（应用数学专业论文）无界算子矩阵的可逆性与可逆补.pdf

分类号 udc 论文题目 密级 编号 研究生：齐雅茹 指导教师：堕垄望全塾撞 专 业：应用数学 二零一一年五月 i n v e r t i b i l i t ya n di n v e r t i b l ec o m p l e t i o n o fu n b o u n d e do p e r a t o rm a t r i c e s q iy a r u s u p e r v i s e db yp r o f 西s o ra l a t a n c a n gp h d s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a y 2 0 1 1 中文摘要 英文摘要 主要符号表 目录 l l l l l l 第一章绪论 】 1 1 线性算子的理论背景 1 1 2 算子矩阵的可逆性与可逆补 3 1 3 基本概念4 1 4 本文的主要结果6 第二章 无界奇是夕- 自伴算子矩阵的可逆性与可逆补 7 2 1 预备知识7 2 2 主要结果1 0 2 3 例子1 3 第三章 无界上三角型算子矩阵的左可逆性与左可逆补1 5 3 1 预备知识1 5 3 2 主要结果1 7 总结与展望 2 2 参考文献 攻读学位期间的研究成果 致谢 2 3 2 6 2 7 无界算子矩阵的可逆性与可逆补1 学生： 导师： 专业： 齐雅茹 阿拉坦仓教授 应用数学 摘要 算子矩阵是近年来算子理论中比较活跃的研究课题之一，在纯理论和实 际应用中都有重要的应用算子矩阵的可逆性与可逆补问题是算子矩阵理论 中的基本课题本文利用无界奇异夕自伴算子矩阵的结构特性，刻画了2 2 无界奇异夕一自伴算子矩阵的可逆性，基此得到相应的缺项算子矩阵存在可逆 补的充分必要条件作为推论，本文还给出了无界奇异夕一对称算子矩阵可逆 的充要条件，并举例说明了结果的合理性 本文还利用空间分解方法研究了可分h i l b e r t 空间上的2 2 阶无界上三角 型算子矩阵的左可逆性，基此得到相应的缺项算子矩阵存在左可逆补的充分 必要条件 关键词：奇异夕一自伴算子矩阵，无界上三角型算子矩阵，可逆性，可逆补，左 可逆性，左可逆补 中图分类号：0 1 7 5 3 主题分类号：4 7 b a m s ( 2 0 0 0 ) 1 国家自然科学基金项目( 1 0 9 6 2 0 0 4 ，1 1 0 6 1 0 1 9 ) i n v e r t i b i l i t ya n di n v e r t i b l ec o m p l e t i o no f u n b o u n d e do p e r a t o rm a t r i c e s1 q iy a r u a d v i s o r ：p r o f e s s o ra 1 a t a n c a n g ，p h d ( s c h 0 0 l0 fm a t h e m a t i c a ls c i e n c 既，i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h er e s e a r c ho f 叩e r a t o rm a t r i c e si sv e 叮a c t i v ei no p e r a t o rt h e o 吼a n dh a si m p o r t a n t a p p l i c a t i o 娜t op u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s t h ei 肼e r t i b i l i t yo fl l l l b o u n d e ds i n g i l l a r 夕一 s e l 删o i n to p e r a t o rm a t r i c e si sc h a r a c t e r i z e d ，a n dan e c e 鹤a 珂a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n f o rc e r t a i np 砒i a lo p e r a t o rm a t r i c e st oe x i s ti m r e r t i b l ec o m p l e t i o ni sf u r t h e ro b t a i n e d m o r e o v e r ，s o m ec o n c r e 七e 既锄p l e sa r ep r e s e n t e dt oi u l l s t r a t eo u rr e s l l l t s a l s o ，t h el e f ti i l m e r t i b i l i t yo ft h eu n b o u n d e du p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r 议i s s t u d i e db yt h em e t h o do fd e c o m p o s i n gs p a u b 嘴，锄dan e c e 豁a 叮a n ds u m c i e n tc o n d i t i o n f o rap a r t i a lo p e r a t o rm a t r i xt oe x i s ti n 、，e r t i b l ec o m p l e t i o ni sf u r t h e ro b t a i n e d k e y w o r d s ：夕一s e 惟a d j o i n to p e r a t o rm a t r i ) 【，u n b o u n d e du p p e rt r i a m g u l a u ro p e r a t o rm a t r 恢，i i l v e r t i b i l i t y ，i i e r t i b l ec o m p l e t i o n ，l e 允i m 伧r t i b i l i t y l e 允i i l v e r t i b l ec o m p l e t i o n c l a s s i f i c a t i o n n u m b e r ：( c l ) 0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) 4 7 b 1 p r o j e c ts u p p 哦e db yt h en a t i o n a ln a t l l r 8 ls c i e n c ef o 硼抛i o fc h i 】噱( 1 0 9 6 2 0 0 4 ，n 0 6 1 0 1 9 ) i p o r c t 勿( t ) 纺( t ) ( r ) n ( t ) d ( t ) 马 j d ( t ) 伊( t ) ( t ) 吼( t ) 听( t ) 以( t ) ( t ) c r e ( t ) 缎盯( t ) 主要符号表 单位算子 投影算子 空集 实数域 复数域 线性算子t 的伴随算子 线性算子t 的定义域 线性算子t 的值域 线性算子t 的零空问，即集合 z 勿( t ) ：t z = o ) ( 丁) 的维数 刀( 丁) 上的维数 线性算子t 在集合sc9 ( t ) 上的限制 线性算子t 的预解集 线性算子t 的谱集 线性算子t 的点谱 线性算子丁的连续谱 线性算子t 的剩余谱 线性算子t 的左谱 线性算子t 的右谱 线性算子t 的本质谱 线性算子t 的实谱，即集合 a r ：a 盯( t ) ) 内蒙古大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 线性算子的理论背景 线性算子理论产生于2 0 世纪初期，是泛函分析t l ，的。个重要的研究领域，鉴于其在 数学和其他学科中的广泛应j j ，在上世纪前三十年就得到了迅速的发展目前在矩阵论、 偏微分方程的离散化、h a m i l t o n 系统【l 】，最优化理论和统计学等许多数学分支中有深入 应用，而且在量子力学【2 】、流体力学【3 】和磁流体力学【4 】等物理学科中也已成为不可或 缺的研究工具 有一大类解微分方程的问题从泛函分析的角度看就是对给定的算子t 研究其可逆 性问题我们一般用算子t 的右可逆性来说明解的存在性问题，用左可逆性来表达解的 唯一性问题，而稳定性问题就可以通过其逆算子的有界性来描述若算子t 一入，具有有 界逆，入属于正则点集，否则属于谱集若丁一a j 不是一一的，则a 称为t 的特征值，这 时( t a j ) z = 0 的非平凡解z 称为特征值a 所对应的特征向量对某些偏微分方程施 行分离变量法可得到相应的自伴算子的特征值问题，进一步由特征向量组的完备性来保 证得到的形式解满足原来的定解问题，而这种完备性属于自伴算子的谱分解定理自伴 算子的谱分解问题已经形成了较为完美的理论，如【5 】给出了有关h i l b e r t 空间中有界自 伴算子的谱理论1 9 2 3 年，g a r l 哪锄【6 】在无界对称算子分析中取得了很大的进展，1 9 2 9 年，v o nn e 眦籼在经典文章【7 】中完全系统地给出了无界自伴算子的谱分解理论之后 许多学者用不同的方法给出了不同的证明，见m e 8 z 【8 】，s t o n e 【9 】，【1 0 】，【1 1 】，【1 2 】等 1 9 5 1 年，k e l d ymv 的工作【1 3 】为非自伴偏微分方程边值问题的研究奠定了基础 随后g o h b e r g ，k r e i nmgf 1 4 】，l i 、r s i cms 【1 5 】等学者在非自伴算子方面做了大量的工 作非自伴算子的研究没有统一的处理方法，研究进展比较缓慢人们一般对于有重要应 用背景的非自伴算子进行个别研究例如，为了解决核物理f 1 6 1 ，电磁场理论f 1 7 ，1 8 1 等领 域中出现的非对称微分算式，g l a z m 觚在文献【1 9 1 中引入了工对称算子的概念 定义1 1 1 设x 为复h i l b e r t 空间，稠定闭线性算子a ：9 ) cx _ x 称为是 对称算子，如果 ( j z ，a y ) = ( ，a z ，y ) ，z ，! ，9 ( a ) 1 绪论 其中j 是一个共轭线性对合且满足( 儿，- ，可) = ( 秒，z ) ，显然a 是 对称算子当且仅当 acj a + t ， 其中是a 的共轭算子，若 则称a 为山自伴算子 a = j a + t ， 上世纪9 0 年代，钟万勰院士利用结构力学和最优控制象模拟的理论f 2 0 1 ，将弹性力 学和无穷维h a i n i l t o n 算子相结合，根据无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数的辛正交性， 得到了辛f o u r i e r 级数展开方法，推广了传统的分离变量法，开创了弹性力学求解新体 系f 2 1 2 3 1 下面给出无穷维h a m i l t o n 算子的确切定义： 、 定义1 1 2 设x 为h i l b e r t 空问，日：f ab 1 ：9 ( h ) cx x - x x c a 4 。 是稠定闭线性算子若a 为x 中的稠定闭算子，b ，c 均为自伴算子，则称日为无穷维 h 锄i l t o n 算子进一步，若b ，g 是非负自伴算子，则称胃为非负h 锄i l t o n 算子 2 内蒙古大学硕士学位论文 1 2 算子矩阵的可逆性与可逆补 线性算子已成为一个研究领域，其中较为常用的方法是川算子矩阵的思想去研究算 子本身的性质算子矩阵是以线性算子为元素的矩阵，而算子矩阵的研究在纯理论和实际 应用l | 1 都很重要，例如在系统理论、控制论和非线性理论l | l 都有十分重要的戍用目前， 算子矩阵的各利t 补问题已成为算子矩阵理论l i i 的热门研究课题 2 2 算子矩阵的可逆性和可逆补问题是算子理论l | 1 的基本问题，已引起国内外学者 的广泛关注在算子矩阵中，一些元素为已知，其余元素为未知的算子矩阵称为缺项算子 矩阵给定缺项算子矩阵中的未知元素便可得到缺项算子矩阵的一个补，缺项算子矩阵 的可逆补是指可以补缺项算子矩阵为可逆算子矩阵的补在【2 4 1 中，作者利用空间分解方 法研究了2 2 上三角算子矩阵的可逆性和左( 右) 可逆性；1 9 9 4 年，杜鸿科教授在【2 5 】 中给出缺项上三角型算子矩阵( 吾刍) 存在可逆补的充要条件，其后【2 6 】采用不同于【2 5 】 的方法考察了上述问题并得到了推广的结论，【2 7 】研究了该缺项算子矩阵的左( 右) 可逆 补；1 9 9 5 年，k t a k a h a s h i 利用n e d h o l m 算子理论给出了缺项算子矩阵( 乌景) 存在可 逆补的充分必要条件( 见【2 8 】) ，之后【2 9 】从不同的角度给出了该缺项算子存在可逆补的 充要条件，【删得到其存在左( 右) 可逆补的充要条件；文【3 0 】和【3 1 】分别研究了( 雩亨) 的左( 右) 可逆补和可逆补以上工作的研究对象均为有界算子矩阵，对于无界情形，f 3 2 】 和3 3 1 研究了一类无穷维h 锄i l t o n 算子的可逆性和可逆补问题【3 4 】中给出了非负无穷 维h a 血l t o n 算子可逆的充分条件 文献f 3 6 1 研究了两类算子矩阵( 一类为h a l i l t o i l i 柚，一类为非h a n l i l t o n i a n ) 的完 备性问题，发现它们的特征函数系均在奇异夕正交意义下完备，且可以证明奇异夕一正 交意义下完备蕴含辛正交意义下完备进一步，我们提出了奇异夕一自伴算子的概念，并 研究了其基本性质在实际问题中，算子矩阵的元素一般是无晃的本文研究了无界奇 异夕一自伴算子矩阵的可逆性和可逆补问题，此外还研究了无界上三角型算子矩阵的左 可逆性与左可逆补问题 3 绪论 1 3 基本概念 本节给出文巾涉及到的基本概念 定义1 3 1 1 3 7 】设e ，eg 是b a n a c h 空问，正s 为分别从e 到f 和f 到g 的线 性算子 ( 1 ) 称算子s 相对于r 有界，如果9 ( t ) c9 ( s ) 并且存在常数，k o 使得 i i s z 0 o 。i i z i i + k l l t z l l ，z 9 ( t ) 成立对于使上式成立的所有吼0 和6 l 0 ，记以为6 i 的下确界，称为s 相对于t 的界( 或称s 的口界) ( 2 ) 称算子s 是相对于t 紧的，如果9 ( t ) c9 ( s ) ，并且对于所有满足 2 _ n ) 有界 的有界序列 z n ) c9 ( t ) ， s z n ) 具有收敛子列 附注1 3 1 若丁是闭算子且s 是可闭算子，则9 ( 丁) c 勿( s ) 可推得s 相对于t 有界 定义1 3 2 m 设= ( 三三) 为乘积h i b e r t 空问x 】厂中的算子矩阵，其中 a ，b ，g ，d 均为相应空间中的稠定可闭算子若a 相对于c 有界且d 相对于b 有界， 则称为次对角占优算子矩阵 定义1 3 3 设t 是从x 到x 的闭线性算子，如果存在x 到x 的有界线性算子 一满足 r t z = z ，z 勿( t ) c 。x 则称t 为左可逆算子，称f 为丁的左逆如果存在x 到x 的有界线性算子r 满足 盯z = z ，z x 则称t 为右可逆算子，p 称为t 的右逆既是左可逆的又是右可逆的算子称为可逆算 子，t 的逆算子记为t 并且有t 一1 = r = r 定义1 3 4 设t 是从x 到x 的闭线性算子称集合 从t ) = a c ：( a ，一卵一1 存在且曰( 入j t ) = x ) 4 内蒙古大学硕士学位论文 为t 的预解集，p ( t ) 中的入称为t 的正则值；称盯( t ) = c p ( t ) 为t 的谱集谱集 仃( t ) 又可以分成以下三部分： 仃( 丁) = 唧( t ) u ( 丁) uc r c ( t ) 其中，称集合 唧( 丁) = a c ：( a ，一t ) - 1 不存在) 为t 的点谱：称集合 西( t ) = a c ：( a j t ) 一1 存在，但历顶两x ) 为t 的剩余谱；称集合 c r c ( t ) = 入c ：( 入，一t ) 一1 存在，历西两= x 但留( a 一丁) x ) 为t 的连续谱 定义1 3 5 设t 是从x 到x 的闭线性算子t 的实谱定义为 9 f l 盯( t ) = a 乏：入仃( t ) ) 定义1 3 6 设t 是从x 到x 的闭线性算子，则： ( 1 ) t 的左谱定义为 们( t ) = 入c ：t 一入j 不是左可逆算子 ( 2 ) t 的近似点谱定义为 仃印( t ) = 入c ：存在9 ( t ) ，l i z n l i = 1 使得l i ml i 口一a j ) z n 0 = o ) n 定义1 3 7 设闭线性算子t ：勿( t ) cx _ x 称为n e d h o l m 算子，如果刀( t ) 是 闭的，佗( t ) o 。并且d ( t ) = d i m ( 州刀( t ) ) o o 闭线性算子t ：9 ( t ) cx x 称为左( 或右) n e d h o h n 算子，如果贸( t ) 是 闭的，n ( t ) o o ( 或d ( t ) = d i m ( x 留( t ) ) 0 ，满足 | i t z 0 引l z l i ，忱9 ( t ) 附注3 1 1 若t ：勿( t ) cx x 是闭算子，可以证明( 见文献f 3 5 】) t 左可逆辛t 下方有界号( t ) = o ) ，刀( t ) 闭 进而有 ( t ) = 口面( t ) 引理3 1 2 设日：勿( 日) cx x 是闭线性算子，并且日= 丁s 刀( s ) ) 9 ( t ) ，s 是单射，则日具有有界逆当且仅当t 是单射且是满射 证明充分性若t 是单射，由s 是单射知日是单射若t 是满射，对于任意的 ! ，x ，存在z 勿( t ) ，使得t z = 3 ，因勿( t ) c 刀( s ) ，存在名勿( s ) 满足z = s z 从 而t = 日彳= 可，即日为满射再由日的闭性知，日具有有界逆 必要性假设日是单射，对于任意的z 勿( 乃，令乳= o ，因为9 ( t ) c 留( s ) ，即 存在唯一的z 勿( s ) 使得s z = z ，从而有t s z = 日z = o 由日是单射知名= o ，进而 z = o ，故t 是单射若日是满射，显然有t 是满射 口 】5 无界上三角型算子矩阵的左可逆性与左可逆补 附注3 1 2 引理3 1 2 中算子h 和t 进一步满足关系式力( 日) = 刀( t ) 引理3 1 3 【3 7 】设t ：9 ( t ) cx _ x 是闭线性算子，s 是x 中相对于丁紧的线 性算子。则 a r e ( t + s ) = c r e ( t ) 并有i n d ( t 一入) = i l l d ( 丁+ s a ) ，；1 入gc r e ( 丁) 1 6 内蒙古大学硕士学位论文 3 2主要结果 为证明本章的主要结果，先给出如下定理 x 中定义于9 ( a ) 9 ( b ) ( 9 ( b ) c9 ( c ) ) 则m 左可逆一且仪当 ( 1 ) a 左可逆， c 2 ，尬= ( 言三) 左可逆 其中q = j 乙( a ) 上g i ( b ) ，g = 只寥( a ) 上c i ( b ) 上，b 1 = 只矿( 口) c i ( 8 ) 上 证明充分性若a 是左可逆的，即( a ) = o ) 且留( a ) 是闭的在空间分解 xo ( b ) o ( b ) 上_ 历( a ) 上。贸( a ) o x 下，m 可以写为 m = 睢 其中a 1 ：9 ( a ) - 曰( a ) 是可逆算子，进而m 可分解为 记 m = ( 寻詈兰) g t = ( 弓言兰) ，s = a f l g l f a 、 。 i i l a f l q 、 0 则m = t s ，易验证刀( s ) ) 勿( r ) ，s 是单射由引理3 1 2 知m 是单射当且仅当t 是 此外m 是闭算子，从而尬是闭算子，进一 可得t 是闭算子即m 左可逆等价于t 左 逆的由上面的证明过程可知尬是左可逆 口 1 7 x t 舢 鼾、一、闭小舳 a o b a i i 卜 m 靶 设 t l 算 卫 性 3 线 理 闭 定 定稠的 、lli 伤d 历 岛 以。， 0 o a， 0 0 ，f一 篡急罴篡 n 矧 的殴 阔 闭 阶订 邶栅 骱一小并批一阱龇 无界上三角型算子矩阵的左可逆性与左可逆补 推论3 2 2 若定理3 2 1 中刀( b ) 闭且f ( a ) 上c l ( b ) 上可闭，则m 左可逆当且仅 当a 左可逆并且算子f 留( ) 上c l ( 且) 左可逆 证明由定理3 2 1 可知m 左可逆等价于a 左可逆且尬左可逆，而且m 的闭性 蕴含尬的闭性当曰( b ) 闭时，b l 是左可逆算子，从而 j f l 可分解成 m = ( 三警5 ) ( 言三) t = ( 搿卜( 显然勿( s ) c9 ( 丁) 由于忍矿( ) 上c l ( b ) 上可闭，且b 1 的左逆元b i 有界及留( b ) = 纺( b 1 ) 是闭的，根据闭图像定理知q 斜是贸( b ) 上的有界线性算子进而，t 在 x 留( b ) 上是有界线性算子又易知t 是单射且是满射，由b a n a c h 逆算子定理，其逆 算子在曰( t ) = x 留( b ) 上有界，即t 是空间x 贸( b ) 上的线性同胚由于舰，s 的值域均包含在空间x 毋( b ) 内，所以勿( s ) 的闭性等价于劈( m ) 的闭性这时尬 的左可逆性等价于s 的左可逆性由m 的闭性易得g 是闭算子，从而进一步可得尬 左可逆等价于f 虿( ) 上c l ( 口) = q 左可逆 口 如果a ，b 给定，我们用表示2 2 上三角算子矩阵： 推论3 2 3 设a ，b 是给定的稠定闭线性算子，a 左可逆若叨( b ) 闭且佗( b ) d ( a ) ，则存在满足吃上c i ( 口) 上可闭且9 ( b ) c 勿( g ) 的线性算子c ，使得 幻左可 证明若竹( b ) 和d ( a ) 均为有限维空间，取g ：( b ) 一露似) 上是等距算子即可 若n ( b ) ，d ( a ) = o o ，不妨设n ( b ) = m 设 ) 銎1 ， 吼) 罂1 分别为( b ) ， 毋( a ) 上的标准正交基取q ( 五) = 仇，i = l ，2 m ，定义d l 慨) = 五，i = 1 ，2 m ，当 i m + 1 时d 1 慨) = o ，则有q 是有界算子且d l 是有界算子，上) l a = ，即g 为左 可逆的 1 8 内蒙古大学硕士学位论文 若n ( b ) = o 。，d ( a ) = o o ，设 五) 墨l ， 吼) 墨1 分别为( b ) ，留( a ) 上的标准正交基 定义q ( 五) = 9 2 i ，d l ( 纭) = i c i ，d l ( 蚴+ 1 ) = o ，i = 1 ，2 ，则q 有界且d 1 有界并满足 啪乩q 为舸逆以上情况均取c = ( 言兰) 剖c 满足晰c l 郴灯 闭及勿( b ) c9 ( c ) ，且是闭算子由推论3 2 2 知是左可逆的 口 推论3 2 4 设a ，日为给定的稠定闭算子，a 左可逆若刀( b ) 不闭，d ( a ) = ，则 存在满足岛( a ) 上c i ( b ) 上可闭且9 ( b ) c9 ( c ) 的线性算子c ，使得左可逆 证明当曰( b ) 不闭时，d i m ( b ) 上= o o 当n ( b ) 时，不妨设n ( b ) = m ，设 ) 銎1 ， 仇) 墨l ， ) 墨1 分别为( b ) ，( b ) 上，留( a ) 上的标准正交基令 g ( 五) = 7 i ，i = 1 ，2 ，m c 2 ( 仇) = 鬼，i m + l 令 d 1 巩 乜 鬼 五i = 1 ，2 ，m 0t m + l 吼i 仇+ 1 0l = 1 ，2 ，m ( 三( 言兰) = ( 竺兽三芝) = go ) c 3 m 其中( 竺兰) 有界因为q ，岛有界，所以( 言警) 是闭算子，即( 言詈) 左可 逆这时取任( 言言) ，可得是闭算子，且显然g 满足卢h 闸闭以 及勿( b ) c9 ( c ) 、根据趣3 2 1 ，是左可逆的 当n ( b ) = o o 时，设 五) 墨1 ，协) 墨l ， 乜) 墨。分别为( b ) ，( b ) 上，留( a ) 上的标 准正交基令 q ( 五) = k ，t = 1 ，2 q ( 彩) = b + l ，歹= 1 ，2 ，lj l一，lj l - l 、 无界上三角型算子矩阵的左可逆性与左可逆补 馏繁 ， j 仍( + ，) = 彩 1d 2 ( 巧) = o 歹= 1 ，2 则( 3 1 ) 式依然成立取c 同上，显然满足岛( a ) 上c l ( b ) 上可闭及勿( b ) c 勿( c ) ，则 下面给出本章的主要结果 定理3 2 5 设a ，b 是给定的稠定闭算子，则存在满足，( a ) 上c i ( 口) 上可闭，且有 勿( b ) c 勿( c ) 的线性算子c ，使得 纪左可逆当且仅当 ( 1 ) a 左可逆； ( 2 ) 若勿( b ) 闭，则扎( b ) d ( a ) ；若留( b ) 不闭，则d ( a ) = o o 证明充分性由推论3 2 3 和3 2 4 易得 下证必要性设存在满足定理中条件的c 使得左可逆显然a 是左可逆的，即 ( a ) = o ) ，留( a ) 闭这时有定理3 2 1 的证明过程中一样的分解当曰( b ) 闭 时，由推论3 2 2 知q 左可逆，也就是n ( b ) d ) 当留( b ) 不闭时，若d ( a ) = o 。不 成立，即d ( a ) o 。，由于q = 铂a ) 上g i ( b ) ，岛= 岛( a ) 上c i ( b ) 上，我们有留( q ) o o ， 露( q ) o o 再由砑( q ) 和刀( q ) 是有限维的，岛相对于岛紧，即s ：il q l ，门，1 、 oo ， 相对于t = g 三) 紧因r + s = ( 言善) 是左可逆算子，从而是左n e d h o h 算 子由引理3 1 3 ，t 是左n e d h o h 算子，即力( b 1 ) = 留( b ) 闭，而与曰( b ) 不闭相矛盾 故d ) = o o 成立 由上面的证明过程，我们易得 口 定理3 2 6 设a ，b 是给定的稠定闭算子，则存在有界线性算子g ，使得左可 逆当且仅当 ( 1 ) a 左可逆； ( 2 ) 若留( b ) 闭，则n ( b ) d ( a ) ；若留( b ) 不闭，则d ( a ) = o o 内蒙古大学硕士学位论文 附注3 2 1 若丁是闭算子，留( t ) 闭时留( 丁一a j ) 也是闭的 推论3 2 7 对于给定的稠定闭算子a ，b ，我们有 n们( 朋o ) = 们( a ) u a c ：留( b a j ) 闭，d ( a a ，) n ( b 一入j ) ) c ? ( x ，y ) u a c ：留( b a ，) 不闭，d ( a a ，) o 。 其中p ( x ，y ) 为从x 到y 的全体有界线性算子构成的集合 文献【2 7 】中的定理1 为本文的一个推论： 推论3 2 8 设a ，b 是给定的有界线性算子，则存在有界线性算子g ，使得下 方有界当且仅当 ( 1 ) a 下方有界； ( 2 ) 若曰( b ) 闭，则n ( b ) d ( a ) ；若留( b ) 不闭，则d ( a ) = o 。 2 1 总结与展望 总结与展望 本文主要研究了无界算子矩阵的可逆性与可逆补问题，文中利用算子矩阵内部项的 性质，刻画了2 2 无界奇异夕自伴算子矩阵的可逆性，基此得到相应的缺项算子矩阵 存在可逆补的允分必要条件，作为推论给出了无界奇异夕对称算子矩阵可逆的充要条 件最后举例验证了结果的合理性此外利川空问分解方法给出了对角占优型2 2 阶无 界上三角型算子矩阵左可逆的允分必要条件及相应的缺项算子矩阵存在左可逆补的充要 条件 由于作者学识有限，上述工作仅仅是个开端，还有许多问题有待研究，例如： 1 2 2 阶无界奇异夕一自伴算子矩阵的特征向量组的完备性问题 2 2 2 阶无界奇异夕一自伴算子矩阵的谱结构及谱的性质 以上是作者对本文工作的一个简要的总结和对后续工作的一些展望由于时问和作 者能力的限制，文中难免存在疏忽和不妥之处，敬请翻阅本文的各位专家和学者批评指 正 内蒙古大学硕士学位论文 参考文献 1 1 】r f c u r t a i n ，h z w a r t a n 砒r o d u c t i o nt oi n 缸i t 争d i m e n s i o n a ln n 撇s y s t e 瑚t h e 哪 v d 2 l0 ft e s t si na p p l i e dm a t h ，s p r i n g 盱n e wy o r k ，1 9 9 5 【2 】b t h a l l e r t h ed i r a ce q u a t i o n i b t sa n dm o n o 伊a p l l si np l l y s i s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 9 2 【3 】s c h 彻d r 勰e i 【l 瑚h y d r o d y n a l n i c 锄dh y d r o m a g n e t i cs t a b i l i t y t h ei n t 锄a t i o n a ls e r i 鹤o f m o n o g r a p h s p h y s i 馏c 1 a r e n d o np r 嘲，o x f o r d ，1 9 6 1 【4 】a z l i 矗斌t z m a 印e t o h y d r o d y n a m i c sa n ds p e c t r a lt h e o 珥v o l 40 fd e v e l o p m e n t si ne l e c t 肛 m a g n e t i 璐t h e 0 巧a n da p p l i c a t i o 璐k l m ”e ra c a d e l i cp u b l i s h e 璐g r o l l p ，d o r d r e c h e t ，1 9 8 9 【5 】d h i l b e r t g m n d z u g ee i n e ra l l g e m e i n e nt l 掀i ed e rl i n e a r e ni n t e 铲a l g l e i c h u n g e n n a u c l l r a k a d w i s s g o t t i n g e n m a t h p h y s k 1 ，1 9 0 6 ，1 5 7 2 2 7 【6 】t c a r l e m 柚s l l rl 髑e q u a t i o 璐i n t e g r a l es i n 刚i e r 昭an o y a ur e e le ts ) ，m e t r i q u e a l m q u i s t 船dw i l 【s e l l s ，u p p s a l l a ，1 9 2 3 f 7 】j v o nn e 咖峨曲a l l g e 砌e i n ee i g e n w e r t t h e o r i eh e r 皿t 鹪c h e rf i l n c t i o n a l0 p e r a t o r e n m a t h _ e m a t i s c h ea m l a l e n ，1 9 2 9 ，1 0 2 ：4 9 1 3 1 【8 】f f u 鹤z u b e rd i el i n e a u r 衄t r a n s f o m a t i o 姗d 馏k o m p l e x e nh i l b e r t 8 c h e nr a l 姗a c s c i m a t h ，s z e g e d ，1 9 3 0 ，5 ：2 参5 4 【9 】m h s t o 聃l i m a rt r 锄s f ( 耽僦i 0 璐i ni i i l b e r ts p a a 姗m a t h s o c c 0 u o q l l i 眦p u b _ l i c a t i o n s ，x v ，n e wy o r k ，1 9 3 2 【1 0 】j l b c i p e r t h es p e c t r a l 衄a l y s i s0 fs e 娘a d j o i n t0 p e r a t o r a q j m a t h ( o x f b r d ) ，1 9 4 5 ， 1 6 ：3 l 一4 8 【1 l 】j l b c 0 0 p 盯s y l i n e t r i c0 p e r a t o 瑙i nh i l b e r ts p 犹e p d o c l o n d o nm a t h s o c ，1 9 4 8 ， 5 0 ( 2 ) ：1 1 5 5 【1 2 1 e r l 0 r c h t h ei n t e 孕a lr q p r 嘲n t a t i 蚀0 fw e 枷ya l i n o s t 刚0 d i ct r 锄f o m a t i o 瑚t o 降 丑e x i 、，e 、r e 曲叫s p a c 锶n 锄s a m e r m a t h s o c ，1 9 4 1 ，4 9 ：1 8 - 4 0 参考文献 【1 3 】m v k e l d y s o nt h ec h a r a c t e r i s t i c 诎u 骼a n dc h a r a c t e r i s t i cf b c t i o 璐o f c e r t a j nc l 锻潮o f n o n s e l 删o i n te q u a t i o l l s d o l 【la k a dn a l l l 【s s s r ，1 9 5 1 ，7 7 ：1 1 一1 4 【1 4 】i c g o h b e r g m g k r e i n i n t r o d u c t i o nt ot h et h e o u0 fl i n e a rn o m l f 二础i o n to p e r a t o 瑁 n a 璐l a t i o 璐o fm a t h e m a t i c 以m o n o g r a p h s ，1 9 6 9 ，1 8 f 1 5 】m s l i v s i c t h e o u o fn o n s e l f 二a d j i o n t 叩e r a t o 瑙锄di t sa p p u c a t i o 璐n u d ya 1 1 u n i o n m a t hc o n f e 蹈，1 9 5 6 ，3 ：2 6 9 2 7 6 【1 6 】g e b r o w n u n m e dt h e o r yo fm l c l e 缸m o d e l s n o r t h h o u 锄d ，a n 蝎t e r d a m ，1 9 6 4 f 1 7 】d e k e r r ( e d ) p r o p a g a t i o no fs h o r tr a d i ow a 、r e 8 b o s t o nt 坟血n i c a lp u b l i s h e 璐，l e 】【i n g t o n ， 1 9 6 4 【1 8 】j m c k e m 埝t h ee x c i t a t i o no fp l a n 村d i e l e c t r i cw a v e g u i d 鹤a tp nj u n c t i o 璐i b e us y s t e m t e c h j ，1 9 6 7 ，4 6 ：1 4 9 1 1 5 2 6 【1 9 】i m g l 配m a n a na n a l o g l l eo ft h e 娃t e 璐i o nt h e o 巧o fh e r i n i t e 卸o p e r a t o r 8a n do ft h en o n - s y l 玎【m e t r i co n ed i m e 璐i o n 以b o l u 匝d 时v d u ep r o b l e mo nas e m i - a x i s d o 砒a k a d n 砌【 s s s r ，1 9 5 7 ，1 1 5 ：2 1 4 - 2 1 6 ，( r 1 l s s i 柚) 【2 0 】钟万勰分离变量法与h a 皿l t o n 体系计算结构力学及其应用，1 9 9 1 ，8 ( 3 ) ：2 2 良2 4 0 【2 1 】钟万勰，姚伟岸板弯曲求解新体系及其应用大连：大连理工大学工程力学研究所， 1 9 9 7 【2 2 】钟万勰发展型哈密顿核积分方程大连理工大学学报，2 0 0 3 ，4 3 ( 1 ) ：1 1 1 【2 3 】钟万勰哈密顿方程本征解的完备性大连理工大学学报，2 0 0 4 ，4 4 ( 1 ) ：1 6 【2 4 】李愿算子矩阵的谱扰动硕士学位论文西安：陕西师范大学，2 0 0 4 【2 5 】h d u ，j p a n p e r t l l r b a t i o n0 fs 耻吼r u i 璐o f2 2o p e r a t o rm a t r i c 鹪p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 9 4 ，1 2 1 ( 3 ) ：7 6 1 7 6 6 【2 6 】j h 趾，h l ，w l e e i n v e i r t i b l e 咖p l e t i o 璐o f2 2u p p e rt r i 锄g l l l 甜0 p e r a t o r m a t r i c 酷 p r o c a m 盯m a t h s o c ，2 0 0 0 ，1 2 8 ( 1 ) ：1 1 9 - 1 2 3 【2 7 】i h w a n g ，w l t h eb o m l d e d n 嘲m 唧o f 2 2u p p e rt r i 粕g l l l 盯o p e r a t o rm a t r i c e s i n t e 寥e i q u o p 盯t h e o 吼2 0 0 l ，3 9 ( 3 ) ：2 6 7 2 7 6 2 4 一 内蒙古大学硕士学位论文 - 二= 二= 二二一 【2 8 】k t 曩k a h a s h i h e r t i b l ec o m p l e t i o n so f 叩e r a t o rm a t r i c 馏i n t e g r e q u o p e r t h e 哪! 9 9 5 ， 2 l ( 3 ) ：