（应用数学专业论文）具有椭圆性质和阻尼项的非线性发展方程扩散波的收敛率.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st 腿s l s 中文摘要 本文讨论了具有不同终端状态、具有椭圆性质和阻尼项的非线性发展方程 组的柯西问题解的整体存在性和渐近行为具体讨论的方程组如下t f 也= - ( 1 一a ) _ i f ，一以+ a 啦。， ( e ) 【以= - ( 1 一q ) 日+ 也+ ( c e ) 。+ a 良。， 初始条件为 ( 妒，口) ( z ，0 ) = ( c o ( x ) ，( z ) ) ( 妒士，日士) ，。士。o ，( i ) 其中a 和都是正常数并且满足 1 ， 4 a ( 1 一d ) 文章通过运用能量方法，在假设j 叽一妒一i + i 钟一p j 足够小的前提下， 证明了若初始数据是由扩散方程( 2 1 ) 得到的扩散波( 2 5 ) 的一个小扰动时，柯 西问题( e ) 和( i ) 的解整体存在并以指数率衰减到那些扩散波唐少强和赵会 江在 14 中研究了具有类似形式的方程组的初值问题，他们所考虑的初始值是 ( 妒士，缸) = ( 0 ，0 ) 关键词：发展方程；扩散波；衰减率；能量方法；先验估计 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eg l o b a le x i s t e n c ea n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v - i o ro fs o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sw i t he l l i p t i c i t ya n dd i s s i p a t i v ee f f e c t s l 讥= ( 1 一a ) 妒一6 k + “妒。， ( e ) 【巩= 一( 1 一a ) 口+ 王，忆+ ( 妒口) 。+ 口艮。， w i t hi n i t i a ld a t a ，p ) ( z ，0 ) = ( 咖( 茹) ，o o ( x ) ) 叶( 啦i 土，啦) a sz _ 4 - 0 0 ，( i ) w h e r eaa n d a r ep o s i t i v ec o n s t a n t ss u c ht h a to 1 ，p 4 a ( 1 一u n d e rt h e a s s u m p t i o nt h a tl 妒+ 一妒一i + | 0 + 一0 一ji ss u f f i c i e n t l ys m a l l ，w es h o wt h a ti ft h e i n i t i a ld a t ai sas m a l lp e r t u r b a t i o no ft h ed i f f u s i o nw a v e sd e f i n e db y ( 2 5 ) w h i c h a r eo b t a i n e db yt h ed i f f u s i o ne q u a t i o n s ( 2 1 ) ，s o l u t i o n st oc a u c h yp r o b l e m ( e ) a n d ( i ) t e n da s y m p t o t i c a l l yt ot h o s ed i f f u s i o nw a v e sw i t he x p o n e n t i a lr a t e s t h ea n a l y s i si sb a s e do nt h ee n e r g ym e t h o d t h es i m i l a rp r o b l e mw a ss t u d i e d b yt a n ga n dz h a o 【1 4 】f o rt h ec a s eo f ( 慨，红) = ( 0 ，o ) k e yw o r d s ：e v o l u t i o ne q u a t i o n s ；d i f f u s i o nw a v e s ；d e c a yr a t e ；e n e r g y m e t h o d ；ap r i o r ie s t i m a t e s i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：话 日期：函噼月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：辛鬯 日期：抽眸6 月8 日言篓芦凰。日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。圃童迨塞理童后进卮；笪至生；旦二生i 旦三笙 筮查! 作者签名：母握 日期：扫d 年6 月p 日 导师 日期，月孑日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 由于r a y l e i g h - b e r n a r d 方程组的非线性性质，很难对l h y l e i g h b e r n a r d 方 程组作理论分析和数值分析但是在1 9 8 6 年，l o r e n z 通过构造截断的方法推导 出著名的l o r e n z 方程组来替代r a y l e i g h - b e r n a r d 方程组进一步，d y h s i e h 在1 9 8 7 年 5 】提出与l o r e n z 系统有关联的微分方程组： f 也= 一。一n ) 妒一口以+ a 也。， ( 1 - 1 ) io t = 一( 1 一卢) 口+ 也+ ( c e ) 。+ 卢口。， 这里o ，卢，盯和p 都是正常数并且满足d 盯和卢 2 、可石了可，系统( 1 3 ) 变为双曲方程组而妒停止增长这样，赋予系统 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 适当的系数后，系统的类型会在椭圆型和双曲型之间相互转化，因而使问胚非 常复杂但是，可以预料到方程组中阻尼顼和扩散项的引入将阻止妒增长，系 统( 1 3 ) 的解将变得稳定 由于方程组( 1 1 ) 的复杂性，目前为止对( 1 1 ) 的研究结果并不多，可参见 文【3 ，7 在文【3 】3 中，肖玲和简怀玉讨论了方程组( i i ) 的初边值问题，初始条件如 下： ( 妒( z ，o ) ，日( 。，o ) ) = ( c o ( x ) ，( 。) ) ，( 1 4 ) 边值条件是： ( 妒，目) ( o ，t ) = ( 妒，p ) ( 1 ，t ) ，( 也，如) ( o ，t ) = ( 妒。，o x ) ( 1 ，t ) ，0 t t 当初始数据( 讥( z ) ，o o ( z ) ) c 2 ，6 ( 0 ，1 】) 伊，5 ( f o ，1 】) ，0 d 1 时，他们运用 能量积分和l e r a y - s c h a u d e r 不动点原理解决了方程组的整体解存在性问题 在文【7 】中，简怀玉和d g c h e n 讨论了方程组( 1 1 ) 具有初值( 1 4 ) 的柯 西问题当初始数据满足 ( 妒o ( z ) ，o o ( x ) ) 日1 ( r ) nl 1 ( r ) ，( 1 5 ) 他们运用b a n a c h 空间中的有关初始问题的抽象理论得到了( 1 1 ) 和( 1 4 ) 局部 解的存在唯一性然后，通过日1 模先验估计又得到了解的整体存在性 另一方面，唐少强和赵会江在文【1 4 中也讨论了和上面方程形式同样复杂 的问题具体来说，他们考虑的是如下方程组的初值问题， ：二激麓， 具有初始数据( 1 4 ) 假设p 4 c t ( 1 一o t ) 和初值满足t ( c o ( x ) ，岛0 ) ) l 2 n w l , o 。( r ，r 2 ) ， 2 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 文f 1 4 j 用傅立叶分析和能量积分方法证明了柯酉问题( 1 4 ) ，( 1 6 ) 的解的整体 存在性，并且获得了方程组的衰减率显然，由假设( 1 7 ) 可以导出 ( 咖( z ) ，( z ) ) _ ( 0 ，o ) ，x _ 士o 。，( 1 8 ) 这是对初值( 妒o ( z ) ，o o ( x ) ) 比较严格的要求 最近，朱长江和王治安p t ，段仁军和朱长江圆2 在唐少强和赵会江结果的 基础上考虑了方程组( 1 6 ) 更加一般的初值问题 似( z ，o ) ，目( 。，o ) ) = ( 咖( z ) ，如( z ) ) _ ( 妞，啦) ， z _ 士。， ( 1 9 ) 这里札，吐是常数并且( 叽一妒一，钆一日一) ( 0 ，o ) ，并获得了柯西问题解的 整体存在性和衰减率 在1 2 ，17 的基础上，我们将讨论( 1 1 ) 柯西问题解的存在性和渐近行为 如文【1 4 ，为了讨论的方便，我们不妨设( 1 1 ) 中a = 卢和盯= 1 ，则柯西问题 变为： l 也= 一( 1 一d ) 妒一艮+ 口k ， ( 1 1 0 ) 【以= - ( 1 a ) 日4 - 咖。+ ( 妒口) 。4 - o 以。， 其中初始值是( 1 9 ) 为了得到解的整体存在性和衰减率，我们主要通过能量积 分的方法来解决，具体步骤如下； 首先，我们需要找到渐近形式线性扩散波，这可通过对方程组( 1 1 0 ) 作近 似得到，见第二章中( 2 1 ) 接着，在第三章，我们运用局部存在性和先验估计得到解的整体存在性和 渐近行为+ 最后，在第四章，我们将用第二章得到的扩散波的衰城性质来获得解的衰 减估计 记号：通篇文章中，我们把正常数记作c ，并且符号c 在不同的地方可能表 示的数值不同p = p ( r ) ( 1 茎p ) 通常表示在r = ( 一o 。，。o ) 上的勒贝 格空间，其模定义为l | 删驴2 ( 止i f ( z ) l 出) ；，1 p 。，i i l l 脾。s u r p i f ( 。) f 3 硕士学位论文 m a s t e r sn 珥s i s 当p = 2 时，我们记 ：( r ) = ”小( r ) 通常表示z 阶s o b o l e v 空间，其 l、曹 模是j l 列础r ) 2fj ， z 。( 萎j | 甓列2 ) 为了方便起见，我们分别用i i ( 0 l p 和i i ( 0 l l , 表示i i ( ，t ) i b 和1 i ( ，0 1 1 , 4 第二章线性扩散波的分析 正如【2 ，4 ，1 2 ，1 6 ，我们猜测方程组( 1 1 0 ) 的解关于时间变量的渐近状态 如下： e 篇麓 由于方程组( 2 1 ) 中的两个方程是相互独立的并且结构相同， 方程( 2 1 ) 1 作变换市( 。，t ) = 乒( 茹，t ) e 一( 1 一。”，方程( 2 1 ) i 变形为： 五= 血丸 ( 2 1 ) 所以只须解 ( 2 2 ) 我们希望找到具有如下形式的解： p ；p ( 志) ，一。 f o 。， ( 2 s ) 并满足边界条件p ( 士o 。) = 诅，其中= 焘 将( 2 3 ) 代人( 2 2 ) 得 一；( ) = 矽( f ) i p ( 士o 。) = 虹 直接计算可得 缸刊泸龋“p ( 一南) 曲批 从而方程组( 2 1 ) 的解如下 5 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 0 、 妒 乳 胁 妒 ， q 心 扫 玑 小酗 讧 乳 舛 冉 0 0 卜 卜 一e e 、； 4 d 嚣 z ，【，l 一护 ，ij_，、-l 硕士学位论文 m a s n 噩st h e s i s 其中g ( z ，t ) = 南旺p ( 一鑫) 表示热核函数，容易推出 z _ 士o o z _ 土o 。 现在我们将考虑移( z ，t ) ，百( 石，t ) 在妒( r ) 空间导数的渐近行为 于上面的热核函数，有如下的性质： 引理2 1 当1 p + o 。，0 l ，七 + 。，有 ij 谚罐g ( 。，t ) j 驴c t 一( 1 一；) 一2 一 最后，由上面的引理，经过简单的计算立即得到如下结果 ( 2 6 ) 首先，对 引理2 2 方程组( 2 1 ) 的解币( z ，t ) 和百( z ，t ) 满足下列性质： ( i ) l i a 痧( t ) i l l 一e e 一( 1 一。”，i l 磷d 0 ) l i l * c e ( 1 - a ”，f = 0 ，1 ，2 ( i i ) 对任意1 p + 。o ，有 f f 酬罐4 ( t ) l t l ，g f 妒十一妒。f e f 1 一n ( 1 + t ) 寿一；， = 1 ，2 ，2 = 0 ，1 ，2 ，； 磷磷百( ) f p e i 口+ 一口一l e - ( 1 一。m ( 1 + t ) 毒一， 七= 1 ，2 ，f = 0 ，1 ，2 ，一 6 咄 吨 旷 烛 陛 1 、 斗 ”0如酝 ，j、【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章整体存在性和渐近行为 3 1 对问题变形 令 f 札( z ，) = 妒( z ，t ) 一硒( z ，t ) ， ( 3 1 ) 【口( 。，t ) = 目( z ，t ) 一百( z ，t ) 由( 2 ，1 ) ，我们改写问题( 1 1 0 ) 和( 1 9 ) 如下： f 乱t = - ( 1 一o ) 札- 4 - 口仳。z v z 一艮， ( 3 2 ) 【仇= 一( 1 一o ) 口- 4 - w 。- 4 - t 2 0 , 。- 4 - ( 钍 ) 。+ ( 乳) 。+ ( 每 ) 。- 4 - f ( x ，t ) ， 初始值为 f 钍( z ，0 ) = u o ( 。) = 妒0 ( 茁) 一事( z ，0 ) _ o ，。_ - 4 - o o ， ( 3 3 ) 【口( z ，0 ) = v o ( x ) = o o ( z ) 一日( z ，0 ) _ 0 ，z 士， 这里 f ( x ，t ) = 也+ 妒如+ 护如( 3 4 ) 我们将在函数空间x ( o ，t ) 中讨论方程组( 3 2 ) ，( 3 3 ) 解的相应问题，其中 x ( o ，t ) = ( “，钞) f 乱，”己( o ，r ；h 2 ) n l 2 ( o ，丁；日3 ) ) 现在陈述主要结果如下： 定理3 1 假设0 n 1 ，0 0 ，使得柯西问题( 3 2 ) ，( 3 3 ) 存在 唯一的光滑解如ko ) ，口( z ，t ) ) x ( o ，t o ) ，且满足 i ( u ，t ) ，v ( x ，0 ) l b 。( r ，r 。) s2 i i ( 咖0 ) ，咖0 ) ) 1 1 日。( r ，r 。) ( 3 7 ) 3 3 整体存在性和渐近行为 由于有局部存在性，为了得到柯西问题( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的整体存在性，只须得到 一些先验估计确切的说，我们将要证明存在个只依赖于l i ( u o ( 。) ，( 茹) ) 1 1 日z ( r 皿z ) 的常数c ，使得对任意t 【0 ，刁，解( u ( z ，t ) ，v ( x ，t ) ) x ( o ，t ) 满足一致界 m ( t ) i i z + f i v ( o f i2 c 下面，对方程组( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的解( 札( z ，t ) ，v ( x ，t ) ) 作先验假设 ( t ) = 。器 到咖o ) i | 2 + 副嘲忏j g l ( 3 8 ) 其中0 6 l 1 由s o b o l e v 不等式j l 川脾j f 川 jj 丘孵，有 jj ( 珏，u 。，口，) il l o 5 1 ，( 3 9 ) 这将会在以后用到 另外，如果 0 使得 e 鏖竺 b 圳 事实上，从扩 4 a ( 1 - - a ) - t m ，必然存在着常数后( 0 ，1 ) 使得扩= 4 k o r ( 1 一口) 选取s = k + l 和c o = 瓦若= 面( 可主面+ 竽) ，即可验证e 和c o 满足 9 下面将是一系列与我们的估计有关的引理： 引理3 3 假若定理3 1 中的假设成立，并且( 乱( z ，t ) ，v ( x ，t ) ) x ( o ，t ) 是 方程组( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的解，那么，当6 和6 t 足够小时，有 f r & + v 2 ) d z + z 2 u 2 + v 2 ) d x d r + z 上( + v ：) d x d r a + 如) ，( 3 1 ，) 证明将( 3 2 ) 的第一个方程乘以2 u ，【3 2 ) 田弟一个刀柱米以2 c o y ，祭眉 相加，和式在rx ( 0 ，t ) 上积分，由柯西一许瓦兹不等式得到 上( “2 + c 。口2 ) 如+ 。( ，一乜) o f ( u 2 + c o v 2 ) d x d r + z a o 上( 啦2 + c o ”：) d 茁打 柏2 + c 0 | 胪一。肌蛐打+ z 嘞肌出打一。以u 瓦如打 + c 。z 上“。”2 妇d r + c oz 上巧。”2 如d r - - 2 c of o 上乳d z 打 + z c o f 。石”f 扛，下) d z a r ( 1 + c o + ( ，一。) o 。上u 2 赫+ 南肌”：d x d r 栅肌啦打+ 警肌w 2 d z d 7 + 6 c - 刊肌u 2 如打 + 志z 2fo ：d z d v + c o ( 吲b + 1 1 “) = 1 1 洲肌觑打 + ；卜一高m 上啦d r 拙0 2 2 c o a - - 南) 。1 o 肛2 删r c o a z 。fv 2 ：i x d r + 害z 。f f 2 c z ，7 ，出d n 慨。、 1 0 运用引理2 2 和式子( 3 9 ) ，上面不等式变为 l ( u 。+ c o y 2 ) 如+ ( 2 - s - d ) ( 1 一口) 厂2 珏2 如打+ ( 。一e ) a o o j 0 j上札；如打 r 。k + 2 ( ，刊一等卅蠡删m 上撕 + ；卜一志m 上啦打 g 如砌喇 。c o o t - - 南儿。肛恸 + 詈上上f 2 c z ，下，d z d 下， 。，。， 其中用到了不等式： 南肌驰拈南o 酬陋 著j g 扩。t e - 2 ( i - a ) r 打 e d 下面我们来估计不等式( 3 1 3 ) 右端的最后一项 事实上，由引理2 2 ，和柯西一许瓦兹不等式得 c 。o 。上f 2 ( 。，r ) 如打= 詈i f 上( 一抗+ 巧瓦+ 也回2 如打 钳上( 援+ 笼) d m d r g 6 ( 3 1 4 ) 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 那么由引理2 2 ，【3 1 3 ) 和【3 1 4 ) 确 上( 就2 + c o v 2 ) 如+ ( 2 一一印( ，一驯z 上“2 如打+ ( z e ) 。0 002 上如出j r j j 皿j r + 2 ( ，一q ) 一c y 。_ 2 一c 舻+ a ，) ) z 。f c o v 2 d x d 丁 + ；卜一丽1m 上如打 g ( 品+ d ) + c 。te 2 2 ( 1 - a ) r 。f 皿钍2 d x d r ， ( 3 1 5 ) ( 3 1 5 ) 蕴含下述不等式 上让2 出sg 嗡+ a ) + g z e - 2 ( 1 卜上 2 如舭 ( 。邶) 由格朗瓦尔不等式从( 3 1 6 ) 容易推出 u 2 d x g ( 而+ 6 ) e g 詹e - 2 1 _ 。卜4 7 e ( 南+ 6 ) ( 3 1 7 ) j 皿 将( 3 1 7 ) 代入( 3 1 5 ) 得，有 u 2 + c o y 2 ) d 立+ ( 。一s 一( - 一口) z 。( 札2 d 。打+ ( z e ) 。f 0 0j0 。上u ：d z d 丁 j rj 璁 + 2 ( 1 叫一警卅川，) m c o v 2 如打 + ； 2 c o a - 志 o 上谴出打 c ( 6 。+ d ) + g ( 南+ 6 ) f o t e - 2 ( 1 - a ) r 打， 由( 3 1 0 ) ，当5 和5 1 足够小时 钍2 + v 2 ) 如+ z 上( u 2 + 钉2 ) d x d t + o 上( 札：+ w ：) d x d t e ( 品+ ，( 3 1 8 ) 引理3 3 证毕 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引理3 4 假若定理3 1 中的假设成立，并且( 钍( z ，t ) ，v ( x ，t ) ) x ( o ，t ) 是 方程组( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的解，那么，当5 和函足够小时，有 上( “。2 + 囝如+ 上。上( u 。2 + ”。2 ) d x d t g + 如) ， ( 3 1 9 ) 证明 首先，将( 3 2 ) 的第一个方程乘以( 一2 乱。) ，( 3 2 ) 的第二个方程乘 以( - 2 c o y 一) ，然后相加，和式在r ( 0 ，t ) 上积分，得到不等式 上( + c o ) 如+ 。( ，一。) z 上( 2 + c o ) 如打+ 。乜z 上( 乱。2 + c o 嚷) 出打 = 吐2 + c 。岫蚓1 2 一z d 厂0 j ( 乱z 。一如打+ z c 。j ( 上出d r r n ，瓣 一。z 上出d f + c o z 。上记d x d 7 + c o z o 上讧咤如打 司c o z ? 上瓦u 如打一2 c o o 醒u v v = d x 打一。c o z 。上佤”。咖打 一。c o z 上钆。出打一z c 。z 上f c 。，丁，。d z 打 ( 1 + 如州卜血) 肌嗷南以吃如打 恤o o 上扳x d x d t + f 汕 f 拙打+ o 。肚蛐+ 孱出打 + c o ( j j 归+ j j 讧肚。o ) z 上d z 打+ c 。j j 瓦。z 。上( “2 + ”羔) 如打 + 。o l l i i 护正。厶( 蚝2 + 2 ) d x d t + c o l l 巧z i i pf 足( 2 + ”：。) 出打 ，n ，w，n ，n 一 。如d ，- + c 0 5 f o 上。出打 上萨钍：如打+ 詈z 。上严( 卫，f ) 如打 1 3 ( 3 2 0 ) 二z厂厶r，型 一 跏 硕士学位论文 m a s t e r s 吁i e s l $ 上( 他。2 + c o v 2 ) a x + ( 。一s ) 。：上乞如打 + ；b 一南卅川- ，m 肛d x d ，- 嘶删m ， 由( 3 1 0 ) 和( 3 2 1 ) 得 上( u 。2 + ”2 x ) d x + z 。上( u 。2 。+ ”。2 。) d x d t g ( 6 + 6 。) ， ( 3 2 2 ) 引理3 5 假若定理3 1 中的假设成立，并且( 钍( z ，t ) ，v ( x ，t ) ) x ( o ，t ) 是 方程组( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的解，那么，当5 和6 ，足够小时，有 上( 乱。2 。+ 磋。) 出+ ：上( “2 + ”。2 。) 如打g + 如) ， ( 3 2 3 ) 证明 将( 3 2 ) 关于z 微分两次，然后将( 3 2 ) 的第一个方程乘以2 札一 1 4 上( u + c o 色) 出+ z ( ，一n ) z 上( 心+ c o 噍) 出打 + 2 ! ( 遽。+ c 0 记j d z 打 ：咖酽+ c 0 2 一z ( 。j f r 让x x v x x x 如打+ z c o z 。上z 一如打 一。z 。上u 。瓦。如打+ 。印z 。上c “w ，一z 出打+ z c 。z 上c 如k 。出打 + 。c o 上。上( 跳k 。”。出打+ 。c 。z 上b z r ) v z x d x d t ( 1 如州，刊肌如删r + 南以如姗 栅肌u ：x x d x d 7 + 等z v ：x d x d v + 以u ? x x x d v + ，j ，r 吃批嘞j 厂o 如k z d x d v - z c oz 2 上( 札如打 一。c oz 上c 百u k z 。如d 丁一2 c 0z 。上r ( 茁，下) q z d 茁d r 随。4 ， 上( 碡。+ c 。u 。咖+ ( 。一e ) a z 上钍：。如d 下 + 2 c o a 一志m 肛乒打 g ( a 。+ a ) 一。1 ( 2 ( u ”) 。”。如d t - 2 c ol 上( 市”) 。”。t 石打 一z c 。z 。上( 口u ) 。”。a z a ，一。c 。上。：j 二( 写，下) w 。t z d z d 丁 ( 3 2 5 ) 下面估计( 3 2 5 ) 的右端各项： 1 5 首先，由( 3 9 ) ，引理3 3 和引理3 ，4 及柯西一许瓦兹不等式得 一2 c 0 ( 珏嚣) 。d x d t 砰以睦触+ 材2 + 遽“v 兰) d x d t 冬砰。如d 7 + g ( d + 如) ， ( 3 t 2 6 ) 类似的，从引理2 2 ，3 3 和3 4 知道 一2 c 。( 咖k 。d x d t = 一2 c o ( 西w 。+ 2 也t k + 也。v ) v 。：z d x d r ，0j r p cp = c 。丘巧z 屹如打一2 c 。上上( 2 玩+ 也z 口) 一出打 c o 丘也”乞d x d c + 5 z 。f rv 2 ：，：d x d 7 - + 鲁z 。上( 记咤+ 审羔”2 ) d x d r a 上。( 口。2 。d z d ，- - bc ( a + 如) f 3 2 7 ) 重复同样的计算过程有 一z c 。j ( 上( 目u ) 。”。d 茁c 如，a z 。丘”。2 。d 茁打+ g ( a + a 。) ( s - 。s ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 另外，运用引理2 2 ，3 3 和3 4 ，由柯西一许瓦兹不等式得 一。c oz 。上b ( 孔丁) 。出d 丁 = - - 2 c o f ( v 也+ 审瓦+ 也百) 。d x d r s d 以噍出d r + 譬o o 。上( 一疋螂瓦胁( 讧印。) 2 如打 j 肌噍如打+ 甜上虼撕+ 甜上嘲如打 t f r - 2 a - 2 由曲 s 6 厶嚎。d z 打+ g ( 6 + 岛) ( 3 2 9 ) j 0j 璁 、 把( 3 2 6 ) 一( 3 2 9 ) 代入( 3 2 5 ) ，得到 上( u 。2 。+ c 。) 如+ ( 。一e ) 。z 。上趾乏。出打 + 2 c o a - - 习可一( 砰+ s 6 ) ) z 上t 屯出打g ( 6 + 如) ，( s - s o ) 所以由( 3 1 0 ) 知，当5 和正足够小时，( 3 2 3 ) 成立联合引理3 3 ，3 4 和3 5 得到( 3 5 ) 成立， 最后，证明先验估计( 3 8 ) 是封闭的事实上，在估计( 3 8 ) 下，我们可以 推导出( 3 5 ) 在万和矗足够小时成立，也就是说当占和5 0 足够小时，f 3 8 ) 总 是正确的 下面讨论( 3 6 ) 为此，我们引入下面的引理： 引理3 6 如果9 ( t ) 0 ，夕( t ) l 1 ( o ，o o ) 且多0 ) l x ( o ，o 。) ，则当t 斗o 。 时，g ( t ) _ 0 引理3 6 的证明可以参考文 1 1 ，1 5 】，具体过程略 在引理3 6 中，令9 ( ) = i l 让。( t ) | | 2 ，由( 3 5 ) 推断知夕( t ) 三1 ( o ，o 。) 记工2 空间的内积为( ，) 由工2 空间内积的定义和分部积分，有矿( t ) = 2 ( 札。，。) ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一2 ( u t ，。) 从( 3 5 ) 和柯西一许瓦兹不等式易得 ( 地，钍裙) = 一锄，她溶) = ( ( 1 一) 珏+ 一口2 k + 瓦，地汀) 二1 ( o ，o 。) ， 因此，由引理3 6 和g l ( ) l 1 ( o ，。) 有 f f u z ( t ) f f _ 0 ，t _ 。 ( 3 3 1 ) 运用s o b o l e v 不等式，可以由( 3 3 1 ) 和( 3 5 ) 得 s u pl u ( x ，t ) t i l u ( t ) l l l l u 。( t ) 胆_ 0 ，t - 。 ( 3 3 2 ) 对v ( x ，t ) ，同样的道理也有 s u pi ”( z ，t ) l i i , ( t ) l l 1 1 口。( t ) 胪_ 0 ，t - o o ( 3 3 3 ) 类似的，令夕( t ) = l i 。( 1 ) 1 1 2 和g ( t ) = 。( 圳f 2 ，从( 3 5 ) 和引理3 6 有 f l u z z ( t ) _ 0 和f f 叱。0 ) - 0 ，t _ o 。 ( 3 3 4 ) 所以由s 9 b o l e v 不等式和( 3 3 4 ) 得到 s u pl u 。( 。，t ) 1 jj 钍。( 驯引1l u 。( f ) 胪- + 0 ，f - o o ， ( 3 3 5 ) 和 s u p i v 。( x ，t ) i l i ( t ) 一i i 。( t ) 一_ 0 ，t _ 0 0 ( 3 3 6 ) 这样联合( 3 , 3 2 ) ，( 3 3 3 ) ，( 3 3 5 ) 和( 3 3 6 ) 就证明了( 3 6 定理3 1 证毕 1 8 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 第四章解的衰减率 在这一章，我们将讨论柯西问题( 3 2 ) ，( 3 3 ) 解的衰减率作先验假设为 22 i l a ：u ( t ) 1 1 2 + 憾口( t ) 1 1 2 e 一。，0 t t ， ( 4 1 ) 知= 0导= d 其中 i n ( 2 - ) ( ，刊，2 ( ，刊一等) 这里和c 0 由( 3 1 0 ) 确定 由s o b o l e v 不等式，( 4 1 ) 表明 l l ( 牡，u 。， ， 。) l | l o 。曼e 一言， 这将在后面用到 为了后面的证明，我们还列出了格朗瓦尔不等式如下： ( 4 2 ) ( 4 3 ) 引理4 1 ( 格朗瓦尔不等式) 设叩( ) 是在f 0 ，o o ) 上的一个非负连续函 数，满足 刀0 ) + a n ( t ) u ( t ) ， 其中a 是一个正常数，u ( t ) 是一个定义在【0 ，o o ) 上的非负连续函数，则 ”( t ) ( 口( 。) + z 。e 7 叫( r ) 打) e 一 t 下面叙述关于方程组解的衰减率的主要结果： 定理4 2 假设( u ( z ，t ) ， ( 。，t ) ) 是问题( 3 2 ) ，( 3 3 ) 的解，且满足定理3 1 的条件，则当5 和而足够小时，对任何 0 ，刁，有 a 知( t ) 1 1 2 + i l a ! v ( t ) 1 1 2 g p + 6 0 ) e 一“，k = o ，1 ，2 ，( 4 4 ) 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中1 由( 4 2 ) 确定 址明让明分二步冤戚 第一步，( 3 2 ) 1 2 u + ( 3 2 h 2 c o y ，然后等式关于。r 积分，由引理 2 2 及柯西一许瓦兹不等式得 夏d 止。u 2 + c o 确出+ 2 ( 1 一b ) 上( u 2 + c o 确出+ 2 a 上( u ：+ c 0 ) 如 = 一。上“如+ 。崎上秽如一。上让瓦如一。c o 上u 。咖 一2 c 0 o u v z d x 一z 如出+ 2 c o z f ( t ) 如 纠一_ ，上“2 出+ 南廖s 。上u ：如+ 警上瑚一上钍瓦如 + c o 上”2 出一。上弛出+ c o 上市”2 如+ z c o 上”f c 卫，t ) 如 ( 4 5 ) 由引理2 2 ，整理知 丢螂2 肼c z 瑚一位) f r u 2 d x + 2 ( 1 叫一警) 小2 出 坤叫。上喇2z + 2 c o a 一南) 上记出 c 5 e 叫h n l m 一2 丘钍瓦如+ c 0 厶掣2 如一2 c o o u v 。d x j 琏j r + 2 c 0 上咧州) 出 ( 4 6 ) 下面，我们估计( 4 6 ) 式右边的各项 事实上，运用柯西一许瓦兹不等式，并由假设( 4 , 1 ) 和引理2 2 得 一。上让瓦出a e 硅叫卜0 。n 上u 2 如+ ；e - - ( 1 - - e ) t 上皖妇 c s e 一跨 ( 1 一口) ” 2 0 ( 4 7 ) 注意( 3 5 ) 及s o b o l e v 不等式，有 ( 札， ，) ij 。g ( 6 + 岛) ( 4 8 ) 因此，利用柯西一许瓦兹不等式，由( 4 1 ) ，( 4 3 ) 和( 4 8 ) 得 c o 上”2 出兰c o ( 上咤m 如+ 上l 卯l 出) c o l i 叫l l * ( “：+ v 2 ) d x ：训”l 良良( 缸：+ v 2 ) d x g + 晶) e i e 一。 ：g + 矗) e 一寻t ( 4 9 ) 类似的，有郊t 不等式 咖上跳岫1 1 2 c o a 一南) 上啦d r + c j f r 0 2 抛 1 2 2 c o a 一志) 上让：如打+ c e - 2 ( 1 - o ) t9 f r 矿d x 、 【4 1 0 ) 另外，由引理2 2 及柯西一许瓦兹不等式推出 z c o 上”f ( z ，曲出a e 娃卜”上”2 出+ 譬e - 争( 1 q ) j 上f 2 ( z ，t ) 出 6 e 码- ( 1 - 。) t e - u + 了c e _ ( 1 q ”。上( 记+ 程) 如 6 e 一( 1 一n ) p e 一“+ 呈e 一 ；一( 1 一。) ) 6 2 e 一2 ( 1 一n h d c s e - ( 十( 1 一。) t ，( 4 1 1 ) 那么，从( 4 ，6 ) ，( 4 7 ) ，( 4 9 ) ，( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 和( 4 1 ) 知 面d f2 抑+ ( 2 叫( 1 _ 理) 上池+ 2 ( 1 刊一等) 上c o y 2 如 c 6 e 一 f + ( 1 一n ) ”+ c 6 e 一 + ( 1 一a ) h + e ( 占+ ) e 一詈+ c e 一2 ( 1 一“冲u 2 d x e ( d + 岛) e 一譬。+ c s e 一 + ( 1 一。) p + c e 一2 ( 1 一。 u 2 d x j 腿 ( 4 1 2 ) 注意l 的定义( 4 ，2 ) ，从( 4 1 2 ) 可知 面d 厶f t u 2 t = o v 2 ) 如+ z u + c o v 2 ) 如 sg ( 6 + 如) e 警+ c 一 + ( 1 一n ) ”+ e e - 2 ( 1 - a ) t f r ”2 如 ( 4 1 3 ) 进一步，既然i 1 一则由引理4 1 和引理3 3 得 上( 珏2 + 扩) 蜒 蕊圳6 ；1 上te 母扩d - r p + e a ，。e t ；+ 。一n ，7 7 c 打+ ez te l v e - - 2 ( 1 - c t ) l - ，；r 。2 c 拓) e 一“ g + 矗) e 一， ( 4 1 4 ) 这就证明了k = 0 时，( 4 4 ) 成立 类似的，当= 1 时，我们用( 一2 u 。) 乘以( 3 2 ) 1 ，用( - 2 c o y 。) 乘以( 3 2 ) 2 ， 然后两式相加，和式在z 琏上积分，类似于证明不等式( 4 1 4 ) 的过程，得 ( 遽+ c 0 ) 如c ( d + 如) e 一。， ( 4 1 5 ) 即k = 1 时，( 4 4 ) 成立 最后，证明k = 2 时，( 4 4 ) 也成立事实上，对( 3 2 ) 关于z 微分两次， 分别乘以2 u ，。和2 c o v 。，然后在z r 上积分，得 下面，我们估计( 4 1 7 ) 右边的式子 事实上，利用柯西许瓦兹不等式，由( 4 1 ) 和引理2 _ 2 得 一z(“。瓦。d墨aet；一c1一n，p上u：。dxj + ；e 一5 一1 一n p ：舞z z d z r 。瓜 耐；川一a ) t e - + ；e 一 ；川“) ) 。铡2 e 2 卜曲。 g d