（应用数学专业论文）流体力学及海洋数值模拟基于pod技术的降维方法研究.pdf

摘要在模拟由偏微分方程控制的物理过程中，p o d ( p m p 盯o r d l o g o 豫ld e c o m p o s m o n )方法是一种高效降维方法这是一种功能强大，效果显著的数据分析方法，其目标是把多维的物理过程进行低维的近似描述( 即用最佳级数展开) ，进而大大减小用于重现物理过程时所需存储的数据量它提供了一种描绘物理过程的有效方法，该物理过程可以写成一个只与时间相关的函数和一个只与空间相关的函数的展开式序列，且它们在均方意义上是最优的，在展开式中只需要少量的项数就可较准确地描述该物理过程，因此降低计算维数、减少计算量和节省计算时间是这个方法最明显的优点本文将p o d 方法和s v d 方法结合起来研究非定常的n a v i e r s t o k e s 方程的有限差分格式，结合g a l e r k i n 投影方法导出了n a v i e r s t o k e s 方程具有较高精确度的低维模型，给出了n a v i e r s t o k e s 方程最优化的有限差分格式，并导出了这种最优化的有限差分格式的逼近解和通常的全阶有限差分格式的逼近解的误差估计数值例子表明基于p o d 方法的降维格式解和全阶有限差分格式解的误差与理论分析结果是一致的然后我们将p o d 技术结合混合有限元方法应用在热带太平洋约化重力模式上，得到了降维模式，导出了混合有限元方法的降维格式，并给出了用混合有限元法得到的全阶模拟逼近解和基于p o d 技术的降维模拟逼近解理论上的误差估计，通过数值试验得到了全阶模拟的数值解和p o d 降维模拟数值解之间的误差，数值结果和理论结果一致从而验证p o d 方法在降维问题上的有效性和可行性e q u a t i o n f r e e 方法是常用来解决复杂、多尺度问题在实际问题中，我们通常需要知道描述宏观活动的物理系统的具体方程形式，而这些具体形式理论上存在实际中又非常难于知道e q u a t i o n f r e e 方法就能解决这个问题，即不需要知道方程的具体形式而达到能够求解的目的本文我们将基于p o d 方法的e q u a t i o n f r e ep o d 方法应用到热带太平洋区域上的大尺度大洋环流的约化重力模式讨论了该方法的收敛性和精度，并且通过数值试验研究了影响该方法效果的几个因素，主要是大小时间步长的比例是多少，基函数的个数应该取多少，还有s n a p s h o t s ( 瞬像) 点个数等数值结果表明。e q u a t i o n f r e e 方法的计算量是全阶模式计算量的6 ，并且通过均方根误差和相关系数说明和p o d 方法相比都有大的改进，尤其是我们在应用p o d 方法的过程中不再需要知道计算时间系数的方程的具体形式关键词：p o d 降维方法e q u a t i o n f r e e 多尺度问题误差估计n a v i e r s t o k e s方程混合有限元a b s t r a c tp o d 口r o l ro n h o g o m ld e c o m p o s i t i o n ) i sam o d e lm d u c t i o nt e c h n i q l l cf o rt l 伦s i m l l l a t i o no fp h y s i c a lp r o c e s s e s9 0 v e m c db yp a n i a ld i 虢r e m i a le q u a t i o m 1 1 1 i si s 锄e v i d e m l ye 仃c c t i v em e m o do fd a t a 趾a l y s e ，a n dt l l ca i mo fm cm e m o di st 0d e s c m eam u l t i d 【i i i l e i l s i o n a lp h y s i c a lp r o c e s s e si nal o wd i m e i l s i o n a lw a ya p l ) r d x i m a t e l y ( s e r i e se x p a i l s i o n ) np r o v i d e saw a yt of i n do p t i m a ll o w e rd i m e m i o n a la p p r o x i m a t i o l l so f t l i eg i v e nd a t a ，a n dne n o m o l l s l yr e d u c em e 咖f a g eo fn l e 蛔w h i c hi sn e e d e dw h e nt l l ep h y s i c a lp r o c e s si s僦m 耐t h ep h y s i c a lp r o c e s sc 锄b ed e s c r i b e di ns e r i e se x p a m i o nf i l l l c t i o nt h a lo i l l yi s 比l a t e d 幻也et h n e 柚ds p a c e ni so p t i m a l 印p r o x i m a t i o no ft 1 1 e 西v c nd a 协i nac e n a i l ll e a s ts q u a r e so p t i m a l n 辩t h em o s to b v i o 懈a d v a m a g eo ft 1 1 em e t h o di st h a ti tr e d u c e st i l ec o m p 删o nc o s t 锄dc 锄p u t a t i o nt i m em a r k e d l y h ln l i sp 印e r ，p o dm e m o da n ds v da r e 懈e dt og t u d ym ef i n i t ed i 虢r e n c es c h e m ef o rn 圮n o n s t a t i o i l a r yn a v i e r - s t o k e se q u a t i o i l s c o m b i n g l ep o dt e c l l l l i q u ew i mag a l e r k i np r o j e c t i o n 印p r o a c hy i e l d san e wo p t i m i z i n gf i n i t ed i f f b r e n c es c h e m ew i t hl o w e rd i m e n s i o 璐a n dh i 曲c u r a c y白rt 1 1 en o n s t a t i o i l a d ，n a v i e r - s t o k c se q u a t i o i l s t h ee d r sb e t 、e e np o d 印p r o x i l n a t i o ns o l u t i o n s 锄dt h es o l u t i o n so fd i r e c tn m e r i c a ls i m u l a t i o na r ea 1 1 a l y z e d ni ss h o w nb yt l l er e s u h so fn l en 眦e r i c a ls i m u l a t i o nt l l a tt l l ee r r o r sa 地c o m i s t e mw i t l lt l k o 耐i c a lr e s u l t s w ea l s oc o m b i n e dt h ep o dt e c h i l i q u e 、i t hm i x e d 伽t ee l e m c n to 以f e )m e t l l o dt os t i l d yt h e 协o p i c a lp a c i f i co c e a n d i l c e dg r a v i t ym o d e l ，t h el o w e rd i i n e m i o nm f es c h e m e 锄d 强e 玎o re s t i m 眦o fp o da p p r o x i m 疵s o l u t i o nb 幽e do n m e m e m o da r ed e r i v e d n i ss h o w nb yn 啪e r i c a le x 锄p l e s t h tm e坞b e t 、v c e 王lp o da p p r o x i m a t es o l l n i o n 锄dr e f e 】舢c e l u t i o na c 0 璐i s t c l l tw i t h l e o r e t i c a lr e s u l t s ，t l l 懈v a l i d a t i n gm ef e 嬲i b i l i t y 锄de f f i c i e n c yo fp o dm e m o di nd e c r e a s i r 培d i m e n s i o no f t l l ep m b l e m s 3t h e e q u a t i o n - f r e e ”( e f ) m e t h o di so 船nl l s e di nc o m p l e x ，m u l t i - a l ep r o b l e m s i ns u c hc a s e s “i sn e c e s s a r yt ok n o wt h ec l o s e df o mo ft l l er e q u i r e de v o l u t i o ne q u a t i o ma b o u tm a c r o s c o p i cv a r i a b l e sw i m i i ls o m ea p p l i e df i e l d s c o n c e p t i l a l l ys u c he q u a t i o 船e x i s t ，h o w e v e r ，t h e ya r en o ta v a i l a b l ei i lc l o s e df o r i n t h ee fm e t h o dc a l lb y p a s st l l i sd i m c u l 姊i l it h i sp a p e rw ca p p l yn l ee fp o d - 鹊s i s t e d 删枇dt ot i l cr e d u c e dm o d e l i i l go fal a r g e s c a l eu p p e ro c e 锄c i r c u l a t i o ni i lt h e 仃o p i c a lp a c i f i cd o m a i n w ed i s c u s st h ec o n v e 曙e n 锄da c c u r a c yo ft h i sm e t h o da l o n gw i t l las e r i e so fn 啪e r i c a le x p e r i m e m st h a tw e r ec 删e di no r d e rt od i s c l l s ss o m ef 犯t o 硌蛳a 虢c tm er e s u l t s t h e s ef 缸t o r si n c l u d et l ：峙n u i n b e ro fs n a p s h o t s ，b 镐i sf u n c t i o l l sb a do np r o p e ro n h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n ( p o d ) m o d e 姐dm em t i ob e t w ni a 唱e a n ds h o r t - s c a l et i m es t e p s a i lo b s e r v e dr e d u c t i o ni i lm ec o m p u t a t i o nw o r ki i lc o m p a r i nt 0t h em 1 1m o d c lw a so b s e n r e d f o ri n s t a i l c e ，a 地c o m p u t a t i 舳i a lc o s to f t h ee - fp o d s i s t e dm 劬o dw 嬲a b o u t6 o f t h a to fm e 舢m o d e l c o m 畔d 晰t ht h ep o dm e t h o d ，t h cm e t h o dp r o v i d e dm o r ea c c 删e 陀s u h s 锄di td i dn o tr e q u i r ct h ea v a i l a b i l 时o fa 1 1 ye x p l i c i te q 训。船o rm e 啦灿- h a n d s i d e ( r h s ) o f t h e “o l u t i o ne q u a t i o n k e yw o r d s ：p o dr e d l l c e do r d e rm e t h o dm u l t i s c a l ee 啪re s t i m a t en a v i e r - s t o 】b se q u a t i o l l sm 酶df i n i t ee l e m 髓t 4首都师范大学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：王瑞文嬲炙日期：2 0 0 7 年4 月1 2 日首都师范大学位论文授权使用声明本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。学位论文作者签名：王瑞文丢乏f 1 期：2 0 0 7 年4 月1 2 日第一章绪论第一章绪论1 1 计算流体动力学的简述计算流体动力学( c o m p u t a t i o n a lf 1 u i dd y n a m i c s ，简称c f d ) 是通过计算机数值计算和图像显示，对包含有流体流动和热传导等相关物理现象的系统所做的分析c f d 的基本思想可以归结为：把原来在时间域及空间域上连续的物理量的场，如速度场和压力场，用一系列有限个离散点上的变量值的集合来代替，通过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值c f d 可以看做是在流动基本方程( 质量守恒方程非动量守恒方程、能量守恒方程) 控制下对流动的数值模拟通过这种数值模拟，我们可以得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基本物理量( 如速度、压力、温度、浓度等) 的分布，以及这些物理量随时间的变化情况，确定旋涡分布特性、空化特性及脱流区等c f d 方法与传统的理论分析方法、实验测量方法组成了研究流体流动问题的完整体系，理论分析方法的优点在于所得结果具有普遍性，各种影响因素清晰可见，是指导实验研究和验证新的数值计算方法的理论基础但是，它往往要求对计算对象进行抽象和简化，才有可能得出理论解对于非线性情况，只有少数流动才能给出解析结果实验测量方法所得到的实验结果真实可信，它是理论分析和数值方法的基础，其重要性不容低估然而，实验往往受到模型尺寸、流场扰动、人身安全和测量精度的限制，有时可能很难通过试验力一法得到结果而c f d 方法恰好克服了前面两种方法的弱点，在计算机上实现一个特定的计算就好像在计算机上做一次物理实验例如，机翼的绕流，通过计算并将其结果在屏幕上显示，就可以看到流场的各种细节：如激波的运动、强度、涡的生成与传播、流动的分离、表面的压力分布、受力大小及其随时间的变化等数值模拟可以形象地再现流动情景，与做实验没有什么区别c f d 的长处是适应性强、应用面广首先，流动问题的控制方程，般是非线性的，自变量多，计算域的几何形状和边界条件复杂，很难求得解析解，而用博士学位论文：流体力学及海洋数值模拟基于p o d 技术的降维方法研究c f d 方法则有可能找出满足工程需要的数值解；其次，可利用计算机进行各种数值试验，例如，选择不同流动参数进行物理方程中各项有效性和敏感性试验，从而进行方案比较再者，它不受物理模型和实验模型的限制，省钱省时，有较多的灵活性，能给出详细和完整的资料，很容易模拟特殊尺寸、高温、有毒、易燃等真实条件和实验中只能接近而无法达到的理想条件c f d 也存在一定的局限性首先，数值解法是一种离散近似的计算方法，依赖于物理上合理、数学上适用、适合于在计算机上进行计算的离散的有限数学模型，且最终结果不能提供任何形式的解析表达式，只是有限个离散点上的数值解，并有一定的计算误差；第二，它不像物理模型实验一开始就能给出流动现象并定性地描述，往往需要由原体观测或物理模型试验提供某些流动参数，并需要对建立的数学模型进行验证；第三，程序的编制及资料的收集、繁理与正确利用，在很大程度上依赖于经验与技巧近十多年来，c f d 有了很大的发展，替代了经典流体力学中的一些近似计算法和图解法：过去的一些典型教学实验，如r e y n o l d s 实验，现在完全可以借助c f d 手段在计算机上实现所有涉及流体流动、热交换、分子输运等现象的问题，凡乎都可以通过计算流体力学的方法进行分析和模拟c f d 不仅作为一个研究工具，而且还作为设计工具在水利工程、土木工程、环境工程、海洋结构工程、工业制造等领域发挥作用经过近几十年的发展，c f d 出现了多种数值解法根据离散的原理不同，c f d大体有三个较有效的分支有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d f d m )有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m )有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，f v m )比较而言，有限差分法是应用最早、最经典的c f d 方法，它将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组求出差分方程组的解，就是微分方程定解问题的数值近似解它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法这种方法发展较早，比较成熟，较多地用于求解双曲型和抛物型问题在此基础上发展起来的方法有p i c ( p a r t i c l e i n c e l l ) 法、2第一章绪论m a c ( m a r k e r a n d c e l1 ) 法。因此，计算流体动力学是近代流体力学，数值数学和计算机科学相结合的产物，是一门具有强大生命力的科学它以电子计算机为工具，应用各种离散化的数值方法，对近代流体动力学的各种问题进行数值试验，计算机模拟和分析研究，以解决各种实际问题，并揭示新的物理现象，开拓新的方向1 2 实际数值模拟中遇到的问题和解决办法1 2 1 实际问题数值模拟中遇到的问题在用c f d 解决实际问题的过程中，首先要将实际问题描述成相应的数学模型，一般情况下是给定初边界条件的偏微分方程系统因此，用有限元方法，有限差分法或有限体积元方法对这样的系统做数值模拟一般来说会导出一个很大的偏微分方程组，计算时的自由度太多，需要大量计算时间和内存容量，使得对真实时间估计和控制不可用比如在数值天气预报中，由于观测系统的发展，使得我们能够获得大量的数据观测资料，并引入了资料同化技术( 一种将观测和数值模式结合的方法) ，在资料同化技术中通常把常规气象资料，雷达资料和卫星遥感资料和天气预报模式结合起来为数值天气预报提供初值在各种资料同化方法中，四维变分资料同化方法( 求解泛函代价函数问题) 是提取大气、海洋、陆面过程多变量时空变化的最先进，最有力的工具之一目前这已经得到了许多大气，海洋数值预报中心的认可然而，对于真实的大气数值模式，海洋数值模式和陆面过程模式来说，使用四维变分方法的最大障碍就是控制空间的维数，它一般等于模式状态变量的维数，也就是在我们对偏微分方程组离散的过程中自由度的个数，在大气和海洋中比较典型的量级是1 0 7 一l 旷这极大限制了这一先进方法在实际预报中的应用目前在实际应用中，现有三个方法，即增量方法( c o u r t i e re ta 1 1 9 9 4 ) 、c h e c k - p o i n t ( g r i e w a n k ，2 0 0 0 ) 法以及并行计算法( p a r a l l e l i z a t i o n ) 可以从某种程度上减低问题求解的难度和对存储量和计算量的要求但是这些方法仅能够减少相当于把维数降低一到两个数量级的存储量和计算量因此寻找能够大幅度减少问题维数的办法是当前同化研究领域的热点问题( h o t e i t 和p h a m2 0 0 3 ) 1 2 2 解决问题的办法及其p o d 方法在国内外研究的进展博士学位论文：流体力学及海洋数值模拟基于p o d 技术的降维方法研究有限差分方法是求解偏微分方程组的重要方法之一然而。非定常方程组的差分格式的自由度太多因此重要的问题是在保证足够的精度的解的情况下如何简化计算和节省计算时间及内存容量在模拟由偏微分方程控制的物理过程中，p o d ( p r o p e r o r t h o g o n a ld e c o p o s i t i 仰)方法是一种高效降维方法这是一种功能强大，效果显著的数据分析方法，其目标是把多维的物理过程进行低维的近似描述( 即用最佳级数展开) ，进而大大减小用于重现物理过程时所需存储的数据量它提供了一种描绘物理过程的有效方法，该物理过程可以写成一个只与时间相关的函数和一个只与空间相关的函数的展开式序列，且它们在均方意义上是最优的，在展开式中只需要少量的项数就可较准确地描述该物理过程因此p o d 方法常被用来解决实际问题数值模拟中的降维方面下面介绍近年来提出的这种方法及其在流体控制领域中最新的进展p o d 方法最早是由l o e v e ( 1 9 4 5 ) 和k a r h u n e n ( 1 9 4 6 ) 提出来的，6 0 多年来，这种方法得到了广泛深入的研究，并成功的应用于各领域中其中最重要的应用之一是关于流体空间有序运动，如柱面流动；p o d 方法也应用于湍流及其拟序结构、信号分析以及模式识别；也有许多学者将这种方法应用于最优控制问题，如用来研究b u r g e r s 方程，g i n z b u r g l a n d a u 方程以及b 6 n a r d 对流及其它流体控制问题、近年来，p o d 方法更多地应用于逆问题此外，此方法也可应用于工业，如超声速喷射模式、食物热处理以及动力风压对建筑物影响的研究等对于p o d 方法的应用及发展在这里就不再展开详述p o d 方法的本质问题是确定一个资料集合根本的一致的结构这样在于找到p o d 最优基并且建立一个降维模式去逼近原始数据集合p o d 最初是被用来作为一个数据表现技术，对于动力系统的模式降维，p o d 可以用在来自系统轨迹的数据点，而系统轨迹是来自于由试验，数值模拟或者分析得到的与上述成果相比，p o d 方法应用于地球流体力学的研究就逊色多了，如海洋、大气等的大尺度系统利用调和函数的e o f 或者p o d 作为基函数，对一个高维的时空分布流型降维的研究最早在大气科学的应用可能是s c h u b e r t( 1 9 8 5 ，1 9 8 6 ) 随后s e l t e n ( 1 9 9 3 ，1 9 9 7 a ，1 9 9 7 b ) ，k w a s n i o k ( 1 9 9 6 ) 也尝试了这一方法通常，这些动力系统相当复杂，其离散的数值模式由于维数巨大( 典型4第一章绪论量级为1 0 7 1 0 8 ) ，使得求解非常困难1 3 本文研究的内容和特点本文我们用p o d 方法来研究非定常的n a v i e r s t o k e s 方程的差分格式，用有限差分格式算出的非定常的n a v i e r s t o k e s 方程瞬时解构成数据集合，再用特征正交分解和奇异值( s v d ) 分解求出这数据集合的元素的最优正交基函数，结合g a l e r k i n 投影方法导出了非定常的n a v i e r s t o k e s 方程的具有较高精确度的低维模型，给出了一个n a v i e r s t o k e s 方程最优化的有限差分格式，利用p o d 方法重构原问题的降维模式，导出全阶有限差分格式解和基于p o d 方法的最优有限差分格式解之间的误差估计通过数值算例，得到p o d 逼近解和全阶模式数值解之间的误差，数值结果验证了p o d 方法在降维上的有效性和可行性。然后我们将混合有限元方法和p o d 方法结合起来应用在热带太平洋约化重力模式上，得到了降维模式，给出了混合有限元方法的降维格式，并且也给出了混合有限元逼近解和p o d 逼近解之间的误差估计，进而导出了准确解和p o d 解之间的误差估计通过数值算例表明了p o d 逼近解和混合有限元逼近解之间的误差和理论结果一致，并且计算维数、计算量和计算时间都大量减少由于在应用p o d 方法的过程中，通常转化为求时间系数的常微分方程组，由于方程组的复杂，难于求解或者不可能求解其具体形式，因此我们考虑了基于p o d 方法的e q u a t i o n f r e e ( e f ) p o d 方法，即不需要求解时间系数的常微分方程组的具体形式，也通过数值结果表明改方法不但解决了方程形式难于求解的问题，而且得到的数值结果比直接用p o d 方法还要有效这个方法也是首次应用在热带太平洋约化重力模式上本文安排如下：第一章绪论第二章p o d 方法的简介和原理第三章主要研究了非定常的n a v i e r s t o k e s 方程基于p o d 方法的差分格式第四章主要研究了太平洋约化重力模式基于p o d 方法的混合有限元格式及其误差估计第五章主要研究了e fp o d 方法在太平洋约化重力模式上的应用和效果第六章总结和讨论博士学位论文：流体力学及海洋数值模拟基于p o d 技术的降维方法研究第二章p o d 降维方法简介和原理2 1p o d 方法简介特征正交分解方法( p o d ) 是一个非常有效的降维方法，应用在流体力学方程中的差分格式或有限元格式上时，它可以提供具有适当逼近度而自由度又较少的低维模型，使得简化计算，节省c p u 和内存( h o l m e sp 和l u m l e yjl ，1 9 9 6 ) 在奇异值分析和样本识别中，称该方法为k a r h u m e n l o e v e 展开( f u k u n a g ak ，1 9 9 0 )在统计学中，称该方法为主分量分析( j o l l i f f eit ，2 0 0 2 ) ：在地球物理流体动力学和气象科学中。称该方法为经验正交函数方法( m a j d aaj 和t i m o f e y e vi ，2 0 0 3 ：s e l t e nf ，1 9 9 4 ) p o d 方法主要是提供一种有效地逼近大量数据地有效工具，其实质是在最小二乘意义下提供能代表已知数据地一组正交基，即提供一种求给定数据的最优低维逼近的方法此外，由于p o d 方法是在最小二乘意义下是最优的，所以该方法有完全依赖数据而不对数据做任何先验假设的性质p o d 方法和g a l e r k i n投影方法相结合，提供了将维数很高和无限维空间的动力系统变成低维模型的有效方法在许多情况下，即使一个动力系统的解集合是由大量的不同瞬时解构成，但是动力系统的特性可由特征线或相关结构确定该方法通过在一系列瞬像点里确定一个和时间相关的系统里的最主要的几个能量模态，然后给出一个对系统动力学进行低维描述( g b e r k o o z ，1 9 9 3 ) 瞬像点方法是首次在l s i r o v i c h ( 1 9 8 7 ) 中被提到，在流系统里是一个非常有效和容易的办法来获得p o d 基函数集p o d 方法最初是被l o e v e 在1 9 4 5 年和k a r h u n e n 在1 9 4 6 年介绍的，这个方法今年来已经被广泛的应用到各个领域，比如在热对流，湍流和外部流的一些试验( r e a r n d t ，1 9 7 8 ：j d e l v i l l e ，1 9 9 9 ) 和数值研究( c o u r t i e r 。1 9 9 4 ：a l i a k o p o u l o s ，1 9 9 7 ) ，等等p o d 方法一个重要的应用是在天气预报数值方法上的应用，四维变分是天气预报上的一个重要的数值方法，但是一个突出的困难是它的计算量很大。一般来说模式变量的量级大约是1 0 7 一1 0 8 ，当前为了解决这个问题，常用的方法有增量法( c o u r t i e r ，p1 9 9 4 ) 、c h e c k p o i n t 法( g r i e w a n k ，a2 0 0 0 ) 和并行计算法。6第二章p o d 降维方法简介和原理可以从某种程度上减少四维变分问题求解的难度和对计算量的要求，但是这些方法仅能够把维数降低一到两个数量级，所以寻求一个大幅度减少计算量的方法是现在研究资料同化研究领域的热点问题近年来，我们对热带大洋的研究增加了，有很多基于物理系统的偏微分方程的海洋模式的设计和理论被提了出来，但是这样的系统模式通常由于它是一个高阶系统而很难去解决，所以p o d方法被应用到这些海洋模式上，大大降低了计算量曹艳华和朱江做了一个初始的尝试，就是将p o d 方法运用到热带太平洋约化重力模式上数值结果验证了这个方法的可行性和有效性( c a o ，y 和z h u ，j 2 0 0 6 ) ，我们将在下面分别对连续的情况和离散的情况来描述p o d 降维方法模拟的原理2 2p 方法降维原理2 2 1 连续的情况对一个复杂，高维系统的解的时空分布u ( i ) ，设u ( i ) ( i - l ，2 ，) 表示在时间段【0 ，】内特征选取的个时刻的空间分布( 简称s n a p s h o t s ) 定义这组样本的平均驴= - 专喜( 现( 2 1 )然后我们利用平均值得到一组新的样本k = u 一盯( 2 2 )我们希望找到一个对( 2 2 ) 式的数据的最优压缩描述，一种方法是根据基函数集进行展开直观上说，基函数应当能在一定意义上代表数据集合里的元素也就是说求一个函数中，最能代表这组样本( f u k u n a g ak1 9 9 0 ) ，即所谓的基函数，使得o = 尻k ( i ) ，( 2 3 )其中系数厥是待定的，使得由( 2 3 ) 式给出的函数m 确保下式取得最大值，博士学位论文：流体力学及海洋数值模拟基于p o d 技术的降维方法研究搏( ”卯，( 2 4 )其中中还要满足( 巾，o ) 爿j 中f j 2 = 1 ，( 2 5 )其中( ，) 和州1 分别表示区域q 上的r 一内积和口一范数从l yhv 和t r a nht p r o p e r ( 1 9 9 8 ) 知基函数是下面积分方程的特征函数，上c ( i ，i ) ( 孑) 旃= 五中( i ) ，( 2 6 )其中积分方程的核定义为c ( 秘) = 专粪嘶) 嘶) ( 2 7 )这样使表达式( 2 4 ) 取得最大值问题就相当于求一个矩阵的特征向量问题( l yhv 和t r a nht p r o p e r 1 9 9 8 ) ，其中是样本个数，专喜旧降( 肿吐( 2 8 )将( 2 3 ) 代入( 2 6 ) ，得到下面的特征值问题：喜( 专l 巧( i ) 巧( i ) 威+ 溉= a 仇，= l ，2 ，( 2 9 )即厶，协= 旯叩，( 2 1 0 )其中厶= 专( 巧，巧) ，三= ( 厶) 。是一个对称的非负矩阵我们将( 2 9 ) 式写成矩阵形式，c w = a w ，( 2 1 1 )其中c 。= 专l ( i ) 圪( i ) 厩，w = 【叩l ，玑，叩。】，研= 【屈。，尼：，属。】o = l ，2 ，) ，由于c 是一个对称非负的h e 堋i t i a n 矩阵，从而存在着对应于特征值 五扎o 的一组完备的正交特征向量基矾，叩2 ，玑，这样我们通过第二章p o d 降维方法简介和原理( 2 3 ) 就可以得到一组正交的基函数m ，j = 1 ，2 ，( l yhv 和t r a nht p r o p e r ，1 9 9 8 ) 为了使得模型简化，通过定义相关能量信息来忽略小特征值所对应的模态，选择一个维数是m ( “) 低维基向量空间定义选择膨使得i丑，( 忌) = 导一丑( 2 1 2 )m = a r g m i n ( 后) ：，( 七) 盯) ，( 2 1 3 )其中o 盯l 是由降维空间= s p 趾 m 。，2 ，m 。) 所捕获的总能量的百分数为了捕获s n a p s h o t s 基的大部分能量，盯必须在1 附近选取那么降维模式可以通过下面的扩展式中的解得到u ”( r ，i ) = u ( i ) + q ( ，) ，( i ) ，( 2 1 4 )一m如果假定初始条件是未知的，对于时间f = o 时，有【，”( o ，i ) ：百( i ) + 芝q ( 0 ) 。，( i ) ( 2 1 5 )因此获得了一个降维的控制变量g ，( o ) ( 净1 ，2 ，m ) 这样我们就可以用上述m个p o d 基函数可以扩展成降维空间，构造降维模式，使其在降维空间里求解用g a l e r k i n 逼近将模式方程投影到由p o d 基函数扩张成的降维空间中，得到求解系数口，( f ) 的常微分方程组2 2 2 离散情况这里的样本 u ，u ， 一般是由系统的一个数值模式积分得到的，所以是离散格点上的数值( 聊为空间格点数)记其平均为 u ( ) ，u ( 而) ，u ( ) ；u 。( 玉) u 。( 恐) ，c 0 ( ) 9博士学位论文：流体力学及海洋数值模拟基于p o d 技术的降维方法研究盯( t ) = 古q ( ) ，七= 1 ，所( 2 1 6 )t l用每个u ( 黾) ( 扛1 ，) 减去平均口( 鼍) ，得到一组新样本，仍记为记矩阵 u ( 五) ，u ( 艺) ，u ( ) ；u 。( 五) ，u 。( 屯) ，( ) ) ，( 2 1 7 )4 =燃臻0 眨u ( 恐) ( 屯) 【，( ) l，。，0 、u ( ) 以( ) 巩( ) j 。下一步求矩阵丁= ( 删7 ) 。，的特征值和特征向量因为一般有脚 ，因此求矩阵丁的特征值和特征值向量的代价将很大在这里，使用时空转换技巧，转而求矩阵7 = ( 4 ) 。的特征值和特征值向量求下列特征值问题j i ? v = v 可以证明矩阵r 是对称半正定的，因此得到一组降序排列的特征值 如丸o 及相应的标准正交特征向量y 7 = 州，v ；，蝣) 7 ( j = 1 ，)组成矩阵。由于时空转换，记矩阵f = ( 4 y ) 。，此时矩阵f 并非标准正交的。但是如果矩阵f 的每一列均除以托( _ ，= l ，) ，则矩阵f 成为标准正交阵由此一组基向量定义为m ，( 黾) = ，f = 1 ，；= 1 ，m ，( 2 1 9 )其中爿为矩阵f 的第| | 行j 列元素降维模式可以通过扩展下式得到u 一( f ，) ：西( 屯) + 芝口，( f ) 巾，( ) ，t ：l ，肌，( 2 2 0 )其中参数m 的选择类似于连续情况中选择m 的方法如果假定初始条件是未知的，对于f = o 时u ”( o ，) ：_ ( 坼) + 兰口，( o ) m ，( t ) ，| i ：l ，埘( 2 2 1 )这样对于由初始条件扩展的向量，由此获得了一个降维的控制变量1 0第二章p o d 降维方法简介和原理q ( 0 x j = 1 ，2 ，吖)2 3 咖降维模式如果模式的初值由u 0 ：孑+ 兰q ( o ) 中，确定，用上述肘个p o d 基函数可以扩展成降维空间d = s p 锄 m ( 曲，o ，( x ) ) ，构造降维模式，使其在降维空间里求解用g a l e r k i n 投影方法将模式方程投影到由p o d 基函数扩张成的降维空间中，得到求解系数吼( f ) 的常微分方程组若原模式方程写为警嘲啪o ，【，( x ，o ) = u o ( 力，工q ，( 2 2 2 )【，( x ，f ) k = 眈( f ) ，r 降维模式方程可表为辈一k ( u ”) - o ，西、7在( 2 2 3 ) 两边同乘基函数国并对空间做积分，有( 2 2 3 )( 垡等咽u 飞儿_ o ，j = l ，2 ，肘( 2 2 4 )讲整理后可得到下列关于系数岛( f ) 的常微分方程组警郴( 嚆删j ) ， - o ，肌( 2 2 5 )其中珥( o ) ( j = l ，2 ，m ) 已知解当我们用欧拉方法求得q ( f ) 后，再由( 2 1 4 ) 就可以得到降维空间中的p o d博士学位论文：流体力学及海洋数值模拟基于p o d 技术的降维方法研究第三章非定常的n a v i e r _ s t o k e s 方程基于特征正交分解的差分格式有限差分方法是求解偏微分方程组如非定常的n a v i e r s t o k e s 方程的重要方法之一，然而，非定常的n a v i e r s t o k e s 方程的差分格式的自由度太多因此本章用特征正交分解和奇异值分解去研究非定常的n a v i e r s t o k e s 方程的有限差分格式，并用由差分格式计算出的非定常的n a v i e r s t o k e s 方程瞬时解构成数据集合，再用特征正交分解和奇异值分解求出这个数据集合的最优正交基函数结合g a l e r k i n 投影方法导出非定常的n a v i e r _ s t o k e s 方程具有较高精度的低维模型并且导出了这种基于p o d 方法的降维格式的逼近解和通常的全阶有限差分格式的逼近解的误差估计，数值结果表明特征正交分解格式解和有限差分格式解的误差与理论分析结果一致，从而验证了特征正交分解的有效性3 1 非定常的v i e r _ s t o k e s 方程的差分格式和瞬像的生成设q c 是2 是有界的连通多角区域，考虑下面的非定常的n a v i e r - s t o k e s 方程。问题( i ) 求厅= ( 甜，v ) ，p 使得l 玩一l 地五+ ( 厅v ) 霸+ v p = 六( 菇，f ) e o ( o ，r ) ，( 3 1 )jd i v 厅= o ，( 工，f ) q ( o ，r ) ，l 厅( 五，) = 尹( 葺f ) ，( x ，) a q ( o ，r ) ，【露( x ，o ) = 多( 善，o ) ，x q ，其中面表示流体的速度向量，p 表示压力，于= ( 石，五) 是已知的体力密度，哥( x ，) = ( 仍，仍) 是给定的向量函数，d 为粘性系数等于r e y n o l d s 数的倒数，即p = 1 i 沁设缸和缈分别表示x 和y 方向的的空间步长，表示时间步长，甜；+ 哆t + ，形1 分别表示群在点( 0 + ，几，f ) ，v 在点( _ ，以+ ，f 。) ，p 在点第三章非定常的n a v i c 卜s c o h s 方程基于p o d 方法的差分格式( _ ，以，) ( 1 _ ，o j x ，o 玎= r 血) 处的函数值下面用交替网格差分格式解问题( i ) 见图3 1广卯ll1p“jt卯pil图3 1 交错网格示意图( 1 ) 对连续方程譬+ 芸：o 的离散化有靠钾! 互：! 二! 盏+ 丛二丝；o ，( 3 2 )出缈( 2 ) 对工方向的动量方程詈+ 警+ 警一罢+ 去c 等+ ，c s 西缸却缸r e 、苏2 卸”的各项在点( _ + ，以) 处离散有博士学位论文：流体力学及海洋数值模拟基于p o d 技术的降维方法研究c 瓢。= 华，c 誓k 扣= 气导，c 警h 广堕岩盟，c h 广坐号产，e k 旷坐挚，c 鼽批= 等将( 3 4 ) 一( 3 9 ) 代入( 3 3 ) 可得x 一方向的动量方程的差分格式”咎= 址粕1 + 扣一去【砖一班】，其中鼍2 石( _ 岵，肌，厶) ，而且广畋扩等吨卜参) 舭 七h 一】“+ 尝【坐雩产+ 坐去芋堑nr e v 2a r 24( 3 ) 同理y 方向的动量方程象+ 蔷+ 警= 一考+ 去c 雾+ 雾，a 却苏却r e 、缸2 却可在( x f ，儿+ ；) 处展开，j ，一方向类似有v 暑 = 址，砖：+ q 一等或“一或小( 3 1 3 )其中兄+ ，：= 石( _ ，咒+ ，) ，而且啄+ = 吃+ 一告【吃，l - 略r 一尝【( 删) 膨砖一( 1 f ，) 一“ r+ 去t 立挚+ 丝挚卜。1 4 rex2v 2。将( 3 1 0 ) 和( 3 1 3 ) 代入( 3 2 ) ( 可取任意时间层) 得到p 的p o i s s o n 方程1 4第三章非定常的n a v i 昏鼬i 【c s 方程基于p o d 方法的差分格式【纽专产+ 丛号笋纽1 “= 膦，( 3 1 5 )其中r 酪= 古i _ 【c 啪一一弘+ f ( + 1 “一书。) r + 之i - 【q 州一q 。+ f ( + ，2 一乃h 2 ) 】”差分方程( 3 1 0 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 5 ) 的收敛和稳定要求o 2 5 ( 2 小门