（系统工程专业论文）基于离线编程的喷漆机器人喷枪轨迹的设计及仿真.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文首先介绍了喷漆机器人离线编程系统的研究意义和现状，指出自动轨 迹生成方式是今后的发展趋势。 在这样的自动喷涂操作中，使用机器人的机械手以使得它绕待涂工件表面 来回移动。假定这样的系统具有高度的可重复性，随着其性能的提高，适当的 路径和其它的过程参数的选择都能够引起花费代价的巨大节省。本文提供了喷 涂应用中喷涂工艺参数选择及喷枪的优化轨迹的一个框架，以使得在工件表面 上产生最佳的喷涂效果。喷涂工艺参数的选择主要描述了漆流速率通量的数学 模型，分析了漆流通量场呈实心圆锥状和呈空心圆锥状的涂层厚度分布( 包括 重叠区域) ，并计算出两种情况下获得最佳涂层厚度分布的两个喷漆行程间的偏 移距离，然后指明了喷涂策略以确定喷涂宽度和工件宽度之间的函数关系。喷 枪优化轨迹的设计主要是通过离线编程来寻找一条满足涂层厚度指标且保持涂 层厚度均匀的前提下，工件表面漆膜厚度差异达到最小时的喷枪轨迹。该问题 称为受约束的变分问题，主要采用非线性方法求出其解。 最后，本文通过工件表面为正方形、圆柱面与圆锥面的实例来进一步说明 喷涂工艺参数的选择及其喷枪轨迹的设计、求解。在给定喷枪的空间路径的前 提下，取漆流速率通量函数为抛物线形模型，并通过一般非线性规划方法得出 漆流通量场呈实心圆锥状和呈空心圆锥状时分别依匀速喷涂和按优化方法后的 轨迹喷涂的仿真结果，论证了本文研究工作的可行性。对于b z i e r 曲面的情况， 本文给出了具体求等距面的方法。 关键词：喷漆机器人，离线编程，轨迹设计，喷涂工艺，等距面，仿真 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rf i r s td e s c r i b e st h er e s e a r c hp u r p o r ta n dc u r r e n tr e s e a r c hl e v e lo ft h e o f f - l i n ep r o g r a m m i n gs y s t e mf o rp a i n t i n gr o b o t ，a n dp o i n t s6 u ta u t o m a t i ct r a j e c t o r y g e n e r a t i o nm e t h o dw i l lb et h ea r e ao ff u t u r ed e v e l o p m e n t i ns u c hs p r a y c o a t i n go p e r a t i o n sr o b o t i cm a n i p u l a t o r sa r ee m p l o y e dt ot r a v e r s e a r o u n dt h eo b je c t s t ob e c o a t e d g i v e nt h eh i g hd e g r e eo fr e p e a t a b i l i t yo fs u c h s y s t e m s ，p r o p e r s e l e c t i o no fp a t h sa n do t h e rp r o c e s sp a r a m e t e r sc a nr e s u l ti n s i g n i f i c a n t c o s t s a v i n g s w i t h i m p r o v e dp e r f o r m a n c e t h i sp a p e rp r o v i d e s a f r a m e w o r kf o rp a i n t i n gt e c h n i c sp a r a m e t e rs e l e c t i o na n do p t i m a lp a t hs e l e c t i o ni n s p r a y p a i n t i n ga p p l i c a t i o n s t h er e s u l ti sp r o v i d i n gag o o de v e n n e s so f c o a t i n g i nt h e s t u d yf o rt h es e l e c t i o no fp a i n t i n gt e c h n i c sp a r a m e t e r s ，m a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rt h e p a i n tf l o wr a t e f l u xa n d p a i n t t h i c k n e s sd i s t r i b u t i o n s ( i n c l u d i n go v e r l a p p i n g p a i n t i n ga r e a ) a r ei n t r o d u c e d ，a n dt h eo p t i m a lo f f s e t sb e t w e e nt w op a i n ts t r o k e sa r e c o m p u t e d ，t h e np a i n t i n gs t r a t e g i e s a r ep o i n t e do u tt od e t e r m i n et h em a t h e m a t i c s r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p r a yw i d t ha n dt h ew i d t ho ft h ew o r k p i e c e t h eo p t i m a l t r a j e c t o r yd e s i g np r o b l e m sm a i n l ya n a l y z eh o w t of i n do u tat r a j e c t o r yw h i c hr e s u l t s i nm i n i m a lv a r i a t i o ni na c c u m u l a t e df i l mt h i c k n e s so nt h es u r f a c eo faw o r k p i e c e w h i l et h ep a i n tt h i c k n e s so nt h ew o r k p i e c es u r f a c er e a c hac e r t a i nc h a r a c t e r i s t i ca n d i sk e p tu n i f o r m t h e ya r eg e n e r a l l yf o r m u l a t e da sat y p eo fo p t i m i z a t i o np r o b l e m k n o w na sac o n s t r a i n e dv a r i a t i o n a l p r o b l e m s t a n d a r dn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g t e c h n i q u e sc a n b eu s e dt od e t e r m i n ei t ss o l u t i o n f i n a l l yt h i sp a p e rs i m u l a t e st h es i t u a t i o no nas q u a r ep l a n es u r f a c e ，c y l i d e r s u r f a c ea n dc o n es u r f a c eo fa w o r k p i e c et oe x p l a i nt h es e l e c t i o no fp a i n t i n gt e c h n i c s p a r a m e t e r sa n dt r a j e c t o r yd e s i g na n ds o l u t i o n so fs p r a yg u nf u r t h e r l y g i v e na s p e c i f i e ds p a t i a lp a t h a n dt h ep a r a b o l i c p a i n t f l o wr a t ef l u xd i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ，s o m er e s u l t sa r eo b t a i n e db y u s i n gg e n e r a l n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g m e t h o d t h e s er e s u l t si n c l u d ea v e r a g ev e l o c i t yt r a j e c t o r ya n do p t i m a lt r a j e c t o r yo n t h ec o n d i t i o no f p a i n tf l o wf l u xw i t has o l i d c o n ea n dah o l l o wc o n e ，w h i c h d e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo ft h e s em e t h o d s a tl a s t ，a na r i t h m e t i ci sp u tf o r w a r dt o s o l v eo f f s e ts u r f a c eo ft h eb 6 z i e rc u r v es n r f a c e k e yw o r d s ：p a i r i n gs p r a y i n gr o b o t s ，o f f - l i n ep r o g r a m m i n g ，t r a j e c t o r yd e s i g n p a i n t i n gt e c h n i c s ，o f f s e ts u r f a c e ，s i m u l a t i o n l i 学位论文版权使用授权书 y 1 0 0 6 9 9 1 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密团，在；年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：- 7 ；1 l i 略 2 。好月1 2e 指导教师签名：垒瞎真 。；年占月，。舅 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：习卸 谚 日期：、。5 年6 月jz 日 江苏大学硕士学位论文 1 1 序言 第1 章绪论 二十世纪的最后十五年是我国高新技术发展的基石。智能机器人作为世界前沿 技术被列入国家8 6 3 计划。我国专家，学者根据国情，结合国际发展趋势，将研究 机器人技术定位在国际的前沿领域特种机器人上。所谓特种机器人，就是让机 器人在特殊环境下，完成人们不能干，干不了或者干不好的些工作。如喷漆机器 人的使用。 喷漆机器人在国外早已广泛应用于汽车等产品的涂装生产线上，近年来国内亦 拥有相当数量的喷漆机器入如南航研制的p r 1 型喷漆机器人。在大规模的涂装生产 线上，用于喷涂工件表面的喷枪通常被置于机器人的手臂上，即由喷漆机器人去完 成对工件的喷涂作业。用于规划喷漆机器人的运动的一种典型方法是入工示教法， 即由工人握住安装有固定喷枪的机器人前臂进行喷涂实验，同时由控制机器人的计 算机记录下机器人各关节参数的变化，使得枫器人随后能独立地重复沿原先的轨迹 运动。尽管这种方法是简单的，且已被广泛利用，但存在不少缺点： a ) 喷枪轨迹是凭人工经验和实验方法获得的，而喷涂效果与物体表面形状、喷 枪参数等诸因素有关。因此按此方法无法择出最佳喷涂路径： b ) 在示教过程中机器人不能被使用，人类始终处于有害的环境中； c ) 人工费用较高且缺少熟练劳动力； d ) 该方法通用性较差，对于外形复杂且不规则的涂件达不到预期效果。 以上问题是基于这样的事实，机器人被用于示教的工作场所通常是有害的环境， 而对于人工操作者而言，给机器人示教一条优化的运动轨迹是非常困难的。与机器 人运动的实施直接相关的不仅仅是油漆的消耗、喷涂时间，而且与获得一致的涂层 厚度相关。当物体形状变得复杂和涂层容许偏差要求严格时，示教机器人一条优化 路径对人来讲是非常困难的。 随着对环境保护和劳动保护的日益重视，以及适应生产自动化发展的需要，同 时也为了进一步提高产品质量和生产效率，人们希望改变以往的人工示教法。随着 近2 0 年来机器人技术的迅速发展，驱动方式从液压驱动改变为电力驱动；喷漆速度、 绝对精度和动态跟踪精度的显著提高：加速过程日趋平稳快速；离线编程能力从无 到有。同时计算机科学的发展更是突飞猛进，特别是c a d c a m 技术的长足发展， 以及人们对机器人离线编程兴趣的与日俱增，自然产生了要把这项技术应用于喷漆 机器人的构想。于是人们开始寻求喷漆机器人离线编程方法，期望利用计算机自动 寻找出能产生最佳喷涂效果的喷枪运动轨迹，再将这条轨迹最终转换成机器人的运 动程序。在离线编程过程中，机器人规划被分开来进行，因此机器人能连续而重复 江苏大学硕士学位论文 地执行它现在的工作。离线编程主要的好处是： a ) 减少停工待料期以及给机器人极大的能力： b ) 通过仿真更好地理解过程； c ) 减少对昂贵设备的破坏以及对人工操作者危害的风险， 离线编程可以通过汇编语言或者利用建立在图形基础上的仿真和编程系统来 完成。汇编语言由于其与机器人易于交流，因而花费少，并提供了好的编程设备以 及利于对机器人进行控制。但是不足的是它提供了很少的甚至没有的可视化特征以 及要求高水平的编程人员。而另一方面，建立在图形基础上的仿真和编程系统用可 视化就可解决上述问题并提供了一个高级使用者界面，低水平的编程人员就足够操 作这些系统。 在喷漆机器人离线编程领域，人们已进行了各种不同的实验研究，取得了定 的成果： 2 0 世纪8 0 年代初，美国m c a u t o 公司研制成功四套用于机器人的软件模块： p l a c e 、b u i l d 、c o m m a n d 、a d j u s t ，它们能够在机器人工作车间安装之前， 先对那儿的生产过程进行离线化仿真和检验。 1 9 8 4 年，人们提出了对机器人进行离线编程系统，并设想用计算机图形化仿真 机器人的工作过程。 1 9 8 6 年，a k l e i n 把此项技术应用于喷漆机器人，并提出基于c a d 的喷漆机 器人离线编程系统【1 】。同样，借助此系统用户可以交互式设计和仿真喷枪与机器人的 运动轨迹。 此外，b b i d a n d a 等人在1 9 9 3 年也提出与此类似的喷釉机器人离线编程系统 ( o l p ) 1 2 , 3 。 1 9 8 9 年，g d u e l e n 等人迸一步探讨了离线编程技术，将之用于静电喷涂中，且 提出表面为雕塑面的工件上电场分布数学模型 4 1 ，进一步扩大了其应用范围。 喷漆机器入离线编程系统的核心是喷枪轨迹生成方式，交互式或离线示教式轨 迹生成方式一般只适用于外形简单、规则的工件( 如金属板) ，但对于外形复杂的工 件( 如汽车保险杠) ，由于需输入大量的中间点坐标，这种方法显然变得不实用。由 此，1 9 9 1 年，s u k h a ns u h 等人在总结他人成果的基础上，研究了喷漆机器人的自动 轨迹规划系统，研制成了集软、硬件于一体的喷漆机器人离线编程系统( i r p s ) 样 机f 5 】。此系统能够完成物体建模、参数设置、自动轨迹生成、分析仿真和硬件驱动诸 多功能。其轨迹优化方法是通过求解以漆膜厚度的均匀性和喷涂时间之间的加权为 目标泛函的极值问题【6 j ，自动生成喷枪的最优轨迹。 近年来，j k a n t o n i o 和r r a m a b h a d r a n 则具体讨论了喷枪轨迹的优化问题 7 - 1 2 1 ， 提出了以工件表面上每点的漆膜厚度与整个表面的漆膜平均厚度之间的方差为目标 泛函，并考虑了喷枪的空问路径、速度曲线、移动方式、开口角等参数对喷涂效果 江苏大学硕士学位论文 的影响，在此基础上探讨了加入喷涂过程中的约束条件后，用数值方法求解优化轨迹 的可能性，使喷漆机器人离线编程技术进一步实用化。 1 2 喷漆机器人离线编程系统的结构与功能 喷漆机器人离线编程系统的结构主要包含六大模块：物体造型模块、参数设置 模块、喷枪轨迹生成模块、机器人运动轨迹生成模块、分析仿真模块和机器人程序 生成模块( 参见图1 1 ) 。下面对其功能以及各模块间的关系作一简单介绍。 图1 1 系统结构图 f i 9 1 1s y s t e ma r c h i t e c t u r e 1 物体造型模块 一般采用计算机辅助几何设计( c a g d ) 对物体进行造型。喷涂作业中经常遇到 的涂件，其表面一般都是雕塑面( 自由面) 。可用多种方法对其造型，如c o o n s f e r g u s o n 法、b e z i e r 法、b 样条法及非均匀b 样条法和非均匀有理b 样条法 1 3 埔】或它们之间 的任意组合。除此而外还可以通过标准图形接口( 如i g e s ) 直接把其它c a d 系统 的c a d 数据转换过来或通过扫描直接获得物体数据。经过造型后，系统c a d 数据 库中就存放了物体的c a d 数据，为喷枪轨迹生成模块提供工件数据信息。 2 参数设置模块 江苏大学硕士学位论文 用于设定喷枪的开口角、漆流速率通量、喷射距离、要求的涂层厚度、允许偏 差、喷枪走向、喷涂时间等参数，然后被传送到喷枪轨迹生成模块。 3 喷枪轨迹生成模块 这个模块主要完成喷枪轨迹的生成与优化，它是整个系统的核心。首先建立喷 涂过程中油漆的空间分布模型和评价喷涂效果的目标泛函，然后根据前两模块所传 来的工件c a d 数据与喷涂过程中所需的各种参数，由具体的算法求解目标泛函的极 值，并自动生成能产生最佳喷涂效果的喷枪轨迹。用户还可以在此模块中设定喷枪 走向，然后由此模块对其进行参数优化，输出一条优化的喷枪轨迹。本文第五部分 对此进行深入的讨论。 4 机器人运动轨迹生成模块 本模块的主要功能是根据机器人逆运动学原型u 9 , 2 0 1 ，将上一模块所生成的喷枪 运动轨迹转换成机器人各关节的运动轨迹，从而为分祈仿真模块提供机器入的运动 数据。 5 分析仿真模块 本模块是根据前面各模块所传来的工件c a d 数据、各种参数、喷枪轨迹和机器 人的运动轨迹，图形化显示喷枪沿某一路径喷涂时工件表面的涂覆情况，并以列表 形式给出工件表面上涂层的平均厚度及其偏差数据，也可以用等高线配以不同色彩 方式在计算机屏幕上显示出油漆的空间分布效果图。在此过程中用户可以检查机器 人各关节的运动是否满足其约束条件，是否发生机械手碰撞工件情况，以便反复修 改喷枪参数、路径，最终得到最佳的喷涂效果，从而可以将机器人的运动轨迹写入 轨迹数据库，提交机器人程序生成模块。 6 机器人程序生成模块 完成将机器人的运动轨迹( 由机器人运动轨迹生成模块提供) 转变成其能识别 的程序语言。 1 3 主要内容及其目标 本文主要研究漆膜空间分布模型以及物体表面上一点与喷枪的相对位置，建立 漆膜厚度生长模型，确立物体表面涂层的形成路线并建立评价喷涂效果的目标泛函， 对其求解，找出能产生最佳喷涂效果( 如漆膜的均匀性) 的喷漆机器人喷枪的运动 轨迹，然后根据机器人逆运动学将其转换成机器人各关节的运动规律，最后对整个 喷涂过程进行计算机仿真。其关键在于找出物体表面上一点的漆膜厚度与喷枪参数 及其运动速度之间的关系，以及最优喷枪空间轨迹的自动生成方法。 本文预期达到的目标为： r1 ) 由用户选择待涂工件模型，设定工件表面的一些参数、喷枪参数、涂层厚 4 江苏大学硬学位论文 度、均匀度等指标，计算机根据以上参数自动生成一条空间轨迹和速度曲线； ( 2 ) 由用户初步设定喷枪运动轨迹，由计算机对其进行优化。 若用户对结果不满意，可重新设置参数或修改轨迹，由计算机再次进行仿真或 优化，直至达到用户的要求。 1 4 本章小结 本章简要地介绍了喷漆机器人离线编程系统的研究现状及意义，分析了该系统 的结构和功能，指出其主要包含六大模块，最后阐述了喷漆机器人离线编程系统研 究的主要内容与目标。 江苏大学硕士学位论文 2 1序言 第2 章优化原理与算法 日常生活中，人们经常遇到优化问题。对于简单的问题，可根据经验，加上必 要的调查，凭主观判断即可解决。但对于社会经济、生产管理以及工程领域中的问 题，由于问题涉及的因素多、规模大、难度高，光凭主观经验不能满意的解决，甚 至无法解决，这就必须采用基于坚实理论的较可靠的方法和相应的计算手段与工具 来完成。优化原理与方法正是为适应这种社会需要而产生，并且为了在一切可能的 方案中寻求最优的方案，往往需要进行大量的计算，单凭手工计算已经不能满足日 益增大的工作量，随着数学规划和计算机技术的不断发展，目前优化原理与方法已 广泛应用到了各个领域。 优化问题通常研究对“有限”的资源寻求“最佳”的利用或分配方式。任何资源，如 劳动力、原材料、资金等都是有限的，因此必须合理地配置，寻求最佳的利用方式。 所谓最佳的利用方式必须有个标准或目标，这个标准或目标就是使成本达到最小或 利润达到最大。 与优化问题有关的数学模型总由两部分组成：一部分是约束条件，反映了有限 资源对生产经营活动的种种约束；另一部分是目标函数，反映出生产经营者在有限 资源条件下所希望达到的生产或经营目标。 优化学科有许多分支，如运筹学、计算数学、线性规划以及非线性规划。尽管 具体问题中出现的优化形式各异，但它们在数学本质上却是一致的，大致都可分为 以下三步： 根据所提出的最优化问题，建立实际问题的数学模型，确定变量，列出约束 条件和目标函数： 对所建立的模型进行具体分析，选择合适的求解方法： 确定针对此问题的算法，根据算法编写程序，用计算机求出最优解； 对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率等作出评价。 如果所建立的数学模型能较好地反映具体问题，则该模型的解也将是该具体问 题的最优解，因此希望建立的模型既完善又便于求解。而设计变量、目标函数、约 束条件是构造优化数学模型的三要素。设计变量是指在优化过程中所要选择的量， 优化的目的就是寻找这些变量的最佳组合，设计变量的数目越多，问题的规模越大， 求解就越困难，造成所谓“维数灾难”：目标函数是用于评价一个设计或一种解决方 案的优劣程度的标准，选取何种标准作为目标函数取决于问题的性质与要求；约束 条件是指考虑问题施加的种种限制，每一个设计方案或问题的解答均应满足这些规 6 江苏大学硕士学位论文 定的要求，它们可能是等式条件，也可能是不等式条件。 当优化问题的约束条件可用决策变量的若干线性等式或线性不等式来表达，且 目标函数为决策变量的线性函数时，这样的问题就称为线性优化问题。线性优化技 术在工业、农业、军事、经济计划和管理决策等领域有着广泛的用途，其主要原因 是在上述领域中有很多问题都能用线性模式来表达，或者近似地用线性模式来表达， 而且线性优化问题有着比其他优化问题更为有效和简便的解题技术，即单纯形法。 如果目标函数或约束条件中至少有一个是变量的非线性函数则称为非线性优化问 题，并且实际问题由于变量的取值范围总会受到限制，即总存在一定的约束条件下 来研究目标函数的优化问题，这样非线性规划问题又可随着变量的取值范围分成无 约束优化问题和约束优化问题。 本课题所研究的是如何通过离线编程来寻找在待涂工件表面涂层厚度达到一定 指标，并且保持涂层厚度均匀的前提下，喷枪在工件表面移动时的最优化轨迹，称 为喷枪的最优轨迹设计问题。关于如何使喷枪在被喷工件表面最优化移动的问题被 归为具有约束的非线性规划问题。主要运用非线性规划方法来求解喷枪最优轨迹设 计问题，非线性规划问题的算法很多，从无约束规划中的最速下降法、牛顿法、共 轭梯度法、变尺度法、直接法等，到有约束规划问题中的可行方向法、简约梯度法 及广义简约梯度法、梯度投影法、序n - - 次规划法等陟2 6 】，在本章中只对课题设计 过程中用到的算法，如一维搜索( 倍增半减法和黄金分割法( 0 6 1 8 法) ) 、拟牛顿 法( d f p 法和b f g s 法、有限内存b f g s 法及差分拟牛顿法) 、乘子法分别作一简单 介绍。 2 2 无约束优化算法中的一维搜索 无约束优化算法中的一维搜索，就是求解m 咖( f ) = m i n 厂k + t d 。) 的问题，求 得帆( t ) 的极小点t k ，即可得到沿或方向函数的f ( x ) 的极4 , a x 。= t + 峨。为 求得极小点，根据一元函数极值条件，就是求方程以o ) = 0 的解。对于一些实际问 题，该方程往往难以解析求解，因而通常采用数值法求解，即用一维搜索方法来解。 一维搜索方法可以分为三类：导数型方法、区域缩减法和拟和函数或多项式插值法。 此处主要介绍区域缩减法中的黄金分割法。 2 2 1 倍增半减法 在介绍黄金分割法前先介绍用于确定搜索区间的倍增半减法。该方法应按具体问 题针对当前迭代点h ，首先估计一个初始步长，；，当无法估计时，可取： 江苏大学硕士学位论文 拈( 0 0 1 0 1 ) 渊 ( 2 2 i ) 由于t ：的估计带有一定的盲目性，因此实验过程采用如下的倍增半减步骤即如果使 用该步长获得下降点，则下一次继续沿此搜索，且步长加大一倍；如非下降点，则 下一次应反向搜索，并使步长减半。具体步骤如下( 设以坼出发，即取t l = o ) ： t l = o ，、| ，( t 1 ) 。、i ，l ；t 2 = t l + f ：，、l ，( t 2 ) - - - 、9 2 ；若v t s 、l ，2 ，则转：若、l ，l 、i ，2 ， 则转： 屯= r 2 一妄0 ：一0 ，以) _ ，若，s5 f ，。，则取4 = f 。，c = ，3 ，b = ，2 ，4 虬， 二 虬，j 虮，搜索区间过程结束；若 p l ，则转： t 3 = 1 2 十2 ( t 2 一t 1 ) ，v ( t 3 ) 一聊若兰忱则转；若帅 ，则转； t 3 一t 2 ，v 3 一、i ，2 再转； t z - - - - * t 1 ，t 3 - - - 2 ，、l ，2 一、i ，l ，w 一、i ，2 再转； ，4 = 一妻也一，2 ) ，v ( t 4 ) 一叭，若v 4 s 忱，则取a - - 1 2 ，c = t 4 ，b = t 3 ，v 2 - - + v a ， 二 、l 4 b v c ，_ 舢；若1 l l ，4 、l ，2 ，则取a - - t i ，c = t 2 ，b = = t 4 ，、1 1 1 、 i a ，v 2 - v c ，、 f 4 _ v b a 按上述步骤可获得a ，c ，b ，、| ，。，饥，v b ，满足a ，即满 足“两头大，中间小”的要求，可保证屯【a ，b 。 若所估定的r ：对寻求第k 次迭代的 a ，b 合适，则在第( k + 1 ) 次迭代时，其 初始步长宜略减小，因为下一轮的下降步长一般比以前一轮的下降步长小，般可 取f = o a t ：。 2 。2 ，2 黄金分割法( 0 。8 1 8 法) 求得搜索区间 a ，b 后，一维搜索的任务是通过有效的的投点试验( 函数值计 算) 使 a ，b 迅速缩小，且又能保证极小点f 。位于缩小的区间内，当区间缩至充分 小时，则可取其中的某个点，如中点或区间内已有点中函数值最小的点作为近似 极小点。一个好的一维搜索方法，应使每一次的函数值计算都为区间的缩小作出尽 可能多的贡献。黄金分割法就具有上述优点。 黄金分割法进行一维搜索的终止准则可采取 b 吨 g ，其主要步骤为： 给定a ，b ，a = 0 6 1 8 。 江苏大学硕士学位论文 求z 1 = a + ( 1 一口) ( 6 一日) ，x 2 = a + 口( 6 一口) ，f ( x 1 ) = z ，f ( x 2 ) = 。 若j6 一d 乓占，求出近似最优解x = 三兰；若1 6 日p f 则做。 若一 ，则_ j 口， b j 6 ，x 2j x l ，厶j 工，转：若工= 五，则一ja ，x 2jb ，转。 求x 。= 口+ ( 1 一a ) ( 6 一d ) ，f ( x 。) = z ，转。 求x 2 = 口+ a ( b d ) ，f ( x 2 ) = ，转。 当口= 一1 ) 2 式能满足等比性，口：( 1 一口) 口，因而在古代常被用于线段分割 和作为匀称矩形的边长比，被誉为黄金分割，故此法称为黄金分割法。0 6 1 8 法是 黄金分割法的一种近似。 2 3 无约束优化问题中的拟牛顿法 2 3 i 拟牛顿法的导入 拟牛顿法是一种基于逼近牛顿法的方法，它在每次迭代的搜索方向d 。满足 毋d k = 一v f ( 坼) ( 2 3 i ) 其中也是一近似v 2 f ( x 。) 的矩阵。如果b 。正定，拟牛顿法也称变尺度法，这是由于 它相当于使空间尺度随迭代而不断改变的原因。拟牛顿法的基本思想是利用梯度差 及步长构造矩阵满足拟牛顿方程。拟牛顿法不必计算二阶导数，但在一定条件下是 超线性收敛的，它是求解无约束优化所有利用一阶导数的方法中最有效的一类方法。 在每个迭代点以附近考虑f ( x 。) 的二次逼近 ，( z + d ) z ，( 耳) + d 7 9 t + i d 7 反d ( 2 3 2 ) 其中g = v f ( k ) ，b r “是对称矩阵。如果b i 是非奇异的，则式( 2 3 2 ) 的右端函数 的稳定点为 d = - b ；1 9 t ( 2 3 | 3 ) 由于逼近关系( 2 3 2 ) ，我们把d 。当作线搜索方向。假定用某种方式已得到玩， 则利用搜索方向d 。进行一次线搜索得到x = x 。+ 口。d 。下面来确定毋 由于： 江苏大学硕士学位论文 其中 要求 v 2 f ( x ) 吼2y i s 2 x i + l x 2 口i d k y = g 一g = v f ( + 1 ) 一可丁( 坼) b 女“= y i ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) _ y 。称为梯度向量差，s 。称为位移向量差。式中( 2 3 7 ) 称为拟牛顿方程或者拟牛 顿条件。从而得到一般的拟牛顿算法如下： 给出薯r “，o sg 0 ： x + l 2x i + 1 2 t d 构造b k + 使得( 2 3 7 ) 成立；七：= k + 1 ，转步2 。 记h 女= b i l ，则( 2 3 7 ) 可写成： h 女+ 1 y 女= 5 t ( 2 3 8 ) 假定b 正定，由( 2 3 3 ) 定义的d i 是函数，( x ) 在x 。处在范数| | x i i = x 7 b k x 意义 下的最速下降方向。所以，如果所有的玩都是正定的，则拟牛顿算法也称为变尺度 方法。 2 3 2 几个重要的拟牛顿法 拟牛顿法的关键是如何获得矩阵序列日。的迭代公式，下面介绍两种迭代公式 d f p 法和b f g s 法迭代公式。 d f p 法的校正公式： t 圳t t 划t + 蓑t 一镑- 癸k y 汜s m s ；yky ；k b f g s 算法的校正公式： h t c + l = h k + 岍即( “訾跨警一警旺，加， s ；yk ) s ；yks ；y ts ；y k 1 0 江苏大学硕士学位论文 下面以d f p 算法为例，其它类型的变尺度法亦类似。对于菲二次函数，以及算 法失效时，常采用重开始策略，即重取风= ，也就是在重开始第一步使用负梯度 方向进行搜索，然后重新生成 巩) 矩阵序列。 选初始点x 。、e l ，e 2 计算i f ( x o ) ，v f ( ) ； h o = o = ，置k = o ； 计算反= 一。夥( ) ； 通过一维搜索确定k + = + 气d 。，计g f ( x m ) 与w ( + l ) ： 检验8 可( 矗+ ：) 忙p ，若是，则k + ，斗x + ，停机；否则转； 检验( 札+ 。) f ( x 。) ，若是，则执行重开始，x 。_ x 。，f ( x 。) 斗f ( x 。) ， v 厂( z 。) 斗w ( ) ，转；否则转； 判别k = n + 1 j 若是，则执行重开始以+ 。一而，f ( x ) _ f ( x 。) ， v 厂( x 。) - 弓，( x 。) ，转；否则转： 计瓢t 砘r m 可j v f ( x t m “划t + 舞一铹券， k 十1 k ，转。 2 3 3 有限内存b f g s 方法 对于中小规模的无约束优化问题，拟牛顿法( 如b f g s 法) 是十分有效的。但 对于大规模问题，即n 相当大时，算法所需内存相当重要，并且在每次迭代中线代 数计算量也影响算法的效率。 有限内存拟牛顿法可看成是共轭梯度法的推广。它的基本出发点是减少内存。 由于b f g s 修正公式可写成： h 。：( z - 掣) 以( ，一掣) + 孥 ( 2 j 3 i i ) s t y k s ；ns ：y t 记n ：士以及 s k y o 圪= ( ，一见y 女s ：) ( 2 ，3 1 2 ) 江苏大学硕士学位论文 则 h 。= ( 嘭眨，) h 。( 吮一吒) 所以m + l 步的有限b f g s 方法正是列用 h 。= ( 曙嚷。) 1 0 ) ( 圪一。k ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 其中日：o 是个预先给定的简单正定阵或者由某种方式自动产生。在( 2 3 1 4 ) 中， 由于假定h p 已知，因而只需存储s 。、y ，( i = k 一，k ) 就够了。可选取 h i 。) _ 迅， 5 i 欺畦 有限内存b f g s 算法如下： 给出x 。r ”，r ”对称正定；取非负整数m 取o b ls b 2 0 的选取对算法的影响是十分大 的。 2 4 约束优化问题中的乘子法 实际优化问题所形成的数学模型，大多是带约束条件的非线性规划问题，即目标 函数或约束式中至少有一个是变量的非线性函数。由于绝大多数实际问题的极小点 位于约束边界上，受到约束条件的影响，因此求解时不仅要考虑目标函数的性质， 在很大程度上还取决于约束函数的形态。约束非线性规划问题的处理方式大致有以 下几种：一类方法是将约束问题转化为一系列无约束问题然后由无约束算法求解， 通过某些参数的调整，使无约束问题的极小点逐步逼近原约束问题的极小点，称为 变换算法或无约束极小化方法，如罚函数法和乘子法：另一类是用一系列线性的或 二次规划问题的解逼近原非线性约束问题的解，统称为线性近似化技术；第三类是 直接处理约束条件，研究在约束边界如何搜索，以获得使目标值逐步改善的可行点 列，最后趋于约束问题的极小点，统称为可行方向法。本文主要对课题中用到的乘 子法作一介绍。 乘子法是以罚函数法为基础而发展起来的。罚函数法虽简单易懂，但有时随着 惩罚因子的无限增大或减小，响应函数变得十分病态，甚至无法求解而使方法失败， 从而限制了罚函数法的应用。另一方面，由鞍点定理可知l a g r a n g e 函数在参数。、 p 条件下的无约束极小点就是原问题的极小点工。，此时不需要生成极小点序列来逼 近。于是启发人们不在原目标函数上附加惩罚项，而在其l a g r a n g e 函数上加惩罚项， 这就是乘予法的基本思想。下面就等式约束问题作一介绍。 考虑等式约束问题： 江苏大学硕士学位论文 m i n ，( x ) 工r 4( 2 4 1 ) s t ，趣( 工) = 0 ，= 1 , 2 ，1 ( 2 4 。2 ) 在相应的l a g r a n g e 函数上施加惩罚项，构造新函数如下 m ( 工，l c ) = ，( 工) 一妻咋t ( x ) + 专喜( ，( 瑚2 ( 2 4 3 ) 上式称为增广l a g r a n g e 函数，给定参数y 、c 求m ( x ，y ，c ) 对x 的极小，其解为x ( v ，c ) 。 调整参数v ，c 使之成为某适当的有限值，则解x ( v ，c ) 将收敛于问题的最优解。关于 收敛条件与如何调整1 ，c ，不加证明地给出如下定理： 定理2 - 1 如果也是在某个给定的参数v 、c k 下函数 m ( xv , c ) ：，( x ) 一圭_ x ) + 冬杰( 以( 瑚： 的无约束极小点，那么亦是下列问题 吉坼嚣x 。i ：e h r1 列 眨。舢 j f 以 ) = ，伍)= ， 的极小点。 上述定理给出了函数m ( x ，v k , c ) 无约束极小点收敛于原等式约束极小点的条 件，即如果适当调整拉氏乘子向量v 与罚因子c ，使得篓粤- m ( x , v k , c k ) 的解恰好满 足等式约束 ，( ) = 0 ，= 1 , 2 ，l 那么，吒就是原等式约束问题的最优点x + 。 至于参数v 、c 的调整原则，可采用下列迭代公式 y = v ：一c h ，( 也) ，= 1 , 2 ，l ( 2 4 5 ) 乘子法的迭代步骤如下： 给定初始点，取常数c 0 ，修正系数， 1 和巳 0 ，0 p 2 1 ，给定v 置k = - l ： 以一。为初始点，求解r a i n m ( x ，p ，c ) 1 4 江苏大学硕士学位论文 式中，m ( x ，矿，c ) = ( x ) 一0 以( x ) + 姜( 矗，( 工) ) 2 设解为屯 p i“，l 如果愀k ) | i e ，则以为最优解：否则计算比值愀 ) l l l l h o 。) 若此比 值2 p ：，则以弦代替c ；否则保持原c 值 按式( 2 4 5 ) 计算矿“，置k = k + l ，转。 2 5 本章小结 本章介绍了优化的意义及要素，提出了几类典型的优化问题，并针对本课题研 究的特点，重点介绍了一维搜索( 倍增半减法和黄金分割法) 、拟牛顿法( d f p 法和 b f g s 法、有限内存b f g s 法及差分拟牛顿法) 、乘子法等优化算法。 江苏大学硕士学位论文 3 。1 序言 第3 章喷漆机器人喷涂工艺参数计算 喷漆过程中，漆是借助于雾化媒介一空气喷枪传输到工件表面的。空气流从喷 枪的喷嘴中以辐射状喷出，因而就获得了一个圆锥形的漆流通量。通常漆比较稠， 被存储于加压的漆容器中，并且借助于压力被传送到喷枪中。喷枪的另一应用是雾 化空气，它用以在喷嘴顶端形成快速的气流。这些气流产生低压和紊流从而雾化油 漆。由于圆锥内的漆流分布的不一致，导致被喷工件表面上的涂层不一致。除此以 外，喷枪的技术要求、空气压力、喷嘴、漆针、基本设置如漆容器的压力、喷枪空 气压力以及喷枪针状闳的位置都会影响喷射出的油漆的圆锥角度和漆流速率通量。 在预测或确定涂层厚度的分布情况上已经进行了各种不同的理论和实验研究。 g o o d m a n 和h o p p e r s t e a d 研究出了用以确定喷流型式的平板技术【2 ”，其被测试处的涂 层厚度是通过测得一系列方格子处点的涂层厚度，然后利用最小二乘法拟合而获得。 s u h 等人开发了喷漆机器人自动轨迹规划系统( 1 9 9 1 ) 【6 j ，在其文中进行了简单的涂 层分析，并且获得了一个椭圆形的涂层厚度分布。在p e s o o n s 和b r u s s e l 的一篇论文 中( 1 9 9 3 ) 2 8 1 ，提出了预测曲率很大的曲面上涂层厚度的仿真工具。在该文中，他 们首先提出漆流速率通量和涂层厚度分布的高斯分布模型，其获得充分利用了扩散 方程来定义在不均匀漆粒混和物以及散布的雾化