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摘要 一般分布假设下投资组合的风险度量、分解与应用 摘要 实际投资决策中，资产管理者不仅要了解投资组合的整体风险，还 需了解组合风险的构成、各项资产的调整对组合风险的影响等。上述信 息可通过组合的风险分解得到。本文研究了如何用历史模拟法与解析法 估计组合v a r 与e s 、其分解模型及风险分解的应用。考虑回报的非正 态性与波动时变性，对资产品种单一、线性程度高的组合，用组合的历 史回报进行e q 堰c h g e d 建模。基于边际风险定义式的统计含义，给 出历史模拟法与e g a r c h g e d 模型下边际v a r 与边际e s 估计的新方 ， 法：局部线性加权平均与分段线性拟合。考虑实际金融数据的尖峰厚尾 性，将d e l t a 正态模型扩展为d e l t a 椭球形分布模型；又由于回报波动 一般受多个因素的影响，进一步提出d e l t a 混合椭球形分布模型；给出 了模型的估计方法与组合v a r 、e s 的计算式，并由边际风险的定义严 格推导出边际v a r 与边际e s 的计算式；引进了指数移动平均( 删a ) 与对角模型估计资产的波动性与相关性。实证表明：d e l t a ( 混合) 椭球 形分布的拟合效果优于d e l t a 正态模型；局部加权平均与分段线性拟合 法能较准确地估计边际风险，且后者比现有方法更准确；当组合包含的 资产数目较大时，对角模型计算更简便、估计更准确。 关键词：v a r ，e s ，边际风险，d e j t a 椭球形分布，对角模型，凡堰o c t h e m e a s u r e m e n 工d e c o m p o s i t i o n a n da p p u c a n o no fp o i h 下o u or i s k u n d e rt h eg e n e r a ld i s t r i b u n o n s i nt h er e a l t i m ei n v e s t m e n td e c i s i o n s ，m a n a g e r sn o to n l yn e e dt ok n o w t h et o t a lr i s ko ft h ep o r t f o l i o ，b u ta l s ow a n tt ol 【i l o wt h es t m c t i l r eo ft h er i s k a n de v e 巧a s s e t sm a 唱i n a lr i s k t h ei n f o 姗a t i o na b o v ec a i lb eg o tb y d e c o m p o s i n gt h ep o n f b l i or i s k i nt h i sp a p e r t h em e a s u r e m e n to fp o l r t f o l i ov a r & e sw e r ei n t e n s i v e l y s t i l d i e du n d e rt h eh i s t o r i c a la n da n a l y t i c a lm e t h o d s f u r t h e m o r e ，t h e c o r r e s p o n d i n gm e t h o d s t oe s t i m a t em a 玛i n a lr i s ka i l dt h e 印p l i c a t i o n sw e r e p r o p o s e d c o n s i d e r i n gt h a tf i l l a n c i a lr e t u m w a sa l w a y sn o n n o m a l l y d i s t r i b u t e da n dt h eh e t e i d s c e d a s t i c i t y ；t h el i n e a rp o r t f o l i o sr i s kc 锄b e e v a l u a t e db ym o d e l i n gi t sh i s t o r i c a lr e t u mw i t he g 匕鸟汰c h - g e dm o d e l b a s e do nt h es t a t i s t i c a lm e a n i n go fm a 玛i n a lr i s kf 6 珊u l a s ，铆on e w m e t h o d sw e r ep r o p o s e dt oe s t i m a t em a 玛i n a lv a r 卸de s w h e nt h e p o r t f b l i or i s kw e r ee s t i m a t e db yu s i n gh i s t o “c a la n de g a r c h - g e d m e t h o d s ：l i n e a rl o c a lw e i g h t e da v e r a g ea i l dp i e c e w i s e - l i l l e a rc u e - f i t t i n g i nv i e wo ff i n a i l c i a ld a t a sf - a t - t a i la n dh i g hk u n o s i s ，d e l t a n o n n a lw a s e x t e n d e dt od e l t a - e l l i p t i c a l f u n h e 册o r e ，d e l t a - e l l i p t i c a lm i x t u r em o d e l s w e r e p r o p o s e dt oc a p t u r et b em u l t i f a c t o rs o u r c eo f r e s i d u a lp a n b o t ht h e p o r t f o l i ov a r & e s a n dt h em a 略i n a lv a r & e sf o r l l 眦l a sw e r ed e d u c t e do n t h ea s s u m p t i o n so fd e l t a e l l i p t i c a la n dd e l t a e l l i p t i c a lm i x t u r er e s p e c t i v e l y a s s e t s c o r r e l a t i o nm a t r 政w a se s t i m a t e db ye 呲a n dd i a g o n a lm o d e l r e s p e c t i v e l y t h ed a t ae x a m p l e t e s t i f i e dt h a t ：d e l t a - e l l i p t i c a la n d d e l t a e l l i p t i c a lm i ) 【t u r em o d e l sf i tt h ea c t u a ld a t ab e t t e r t h a nd e l t a n o 加a l ； t h em e t h o d so fl i n e a rl o c a lw e i g t l t e da v e r a g ea n dp i e c e w i s e - l i n e a r c u r v e f i t t i n gd e c o m p o s ep o r t f o l i or i s kv e 巧w e l l ，a n dt h el a t t e r sa c c u r a c yi s h i g h e rt h a nt h ee x i s t i n g ；w h e np o n f o l i oc o n t a i n san u m b e ro fa s s e t s ，t h e d i a g o n a lm o d e ld i s p l a y sah i g h e rc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ya n dp r o m i s e st o b eh i g h l ya c c u r a t e i c 二e yw o r d s ：v - a r ，e s ，m a 曙i n a lr i s k ，d e l t a e l l i p t i c a l ，d i a g o n a lm o d e l ， r a r o c 符号说明 v a r e s 口 足 z 汝 d j c m 一眦； c 一啪f m - e s t c 。e s t 符号说明 风险价值 期望损失 1 - 口为置信度 t 时刻资产的相关阵 t 时刻资产f 的标准回报 投资权重向量 回报向量 资产f 的边际v a r 资产f 的成分v a r 资产i 的边际e s 资产f 的成分e s 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 煎缝 日期： 迦旦星! o ，= l ，。 设经过持有期，组合的盯市价值 c = 硭1 埘则组合p 在 + c 唰的简单回报旷警，对数回报。乩卜) ；料在时 批讹的简单眺m c = 警融醐乩卜吟设该 项资产在+ c 时刻的回报向量“缸= ( + 扣，氐件a 。) ，容易证明：当采 用简单回报时，r 鼢+ 矗。= 矿- b a f ；采用对数回报时，r p ，吩厶e - r t + 丘e 。 2 1v a r 与e s 的定义 v 冰可表述为：在给定置信度下，一定持有期内，资产在未来时刻的最大 可能损失【埔l 。其数学表达如下： y 口只口= 一吖缸l p r 0 6 留 0 表示收益，x 0 表示损失) ，是一 个随机变量。v a r 即风险价值，是可能的损失上限。1 一口为给定的置信水平， 一般取9 5 一9 9 。( 2 1 ) 式表明，损失超过v a r 的概率或者等于伍，或者在大于 口的同时，极其接近伍。 尽管v a r 已被广泛接受，成为市场风险度量的标准之一，但它本身存在一 些不足之处。它无法指出当市场出现异常波动时，可能导致的巨大损失。同时 v a r 不满足次可加性( s u b a d d i t i v e ) ，因而不是一致的风险度量【4 1 。 a j r t z n e r 提出一种称为e s ( e x p e c t e ds h o n f a l l ) 的一致性风险度量【4 1 ，以弥 北京化工大学硕士学位论文 补v a r 的不足。e s 是指在损失超过v a r 时，损失的条件期望值。设x 是一个随 机变量，表示给定资产的未来损益，矿积匹表示资产在1 0 0 ( 1 一口) 置信度下 的v 抿，则豁口由下式给出： 骶口( x ) = 一圭留【魄 一，卜眦口( 口一抑0 6 谬 一慨】) ) ( 2 2 ) 当回报分布连续时， 矾( x ) = b 卜x i z 一矿曲压( 均1 ( 2 3 ) 与v a r 相比，e s 更适合揭示尾部风险的极端情况。不过，从上式看出，它 是在v - a r 概念的基础上衍生出来的风险度量工具，因此，要准确度量e s 首先 需要准确度量v a r 。 2 2 基于组合的v a r 与e s 估计 2 2 1 历史模拟法 历史模拟方法并不对回报分布作出假设，而是对资产组合回报的历史记录 进行排序，这样一来1 或5 置信水平的损失就可以直接找出来。它的主要缺 点是在测试v a r 对不同的假设和时间区间的敏感程度方面缺乏灵活性。 设组合回报名的样本容量为钆，样本从小到大排序为：吻1 ，吩力，吩m ，则由 样本的经验分布函数及v a r 的定义式( 2 1 ) 得 眦口= 一渺缸i p t - d 6 似 x ) 西= 一r p ，k 1( 2 - 4 ) 由e s 的定义式( 2 2 ) 得【1 9 1 器口= 一圭础锄+ 一f 似1 + i ) h m ) ( 2 - 5 ) 2 2 2e g a r c h ( p ，b q ) 一非正态模型 在金融回报时间序列中，波动常具有聚集性和爆发性，即残差的条件方 差是时变的，可采用q 幔c h 类模型刻画【捌。同时e q 氓c h 模型能捕捉波动 性的杆杠效应1 2 1 1 ，故本文采用e q 娘c h 模型对组合回报建模。 设似。) 为投资组合的日对数回报序列，严格平稳，服从e q 堰c h 另口) 过程， 则 墨= 肛+ 毛( 2 - 6 ) 屯5 么( 2 - 7 ) z 。l i d ，e 【4 】= o ，矿口r 【z j = 1 h l ( 砰) = + 名，口。l z 。一。i + ：，z 卜亚+ ；：l 乃l n ( 吐，) ( 2 8 ) 其中，j c l 为均值，& 为随机扰动，砰为条件方差，p 之o ，q 之o 。若n z 时， 分布尾部比正态分布薄； ， 2 时，分布尾部比正态分布厚。 结合v a r 的定义式( 2 - 1 ) 与式( 2 - 6 ) ，推导得组合的时变t 如下： 喇= 叫一& 乙( 2 - 1 0 ) 由e q 气r c h g e d 模型可得到弘、1 l ，的估计，z 口是g e d 分布的口分位点。 利用上述时变v a r ，计算e s 如下： 王 s ：= 日卜x l z 一i ，口r 口 = 日卜p 一以z i j i + 吒z t p + z 口】 = 一弘一f 【乏l 五 z 口】 = 一弘一专也y e x p ( 一哟妒( 2 - 1 1 ) 其中，5 = v ( a 2 1 + v r ( v 一1 ) ) 为常数，上式积分可求出数值解。 2 3 基于组合资产的v a r 与e s 估计 由资产回报的时变方差性，借鉴r i s k m e t r i c s 方法【2 2 1 ，设资产z 回报的均值 方程为： = p e + 嚷，f z f ( 2 1 2 ) 其中地为回报均值，靠为回报的条件方差，2 让关于时间亡独立同分布， 冒口啦】= o ，矿口r 【z 啦】= 1 。这里，z 晡是资产f 在时刻的标准回报。 设在时刻，组合中项资产的标准回报向量z 。= 0 l f ，。) ，则2 。是 北京化工大学硕士学位论文 关于时间独立的。设回报向量k 的协差阵z 。= ( 吼， ) ，其中 口：i 弦= c o v ( k ，) ，砚1 名又记作碚。记k 的相关阵r = p i 加) ，相关系数 p 啦2 i ：薏弘，设标准离差阵 毒= 阡三剖， 帆= 阿1 蝌1 。 则有 由( 2 1 2 ) 式，c 。彭( ，瓠) = 罢蜊，厶，= l ，则z 。的协方差阵 i _ 凭证。 d ( z e ) = 也。( 2 - 1 2 ) 式用矩阵符号表示如下 三 r f = 呼z t + 口( 2 1 3 ) 其中，p = “。，：，产) 为项资产回报的均值向量。 2 3 1 椭球形分布族的定义与性质 对一个尹元随机向量x ，如果它有形如 勺l i 一1 2 函( ( x 一曲7 一互( x 一曲) ( 2 - 1 4 ) 的密度函数，则称x 服从带参数胛z 的椭球形分布，记作x b 函，昂) 。 其中z = h ) ，为p ) p 的正定、非奇异矩阵，规格化常数c 芦与昂( ) 有关， 巩( ) 是某个一元函数，称为密度生成函数。若密度生成函数与p 无关，则可简记 成口。 可以证明，如果x 一缸，z ，岛) ，则 ( 1 ) x 的特征函数形如 ( d = e x p ( f t 曲妒( t 7 e t ) ，其中妒( ) 为某个一元函数。 北京化工大学硕士学位论文 ( 2 ) 如它的均值和协方差阵存在，则 冒( x ) = 芦，d ( x ) = 一2 砂( o ) e ( 3 ) x 的相关阵曰= ( p t 歹) ，其中p 西= 荔和 ( 4 ) 设a 是m 雠阵，秩m p ，6 为，i 维列向量，则 触+ b 一似弘+ 饥脏，) ( 2 - 1 5 ) 由密度函数( 2 1 4 ) ，a x + 6 的分布函数尸( y ) 可计算如下 f ( y ) = ，嗥x + 毒 y l z i 一1 ，2 9 ( ( x 一曲z 一1 ( x 一曲) 矗( 2 - 1 6 ) 记( 舡+ 阢a 黝，) 分布的密度函数为，( - l a p + b ， 蹦，) ，分布函数为 尸( - i a p + 以a 乏：| 4 ，占k ) ，由( 2 - 1 5 ) 、( 2 - 1 6 ) 式，得 f ( ) ，i a p + h a 黝，) = 勺l + 扫勺1 2 | - 互2 9 ( ( x 一7 z l ( x 一曲) 矗 = 蚌6 y 厂( x l 以z ，昂) 出( 2 - 1 7 ) 其中，厂( i “2 ，昂) 表示z ，昂) 分布的密度函数。 椭球形分布的例子有正态分布、传统的学生分布( 下文简称为f 分布) 、g s t 分布( g e n e r a l i z e ds t u d e n t t ) 、指幂数分布( e x p o n e n t i a lp 0 w e rf a m i l y ) 等矧。 1 ) 正态分布 易( 妨= e 一性侣 ， 勺= ( 2 帕1 2 z ) f 分碲 昂= ( 1 + 删肛，白= 嬲潞 3 ) g s t 分布 砟= ( 1 + 剖加，勺2 葫 4 ) 指幂数分布 昂= p 叩，缪 ， = 瓦茹，( 萄 北京化工大学硕士学位论文 2 3 2d e l t a - 椭球形分布模型 假设乙服从多元椭球形分布，均值为零，将z 。的样本方差r 作为椭球形分 布中正定、非奇异矩阵的近似估计，即瓦一矗( 0 ，足p 鼬) ，密度函数 丘( 瓦) = 白限l - l 2 鲰( z ：町1 z e ) ( 2 1 8 ) 由于瓯) - i 相互独立，得向量样本的似然函数 ( p ) = n r - 1 疋( 瓦) = 萌n 品l l rl - l 2 鲰( z ：再i 瓦) ( 2 1 9 ) 对数似然函数 z ( 田= k ( 厶( e ) ) = 弛知一 踞ll i l ( 刚) + 硌l l l l ( k ) ) ( 2 - 2 0 ) 其中，k = 匿1 z 。 由z f 一氐( 0 ，& ，目) ，式( 2 - 1 3 ) 与( 2 1 5 ) ，得： l 晶0 葶墨毒鼬) ”c 2 现， 三三 其中昭r 甲= 。 对于线性资产组合有哆。f = b ，由椭球形分布的性质( 4 ) 及( 2 2 1 ) 式，得 哆。一以( f 玛。五口1 ) ( 2 - 2 2 ) 设z 御= 需，则z 肌一臣( 。j 1 ，口1 ) 。 记组合在1 0 0 ( 1 一口) 置信水平下的v a r 为饥识：，则 阡。扫岛，。 一y 口尺二】= 口寺p r 曲 z 耻 耕岱 寺弓皆= z 口 0 t 5 4 辛y 曲二= 一6 p 一、琊z 正( 2 - 2 3 ) 其中，z 口是毛( o ，l j 9 ，) 分布的口分位点。 由于 北京化工大学硕士学位论文 所以 哆，。 一只：管孑。瓦否z 黜+ j i i 弘十矛夏否z 口 甘z 靠 厶( 2 2 4 ) 氍= 一层k ，i 吻善 一啪：】 = 一层l 丽z 船+ 弘l z 知 。欺c ，叠l z ，lq 2 鼬 伍z 嚣乙) j l 血= 1 兰器量欺厂( 瓦i o ，z 船，跏 ) ( 2 2 6 ) 其中，厂( z 。i o ，p 鼬 ) = c l z k 占l - 1 2 钆七( 乏z o z f ) ，为第七个椭球形分布的 密度函数。 由式( 2 1 3 ) ，组合回报峰，。= h = ( 毒z f + 0 = 幸乙+ p ，应用( 2 1 7 ) 式，啼，f 的分布函数计算如下： k 。= ，硝叭z 觚) d z f 三 血= l ，咋珞+ ，p y = ；lp k f ( y 1 6 7 “艿幸k ，。葶疋夕。r ) 北京化工大学硕士学位论文 = 鼯l p k f p 脾矾，窖1 五) ( 2 - 2 7 ) ll 其中仃缸= d k 2 。，k 2 d 。则啼，。的密度函数 岛工( y ) = 竺竽= 鼹。h ，( y i 玛a 蟊，9 ， ) ( 2 2 8 ) 记组合在i o o ( 1 一口) 钧置信水平下的v 报为眦三，由( 2 - 2 8 ) 式，有 址饩鞠 赔专筹 ：里堕二盘 = = 三乌伍= z 器1 矽七j 二- 叩 c 址曰l 毒( y z ) d ，( 2 - 2 d 解方程式( 2 2 9 ) 即可得到矿口足二。 由z j 。彰z ，e f = ( o ，o ，窒，o ，o ) 7 ，计算z t 工的边际分布幺工如下 ，。2 丘y 琢t p k 厂伍i o ，z 蛐鼬，七) d z t = z 器t p 七i z 。 y 厂( z cl o ，z 蛐，鼬，k ) d z t = 器1p kf ( y i o ，e ：k 工e t ，口l 詹) 其中4 。，巳一( 。，l ，记作 丘。= 仃& ，。则z 髓的边际密度 啦t 。r ( 力 ( 2 - 3 0 ) = m ：i p k 厂( y l o ，q ，9 缸) ( 2 3 1 ) 其中，厂( y i o ，略j ，巩) 为黾( o ，噍p 曩l ，k ) 的密度函数。 由上式计算z 髓的均值、方差如下： e 【互，小= 器1 p 缸e y 厂( ) ，i o ，吐量。 ) 妇= o ( 2 3 2 ) 1 1 k p 仇m = 北京化工大学硕士学位论文 y 盯( z 诎) = 鼯l 玑c y 2 厂( y i o ，最巩五) 毋 = 一2z 器l 欺纸( o ) 噍( 2 - 3 3 ) 令日= 薯】，则( z “，瓢) = 口z t ，同理可推导得【z z ；，) 的联合分布 f 嘞) ( 功= 欺，删。鼬詹) 饵 血2 t 暑z ， r = m 1 p 知尸( y i o b 芑船口，现 ) ( 2 3 4 ) 其中丑。，丑7 一【凄：囊凄：乏】，( z 让，气。) 的联合密度 则 a ，、【功 厂石) 秽) = 鼍等= 鼯l 散厂( y l o ，b z k c _ 6 ，口2 k ) 。( 2 - 3 5 ) 胁嘞) = 参贮脚( y i 叩砂巩出y = 一2 器1 p 七妒之( o ) 0 k ，0 叮( 2 - 3 6 ) 为减少待估参数数量，不妨假设鼢= r 。，密度生成函数巩( ) 不同， 三三 三三 豇= 1 ，2 ，m ，则矾= 曙蛐譬占苎呼足。呼6 = 。5 皇畦。，( 2 - 2 9 ) 式可进 一步化简为 令q 盔垒警，得 a = 器量p 靶。叩j c c l ；c 目l k l ( ) ，2 ) 毋( 2 - 3 7 ) a = 器1 p 七! 三c l a l k ( ) ，2 ) 咖( 2 - 3 8 ) 反解( 2 3 8 ) 式得到牮口，计算矿积：如下： 1 2 北京化工大学硕士学位论文 y 豫二= 一6 芦一锄t 。q 露( 2 3 9 ) 由( 2 - 2 8 ) 式，岛七= m - t p k 厂( y l 矿弘磙，口1 k ) ，令s 叁 密度函数： 由于 有 条件概率 乍五卢，易得s 的 后( ) ，) = 翠l 欺厂( y l o ，1 ，乳k ) ( 2 - 删 哆，f 一矿积：甘s a 墨声+ 弘 弘+ a p f - q a 甘s q 压( 2 - 4 1 ) 舀三= 一层k 二l 印声 一1 l 厂积三】 = 一且【s 。+ 肛l s q 口】 = 一6 j l l 一tf 【，i s q g 】 p ( s y 1 5 q 口 = 酱 = i 黯，岛 【l ， 当y q 正 由( 2 - 4 0 ) 式和( 2 - 3 8 ) 式，得p 扛 q 口) = 口，故条件密度 = 孵 掌y 2 。t ( 2 4 3 ) 当y q 口 。 e b i s q g 】= 亡y 局心a 咖 兰恶y 正如 = 兰鼯，氏盛y c l k 9 埔0 2 ) d y ( 2 - 卿 = 一弘一! 警警艮，p k f 竺y c 拙口1 k ( y 2 ) 匆( 2 4 5 ) 2 4 简化协差阵对角模型 1 3 北京化工大学硕士学位论文 相关性是投资组合风险估计的关键因素，要得到项资产的协差阵需估计 ( + 1 ) 2 个不同的方差和协方差，当资产数量很大时，协差阵的衡量变得很 困难，且由于维数较高，未必能保证协差阵的正定与非奇异性。 假设所有资产的一般价格波动只与一个共同因素有关，即市场。该回归模 型为 气= 口l + 展+ 冒【黾】= o ，g 【毛】= o ，”( 2 - 4 6 ) f k 弓】= oe 【】= 纸矗 在时刻f ，资产f 的回报是由市场回报j 和随机项毛决定的，毛既不与市场相 关，也不与其他资产相关。则方差可被分解为 两项资产间的协方差 旗= d ( r i 名) = 雕，。+ 碚( 2 4 7 ) 口；f 仙= c o v ( r t ，气。) = 鼠岛。( 2 - 4 8 ) 一= 肾莨耋】 矩阵符号表示如下 三f = 罗多矗 + p ，“( 2 4 9 ) 由式( 2 4 9 ) 确定组合资产协差阵的方法称为对角模型，最早是由夏普在股票 投资组合理论中提出的1 7 l 。通过回归估计出晟，f f = 1 ，采用q 娘c h 类模型估计出市场回报的波动率，估计出这2 + 1 个参数即可得到组合资产的时 变协差阵。 第三章投资组合的风险分解 第三章投资组合的风险分解 3 1 边际风险、成分风险的定义 设组合回报为随机变量x ，风险度量为映射p 肖一j d ( x ) r 6 1 资产f 的边际 风险( m 晒n a lr i s k ) 是指，组合风险相对于资产f 投资权重艿。的变化率，即号芋。 各资产的v a r 之和通常不等于组合的v a r 【2 1 ，因而由单项资产的v a r 无法辨识 资产对组合风险的贡献。当风险度量p 具有线性齐次性时，可以证明下列e u l e r 公式【6 1 p = 落1 最等( 3 - 1 ) 成立。其中，盈等芋可看作资产对组合风险的贡献，即资产的成分风险【6 l s kc o n t r i b u t i 彻) 。 非正态分布假设下，资产的边际v a r 与边际e s ( 分别记作m 露i 与m 一巧f ) 如下1 6 l ： 村咖i = 一e 【吒i 一唯= y 口只p 1 ( 3 2 ) 甜一骶f = 一e 和e i 哆 一嘏p 】( 3 - 3 ) 其中，功、r i 分别表示投资组合与资产z 的回报，讹屈p 和舀卢分别为投资组合的 v a r 和e s 。v a r 与e s 均具有线性齐次性【们，则资产f 的成分v a r 与成分e s ( 分 别记作c 一乳识 与c 船) 为 c 讹尺t2 氐等25 f m ，最( 3 - 4 ) c 巧t = 蟊等= 6 f m 一舀，( 3 5 ) 北京化工大学硕士学位论文 由此可见，估计成分风险的关键是估计边际风险。 3 2 边际v a r 的估计 3 2 1 局部线性加权平均法 h a l l e r b a c h 提出估计边际v a r 的若干方法1 3 1 ，其思想是利用样本数据估 计r i 与场的局部关系吒= ，坼) 。然而，分别采用线性最小二乘、多项式拟合、 三次样条插值等方法对实际数据进行拟合，效果并不理想。作( 场，t ) 散点图， f = 1 ，礼，当f = l 时，如图3 1 所示( 其他图略) 。可看到，样本轨迹均具有 随意性，用特定函数拟合并不理想。 由( 3 2 ) 式，边际v a r 是组合损失为y 衄p 时，单项资产的期望损失。若基于 组合回报估计组合v r a r ，则条件密度厶i 印弛脚( ) 因缺少样本而难以准确估计， e 【r i l 一唯= 矿以p 】无法按期望的定义来计算。本文将条件啼= 一矿曲p 放宽为以 一讥峨为中心的小邻域，用领域内样本的加权平均来估计e 阢l 一峰= y 积p 】。 如图3 1 ，在样本集合中选取满足吻【一讹螂一口r p j 一矿口r p + 口矿积p 】 的样本，o 口 o ，j f = 1 ，。 f i g 3 1s c a t t e rd i a 伊a mo f 嘞jq ) 已有文献中，估计边际v a r 的方法之一是局部条件平均法【3 j 。该方法与局 部加权平均法唯一不同的是，对个样本采用等权重。 3 2 2d e l t a 一椭球形分布下边际v a r 的估计 由边际v a r 的定义与组合v a r 的计算式( 2 - 2 3 ) ，有 m 哪= 箐= 型掣一警 又譬= 糌，其慨声邛a ，得 肘眦。= 嘴也糌( 3 - 7 ) 3 2 3d e i t a 一混合椭球形分布下边际v a r 的估计 由d e l t a 一混合椭球形分布模型下组合v a r 的计算式( 2 - 3 9 ) 得： 。= 箐= 坚掣 北京化工大学硕士学位论文 3 3 边际e s 的估计 =弘；鼋。鬻-(38) 3 3 1 局部平均法 在基于组合回报样本估计组合e s 的情况下，由( 3 3 ) 式，边际e s 的估计可 采用局部平均。 将所有+ l 维向量样本关于场项升序排列并重新编号，即 咯，l 场2 协+ l 。不妨设存在某正整数d ， 使得 一矿曲p 尉互，边际e s 估计如下： 庸一豇i = 一言氍( 3 9 ) 3 3 2 分段线性拟合法 在基于组合回报样本，采用e g a r c h g e d 模型估计组合风险时，边际e s 可采用分段线性拟合法来估计。 已知哆的分布，若岛 一l ，积p 时存在关系式r f = 五( 肇) ，由( 3 3 ) 式，村一嚣e 转 化为求兵b ) 的条件期望。考虑到吩 一讹足p 时“，t ) 样本点轨迹的随意性，本 文采用分段线性函数拟合兵( ) ( f = 1 时，如图3 2 所示) 。该方法既简化了计 算又充分利用了样本信息。 将所有+ i 维向量样本关于哆项升序排列并重新编号，即 吻，1 场，z 饥钒+ ls 。不妨设存在某正整数d ，使得 锄 一妇耳墨锄+ 1 。当畅e ，锄+ 1 】时，设连凄点，吒j ) 与h 坩1 一1 ) 的直线方程为= 弓d + 巧o 印，= 1 ，d ；当瞄【一，吻，l 】时，取正整数足， 对所有) ，= 1 ，。k ，作线性拟合，设得到r j = 口+ 鹾o 吻，则 霸髓l = 一f k l 一y 口r p 】 = 一圭e 【正靠) & 叩 6 l f - p ( 曲t l = 1 而新组合f + 1 时刻的风险 p = ( i 一1 p ，) 硭l 盈m 节：+ 如邶，- m 节知+ l ( 4 3 ) 其中，m 节：为资产f 在组合p 中的边际风险，f = 1 ，+ 1 。取各边际风险 的一阶近似【3 1 ，得 p ( 1 一) 冬1 盈肘- p ( 趵l + 氐+ p ，肘乍( 曲+ l = p + l ，( 肘乍( 加+ ，一p ( 趵) ( 4 4 ) 其中，m - p ( 固肿i 为资产+ 1 在组合尸中的边际风险，则增量风险( 1 i l c r e m e n t a l j p c 毋 r + l = p 一p ( 趵 北京化工大学硕士学位论文 为 如h ，( f p 舭一p ) ( 4 - 5 ) 若增加投资额k 于资产f ，i 萤剑，同理可证，新组合f + 1 时刻的风险近似 从而增量风险 p ( x ) 。p ( x ) + 南( m 巾( x ) l j d ( 圳( 4 - 6 ) ，巾( x 丸一去( m 巾( z h ( 剐 当o - g e d 模型下叫职( a = s ) 第f 项资 历史模拟法( )e g a r c h ( 4 ，2 ，6 e d ( ) 产 局部加权平均 局部条件平均局部加权平均局部条件平均 12 6 0 4 3 4 5 04 8 4 35 0 5 0 24 3 5 02 9 7 32 6 2 6 2 8 5 2 31 3 4 4 1 0 2 51 6 5 49 7 5 46 9 49 6 32 0 4 2 3 5 57 6 46 7 15 2 61 0 4 2 62 4 39 1 8 1 4 61 5 4 表5 1 3 历史模拟法、e q 气r c h ( 4 ，2 ，6 ) _ g e d 模型下9 知( a = 5 ) 1 a b l e5 1 3c 怯u n d 盯h i s t o r i c a lm e i h o d 姐de g a r c h ( 4 ，2 ，眵g e d ( 伍= 5 ) 第f 项 历史模拟法( ) e g a r c h ( 4 ，2 ，6 ) - g e d ( ) 资产局部平均分段线性拟合 局部平均 14 0 3 74 0 5 22 1 7 7 2 2 5 8 02 6 1 43 7 7 5 31 3 5 01 1 3 31 9 8 5 44 8 87 2 50 9 0 58 8 4 8 8 89 2 2 66 6 25 9 61 0 5 0 表5 1 4e 、m 模型下曲( a = s )