（机械设计及理论专业论文）齿轮耦合多转子系统动力学特性研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文摘要 摘要 随着旋转机械转速不断增加、性能不断提高，转子系统的振动特性越来越成 为人们研究的焦点。含有齿轮传动的转子系统获得了广泛的应用，并已成为转子 系统中重要的一个研究领域。由于齿轮的啮合作用，使得系统各转子之间的弯曲 振动和扭转振动相互耦合，因而转子系统的动力学特性不能仅从单转子来考察。 为此需要建立系统的弯扭耦合频率方程，对其动力学特性进行分析。 论文首先介绍了现有转子系统动力特性的常用计算方法，深入研究了整体传 递矩阵法、黜c c a t i 传递矩阵法和黜c c a t i 奇点消除法等算法。在此基础上作者提 出了整体传递矩阵改进型r i c c a t i 法。该方法既保留了整体传递矩阵法的优点， 又消除了黜c c a l i 传递矩阵法引入的异号无穷型奇点。本方法易于编制通用计算 机程序，便于工程人员掌握。 建立了斜齿轮、锥齿轮传动的线性力耦合模型，介绍了齿轮啮合网4 度与啮合 阻尼的计算方法，推导出了齿轮转子系统中斜齿轮耦合单元和锥齿轮耦合单元的 耦合矩阵，成功地将整体传递矩阵法应用于齿轮转子系统的弯扭耦合振动分析。 分析结果表明，由于齿轮的啮合作用，齿轮转子系统的弯振和扭振是耦合在一起 的，各转子之间的振动也产生了耦合。如果不考虑齿轮的啮合作用，计算将丢失 由于转子之间的耦合而产生的临界转速。 以直齿圆柱齿轮为例，研究了齿轮转子系统稳态不平衡响应计算的整体传递 矩阵法。根据直齿轮传动的线性动力学模型，推导出了齿轮耦合单元的耦合矩阵， 将本文提出的方法成功地应用于齿轮耦合多转子系统稳态不平衡响应计算。算例 结果表明，依据具体情况不同，齿轮的啮合作用会对转子系统的不平衡响应起到 加剧或抑制的作用。 关键词：齿轮转子系统，整体传递矩阵法，弯扭耦合，临界转速，不平衡响应 西北工业大学硕士学位论文a b s 自m c t a b s 扛a c t w i t ht h ei n c r e 嬲eo fi o t a t i o n a ls p e c do fr o t a r y 舭dt h ei m p f o v 锄e n to fi t s p e r f b m l a n c e ，m cv i b m 矗o nc h a f t e l i s t i co ft l l er o t o r 毋芎t e ml l a sb 嘲b c c 删n ga r 嚣e 础f b c u s t h eg e 缸r a t o 硌s y g t e mi s 删e d 矗b r o a d 锄di th 鸥b c c 嘞eav e r y i n 】舯哟mr 龆e a r c h 丘e nb c c a _ u o ft h eg e a 瑙m e s h i n g b 锄d i n gv i 蜥o n 妣d b e n d i n gv i b 枷o no f t o 墙i sc o u p l i n g w bc 姐t 孤a i y z et 置l ed ”l a l l l i c sc h 甜孤i t i 玎o f r o t o r s s y s t 锄w t i i to i l l y e m t 0 吧h l o r d 盯t oa l l a l y z e t h ed y n a l n i c sc h a 瑚咖o f g e 盯 r o t o r $ s y 咖i n ，l h el a t e r a l - 锄售i a lc o u p l i n gv i b 枷蚰丘弼u 锄c y 唧l a t i 曲l s tb es c t l l p f i f s t l y ，t h ep a p e ri n 仰d u c e d l ef a v o r i t ec a l c u l a l i m e 曲l d st o 锄a l y z cd y n 锄i c 8 c h a 珀c t c ro fr o t o r ss y 哦锄i n t e n s i v es t u d yt l l ew h o l c 缸赳l 锄i s s i m 枷xm e t h o d ， 硒c c a t i 订a m i i l i 韶i o nm a n 奴a n d 硒c c a t ii n 铝u l a r i t y 锄i d i c a c e t h a l 曲o rb 咖gf o n h t l l ew h o l eh 丑n 砌s s i n l 撕xr i c c a t im e l 1 l o d 1 h sn l e t h o dr e s e n ，e st h em e r i to ft h e w h o l eh m l 锄i s s i o nm 删xm c t h o d ，锄de 船d i c a t e so p p o s i t es i g ni 1 1 丘= l l i t yi r r e g u l a d t yo f 础c c a 娃订a n s l i l i s s i o nm a t r i x i ti s 朗s yt ow o r ko u t 掣：i l e f a lc 伽叩u t e rp r o 孕a n l ，觚dt o p 】崩王0 m i n a t ef o r 朗g i n e e 惜她dt e c h n i c i 姐s 1 1 l el i n e a r 细ec o u p l i i l gm o d d so fh e l i xg e a r 趾dv e n i c a ib e v e lg e 盯a r cs e tu p t h ec a l c u l a t i o nm e t h o do f t h em e s h i n gs t i f f 觚dm e s h i i l gd a l 印i n ga 地i 1 i 胁d u c e d 1 1 l e c o u p l i i l gm a t r i xo fh e l i xg e 盯c o u p l i n g 砌t 锄d 删i c a l 胁e lg e 盯c o u p h n g 嘣to f g e 盯r o t o 璐s y s t 锄a r ed c d u c e d 皿地w h o l e 把m 觚s s i o nm a t r i ) 【m e t h o di s 印p l i c dt o a i l a l y z ct h el a t c r a l - t 0 璐i 咖lc o u p l i i l gv i b r a t i o no fg e 盯r o t 0 墙s y s t a 札n 璩f e s u l t s i l l m c a t et l l a t ，f b rt l 】幛g e 盯m e s h i n g ，b e n d i l 唱v i b 洲a n db e n d i n gv i b 洲o no fr o t o r s i sc o u p l i l i 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p e e d ，u n b a l a i l c e d 确甲o n s e i i 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：幺公兰 j 呼f 弓月扩日 指导教师签名拍钨 ) 柞弓月g 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担切相关的法律责任。 学位论文作者签名 工一7 年 月雳日 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究的目的及选题依据 现代工业的进步，使旋转机械向着高转速、大功率的方向发展。齿轮传动的 转子一轴承系统获得了广泛的应用并已成为转子轴承系统中重要的一类传动。机 器运转时，转子系统常常发生振动，从而产生噪声，降低了机器的工作效率，严 重的会使元件断裂、转子失稳，造成重大事故。 目前，尽管对齿轮动力学和转子动力学进行了大量的研究，但是对有齿轮传 动的转子轴承系统动力学的研究仍不够充分n ，。因为在研究齿轮传动时，一般 不考虑轴和轴承的影响，而在研究转子系统时，传统的方法往往把齿轮当成刚性 圆盘处理，不考虑齿轮传动的影响，各转子分别设计，弯振与扭振也分别计算。 在齿轮传动的多转子系统中，由于齿轮啮合使各转子的弯振和扭振产生了耦合， 齿轮、轴承和转子已成为系统不可分割的组成部分，应该从系统的观点设计转子 系统。随着转子速度的提高，传统设计方法已不能满足要求，甚至会造成致命的 设计错误。因此人们逐渐认识到齿轮传动的影响在多转子轴承系统设计中是不可 忽视的因素，齿轮轴承一转子系统动力学的研究日益受到重视。 目前对简单离散转子系统的分析大多是基于理论力学的分析方法，而对复 杂转子系统则多用有限元法和传递矩阵法。有限元法的表达式简单、规范，特别 适用于转子和周围结构组成的复杂结构的分析，但系统复杂时会导致自由度数 特别大，耗费计算机时。传递矩阵法是转子动力学的主要分析手段之一。这一方 法的特点是：矩阵的阶数不随系统的自由度数增大而增加，因而编程简单、内存 用量小、运算速度快。传统的传递矩阵法适用于链式转子系统，但是不能满足复 杂转子系统的计算需要。基于此许多学者提出了改进后的诸多传递矩阵法计算转 子系统的动力特性，例如子结构传递矩阵法、传递矩阵一阻抗耦合法等。但是上 述方法都需要将系统划分成若干个子结构，子结构划分的合理与否，直接影响到 计算精度，通用计算机程序开发难度较大。 因此，对于齿轮耦合多转子系统的动力学特性进行分析，寻找一种精度高、 占用机时少、容易开发通用计算机程序的计算方法就显得尤为重要。 北航4 0 5 教研室朱梓根教授等人提出的整体传递矩阵法有其独到之处。这种 西北工业大学硕七学位论文第一章绪论 方法将各个转子作为一个整体沿一条直线传递，最终得到的频率方程的阶数只跟 转子个数有关而与支承个数无关，这非常适合编制适合不同转子系统的通用计算 程序。此外，r i c c a t i 传递矩阵法计算单转子临界转速时，可以避免矩阵出现病 态或奇异，防止数值运算失稳，但是会出现新的奇点异号无穷型奇点。为此， 作者将整体传递矩阵法与改进型的r i c c a t i 法相结合，提出整体传递矩阵改进型 r i c c a t i 法，推导出齿轮耦合单元的耦合矩阵，将此方法推广用于齿轮耦合多转 子系统的动力学计算分析中，并分析了齿轮耦合对转子系统的临界转速和不平衡 响应的影响。 1 2 相关领域的研究现状 1 。2 1 转子动力学特性分析的研究现状 转子动力学在国内外都是一门非常活跃的学科。每年都有大量的文章发表。 转子动力学是研究所有与旋转机械转子及其部件和结构有关的动力学特性，包括 动态响应、振动、强度、疲劳、稳定性、可靠性、状态监测、故障诊断和控制的 学科。转子动力学研究中很重要的一部分内容，就是转子系统的动力学建模与分 析计算方法，以及转子系统的临界转速、振型与不平衡响应等。 转子动力学是一门既有理论深度，又有很强的实践性的应用基础学科，它的 形成与发展伴随着大工业的发展和科技进步，已走过了一个多世纪的路程。 第一篇有记载的有关转子动力学的文章是1 8 6 9 年r a n k i n e 发表的题为“论旋 转轴的离心力”一文0 1 ，这篇文章得出的“转轴只能在一阶临界转速以下稳定运 转”的结论，因而使转子的转速一直限制在一阶临界转速以下。最简单的转子模 型是由一根两端刚性支承的无质量的轴和在其中部的圆盘组成的。这一今天仍在 使用的被称作j e f f c o t t 转子的模型最早是由f o p p l 在1 8 9 5 年提出的，之所以被称 作“j e f f c o t t ”转子是由于j e f f c o t t 教授在1 9 1 9 年首先解释了这一模型的转子动 力学特性。他指出在超临界运行时，转子会产生自动定心现象，因而可以稳定工 作。这一结论使得旋转机械的功率和转速的使用范围大大提高了，许多工作转速 超过临界转速的涡轮机、压缩机和泵等对工业革命起了很大的作用。但是随之而 来的一系列事故使人们发现转子在超临界运行达到某一转速时会出现强烈的自 激振动并造成失稳。 转子系统的不平衡响应是转子动力学研究的基本问题。对转子不平衡响应的 2 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 研究主要是针对定转速时的稳态响应和变转速时的瞬态响应特性分析。早期的研 究都认为转子的强迫振动响应频率与转子转速相同，即响应是同步( 协调) 的。后 来人们发现了响应频率与转速不同步的现象。 5 0 年代以来，电力、航空、机械、化工工业的迅猛发展极大地推动了转子 动力学的研究。发电机组的单机容量从几万千瓦发展到了上百万千瓦，飞机也开 始进入喷气发动机时代。旋转机械的转子越来越柔、功率越来越大、转速越来越 高，甚至达到了三、四阶临界以上，这为转予动力学的研究提出了一系列的研究 课题，也有力地促进了转子动力学的发展 1 8 7 3 年瑞利基于系统的动能和势能分析给出了确定基频的近似方法，里兹发 展了瑞利法使之推广为几个低阶固有频率的近似计算方法，这一方法被伽辽金子 1 9 1 5 年进一步推广。1 8 9 4 年邓克利分析旋转轴振动时提出一种近似计算多圆盘轴 横向振动基频的简单实用方法。1 9 0 4 年斯托德拉计算轴杆固有频率时提出一种逐 步近似法，成为矩阵迭代法的雏形。1 9 2 0 年法谟计算船主轴扭振时提出离散化的 思想，以后发展为确定轴系和梁的频率的实用方法。1 9 5 0 年w 汤姆逊将这种方 法发展为矩阵形式而最终形成传递矩阵法。5 0 年代。普劳尔用传递矩阵法成功地 计算了多跨转子的临界转速。 从5 0 年代开始，随着电子计算机的应用，有限元法作为一种数值分析工具， 引起科学家的极大兴趣。7 0 年代有人开始把有限元法用于转子动力学分析中。振 动分析的有限元法是建立在r a y l e i g h 原理基础上的直接变分近似法，基本思想就 是将连续体看作在节点彼此相连的若干单元的组合体，将无限自由度的连续体振 动转化为多自由度系统的振动，借助于线性代数方法分析，从而避开了连续系统 振动必须求解偏微分方程的问题。起初考虑转子只有移动惯性情况下的弯曲振动 问题。随着研究的逐步深入，转子的有限元模型也不断得到完善，在模型中逐渐 包括了转动惯量，陀螺力矩，轴向载荷，外阻内阻以及剪切变形的影响等因素。 对转子系统用有限元模型，使得可能对大型复杂转子结构系统列写运动方程，而 数字计算机的发展又可以对大型问题进行数值计算。故在近二十年来，用有限元 法解决转子的临界转速，不平衡响应以及稳定性问题等方面取得了不错的结果。 有限元法对于复杂结构，通过构造不同的形函数，能较真实地模拟复杂物体的形 状。但当单元划分的比较疏时，运算结果的精度较低；单元划分的较密时，对大 型转子系统，单元数目将会很大，运算时间和对计算机内存的需求将大大增加而 且编制计算机程序复杂。 七十年代以来，国内的研究人员对转子动力学开始进行深入研究，得出了多 种较完善的临界转速计算方法，如：矩阵迭代法、逐段推算法、能量法等。1 9 7 8 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 年h o r n e r 和p i l k e y 提出了r i c c a t i 传递矩阵法，通过r i c c a t i 变换，把原来微分 方程的两点边值闯题变换为一点初值问题，从而在保留了传统传递矩阵法的所有 优点的同时，从根本上提高了传递矩阵法的数值稳定性，较好地解决了转子链上 由于个别轴段和集中质量点数值不协调造成的矩阵病态或奇异而导致数值失稳 的缺陷。但是，这些传递矩阵法大多难于计算多转子复杂结构的转子系统。对于 复杂转子系统，后来又发展出来几种改进后的递矩阵法计算转子系统的动力特 性。如最早提出的子结构传递矩阵法，这种方法要将复杂转子系统划分成若干简 单的子结构，对每个独立的子结构进行矩阵传递计算。最终得到整个系统的运动 方程组，它的计算原理简单，但是子结构划分的合理与否，直接影响到计算精度。 频率方程的阶数也随着结构复杂而增大，开发通用的计算机程序较难。北航4 0 5 教研室的朱梓根教授针对航空发动机转子系统动力学分析计算提出了整体传递 矩阵法。该方法将各子结构相应结点的状态向量放在同一列阵中，构成整体状态 向量，把各子结构相应单元的传递矩阵放在同一方阵中，构成整体传递矩阵，将 系统作整体结构沿直线传递。任光明，蒋书运，柴山等人发展了整体传递矩阵法， 对耦合单元的概念给出了定义，并推导出各向同性和异性耦合单元的传递矩阵。 闻邦椿，顾家柳等旧总结了计算复杂转子系统临界转速、不平衡响应的其它方法， 如传递矩阵一分振型综合法、传递矩阵一直接积分法和传递矩阵一阻抗耦合法 等。 1 2 2 齿轮耦合转子系统动力学研究概况 齿轮藕合复杂转子系统是转予系统中最为复杂的一类。对系统动力学特性 的分析需要转子动力学、齿轮动力学和轴承动力学三方面的理论知识。目前对此 类问题的研究，国内外学者己作了一些工作，现简介如下： ( 1 ) 实验研究 s e i r e g 州通过实验研究了齿轮轴的涡动，给出了一个共振频率的计算式，但 没做理论上的分析。m i t c h e l l 和n e l l e n 嗍发表的实验数据表明，齿轮传动的高速 转子系统存在弯扭耦合振动，不考虑耦合影响的力学模型在设计时不能提供必要 的信息。 y 锄d a 在二级齿轮传动装置的蒸汽透平机组上发现了一种不同于普通油 膜涡动和油膜振荡的不稳定现象，认为是因滑动轴承自激振动和系统扭转振动共 同作用的结果，同时采用三自由度模型对系统作了计算，结果表明，系统的扭转 刚度对轴系的不稳定有很大的影晌。 4 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 耽c h e l “”在齿轮轴系中发现有不稳定的弯振与扭振共同发生的现象，指出弯 振与扭振之间可能存在能量交换，而齿轮传动在其中起了重要作用。 l a n n u z z e u i 【1 1 1 在研究压缩机组的齿轮转子系统时发现，所测得的固有频率只 能用系统耦合力学模型来验证，s i 咖o s “2 1 通过实验发现了迭加有一弯曲模态的扭 转模态。 s c h i b i n g e r f l ”通过实验与计算比较了耦合系统及无耦合系统的振动频谱。 l w a t s u b o 对齿轮转子系统作了噪声实验分析。 ( 2 ) 理论计算 l i d a “”研究了直齿轮轴系的弯扭耦合振动。他在分析轴系时，不考虑齿轮弹 性变形，认为齿轮为刚性接触，采用齿轮刚性接触的弯扭耦合力学模型。l i d a 计算了系统的横振模态以及耦合对系统固有频率的影响。结果表明，齿轮轴系的 振动是弯扭耦合振动，扭转参数对系统动力学特性有较大的影响。后来l i d a 进一 步研究了有齿轮传动的三轴系统，分析了两对齿轮传动处于不同布置位置时，齿 轮啮合线间夹角与系统临界转速的关系。 l u n d “”研究了直齿轮传动轴系的临界转速、稳定性和强迫振动响应。在分析 轴系时，考虑齿轮弹性变形，即如齿轮啮合刚度，系统采用齿轮弹性接触的弯扭 耦合力学模型。l u n d 文章的重要性在于提供了齿轮轴系弯扭耦合振动的分析方 法，但没有给出数值算例。 k a h r a 髓n “”用有限元法研究了直齿轮转子系统的动力学特性，考虑了两个横 振和一个扭振，分析了在不平衡和齿轮偏心误差的激振下转子系统的响应。系统 采用齿轮弹性接触的弯扭耦合力学模型。 n e r i y a 埘也用有限元法研究了齿轮轴系的弯扭耦合振动。l i m “”等用传递矩 阵法研究了滚动轴承支承的直齿轮转子系统的振动特性。 在国内，马红“”、夏伯乾和朱勤乜1 1 分析了齿轮耦合转子系统的振动特性， 讨论了弯扭耦合对系统固有频率、振型及稳定性的影响。系统中斜齿轮传动均采 用三维力学模型，含两个横振和一个扭振，未考虑齿轮误差、啮合阻尼和螺旋角 口对系统振动的影响。 李立噙1 也研究了齿轮耦合转子系统，作了两部分工作，首先分析了简单的齿 轮系统，考虑齿轮啮合刚度的时变和轴承的非线性，计算结果说明时变啮合刚度 对系统动力学特性影响不大；第二部分分析了某一d h 型压缩机，齿轮啮合刚度作 为定值，不考虑啮合齿侧间隙的影响。 n e v z a t 嘲等对齿轮动力学的研究做了详细的总结与回顾，主要是线性振动。 k a h r 鲫a n 1 建立了斜齿轮传动考虑横振、扭振、轴向振动和径向振动的四维力学 西北t 业大学硕士学位论文第一章绪论 模型，讨论了斜齿轮螺旋角卢对系统固有频率和不平衡响应的影响。卢对固有 频率影响较小，对振动响应的影响较大。 由文献资料分析可知齿轮传动使转子系统的弯扭耦合振动产生了耦合，振动 特性己不同于单转子系统。在考虑齿轮耦合作用时，系统采用各种模型之间的差 别是因齿轮传动采用不同的力学模型而产生的。齿轮传动在齿轮耦合复杂转子系 统动力学分析中起着重要作用，但对其研究大部分都是针对直齿轮传动，对斜齿 轮、锥齿轮的研究却较少，而斜齿轮与锥齿轮在齿轮传动中却有着非常广泛的应 用。所以对斜齿轮、锥齿轮传动转子系统的研究还远远不够。 1 3 本文主要工作 本文所做的主要工作： 1 对简单转子系统弯振和扭振分析的传递矩阵法做了细致的研究，讨论了 r i c c a t i 传递矩阵法的优点以及其出现的新缺点； 2 重点研究整体传递矩阵法的基本理论和计算过程，用r i c a t t i 奇点消除法 对r i c c a t i 传递矩阵法的余量方程进行改进，提出整体传递矩阵改进型r i c c a t i 法： 3 建立斜齿轮、锥齿轮传动的线性力耦合模型，推导出斜齿轮耦合单元和锥 齿轮耦合单元的耦合传递矩阵，将本文的方法应用于齿轮转子系统的分析计算。 对某航空发动机启动系统进行弯扭耦合振动分析，分析齿轮耦合对转子系统临界 转速及振型的影响； 4 以直齿圆柱齿轮传动的线性力耦合模型为例，推导出齿轮耦合转子系统不 平衡相应计算的计算公式及齿轮耦合单元的耦合传递矩阵，用本文方法分析齿轮 耦合作用对转子系统稳态不平衡响应的影响。 6 西北工业大学硕士学位论文第二章转子系统临界转速及振型的计算 第二章转子系统临界转速及振型的计算 转子系统运转时经常处于自身不平衡激振力的作用之下，当转子的固有频率 等于该激振力频率时即发生共振，机器振动剧烈。共振时转子的转速定义为临界 转速。转子在远小于或远大于临界转速下工作时，运转平稳，机器振动很小。 临界转速分析是转子支承系统设计中最重要的内容之一。临界转速计算的 准确可靠与否，取决于计算方法与模型。模型的建立与计算方法的选用又有一定 的联系。临界转速分析的主要目的，在于确定转予支承系统的各阶临界转速，并 按照经验或有关的技术规定，对转子的结构参数进行调整，使临界转速避开工作 转速。要较为准确的确定出转子系统的临界转速，首先必须选用一种合适的计算 方法，其数学模型和边界条件等尽可能符合系统的实际情况。原始数据( 如系统 治成的刚性系数、阻尼系数等) 的准确程度，也是影响计算结果准确度的重要因 素f 2 5 】。 临界转速计算的方法主要有两大类：传递矩阵法与有限元素法。传递矩阵 法以其计算时的优越性而成为目前较多采用的计算方法之一传递矩阵法起源于 2 0 世纪4 0 年代p r o h l 与h y 柚e s t a l d 分别对梁与机翼作弯曲振动分析时提出的逐站 推算法。传递矩阵法是解决转子动力学问题的一个有效方法，其特点是传递矩阵 的阶数不随系统的自由度的增加而增大，因此计算机程序简单，要求机器的存贮 单元少，节省机时。它的基本原理是依次建立转轴各截面上状态参数之间的传递 矩阵关系，并使之能满足各相应的边界条件，从而确定临界转速及相应的振型。 之后许多学者不断对此方法进行完善和发展，得出了计算精度较高，数值稳定性 更好的r i c c a t i 传递矩阵法。 2 1 转子系统弯振分析的传递矩阵法 传递矩阵法是应用最普遍的旋转机械振动分析的一种方法。它的基本原理是 依次建立转轴各截面上状态参数之间的传递矩阵关系，并使之满足各相应的边界 条件，丛而确定临界转速及相应的振型。 7 西北工业大学硕十学位论文第二章转子系统临界转速及振犁的计算 2 1 1 模型的建立 ( 1 ) 模型的简化 首先将实际的转子系统处理成为便于分析计算的简化模型。假设某转子一支 承系统包含有较细的轴、鼓筒状轴、叶轮、球头联轴节、滚动轴承与弹性支承等， 可以将它们简化成为相应的无质量弹性轴段、均质弹性轴段、集中质量站、旋转 轮盘站、质量弹簧站、活动球铰、刚性铰支等理想模型。无质量弹性轴段是没有 质量、只有弯曲刚度和剪切效应的均匀轴段；均质轴段除了具有弹性外，还具有 均匀分布质量；旋转轮盘站具有质量和转动惯量；弹性支承一般具有集中质量和 弹簧刚度。 ( 2 ) 分段原则 正确的模型与合理的分段是保证计算结果与实际相一致的前提。分段太粗 略，计算结果与实际相差会太大；如果分段过细，不仅增加计算工作量，而且有 时由于积累误差增加，反而使计算结果不准确。一般划分轴段、设站按如下原则： 1 ) 转子中具有较大集中质量处，如轮盘等，应设站： 2 ) 联轴器具有一定质量，而且不同的联轴器具有不同的抗弯特性，应设站； 3 ) 支承，无论是刚性铰支还是弹性支承，对转子均提供一定的约束，会改 变横截面内的状态参数，应设站； 4 ) 横截面具有较大变化处，不能再保持均质轴段或无质量弹性轴段的特性 参数不变，应断开，分段设站； 5 ) 较细长的等截面轴段，为保证模型的正确性，应适当分段，各分段问设 集中质量站。 2 1 2 轴段的传递矩阵 ( 1 ) 坐标系 图2 1 为轴段分析用的坐标系及参数定义。0 z 轴为转轴静止状态的轴线， 由左向右为正；鲫轴为转轴弯曲振动的横向位移，向上为正。礴由段由z 。到五， 记为f l 与f 截面，截面上的状态参数有位移五、置，转角吼一。、b ( 逆时针 方向为正) ，弯矩m 。、肘，( 使转轴发生正弯曲为正) 与切力q f 一。、q ( 使轴段 产生恢复力矩为正) 。在r d z 平面进行分析时，所规定的符号完全类似，只将相 应的x 向改为j ，向。 8 西北工业大学硕士学位论文 第二章转子系统临界转速及振璎的计算 d 图2 一l 坐标系及参数符号 ( 2 ) 无质量轴段的传递矩阵 若轴段的横截面尺寸相对较小，质量也比较小，可以将质量折合到两端质量 站，轴段本身成为无质量的弹性轴段，沿用图2 1 所示的坐标及符号，但 m 旦孥握：o ，若不计轴向力的影响，可写出如下的平衡与位移协调关系 a f 五= 五一i + 够。+ q 2 m q 。q ， j 只= 谚一，+ 口2 2 m 一一q ( 2 1 ) i 蝎=m 。+ 也。q f - l 4 i q = q 。 式中，吼。、口1 2 、口：l 、口2 2 为轴段的影响系数，由材料力学已知为 ，厦 2 面+ 盏 矾，：口，：旦 ( 2 2 ) 口1 2 硝2 l2 芝面 喵1 f 口2 22 面 、 式中，口为截面形状系数，对于圆形实心轴段取户= 1 0 ，9 ，空心薄壁轴段取 夕= 1 5 ；当不计剪切效应时，取夕= o a 将公式( 2 2 ) 代入公式( 2 1 ) ，可得 9 8 - 1 + 去m f _ t 膨。 + 刍乳 ( 2 _ 3 ) + ，q j - l 如 式中， ，= 6 e 猡6 w z 2 ，为剪切效应系数，若不计剪切效应，p = o ，v = o 。公 式( 2 3 ) 可写成矩阵形式如下： 孙 1， o1 oo o o ，2 2 e ， ， e i l o 。1孔 ， 上式中的方阵为无质量弹性轴段在无轴向力情况下的传递矩阵，记为 死= ，嘉岳。一谚2 e l6 e i 、 4 o1 上 旦 e i2 e i ool， oool 若轴段受到沿0 z 轴的力n 的作用，可导得 l = 1 ，嘉岳( 1 一d2 e f6 e i 、 。 o1 上旦 e i2 e i o 朋1 + 去，+ 葛( 1 一v ) o朋1 + l 一，+ 二二二- ( 1 一v ) 2 e l6 e i 、 。 0o0l ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 3 ) 轴段间的传递矩阵 从前一轴段的终止端，通过站，到后一轴段的起始端，状态参数的传递矩阵 取决于该站的性质。图2 2 表示常见的4 种站：集中质量站，轮盘站、弹性铰链 站与弹性支承站。 1 ) 集中质量站的传递矩阵 如图2 2 ( a ) 所示，通过质量为肌的集中质量站时，站的左右两侧截面上 的状态参数的关系为 1 0 m p一匾，争畚： 西北工业大学硕七学位论文第二章转子系统临界转速及振犁的计算 ( a ) 集中质量站 = 口+ a 丢骶 州- ：考静毗口 一稚1 盂= 埘 ( c ) 弹性铰链站( d ) 弹性支承站 图2 - 2 几种典型的站的状态参数关系 i x r ：x l l 矿= 矿 i 肼。= 肘 【矿= 扩+ 艘2 卧雕帽 乙= looo oloo oolo m q 2o01 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) l1i q f 旷 西北工业大学硕士学位论文第二章转子系统临界转速及振犁的计算 2 ) 轮盘站的传递矩阵 如图2 2 ( b ) 所示，由于轮盘不仅具有质量m ，而且具有转动惯量、以， 转动时产生了相对的陀螺力矩，其两侧截面上的状态参数之间的关系可表示为 写成矩阵形式为 x r = x l 口。= 口二 肌肌”罟扣蝴 q 。1 = 扩+ 脚q 2 才 1 o o 珊q 2 上式中的方阵即传递矩阵可表示为 乃= 薹 l0 oo o1oo o ( 1 一罟争厶q ：1 o 、 q 以7 4 小q 20o1 ( 2 1 1 ) ( 2 一1 2 ) 3 ) 弹性铰链站的传递矩阵 如图2 2 ( c ) 所示，无质量弹性铰链站具有一定的抗弯刚度，通过弹性铰 链站时，只能传递弯矩，m = g p ，其中g 为弹性铰链站的抗弯刚度系数。 由于弯矩的作用，通过弹性铰链站后，截面转角发生突变，增量为口。于是可 导出如下状态参数关系： 写成矩阵形式为 x l = x l 口：p + l m g( 2 1 3 ) m t = m l = 0 0 l 0 c ： 厶 o。以一厶。 万一c ： 一 西北工业大学硕士学位论文 第二章转子系统临界转速及振型的计算 矛 1o o1 0 o o o 式中方阵为弹性铰链的传递矩阵： 瓦= o l g l o 淮 looo 0l 1 g 0 o o lo o o0 1 ( 2 1 4 ) ( 2 一1 5 ) 4 ) 弹性支承站的传递矩阵 如图2 2 ( d ) 所示为具有横向刚度k 与角向刚度c 的弹性的支承。通过这 种弹性支承时，支承将产生相应的支反力r = 克r 与支反力矩肘。= g 口可以写 出弹性支承站两侧状态参数之间的关系为 写成相应的矩阵形式为 x i = x l p 。= 矿 ( 2 1 6 ) m i = c p + m l q 。= 一七y + q 才 l o o l o g 一_ | o 式中方阵为具有横向与角向弹性支承站得传递矩阵； 正= 1oo o 0loo 0 g 1o 一七 ool ( 2 一1 7 ) ( 2 1 8 ) 5 ) 广义站的通用传递矩阵 综合图2 2 的( a ) ( b ) 四种情况，可组成一广义站。这种广义站既包含 质量、转动惯量，又存在弹性铰链及弹性支承，于是可以写出通用的传递矩阵乙： “r。j x 毋m q =oooooo且 o o o 1 西北工业大学硕士学位论文第二章转子系统临界转速及振型的计算 l = 1 o o 肌q 2 一七 o l g + j n 2 o 2 1 3 临界转速及振型的计算 o0 1 ，q o lo o1 ( 2 一1 9 ) ( 1 ) 边界条件 作为转子一支承系统分析模型的边界条件，是指起始( 左端) 与终止( 右端) 的截面状态参数，它们取决于该站的约束条件。一般有自由端、刚性铰支端、刚 性固持端、弹性支承与外伸盘端。表2 一l 列出此5 种边界情况对应的状态参数及 必须满足的条件。 表2 一l 各种边界情况的条件 边界情况必须满足的条件状态参数 自由端膨= o ，q = o i x 口oo 】r 刚性铰支x = o ，肼= o 【o 口。西 刚性固持x = o 。p = o 【oo 膨q j r 弹性支承肘= o ，q = 一肠 防口。一材r ! ! 竺垄竺三竺：! ：里三竺竺：兰区皇堡：! 竺璺：墨! 由于各种不同的边界情况应满足的条件是不同的，为了使计算程序简单化， 可以一律采用自由端，必须满足的边界条件恒为m = o ，q = o 。当实际系统边 界不是自由端时，可人为加上虚拟的无质量轴段，使起始端与终止端恒为自由端。 ( 2 ) 频率方程 转子一支承系统右端( 终止端) 的状态参数可以用传递矩阵表示成为其左端 ( 起始端) 的状态参数的函数，即 x 占 m q = 正 x ：f 毋 q 。i 孔冉巧 q j 。 x 1 口i 。1 ( 2 2 0 ) 肘l qj 0 总传递矩阵r 为各综合轴段传递矩阵z 一次的乘积，仍然是4 4 方阵： 1 4 r j j o 1j x 口m q 西北工业大学硕士学位论文第二章转子系统临界转速及振犁的计算 r = ( 2 2 1 ) 已经规定左右两端均为自由端，即 坂= o ，q = o ，峨= o ，g = 0 于是，由式( 2 2 0 ) 可写出如下两个方程式： 托2 互一五+ 互：岛2 0( 2 2 2 ) 【q ：= 五。五+ 互2 岛= o 当转子一支承系统振动时，蜀与岛不能同时皆为零，因此，满足方程( 2 2 2 ) 的非平凡解为其系数行列式为零，即： 臣扣， ( 2 2 3 ) 这便是无中间球铰、无中间刚性铰支的转子一支承系统求解临界转速的频率 方程。元素乃包含了各综合轴段有关的几何，物理参数及运动参数，其中仅固有 频率q 为未知参数。因此，解频率方程可求得系统的各阶临界转速。 ( 3 ) 频率方程的解法 频率方程( 2 2 3 ) 是频率q 的2 h 阶方程式，一般是不可能直接求解的，通 常采用试算法，或采用频率扫描法。 假定一个频率值q ，可算出一个行列式余值l ，再假定另一个频率值q ：， 可算得另一个行列式余值厶，依次 类推。当行列式余值为零即= o 时，则所对应之频率q ，便是系统的 固有频率。为此可在规定的频率范 围内，由下限频率开始，按定的 频率步长，计算行列式的余值，直 到上限频率为止。行列式余值随频 率的变化如图2 3 所示，是一条光 滑的正负交替的曲线。在行列式余 值由正变负的频率间隔中，必然存 在一个频率，正好使行列式余值为 零，即固有频率。在行列式余值变 1 n 甜 q q ! q ： q 在段，系统i 和通过弹簧屯连接在一起，可以写出3 截面和2 截面状态 矢量之间的关系为 乞；矿；屯；矿 茎 2 c s 以4 ， lo0 l i 而l，、 一屯1 屯一鸭21 1 最l 一一 0 0l | i 屯j ， | ：降 在段，可以得到 f e ll 一鸭矿 ”睢 掴， oo oo l 一2 o11 | j 根据传递矩阵的思想，由式( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 可得 2 3 、。l，。l e 墨e 而 o o 0 1 为 一不o o 傀， 拣o o 。鸭 可o l o o l 他o o 一 一 l o o o _。l = 、。、，。l 届毛最屯 ，、，l o o ，惕 o 1 o o 西北工业大学硕+ 学位论文 第三章整体传递矩阵改进型r i c c 撕法 。一等+ 竺字一+ 华 屯 毛 。1。1 一” 岛 7 丢+ 三+ 掣1 + 娅 毛也毛如 屯 一鲁。一争刈一争 一玉 屯 毛毛屯 一冬。一学 一玉 屯岛 。一生+ 竺：! ：竺：兰：! 屯 三+ 土+ 生二垫生 吒( 1 一掣呜 屹 t 岛 屯一一( 1 + 半) 1 + 蔓二塾竺： ( 3 1 7 ) 根据截面1 和截面5 处的边界条件，可得到这个四自由度系统的频率方程为 一丝兰：竺! ：兰：! 岛与 一扣争一警+ = o ( 3 1 8 ) 令d 2 等于式( 3 - 1 8 ) 中行列式的值。对于任意的国恒有 d l = 毛屯岛d 2 ( 3 1 9 ) 所以对于此四自由度弹簧振子系统，矩阵法和传递矩阵法必然是同解的。 用传递矩阵法来求解这一系统的固有振动频率时，、和段处理方法与 一般的传递矩阵是一致的，只不过是把两个二自由度系统i 和i i 的状态矢量的传 递写在了一起。但在处理段时，两个二自由度系统的状态矢量的传递出现了耦 合，这与一般传递矩阵法是不同的。 西北工业大学硕士学位论文第三章整体传递矩阵改进璎r i c c a t i 法 在上面这个例子里，我们把两个二自由度系统的状态矢量写在一起，同时从 一端向另一端传递：把振动耦合部分处理为一个单元耦合单元，分叉处( 弹簧 t 将两个二自由度系统连接在一起) 的平衡方程或变形协调条件隐含在耦合单元 的传递矩阵中；统一处理整个四自由度系统的边界条件，得到频率方程。把这一 思想加以发展，就得到了计算结构振动的整体传递矩阵法。本文主要讨论应用于 转子系统振动的整体传递矩阵法。 3 1 。3 多转子系统的耦合矩阵 如图3 - 2 所示，i 转子和i i 转子弹性连接，其线刚度为k ，力矩刚度为毛。 假设耦合点在第f 站，在此站分别研究i 转子和i i 转子的受力，根据力得平衡， 列出各自的协调方程。 置。( 口，；口? ) i 转子 写成矩阵形式为 r ) m pr f n 妒 q ? “i 酽 置( x 尸一x ? ) k 。旧? 一e ；) 肘严( ，f 囝n 卵 q 严lq 严 k ( 工，一z ? ) 图3 - 2 双转子耦合单元 霉= 式 酽= 铲 m = m 一k 、雠一谚、 鲈= 鲈十k ( 砰一# ) 燮一 ( 县 西北工业大学硕七学位论文 第三章整体传递矩阵改进型黜c c a l i 法 i i 转子 阿 写成矩阵形式为 世 阿：睦 纠匕 将式( 3 2 0 ) 与式( 3 - 2 铲= 母 酽= 铲 m p = m + k 。研一谚、 q 严= q 严一置( # 一z ) 1 ) 合并为 l0 0l o 一k0 oo oo 0 一墨 置o 同理可推出三转予、四转子甚至更多转子的耦合矩阵。 2 6 ( 3 - 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 一伊胁g p 舢伽驴 们叫引以 o o o