（系统工程专业论文）结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法.pdf

摘要 本文探讨的是系统工程中最基本的方法结构建模方法中存在的问题。 结构模型表示的是系统的结构，即要素之间的关系。解决系统问题的最基本手 段是关系的调整，即结构调整。在社会经济这类软系统中，要素之间的关系既 抽象又复杂，很难分辨出这些关系是直接的还是间接的，一般来讲，对直接关 系的调整将起到事半功倍的作用。可是，人们在对软系统进行结构分析时，更 容易获得间接关系。那么，怎样从间接关系获得直接关系呢? 本文提出了解决这个问题的新方法信息保留法。这个方法旨在解决从 可达矩阵开始建立邻接矩阵过程中存在的回路矩阵问题。本文首先讨论了信息 保留法的原理。利用保留信息和补充信息来求解邻接矩阵，但是邻接矩阵具有 多解性，需要进一步利用人机交互信息来确认真实解。接着利用层次结构分折 法对信息保留法进行了验证。为了完整地建立系统结构模型，又借助其它建模 方法传递扩大法建立系统可达矩阵。保留信息就是在建立可达矩阵的过程 中得到的。本文将传递扩大法和信息保留法结合起来，其问利用回路定理来判 断可达矩阵中的邻接矩阵，构建了从一个要素开始到系统邻接矩阵的完整的建 模过程。在代数运算基础上采用开放的建模方法，采用人机交互的方式来确定 回路矩阵对应的邻接矩阵。本文最后运用上述建模方法对吉林彩晶公司总经理 办公室工作模型进行设计，验证了该建模方法的有效性。 关键词：结构建模；可达矩阵；邻接矩阵；信息保留法 a b s 仃a c t t h es t u d yc a r r y i n go f fi nt h i sp a p e ri sak i n do fm e t h o d o l o g i c a ls t u d y t h e p r o b l e mt h i sp a p e rm e n t i o n e di sab a s i cm e t h o do fs y s t e me n g i n e e r i n gs t r u c t u r e m o d e l i n gm e t h o d ab a s i cm e t h o dt o s o l v et h es y s t e mp r o b l e mi s t oa d j u s tt h e r e l a t i o ne s p e c i a l l yt h ed i r e c tr e l a t i o nb e t w e e nt h ef a c t o r s t h es t r u c t u r em o d e li st o p r e s e n tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ef a c t o r so ft h es y s t e m t h er e l a t i o nb e t w e e nt h e f a c t o r so ft h es o f ts y s t e ms u c ha st h es o c i e t yi s v e r yc o m p l e x i nt h ec o u r s eo f a n a l y s i st ot h i sk i n do fs y s t e m ，p e o p l et e n dt og e tt h er e a c h a b l er e l a t i o nb u tn o tt h e a d j a c e n tr e l a t i o n b e t w e e nt h ef a c t o r s h o w e v e r , t h e a d j a c e n tr e l a t i o ni s m o r e i m p o r t a n t b u ti t i sm o r ed i f f i c u l tt of i n dt h ea d j a c e n tr e l a t i o nb e t w e e nt h ef a c t o r si n t h es o f ts y s t e m h o wt od o ? t h ei n f o r m a t i o nr e t a i n i n gm e t h o d ( r a m ) i st of i n dt h ea d j a c e n tm r 埘xo f r e t u r n c i r c u i td u r i n gt h ec o u r s eo f t r a n s f o r mf r o mr e a c h a b l em a r xt oa d j a c e n tm a t r i x t h i s p a p e rd i s c u s s e st h ep r i n c i p l eo fi r m ，t h a ti sh o wt ou s et h er e t a i n i n gi n f o r m a t i o n a n dt h es u p p l e m e mi n f o r m a t i o nt om a k ea l la d j a c e n tm a t r i x t h e na s en e w i n f o r m a t i o nf r o mm a nt oc o m p u t e rt oi d e n t i f yt h er e a la n s w e r a n dt h e nt h e h i e r a r c h i c a ls t r u c t u r a la n a l y s i s ( h a s ) m e t h o di su s e dt ot e s tt h ei r m t os e tu pa c o m p l e t es t r u c t u r em o d e l ，t h ee x i t e dm e t h o dn a m e dt r a n s f e r r i n ge x p a n d i n gm e t h o d ( t e m ) i su s e dt os e tu par e a c h a b l em a t r i xf i r s t t h er e t a i n i n gi n f o r m a t i o ni s r e c o r d e dd u r i n gt h ep r o c e s so ft e m d u r i n gt h i sc o m p l e t em o d e l i n gp r o c e s s ，t h e r e t u r nc i r c u i tt h e o r yi su s e f u lt of i n dt h er e t u r nc i r c u i tf r o mt h er e a c h a b l em a r x t h u sa c o m p l e t em o d e l i n gp r o c e s si sm a d eu pt os e tu pt h ea d j a c e n tm a t r i xs t a r t i n g f r o mo n ef a c t o r t h ep r o c e s si sa no p e na l g e b r a i cc a l c u l a t i o np r o c e s sw i 血t h eh e l po f t h er e t a i n i n gi n f o r m a t i o n i nt h ee n do ft h i sp a p e r , i r mi sp r a c t i c e dt om a k et h e s y s t e m sa d j a c e n tm a t r i xt o g e t h e rw i t ht e m t 0h e l pt od e s i g nt h ew o r km o d e lo f t h e m a n a g e r so f f i c ei nj i l i nc o l o rc r y s t a ll i m i t e dc o m p a n y k e yw o r d s ：s t r l i c t u f em o d e ji n g ；r e a c h a bj em a t t i x ； a d j a c e n tm a t r i x i n f o r m a t i o f fr e t a i n in gm e t h o d i l 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 1 引言 1 1 问题的提出 随着人类生产和生活范围日益扩大，面对的实际问题愈来愈复杂，单凭直观 方法是无法探求事物的内在规律的，必须使用科学的抽象思维方法，模型方法就 是抽象思维方法中有效的一种，是人类认识客观事物的桥梁【1 。 在研究社会经济这类软系统的时候，在进行系统分析之初，有时连问题是什 么还不清楚。经过反复研究讨论，初步弄清了目标是什么，问题在哪里，所研究 的系统包括哪些因素，系统所处的环境是怎样的，逐步形成概念模型。这种模型 是从概念上明确了问题所在，划定了系统的边界，大体上确定了目标和约束条件， 实际上这时系统的结构与功能已经逐渐有了眉目。这种对于系统问题不断认识的 过程可以用图1 1 描述如下： 图1 1 系统问题的认识过程 f i gl ，1t h er e c o g n i z i n g p r o c e s s f o rs y s t e m 图1 1 所示为一个系统问题，可能最初它的边界不是很清楚，系统包含哪些 要素也不太明确，要素之间关系不确定，也就是非结构化或半结构化问题。要对 这样的系统问题进行分析，找出主要矛盾以便进行解决，就要建立系统的结构模 型，这是一种科学有效的途径。通过对非结构化或半结构化问题逐步进行分析， 找出要素之间的关系，利用一定的建模方法，建立结构建模，将为通过调整系统 结构来解决系统问题奠定基础。 党延忠老师在“系统建模理论与方法”课中，讲解了“三个世界”的观点 ( 见图1 2 ) ，那就是客观世界、主观世界和模型世界( 包括计算机模型和非计算 机模型) 。主观世界中的概念模型通过语言、文字、人工符号、图形、图像、实 物等等外在的形式加以对象化，就成为与主体脱离的、对象化的客体，这些客体 的集合就是模型世界。模型世界中非常重要的也是非常基本的类模型就是结构 模型。 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 图1 ，2 三个世界的关系 f i g1 2t h er e l a t i o n s h i pa m o n gt h et h r e e 关系1 ：认识关系； 关系2 ：外化关系( 建模) ； 关系1 ：间接知识的第二认识关系( 学习关系) ； 关系3 ：转化关系； 关系4 ：第二认识关系，即学习功能； 由于人是认识的主体，所以客观对象不是直接被计算机所映射，必须通过主 观世界的加工和处理，然后再映射到计算机世界中。这种映射有两种方式：一种 是一下子把一个完整的概念模型，直接映射到计算机世界中；另一种是把主观世 界中关于客观对象的判断，通过多次人机交互映射到计算机世界中，最后在计算 机世界中形成完整的客观对象的模型，与此同时，在主观世界中也反衬出客观对 象的完整的概念模型。在后一过程中，计算机就起到了帮助人认识客体的作用。 可以根据人的认知规律，把这个过程设计成一种可视化的分析过程。 系统结构模型是一种描述系统各组成部分( 要素) 之间以及系统与环境之问 相互关系的模型，是概念模型到定量模型的中介，它的重点在于元素间关系的测 辨和模型结构的确定。一些难以量化的系统常采用这种模型加以描述，所以应用 很广泛。这里所说的关系，既包括因果关系、顺序关系、联系关系、隶属关系， 也包括优劣关系等等。因为它只表示关系的有无，不涉及量的大小，所以比较简 单直观。系统结构模型常用于分析社会、经济、环境、管理等方面的系统结构问 题，为制定系统规划提供科学依据。但是，在实际应用中，从系统组成要素的判 断、系统各要素间关系的确定、系统直接关系矩阵的建立，以及系统间接关系矩 阵的计算等方面，都还存在着若干值得探讨的问题。在社会经济这类软系统当中， 要素之间的关系并不明确，结构模型不是一目了然的，需要通过一些间接关系加 以推断。但是理清这些关系( 建立结构模型) ，对于进一步分析，不论是定性的 分析还是定量的分析，都是重要的j 。 1 2 国内外同类研究现状 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 1 2 1 国外相关理论 ( 1 ) w a r f i e l d 在七十年代为分析复杂的社会经济系统中有关问题而开发并 提出了解释结构模型( i n t e r p r e t i v es t r u c t u r a lm o d e l i n g ，i s m ) ，其应用范围十分广 泛。当结构建模特指某种具体方法时，就是指i s m 。在i s m 中，结构模型的建 立是通过模型同构变换( m o d e le x c h a n g ei s o m o r p h i s m ，m e i ) 实现的，而模型 同构变换又是以若干划分操作为基础进行的，这些划分主要包括级别划分、区域 划分和强连接子集划分，其中级别划分从纵的方向排出层次，区域划分从横的方 向区分部组，而强连接子集划分旨在找出回路，消除冗余元素1 2 , 3 】。 ( 2 ) s a g e 将解释结构建模( i s m ) 归纳为图1 - 3 的五个模型同构变换( m o d e l e x c h a n g ei s o m o r p h i s m ，m e i ) 所组成的序列【4 ，”。当解释结构模型建立起来以后， 还要对原先形成的概念模型产生反馈，若不一致，就要修正概念模型。一般可将 修正分为两种情况：一种是重新确定系统边界，即问题论域发生变化；另种是 重新确定元素关系，即系统结构发生变化，我们讨论的问题属于前一种情况。 m e l 2 圈m e l 3 吒二图三圈 图1 3 模型同构变换在i s m 中的作用 f i g1 3t h eu s eo f m e ii ni s m ( 3 ) 综观结构建模领域国外发展情况，发现理论探讨的深度没有实际应用 方面发展得快。目前有公司开发出基于解释结构建模的系统分析工具 c o n c e p ts t a r ，该系统通用性较强，适用于解决要素数量较大的复杂问题，因为其 拥有很宽领域的知识背景，可以把一个复杂问题用结构关系模型抽象出来，形象 直观。它是目前为止解释结构建模应用比较成功的系统之一。结构建模方法的研 究，大多集中在建立可达矩阵的阶段，而且不论定性的还是定量的研究，基本都 没有给出有效的人机交互过程。结构建模的目的不仅仅为了得到模型，更重要的 是建模过程中获得的信息和知识，所以需要对这些知识和信息的记录和利用采取 更加有效的方法哪，8 ，9 ，l0 1 。 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 1 2 2 国内相关理论 通过级别划分、分部划分和强连通子集划分进行结构建模大多是拓扑的方 法，这种方法虽然形象直观，但是不容易借助于计算机手段编程序实现。某些领 域已经出现了代数解法，代数方法包括求可达矩阵、强连通子集划分、区域划分、 级别划分和求骨架矩阵等环节，但是这些代数解法也只是局部的解决问题，而 且是本领域的专家学者们在不断探索更加实用有效的结构建模方法。在众多系统 结构建模方法中，比较成熟的有： ( 1 ) 传递扩大法( t h et r a n s f e re x p a n s i o nm e t h o d t e m ) ：从新的角度描 述了系统结构建模中的“扩大问题”，并针对这个问题的解决提出并证明了“扩 大求解定理”、“扩大修正定理”和“传递扩大定理”，进一步根据这三个定理提 出了解决扩大问题的简捷而有效的方法“传递扩大法”。这种方法是一种符 合人的认知规律的十分有效的结构建模方法，是“核心要素法”体系中的基本方 法之一。结构模型在系统分析中的作用。特别是对于社会经济这类“软系统”进 行分析时的重要作用，对于系统工程工作者来说是不言自明的。系统分析中的结 构建模可以用两种基本方式进行：一种是先列举系统的所有要素，然后再建立要 素之间的关系，目前所有围绕结构建模所讨论的方法都属于这一种；另一种是一 边给出系统要素，边建立要素之间的关系，这种方式是一种具有启发性的逐步 扩大模型的渐进分析过程，它更符合于人的认知规律，可以使人机交互的建模过 程更自然、更有效，是一种更具实际意义的建模过程。 一般来讲，对一个已知结构模型的系统进行扩大，即增加一个新要素之后， 就需要确定新要素与其它所有要素之间的关系。当然，可以把新要素与其它所有 要素一个一个地成对进行考察。若系统有r 1 个要素，那么需要给出( 2 xn ) 个关系值。当n 很大时，这种成对的考察是不胜其烦的。况且，更重要的事实 是：人不一定能够给出或者一下子给出全部的( 2 n ) 个关系值，这样就有可能 致使结构建模过程不能进行下去。那么，如何根据少量的输入关系值，通过逻辑 推理求出新要素与其它所有要素的关系值，从而得到新系统的结构模型呢? 这就 是所谓的“扩大问题”。如果原系统的结构模型和新系统的结构模型都用可达矩 阵表示，这个问题就是“传递扩大问题”。“传递扩大法”就是通过解决“传 递扩大问题”而解决“扩大问题”的一种行之有效的新的结构建模方法 i “。算 法中包括人机对话部分，从决策者的主观世界中获取信息，根据这些信息用辗转 相乘法来求解自蕴涵方程，求得增加新要素之后新系统要素间的可达关系，构成 新系统的可达矩阵。传递扩大法的步骤如图1 4 。 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 图1 4 传递扩大法流程图 f i g1 4t h ef l o wd i a g r a mo f t e m ( 2 ) 结构建模中自蕴涵方程求解的新方法辗转相乘法：由于自蕴涵方程本 身的特性所至，以往对其求解基本上是试探与逻辑推理相结合，一直没有十分有 效的求解方法。辗转相乘法从新的角度考察了自蕴涵方程的特点，认为自蕴涵方 程是一种具有“主观”和“客观”两方面特性的特殊逻辑方程。从这一观点出发 提出并证明了求解自蕴涵方程的变形定理、求解定理和推理定理，进一步给出了 求解自蕴涵方程的一种十分有效的新方法一辗转相乘法。这种方法把逻辑推理 变成了逻辑运算，使得方程中只要有一个变量是己知的，就可以求出所有其它的 未知变量；结构模型是系统工程实践中定性分析的一种十分有效 的模型，而自蕴涵方程又是结构建模中非常重要的逻辑方程。辗转相乘法是把盲 目的试探与逻辑推理结合的求解过程变成了有效的有目的的人机交互与逻辑计 算相结合的求解过程。 ( 3 ) 系统分析中结构建模的核心变换法，核心变换法是“核心要素法”体 系中的基本方法之一，是结构建模中消除未知元素的一种非常有效的新方法。这 种方法从初始矩阵开始，利用传递性经过一系列的“核心变换”，消除未知关系 从而得到可达矩阵表示的结构模型【l 。 ( 4 ) 基于系统结构建模分析的骨架矩阵代数求法：基于从拓扑分析到代数 分析的思路，通过对系统结构建模过程的分析，讨论了解释结构建模中的几种矩 阵，阐述了它们的内涵及其之间的相互关系。利用系统结构建模分析的结果，给 出了骨架矩阵的一个代数表达式，论证了该表达式的正确性，从而提出了一种求 系统骨架矩阵的代数方法 1 4 】。 ( 5 ) 结构建模中区域划分的代数方法：针对现有结构建模区域划分方法的 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 不足，基于将拓扑分析转化为代数分析的原理，指出区域划分的实质是要构造某 种等价关系，该等价关系是元素不可分的充要条件。进而给出了充要条件定理。 在此基础上提出了结构建模区域划分的代数方法，列出了代数方法的实施步骤 3 1 。 ( 6 ) 基于p e t r i 网的智能控制结构建模：智能控制具有递阶结构，按照精度 提高智能降低的原理依次为组织级、协调级和执行级。用p e t r i 网对智能控制递 阶结构中组织级的任务规划和协调级进行建模，是一种用p e t r i 网进行任务分解 的方法。本研究对于智能控制的知识表示方法研究有一定的参考意义，并对于机 器人系统设计与分析具有重要的理论与应用价值。应用p e t r i 网对智能控制结构 进行建模，利用p e t r i 网的性质来研究实际系统的有关性质，有利于对实际系统 进行深入分析和设计l l5 1 。 ( 7 ) 模糊解释结构建模研究：考虑到元素间关系的强弱，对解释结构建模 进行了模糊化推广，提出了模糊解释结构建模并进行了较为全面的讨论【l “。 ( 8 ) 人工神经网络在结构建模上的应用：对于结构控制，首先必须建立系 统模型，而系统结构是非线性的、时变的，很难用常规方法来建模。运用学习速 率自调整b p 误差逆传播网络对两种结构进行了建模【l ”。 ( 9 ) 可视形式代数法：一种实用的空间结构建模方法，采用形式代数法来 描述空间结构，详细分析了a l g o r f e a s 软件的前、后处理功能及其数据结构， 编写了形式代数法模型库软件包以及与a l g o r f e a s 软件之间的接口程序，真 正实现了结构计算可视化 1 8 。 目前已有的各种结构建模方法，往往局限于由可达矩阵建立结构模型的过 程，而且基于拓扑分析的比较多，代数方法只是在某些局部实现。当系统元素较 多时，拓扑方法的过程相当繁琐，其局限性会充分显露出来。因此应将拓扑分析 进一步转化为代数算法，但是应给克服封闭的代数运算可能带来的弊端，适当使 用开放的建模方法，将人机交互信息引入到结构建模的过程中。结构模型可以用 结构矩阵表示，为了形象地说明问题，也可以用结构图来表示。结构矩阵的种类 很多，比较常用的有可达矩阵和邻接矩阵。解释结构建( i s m ) 是一种基于有向 图分析复杂系统的结构建摸方法。同构性是建模的基础，系统的结构与其等价表 示的有向图的拓扑结构相同，因此在结构建模过程中，可将对系统的结构分析转 化为其同构有向图的拓扑分析，并且还可将有向图用其同构矩阵表示，进一步将 拓扑分析演化为代数分析，从而借助计算机进行运算处理。 1 3 本文的研究思路以及将要解决的问题 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 1 3 1 本文研究思路 对社会经济这类软系统进行结构建模的过程就是把一个非结构化或者半结 构化的问题结构化的过程。面对一个复杂的软系统问题，开始连问题是什么都不 清楚，问题的边界也不清楚，要素之间的关系比较模糊。对这类问题的建模一般 从一个要素开始，建立系统的可达矩阵，这个过程利用现有的成型算法传递 扩大法。随着系统的论域扩大，不断有新的要素补充进来，用传递扩大法可以求 解出新要素与原系统要素之间的的可达关系，并且修正原系统从而构成新系统的 可达矩阵。接下来由可达矩阵建立邻接矩阵的过程中，部分利用已有的代数方法 求解，针对可达矩阵中经常出现的回路矩阵问题，采用信息保留法求出其对应的 邻接关系，从而建立整个系统的邻接关系模型。 本文先对信息保留法进行了论述，对于在整个建模过程非常重要的人机交互 信息，采取加权平均方法综合多位专家的意见求解，可以保证建模结果比较符合 实际情况。然后部分地利用已有的其它结构建模方法，和信息保留法一起构成了 一个完整的建模过程，用来对软系统从一个要素开始建立结构模型。最后以吉林 彩晶公司总经理办公室工作模型的设计来说明本建模方法的有效性。 1 3 2 本文要解决的问题 本文提出了信息保留法，用于对系统进行结构建模。主要解决从可达矩阵建 立邻接矩阵的过程中，求取回路矩阵对应的邻接矩阵的问题。 在社会经济这类软系统中，可达关系比较容易找到，但是在解决系统问题的 时候，更有用的是要素间的邻接关系。由可达矩阵求邻接矩阵没有现成的公式， 只有一些探索性的方法，这些方法还没有解决可达矩阵中的回路子阵对应的邻接 矩阵问题。事实上，对一般的社会经济软系统建立的可达矩阵，其中包含的回路 子矩阵是经常存在的。因为两个系统要素间只要具有相互可达的关系，即强连通 关系，就构成的回路。而可达关系是传递的，所以可以造成要素之间可达关系大 量存在，如果几个要素之间互相都可达，这几个要素就构成回路。因此研究解决 回路问题的建模方法很有必要。 信息保留法解决的就是回路问题。它采用开放的建模方法来对社会经济这类 软系统进行结构建模，将数学计算和人机交互信息结合起来。当我们已经在可达 矩阵中找出回路矩阵以后，就能知道回路涉及的要素有哪些，进一步利用保留信 息通过一定的计算来求取这些要素构成的邻接矩阵，这样求得的邻接矩阵有多 个。因为根据矩阵运算相关理论 2 7 1 可以知道，从可达矩阵求邻接矩阵，是多解 的，不可能通过简单的封闭式运算得到唯一解。所以，在求得了可达矩阵对应的 多个邻接矩阵以后，进一步采用人机对话方式，对所求得的结果进行筛选，判断 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 到底哪个邻接关系符合实际情况，经过专家最终确认的邻接矩阵即为所求。再利 用已有的一些建模方法将整个可达矩阵对应的邻接矩阵求出来，这样我们才能比 较有效地通过控制过程的某个因素来控制某一件事情的进展，或者通过调整系统 的邻接关系来解决系统问题。 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 2 信息保留法研究 2 1 立题依据 2 1 1 理论需要 综观现有的结构建模方法 2 8 , 2 9 , 3 叩”，对于怎样从可达矩阵建立邻接矩阵的问题 几乎未作过完整的探讨。即使有过一些讨论的，例如，级别划分方法l l ”，基于回 路定理的建模方法【2 0 j ，也不同程度的存在一些问题。前者仍然是拓扑的方法，而 且解决问题也不彻底( 如回路问题不能解决，而且没有继续处理相邻两级和跨级 别之间邻接关系重复的问题) ；后者已经使用了封闭的代数解法，相对于前者是个 进步，但是也没有解决回路问题。这里所谓回路问题是指确定回路矩阵对应的邻 接矩阵。因为回路矩阵是矩阵元素全为1 的可达矩阵，一个可达矩阵对应着多个 邻接矩阵，那么怎样才能从一个可达矩阵所对应的多个邻接矩阵中确定实际的那 个邻接矩阵呢? 本文采用一种开放的代数方法来解决这个问题，即在求解过程中 加入人的主观信息，来寻找所需要的解。信息保留法就是基于这样的思路提出来 的一种建模方法。该方法的建模过程把人的认知过程与计算机的处理过程结合起 来，使二者互相促进互相“启发”，使得建模结果一步步地逼近客观实际情况。 2 1 2 现实意义 无论在社会生活中还是在经济活动中，总存在这样一些现象：我们常常看到 一件事情解决了，也知道和解决这件事有关的因素有哪些，但是就是不知道是怎 么解决的，不知道相关因素之间存在着怎样的联系。如果我们能够找出哪些因素 可以直接影响另外一些因素，就可以找出各个因素之间环环相扣的因果关系链， 也就为这一类相关问题的解决“趟出了一条路”。例如，在现实生活中，我们往 往知道一个人( 甲) 可以找到另一个人( 乙) 办成一件事，但是事实上甲和乙可 能根本不认识。我们只知道这件事是甲通过定的途径找到了乙才办成的，但是， 究竟是怎样的途径我们并不清楚。如果能找到这条途径，就可以通过控制过程的 某个因素或者环节来控制整个事态的进展，甚至可以决定事情的成败。若想找出 这条途径，就需要建立起系统中所有要素之间的直接关系。然而在社会经济这类 软系统中，系统的要素及其之间的关系既抽象又复杂，特别是各要素之间的关系 并不明确，很难分辨出它们之间的关系究竟是直接的还是间接的。另一方面，解 决系统问题的基本手段是对关系的调整，特别是对直接关系的调整将起到事半功 倍的作用。但是，在系统结构分析中更容易获得间接关系，那么怎样再从间接关 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 系获得直接关系呢? 这就需要寻找一种方法，用以在社会经济这类软系统中寻找 邻接关系，建立结构模型。找出问题的主要矛盾，以便在解决问题时对症下药 2 ”。 2 2 信息保留法的定义和其解决问题的前提 所谓信息保留法，是指在建立结构模型时，利用求取可达矩阵过程中保留的 人机交互信息，通过一定的代数运算和人机对话，求取回路矩阵对应的邻接矩阵 的一种方法。 这种方法用更加开阔的思路来考虑系统结构建模的问题，把建立可达矩阵的 过程和求邻接矩阵的过程结合起来考虑，利用前面建模过程中得到的人机交互信 息来为后面建模过程服务。对于社会经济这类软系统，因为可达关系本身具有传 递性，系统要素之间的可达关系较多地存在。如果几个要素之间相互都对对方有 影响，互相可达，这些要素就构成了系统的一个强连通子集，强连通集合对应的 可达矩阵就是回路矩阵。回路矩阵是满阵，即其中的元素都为1 ，构成回路的要 素互相可达而且互为前因。构成一个回路至少要有两要素，当构成回路的要素数 目为2 时，邻接关系可以唯一确定；当构成回路的要素数目大于2 时，需要一定 的方法才能求出回路中要素之间的邻接关系。信息保留法解决的就是这个问题。 信息保留法适用于社会经济这类软系统，用这种方法进行结构建模的过程也 是将非结构化的问题结构化的过程。使用信息保留法需要具备两个前提：一是已 经建立了系统的可达矩阵，这个过程通过传递扩大法实现；二是已经确定了哪些 要素可以构成回路，这一结果是通过对可达矩阵进行一定计算，根据计算结果判 断出来的。 采用传递扩大法建立可达矩阵的过程中，系统的边界可以扩大，系统随时都 可以增加新的要素，要素之间的关系还不明确，所以是非结构化的；可达矩阵一 旦确定，系统的边界就确定了，系统的要素也不再改变，要素之间的可达关系可 以确定，但是邻接关系不能确定，所以此时对系统进行结构建模已经是一个半结 构化的问题了；当利用信息保留法，求出系统的邻接矩阵，系统要素之间的关系 就变得明确稳定了，此时，系统的结构建模问题已经是结构化问题。 2 3 信息保留法的原理 2 3 1 几个基本定义和定理 为了说明问题方便，首先对要用到的几个主要概念进行说明。其次对于在利 用信息保留法进行结构建模的过程中用到的几个定理进行说明。这些概念和定理 在本文后续几章中多次被引用。 定义1 保留信息： 结构建模中末取邻接矩阵的信息保留法 在用传递扩大法求可达矩阵的时候，每增加一个新要素，都要通过人机对话 确定新要素与原系统要素之间的部分关系。这部分人机交互信息在从可达矩阵求 取邻接矩阵时作为己知信息被引用，成为保留信息，用字母表示为x j i ， ( i j 2 l ，2 ，n ) 。 定义2 邻接矩阵： 如果节点s i 可以通过一条有向边到达节点s i ，就称s i 到s j 是邻接的，它们 之间的关系就是邻接关系，表示邻接关系的矩阵称为邻接矩阵，本文系统的邻接 矩阵用a 表示，回路对应的邻接矩阵用字母b 表示。 定义3 可达矩阵： 如果节点s i 可以通过一条或者多条路径到达节点s j ，就称s i 到s i 是可达的， 它们之间的关系就是可达关系，表示可达关系的矩阵称为可达矩阵，一般用r 表示。 定义4 回路矩阵： 如果r 为可达矩阵，设刚 r 7 = 吼。，由布尔矩阵运算规则i = m i n r 口，o ， 显然有i ：1 ，且r n r 7 是对称矩阵，若r i r 7 = i ，则系统无回路：否则存在 回路，这时如果r n r 的第i 行除了屹= l 以外皆为0 ，即矗= 0 ( j = 1 2 ，n j i ) ，就在刚1 胄7 中划掉第i 行、第i 列，对所有的i ( i i n ) 如此处理后得 到的矩阵c = k ) ，2 m n ，称为回路矩阵，显然该矩阵元素对应的系统元 素都是回路元素，本文用字母c 表示回路矩阵。 定义5 缩减系统： 就可达关系而言，回路矩阵的“行为”等价于构成该矩阵的任一要素的“行 为”，换言之，回路矩阵提供的结构信息与其任一构成要素的一样多。因此对回 路矩阵，可在其构成要素中任选一个作为代表元素，这种代换称为缩减变换。对 系统r 中所有的回路矩阵进行缩减变换后得到的子系统r ，称为r 的缩减系统。 若r 中无回路矩阵，则r = r ，这时的缩减变换实际上是恒等变换1 4 。 定义6 骨干矩阵： 设( s ，r ) 为一系统，r 是可达矩阵，r 为其缩减矩阵。- ：! i 巨阵m 称为是系 统的骨干矩阵，当且仅当 1 。存在正整数，使m 。2 m 。1 = m7 = r 且 2 。任意0 1 矩阵n 满足1 。，则n m 【2 2 1 。 定理1 ： 若干元素构成同一回路的充要条件是他们的可达集相同【2 0 。这个定理被称为 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 回路定理。证明过程见 2 0 。 定理2 ： 设系统( s ，r ) 的缩减矩阵为r ，则该系统的骨干矩阵m 存在且唯一，有 表达式： m = r l f r ，一，1 2( 2 1 ) 该系统的邻接爿矩阵可以通过下式计算： 4 = m i( 2 - 2 ) 且一，含有最少的i 。定理及其证明过程见 2 2 1 。 根据定理二不难确定，缩减系统对应的邻接矩阵可以用公式表示为： 4 = r - i r r f - n 2( 2 3 ) 2 3 2 信息保留法算法原理 回路矩阵是一种可达矩阵。可达矩阵r 全面反映了原系统s 中要素之间的所 有t 步可达关系( t _ _ o ，1 ，2 ，) 。首先，r 是自反的，自反性反映的是元素对 自身的可达性，可看成是零步可达关系；其次，它包含了元素之间的直接可达关 系邻接关系，可以看成是一步可达关系；又因为r 有传递性，因此它也包 含了元素之间的间接关系( 从可达性讲，是多步可达关系) 。而邻接矩阵b 表示 的是系统要素间的一步可达关系，所以通常b r 。 我们知道，组成一个回路的要素至少有两个。因为可达关系是有方向的，所 以由可达关系构成的回路也是有方向的。由两个要素构成的回路只有一条，见图 2 1 。三个要素构成的回路有两条，见图2 2 所示。 、 o o k一 图2 1 回路a 一 b 一 a f i g2 1t h er e t u r nc i r c u i to f 廿一 b _ 一 a 图2 2 回路a 一 b 一 c 一 a 和a 一 c 一 b 一 a f i g2 2t h er e t u r nc i r c u i to f a 一 b 一 c 一 am a d a 一 c 一 b 一 a 1 2 一 裔 一 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 因为从邻接矩阵b 到可达矩阵r 可以通过代数( b u ，) ”= r 运算得到唯一 解，而反过来一个可达矩阵可以对应多个邻接矩阵。当构成回路的要素为三个以 上或者更多时，就可以因为要素之间邻接关系不同，出现很多种回路的构成方式。 定量地分析可以知道，如果由n 个要素构成回路，回路的条数有路1 。 信息保留法的关键，是如何利用保留下来的已知信息，辅之以人机交互的新 信息，配合相应的代数求解方法，来求回路矩阵对应的邻接矩阵。事实上，保留 信息不足以求出邻接矩阵，所以需要补充新信息( 包括已知对角线元素为o ) ， 见图2 3 。 芦 磊茎 f 补充信息 _ j 图2 3 求取邻接矩阵需要的信息 f i 醇3i n f o r m a t i o nn e e d e df o r t h ea d i a c e n t 这些补充信息怎样得到呢? 首先己知邻接矩阵主对角线元素为o 。其次，因为保 留信息是有限的，往往在利用了保留信息以后，邻接矩阵b 中只有个别要素为l ， 还存在全为0 的行或全为0 的列。这时需要补充信息：随机地令b 中某些要素 为l ，用来消除全为0 的行或全为0 的列，使得b 中每一行有且仅有一个1 ，每 一列有且仅有一个1 。如果出现某一行或列中1 的个数大于一个，则必须保证这 个多余的l 与b 中的另外一个l 关于主对角线对称。这样构造邻接矩阵对应一 个强连通的有向图，是回路对应的邻接矩阵之一。为什么要这样限制呢? 下面以 用与矩阵同构的有向图的构成方式来解释这个问题。 一个n 阶邻接矩阵b ，如果每一行( 或列) 中有且仅有一个1 ，就能保证 旧u ，) ”是满阵，即回路对应的矩阵。因为如果邻接矩阵b 中每一行有且只有 一个1 ，每一列只有一个l ，则该矩阵表示的有向图每个顶点出次为1 ，进次为1 ， 即每个顶点前后都分别有且仅有一个其它顶点与之相连，所以该有向图是连通 的，不存在有哪个点被排除在回路之外的可能。如果某一行( 或列) 中不仅仅只 有一个1 ( 一个以外的1 称为多余元素) ，则会出现某个要素不在回路中的情况， 这个邻接矩阵也就不是回路对应的邻接矩阵了。但是如果这种多余元素与其它非 多余元素关于主对角线对称，则这两个元素的行和列对应的两个要素可以构成回 路，所有非多余元素之间也构成一条回路，这种情况下，邻接矩阵对应的可达矩 阵仍然是回路矩阵，这种邻接矩阵仍然满足要求，可以成为我们所求的邻接矩阵 的一个备选的解。 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 例如在下面的邻接矩阵中，每行只有一个1 ，每列只有一个1 s i s 2 曷 s 4 s 5 ss ： o1 0 0 10 0 0 o 0 根据i 对应的元素下标，可以确定一条回路：元素1 对应的下标：2 5 一 5 4 一 4 3 一 3 1 一 1 2 ，由此确定的回路为：s l 一 s 2 一 s 5 一 s 4 一 s 3 。 假设由n 个顶点组成的有向图中， 其中i 一 i 、k 一 l 两条边已知，其余可 能存在的邻接关系通过假设来指定；因为每个顶点都充当初始顶点一次、终止 顶点一次，所以未知的邻接关系由剩余的n 一2 个初始顶点 ( 1 , 2 。，i - 1 ，i + l ，k 一1 ，k + 1 ，n ) 和n - 2 个终止顶点( 1 ，2 ，j i j + l ，i - 1 ，1 + 1 ，_ n ) 排列组合而成。从初始顶点和终止顶点中分别任取一个构成一个邻接关系，不 允许重复，最多有垦二掣种取法。往往不用穷举所有取值方法就可以得到 合适的解，而且此项工作由计算机完成，决策人没有计算的负担。 2 3 3 人机交互信息的利用 信息保留法中一个非常重要的因素就是人机交互信息。不难看出，在求取回 路矩阵的邻接关系的时候，保留信息作为已知的邻接关系，在确定待求矩阵b 时，起到至关重要的作用。不仅仅保留信息是人机交互信息，而且利用保留信息 求得回路矩阵对应的邻接矩阵以后，需要进一步利用人机交互信息来判断该结果 是否符合实际情况。因为每一个回路矩阵都对应着多个邻接矩阵，所以每次求出 一个回路矩阵对应的邻接矩阵以后，都需要再判断一下该矩阵是否符合实际情 况，符合实际情况的邻接矩阵才是我们所求。这个判断的过程，就是人机交互的 过程。人机结合的方式能够不断地向系统补充新的有效信息，及时地校正计算机 所计算的结果中不符合实际情况的部分，充分利用了人和计算机各自的优势。更 值得重视的是，人机交互信息不是单个人的简单判断“有”或“无”，而是采用 加权多位专家的意见得到的结果。 2 4 信息保留法的方法步骤 前面已经提到，信息保留法的前提是已经找出系统可达矩阵中的回路矩阵， 这里用矩阵c 表示。下面的步骤就是要求回路矩阵c 对应的邻接矩阵，这里用矩 s叭“叫引叫叫 s o o o o ， 邑o 0 o ，o 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 阵b 表示。由于每一次求得的邻接矩阵未必是最终结果，所以步骤中将未被确认 的邻接矩阵暂时用曩表示步骤中提到的保留信息x j i ，是用传递扩大法求系统的 可达矩阵过程中保留下来的人机交互信息。具体步骤如下： s t e p l ：将保留信息x j i 作为己知条件，如果x i 产1 ，则对应的关系为己知的 可达关系，再通过人机交互，看这些可达关系里哪些关系是邻接的，确认为邻接 关系的已知信息，在邻接矩阵b 中相应位置的元素为1 ： s t e p 2 ：b 的对角线元素为0 ： s t e p 3 ：b 中其它位置为未知关系，暂令为0 ，需要进一步确定其中哪些要素 是l ：首先，经过s t e p l 、s t e p 2 两步处理得到的b 中，可以直观地看到可能存在 有的行( 或列) 全为0 ，为了消除这些全为0 的行( 或列) ，令相应的0 元素为1 ， 确保每一行中至少有且只有一个1 ，每一列中也是至少有且只有一个l 。但是， 如果这些假设为l 的关系中有与s t e p l 中己知的保留信息关于主对角线对称，则 这个假设的关系i 不受“唯一”约束； s t e p 4 ：通过上述三步构成邻接矩阵e ( i = 1 2 。m ) ，计算( ，u e ) ”，如果 得到的c = ( 1 u b ，) ”( 见文献 2 7 的证明) ，则且= b ，否则转s t e p 3 ； s t e p 5 ：通过人机交互输入专家意见判断回路对应的邻接矩阵是否符合实际 情况，如果符合实际，则邻接矩阵b 为所求；否则，转s t e p 3 ，重新求邻接矩阵 b 。 图2 3 详细图解“求出”回路矩阵c 对应的邻接矩阵b 的方法步骤，假设c 和b 都是m m 方阵。 回路矩阵c 对应的邻接矩阵8 由两部分已 知信息构成：保留信息、补充信息 上 计算u u b p o 5 f = 】 所以此次专家评价的结果是1 。 专家评价是一种群决策的形式，这种形式中，群体只有共同的利益和目标， 个体间除了认识上的差别之外没有明显的利益冲突，只是不同评价主体对评价客 体可能产生的异常影响。如果不顾个体认识水平上的差异，不考察个体方案选择 的正误，只是简单地集合个体的意见，就不能保证选出的方案是最优的或正确的。 我们采用专家评价方法，且的就是尽最大可能地寻找符合客观实际的的方案。在 专家的选择上已注意到个体认识水平的差异，从而保证一定的可信度。 结构建模中求取邻接矩阵的信息保留法 4 信息保留法在系统结构建模中的应用 4 1 应用信息保留法进行结构建模思路 在系统分析之前，人们掌握的关于系统结构的信息是零散的、不完全的和浮 浅的。研究人类的认知心理特点，可以发现这样一个事实：让人一次全部说清一 个要素与其它所有要素的关系