（凝聚态物理专业论文）低维囚禁与反囚禁电子相干态的绝热演化.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 摘要 超晶格、量子阱、量子线和量子点等低维纳米结构和材料具有 新颖的物理性质和广泛的应用前景，已成为凝聚态物理学中的研究 热点，受到越来越多的关注与此同时，纳米制备和加工技术的迅 速发展，使得各种纳米器件不断涌现，特别是单电子器件的成功制 备，要求更加深入地了解低维结构中的电子态及其在外场下的物理 特性本文中我们对处低维量子线中囚禁于由磁场所产生的谐振子 与反谐振子势阱中的单电子与磁场绝热相互作用的系统作了有益的 探索，并得到了相应的精确电子态利用所得电子态，我们讨论了该 量子系统的一些有趣的物理特性，如相干特性与波包链的控制等 全文共分四章： 第一章我们介绍了有关低维绝热系统和广义相干态，以及本小 组近些年的一些相关研究情况 第二章我们研究了一维量子线中囚禁于由磁场所产生的谐振子 势阱中的单电子与磁场绝热相互作用的系统通过采用试探波函数 方法及选取合适的时空变量，我们得到了该量子系统相应的精确量 子态由所得到的精确的量子态，我们研究了量子线中被囚禁电子 的压缩相干态特性，发现压缩因子在短时间内随时间进行变化，而 长时间后将进行周期性变化由所求得的量子态，我们求出了系统的 坐标与动量的期待值，发现坐标与动量的期待值与由经典哈密顿方 程得到的结果完全一致，从而在该系统中找到了经典一量子对应 我们也计算了系统的能量期待值，有趣的是我们发现平均能量由经 典能量与量子能量两部分所组成，这完全不同于有关通常相干态的 能量的结论 最后我们通过调整一系列有关参数，展示了在调节外部参数的 情况下，能很好地实现电子波包链的控制，包括波包链中心振动的 幅度、周期及波包链的平衡位置 第三章我们研究了绝热因子作用下对磁场所参生的反谐振子势 阱中的单电子的相干态由试探波函数方法我们得到了该量子系统 i i 湖南师范大学硕士学位论文 精确的解析解及其描述的随绝热因子的演化性质，利用这些精确的 解析解，我们通过理论分析和数值计算相结合的方法，研究了系统 的波包链的高度和宽度，高斯波包型概率密度的时空演化，同时我 们得到了能量期待值，它由经典能量与量子能量两部分所组成最 后我们提出了通过控制绝热参数来控制波包中心的运动 本章研究的重点，是将处于绝热因子干扰下囚禁的电子和反囚 禁的电子，两者之间的一系列性质进行对比，例如：轨道中心坐标 函数、波包链的高度和宽度函数，以及高斯波包型概率密度三者分 别随时间的演化等性质逐一进行了对比，发现了一些两者之间令人 感兴趣的区别和联系 第四章我们对本文工作进行了简要的总结，并对这一研究领域 的发展作了简要的展望 第二章与第三章为本工作的主要创新之处 关键词：精确解；绝热因子；波包链；概率密度 a bs t r a c t d u et ot h e i rn o v e lp h y s i c a lp r o p e r t i e s 船w e u 嬲p r o s p e c t i 、陀a n dp o t e n 。 t i a la p p l i c a t i o n s ，l o w - d i m e n 8 i o n a ln a n o s t r u c t u r e sa n dn a n o s t r u c t u r e dm a t e r i a 1 8 ，8 u s h 鹪8 u p e r l a t t i c 髑( s l s ) ，q u a n t u m 、聘1 1 8 ，、析r e 8a n dd o t s ，h a v er e c e i v e d i n c r e a u s i n gi n t e r e s t 8a n db e c o m eo n eo f 行o n t i e rr e s e a r c ht o p i c si nc o n d e i l 8 e d m a t t e rp h y s i c si nr e c e n ty e a r s s i i n u l t a i l e o u s l y r a p i dp r o g r e 鹤i nt h es y n t h e s i s a n dp r o c e 鼹i n go fm a t e r i a l 8w i t h8 t r u c t u r 船o nn a n o m e t e rl e n 酵hs c a l e sh a s c a u s e dt h a tl 【i n d so fn a n o s c a l ed e v i c e 8 ，s p e c i a u ya b o u t8 i n g l 争e l e c t r o ld e v i c e s ， h a db e e nm a d e ，w h i c hh a 8c r e a t e dad e m a n df o rg r e a t e rs c i e n t i f i cu n d e r s t a n d - i n go ft h ee l e c t r i cs t a t e so fn a n o s c a ld e v i c e sa n dt h ep h y 8 i c a lp r o p e r t i e su n d e r e ) 【乞e r a lf i e l d i nt h i st h e 8 i 8 ，t h eq u a n t u ms y s t e mo fs i i l 9 1 ee l e c t r o nt h a tt r a pi n h a r i n o n i c o s c i l l a t o ra n da n t i h 舭m o n i c - o s c i l l a t o rp o t e n t i a lw e uc o 璐t r u c t e db y m a g n e t i cf i e l di n t e r a u c t e dw i t ha d i a b a t i cp h a s ei nt h e1 a w - d i m e n s i o n a lq u a n t u m w i r ei si n v e s t i g a t e d a n dw eo b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n ge x a c tq u a n t u ms t a t e ，b y w h i c h ，w ed i s c u s ss o m ei n t e r e s t i n gp h y s i c a lp r o p e r t i 髑o ft h eq u a n t u ms y s t e m ， 8 u c h 嬲t h ec o h e r e n tp r o p e r t i e 8a n dc o n t r o lo fw 册p a e k e t - t r a i n t h et h e s i 8c o 璐i s t so ff o u rc h 印t e r s i nc h 印t e ro n e ，、盹i n t r o d u c et h er e s e a r c hs i t u a t i o na b o u tl 卜d i m e n s i o n a l a d i a b a t i cs y s t e m ，g e n e r a lc o h e r e n t8 t a t ea i l ds o m ei n t e r r e l a t e dr e s e 盯c h f u lc a s e o fo u ri n v e s t i g a t i v eg r o u p a n dw eb r i e 封i n t r o d u c et h ea i ma n d8 i g n i f i c a n t a b o u to u rt h et h e 8 i s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h eq u a n t u ms y s t e mo fs i n g l ee l e c t r o nt h a t t r a pi nh a r m o n i c o s c i l l a t o rp o t e n t i a l 、7 l ，e uc o i l s t r u c t e db ym a g n e t i cf i e l di n t e r a c t e dw i t ha d i a b a t i cp h a s ei nt h eo n e - d i m e n s i o n a lq u a n t u mw i r e b yt h e t e s t f u n c t i o nm e t h o da n dc h o o s et h es u i t a b l et i n l e s p a c ev a r i a b l e ，w eo b t a i n t h ee x a c tq u a n t u ms t a t eo ft h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u m8 y s t e m w bs t u d yt h e s q u e e z e dc o h e r e i l tp r o p e r t i e so ft h ee l e c t r o nt r p p e d w ef i n dt h a t 乞h es q u e e z e d t o rd a m p l yc h a n g ei ns h o r tt i m er a n g ea n dp e r i o d i c a u yv a r yw i t ht i m ea f - t e r 、v a r d w ba l s oo b t a i nt h ee x p e c t a t i o no ft h ep o s i t i o na n dm o m e n t u m ，a n d w ef i n dt h e8 i m i l a rc o h e r e n tp r o p e r t i e 8 ，n 锄e l yt h ee x p e c t a t i o no ft h ep o s i t i o n a n dm o m e n t u ma g r e ew i t ht h e c o r r e 8 p o n d i n gc l a s s i c a lr e s u l t s ，w h i c he m b o d y t h ec i a s s l c a l - q u a n t u mc o r r e 8 p o n d e n e e w bc a l c u l a t et h ee x p e c t a t i o no fs y s _ 乞e me n e r g y ；a n dw e n dt h a tt h e a v e r a g ee n e r g yi sc o m p o s e do fc l 鹪s i c a la n d q u a n t u mp a r t s ，w h i c hi sd i 能r e n t 丘o mt h ee n e r g yo fa n yk n o w nc o h e r e n ts t a t e a tl a s t ，w ee ) 【h i b i tt h ec o t r o l l i n gt ot h ew a v e p a c k e t t r a i no fe l e c t r o n u n d e rt h ee x t e r n a lf i e l d b ya d j u s t i n gt h ee x t e r n a lf i e l dp a r a m e t e r s ，、ec a n ，e 1 1r e a l i z et h ec o n t r o l l i n go f0 8 c i l l a t i n ga m p l i t u d e 8 ，p e r i o da n dt h ec e n t r e p o s i t i o no ft h eo s c i u a t i o n i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yc o h e r e n ts t a t eo fs i n g l ee l e c t r o ni na n t i - h a r m o n i c - o s c i l l a t o rp o t e n t i a lw e l lc o n 8 t r u c t e db ym a g i l e t i cf i e l du n d e ra d i a b a t i cc o n 以 t i o n b yt h et e 8 t f u n c t i o nm e t h o d ，、) l r eg e te x a c ta n “y t i c 出8 0 i u t i o no fs y 8 - t e m a n ds o l u t i o n se v d u t i o n 谢t ha d i a b a t i c c o n d i t j o n ，w ei n v 鹤t j g a t eh j g h 锄d w i d t ho fw a v 争p a c l 【e t t r a i n ，a n dt i m ee v o l u t i o no fg a u s s i a n t y p ew a 鹏p a c l 【e t s p r o b a b i l i t yd e n 8 i t yb ym e t h o dc o m b i n e dt h e o r e t i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a l lc 小 c u i a t i o n ，a tt h es 锄et i m e ，w 色c a l c u l a t et h ee x p e c t a t i o no f8 y s t e me n e r g y a n d w ee n dt h a tt h ea v e r a g ee n e r g ) ri sc o m p o s e do fc l a 8 s i c a la n dq u a n t u mp a r t s f i n 猷l y 、ec a nw e ur e a l i z et h ec o n t r o l l i n go fm o v e m e n to f 啪v 争p a c k e t sc e n t r e b ya d j u s t i n ga d i a b a 土i cp a r a 瑚【e t e r s e s p e c i a l l y ，as e r i e 8o fc o m p 村i s o no fc h a r a c 乞e rb e t 、e e nt r 印p i n ge l e c t r o n i n t e r f b r e db ya d i a l b a t i cp o t e n t i a la n da n t i - t a p p e de l e c t r o nw a sp r i m a r i l yi n v e s t i g a t e di nt h i sc h a p t e r w e 丘n ds o m ei n t e r e s t i n gd i 髓r e n t i a t ea n dr e l a t i o nb e - t w e e nt h e m ，a r e rc o n l p a r i n gt h ec h a r a u c t e rt h a tt h ef u n c t i o no fc e n t r ep o s i t i o n o fo r b i t ，t h ef h n c t i o no fh i g ha n dw i d t ho fw a v e p a c k e t t r a i na n d p r o b a b i l i t y d e n s i t yo fg a u s s i a n - t y p e r a 、睁p a c k e te v o l u t i o n 而t ht i m e ，r e s p e c t i v e l y i nt h el a s tp a r to ft h ep a p e r ，w r eg i v eas i m p l es u m m a r ya i l dd i s c u s s i o n t ot h ea b o v e m e n t i o n e d 、o r k s h e r e ，o u rm a i nw o r k sa r ei n v o l v e di nc h a d t e r s t 、j l ，oa n dt h r f 孢 k e y w o r d s ： e x a u c ts o l u t i o n ；a d i a b a t i cf a c t o r ；w a v 任p a c k e t t r a i n ；p r o b a - b i l i t yd e n s i t y 湖南师范大学硕士学位论文 4 5 - 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担学位论文作者 签名： 学位论文作者签名：天徼 y 名於 州厶年，月刊日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大 学同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名：姜宙乙日期：聊择，月“_ 导师签名。l 够噜日期。耐c f 月缮日 湖南师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 低维绝热系统 1 9 6 9 年美国i b m 公司托马斯j 瓦特逊研究中心的两位半导体 物理学家江崎和朱兆祥基于试图人为地控制半导体中电子的势分布 和波函数的设想，首次提出了半导体超晶格的新概念【1 】与此同 时，美国贝尔实验室的卓以和提出和发展了分子束外延概念和技术 f 2 ，3 】，新思想与新技术的巧妙结合，制成了第一个晶格匹配组分型的 a k g n ，一霉a s g o a s 超晶格【4 】超晶格以及随之而来的异质结和量子 阱的生长，给低维纳米结构的研究和应用开辟了一个崭新的领域 随着分子束外延等超薄生长技术和精细束加工技术的不断发展和完 善，使人们能够按照自己的意愿排列原子和分子，制备各种各样的 零维、一维和二维的低维纳米结构，特别是有关单电子器件的制备 【5 】由于这些低维纳米体系不仅具有极其丰富的物理内涵和独特的 性能，而且其性能可置于不断发展的精密工艺控制之下，因而对它 们的研究在当代物理学、材料学和日新月异的高新技术领域中显得 极为重要经过三十多年的发展，低维纳米系统( 如量子阱、超晶 格、量子线、量子点等) 的基础和应用研究取得了令人惊叹的进展 【6 ，7 ，8 ，9 ，l o ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】 基于低维量子系统的光电器件的成功研制，更进一步不断地揭 示了许多新的物理现象在这些一个维度或多个维度限制电子运动 的体系中，呈现出一系列在传统材料中难以观察到的、物理内涵丰 富的、全新的量子现象，如量子约束效应、共振隧穿效应、超晶格 微带效应、声子约束效应以及二维电子气效应等【6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 】由 于电磁场势函数必须满足拉布拉斯方程，当电子在边界为通电的二 次曲面的区域内运动时，在不同自由度上，可感受到谐振势和反谐 振势我们让二维电子进入这个二次曲面的区域内，电流则通过r l 电路加到该曲面上，那么在这个二次曲面中电磁场形成的开始瞬间 就会由r l 电路的暂态过程( 所谓的r l 电路即在直流电路中有电阻 湖南师范大学硕士学位论文 r 和自感线圈l 构成) 控制，同时这个二维电子也就被电磁场囚禁 于二次曲面区域内众所周知，r l 电路的暂态过程中： ，反 e 2 一l 面 e 为自感电动势，l 为自感系数，t 为自感电流电流强度，按基尔霍 夫第二定律有： e + e = i r e 为电源电动势，即 e l 宏= i r ( 1 2 ) r 为电路电阻，求解方程( 1 2 ) 可得 ( ) = 丢+ a e 一譬t ，( a = e 七) ( 1 3 ) 七为积分常数，当江。时，i = o ，开关接通时，由于自感线圈的“电 惯性”，电流只能渐变而不能突变( 即不能在无限小时间内完成有限 的变化) ，由此得到初始条件：i ( o ) = o ，以此条件代入方程( 1 3 ) 便可唯一确定a ： e a = 一瓦 在代入方程( 1 3 ) 即可得到符合物理条件的特解： ( 1 4 ) 讹) = 关( 1 e _ 钓m 0 ) i ( t ) = j ( 1 一e 一譬。) ( 1 5 ) j 为电流强度，当t _ o o 时，i ( ) 一，此时e 的指数部分将不起作 用；当譬较大时，在很短的时间内，i 以指数方式随增大，最后 达到，= e r ，而这个过程就是我们经常所说的暂态过程 19 】如果 湖南师范大学硕士学位论文 说，电流经过r l 电路后，再通过我们设计的二次曲面的电路，那么 这个二次曲面电路在形成电磁场的的过程中就会有一个暂态过程 而我们知道当譬较大时，只需经历很短的时间，系统的电流就会达 到稳定值，这是暂态过程，但是如果当譬很小时，在经历很长的时 间，e 一譬。才逐渐趋向于o ，那么这是一个绝热过程对于一个量子系 统，体系的h 锄i l t o n 量日( p ，g ，入) 依赖某参量a ，入( ) 随时间变化， 当入( ) 随时间变化极为缓慢，即 丁拿a d ( 1 6 ) 那么这个系统能够就在进行绝热演化，t 是体系运动的特征时间 【2 0 】对于r l 电路，我们知道，电磁场是由通电线圈加载电流后形 成的，而电流从接通到达到稳定状态时需要一定的时间，需要一定 的过程的，这个过程我们称之为r l 电路的暂态过程利用这个特 点，我们可以设计这样的电路来控制暂态过程由于有了这样的一 个暂态过程，我们就可以将谐振子势和反谐振子势表达为： y ( 砌= 三删2 酢) z 2 一丢删2 婶) ! ，2 ( 1 7 ) a ( ) 为绝热因子，a 随时间缓慢变化“，为频率，m 为电子的质量， u _ 1 一t 系统特征时间【2 1 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】由于x ，y 自由度上运动是独 立，因此对于x ，y 方向我们可以作为独立的一维系统进行研究当 取y ( z ，) = 删2 a ( ) z 2 时；为谐振子势，而当取y ( ，) = 一 仃2 a ( ) 2 时，为反谐振子势因此令e = 兄三，那么方程( 1 5 ) 相应的转化 为a ( ) = q ( 1 一e 叫t ) ，口叫绝热强度参数，ao ( e ，对于方程( 1 5 ) 中的譬，当我们适当调整电路参数后，使1 ，满足( 1 6 ) 式，从 而满足绝热条件 1 2 多波包相干态 在量子力学研究的历史中，最早开始相干态研究工作的是奥地 利物理学家s c h r 6 d i n g e r ，他是于1 9 2 6 年开始这项工作的最初它研究 湖南师范大学硕士学位论文 的目的是为了寻找量子力学与经典力学两者中更奥妙的联系结果 在他逐渐研究的过程中，他发现谐振子存在一种状态，在这种状态 下，谐振子的运动性质与经典振子很相似，谐振子的能量平均值与 经典振子能量相同，而且坐标和动量的平均值( 即波包中心的位置 和动量) 随时间的变化也和经典振子完全相同，并且波包不扩散， z 却= 危2 ( 取最小值) 在给p l a n c k 的信中，s c h r 6 d i n g e r 这样写道： 它的目的是要寻找局限于空间一个小区域中的不扩散的波包，它在 任意长的时间内的运动与经典粒子完全相同对于谐振子，这种状 态他已经找到了，这就是被后来人称之为相干态( c o h e r e n ts t a t e ) 的 特殊状态【2 0 ，2 2 】 设处于谐振子势y ( z ) = ；m u 。z 2 中的粒子在初始时刻( 江o ) 状态为 妒( z ，0 ) =咖( z z o ) = 7 r 一1 4 l 一1 2 e 一扛一知) 2 2 l 2 l = 万面 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( l 为自然长度) 即波形与基态波函数讥( z ) 相同，但波包中心不在 谐振势的平衡点( z = o ) ，而在z = z o 点。从经典力学观点看来， 粒子将围绕平衡点震动从量子力学来看，这个态就不可能是一个 定态( 处于定态的粒子，其空间分布概率密度不随时间改变) 事实 上，它既不在是基态，也不是任何一个能量本征态，而是无限多个 能量本征态按一定的权重的相干叠加，即 妒( z ，o ) = g 饥( z ) n = o ( 1 1 0 ) 掣k ( z ) = 7 k e e 2 2 h ( ) ，v k = 【l 、并2 2 礼! 】一1 2 ，f = z 上， k ( z ) 且p e k = ( n + 1 2 ) 鼬的能量本征态，可以证明 g= 知=z q 江 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 湖南师范大学硕士学位论文 结合方程( 1 1 0 ) 、( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 及晶= ( 礼+ 1 2 ) 砒可得出 时刻的波函数【2 0 】 抛一= 丽杀e x p 【一三( 一酬2 叫扣+ 岛和叫t 一三器s i n 2 】 ( 1 1 3 ) 因此： m 酬2 = 去e x p 【七咱c 。酬2 】 与 m 础汗= 壶e x p 【七咱) 2 1 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 相比，可见i 妒( z ，) 2 是一个围绕z = o 点震荡的g a u s s 波包，波形不 变( 波包不扩散) ，波包中心位置在z 。= z ( t ) = z o c o 刚t 处与经典 振子( 初位置在z = 知处) 的振动规律完全相同【2 0 】 最近几年，本小组把相干态从一个单个波包推广到多个波包， 即从单波包相干态推广到多波包相干态，得到新的波函数中相比较 比原来的波函数复杂一些，即： 皿。( z ，) 玩( z ，) 皿( z ，# )( 1 1 6 ) 皿( z ，t ) 为s c h r 6 d i n g e r 谐振子相干态，玩( z ，t ) 为厄米多项式当n = o 时，以( z ，) = 1 ，皿n = 皿，这就是s c h r 6 d i n g e r 谐振子相干态；当n o 时，风( z ，) 1 ，皿。( z ，z ) 即为多波包波函数，同时对于波函数 的图像，我们可以发现：多波包的宽度和高度都会随时间发生变化 f 2 6 ，2 7 ，2 8 】本文将对多波包的相干态在绝热条件下的演化进行一定 的讨论 湖南师范大学硕士学位论文 第二章一维囚禁电子相干态的绝热演化 2 1引言 相干态最初是奥地利物理学家s c h r 砸i n g e r 于1 9 2 6 年所引入的， 原意是寻找一种量子态，使得坐标算符和h a m i l t o n 量算符在态平均 的意义上完全等同于对应的经典运动，从根本上说，他就是为了寻 找量子力学与经典力学两者之间的联系在他研究逐步深入的过程 中，他发现，谐振子在某一种状态下其本身的运动性质和经典振子 及其相似，不但坐标和动量的平均值随时间的变化和经典振子完全 相同，波包不进行扩散，而且谐振子的平均能量和经典振子的能量 完全相同这其实就是量子力学和经典力学的对应，也就是我们后 来人称之的相干态( c o h e r e n ts t a t e ) 的特殊状态【2 0 ，2 2 1 近些年来，本小组也致力于相干态的研究，把相干态从一个单个 波包推广到多个波包，即从单波包相干态推广到多波包相干态，得 到新的波函数，即： 皿。 ，t ) o ( 以( f ) 皿( z ，t )( 2 1 ) 从方程( 2 1 ) 中我们分析就可以发现：当礼= o 时，以( f ) = 1 ，霍。= 皿， 这既是s c h r 6 d i n g e r 谐振子相干态；当n o 时，( f ) 1 ，皿。( z ，t ) 即为多波包波函数，同时对于波函数的图像，我们可以发现：多波 包的宽度和高度都会随时间发生变化f 2 l ，2 6 ，2 7 ，2 8 】 在这一章中，我们考虑了在一维量子线中囚禁于由电磁场所产 生的势谐振子势阱中的单电子在磁场绝热因子a ( ) = n ( 1 一e 。t ) 干 扰下的运动由解析方法【2 1 ，2 6 ，2 7 ，2 8 】我们得到了量子系统的精确 解由于我们得到的精确解中含有绝热因子，所以，我们通过调整 绝热因子中的参数，就可以得到不同的相干态，对于瞬态过程中， 因为时间通常很短，很容易被忽略，但是，对于绝热过程，时间会 很长，那么在此期间，我们可以构建电磁场来研究系统的量子态的 变化和性质例如有关系统量子态的压缩相干特性，由所求得的量 湖南师范大学硕士学位论文 子态，求出系统的坐标与动量的期待值，系统的能量期待值特别 是讨论了在外场下单电子波包链的控制 2 2 精确求解量子态 我们考虑了在一维量子线中由磁场所产生的谐振子势阱囚禁的 单电子量子系统在磁场绝热因子a ( ) = q ( 1 一e 卅) 的干扰下运动，在 绝热因子的作用下系统的哈密顿量为： i 筹：一丢筹+ 知枷z 一= + 一 - z i t 。v a t2a z 22 一r 7 ( 2 2 ) 这里入( ) = 口( 1 一e _ c t ) ，n 代表绝热强度，为远小于1 的无量纲常 数设m ，au = e b ( 2 m c ) 分别代表电子质量，光速与磁场的回旋频 率在方程( 2 2 ) 中，为了方便我们采用了自然单位( 仇一危= u = 1 ) ， 无量纲化的坐标( x ) 以谐振子长度为单位 = 骊) ，时间以谐 振子频率的倒数为单位( 幻= 丢) ，我们设定方程( 2 2 ) 的试探解的 形式如下： 雪= 口。( ) h ( ) e x p 【6 ( ) z c ( ) z 2 一，2 ( ) 2 】 ( 2 3 ) 其中坐标变量f = e ( t ) z 一，( ) ，函数巩( ) 为h e i m i t i a n 多项式，o ( t ) 、 6 ( ) 、c ( ) 为时间的复函数，e ( ) 、，( t ) 为时间的实函数，将方程 ( 2 3 ) 代入方程( 2 2 ) ，我们得到： e 2 学+ 2 f ( k 叫萨2 喇掣+ 2 2 c 2 埘一知一) z 2 + 2 ( i 一2 6 c ) z + 2 ( i a 。n 。一i ，j f c + 6 2 2 ) ) 巩( ) = 唾2 4 ) 湖南师范大学硕士学位论文 结合h e n n i t i a n 方程( 铲一2 f 警+ 2 n 风= o ) 我们得到系数a ( ) 、 6 ( ) ，c ( ) 、e ( ) 、，( ) 的方程如下， 2 i e = 4 c 2 一q ( 1 一e n ) i 已= 2 一e 3 荔：2 6 c 6 e = e 2 ，+ i ， i a 。= i ，+ c 一6 2 2 + 礼e 2 利用函数变化c ( t ) = 器，我们可以计算出： = 一q ( 1 一e 一酣) 妒 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 解该方程可得方程的解，并令妒，和妒。分别为妒的实部和虚部则： z 一学( 竿) f ( 1 一竽) + z 学( 竿) r ( 1 + 竿) = 妒1 + i 妒2 ( 2 1 1 ) 上式中i 一学( 罕) 和1 竿( 竿) 为变型贝塞尔函数i ，( z ) ， 其中p = 千竿，名= ( 竿) ；r ( 1 一竿) 和r ( 1 十竽) 为伽马 函数；a 为绝热强度参数，为绝热参数妒。和妒。分别为妒的实 部与虚部： 妒1= r e 妒 妒2 = i m 妒 因此，方程( 2 1 0 ) 的通解可表示为： 妒= 妒l + i 妒2 = 尸( ) e 坩( ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 1 0 湖南师范大学硕士学位论文 这里的幅度与相的函数分别为： p ( ) = 厢 ) = 删a n ( 罢) 利用c ( t ) 与妒( z ) 之间的函数变换，可得c ( ) 的表达式： ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) c ：袅：罢一i 关 ( 2 1 7 ) 归丽。互叫荔 。乙j 将方程( 2 1 4 ) 带入方程( 2 1 0 ) ，我们可以得到有关幅度与相之间 的关系函数： 口= p 2 将方程( 2 1 8 ) 积分得： = p 2 占 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 其中是积分常数，将方程( 2 1 7 ) 代入方程( 2 6 ) 中得到e ( t ) 的 表达式为： e ( ) ：丛：怕 ( 2 2 1 ) 由于我们已定e ( ) 为实函数，故常数为大于零的实数，将方程 ( 2 1 7 ) 带入方程( 2 7 ) ，可得6 ( t ) 的表达式： 6 = 6 1 + i 6 2 = 二6 0( 2 2 2 ) 其中6 1 和6 2 为函数6 ( ) 的实部和虚部，令6 r 和醅分别代表积分常 数6 0 的实部和虚部，结合方程( 2 1 2 ) ( 2 2 1 ) ，可以计算出： 6 - = 每洲媚+ 纵瞩】 6 2 = 每州喊一以缄】 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 一口坐z 湖南师范大学硕士学位论文 因为函数，( t ) 为实函数，利用方程( 2 8 ) 和方程( 2 2 1 ) ，我们可 以解出： ，= 鲁= 掣 ，= e 6 2 = 掣 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 方程( 2 2 5 ) 和方程( 2 2 6 ) 的关系同时意味着爱( 将) = e ( ) 6 2 ( ) 利 用方程( 2 2 0 ) 一( 2 2 4 ) ，即可证明上述等式成立对方程( 2 9 ) 积分，即可得到函数( ) 的表达式： 删= 刍e x p 【叫n + 丢) p + 壶( 砖一啦) 】 ( 2 2 7 ) 其中a n 是一个由波函数的归一化条件( ，2 如= 1 ) 决定的常数： a n = ( 溉) ；将方程( 2 1 7 ) ， ( 2 2 1 ) 一( 2 2 7 ) 带入到方程 ( 2 3 ) 中，得到一维量子线系统中被囚禁的单电子的精确量子态： 皿竹( z ，) = 尺t i ( z ，t ) e e n ，n = 0 ，1 ，2 ，3 ， 其中，实函数心( z ，t ) 和e 。( z ，t ) ，分别为： 嘶一= ( 高慨e x p ( 一扣 e 。( z ，t ) = 一( 礼+ 三) p + 6 2 z + 易z 2 + 三( 砖一6 ；) d t 其中所选的时空坐标变量为5 舡= 籍z 一掣 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 我们所得到的系统的精确解为n + 1 个完全解，它们满足正交归一 化条件( ( 皿n i 皿n ，) = 矗 n ，) 该解描述了处在电磁场绝热作用下的被 囚禁电子的运动当选择不同的系统参数，我们能得到不同的量子 态，应用它们可以描述不同的物理问题例如：当我们选择一定的 1 2 湖南师范大学硕士学位论文 参数后，我们可以得到= z 一6 。( ) ，这变换正好与文献【2 9 ，3 0 ，3 1 】 中所报道的结果一致数学上考虑到这解的正交归一的特性，它们 可作为完备基展开来研究更多的物理问题，如有关囚禁在磁阱中的 玻铯爱因斯坦凝聚体【2 7 ，3 2 等 2 3 囚禁电子在绝热因子作用下的相干特性 对于任意量子数n ，精确解( 2 2 8 ) 一( 2 3 1 ) 的摸r ( z ，) 描述 的波包链含有n + 1 个g a u s s 型波包，并且根据h e 唧i t e 多项式风( ) 的特性可知，描述电子的概率密度磁( z ，) 也是由竹+ 1 个g a u 锵型 波包所组成，波包链的中心轨迹z 。( ) 由方程( 2 3 1 ) 令= o 得到 以归警 ( 2 3 2 ) 在波包链的中心z 。( ) 的函数中含有6 t ，而又由方程( 2 2 3 ) 可知6 1 中含有绝热参数，所以波包链的中心位置( t ) 与绝热因子有关， 结合方程( 2 2 3 ) ，我们就可以得到波包链轨道中心函数： 刑= 警= 船洲+ 】 ( 2 - 3 3 ) 结合妒。，妒。，( ) ，我们可以发现，一旦取定积分常数，6 5 ，碥和绝热因 子中的，在较短的时间t 内，波包链的质心并不随随时间做周期 运动，而是在随时间发生变化( 或增加或衰减) ，而在经历较长时间 t 后，波包链的中心就随着时间周期性在振动，波包链的中心震荡 受绝热因子的控制是这个系统新的重要特性当选择不同的系统参 数，我们能得到不同的量子态 由方程( 2 2 9 ) ( 2 3 1 ) 可知，中包含的函数p ( ) 描述了波包链的 和每个波包的宽度，方程( 2 3 1 ) 根中出现的同样这个函数控制着每个 波包的高度因此p ( ) 的变化必然引起波包链的宽度和高度的变化， 所以我们将该函数叫做波包链的宽度和高度函数【2 1 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，3 2 】 当波包的高度和宽度的改变都很小时，波包的行为近似于行进而不 湖南师范大学硕士学位论文 1 3 02 04 06 08 0 1 0 阻2 0 咀4 0 t c 02 04 06 08 0 1 0 0 匝2 0 咀4 0 t 2 5 2 1 5 q 1 0 5 0 图2 1 ( a ) 。当= 1 5 0 时，图中q = 2 5 1 0 一，p ( ) 随时间的演化t 当 e = o 0 1 ，= 0 1 时，对应曲线分别为( 1 ) ，( 2 ) ；( b ) ：当= 1 0 0 0 时，图中 q = 2 5 1 0 一，p ( ) 随时间的演化。当e = 0 0 1 ，= 0 1 时，对应曲线分 别为( 1 ) ，( 2 ) ；( c ) ：当= 1 5 0 时，图中= o 0 1 ，p ( ) 随时间的演化：当 o = 2 5 1 0 ，a = 1 6 1 0 ，对应曲线分别为( 1 ) ，( 2 ) ；( d ) t 当= 1 0 0 0 时，图中的e = 0 0 1 ，p ( ) 随时间的演化：当n = 2 5 1 0 ，口= 1 6 1 0 ， 对应曲线分别为( 1 ) ，( 2 ) 我们采用了自然单位= 危= u = 1 ) ，无量纲 化的坐标( x ) 以谐振子长度为单位 = 危( 舢们，时间以谐振子频率的倒数 为单位( o = 三) 形变的一串；当波包的高度和宽度变化都很大时即表现为波包链发 生很大的形变，这个形变就像波包链是在呼吸 3 3 】当我们保持模 p ( ) 小的改变，那么方程( 2 2 8 ) 一( 2 3 1 ) 描述的波包链就会表现 为在一个很长的距离上传播却只发生很小的形变如图2 1 所示，a 图中，在相对较短时间江1 5 0 内，在口= 2 5 1 0 - 4 相同的强度下， 随着：o o l _ o 1 值的增加，p ( ) 先由增大然后逐渐减小，变化为先 减小而后增加，这就会导致波包的宽度由小变大，而波包的高度则 高变低；因此，在短时间内，的不同会导致波包的宽度和高度的变 1 4 -湖南师范大学硕士学位论文 化，同时还可以确定变化时的初始位置；b 图中，在经历了较长的时 间t = 1 0 0 0 后，p ( ) 将随时间作周期性变化，随着值的增加，p ( t ) 的振幅不再变化且周期也不再变化，这是因为当时间足够长后，绝 热因子将不起作用，即e 耐一o ；c 图中，在时间相对较短t = 1 5 0 内，在e = o 0 1 相同的绝热参数条件下，随着n ：2 5 l o - 4 1 6 1 0 _ 4 的减小，p ( ) 先由增大然后逐渐减小，变化为持续减小，这样就会 导致波包的高度变