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昆明理工大学硕士研究生学位论文变精度模糊粗糙集模型 摘要 粗糙集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最 初是由波兰数学家p a w l a k 【1 1 于1 9 8 2 年提出的。目前，对粗糙集理论的研究主要 集中在：粗糙集的模型的推广，问题的不确定性的研究，与其他处理不确定性， 模糊性问题的数学理论的关系与互补，纯粹的数学理论方面的研究，粗糙集的算 法研究和人工智能其他方向关系的研究等，这些研究有的是受应用酌推动而产生 的，有的是纯理论的。 粗糙集理论的中心问题是分类分析，p a w l a k k i 粗糙集模型的一个局限性是它 所处理的分类必须是完全正确的或肯定的，因为它是严格按照等价类来分类的， 因而它的分类是精确的，亦即“包含”或“不包含”，而没有某种程度上的“包 含”或“属于”。基于此1 9 9 3 年z i a r k o 提出了变精度粗糙集模型弥补了这种局限。 然而，在人们的实际生活中，涉及更多的是模糊概念和模糊知识。反映在粗糙集 模型中主要有两类，一类是知识库的知识是清晰的而被近似的概念是模糊的，另 一类是知识库的知识和被近似的概念都是模糊的。本文就知识库的知识是清晰的 而被近似的概念是模糊的情形进行了研究，得出交精度模糊粗糙集模型。为了便 于直观的理解及模型的推广，用错误分类率来表示z i a r k o 变精度粗糙集模型有它 的不便之处，于是本文提出了多数包含度的定义。然后，将变精度粗糙集模型用 多数包含度来表示，并且研究了它的约简与核。接下来，运用模糊集合的表现定 理将被近似的集合由经典的情形推广到了模糊的情形，得出变精度模糊粗糙集模 型，且研究了它的性质、近似相等及模糊相似信息下约简的计算。 关键词：粗糙集模糊集变精度粗糙集变精度模糊粗糙集 i i 昆明理工大学硕士研究生学位论文变精度模糊粗糙集模型 a b s t r a c t r o u g hs e t st h e o r ya c c u r a t eu n c e r t a i nw i t hc o m p l e t en e wm a t h e m a t i c st h e o r yo f d a t u ma so n et r e a t m e n t , p u tf o r w a r di n1 9 8 2b yt h ep o l i s hm a t h e m a t i c i a np a w l a ka t f i r s t a tp r e s e n t ，c o n c e n t r a t eo nt h er e s e a r c ho fr o u g hs e t st h e o r ym a i n l y ：t h e p o p u l a r i z a t i o no ft h em u 曲s e t s m o d e lc o l l e c t e d ，t h eu n c e r t a i n t yr e s e a r c ho ft h e p r o b l e m w i t h o t h e rt r e a t m e n t u n c e r t a i n t y , f u z z y m a t h e m a t i c sr e l a t i o na n d c o m p l e m e n t a t i o no f t h e o r i e so f q u e s t i o n s ，t h er e s e a r c ho f t h ep u r em a t h e m a t i c st h e o r y , r o u g hs e t sr e s e a r c ha n dr e s e a r c ho ft h ea r t i f i c i a li n t e l l i g e n c eo t h e rd i r e c t i o n sr e l a t i o n t h a tc o l l e c t ，e t c ，s o m eo f t h er e s e a r c hi sb yt h ep u s ht h a ti su s e di sp r o d u c e d ，s o m eo f p u r et h e o r i e s t h ec e n t r a li s s u eo fr o u g hs e t st h e o r yi st oc l a s s i f ya n a l y s i n g ，al i m i t a t i o no f p a w l a kr o u g hs e t sm o d e li st h a tt h ec l a s s i f i c a t i o nw h i c hi td e a l sw i t hm u s tb et o t a l l y c o r r e c to rd e f i n i t e ，b e c a u s ei tc l a s s i f i e da c c o r d i n gt ot h ee q u i v a l e n c e ss t r i c t l y , s oi t s c l a s s i f i c a t i o ni sa c c u r a t e ，n a m e l y ”i n c l u d e ”o rn o t ”i n c l u d e ”，b u tt h eo n et h a td o e s n o th a v et oac e r t a i ne x t e n t ”i n c l u d e s o r ”b e l o n g st o ”h a v ep r o p o s e dt u m i n gi n t o t h ev a i r a b l ep r e c i s i o nr o u g hs e t sm o d e lb yz i a r k oa n dr e m e d y i n gt h i sk i n do f l i m i t a t i o ni n1 9 9 3 h o w e v e r , i np e o p l e sa c t u a ll i f e ，i ti sm o s t l yf u z z yc o n c e p ta n d f u z z yk n o w l e d g et h a ti n v o l v e r e f l e c ti nr o u g hs e t sm o d e lf o rt w o ，o n ek n o w l e d g eo f k n o w l e d g eb a s ef u z z yt h ea p p r o x i m a t ec o n c e p t ，a n o t h e rk n o w l e d g eo fk n o w l e d g e b a s ea n df u z z yt h ea p p r o x i m a t ec o n c e p t t h i st e x tt h a tt h ef u z z yc o n c e p th a sb e e n c a r r i e do nr e s e a r c ht h ea p p r o x i m a t ec o n c e p to fk n o w l e d g eb a s e ，d r a wv a i r a b i e p r e c i s i o nf u z z yr o u g hs e t s f o ro c u l a ru n d e r s t a n d i n ga n dp o p u l a r i z a t i o no fm o d e l ，i n v a i r a b l ep r e c i s i o nr o u 【出s e t sb yz i a r k oh a v ei n c o n v e n i e n tp l a c eo fi tt os h o w , t h e n t h i st e x th a sp r o p o s e dt h e m a j o r i t yi n c l u d e st h ed e f i n i t i o n ，o fd e g r e e t h e n ，t u r n p r e c i s i o ni n t or o u g hs e t sm o d e li n c l u d ed e g r e ei s i ts a y 、i 也m a j o r i t y a n ds t u d yt o r e d u c t sa n dc o r e a n dt h e n ，u s et h et h o e r yo ft h e 昀s e tt ob ep o p u l a r i z e dt ot h e f u z z ys i t u a t i o nf r o mt h e c l a s s i c a l s i t u a t i o nb ya p p r o x i m a t es e t s ，d r a wv a i r a b l e p r e c i s i o nf u z z yr o u g hs e t sm o d e l s ，a n dt h en a t u r eo fs t u d y i n gi t ，a p p r o x i m a t ee q u a l a n dt h er e d u c t so f f u z z ya p p r o x i m a t l yi n f o r m a t i o n a ls y s t e m k e yw o r d s ：r o u g hs e t s ，f u z z ys e t s ，v a i r a b l ep r e c i s i o nr o u g hs e t s ，v a l r a b l ep r e c i s i o n f u z z yr o u g hs e t s i i i 昆明理工大学硕土研究生学位论文 变精度模糊粗糙集模型 前言 租糙集理论是1 9 8 2 年由波兰数学家p a w l a k f l 】首先提出的处理不确定性知识 的数学理论，经过2 0 多年的研究和发展，已在理论和应用上日趋完善，随着研 究的不断深入，粗糙集理论与其它数学分支的联系也更加紧密，并且得出了一些 相关的新的粗糙集模型，如与模糊集结合得出模糊粗糙集模型，粗糙集的隶属函数 等与概率论结合得出概率粗糙集模型等。p a w l a k 租糙集模型的一个局限性是它 所处理的分类必须是完全正确的或肯定的，因为它是严格按照等价类来分类的， 因而它的分类是精确的，亦即“包含”与“不包含”，而没有某种程度上的“包 含”或“属于”。于是1 9 9 3 年z i a r k o 提出了变精度粗糙集模型，更加完善了粗糙 集理论。粗糙集理论和模糊集理论是两种处理不确定性的数学工具，在租糙集理 论中，模糊性是集合的性质，它是由集合的边晃域所弓i 起的，而不确定性是隽合 元素的性质，它与粗糙隶属函数有关。模糊集理论是用隶属函数来处理集合的模 糊性，而基本的隶属函数是凭经验或由专家给出，所以主观性太强，会导致不确 定性。而粗糙集理论采用上、下近似来处理集合的模糊性，无需任何先验信息， 完全由数据决定，更具有客观性。但是在粗糙集理论中，我们所接触的知识或概 念都是确定的、不模糊的，然而在实际生活中，人们所涉及的知识或概念往往是 模糊的不确定的，模糊粗糙集模型正是解决这个问题的一种有效手段j 本文在目前对变精度粗糙集模型研究的基础上，介绍了多数包含度的概念。 并用它来表示变精度粗糙集模型，且讨论了它的区分函数及约简与核的计算。接 下来引入了模糊集合的截集的定义，进一步由表现定理引出了变精度模糊粗糙集 模型的定义，同时讨论了它的性质、近似相等及模糊相似信息下约简的计算。最 后是结束语，指出了以后的研究方向。 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：羲眷娥 日 期：矽噼年加月刀日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：丝亟起论文作者 日 签名：芬杏獭 2 军坐丝一掣星 昆明理丁大学硕i ：研究生学位论文 变精度模糊瓤糙集模型 第一章绪论 1 1 粗糙集理论研究概述 粗糙集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最 初是由波兰数学家p a w l a k f l l 于1 9 8 2 年提出的。由于最初关于粗糙集理论钓研究 大部分是用波兰语发表的，因此当时没有引起国际计算机学界和数学界的重视。 研究地域也仅局限在东欧一些国家。直到2 0 世纪8 0 年代未才逐渐引起各国学者 的注意。近几年来，由于它在机器学习与知谚 发现扛”、数据挖掘【4 ”、决策支持 与分析1 6 , 7 , s 1 等方面的广泛应用。研究逐渐趋热。 粗糙集理论是建立在分类 2 5 1 机制的基础上的，它将分类理解为在特定空间 上的等价关系，而等价关系构成了对该空间的划分。粗糙集理论将知识理解为对 数据的划分，每一个被划分的集合称为概念。粗糙集理论的主要思想是利用已知 的知识库，将不精确或不确定的知识用已知的知识库中的知识来( 近似) 刻画。 该理论与其他处理不确定和不精确问题理论的最显著的区别是它无需提供问题 所需处理的数据集合之外的任何先验信息，所以对问题的不确定性的描述或处理 可以说是比较客观的，由于这个理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机 制，所以这个理论与概率论，模糊数学和证据理论等其他处理不精确或不确定问 题的理论有很强的互补性。 粗糙集理论的研究由于其历史较短，所以至今为止，对粗糙集的概念的定义 观点还没有完全统一，种就是原始的p a w l a k ”l 意义下的，也有由上、下近似 构成的一对集合来命名的1 9 1 ，还有以下近似和上近似构成的区间集( 集合类) 来 定义的】，定义观点的不同往往带柬研究的侧重面的不同。目前，对粗糙集理 论的研究主要集中在：粗糙集的模型的推广，问题的不确定性的研究，与其他处 理不确定性，模糊性问题的数学理论的关系与互补，纯粹的数学理论方面的研究， 粗糙集的算法研究和人工智能其他方向关系的研究等，这些研究有的是受应用的 推动而产生的，有的是纯理论的。 1 1 1 糨糙集模型的推广 p a w l a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向，目前主要有 两种方法：( 1 ) 构造性方法：( 2 ) 代数性( 公理化) 方法。 ( 1 ) 构造性方法是对原始p a w l a k 粗糙集模型的一般推广，其主要思想是从 给定的近似空问出发去研究粗糙集和近似算子。它是以论域上的二元关系或布尔 子代数作为基本要素的，然后导出租糙集代数系统( 2 “，u ，f - 1 ，a p t ，a p r ) 。 昆叫理工火学烦一研究生学位论文变精度模糊租糙集模型 这种方法所研究的问题往往来源于实际，所建立的模型有很强的应用价值，其主 要缺点是不易深刻了解近似算子的代数结构。 在p a w l a k 粗糙集模型中有三个最基本的要素：一个论域u ，u 上的一个二 元关系r ( 或划分) ( 它们构成了近似空间) ，一个被近似描述的( 经典) 集合x ， 也称为专家概念。这样，推广的形式主要也有三个方向，即从论域方向、关系方 向( 包括近似空间) 和从集合方向。 从论域方向推广的目前只有种，就是双论域的情形】。当然这时的二 元关系就变成为两个论域迪卡尔乘积的一个子集。 关系的推广：一种是将论域上的二元等价关系推广成为任意的二元关系得 到了一般关系下的粗糙集模型2 】、相似关系下的粗糙集模型m 1 、模糊关系下的 粗糙集模型等等；另一种是将对象x 所在的等价类看成是x 的一个领域，从而推 导出了基于领域算子的粗糙集模型1 1 0 1 ；也有将出关系导出的划分推广成为一般 的布尔子代数的，以此出发去定义粗糙集和近似算子的m 】：更一般的有将普通 关系推广成模糊关系或模糊划分4 1 1 5 1 1 6 0 7 1 而获得模糊粗糙集模型。 将集合和近似空间进行推广。这一类的推广是与其他处理不确定，不精确 或模糊的知识( 如概率论、模糊数学、信息论、证据理论等) 结合起来进行研究 的。 ( 2 ) 代数方法也称为公理化方法，有时也称为算子方法，这种方法不是以二 元关系为基本要素，它的基本要素是一对满足某些公理的一元( 集合) 近似算子 工。：2 “- - f f2 “，即粗糙代数系统( 2 “，u ，n ，日) 中近似算子是事先 给定的。这种方法研究的明显优点是能够深刻地了解近似算子的代数结构，其缺 点是应用性不够强。 近似算子的某些公理能保证有一些特殊类型的二元关系的存在，使得这些关 系能够通过构造性方法产生给定的算子；反过来，由二元关系通过构造性方法导 出的近似算子一定满足某些公理，使这些公理通过代数方法产生给定的二元关 系。 公理化方法的研究一开始只局限于等价关系相应情形，后逐渐发展到一般关 系下的粗糙集系统 f 8 , 1 9 i 。至今为止，对于p a w t a k 粗糙代数系统，即公理与二元 等关于公理化方法的粗糙理论研究大多局限于经典集情形，对于模糊集情形虽有 讨论”，但比较少。 1 1 2 不确定性问题的理论研究 粗糙集理论中知识的不确定性主要出两个原因产生的：一个原因是直接来自 昆j ! i j 挫工大学硕：b 研究生学位论立变精度模糊捌糙集模型 于论域上的二元关系及其产生的知识模块，即近似空间本身，如果二元关系产生 的每一个等价类中只有一个元素，那么等价关系产生的划分不含有任何信息。划 分越粗，每一个知识模块越大，知识库中的知识越租糙，相对于近似空间的概念 和知识就越不确定。 捐糙集理论中知识不确定性的另一个原因来自于给定论域里粗糙近似的边 界，当边界为空时知识是完全确定的，边界越大，知识就越粗糙或越模糊。 1 1 3 于其他处理不确定性方法的理论研究 在粗糙集理论与其他处理模糊性或不确定性方法的理论研究中，主要集中在 它与概率统计、模糊数学、d s 证据理论和信息论的相互渗透与补充。 1 - l ，4 算法的研究 稻糙集理论中有效算法研究是粗糙集在人工智能方向上研究的一个主要方 向。目前，粗糙集理论中有效算法研究主要集中在导出规则的增量式算法，约简 的启发式算法，粗糙集基本并行算法。以及与粗糙集有关的神经网络与遗传算法 等f 2 。这些研究的成功应用有的已经获得了商业价值。 1 1 5 与其他数学理论的联系 对粗糙集理论的研究的不断深入，与其他数学分支的联系也更加紧密。例如， 从算子的观点看耦糙集理论，与之关系较紧的有拓扑空间、数理逻辑、模态逻辑、 格与布尔代数、算子代数等；从构造性和集合的观点柬看，它与概率论、模糊数 学、证据理论、图论、信息论等联系较为密切。租糙集理论研究不但需要以这些 理论作为基础，同时也相应地带动这些理论的发展。 1 2 模糊集理论研究概述 随着时代的前进和科学的深化。特别是计算机的出现和普遍使用，科学对象 中的确定性与不确定性之间的矛盾同益突出。精确性是经典数学的最重要特征之 一，而现实生活中的不确定现象比比皆是，推动着不确定性研究的发展。不确定 性主要表现在两个方面，一是随机性，二是模糊性。随机性是出于事物的因果关 系不确定所造成的，它是概率分析、设计等所研究的范畴。模糊性则是事物本身 的边界不清楚所造成的，它既在质上没有确切的含义，在量上也没有明确的界限。 为了适应研究和处理模糊现象和模糊信息的需要，几经周折和人们多方探索，模 糊数学终于破土而出。 1 9 6 5 年a ，z a d e h 的刀= 创性论文“模糊数学”( f u z z ys e t s ，i n f o r m a t i o na n d c o n t r 0 1 ) 的发表，创造了讨论研究模糊不确定性问题的数学方法模糊数学。、 在该论文中所提出的模糊集合是对1 9 世纪末c a n t o r 提出的集合理论( 对集合a 昆蜗理工大学硕士研究生学位论文 变精度模糊粗糙集模型 和某具体对象a ，口a 与口仨a 有且仅有一个成立) 作了有益的推广。3 0 多年来， 模糊数学受到了各个方面的高度重视。在数学理论( 如拓扑学、逻辑学、测度论 等) ，应用方面( 如中长期气象预报、成矿预测、良种选择、故障诊断等) 诸多 方面都取得了很多有意义的成果，模糊意识正向各个领域渗透。 1 3 模糊集与粗糙集的比较 2 7 - 3 0 1 模糊理论是美国计算机与控制专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出的刻划模糊现 象或模糊概念的数学理论。所谓的模糊现象和模糊概念就是没有严格的界限划分 而使得很难用精确的尺度来刻划的现象和概念。粗糙集理论是八十年代初由波兰 数学家p a w l a k 首先提出的处理不确定知识的数学理论，它能有效的分析和处 理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜 在的规律。模糊理论和粗糙集理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了 经典集合论，它们都可以用来描述知识的不精确性和不完全性。然而，它们的侧 重面不同。从知识的粒度上来看，模糊集主要着眼于知识的模糊性，而粗糙集着 眼于知识的拳日糙性；从知识描述的方法上来看，模糊集是通过对象关于集合的隶 属程度束近似描述的，而粗糙集是通过个集合关于某个已知的可利用的信息库 ( 即近似空问) 的一对上、下近似来描述的；从集合的对象间的关系来看，模糊集 强调的是集合边界的病态定义，即边界的不分明性，与元素和集合的关系相联系， 是经典集合论中属于和不属于关系的推广，而粗糙集强调的是对象间的不可区分 性，与集合上的等价关系相联系，是经典集合引入等价关系而得出的近似。模糊 集合可看作是边界不清晰的集合，而粗糙集可看作是对象描述不清晰的集合；从 研究的对象来看，模糊集研究的是属于同一类的不同的对象的隶属关系，重在隶 属程度，而粗糙集研究的是不同类中的对象组成的集合之间的关系，重在分类。 虽然模糊理论和粗糙集理论特点不同，但它们之间有着很密切的联系，有很强的 互补性。 1 4 变精度粗糙集理论概述 粗糙集理论的中心问题是分类分析，p a w l a k1 1 1 粗糙集模型的一个局限性是 它所处理的分类必须是完全正确的或肯定的，因为它是严格按照等价类来分类 的，因而它的分类是精确的，亦即“包含”或“不包含”，而没有某种程度上的 “包含”或“属于”。p a w l a k 粗糙集模型的另一个局限性是它所处理的对象是 已知的且从模型中得到的所有结论仅仅适用于这些对象集。但在实际应用中，往 往需要将一些小规模的对象集中得到的结论应用到大规模的对象集中去。而 z i a r k o 于1 9 9 3 年提出的变精度粗糙集模型1 2 1 1 ( v a r i a b l e p r e c i s i o nr o u g h s e t m o d e l ) 昆f 刿理t 人学坝l ：研究生学位论立变精度模糊h i 糙集模型 是p a w l a k 粗糙集模型的扩充，它是在基本粗糙集模型的基础上引入了 ( o 卢 五j 称爿，为a 的五一强截集。 定理1 5 1 1 ”1 ( 分解定理) 设u 是论域，v a f ( u ) ，都有a ( x ) = v 2 e 0 , 1 五以( z ) 1 5 5 模糊粗糙集模型2 2 1 模糊粗糙集模型是将p a w l a k 粗糙集模型中的知识推广到模糊的不确定的情 形。设( u ，r ) 是p a w l a k 近似空间，即r 是论域u 上的一个等价关系， v a f ( u ) ，定义模糊集合a 关于( u ，r ) 的下、上近似的隶属函数分别为 4 ( x ) = i n f a ( y ) j y i x a ( x ) = s u p a ( y ) f y “x 】 其中 z 】为元素工在巷系r 下的等价类，若= a ，则称a 是可定义的，否则称爿 昆l 封理工人学颤 ：磷 j t 生学位逄文 垒精度横糊瓤糙集模墅 是模糊粗糙集，称是彳关于( u ，r ) 的正域，称一一是a 关于( u ，r ) 的 负域，称( ) n j 为a 的边界域。( x ) 可理解为对象工肯定属于模糊集合4 的 隶属程度；a ( x ) 可理解为x 可能属于模糊集a 的隶属程度。 1 5 。6 精度、租糙度及近似质量 粗糙集的不可定义性( 不确定性) 是由于粗糙集x 的边界不确定引起的。集 合的边界区域越大，其确定性程度就越小。我们可以用集合x 的精度和粗糙 度这两个概念来描述粗糙集x 的不确定性程度 定义1 5 1 设集合是论域u 上的一个粗糙集，r 为u 上的一个等价关系， 定义其精度为 a ( x ) = i 星xj 1r x i 出此可见。粗糙集的精度是一个区间 0 。1 上的实数，它定义了粗糙集x 的 可定义程度，即集合x 的确定度。 定义1 5 2 1 2 4 1 设集合x 是论域u 上的一个粗糙集，胄为f u 上的一个等价关 系，定义其的粗糙度为 p ( x ) = 1 一口( x ) 戈的糨糙度与精度恰恰相反，表示的集合x 的知识的不完全程度。 定义1 5 3 设集合x 是论域u 上的个粗糙集，r 为u 上的一个等价关系， 定义x 的近似质量为 r ( x ) = i 丛i 1 u l 从近似质量的定义可以看出，它是表示在等价关系胄下将u 中的对象确切分 类到鼻中的集合在论域u 中所占的比例。 定义1 5 3 设论域u 中的集合族，= 扛l ，一，以) ，r 为u 上的等价关系， 则定义该集合族的分类精度为 n ，“ d ( ，) ：( l 肛r ) ( z j 取j ) j = 1，= l 定义1 5 4 设论域u 中的集合族f = 讧l 一，也 ，r 为u 上的等价关系， 则定义该集合族的分类质量为 n， ，( ，) = 掣m u l i - i， 定义l ，5 5 1 设集合x 是论域u 上的一个粗糙集，r 为上的一个等价关 系，尸为条件属性，9 为决策属性，定义集合x 的一近似质量为 r ( p ，g ，) = fp o s ( p ，q ，卢) i iu 昆嘲理t 大学硕士研究生学位论文变精度模糊机糙集横型 其中p o s ( p ，q ，) = u “，o ! 口x 。 1 6 变精度粗糙集模型的引入 在z i a r k o 提出的变精度粗糙集模型中是用错误分类率来表示变精度粗糙集 模型的，相对于本文所定义的多数包含度来说，错误分类率在直观上不好理解， 且将变精度粗糙集推广到变精度模糊糯糙有它的不便之处。 1 7 本文知识结构。 本文共分为四个部分，第一部分简要介绍了粗糙集、模糊集、变精度粗糙集 的理论研究概述及相应的预备知识。第二部分从原始的变精度粗糙集着手，用多 数包含度来刻划了变精度粗糙集模型，并给出了其相应性质、区分函数、约简与 核的计算。紧接着，第四部分将变精度粗糙集模型推广到变精度模糊粗糙集模型， 给出了它的定义、性质及模糊相似信息系统的约简。最后，给出了今后的研究方 向。 昆r 5 j j 3 i j 大学硕1 一甜f 究生学位诒文 变精度模糊* l 裢集横型 其中p o s ( p ，q ，卢) = t o “w p x 。 1 i6 变精度粗糙集模型的引入 在z i a r k o 提出的变精度粗糙集模型中是用错误分类率来表示变精度粗糙集 模型的，相对于本文所定义的多数包含度来说，错误分类率在直观上不好理解， 且将变精度粗糙集推广到变精度模糊耜糙有它的不便之处。 1 7 本文知识结构 本文共分为四个部分，第一部分简要介绍了粗糙集、模糊集、变精度粮糙集 的理论研究概述及相应的预备知识。第二部分从原始的变精度粗糙集着手，用多 数包含度柬刻划了变精度粗糙集模型，并给出了其相应性质、区分函数、约简与 核的计算。紧接着，第四部分将变精度粗糙集模型推广到变精度模糊籽糙集模型， 给出了它的定义、性质及模糊相似信息系统的约筒。最后，给出了今后的研究方 给出了它的定义、性质及模糊相似信息系统的约简。最后，给出了今后的研究方 向。 昆叫删工大学删士研究生学位论文变精度模糊暂i 糙集模型 第二章包含度下的变精度粗糙集模型 变精度粗糙集模型是z i a r k o 于1 9 9 3 年提出的，该模型是引用错误分类率来 表示论域u 中集合的近似集，为了便于理解及模型的推广，本章将用多数包含 度来表示经典的变精度粗糙集模型。 2 1 包含度的定义及其性质 设爿和y 表示有限论域u 的非空子集，若对每一个x x ，有x y 则称 包含于y ，记作x y 。令 广j n y l x p 0 盯肖 n2 1 i x l ：0 其中川表示集合( ) 的基数，称盯( x ，y ) 为集合在集合y 中的包含度， 即集合并中的元素包含于集合y 中且占本身的比例为o - ( x ，y ) 1 0 0 ，真正 的集合x 包含于集合y 中的元素个数为盯( x ，y ) fxl ，称o - ( x ，y ) x l 为绝对 包含。 令( o ，l 】，包含度定义为 口 y a ( x ，j ，) 称盯( x ，y ) 为p 包含度，若p ( o 5 ，l 】则称盯( x ，y ) 为多数包含度：在此“多 数”隐含着集合x 与集合y 中的公共元素个数大于中元素个数的5 0 。 显然，( 1 ) x y 当且仅当p = l 。 ( 2 ) o - ( x ，y ) + c r ( x ，一y ) = 1 。 由包含度的定义易证如下两个定理： 88 定理2 1 1 如果v 彳，b u ，p ( a 1 】，且anb = 中，x c a ，则x 互b 不 成立。 岛凸 定理2 1 2 如果明，履( o ，1 】，且届, e 2 ，则x c y 蕴涵彳j ，。 2 2 包含度下的变精度粗糙集 变精度粗糙集模型是z i a r k o 于1 9 9 3 年提出的，其基本思想是从实际应用 的角度出发允许分类有一定程度的错误( 利用错误分类率定义上、下近似) ， 这种模型是p a w l a k 粗糙集模型的扩充。一方面它完善了近似空间的概念，另 方面也有利于用粗糙集理论从认为不相关的数据中发现相关数据。我们这旱将 9 昆明理t 夫学硬1 研究生学位论文变精度模糊聿u 糙集模型 z i a r k o 提出的变精度粗糙集模型用多数包含度来表示。 定义2 2 1 设( u ，r ) 为近似空间，其中论域u 为非空有限集合，r 为u 上的等价关系，对于给定的参数f l ( o 5 l 一 ， 定义x 的口边界域为 b n r p ( x ) = u 【x u r 1 1 一 盯( x 】，x ) 芦 ， 定义x 的口负区域为 n e g r p ( x ) = u 【叫u ri 盯( 【石】，x ) l 一 ， 集合x 的夕f 区域( 或x 的声下近似) 可理解为将u 中的对象以大于声的 多数包含度分于x 的集合，的负区域相应理解为将u 中的对象以大于口的多 数包含度分于的补集( x ) 的集合。后者的解释可由以下定理给出。 定理2 2 。l 对于专w 量u ，( 0 5 ，1 】，下列关系式成立： p o s r p ( x ) = n e g r f ( x ) ， 其中x = u j 。 z 的边界域是由大于露的多数包含度既不能分类于x 又不能分类于x 的 u 中对象所构成的集合。 如果b n r b ( x ) = ，则 p o s r p ( x ) u n e g r p ( x ) = u 的上近似是由那些以大于的多数包含度不能分于x 的u 中对象所 构成的集合。 将上面近似集的定义与p a w l a k 粗糙集模型比较，容易发现当= 1 时，变 精度粗糙集模型就变成了p a w l a k 粗糙集模型。 下面研究口近似集的一些性质： 定理2 2 2 对于w u ，届，卢：( o 5 ，1 】，且属厦，则 ( 1 ) 星岛( z ) 堡岛( x ) ，特别地，墨o5 ( x ) 三堡口( x ) ： ( 2 ) j r d ( x ) r 岛( x ) ，特别地，r o5 ( x ) r p ( x ) ； ( 3 ) b n r a , ( _ ) b n r p , ( x ) - 特别地，b n r o5 ( x ) b n r b ( x ) ； ( 4 ) n e g r b , ( x ) 2n e g r b , ( x ) ，特别地，n e g r o5 ( z ) 2 n e g r p ( x ) 从定理2 2 2 可知，随着参数的减少，正区域与负区域将扩大，而 o 昆脚理t 人学碳l j 研究生学位论文变精度模糊自l 髓集模型 边界域将缩小；反之，随着参数卢的增大，x 的正区域与负区域将缩小， 而芦边界域将扩大。当趋于极限0 5 时，即卢专0 5 ，x 的卢近似集将趋于下 列极限。 定理2 2 3 对于哪u ，( 0 5 ，l 】，则 ( 1 ) l i m ，+ o5 星，( ) = 星o5 ( ) = u 肛( o ，1 l 星p ( z ) ； ( 2 ) l i r a ，。o5r p ( z ) = r o5 ( x ) = n 州o 5 ，ljr p ( x ) ； ( 3 ) l i m 口5b n r p ( x ) = b n r o5 ( x ) = n 脚5 ij 6 n r p ( x ) ： ( 5 ) l i m p 叶o5n e g r ，( x ) ：n e g r 0 5 ( 肖) = u 肛( o5 ，l 】n e g r 口( x ) 例2 2 1 设近似空闯k = ( u ，r ) ，其中u = 而，x 2 ，x 2 0 ) ，等价关系 r 的等价类出下面给出： e i = x i ，工2 ，工3 ，x 4 ，z s ，e ! = j 6 ，x 7 ，工s ， e 3 = x 9 ，x l o ，x l i ，x 1 2 ) ，e 4 = x u ，z 1 4 ， e 5 = x i ，工1 6 ，工1 7 ，j l g ，点：= f x l 9j 2 0 当取2 0 7 5 时，我们计算集合石= ( x 。，屯，工，x 1 3 4 ，工1 6 ，工1 7 ，x 1 8 9 ) 的声近 似集。 墨o ，5 ( x ) = e 4u e 5 = 工1 ，工1 4x 1 5 , x 1 6 ，x 1 7 ，x 1 8 j r 0 1 s ( 工) = e l u e ! u e 4 u e 5 u e 6 = x l ，x 2 ，而，矗，鼍，_ ，x 8 ，_ 3 ，玉4 ，5 ，而6 ，7 ，而8 ，z m x 2 0 ) b n r o7 5 ( x ) = e lu e 2 u e 5u e 6 而，毛 毛，矗，屯，矗，耳，黾，5 ，一6 ，葺7 ，而8 ，x 1 9 ，x 2 0 ) n e g r 0 7 5 ( x ) = 蜀= 焉，五o ，x i i ，玉2 变精度租糙集的近似集的其它性质文献【3 中已给出。 下面我们来介绍变精度粗糙集的三种近似相等的定义。 定义2 2 2 设( u ，r ) 是p a w t a k 近似空间，孵，j ，u ，( o 5 ，i j ， ( 1 ) 若星口( ) = 量9 ( 】，) ，则称集合x 和r 为粗下相等，记作x = 口y ： ( 2 ) 若而( 彳) = 瓦( y ) ，则称集合名和y 为粗上相等，记作x = 口y ； ( 3 ) 若z = py ，z = ，y ，则称集合x 和j ，为卢粗相等，记作x * 口y 。 易知，关系= p ，= 口和z 口均为等价关系。 定理2 2 4 设( u ，r ) 是p a , w l a k 近似空间。 ，y u ，卢( 0 5 ，l 】则 ( 1 ) 若z 量y ，且r = 口o ，则z 2 口中： ( 2 ) 若呈y ，且z 2 口u ，则j ，= 口u ； ( 3 ) = fy 当且仅当( 一) = 口卜j ，) ； ( 4 ) 若x 。口m 或y = p 巾，则j ( f l y = p o ： 昆明理工大学硕士研究生学位论文变精度模糊朝| 糙集模型 ( 5 ) 若x = 口辔或y = ，中，则x n y = f 中； 证明：在此只证( 3 ) ，其它的可以由近似相等的定义直接得出。 因x = 卢y 铸r 卢( x ) = r ，( y ) 曹r 卢( x ) = r 卢( y ) 铮星f ( x ) = 星f 卜y ) 铮( x ) = 口( y ) 为了描述集合工被近似空间( u ，r ) 中的基本集近似分类的程度，定义口精 度( ( o 5 ，l 】) 为 口4 ( x ) = 星p ( x ) l 1 足，( x ) i 其中j 表示集合的基数。卢精度表示集合j 相对于多数包含度的近似描述的 不精确性。随着的增大，集合并的p 下近似的基数变小，p 上近似的基数将 变大，精度将减少；反之，随着p 的减少，集合x 的卢下近似的基数变大，p 上近似的基数将变小，从而口精度将增大。 定义2 2 3 设( u ，r ) 是p a w l a k 近似空间，u ，则定义集合x 的 ( 卢( o 5 ，1 】) 粗糙度为 p 9 ( ) = l 一口9 ( x ) 卢粗糙度表示集合x 的边界域大小的程度，随着声的增大，卢粗糙度将增大： 反之。随着口减小p 粗糙度将减小。 为了减小集合工的口粗糙度，我们引入下面定义。 定义2 2 4 设( u ，r ) 是p a w l a k 近似空间，v x u ，o 5 口口l ，则 集合x 的g ，口粗糙度为 p “4 ( x ) = 1 - i 宣。( x ) i f r p ( x ) l 约定瓦( ) = m 时，p 卵( ) = 0 ，称i 星。( ) i i 瓦( ) i 为口，卢精度，记为t 7 t ”。 当口= 时，口，粗糙度就变为粗糙度。将口，p j 日糙度与粗糙度比较我们可 以看出，当值固定时，集合x 的口下近似的基数大于它的卢下近似的基数， 此时集合x 的口，卢粗糙度小于等于卢粗糙度，达到我们预期的目地。 定理2 2 5 ( 1 ) 0 p 。9 ( 石) 1 ； ( 2 ) 若p 固定，则i 星。( ) j 随着口增加而减小，从而p 9 ( ) 随着口增加而增 加；若口固定，则i 瓦( x ) l 随着增加而增加，从而p 哪( z ) 随着卢增加而增加。 定理2 2 6 设( u ，r ) 是p a w l a k 近似空间， ，y u ，且量y ， 0 5 口口1 ，贝 ( 1 ) 若瓦( x ) = 瓦( y ) ，则p 。( y ) p 咿( x ) ： ( 2 ) 若墨。( r ) = 星。( r ) ，贝4 p 。卢( r ) s 户。( y ) ； ( 3 ) 当卢= l 时，贝0 p 4 - 9 ( 】，) p 。- 4 ( x ) ； 昆町理1 二人学硕i ：研究生学位论文 变精度模糊# l 糙集模型 ( 4 ) 对于文献 3 9 】中的隶属函数x ，( x ) 来说，若x ，( x ) 1 一声；，v x u