大学硕士学位论文 z ( u ( 1 ) = 土2 u ( 盯k u ( n e ，( 1 1 f ( 1 ) = 丢( 研1 矾1 ) ) 乏k 墨2 2 21 j f 叫u ! ”i ) 1 ) 一( 叫1 哦1 ) ) ( ： = 缸u p 7 k 。叫) + 研1 圹k l ：哦1 ) + 哦w 玛。研1 ) + 哦1 ) 7 如：哦”一研w e m 一暖1 圹碍1 ) 根据变分式，这里的刚度阵和前面是完全相同的 由( 1 0 ) 的第6 个方程知叫1 = e ”= q ( f ) ( 1 0 ) 的第2 5 个方程知f ( 1 ) = 0 m i n j ( u ( 1 ) = m i n j ( u ：1 ) 即等价于解线性方程组k 。研”= 一k i ：q ( r ) u t l = 一k 1 k 。：q ( f ) 所以v 1 ( f ) = 一b k , - 。1 k 12 q ( f ) ，其中b 为三”矩阵，定义如上 v ( f ) = v o + 占v 1 ( f ) = b k i 1 ( 只”一世1 2 碍o ) 一e b k 1 1 k 1 2 q ( f ) ( 1 1 ) 这样对于边界r ；在小变化范围内，测温点的解与控制点的函数关系就可以 显式得表达为( 1 1 ) 式，这样我们就完全把边界形状的变化转移成边界条件的变 化，从而，对于有限元方法来说就大大节省了运算量，在l 在小变化范围内就 不需要重新剖分网格，不需要重新计算刚度阵，只需利用( 1 1 ) 式，即可根据控 制点位置计算出相应测温点的温度，而且( 1 1 ) 式的显示表达可以很方便的计算出 函数的梯度表达式，对于进一步的优化计算方法提供了精确的重要信息 复旦大学硕士学位论文 3 1 反问题求解方法 第三章优化算法 而反问题可以表示为：m j n 厂( r ) 竺o v ( r ) 一w i l 2 + r ) 这里有一点，因为网格的剖分，有限元的离散化都是依赖于控制点的初始位 置的，也就是v ( f ) 的表达式依赖于这个初始控制点，所以若记初始控制点为 p = ( 弓，县，) ，则 v ( t ) = v ( p ，t ) r = a 1 + c o s ( 谚) 】= 口h ( p ，f ) 同时我们要保证侵蚀线的变化是个小扰动才能用摄动方法，所以限制l b f u b 最后问题就转化为求解问题： m j n ，翻v ( 蹦) _ w 1 1 2 + a h ( 岍l b - t , u b 求出相应的t 之后， 形成新的控制点初始位置 z ：r i ，+ + t j c 。o i n s 口o ，= ，z m 以此新的控制点初始位置，再重新做网格剖分，组装刚度阵求出新的t ，如 此循环，求出最优的侵蚀线控制点的位置 算法： 1 给定初始猜测边界的控制点p o = ( “，碍“，璎) 在第k 步： 2 求解带边界约束优化 2 复旦大学硕士学位论文 m j n f 厂( ，) 钏v ( ，f ) - w i + c t h ( ，：乱j 得到，( 3 若f 1 满z l l 冲0 占 停机 否贝。由 r 。y k + + d 。，= ：r ：i ( p k ) ，+ + t ， y k ) ，c 。o i n s 目o ，j f = 1 ，2 ，m 得至。尸似“) k ：k + 1 ：转2 3 2 最优化方法 对于上节算法中第二步，求下式 呼n 加) 轧朋) w 咿：l b - t , _ u b l b t u b 这里的p 在固定的这一子问题里是定点其中口h ( e ，f ) = a 1 + c o s ( 包) ， 其中为醴第i 1 条线段与第i 条线段的夹角 设g ( t ) = v f ( f ) ，g ( r ) = v 2 ，( f ) 定义矩阵d 如下： l d = d ( f ) 为对角阵，对角线上第i 个值为i q ( f ) f ，q 定义如下 若g ， 0 且”6 m o o ，贝0v = 一f 6 j 若g i 0 且地= ，贝4 k = 一1 若g i 0 且l b , = - - 0 0 ，贝0 v = 1 则r 为局部最小值点的充要条件为d 2 ( f ) g ( r ) = 0 ( 参见 1 6 ) 解此条件的数值算法的牛顿迭代步为 s n ( ，) = 一( d 2 g + j ”d 8 ) 。1 d 2 占 其中d 8 = a i a g ( g ) ，j ”= d i a g ( s i g n ( g ) ) 由于g 计算的困难，这里借用拟牛顿法的b f g s 校正公式近似 复旦大学硕士学位论文 哦，却爰一鬻 其中囊三：z ：w ( “) v ( 丘) 这样我们就可以构造以下优化算法： 1 令t o = 0 ，b o = ， 在第k 步： 2 令m k = d k b k d k 七j ：d 2 3 解mk 奴= 一dk gk 令s ：= dk 蛾v 7 4 根据i b t k + 叩& 幻，确定玎的范围为_ ”q “解一维搜索 胞+ 仉以) - 穗。尥+ 叩。& 5 置f = f i + 玑，若+ 1 - t k l l 万，停止 否则依次计算g 。、见+ 1 、b k + 1 、咒。、p 晶 _ j ：k + 】，转2 复旦大学硕士学位论文 第四章数值计算实例 4 1 有限元法的数值试验 使用m a t l a b 及其工具箱编程实现大量的实验表明，有限元法得到了较好的 效果我们使用一个已知精确解的例子来验证有限元部分的可靠性 例1 方程组： 爿r 雾) + k 吖zl e 抛j 、圳圳，l 】 o ，1 3 “+ 娑：5 6 z 2d 门l x o ，1 3 “+ 娑：3 r 2 1 0d 行 o ，1 1 z f ( r ，z ) = ，2o n o ，1 x 0 甜f ，z ) = 一2 z 2 o n 0 x o ，1 它的精确解是“= r2 2 z 2 有限元数值解与精确解的比较如表4 1 所示( 选 取部分点做比较) ： 表4 1 数值解与精确解的比较 复旦大学硕士学位论文 所有点的最大误差为3 2 6 4 4 e 一3 ，平均误差为3 2 8 3 2 e 一4 ，说明有限元法解此 类偏微分方程的效果还是比较好的 4 2 摄动方法的数值实验 这里我们假设边界的各个控制点参数t 变化某个小量，分别通过摄动改变边 界条件和直接改变边界形状两种方法来计算测温点的温度，以检验摄动方法的准 确性 将原边界向内移动0 1 情况下计算所的测温点温度分别为： 表4 2 边界向内移动o 1 情况 直接改变边界形状 作摄动不改变边界形状 1 2 6 6 1 4 1 2 6 3 1 5 1 2 4 6 7 31 2 4 3 5 1 1 1 6 2 7 31 1 5 8 6 8 6 9 3 98 6 3 6 7 3 0 7 8 6 3 0 7 4 8 3 4 5 1 93 4 4 0 3 4 0 5 7 34 0 3 3 6 5 1 1 1 25 0 6 8 8 6 0 1 3 65 9 6 0 2 7 1 5 1 67 1 1 8 6 8 1 2 6 48 0 6 9 2 8 6 6 5 1 8 5 8 9 8 9 0 6 6 98 9 7 8 9 1 6 复旦大学硕士学位论文 9 9 8 0 6 9 8 8 1 2 根据表4 2 计算得到平均误差o 4 6 31 ，最大误差0 9 9 4 0 原边界向内移动o 0 5 的情况： 表4 3 边界向内移动o 0 5 的情况 改变边界形状的情况作摄动不改变边界形状 1 2 3 8 2 81 2 3 7 5 4 1 2 1 _ 7 8 1 1 3 1 5 3 8 4 0 9 8 3 0 6 2 8 3 4 0 4 5 3 9 6 3 7 4 9 3 5 3 5 7 7 6 2 6 8 8 2 3 7 8 1 0 5 8 3 1 9 7 8 6 8 9 9 5 4 6 1 1 2 1 7 0 2 1 1 3 0 5 1 8 3 9 4 9 3 0 6 1 8 3 4 0 1 5 3 9 。5 7 9 4 9 2 6 5 7 6 6 7 6 8 7 6 8 7 8 0 1 6 8 3 0 3 8 6 6 7 7 9 5 2 2 根据表4 3 计算得到平均误差0 1 0 3 9 ，最大误差o 2 4 1 0 经过这样的比较，选取o 0 5 作为摄动变化的上下界还是能够在保持定的 精确性下获得更快的计算速度 4 3 优化算法的数值试验 例2 计算所用高炉形状、条件依据国内某钢铁公司某高炉，假设已知一条 1 7 复旦大学硕士学位论文 侵蚀线的情况下，用正问题计算方法算出实际温度。再利用实际温度反演出侵蚀 线来和原有侵蚀线作比较。安排的热电偶位置及其精确温度、计算温度以及实际 侵蚀线、计算的侵蚀线如表4 4 、表4 5 所示： 表4 4 实际温度与计算温度比较 燕百弭藿酉实际温度 计算温度 1 ( o ，o ) 2 ( 1 7 5 ，o ) 3 ( 3 + 5 1 ，o ) 4 ( 5 2 5 ，o ) 5 ( 7 ，o ) 6 ( 8 8 8 8 ，0 ) 7 ( 8 8 2 9 ，0 6 ) 8 ( 8 7 7 ，1 2 ) 9 ( 8 7 1 0 9 ，1 8 ) 1 0 ( 8 6 6 1 7 , 2 _ 3 1 1 1 ( 8 6 1 2 6 ，2 8 ) 1 2 ( 8 5 6 3 4 ，3 3 ) 1 3 ( 8 5 1 4 2 ，3 8 ) 1 4 ( 8 4 6 5 ，4 3 ) 1 1 7 4 9 1 1 3 6 3 6 1 1 3 3 7 1 8 1 2 6 9 9 9 9 9 0 9 9 3 1 - 4 9 4 3 6 7 3 2 4 4 9 5 7 5 9 4 3 3 7 1 2 5 9 8 6 6 2 9 1 0 1 1 4 1 0 8 4 6 3 1 1 2 7 0 7 1 1 7 4 9 2 1 3 6 3 5 8 1 3 3 7 2 4 1 2 6 9 8 6 9 9 1 4 5 3 1 5 0 7 3 6 6 9 3 4 4 8 9 7 5 9 3 0 0 7 1 2 0 5 8 6 7 5 2 1 0 0 9 9 l 1 0 8 4 6 4 1 1 2 7 1 7 1 5 ( 8 4 1 5 8 ，4 8 ) 1 2 5 3 9 5 1 2 5 3 7 8 表4 5 侵蚀线控制点坐标 1 ( 0 0 0 0 ，2 4 0 8 ) ( 0 0 0 0 ，2 4 2 8 ) 2 ( 1 1 5 0 ，2 4 4 8 ) ( 1 1 5 0 ，2 4 5 1 ) 3 ( 2 3 0 0 ，2 4 7 2 ) ( 2 3 0 0 ，2 4 6 7 ) 4 ( 3 4 5 0 ，2 4 9 6 ) ( 3 4 5 0 ，2 4 9 4 ) 5 ( 4 6 0 0 ，2 5 2 8 ) ( 4 6 0 0 ，2 5 2 1 ) 6( 5 7 5 0 ，2 ，4 8 8 ) ( 5 7 5 0 ，2 5 2 9 ) 7 ( 6 4 5 0 ，2 4 6 4 ) ( 6 4 5 0 ，2 4 2 8 ) 1 8 复旦大学硕士学位论文 图4 1 中画出了实际侵蚀线和计算所得侵蚀线图中的虚线表示计算所得 侵蚀线，实线表示实际侵蚀线 图4 1 侵蚀线反演结果 例3 由于热电偶的测温可能会有误差，为了检验反问题计算的正则性，对 于热电偶原始温度增加噪声以检验，给已知测温点温度增加最大幅度为百分之一 的随机误差，温度如表4 6 所示： 表4 6 加噪声的结果 复旦大学硕士学位论文 从图4 2 可以看出反问题数值解的稳定性还是不错的实线为原始温度对应 侵蚀线，虚线为加噪声后计算所得侵蚀线 图4 2 加噪声后侵蚀线反演结果 复旦大学硕士学位论文 例4 本例对某一座高炉采用实际测量的数据进行反演，如图4 3 n 示，虚 线部分是反演所得的侵蚀线，和经验推测是基本吻合的。 1 ：，1 ，1 ，l ，j 。j 。【，一 012345678 图4 3 实际数据反演结果 4 4 结论 本文使用有限元求解了旋转对称区域的稳态热传导问题，对高炉炉底侵蚀监 测的正问题进行了有效的计算；又使用摄动方法，很好得转化了炉底侵蚀监测的 反问题本文的结果主要有： 对正问题的有限元计算，利用“轨道”将区域内边界作离散化，得到了正问 题输入参数的简单表示特别是摄动方法的引入使得测温点与控制点的函数关系 能够显式得表达，采用多次摄动边界约束优化对于问题求解也提供了一定的正则 性 我们的算法不难推广到考虑了“死铁层”的炉衬侵蚀模型中去，这种模型更 加符合冶金高炉实际情况，但往往需要较多的输入条件当然，要真正实现这个 推广，还需要在区域表示方面做更多的努力 由于对于侵蚀线做了离散化后以折线近似，摄动方法处理中又略去了高阶 项，所以在计算精度上有一定的损失，这个是不足的地方 复旦大学硕士学位论文 致谢 本文是在我的导师谭永基教授的悉心指导下完成的在我的学习、研究过程 中，谭老师的渊博学识、严谨治学和高尚品格，给了我莫大的教益和帮助，引导、 激励我克服重重困难，完成本文的研究在本文课题的探索过程中，谭老师以启 发的方式引导我发现、思考、解决问题，使我的思考能力得到了很大的锻炼和提 高，对此我深为感激当我在课题研究中遇到瓶颈时，谭老师给了我激励和信心， 鼓励我克服困难，这一段经历使我得到很大的锻炼，让我受益终生在此，我想 向谭老师致以我最衷心的感谢，和最崇高的敬意! 同时，我也想在这里感谢陈怡、何睿、徐志敏、林杨等同学，感谢他们在完 成论文中给予我很多的关心和帮助 最后，感谢我的父母和亲人，无微不至地关心、照顾我，培养我长大成人， 并使我能够专心功课，完成学业 复旦大学硕士学位论文 参考文献 1 k a r s e t e i ns o r l i m o n i t o r i n gt h ew e a r - l i n eo f am e l t i n gf u r n a c e i n v e r s ep r o b l e m s i ne n g i n e e r i n g ：t h e o r ya n dp r a c t i c e ，1 9 9 9 ，j u n el - l l ， 2 】李肇毅等2 号高炉炉缸侵蚀在线监测模型的开发应用宝钢技术，2 0 0 2 ，3 ： 4 8 - 5 0 3 】唐勇，等宝钢三号高炉炉缸炉底侵蚀预测数值模拟辽宁工学院学报1 9 9 9 ， 9 ( 5 ) ：6 4 - - 6 9 4 庄玉如等高炉炉缸炉底侵蚀模型的开发及应用冶金自动化，1 9 9 7 ，2 ： 3 3 - 3 5 5 刘薇等高炉炉底侵蚀监测的数学模型1 9 9 6 ，1 0 6 】6 李家新等高炉炉底侵蚀线的计算包头钢铁学院学报，1 9 9 9 ，1 8 ( 3 ) ：1 9 9 - 2 0 3 7 】吴俐俊等基于边界元法的高炉炉底炉缸侵蚀模型上海交通大学学报， 2 0 0 4 ，3 8 ( 1 0 ) ：1 7 3 3 - 1 7 3 6 8 杜钢、陈亮二维传热数模在高炉炉缸炉底结构设计中的应用耐火材料， 1 9 9 9 4 ：2 1 6 - 2 1 8 【9 】孔详谦、王传溥有限单元法再传热学中的应用北京：科学出版社，1 9 8 1 【1 0 】g e o g e ，p la n db o r o u c h a k i ，h d e l a u n a yt d a n g l a t i o na n dm e s h i n g p a r i s ： h e r m e s ，1 9 9 8 1 1 b a z a r a ，m a n dj j a r v i sa n dhs h e r a l i l i n e a rp r o g r a m m i n ga n dn e t w o r kf l o w s ， 2 ”e d ，n e wy o r k ：j o h nw i l e y & s o n s ，19 9 0 1 2 s p e a r s ，wa n dk d ej o n g o nt h ev i r t u e so f p a r a m e t e d